2019新版高中数学北师大版必修2习题：第二章解析几何初步 2.1.1

02第二章

解析几何初步

§1直线与直线的方程

1.1直线的倾斜角和斜率

1.若直线l的倾斜角α=135°,则其斜率k等于()

A.√2

2B.√3

2

C.-1

D.1

答案:C

2.给出下列命题:

①任何一条直线都有唯一的倾斜角;

②一条直线的倾斜角可以是-30°;

③倾斜角是0°的直线只有一条.

其中正确命题的个数是()

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:由直线的倾斜角的定义知①正确,②错误,③倾斜角是0°的直线有无数条且它们与x轴平行或为x轴.

答案:B

3.若直线l经过第二、第四象限,则直线l的倾斜角α的范围是()

A.0°≤α≤90°

B.90°≤α≤180°

C.90°<α<180°

D.0°≤α<180°

解析:作出l的图像如图所示,由图像易知,应选C.

答案:C

4.已知M(1,√3),N(√3,3),若直线l的倾斜角是直线MN倾斜角的一半,则直线l的斜率为()

A.√3

B.√3

3C.1 D.√3

2

5.已知点A (0,-k ),B (2,3),C (2k ,-1)共线,则k 的值为

( ) A.-1

B.1

C.2

D.-2 答案:A

★6.已知点A (2,3),点B (-3,-2),若直线l 过点P (1,1),且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是

( )

A.k ≥34

B.34≤k ≤2

C.k ≥2或k ≤34

D.k ≤2

如图所示,直线PA 的斜率是k'=3-12-1=2,直线PB 的斜率k ″=-2-1-3-1=34,结合图形,可得直线l 的斜率k 的取值范围是k ≥2或k ≤34.故选C .

答案:C

7.若过点P (3,a )和点Q (a ,-6)的直线的倾斜角α为45°,则a 的值是 .

解析:利用斜率公式列方程求解,k=-6-a a -3=1,解得a=-32

. 答案:-32

8.已知直线l 经过A (2,1),B (1,m 2)(m ∈R )两点,则直线l 的斜率的取值范围是 . 解析:由于直线l 经过点A (2,1),B (1,m 2)(m ∈R ),根据两点的斜率公式可知,k AB =m 2-11-2=1-m 2,

因为m ∈R ,m 2≥0,所以-m 2≤0,即1-m 2≤1,则有k AB ≤1,

所以直线l 的斜率的取值范围是(-∞,1].

答案:(-∞,1]

9.如果直线l 过点(1,2),且不通过第四象限,那么直线l 的斜率的取值范围是 .

10.如图所示,已知A (3,2),B (-4,1),C (0,-1),求直线AB ,BC ,CA 的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

解直线AB 的斜率k AB =1-2-4-3=17;

直线BC 的斜率k BC =-1-10-(-4)=-24=-12;

直线CA 的斜率k CA =-1-20-3=-3-3=1.

由k AB >0及k CA >0知,直线AB ,CA 的倾斜角均为锐角;由k BC <0知,直线BC 的倾斜角为钝角.

11.已知点A (1,2),在坐标轴上求一点P ,使直线PA 的倾斜角为60°.

解(1)设直线PA 的斜率为k ,当点P 在x 轴上时,设点P (a ,0). ∵A (1,2),

∴k=0-2a -1=-2

a -1.

又直线PA 的倾斜角为60°, ∴tan 60°=-2a -1,解得a=1-

2√33. ∴点P 的坐标为(1-2√33

,0). (2)当点P 在y 轴上时,设点P (0,b ),

同理可得b=2-√3,

∴点P 的坐标为(0,2-√3).

综合(1)(2),得点P 的坐标为(1-2√33

,0)或(0,2-√3). ★12.已知实数x ,y 满足y=x 2-2x+2(-1≤x ≤1),试求

y+3x+2的最大值和最小值. 分析利用y+3x+2的几何意义,连接定点(-2,-3)与动点(x ,y )的直线的斜率,借助数形结合,将求最值问题转化为求斜率取值范围问题,简化运算过程.

解如图所示,由y+3x+2的几何意义可知,它表示经过定点P (-2,-3)与曲线段AB 上任一点(x ,y )的直线的斜率k.易知k PA ≤k ≤k PB .

由已知可得A (1,1),B (-1,5). 由斜率公式得k PA =43,k PB =8,即43

≤k ≤8. 故y+3x+2的最大值为8,最小值为43.