8、三角恒等变换
高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8
8。
2。
4 三角恒等变换的应用第1课时 半角的正弦、余弦和正切课后篇巩固提升基础巩固1.如果sin θ=35,5π2〈θ<3π，那么tan θ2+cos θ2的值为（ )A 。
√1010-3 B.3—√1010C 。
-30+√1010D 。
30+√10102。
设a=12cos 6°-√32sin 6°，b=2tan13°1+tan 213°,c=√1-cos50°2，则有（ ）A 。
a>b 〉c B.a 〈b<cC.a 〈c<bD.b 〈c 〈aa=sin 24°,b=tan 26°，c=sin 25°，所以a<c 〈b 。
3。
若sinα1+cosα=12，则sin α+cos α的值是（ )A 。
75B.85C.1 D 。
29154.下列各式中，值为12的是（ )A 。
sin 15°cos 15°B .2cos 2π12-1C 。
√1+cos30°2D .tan22.5°1-tan 222.5°=12tan 45°=12。
5。
已知sin α=—817，且α∈(π,3π2),则sin α2= ,cos α2= ,tan α2= 。
π<α〈3π2，∴cos α=—1517.∴π2<α2<3π4,∴sinα2=√1-cosα2=4√1717.cos α2=—√1+cosα2=—√1717。
tanα2=sinα2cosα2=—4.—√1717—46.设-3π〈α<—5π2,则化简√1-cos (α-π)2的结果为 。
—3π2<α2〈—5π4,∴cos α2〈0，√1-cos (α-π)2=√1+cosα2=—cos α2。
cos α27。
已知α为三角形的内角,sin α=35,则tan α2= 。
或138.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点P (-3,√3）. (1）求tan (-α)+sin(π2+α)cos (π-α)sin (-3π-α)的值；（2)求tan 2α+tan α2的值.1）由题意得sin α=12，cos α=—√32,tan α=—√33,则原式=-tanα+cosα(-cosα)·sinα=√33-√32√32×12=-23。
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全1.正弦和余弦的平方和差关系：sin²x + cos²x = 1sin²x = 1 - cos²xcos²x = 1 - sin²x2.正弦和余弦的和差关系：sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin xsin(x - x) = sin x cos x - cos x sin xcos(x + x) = cos x cos x - sin x sin xcos(x - x) = cos x cos x + sin x sin x3.正切和余切的和差关系：tan(x + x) = (tan x + tan x) / (1 - tan x tan x)tan(x - x) = (tan x - tan x) / (1 + tan x tan x)cot(x + x) = (cot x cot x - 1) / (cot x + cot x)cot(x - x) = (cot x cot x + 1) / (cot x - cot x)4.正弦和余弦的二倍角关系：sin(2x) = 2sin x cos xcos(2x) = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x 5.正切和余切的二倍角关系：tan(2x) = (2tan x) / (1 - tan²x)cot(2x) = (cot²x - 1) / (2cot x)6.正弦和余弦的三倍角关系：sin(3x) = 3sin x - 4sin³xcos(3x) = 4cos³x - 3cos x7.正切和余切的三倍角关系：tan(3x) = (3tan x - tan³x) / (1 - 3tan²x)cot(3x) = (cot³x - 3cot x) / (3cot²x - 1)8.正弦和余弦的半角关系：sin(x/2) = ± √(1 - cos x) / 2cos(x/2) = ± √(1 + cosx) / 29.正切和余切的半角关系：tan(x/2) = (1 - cos x) / sin x = sin x / (1 + cos x) cot(x/2) = (1 + cos x) / sin x = sin x / (1 - cos x) 10.和差的三角函数关系：sin x + sin x = 2 sin((x + x)/2) cos((x - x)/2) sin x - sin x = 2 cos((x + x)/2) sin((x - x)/2) cos x + cos x = 2 cos((x + x)/2) cos((x - x)/2) cos x - cos x = -2 sin((x + x)/2) sin((x - x)/2)这些是一些常见的三角恒等变换公式，应用在不同的数学问题和物理公式的推导中。
三角恒等变换
大一轮复习 数学（理）
[易错易混] 1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、 倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种 变通． 2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角 的范围．
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教材细梳理
1．三角恒等变换中常用的公式 (1)两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝ sin αcosβ＋cos αsin β ； sin(α－β)＝sin αcos β － cos αsin β. cos(α＋β)＝ cos αcosβ－sin αsin β ； cos(α－β)＝cos αcos β ＋ sin αsin β.
答案：－43
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3．(2018·江苏泰兴月考)化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－12cos
2α·cos 2β＝
.
解析：法一：(异名化同名)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12
(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
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所以 cos α＝cosπ6＋α－π6 ＝cosπ6＋αcosπ6＋sinπ6＋αsinπ6 ＝－45× 23＋35×12 ＝3－140 3. 答案：3－140 3
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α＝3 5 2⇒1
＋sin 2α＝1285，
∴sin 2α＝－275.故选 D.
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第8讲 三角恒等变换与正余弦定理
1 sin(3α-β)=sin(2α+α-β)=cos(α-β)= ,故选 2
B.
3.若 α∈(0,π),且 3sin α+2cos α=2,则
������ π tan 2 3 3 A.9 3 C. 6
[答案] B
[解析] 因为 3sin α+2cos α=2, 所以 3sin α=2(1-cos α), 即2 因为
������ ������ 2������ 3sin cos =4sin . 2 2 2 ������ π α∈(0,π),所以 ∈ 0, 2 2 ������ ������ sin 2 3 2
������ cos 2
=(
)
3 B.5
D. 3
,所以
������ sin >0, 2
所以 tan = 则 tan
2 2 2
=32,所以
AB=4 2.
则△ ABC 的面积为
.
2.(1)[2018· 全国卷Ⅱ] 在△ ABC
������ 5 中,cos = ,BC=1,AC=5,则 2 5
(2)由 b +c -a =8 得 2bccos A=8,可知 A
2 2 2
AB=(
)
为锐角,且 bccos A=4.由已知及正弦定 理得 sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C,因为 sin B≠0,sin C≠0,所以可得
=
1 +1 6 1 1- ×1 6
命题角度 利用恒等变换求值 (1)活用三角函数的定义; (2)注意两角和与差公式、二倍角公式的使用.
2.(1)[2018· 全国卷Ⅱ] 在△ ABC
������ 5 中,cos = ,BC=1,AC=5,则 2 5
高三数学二轮复习 2-8三角恒等变换、解三角形
3．(2017·北京高考)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为
始边，它们的终边关于 y 轴对称。若 sinα＝13，则 sinβ＝________。
答案
1 3
解析 解法一：当角 α 的终边在第一象限时，取角 α 终边上一点 P1(2 2， 1)，其关于 y 轴的对称点(－2 2，1)在角 β 的终边上，此时 sinβ＝13；当角 α 的
解法二：求△BDC 的面积同解法一。先在△BDC 中，由余弦定理，得 CD2 ＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠DBC＝22＋22－2×2×2×－14＝10，所以 CD＝
第7页
赢在微点 无微不至
考前顶层设计·数学文·二轮教案
2．(2017·江苏高考)若 tanα－π4＝16，则 tanα＝________。
答案
7 5
解析 tanα＝tanα－π4＋4π ＝1t－antaαn－α4π－＋π4ttaannπ4π4＝161＋ －116＝75。
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■方向 3 三角形的实际应用 【例 4】 某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25°方向，从 A 出发有一条 南偏东 35°走向的公路，在 C 处测得与 C 相距 31 km 的公路 B 处有一个人 正沿着此公路向 A 走去，走 20 km 到达 D，此时测得 CD 距离为 21 km， 若此人必须在 20 分钟内从 D 处到达 A 处，则此人的最小速度为( )
15 4
＝ 215。在△BDC 中，因为 BD＝BC，所以∠BDC＝∠BCD，所以∠BDC＝
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2013年高考数学预测新课标数学考点预测(08)：三角恒等变换
⎡ ⎣
3⎤ ⎦
三、名校试题
1（天津汉沽一中 2009 届高三月考文 8） ． f ( x ) = (sin x − cos x) 2 − 1 是（ A．最小正周期为 2π 的偶函数 C．最小正周期为 π 的偶函数 B．最小正周期为 2π 的奇函数 D．最小正周期为 π 的奇函数 ）
1 3 3 π 3 则 sin 2 A − ， sin(2 A − ) = ， cos 2 A = 2 2 2 3 2 π 又 A 为锐角，所以 A = ，所以△ABC 为等边三角形，面积为 3 ． 3 〖答案〗 3 ．
5（2008-2009 学年度广东六校第三次联考理 12） ．已知 sin α + cos α = 则 sin(α −
1 − cos 2 x 1 − sin 2x , 此时可得函数的最小正周期 2 2
2π =π ． 2 〖答案〗 π ．
T=
6（2008 年江苏卷 15） ．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以 ox 轴为始边做两个锐角 α , β ， 它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点，已知 A,B 的横坐标 分别为
∴sinα+cosα= 〖答案〗Ｃ． 2（2008 年高考海南卷 7）.
1 ． 2
3 − sin 700 =（ C ） 2 − cos 2 100
C. 2 D.
A.
1 2
B.
2 2
3 2
〖解析〗
三角恒等变换的概念与性质
三角恒等变换的概念与性质三角恒等变换是指在三角函数中，一些等式在特定条件下的变换规律。
本文将介绍三角恒等变换的概念和一些主要的性质。
一、三角恒等变换的概念三角恒等变换是指在三角函数中，一些等式在特定条件下的变换规律。
这些变换规律可以通过一些基本的三角函数关系推导得出，也可以通过一些几何图形的性质进行证明。
三角恒等变换有助于简化复杂的三角函数表达式，也可以方便地进行求解和计算。
二、三角恒等变换的主要性质1. 互补性：三角函数可以互相补充。
例如，sin(x) = cos(90° - x)，cos(x) = sin(90° - x)。
这个性质可以通过单位圆和直角三角形的性质进行证明。
2. 周期性：三角函数具有周期性。
例如，sin(x)的周期为2π，cos(x)的周期也为2π。
这个性质可以通过单位圆和三角函数的定义进行证明。
3. 奇偶性：三角函数可以是奇函数或偶函数。
例如，sin(x)是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，cos(x)是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
这个性质可以通过单位圆和三角函数的定义进行证明。
4. 三角函数的平方和恒等式：对于任意角度x，sin^2(x) + cos^2(x)= 1。
这个恒等式也被称为三角恒等式，其可以通过单位圆和三角函数的定义进行证明。
5. 三角函数的和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)，cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)。
这些和差公式可以通过单位圆和三角函数的定义进行证明。
三、三角恒等变换的应用三角恒等变换在数学和物理学中有着广泛的应用。
它们可以用于简化复杂的三角函数表达式，化简三角方程的求解过程，以及在求解物理问题中的应用。
例如，在几何学中，我们可以利用三角恒等变换将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，从而方便地计算不同角度下的三角函数值。
【2020年高考必备】全国版高考数学必刷题：第八单元 三角恒等变换与解三角形
第八单元三角恒等变换与解三角形考点一三角恒等变换1.(2017年江苏卷)若tan-=,则tanα=.【解析】tanα=tan-=--==.【答案】2.(2016年全国Ⅱ卷)若cos-α=,则sin2α=().A.B.C.- D.-【解析】因为cos-α=,所以sin2α=cos-2α=cos2-α=2cos2-α-1=2×-1=-.【答案】D3.(2015年全国Ⅰ卷)sin20°cos10°-cos160°sin10°=().A.-B.C.-D.【解析】sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=,故选D.【答案】D4.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)=.【解析】由题意知α+β=π+2kπ(k∈Z),∴β=π+2kπ-α(k∈Z),sinβ=sinα,cosβ=-cosα.又sinα=,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=2×-1=-.【答案】-考点二解三角形5.(2016年全国Ⅲ卷)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=().A. B. C.- D.-【解析】设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由题意得S△ABC=×a×a=ac sin B,∴c= a.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=a2+a2-2×a×a×=a2,∴b= a.∴cos A=-=-=-.【答案】C6.(2016年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.【解析】因为A,C为△ABC的内角,且cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,所以sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=×+×=.又a=1,所以由正弦定理得b===×=.【答案】7.(2017年山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin A cos C+cos A sin C,则下列等式成立的是().A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解析】∵等式右边=sin A cos C+(sin A cos C+cos A sin C)=sin A cos C+sin(A+C)=sin A cos C+sin B,等式左边=sin B+2sin B cos C,∴sin B+2sin B cos C=sin A cos C+sin B.由cos C>0,得sin A=2sin B.由正弦定理得a=2b.故选A.【答案】A8.(2017年浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.【解析】依题意作出图形,如图所示,sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则sin∠ABC=,cos∠ABC=.所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC=×2×2×=.因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-=-=,所以CD=.由余弦定理,得cos∠BDC==.【答案】9.(2016年江苏卷)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.【解析】在锐角三角形ABC中,∵sin A=2sin B sin C,∴sin(B+C)=2sin B sin C,∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C,等号两边同时除以cos B cos C,得tan B+tan C=2tan B tan C.∴tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-=-.①∵A,B,C均为锐角,∴tan B tan C-1>0,∴tan B tan C>1.由①得tan B tan C=-.又由tan B tan C>1,得->1,∴tan A>2.∴tan A tan B tan C=-=---=(tan A-2)+-+4≥2+4=8,当且仅当tan A-2=-,即tan A=4时取等号.故tan A tan B tan C的最小值为8.【答案】810.(2017年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=.故cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac,又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6,得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.所以b=2.11.(2017年全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.【解析】(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c cos,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为S=×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.12.(2017年全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.【解析】(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=.由正弦定理得sin C sin B=,故sin B sin C=.(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-,所以B+C=,故A=.由题意得bc sin A=,a=3,所以bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9.由bc=8,得b+c=.故△ABC的周长为3+.高频考点:两角和与差的正弦、余弦公式,正弦和余弦的倍角公式,解三角形.命题特点:1.两角和与差的正弦、余弦公式的考查是高考热点,要么单独命题,要么与三角函数的性质或解三角形相结合考查;倍角公式也是如此.2.对于三角恒等变换内容的考查通常以容易题和中档题为主.3.解三角形是高考的必考内容,一般出现在解答题的第17题.作为解答题考查难度不是很大,但作为选择题或填空题考查,有难有易.§8.1三角恒等变换一两角和与差的余弦、正弦、正切公式Cα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;Cα+β:cos(α+β)=;Sα-β:sin(α-β)=;Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;Tα-β:tan(α-β)=-;Tα+β:tan(α+β)=.二二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α==;tan2α=.三辅助角公式函数f(α)=a cosα+b sinα(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)其中或f(α)=cos(α-φ)其中.-cos105°sin75°的值为.函数f(x)=2sin x(sin x+cos x)的最小值为.=,则tan-=().若-A.-2B.2C.-D.若α+β=,求(1-tanα)(1-tanβ)的值.知识清单一、cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ-cosαsinβ二、2cos2α-11-2sin2α基础训练1.【解析】cos75°cos15°-cos105°sin75°=cos75°cos15°+sin15°sin75°=cos60°=.【答案】2.【解析】f(x)=2sin2x+2sin x cos x=2×+sin2x=sin2x-cos2x+1 =2sin-+1≥-1.【答案】-13.【解析】由-=,等式左边分子、分母同时除以cosα得-=,解得tanα=-3,则tan-=-=2.【答案】B4.【解析】∵-1=tan=tan(α+β)=,∴tanαtanβ-1=tanα+tanβ.∴1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2,即(1-tanα)(1-tanβ)=2.题型一三角函数式的化简、求值问题【例1】若tan cos=sin-m sin,则实数m的值为().A.2B.C.2D.3【解析】由tan cos=sin-m sin,得sin cos=cos sin-m sin cos,则m sin=sin-,解得m=2.【答案】A.【变式训练1】=.【解析】原式=-===-=-=-4.【答案】-4题型二角的变换【例2】已知tan(α-β)=,tanβ=-,则tan2α=.【解析】∵tanα=tan[(α-β)+β]=--=-=,∴tan2α===.【答案】在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,若角的范围是【变式训练2】已知α,β为锐角,cosα=,sin(α-β)=,则β的大小为.【解析】∵α,β为锐角,又sin(α-β)=,∴0<β<α<,∴cos(α-β)=.∵cosα=,∴sinα=,∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=,则β=.【答案】题型三三角变换的简单应用【例3】已知函数f(x)=2sin2+(sin2x-cos2x),x∈.(1)求f的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,求实数m的取值范围.【解析】因为f(x)=2sin2+(sin2x-cos2x),所以化简得f(x)=1-cos-cos2x=2sin-+1,x∈.(1)f=2sin-+1=2sin+1=3.(2)当2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)时,即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).因为x∈,所以f(x)的单调递增区间为,同理f(x)的单调递减区间为.(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,即m>f(x)-2或m<f(x)+2恒成立,则m>2sin--1或m<2sin-+3恒成立.因为x∈,所以2sin-∈[1,2].当m>2sin--1时,只需满足m大于2sin--1的最大值1,即m>1;当m<2sin-+3时,只需满足m小于2sin-+3的最小值4,即m<4.综上所述,实数m的取值范围是1<m<4.【变式训练3】已知函数f(x)=cos x-sin2x,x∈R.(1)求f(x)在上的最大值和最小值;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,且g=,g-=-,求的值.【解析】f(x)=cos x-sin2x=2sin x cos x+cos2x-sin2x=sin2x+cos2x=2sin.(1)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,∴≤sin≤1,则1≤f(x)≤2,∴f(x)max=2,f(x)min=1.(2)由(1)得g(x)=2sin2x,∴g=2sin(α+β)=,g-=2sin(α-β)=-,解得即-两式相除得=-.方法利用三角函数的“三变”进行化简求值“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.【突破训练】2sin50°cos10°+sin20°(1+tan10°)=().A.1B.C.D.2【解析】原式=2sin50°cos10°+sin10°cos10°·=2sin50°cos10°+2sin10°=2sin50°cos10°+2sin10°cos(60°-10°)=2sin50°cos10°+2sin10°cos50°=2sin60°=.【答案】C1.(2017江西师大附中三模)已知cosα-sinα=,则sin2α的值为().A.B.- C.D.-【解析】∵cosα-sinα=,∴1-sin2α=,∴sin2α=.【答案】C2.(2017衡水中学三模)已知sin=,则cos(π-2α)的值为().A.B.- C.D.-【解析】因为sin=-cosα,所以cosα=-.所以cos(π-2α)=-cos2α=-2cos2α+1=.【答案】A3.(2017泸州四诊)已知sin-=,则cos+2α=().A.-B.C.-D.【解析】sin-=sin-=cos=,则cos=cos2=2cos2-1=-.【答案】C4.(2017德阳二模)若α∈,且sin2α+cos2α=,则tan的值为().A.-3B.C.-2D.-3【解析】∵α∈,且sin2α+cos2α=,∴sin2α+cos2α-sin2α=,∴cos2α=,∴cosα=,∴tanα=,∴tan=-3.【答案】D5.(2017湖南考前演练)若tanαtanβ=3,且sinαsinβ=,则cos(α-β)的值为().A.-B.C.D.1【解析】由题意可知sinαsinβ=3cosαcosβ,因为sinα·sinβ=,所以cosαcosβ=,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=,故选C.【答案】C6.(2017九江一模)cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值为.【解析】cos275°+cos215°+cos75°cos15°=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+sin30°=.【答案】7.(2017广西二模)若θ∈,sin2θ=,则cosθ=.【解析】∵θ∈,∴2θ∈.∴cos2θ=-=-,则2cos2θ-1=-,∴cosθ=.【答案】8.(2017山东二模)已知cos-=,α∈,则=.【解析】∵cos-=,α∈,∴sin-=,即cosα-sinα=,∴=-=cosα-sinα=.【答案】9.(2017佛山二模)已知α,β为锐角,且tanα=,cos(α+β)=,则cos2β=().A.B.C.D.【解析】∵α,β∈,∴α+β∈(0,π).∵cos(α+β)=,∴sin(α+β)=.∵tanα=,∴sinα=,α=.∴cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα==.∴cos2β=2cos2β-1=2×-1=,故选C.【答案】C10.(2017湖南师大附中月考)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,且tan A,tan B,tan C,2tan B依次成等差数列,则sin2B=().A.1B.-C.D.±【解析】由题意得tan C=tan B,tan A=tan B,所以△ABC为锐角三角形.又tan A=-tan(C+B)=-=-=tan B,得tan B=2,所以sin2B=2sin B cos B===.【答案】C11.(2017淮北一中押题)已知α,β∈,cos(α+β)=,cos-=-,则sin=().A.B.-C.-D.【解析】因为α,β∈,则α+β∈,β-∈,所以sin(α+β)=-,sin-=,所以sin=sin--=sin(α+β)cos--cos(α+β)sin-=-×--×=-.【答案】B12.(2017长沙模拟)在锐角△ABC中,B>,sin=,cos-=,则sin(A+B)=.【解析】∵sin=,∴cos=±,∵cos=-<cos120°,∴A+>⇒A>(舍去),∴cos=.由cos-=得sin-=,∴sin(A+B)=sin-=sin cos-+cos sin-=×+×=.【答案】13.(2016株洲三模)已知tanα=,m sinαcosα=.(1)若cos-=,求cos的值;(2)设函数f(x)=cos+sin2x,求函数f(x)的单调递减区间.【解析】∵m sinαcosα===,tanα=,∴=,得m=2.(1)∵cos-=,∴cos=cos-=-cos-=-.(2)∵f(x)=cos+sin2x=cos2x+sin2x=sin,由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).§8.2解三角形一正弦定理和余弦定理1.正弦定理:===2R,其中R是三角形外接圆的半径.正弦定理可以变形为(1)a∶b∶c=;(2)a=,b=,c=;(3)sin A=,sin B=,sin C=.2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为cos A=-,cos B=-,cos C=-.二面积公式S△ABC=ab sin C=bc sin A=ac sin B==(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.在△ABC中,∠A=,AB=2,且△ABC的面积为,则边AC的长为().A.1B.C.2D.1在△ABC中,a2+b2-c2=3ab sin C,则tan C等于().A.B.C.D.在△ABC中,sin A=,a=8,b=6,则角B等于().A.60°B.150°C.60°或120°D.60°或150°知识清单一、1.(1)sin A∶sin B∶sin C(2)2R sin A2R sin B2R sin C2.b2+c2-2bc cos A a2+c2-2ac cos B a2+b2-2ab cos C基础训练1.【解析】∵S△ABC=AB·AC sin A,∴AC=,则AC=1.【答案】A2.【解析】a2+b2-c2=3ab sin C⇒-=cos C=sin C⇒tan C=.【答案】C3.【解析】由正弦定理得=,则sin B=.∵a<b,∴B=60°或B=120°.【答案】C题型一利用正弦定理求解三角形【例1】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2sin A=a cos B,b=,c=2,求sin C.【解析】∵2sin A=a cos B,=,b=,∴2sin B=cos B,即tan B=,∴sin B=.∵c=2,∴sin C==.【变式训练1】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2b-c)cos A=a cos C,求sin A.【解析】由(2b-c)cos A=a cos C,得2b cos A=c cos A+a cos C,即2sin B cos A=sin C cos A+sin A cos C,则2sin B cos A=sin(A+C)=sin B,所以cos A=,则sin A=.题型二利用余弦定理求解三角形【例2】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.(1)求角B的大小;(2)若b=,a+c=4,求ac的值.【解析】(1)由=-及正弦定理,得=-,∴ac+a2=b2-c2,∴a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=-=-=-.又B为△ABC的内角,∴B=.(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2ac cos B,得b2=(a+c)2-2ac-2ac cos B,∴13=16-2ac,∴ac=3.【变式训练2】在△ABC中,D是边AC的中点,且AB=AD=1,BD=.(1)求cos A的值;(2)求BC的长.【解析】(1)在△ABC中,AB=AD=1,BD=,∴cos A=-==.(2)由(1)知,cos A=,且0<A<π,∴sin A==.∵D是边AC的中点,∴AC=2AD=2.在△ABC中,cos A=-=-=,解得BC=.题型三正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】(2017孝义考前训练)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2ac sin B=a2+b2-c2.(1)求角C的大小;(2)若b sin(π-A)=a cos B,且b=,求△ABC的面积.【解析】(1)由2ac sin B=a2+b2-c2,得=-,∴=cos C,∴tan C=,∴C=.(2)由b sin(π-A)=a cos B,∴sin B sin A=sin A cos B,∴sin B=cos B,∴B=.由正弦定理=,可得=,解得c=1,∴S△ABC=bc sin A=××1×sin A=sin(π-B-C)=sin=.在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的思路是将角都化成边或将边都化成角,再结合正、余弦定理【变式训练3】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(1)若c=2,C=,且△ABC的面积为,求a,b的值;(2)若sin C+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.【解析】(1)∵c=2,C=,∴由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C得a2+b2-ab=4.∵△ABC的面积为,∴ab sin C=,∴ab=4.联立方程组-解得(2)由sin C+sin(B-A)=sin2A,得sin(A+B)+sin(B-A)=2sin A cos A,即2sin B cos A=2sin A cos A,∴cos A·(sin A-sin B)=0,∴cos A=0或sin A-sin B=0.当cos A=0时,∵0<A<π,∴A=,∴△ABC为直角三角形;当sin A-sin B=0时,得sin B=sin A,由正弦定理得a=b,即△ABC为等腰三角形.综上所述,△ABC为等腰三角形或直角三角形.方法数学建模——实际应用能力实际问题经抽象概括后,如果已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;如果已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.【突破训练】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30°,求塔高.【解析】如图所示,AB为塔高,CD=40,此时∠DBF=45°,过点B作BE⊥CD于点E,则∠AEB=30°.在△BCD中,CD=40(米),∠BCD=30°,∠DBC=135°,由正弦定理,得=,所以BD==20(米),∠BDE=180°-135°-30°=15°.在Rt△BED中,BE=BD sin15°=20×-=10(-1)(米).在Rt△ABE中,∠AEB=30°,所以AB=BE tan30°=(3-)(米).故所求的塔高为(3-)米.1.(2017衡水中学押题卷)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=16,则△ABC的面积为().A.2B.4C.6D.8【解析】由题意有b2+c2-a2=bc,∴cos A=-=,sin A==,则△ABC的面积为S=bc sin A=4.【答案】B2.(2017广丰二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a cos A=2b sin B,则sin A cos A+2cos2B等于().A.-1B.-C.D.2【解析】∵a cos A=2b sin B,∴sin A cos A=2sin B sin B,即sin A cos A-2sin2B=0,∴sin A cos A-2(1-cos2B)=0,∴sin A cos A+2cos2B=2.【答案】D3.(2016郑州一测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则cos B=().A.-B.C.-D.【解析】由正弦定理,得=,∴=,∴tan B=,又0<B<π,∴B=,∴cos B=.【答案】B4.(2017龙泉二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=,且a2-c2=2b,则b等于().A.1B.2C.3D.4【解析】由=得a cos C=3c cos A,则a·-=3c·-,整理得2(a2-c2)=b2.又a2-c2=2b,∴4b=b2,解得b=4或b=0(舍去).【答案】D5.(2017甘肃二诊)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件中,能使得△ABC的形状唯一确定的是().①a=1,b=2,c∈Z;②A=150°,a sin A+c sin C+a sin C=b sin B;③a=,b=2,A=30°;④C=60°,cos A sin B cos C+cos(B+C)cos B cos C=0.A.①③B.①②③C.①②D.②③④【解析】②中,由正弦定理可知a2+c2+ac=b2,∴cos B=-=-,此时A=150°,B=135°,三角形无解.④中,-cos(B+C)sin B cos C+cos(B+C)cos B cos C=0,∴cos(B+C)cos C(cos B-sin B)=0,则B=45°或B+C=90°,B=30°,三角形的解不唯一.排除②④两种说法,只有选项A符合题意.【答案】A6.(2017徐州质检)江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则这两条船相距m.【解析】如图,OA为炮台,M,N为两条船的位置,∠AMO=45°,∠ANO=60°,OM==30m,ON===10m.∴MN==10m.【答案】107.(2017重庆二诊)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C=.【解析】由余弦定理得,c2=a2+b2-2ab cos C,又ab sin C=-,,ab sin C=,tan C=,即C=30°.【答案】30°8.(2017娄底二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b=4,c=5,且B=2C,点D为边BC上的一点,且CD=3,则△ADC的面积为.【解析】由正弦定理得==,可得cos C=,△ADC=CD·AC sin C=×3×4×=6.【答案】69.(2017山西二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=().A.B.C.D.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=2b2(1-cos A),∴2b2(1-sin A)=2b2(1-cos A),∴sin A=cos A,即tan A=1,又0<A<π,∴A=.【答案】C10.(2017广安二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=,则cos B的值为().A.B.C.- D.-【解析】由正弦定理可得==,结合已知=,故有sin B=2sin cos=sin,解得cos=.因为0<B<π,可得0<<,所以=,解得B=,所以cos B=cos=-,故选C.【答案】C11.(2017重庆月考)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1,AC=2,BD=2,∠ACD=60°,则AD=().A.2B.C.D.13-6【解析】由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos60°,解得BC=,则AC2=AB2+BC2,故BC⊥AB,又AB∥CD,所以BC⊥CD.在Rt△BCD中,CD=-==3.在△ACD中,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD cos60°=7,所以AD=.【答案】B12.(2017马鞍山三模)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(c+b)(sin C-sin B)=a(sin A-sin B).若c=2,则a2+b2的取值范围是.【解析】由正弦定理得(c+b)(c-b)=a(a-b)⇒c2-b2=a2-ab,所以cos C=-=,解得C=,则===4,-所以a=4sin A,b=4sin-,所以a2+b2=16sin2A+16sin2--=16×+16×=16-8-=16-8cos.因为△ABC是锐角三角形,所以A∈,所以2A+∈,所以cos∈--,所以a2+b2=16-8cos∈(20,24].【答案】(20,24]13.(2017漳州质检)如图所示,已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b≠c,且b cos B=c cos C,延长线段BC到点D,使得BC=4CD=4,∠CAD=30°.(1)求证:∠BAC是直角.(2)求tan∠ADC的值.【解析】(1)因为b cos B=c cos C,由正弦定理,得sin B cos B=sin C cos C,所以sin2B=sin2C,又b≠c,所以2B=π-2C,所以B+C=,所以A=90°,即∠BAC是直角.(2)设∠ADC=α,CD=1,BC=4,在△ABC中,因为∠BAC=90°,∠ACB=30°+α,所以cos(30°+α)=,所以AC=4cos(30°+α).在△ADC中,=,即==2,所以AC=2sinα,所以2cos(30°+α)=sinα,即2-=sinα,整理得cosα=2sinα,所以tanα=,即tan∠ADC=.。
高考数学真题08 三角恒等变换问题(教师版)
专题08 三角恒等变换问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos(α＋π4)sin β，则( )A ．tan(α－β)＝1B ．tan(α＋β)＝1C ．tan(α－β)＝－1D ．tan(α＋β)＝－11．答案 C 解析 由已知得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，即sin αcos β ＋cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0．所以tan(α－β)＝－1．故选C ． 2．(2022·浙江)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝__________，cos2β＝__________．2．答案31010 45 解析 α＋β＝π2，∴sin β＝cos α，即3sin α－cos α＝10，即10(31010sin α－1010cos α) ＝10，令sin θ＝1010，cos θ＝31010，则10sin(α－θ)＝10，∴α－θ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即α＝θ＋π2＋2k π，∴sin α＝sin(θ＋π2＋2k π)＝cos θ＝31010，则cos2β＝2cos 2β－1＝2sin 2α－1＝45．故答案为31010与45．【知识总结】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1⇒sin α＝±1－cos 2α. (2)商的关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2(k ∈Z ). 2．三角函数的诱导公式3．三角恒等变换 (1) 和角差角公式：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.(2)二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(3)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba .【同类问题】 题型一 给角求值 1．tan 105°等于( )A ．2－3B ．－2－3C ．3－2D ．－31．答案 B 解析 tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°·tan 45°＝3＋11－3＝(3＋1)2(1－3)(1＋3)＝4＋23－2＝－2－3．2．sin 10°1－3tan 10°等于( ) A ．1 B ．14 C ．12 D ．322．答案 B 解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14．3．化简tan 27.5°＋1tan 27.5°－7sin 27.5°＋cos 27.5°等于( )A ．33 B ．233C ． 3D ．2 3．答案 B 解析 原式＝tan 27.5°＋1tan 27.5°－8sin 27.5°＋1＝sin 27.5°＋cos 27.5°sin 27.5°－8sin 27.5°cos 27.5°＋cos 27.5°＝11－2sin 215°＝ 1cos 30°＝233． 4．sin 40°(tan 10°－3)等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－14．答案 D 解析 sin 40°·(tan 10°－3)＝sin 40°·⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－3＝sin 40°·sin 10°－3cos 10°cos 10°＝sin 40°·2⎝⎛⎭⎫12sin 10°－32cos 10°cos 10°＝sin 40°·2(cos 60°·sin 10°－sin 60°·cos 10°)cos 10°＝sin 40°·2sin (10°－60°)cos 10°＝sin40°·－2sin 50°cos 10°＝－2sin 40°·cos 40°cos 10°＝－sin 80°cos 10°＝－1．5．cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ ．5．答案 －18解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18．6．cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( ) A ．1 B ．3 C ． 2 D ．2 6．答案 C 解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2．7．tan 67.5°－1tan 67.5°的值为( )A ．1B ．2C ．2D ．47．答案 C 解析 tan 67.5°－1tan 67.5°＝sin 67.5°cos 67.5°－1sin 67.5°cos 67.5°＝sin 67.5°cos 67.5°－cos 67.5°sin 67.5°＝sin 267.5°－cos 267.5°sin 67.5°cos 67.5°＝－cos 135°12sin 135°＝2．8．求值：3－tan 12°(2cos 212°－1)sin 12°＝ ． 8．答案 8 解析 原式＝3－sin 12°cos 12°cos 24°sin 12°＝3cos 12°－sin 12°cos 24°sin 12°cos 12°＝2sin (60°－12°)14sin 48°＝2sin 48°14sin 48°＝8．9．已知m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则1－2cos 2153°m n等于( )A ．－14B ．－12C ．14D ．129．答案 B 解析 因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，因此 1－2cos 2153°m n ＝－cos 306°2sin 18°·2cos 18°＝－cos 54°2sin 36°＝－sin 36°2sin 36°＝－12． 10．(多选)下列各式中，值为12的是( )A ．cos 2π12－sin 2π12 B ．tan 22.5°1－tan 222.5°C ．2sin 195°cos 195°D ．1＋cosπ6210．答案 BC 解析 cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＝cos π6＝32，故A 错误；tan 22.5°1－tan 222.5°＝12·2tan 22.5°1－tan 222.5＝ 12tan 45°＝12，故B 正确；2sin 195°cos 195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，故C 正确；1＋cosπ62＝2＋34＝2＋32≠12，故D 错误． 题型二 给值求值11．(2021·全国乙)cos 2π12－cos 25π12等于( )A ．12B ．33C ．22D ．3211．答案 D 解析 因为cos 5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－5π12＝sin π12，所以cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π12 ＝cos π6＝32．12．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )A ．53 B ．23 C ．13 D ．5912．答案 A 解析 由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53． 13．(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A ．15 B ．55 C ．33 D ．25513．答案 B 解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55． 14．(2021·全国甲)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( ) A ．1515 B ．55 C ．53 D ．15314．答案 A 解析 方法一 因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝ cos α2－sin α，解得sin α＝14．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515． 方法二 因为tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2sin αcos α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515． 15．若cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )A ．29B ．－29C ．79D ．－7915．答案 C 解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13．∴cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝1 －2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1－29＝79． 16．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6等于( ) A ．23 B ．29 C ．－19 D ．－7916．答案 D 解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＋3cos α＝13，∴sin αcos π3－cos αsin π3＋3cos α＝13，∴12sin α－32cos α ＋3cos α＝13，∴12sin α＋32cos α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π6＋π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79． 17．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．－3 B ．13 C ．－13D ．317．答案 C 解析 由cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)得sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝ tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－21－1×(－2)＝－13． 18．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ ． 18．答案 －5665 解析 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4，因为sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝1213，所以cos(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665． 19．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ ． 19．答案 4－3310 解析 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即 sin 2θ＝45．因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310．20．设α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________．20．答案 －1665 解析 因为tan α2＝12，所以sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tanα21＋tan 2α2＝45，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2＝35∈⎝⎛⎭⎫12，22．又α∈(0，π)，所以a ∈⎝⎛⎭⎫π4，π3，又β∈(0，π)，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π4，4π3．又sin(α＋β)＝513∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫56π，π，所以cos(α＋β)＝－1213，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665．题型三 给值求角与多选题21．已知A ，B 均为钝角，且sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，sin B ＝1010，则A ＋B 等于( ) A ．3π4 B ．5π4 C ．7π4 D ．7π621．答案 C 解析 因为sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－ 32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55，因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255．由sin B ＝1010，且B 为钝角，得cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－⎝⎛⎭⎫10102＝－31010．所以cos(A＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22．又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，所以A ＋B ＝7π4．22．已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos 2α＝ ，2α－β＝ ．22．答案 17 π3 解析 因为cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17．又因为α，β均为锐角，sin β＝3314，所以sin α＝217，cos β＝1314，因此sin 2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝437×1314－17×3314＝32．因为α为锐角，所以0<2α<π．又cos 2α>0，所以0<2α<π2，又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3．23．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ．23．答案 －3π4 解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，且α∈(0，π)，∴0<α<π2．又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2．∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴π2<β<π，∴－π<2α－β<0．∵tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1，∴2α－β＝－3π4．24．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A ．3π4 B ．π4或3π4 C ．π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z )24．答案 C 解析 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α ＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4．25．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝ ．25．答案 －3π4 解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a 1－3a ＋1＝1．又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β<0，tan α·tan β>0，所以tan α<0且tan β<0，所以－π2<α<0且－π2<β<0，即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π4．26．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ． 26．答案 [－1，1] 解析 由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4．∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．27．已知x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，则x －y 的最大值为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π4 D ．π827．答案 B 解析 由sin(x ＋y )＝2sin(x －y )得sin x cos y ＋cos x sin y ＝2sin x cos y －2cos x sin y ，则tan x ＝3tan y ，所以tan(x －y )＝tan x －tan y 1＋tan x tan y ＝2tan y 1＋3tan 2y＝21tan y＋3tan y ≤33，当且仅当tan y ＝33时等号成立，由于f (x )＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，又x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则x －y 的最大值为π6． 28．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( ) A ．cos(－15°)＝6－24B ．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D ．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝1228．答案 BCD 解析 对于A ，方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24． 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，A 错误．对于B ，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确．对于C ，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12，C 正确．对于D ，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12，D 正确．29．(多选)已知cos(α＋β)＝－55，cos 2α＝－513，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( ) A ．sin 2α＝1213 B ．cos(α－β)＝19565 C ．cos αcos β＝8565 D ．tan αtan β＝11829．答案 AC 解析 因为cos(α＋β)＝－55，cos 2α＝－513，其中α，β为锐角，所以sin 2α＝1－cos 22α ＝1213，故A 正确；因为sin(α＋β)＝255，所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－513×⎝⎛⎭⎫－55＋1213×255＝29565，故B 错误；cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝12⎝⎛⎭⎫－55＋29565＝8565，故C 正确；sin αsin β＝12[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝12⎣⎡⎦⎤29565－⎝⎛⎭⎫－55＝21565，所以tan αtan β＝218，故D 错误．30．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)B ．315sin x ＋35cos x ＝35sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6C ．f (x )＝sin x 2＋cos x2的最大值为2D ．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝130．答案 AD 解析 对于A ，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A 正确；对于B ，315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故B 错误；对于C ，f (x )＝sin x 2＋cos x2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，所以f (x )的最大值为2，故C 错误；对于D ，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确．。
三角恒等变换末复习与总结
三角函数的恒等式
01
两角和与差的三角函数恒等式
sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ，cos(α+β) = cosαcosβ -
sinαsinβ等。
02
倍角与半角公式
sin2α = 2sinαcosα，cos2α = cos²α - sin²α等。
03
辅助角公式
sinα = 2tan(α/2) / (1+tan²(α/2))，cosα = (1-tan²(α/2)) /
三角恒等变换在解三角形中的应用的总结与复习
三角恒等变换在解三角形中的应用
三角恒等变换在解三角形中有着广泛的应用，例如在解三角形面积、解三角形周长等问题中，可以利 用三角恒等变换将问题转化为更容易求解的问题。
解三角形问题的类型及解决方法
解三角形问题可以分为直接求解和间接求解两类。直接求解适用于已知三角形三边长的情况，而间接 求解适用于已知三角形两边长和夹角的情况。在解决解三角形问题时，需要注意三角形三边长的关系 以及角度的范围。
(1+tan²(α/2))等。
三角恒等变换的基本方法
同角三角函数的基本关系式
sin²α + cos²α = 1，tanα = sinα / cosα等。
反三角函数公式
arcsin(x) = 2tan(x / 2) / (1+tan²(x / 2))，arccos(x) = π-arcsin(x)等。
利用余弦定理和三角恒等变换，求出第三边的长度。
解三角形的实际应用
01
02
03
航海问题
利用解三角形的方法，确 定船只的位置和航向。
测量问题
通过解三角形的方法，确 定不可直接测量的距离、 高度等。
三角恒等变换 - 最全的总结· 学生版
12.（特殊值化特殊角处理） ＝_______
13、(tan 45°＝tan(20°＋25°)+多项式展开)若α＝20°，β＝25°，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值为_______
14、（合理组合，多项式乘法展开）(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为_______
（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子
1、（二倍角公式）（2007重庆文）下列各式中，值为 的是（）
A． B． C． D．
2、（二倍角公式+平方差公式）(2008六校联考) 的值是
A. B. C. D.
8、（互余两角正余弦互换）【四川雅安中学2014－2015学年上期9月试题，理11】若 _______.
9、（互补两角余弦互为相反数） ，则 ___________
10.（两角整体相减）若 ， 则 ．
11、（两角整体相减）【2015重庆高一期末】若 且 ，则 ；
12.（两角整体相减）【2015江苏高考，8】已知 ， ，则 的值为______
13、（两角整体相减）（中山市2014届高三上学期期末考试）已知 , ,则
14、（两角相减）【2015湖南浏阳高一期末】已知 ，则β=。
答案：BDACB 6、 7、 8、 9、- 10、 11、 12、3 13、 14、
（3）弦切互化：1）、分子分母同时除以cos 2）注意分母还原sin2 + cos2 =1，然后分子分母同时除以cos2 ，即可化为正切3）注意期间学会使用解方程的思想4）遇到部分Asinα+ Bcosα之类求正切的，注意先两边平方后再进行相切互化
三角恒等变换
三角恒等变换三角恒等变换是解决三角函数运算中的重要工具，它允许我们在不改变三角函数值的情况下，将一个三角函数表达式转化为与之等价的另一个表达式。
在解决三角函数相关问题时，灵活应用恒等变换可以简化计算过程，提高解题效率。
本文将介绍三角恒等变换的基本概念、常见公式及其应用。
一、基本概念三角恒等变换是指通过等式变换将一个三角函数表达式转化为与之等价的另一个表达式的过程。
在进行三角恒等变换时，我们必须保持变换后的表达式与原表达式的数值相等，即变换不改变函数值。
根据不同的需要，我们可以通过将一个三角函数表示为同种或者不同种类的三角函数，或是将三角函数表达式化简为代数表达式来实现恒等变换。
二、常见恒等变换公式1. 余弦函数和正弦函数的平方和差恒等式：cos^2(x) + sin^2(x) = 1cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)sin(2x) = 2sin(x)cos(x)2. 正切函数和余切函数的平方差恒等式：tan^2(x) + 1 = sec^2(x)cot^2(x) + 1 = csc^2(x)3. 倍角公式：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)sin(2x) = 2sin(x)cos(x)4. 半角公式：cos(x/2) = ±sqrt((1 + cos(x)) / 2)sin(x/2) = ±sqrt((1 - cos(x)) / 2)tan(x/2) = ±sqrt((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))5. 和差化积公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)以上仅列举了部分常用的三角恒等变换公式，这些公式可以帮助我们转化和简化三角函数表达式。
人教B版(2019)数学必修第三册 8_2_4三角恒等变换的应用课件
2
，
则AB＝Rsin α，OA＝Rcos α.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，
∴S＝2Rcos α·Rsin α＝R2·2sin αcos α＝R2sin 2α.
∵α∈
0,
2
，∴2α∈(0，π)．
因此，当2α＝
2
，即α＝ 时，Smax＝R2.
4
2
这时点A，D到点O的距离为 R，
2sincos
=
2sin2cos2−2sin22 2sin2cos2+2sin22
2sincos
2
2
2
4sin 2 cos 2−sin 2
=
=
1+cos
.
sin
cos2
sin2
=
sin
2sin22
=
2cos22
2sin2cos2
1+cos
sin
=右边
∴原式成立
，则sin
2
2
等于( A )
4
5
D.
2 5
5
3
,
4
>0
sin
2
=
1−cos
2
=
5
5
3．已知2π＜θ＜4π，且sin
2
−3
tan 的值等于________．
sin
2sin
cos
2
2
2
tan =
=
2
人教B版高中数学必修第三册课件 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 第2课时 积化和差与和差化积公式
C=4sin sin cos .
2
2
2
证明:左边
-
+
+
+
-
+
+
=sin(B+C)+2sin ·cos =2sin cos
+2sin cos =2cos
2
2
2
2
2
2
2
+
sin 2
+
-
sin 2
故原等式成立.
=4sin2 sin 2 cos2 =右边,
·
1.证明三角恒等式就是借助于三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、
用积化和差公式化简三角函数式时,若三角函数式中存在三个或三个以上
的三角函数可供化和时,应选择两角和或差是特殊角或与其他三角函数有
公因式的两个三角函数进行积化和差.
【变式训练 2】
cos +cos (120°+)+cos (120°-)
化简:
.
sin +sin (120°+)-sin (120°-)
(2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°.
解:(1)sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin
2sin18 °cos18 °cos36 ° 2sin36 °cos36 °
18°=2×
=
=
2cos18 °
2cos18 °
sin72 °
cos18 °
1
=
=
.
2cos18 ° 2cos18 ° 2
=-2sin θ
湘教版必修第二册三角恒等变换思维导图
湘教版必修第二册三角恒等变换思维导图
三角函数恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来。
由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”。
三角函数恒等变换在整个高中数学应用广泛，在掌握三角函数恒等变换之前，要在脑中有张“全局图”，是十分有必要的。
三角函数的基本关系式的总结。
所谓的平方关系，就是本质是勾股定理在三角函数里的另外表现。
三角函数的商关系，无非就是直角三角形各个边的比例关系。
三角函数的倒数关系，也是同样道理。
我们也可以用图四的关系图，更加直观理解他们的关系。
上图为三角函数恒等变换的思维导图。
8三角恒等变换
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sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
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cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
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反思与感悟 ： (1)给值(式)求值的策略
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式． ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差 的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论， 以免产生增解或漏解．
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辅助角公式：
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sin 2α＝2sin αcos α；
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新教材高中数学第八章 8.2三角恒等变换8.2.3倍角公式8.2.4三角恒等变换的应用教案新人教B版第三册
8.2.3 倍角公式 8.2.4 三角恒等变换的应用(教师独具内容)课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能运用相关三角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式)．教学重点：1.二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用.2.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.【知识导学】知识点一 二倍角公式S 2α：sin2α＝□012sin αcos α. C 2α：cos2α＝□02cos 2α－sin 2α＝□032cos 2α－1＝□041－2sin 2α. T 2α：tan2α＝□052tan α1－tan 2α. 知识点二 半角公式sin α2＝□01± 1－cos α2； cos α2＝□02± 1＋cos α2； tan α2＝□03± 1－cos α1＋cos α＝□04sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点三 积化和差公式cos αcos β＝12[□01cos(α＋β)＋□02cos(α－β)]， sin αsin β＝－12[□03cos(α＋β)－□04cos(α－β)]． sin αcos β＝12[□05sin(α＋β)＋□06sin(α－β)]， cos αsin β＝12[□07sin(α＋β)－□08sin(α－β)]． 知识点四 和差化积公式cos x ＋cos y ＝□012cos x ＋y2cosx －y2，cos x －cos y ＝□02－2sin x ＋y2sinx －y2，sin x ＋sin y ＝□032sin x ＋y2cos x －y2， sin x －sin y ＝□042cos x ＋y 2sinx －y2.【新知拓展】1．倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．前提：所含各三角函数有意义．2．确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则 (1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求α2所在范围，然后再根据α2所在范围选用符号．(3)如给出的角α是某一象限角时，则根据下表决定符号：αα2sin α2 cos α2tan α2第一象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第二象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第三象限 第二、四象限 ＋、－ －、＋ － 第四象限第二、四象限＋、－－、＋－(4)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos2α＝2cos α都不成立．( )(4)若角α是第一象限角，则sin α2＝1－cos α2.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．做一做(1)sin15°sin75°的值为( ) A.12 B.14 C.32D.34(2)若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±33(3)已知cos α＝13，则cos2α等于________．(4)tan22.5°＝________.答案 (1)B (2)A (3)－79(4)2－1题型一 利用倍角公式化简求值 例1 (1)计算：①cos4α2－sin4α2＝________；②12－cos 2π8＝________； (2)化简：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________；(3)化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.[解析] (1)①cos 4α2－sin4α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos2α2－sin2α2·⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2＋sin 2α2＝cos α.②原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(2)原式＝2cos 10°－60°2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. (3)原式＝cos2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αsin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αcos2α＝1.[答案] (1)①cos α ②－24(2) 2 (3)1 金版点睛倍角公式转化的策略(1)探究角之间的“倍、半”关系，是恰好运用倍角公式的前提． (2)注意角之间的“互补、互余”关系，能有效地进行角之间的互化． (3)分析题设条件中所给式的结构特征，是有效进行三角变换的关键．提醒：在化简求值时要关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[跟踪训练1] 求下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12；(2)2tan15°1－tan 215°. 解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. (2)2tan15°1－tan 215°＝tan30°＝33. 题型二 半角公式的应用例2 已知sin φcos φ＝60169，且π4<φ<π2，求sin φ，cos φ的值．[解] ∵sin φcos φ＝60169，∴sin2φ＝120169，又∵π4<φ<π2，∴π2<2φ<π，sin φ>0，cos φ>0，∴cos2φ<0，∴cos2φ＝－1－sin 22φ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫1201692＝－119169，∴sin φ＝1－cos2φ2＝ 1＋1191692＝1213，cos φ＝ 1＋cos2φ2＝ 1－1191692＝513. 金版点睛利用半角公式化简的基本思路(1)降次．一般运用公式cos 2α2＝1＋cos α2，sin2α2＝1－cos α2化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数．(2)统一函数名称．化多种三角函数为单一的三角函数． (3)统一角．化多角为单一角，减少角的种类．(4)弦切互化．一般地，若要化简的式子中含有正切，则需要将正切化为正余弦；有时候也需要将弦化为切，要视已知条件或式子结构而定．[跟踪训练2] 已知cos α＝－35，180°<α<270°，求sin α2，cos α2，tan α2.解 ∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°，即角α2是第二象限的角．∴sin α2>0，cos α2<0，tan α2<0， ∴sin α2＝ 1－cos α2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－352＝－55， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351－35＝－2. 题型三 证明三角恒等式 例3 证明下列等式：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos2A cos2B .[证明] 左边＝1＋cos 2A ＋2B 2－1－cos 2A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos2A cos2B －sin2A sin2B ＋cos2A cos2B ＋sin2A sin2B )＝cos2A cos2B ＝右边，所以原等式成立． 金版点睛证明的原则及一般步骤(1)化繁为简，观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)变异为同，证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．[跟踪训练3] 证明：sin x ＋cos x －1sin x －cos x ＋1sin2x ＝tan x2.证明 左边＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋1－2sin 2x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1＋2sin 2x 2＋1sin2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 24sin x 2cos x2cos x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2＋sin x 2sin x 2cos x2cos x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2·si n x 2cos x2·cos x＝cos x ·si nx2cos x2·cos x＝tan x2＝右边，所以原等式成立.题型四 运用公式研究函数性质例4 已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求： (1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin x cos x ＋1＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋2＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋ 2.函数f (x )取得最大值时自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (2)由(1)，得f (x )＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由题意，得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增，因此函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )． 金版点睛利用公式研究三角函数性质的思路要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和(差)角公式和二倍角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而依据y ＝sin x 或y ＝cos x 的性质对所求函数进行性质研究．[跟踪训练4] 已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 所以当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.1．已知cos α＝－35，则cos2α等于( )A.725B．－725C.2425D．－2425答案 B解析cos2α＝2cos2α－1＝－725.2．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan2α的值为______．答案4 3解析由角α的终边经过点P(1，－2)，则tanα＝－2，由倍角公式得tan2α＝2tanα1－tan2α＝43.3．函数y＝sin2x的最小正周期为__________．答案π解析因为y＝sin2x＝1－cos2x2＝－12cos2x＋12，所以T＝2π2＝π.4．化简1＋sin98°＝__________.答案2cos4°解析1＋sin98°＝sin49°＋cos49°2＝|sin49°＋cos49°|＝sin49°＋cos49°＝2sin(49°＋45°)＝2sin94°＝2cos4°.5．已知cosα8＝－45，8π<α<12π，求sinα4，cosα4，tanα4.解∵8π<α<12π，∴π<α8<3π2，∴sinα8＝－1－cos2α8＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫－452＝－35，∴sinα4＝2sinα8cosα8＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－35×⎝⎛⎭⎪⎫－45＝2425，cosα4＝2cos2α8－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－452－1＝725，∴tanα4＝sinα4cosα4＝247.。
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三角恒等变换
基础知识梳理
1.两角和与差的三角函数:
()=+βαsin ； ()=-βαsin ；()=+βαcos ； ()=-βαcos ；tan(α+β)＝ ； tan(α－β)＝ .
2.二倍角公式： sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ；tan2α＝ .
3.升幂公式：=+α2cos
1 =-α2cos 1 降幂公式=2cos
2α =2sin 2α =2tan 2α 变形公式：
（1）()sin cos sin a x b x
x ϕ+=+，
sin cos ϕϕ=
=其中 （2）(sin α±cos α)2＝1±sin2α；（3）tan tan(tan tan ααβα⋅=+。
课前练习1．若tan α=21，则tan （α+4
π）=____________. 2．设当x
θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______. 3. ︒
︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值是（ ） A.21 B.23 C.3 D.2
典型例题
考点1 两角和与差的三角函数
【典例1】 （1）21tan(),tan(),54α
βαβ+=-=求tan 2α的值；
（2）已知3312,,,sin(),sin(),45413ππαβ
παββ⎛⎫∈+=--= ⎪⎝⎭求cos()4πα+的值
【变式1】（1）004cos50tan 40-= ( )
1
（2）tan11tan19︒+︒︒=
【典例2】已知2tan tan 560x
x αβ-+=，是方程的两个实根根，求()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值.
【变式2】已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα
，，求cos ）的值（βα+。
考点2 二倍角公式
【典例3】 化简下列各式： ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，，
【变式3】若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,4712
17534cos 2-+<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ。
考点3 三角恒等式的证明
【典例4】已知tan(α+β)=2tan β,求证:3sin α=sin(α+2β).
考点4 三角函数的求值或求角问题
【典例5】(1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19
，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17
，求2α－β的值．
【变式2】已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2
， (1)求tan 2α的值；
(2)求β.
考点4 综合应用
【典例5】已知函数
2()sin 22sin f x x x =- （1）求函数
()f x 的最小正周期. (2) 求函数
()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合.
【变式5】已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭
⎫x －π4. (1) 若tan α＝2，求f (α)的值；
(2)若x ∈⎣⎡
⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．
2．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.
(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；
(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α
的值．
当堂检测
1.已知x ∈（－
2π，0），cos x =54，则tan 2x 等于（ ） A.247 B.－247 C.724 D.－7
24 2.
若cos 2π2sin()4
αα=--，则cos sin αα+的值为 3.设32)2sin(,91)2cos(=--=-βαβα，且2
0,2πβπαπ<<<<，则)cos(βα+的值为____
4、设θ为第二象限角,若1tan()42πθ
+=,则sin cos θθ+=________.
5
、函数
2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________.
6
、将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 56π
7
、已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·
f x =a b . (1) 求f (x)的最小正周期.
(2) 求f (x) 在0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.
/8
、已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=+
+- ⎪+⎝⎭∈R . (1) 求f (x )的最小正周期;
(2) 求f (x )在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.。