结构力学：第十章 矩阵位移法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
号规定:使杆的j 端绕 i 端 作顺时针转时为正值。
Δij
(v
e j
vie )
由两端固定等截面直 杆的转角位移方程有
M
e i
4i i e
2i
e j
6i
(v
5. 正负号规定（强调）
杆端位移和杆端力的正负号： 凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值， 反之为负值。 力矩和转角以逆时针方向为正，反之为负。
作用在结点上的外力和结点位移的正负号： 与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正，
反之为负。 以逆时针转的结点力矩和结点转角为正值,反之为负
值。
§10-1 概述
矩阵位移法基本思想:
5
6
6
•化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件，杆件称作单元。
2 3
3
5
4
单元的连接点称作结点。
1
4
对单元和结点编码.
•单元分析
1
基本未知量:结点位移
2
单元杆端力
单元杆端位移
•集零为整 ------ 整体分析
e
结点外力
单元杆端力
结点外力
单元杆端位移
(杆端位移=结点位移)
超静定结构分析： 力法，位移法，力矩分配法。
电算：大型、复杂问题，要Leabharlann Baidu方法具有系统性、 通用性。
结构力学中的电算方法 —结构矩阵分析方法 (杆件有限元法)
结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、 以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手 段大规模的计算方法。
§10-1 概述
二、结构矩阵分析方法特点与分类：
平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此对 应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应，但 实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有
FN 1 1
e
FN 2 杆端力向量
2
{Fe} FNi 0 FNj 0 T (10-3)
u1
1
v1
e
u2
2
杆端位移向量
v2
{δe} ui
vi
uj
vj
T
(10-4)
6
5（13,14,15） 6（16,17,18）
2 3
3（7,8,9）
1
5
4（10,11,12）
4
坐标系:整体(结构)坐标系; 局部(单元)坐标系.
Y
1
2
（1,2,3） （4,5,6）
X
曲杆结构:以直代曲.
变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆
§10-1 概述
3. 杆端位移和杆端力
不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结 点都有3个独立的位移（2个独立线位移、1个角位 移），每一个铰结点则有2个独立线位移。
轴力单元——只受轴力作用的单元（桁架）。
单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单元 也就全部确定了。
构造结点:杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突变 点。
非构造结点:一根等截面直杆内的单元与单元之间的结 点。
§10-1 概述
2. 坐标系
结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量——结 点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。
当杆端轴向位移为
u
e i
、u
e j
时，Δlij
u
e j
uie ，由胡克
定律得杆件轴向变形的刚度方程为
Fxei
EA l
(u
e j
uie )
EA l
uie
EA l
u
e j
Fxej
EA l
(u
e j
uie )
EA l
uie
EA l
u
e j
（a）
§10-2 单元刚度矩阵
杆端横向位移△ij正负
平面刚架单元的杆力列向量为
{Fe} FNi FSi Mi FNj FSj M j T
平面刚架单元的杆端位移列向量为
(10-1)
{δe} (ui vi i u j v j j )T
(10-2）
注意：杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有 几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。
§10-1 概述
用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程
整体 分析
由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵
用矩阵形式表示位 移法基本方程
§10-1 概述
四、基本概念
1. 结点和单元
单元——最基本的分析部件，最简单的单元是等截面直 杆。
梁单元——受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单元 （梁、刚架）。
第十章 矩阵位移法
§10-1 概述 §10-2 单元刚度矩阵 §10-3 单元刚度矩阵的坐标转换 §10-4 结构的原始刚度矩阵 §10-5 支承条件的引入 §10-6 非结点荷载的处理 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 §10-8 几点补充说明
§10-1 概述
一、手算与电算比较：
手算：小型、简单问题，讲究技巧。
其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对 应的关系。
§10-1 概述
4. 结点力和结点位移
作用于结点上的所有的力的合力, 沿坐标轴方向 分解为三个分量, 构成该结点的结点力向量。
与结点力向量对应的是结点位移向量，是矩阵 位移法的基本未知量。
注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的。
§10-1 概述
结点外力
结点位移
§10-2 单元刚度矩阵
1. 建立单元杆端力与杆端位移之间的关系
截面直杆单元e , 其杆端位移列向量与杆端力列向
量分别为
{δ
e
}
uie
vie
{F
e}
Fxei
T
ie
u
e j
v
e j
e j
Fyei
M
e i
Fxej
Fyej
M
e j
T
§10-2 单元刚度矩阵
在线性小位移范 围内，忽略轴向受力 状态与弯曲向受力状 态之间的影响。
对于杆系结构，矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。
理论基础：位移法 ；分析工具：矩阵 ； 计算手段：计算机
§10-1 概述
三、矩阵位移法的思路 ：
1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端 位移的关系。
2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移
的关系。 任务
意义
单元 分析
建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵
单元局部坐标系固定在单元上， 轴x 与杆轴重合,自 轴x逆 时针旋转900时的方向为 轴正y 向。用于描述单元的杆端力
和杆端位移等。
2
3
2
3
1
4
1
4
2
3
§10-1 概述
离散化
将结构离散成单元的分割点称作结点.
结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等
整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。
(1) 公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。
(2) 各种情况可统一处理，通用性强。
(3) 计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。
矩阵力法(或称柔度法)——以力作为基本未知量。 矩阵位移法(或称刚度法）——采用结点位移作为基 本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种 杆系结构受力、变形等计算的方法。
Δij
(v
e j
vie )
由两端固定等截面直 杆的转角位移方程有
M
e i
4i i e
2i
e j
6i
(v
5. 正负号规定（强调）
杆端位移和杆端力的正负号： 凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值， 反之为负值。 力矩和转角以逆时针方向为正，反之为负。
作用在结点上的外力和结点位移的正负号： 与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正，
反之为负。 以逆时针转的结点力矩和结点转角为正值,反之为负
值。
§10-1 概述
矩阵位移法基本思想:
5
6
6
•化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件，杆件称作单元。
2 3
3
5
4
单元的连接点称作结点。
1
4
对单元和结点编码.
•单元分析
1
基本未知量:结点位移
2
单元杆端力
单元杆端位移
•集零为整 ------ 整体分析
e
结点外力
单元杆端力
结点外力
单元杆端位移
(杆端位移=结点位移)
超静定结构分析： 力法，位移法，力矩分配法。
电算：大型、复杂问题，要Leabharlann Baidu方法具有系统性、 通用性。
结构力学中的电算方法 —结构矩阵分析方法 (杆件有限元法)
结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、 以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手 段大规模的计算方法。
§10-1 概述
二、结构矩阵分析方法特点与分类：
平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此对 应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应，但 实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有
FN 1 1
e
FN 2 杆端力向量
2
{Fe} FNi 0 FNj 0 T (10-3)
u1
1
v1
e
u2
2
杆端位移向量
v2
{δe} ui
vi
uj
vj
T
(10-4)
6
5（13,14,15） 6（16,17,18）
2 3
3（7,8,9）
1
5
4（10,11,12）
4
坐标系:整体(结构)坐标系; 局部(单元)坐标系.
Y
1
2
（1,2,3） （4,5,6）
X
曲杆结构:以直代曲.
变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆
§10-1 概述
3. 杆端位移和杆端力
不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结 点都有3个独立的位移（2个独立线位移、1个角位 移），每一个铰结点则有2个独立线位移。
轴力单元——只受轴力作用的单元（桁架）。
单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单元 也就全部确定了。
构造结点:杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突变 点。
非构造结点:一根等截面直杆内的单元与单元之间的结 点。
§10-1 概述
2. 坐标系
结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量——结 点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。
当杆端轴向位移为
u
e i
、u
e j
时，Δlij
u
e j
uie ，由胡克
定律得杆件轴向变形的刚度方程为
Fxei
EA l
(u
e j
uie )
EA l
uie
EA l
u
e j
Fxej
EA l
(u
e j
uie )
EA l
uie
EA l
u
e j
（a）
§10-2 单元刚度矩阵
杆端横向位移△ij正负
平面刚架单元的杆力列向量为
{Fe} FNi FSi Mi FNj FSj M j T
平面刚架单元的杆端位移列向量为
(10-1)
{δe} (ui vi i u j v j j )T
(10-2）
注意：杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有 几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。
§10-1 概述
用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程
整体 分析
由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵
用矩阵形式表示位 移法基本方程
§10-1 概述
四、基本概念
1. 结点和单元
单元——最基本的分析部件，最简单的单元是等截面直 杆。
梁单元——受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单元 （梁、刚架）。
第十章 矩阵位移法
§10-1 概述 §10-2 单元刚度矩阵 §10-3 单元刚度矩阵的坐标转换 §10-4 结构的原始刚度矩阵 §10-5 支承条件的引入 §10-6 非结点荷载的处理 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 §10-8 几点补充说明
§10-1 概述
一、手算与电算比较：
手算：小型、简单问题，讲究技巧。
其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对 应的关系。
§10-1 概述
4. 结点力和结点位移
作用于结点上的所有的力的合力, 沿坐标轴方向 分解为三个分量, 构成该结点的结点力向量。
与结点力向量对应的是结点位移向量，是矩阵 位移法的基本未知量。
注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的。
§10-1 概述
结点外力
结点位移
§10-2 单元刚度矩阵
1. 建立单元杆端力与杆端位移之间的关系
截面直杆单元e , 其杆端位移列向量与杆端力列向
量分别为
{δ
e
}
uie
vie
{F
e}
Fxei
T
ie
u
e j
v
e j
e j
Fyei
M
e i
Fxej
Fyej
M
e j
T
§10-2 单元刚度矩阵
在线性小位移范 围内，忽略轴向受力 状态与弯曲向受力状 态之间的影响。
对于杆系结构，矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。
理论基础：位移法 ；分析工具：矩阵 ； 计算手段：计算机
§10-1 概述
三、矩阵位移法的思路 ：
1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端 位移的关系。
2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移
的关系。 任务
意义
单元 分析
建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵
单元局部坐标系固定在单元上， 轴x 与杆轴重合,自 轴x逆 时针旋转900时的方向为 轴正y 向。用于描述单元的杆端力
和杆端位移等。
2
3
2
3
1
4
1
4
2
3
§10-1 概述
离散化
将结构离散成单元的分割点称作结点.
结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等
整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。
(1) 公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。
(2) 各种情况可统一处理，通用性强。
(3) 计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。
矩阵力法(或称柔度法)——以力作为基本未知量。 矩阵位移法(或称刚度法）——采用结点位移作为基 本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种 杆系结构受力、变形等计算的方法。