人教B版必修四向量的正交分解与向量的直角坐标运算
数学人教B版必修4课堂导学：2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算 含解析 精品
课堂导学三点剖析一、向量a =的坐标如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y,使得a=x i +y j . 我们把(x,y)叫做向量a 的(直角)坐标,记作a=(x,y).(*)其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,*式叫做向量的坐标表示.由相等向量的定义可以得到任意与a 相等的向量的坐标也为(x,y).特别地,i =(1,0),j =(0,1),0=(0,0). 【例1】 在直角坐标系xOy 中,向量a 、b 、c 的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.思路分析：利用任意角的三角函数定义,若a =(a 1,a 2),a 的方向相对于x 轴正向的转角为θ,则有⎩⎨⎧==.sin ||,cos ||21θθa a a a 解:设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),c =(c 1,c 2), 则a 1=|a |cos45°=2×22=2, a 2=|a |sin45°=2×22=2, b 1=|b |cos120°=3×(-21)=23-, b 2=|b |sin120°=3×23323=, c 1=|c |cos(-30°)=4×3223=, c 2=|c |sin(-30°)=4×(-21)=-2, 因此a=(2,2),b=(233,23-),c=(32,-2).各个击破 类题演练 1已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |=34，∠xOA=60°,求向量OA 的坐标. 思路分析:要求向量的坐标，就是要求在x 、y 轴上的坐标，为此可通过三角函数求解.解:设点A 的坐标为（x,y),则x=|OA |·cos60°=34×3221=, y=||sin60°=34×23=6,即A （32，6）. ∴OA =（32，6）.变式提升 1如图,正方形ABCD 中,P 是对角线BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量证明PA=EF.思路分析:用向量的坐标法证明,只要写出PA 与EF 的坐标,利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系,考虑到四边形ABCD,故可以D 点为坐标原点,以DC 、AD 边所在直线分别为x 、y 轴,建立坐标系.证明:建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为a,|DP |=λ(λ>0),则A(0,a),P(22λ,22λ),E(a,22λ),F(22λ,0), ∴PA =(22-λ,a -22λ),=(22λ-a,22-λ).∵||2=λ2-2aλ+a 2,||2=λ2-2aλ+a 2, ∴|PA |2=|EF |2,故PA =EF .二、向量的直角坐标运算(1)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2),即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.(2)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2),即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.(3)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则=(x 2-x 1,y 2-y 1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(4)若a =(a 1,a 2),λ∈R ,则λa =(λa 1,λa 2),即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.【例2】 已知点A(-1,2),B(2,8)及=31AB ,DA =-31BA ,求点C 、D 和的坐标. 思路分析：根据题意可设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),然后利用AC =31AB 和DA =-31BA 相等关系可得关于x 1、y 1及x 2、y 2的方程组,可得C 、D 点坐标及坐标.解:设C 、D 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),由题意可得=(x 1+1,y 1-2),=(3,6),=(-1-x 2,2-y 2),=(-3,-6),∵=31AB ,DA =-31BA , ∴(x 1+1,y 1-2)=31(3,6),(-1-x 2,2-y 2)=-31(-3,-6),也就是(x 1+1,y 1-2)=(1,2),(-1-x 2,2-y 2)=(1,2).∴⎩⎨⎧=-=--⎩⎨⎧=-=+.22,11,22,112211y x y x ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.0,2,4,02211y x y x ∴C 、D 的坐标分别为(0,4)、(-2,0). 因此CD =(-2,-4).类题演练 2(1)设向量a 、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a +b ,a -b ,3a ,2a +3b 的坐标. (2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1,-3)、(-2,4)、(0,5),求3a -b +c 的坐标. 解:(1)a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3), a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7), 3a =3(-1,2)=(-3,6),2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11). (2)3a -b +c =3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(5,-8). 变式提升 2用坐标法证明++=0.思路分析:先设出点A 、B 、C 的坐标，然后根据向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，求出、和的坐标，再运用坐标运算证明等式. 证明:设A （a 1,a 2)、B （b 1,b 2)、C(c 1,c 2),则AB =(b 1-a 1,b 2-a 2),BC =(c 1-b 1,c 2-b 2),CA =(a 1-c 1,a 2-c 2),∴++=(b 1-a 1,b 2-a 2)+(c 1-b 1,c 2-b 2)+(a 1-c 1,a 2-c 2)=(b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1,b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2)=(0,0). ∴++=0.温馨提示这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无须考虑三个点A 、B 、C 是否共线.这个结论的更一般形式：几个向量首尾顺次相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量. 三、向量坐标运算的应用向量的坐标运算是几何与代数的统一,几何图形中的法则是代数运算的几何含义,坐标运算是图形关系的精确表示,二者的法则互为补充.因此,向量的坐标运算是数与形的有机结合,为我们解决科学问题又提供了一个崭新的方法.【例3】 已知A （1，-2），B （2，1），C （3，2），D （-2，3），以AB ，AC 为一组基底表示++.思路分析:求解时，首先由点A 、B 、C 、D 的坐标求得向量，，，，的坐标.然后根据平面向量基本定理设++=m +n .最后列出关于m ，n 的方程组求解.解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1）. 设++=m +n ,∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),即(-12,8)=(m+2n,3m+4n). ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+-=+.22,32.843,122n m n m n m 解得++=32-22. 温馨提示(1)本题主要练习向量的坐标表示，向量的坐标运算，平面向量基本定理以及待定系数法等知识.(2)要加强向量的坐标与该向量起点坐标、终点坐标的关系的理解，增强坐标运算的灵活运用能力. 类题演练 3已知向量a =(x+3,x-3y-4)与AB 相等，若A （1，2），B （3，2），求x 、y 的值. 解:AB =OB -OA =（3，2）-（1，2）=（2，0）. ∵a =，∴⎩⎨⎧=--=+.043,23y x x故x=-1,y=35-.温馨提示由于向量之间的关系与这些向量的对应坐标之间的关系是一致的，解向量问题，通常都要把向量之间的关系转化为关于坐标的方程（组）. 变式提升 3 如图,在ABCD 中,M 、N 分别为DC 、BC 的中点,已知=c ,=d ,试用c 、d 表示和.思路分析:直接用c 、d 表示、比较困难,利用“正难则反”的原则,可先用、表示c 、d ,再来解关于、的方程组.解:设=a ,=b ,则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得=21b ,=21a . +=,即b +21a =c .①AB +=,即a +21b =d .②由①②可得a =32(2d -c),b =32(2c -d ),即=32(2d-c ),=32(2c -d).。
(人教B)高二数学必修4课件：2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算
明目标、知重点
例2 已知a＝(－2，3)，b＝(3，1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示 c. 解 设c＝xa＋yb， 则(10，－4)＝x(－2，3)＋y(3，1) ∴＝(－102＝x＋－32yx，＋33xy＋，y)，
∴10＝3λ－2μ， －5＝2λ＋2μ，
λ＝1， 解得μ＝－72，
∴a＝b－72c.
明目标、知重点
例 3 已知 A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，若C→M＝2C→A＋3C→B， 求点 M 的坐标. 解 由A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，得 C→A＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， C→B＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)， ∴C→M＝2C→A＋3C→B＝2(－1，－8)＋3(－4，－1) ＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).
A.－4，12
B.4，－12
C.(－8，1)
D.(8，1)
解析 ∵A→B＝O→B－O→A＝(－8，1)，
∴12A→B＝－4，12.
明目标、知重点
3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，
1234
B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C＝2A→D，则顶点 D 的坐标为( A )
明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一 对有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标 来表示？
明目标、知重点
探究点一 平面向量的坐标表示 思考1 如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b 垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内 所有向量的一组基底？ 答 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一 组基底.
人教B版高中数学必修四课件2.2.2《向量的正交分解与向量的直角坐标运算》
a-b=（2，1）-（-3，4）=（2-（-3），1-4） =（5，-3）；
3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（6+（-12），3+16） =（-6，19）
练习：
1. a (1,5) b (1,2) c (0,3) 求：2a 3b 7c
2. a (2,4) b (3,5) c (6,3)
求：1 a b 1 c
2
3
变式 :
3.已知 a (1,2) b (2,3) ，实数 x, y 满足等式 xa yb (3,4) ，求 x, y
小结:
1.向量正交分解
即= a a1+e1 a2 e2
2.平面向量的坐标表示
a a1 e1 a2 e2
a
e2
（a1，a2 ）叫做向量a的坐标
O e1
x
平面向量的坐标表示： a =( a1 , a2 )
那么 e1= (1 , 0) e2 = (0, 1) 0 = (0,0)
已知 A（ a1，a2）， B（ b1 ，b2 ）
求：AB 的坐标
y
AB (b1 a1)e1 (b2 a2 )e2
B
a
A
(b1 a1,b2 a2)
e2
O e1
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点 的坐标减去始点的坐标．
例1：已知A、B两点坐标，求：OA，OB， AB坐标和长度(用坐标表示向量)
(1)A(3,5)
高中数学人教B版必修四2.2.1- 2.2.2《平面向量基本定理 向量的正交分解与向量的直角坐标运算》ppt课件
课堂互动讲练
考点突破 用基底表示向量 两个非零向量只要不共线，就能构成基底， 而一个平面的基底，一旦确定，平面上任意 一个向量都可以由这组基底唯一地表示出 来．
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例1 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，A→B＝a，A→D＝b， 试用基底{a，b}表示M→C，M→A，M→B和M→D.
示)，对直线 l 上_任___意___一点 P，存在唯一的实数 t 满
足向量等式O→P＝___(1_－__t_)O_→_A_＋__tO_→_B_____，反之，对每一
个实数 t，在直线 l 上都有__唯___一__的一个点 P 与之对
应．向量等式O→P＝__(_1_－__t)_O→_A__＋__tO→_B____叫做直线 l 的向
证明：如图所示，设 E′是线段 BA 上的一点，且 BE′＝14BA，只要证明 E、E′重合即可． 设O→A＝a，O→B＝b， 则B→D＝13a，O→D＝b＋13a. ∵B→E′＝O→E′－b， E′→A＝a－O→E′，BE→′＝13E′→A，
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【思路点拨】 (1)先计算出A→B，A→C再进行向量的 线性运算； (2)直接利用向量的坐标运算．
【解】 (1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)． ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
2019版数学人教B版必修4课件：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 .pdf
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M Z Z 2.2.2 向量的正交分解
与向量的直角坐标运算
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
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归纳总结 1.两个向量的坐标相同时,这两个向量相等,但是它们 的起点和终点的坐标却不一定相同,如A(3,5),B(6,8),C(-5,3),D(-2,6), 则 ������������=(3,3),������������=(3,3),显然������������ = ������������, 但A,B,C,D各点的坐标却不相 同.
(x,y).
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【做一做1】 已知a=(2 016,-2 017),且a=xe1+ye2,{e1,e2}为正交
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与向量的直角坐标运算
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1.向量的坐标 (1)若两个向量的基线互相垂直,则称这两个向量互相垂直. (2)若基底的两个基向量e1,e2互相垂直,则称这个基底为正交基底. 在正交基底下分解向量,叫做正交分解. (3)在平面直角坐标系xOy内,分别取与x轴和y轴方向相同的两个 单位向量e1,e2,则对任一向量a,存在唯一的有序实数对(a1,a2),使得 a=a1e1+a2e2,(a1,a2)就是向量a在基底{e1,e2}下的坐标,即a=(a1,a2). 其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量,a2叫做a在y轴上的坐标分量. (4)向量的坐标:设点A的坐标为(x,y),则 ������������ =xe1+ye2=(x,y).(x,y) 在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又 可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y),或向量
高中数学人教B版必修4 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
向量中含参数问题的求解 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横 或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随 之改变． (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出 满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到 解题的目的．
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()
A．(5,3) 答案：C
B．(4,3)
C．(8,3) D．(0，－1)
3．若向量 AB＝(1,2)， BC ＝(3,4)，则 AC ＝
()
A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2)
答案：A 4．若点 M(3,5)，点 N(2,1)，用坐标表示向量 MN ＝______.
作一向量 a(用有向线段 AB表示)，由平面 向量基本定理可知，存在唯一的有序实数 对(a1，a2)，使得 a＝ a1e1＋a2e2 ，(a1， a2)就是向量 a 在基底{e1，e2}下的坐标，即 a＝(a1，a2) ，其 中 a1 叫做向量 a 在 x 轴上的坐标分量，a2 叫做 a 在 y 轴 上的坐标分量．
2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
预习课本 P99～102，思考并完成以下问题 (1)两个向量垂直如何定义？
(2)一个向量如何正交ห้องสมุดไป่ตู้解？
(3)向量的直角坐标定义是什么？ (4)如何由 a，b 的坐标求 a＋b，a－b，λa 的坐标？
[新知初探]
1．两个向量的垂直与正交分解
如果两个向量的 基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直． 如果基底的两个基向量 e1，e2 互相垂直 ，则称这个基底为正 交基底．在正交基底下 分解向量，叫做正交分解．
人教B版高中数学必修4课件 2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件(人教B版)
第二单元 · 平面向量
2.2.2向量的正交分解 与向量的直角坐标运算
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新课导入 向量正交分解的概念 1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直 2.如果基底的两个基向量? ?1 ，? ?2互相垂直，则称这个基底 为正交基底 3.在正交基底下分解向量，叫做正交分解
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探求新知
向量的直角坐标运算
设? ?=(? ?1 , ? ?2 ) ，? ?=(? ?1 , ? ?2 )
? ?+? ? = ? ?1 ? ?1 +? ?2 ? ?2 + ? ?1 ? ?1 +? ?2 ? ?2
= ? ?1 +? ?1 ? ?1+ (? ?2 +? ?2 )? ?2
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探求新知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中a1叫做向量? ?在x轴上的坐标分量 ，a2 叫做向量? ?在y轴上的坐标分量。
练习：
0 = 0，0
? ?1 = 1,0 ? ?2 = (0,1)
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探求新知
设向量? ?=(? ?1 , ? ?2 )，? ?的方向相当于x
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牛刀小试 在直角坐标系xOy中，已知点A（? ?1 ，? ?1），点B（? ?2 ，? ?2），
求线段AB中点的坐标
解：设点M（x，y）是线段AB的中点，则 1
? ? ? ? = 2 (? ? ? ?+? ? ? ? )
上式换用向量的坐标，得
? ?2 )]
人教B版高中数学必修四2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算教学课件
请阅读教材P99－100页回答下列问题？
2.向量的坐标是如何确定的？ a=xi+yj
y
我们把（x,y)叫做向量a
yj
→
j
→a 的（直角）坐标，记作 a=(x，y),
O →i
xi x 其中x叫做a axiyj 在x轴上的坐 标，y叫做a在y轴上的坐标，
例3 已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为（－2，1）、 （－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标
例4 已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1， 3）、（3，4），求顶点D的坐标
例6 已知A(-2,1),B(1,3),求线段AB中点M和三等分点P，Q 的坐标。
c
d=2i-3j=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
平面向量的坐标运算
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
y B
Q P A
O
1 M(1,2)P ,11(2 231,5)Q ,(0,7)
2
33
57
M( ,2)P ,(1, )Q ,(0, )
2
33
x
练习
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且 知道AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB 坐标。
练习 教材第103页B组
小结
人教B版高一数学必修四向量的正交分解与向量的直角坐标运算
o i
a ( x, y) ①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在 y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标. 单位向量 i =（1，0），j =（0，1）x1 , y1) , B(x2 , y2)
AB=(x2
- x1 , y 2 – y1 )
课本第 103 页 习题 A-B组 能力培养
欢迎你的提问！
y B D A O C
BD BA BC (2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) (3, 1)
x
而 OD OB BD (1,3) (3, 1) (2, 2)
3. . 向量的直角坐标的运算
1) 加、减法法 则a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1)
a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1)
2)实数与向量积的运算法则： λa =λ(x,y )=(λx ,λy )
(1,2) (3 x,4 y )
1 3 x 2 4 y x 2 y 2
x
顶点D的坐标为（ 2， 2）
例5 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为
（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
高中数学 2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐运算 新人教B版必修4
2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐运算
（一）教学目标
1．知识与技能：
(1)掌握平面向量的坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减与
数乘向量运算;
( 2 )会用坐标表示平面向量共线条件.
2.过程与方法：(1)通过在直角坐标系中求向量的坐标,让学生体会向量正交分解的
几何意义;
(2)通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用;
3.情感、态度与价值观：通过本节学习,培养学生的理性与探索精神.
（二）教学重点、难点
教学重点是向量的直角坐标运算与用平面向量坐标表示向量共线条件;
教学难点是应用向量直角坐标运算的法则解决具体问题
（三）教学方法
本节内容是在学习了平面向量的基本定理和向量的正交分解的基础上,进一步学习向量的直角坐标运算,以及用平面向量坐标表示向量共线条件,教学中引导学生联系已有知识，类比平面直角坐标系，通过探究平面向量的坐标表示，体现数形结合思想。
（四）教学过程。
数学必修Ⅳ人教新课标B版2-2-2向量的正交分解与向量直角坐标运算课件(46张)
x2＝cos 120°＝－12， y2＝sin 120°＝ 23， 所以D－12， 23. 所以A→B＝ 23，12，A→D＝－12， 23.
求点、向量坐标的常用方法： (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向 量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标. (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐 标减去始点坐标即得该向量的坐标.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同.( )
【解析】 (1)错误.对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样. (2)正确.根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终 点坐标. (3)错误.根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关. (4)错误.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
＝(1,3)，所以yx－＋52＝＝31，， 解得xy＝ ＝－ 8，1，
所以点B的坐标为(－1,8).
(2)如题干图，O→C＝－O→A＝－(－1，－1)＝(1,1)，
由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以O→B＝(1，－1)，
同理O→D＝(－1,1).
【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1) (3)由题意知B, D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点.设 B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义， 得x1＝cos 30°＝ 23，y1＝sin 30°＝12， 所以B 23，12.
人教版数学高一B版必修4向量的正交分解与向量的直角坐标运算
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1．向量的坐标
自主思考1 点的坐标和向量的坐标有何区别？
提示：(1)平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标相等．
(2)相等的向量的坐标是相同的，但始点和终点的坐标却不一定相同．
2．向量的直角坐标运算
自主思考2 两个向量相等，则它们的起点和终点是否一定相同？
提示：两个向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如，A(3,5)，B(6,8)，C(－5,3)，D(－2,6)，则AB＝(3,3)，CD＝(3,3)，显然AB＝CD，
但A，B，C，D各点的坐标却不相同．。
人教版数学高一B版必修4学案向量的正交分解与向量的直角坐标运算
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算不同．1．向量的坐标(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．(2)如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．(3)在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1，e 2，则对任一向量a ，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a ＝(a 1，a 2)．其中a 1叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在y 轴上的坐标分量.(4)向量的坐标：设点A 的坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )．符号(x ，y )在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x ，y )，或向量(x ，y )．名师点拨同一个向量不论怎样平移，其坐标都是唯一的．这一结论告诉我们，当一个向量在原来位置不容易解决问题时，可以通过平移到合适的位置再进行处理，这样可以使得问题得以转化．与坐标轴平行的向量的坐标有何特点？答：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即b ＝(0，y )；与y 轴平行的向量的横坐标为0. 【自主测试1】已知{e 1，e 2}为正交基底，且e 1，e 2为单位向量，a 在此基底下的坐标为(2 011，－2 012)，且a ＝x e 1＋y e 2，则x ＝__________，y ＝__________.答案：2 011 －2 012 2．向量的直角坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2)，即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；若λ∈R ，则λa ＝(λa 1，λa 2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．归纳总结(1)在同一直角坐标系中，两向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如A (3,5)，B (6,8)，C (－5,3)，D (－2,6)，则AB →＝(3,3)，CD →＝(3,3)，显然AB →＝CD →，但A ，B ，C ，D 各点的坐标却不相同．(2)在平面直角坐标系中，给出了向量的坐标，将向量的运算代数化，同时也给出一种用向量运算解决问题的方法——向量坐标法．【自主测试2－1】已知a ＝(1，－1)，b ＝(3,0)，则3a －2b 等于( ) A ．(5,3) B ．(4，－1) C ．(－2，－1) D ．(－3，－3) 答案：D【自主测试2－2】已知向量ON ＝(9，－7)(O 为原点)，则点N 的坐标为( ) A ．(9，－7) B ．(9,7)C ．(－9,7)D ．(－9，－7) 答案：A对平面向量的坐标表示的理解剖析：(1)在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为(x ，y )．(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(3)在同一直角坐标系中，向量确定后，向量的坐标就被确定了，相等的向量，其坐标的表示必然相同．(4)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示．有了向量坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决．题型一 求向量的坐标【例题1】已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为线段AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．分析：表示出各点的坐标→用终点坐标减去始点坐标→得相应向量的坐标 解：如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32， 则AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32. 反思(1)向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．〖互动探究〗本例中，在原条件的基础上，加上“E 为线段AB 的中点，G 为三角形ABC的重心”，求向量CE →，AG →，BG →，GD →的坐标．解：CE →＝(0，－3)，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，33，GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36.题型二 平面向量的坐标运算【例题2】已知a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与MN →相等，其中M (－1,3)，N (1,3)，求x 的值．分析：先用坐标表示出向量MN →，然后根据两向量相等的充要条件列出关于x 的关系式．解：∵M (－1,3)，N (1,3)，∴MN →＝(2,0)．又∵a ＝MN →，∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1. 故x 的值为－1.反思向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行．若已知表示向量的有向线段的两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【例题3】已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，以AB ，AC 为一组基底来表示AD ＋BD ＋CD .分析：首先由点A ，B ，C 的坐标求得向量AB ，AC ，AD ，BD ，CD 等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式AD ＋BD ＋CD ＝mAB →＋nAC →，再列出关于m ，n 的方程组，进而解方程求出m ，n 的值．解：AB ＝(1,3)，AC ＝(2,4)，AD ＝(－3,5)，BD ＝(－4,2)，CD ＝(－5,1)， ∴AD ＋BD ＋CD ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m ，n ，使得AD ＋BD ＋CD ＝mAB →＋nAC →，即(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)，也就是(－12,8)＝(m ＋2n,3m ＋4n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝－12，3m ＋4n ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，n ＝－22.∴AD ＋BD ＋CD ＝32AB →－22AC →.反思本题是平面向量基本定理与坐标运算相结合的题目，求解过程体现了方程的思想和待定系数法的特点，尤其要注意区分点的坐标与向量的坐标．题型三 用向量法证明几何问题【例题4】如图所示，正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，四边形PECF 是矩形，用向量方法证明PA ＝EF .分析：本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标法来解决，为此只要写出PA 和EF 的坐标，证明其模相等即可．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a ，则A (0，a )．设|D P →|＝λ(λ＞0)，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，22λ，∴EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－a ，－22λ，PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ，a －22λ.∵|EF |2＝λ2－2aλ＋a 2，|PA |2＝λ2－2aλ＋a 2， ∴|EF |＝|PA |，即PA ＝EF .反思直接证明几何命题有时较复杂，但合理建立坐标系，利用向量的坐标运算将几何中的边或角进行转换，往往能起到事半功倍的效果．题型四 易错辨析【例题5】已知A (3,5)，B (－2，－3)，将线段AB 向左平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段A ′B ′，则向量A ′B ′→的坐标为__________．错解：∵A (3,5)，B (－2，－3)，∴AB ＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)，再根据平移，得A ′B ′→＝(－5－6，－8＋1)＝(－11，－7)．错因分析：向量是自由向量，向量的平移不会改变其坐标，但会影响其始点和终点的坐标．正解：∵A (3,5)，B (－2，－3)，∴AB ＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)．又∵A ′B ′→＝AB ，∴A ′B ′→＝(－5，－8)．1．已知a ＝(－1,2)，b ＝(1，－2)，则a ＋b 与a －b 的坐标分别为( ) A ．(0,0)，(－2,4) B ．(0,0)，(2，－4)C ．(－2,4)，(2，－4)D ．(1，－1)，(－3,3) 答案：A2．已知AB ＝(x ，y )，点B 的坐标为(－2,1)，则OA 的坐标为( ) A ．(x －2，y ＋1) B ．(x ＋2，y －1) C ．(－2－x,1－y ) D ．(x ＋2，y ＋1) 解析：∵AB ＝OB －OA ，∴OA ＝OB －AB ＝(－2－x ，1－y )． 答案：C3．已知a ＝(－7,24)，|λa |＝50，则λ等于__________．解析：∵|λa |＝|λ||a |＝－72＋242|λ|＝50，∴|λ|＝2，∴λ＝±2. 答案：±24．已知A (3，－1)，则OA 所在的直线与x 轴所夹的锐角为__________．解析：易知点A 在第四象限，如图，作AH ⊥x 轴于点H ，则在Rt △AHO 中，AH ＝1，HO＝3，则tan ∠HOA ＝33，故∠HOA ＝30°.答案：30°5．若作用在坐标原点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则作用在原点的合力F 1＋F 2＋F 3的坐标为__________．答案：(8,0)6．在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求出下列位移向量的坐标(如图所示)．(1)向量a 表示沿东北方向移动了2个单位长度；(2)向量b 表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度； (3)向量c 表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度．解：如题图所示，设OP →＝a ，OQ →＝b ，OR →＝c ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)． x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别为e 1，e 2.(1)因为∠POP ′＝45°，|OP →|＝2，所以a ＝OP →＝OP ′→＋P ′P →＝2e 1＋2e 2. 所以a ＝(2，2)．(2)因为∠QOQ ′＝60°，|OQ →|＝4，所以b ＝OQ →＝OQ ′→＋Q ′Q →＝－2e 1＋23e 2. 所以b ＝(－2,23)．(3)因为∠ROR ′＝30°，|OR →|＝6，所以c ＝OR →＝OR ′→＋R ′R →＝33e 1－3e 2. 所以c ＝(33，－3)．。
人教版数学高一人教B版必修4学案向量的正交分解与向量的直角坐标运算
2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算[学习目标] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．[知识链接]1点的坐标与向量的坐标有何区别？答 (1)向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号． (2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x ，y )可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x ，y )或向量(x ，y )．2．相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？答 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．3．求向量AB →的坐标需要知道哪些向量？答 求向量AB →的坐标，需要知道点A 和点B 的坐标． [预习导引] 1．向量的正交分解(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．(2)如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解． 2．向量的坐标表示在坐标平面xOy 内(如右图)，任作一向量a (用有向线段AB →表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2} 下的坐标．即a ＝(a 1，a 2)．其中a 1叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在y 轴上的坐标分量．3．向量的坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)，λa ＝λ(a 1，a 2)＝(λa 1，λa 2)．即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．(2)一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(3)在直角坐标系xOy 中，已知点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．则线段AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.要点一 平面向量的坐标表示例1 已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标． 解 a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)， a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．规律方法 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．跟踪演练1 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 例2 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，求向量OA →的坐标． 解 设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，∴OA →＝(23，6)．规律方法 求点和向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．跟踪演练2 在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向和长度如图所示，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别求它们的坐标．解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则 a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2； b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332，c ＝(23，－2)．要点二 平面向量的坐标运算例3 已知a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，且有c ＝p a ＋q b .试求实数p ，q 的值． 解 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)， ∴p a ＋q b ＝p (－1,2)＋q (1，－1)＝(－p ＋q,2p －q )．∵c ＝p a ＋q b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －p ＋q ＝3，2p －q ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝4.故所求p ，q 的值分别为1,4.规律方法 (1)根据平面向量基本定理，任意向量都可以用平面内不共线的两个向量表示，同样，任意向量的坐标都可用所选基向量的坐标表示出来．(2)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程(组)．跟踪演练3 已知A (2，－4)，B (－1,3)，C (3,4)，若CM →＝2CA →＋3CB →，求点M 的坐标． 解 由A (2，－4)，B (－1,3)，C (3,4)，得 CA →＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， CB →＝(－1－3,3－4)＝(－4，－1)，∴CM →＝2CA →＋3CB →＝2(－1，－8)＋3(－4，－1)＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19)． 设点M 的坐标为(x ，y )，则CM →＝(x －3，y －4)．由向量相等坐标相同可得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14，y －4＝－19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－11，y ＝－15.∴点M 的坐标为(－11，－15).1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a 等于( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3) 答案 B解析 b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－4，12B.⎝⎛⎭⎫4，－12 C ．(－8,1) D ．(8,1) 答案 A解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(－8,1)， ∴12AB →＝⎝⎛⎭⎫－4，12. 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3) 答案 A解析 设D 点坐标为(x ，y )， 则BC →＝(4,3)，AD →＝(x ，y －2)， 由BC →＝2AD →得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，∴D (2，72)．4．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________. 答案 7解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，－3m ＋2n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5.故m ＋n ＝7.1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．3．向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．。
高中数学：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐运算 新人教B版必修4
2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐运算（一）教学目标
1．知识与技能：
(1)掌握平面向量的坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减与
数乘向量运算;
( 2 )会用坐标表示平面向量共线条件.
2.过程与方法：(1)通过在直角坐标系中求向量的坐标,让学生体会向量正交分解的
几何意义;
(2)通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用;
3.情感、态度与价值观：通过本节学习,培养学生的理性与探索精神.
（二）教学重点、难点
教学重点是向量的直角坐标运算与用平面向量坐标表示向量共线条件;
教学难点是应用向量直角坐标运算的法则解决具体问题
（三）教学方法
本节内容是在学习了平面向量的基本定理和向量的正交分解的基础上,进一步学习向量的直角坐标运算,以及用平面向量坐标表示向量共线条件,教学中引导学生联系已有知识，类比平面直角坐标系，通过探究平面向量的坐标表示，体现数形结合思想。
（四）教学过程。
人教B版高中数学必修四《2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算》_2
《平面向量的坐标运算》教学设计一.教材依据：普通高中课程标准试验教科书人民教育出版社（A版）数学必修4.二.设计思想：1.教材分析：本节内容是在学生学习了平面向量的加法、减法、数乘运算以及向量的坐标表示之后的一节新授课，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.2.学情分析：高一学生已具备一定的分析和概括能力以及自主探究的能力，且对向量的知识有了比较深入的接触和认识，已经熟悉由具体到抽象的数学思维过程，能用向量语言和方法表述和解决数学中的一些问题.3.设计理念：设计本节课时，力求强调过程，注重学生自主探究新知识的经历和获得新知识的体验.教学时不是简单的告诉学生平面向量的坐标运算,而是让学生自己去探究、去发现,充分体现学生的主体地位,激发学生的学习兴趣,提高学生解决问题的能力,培养学生的自主学习的能力.4.教学指导思想：结合学生的实际情况及本节课的内容特点，采用的是以学生自主探究为主，提出一系列精心设计的问题，在教师的启发、引导下，让学生自己去分析、探究，在探究过程中得出结论，从而使学生在获得新知识的同时又提高了能力.三.教学目标：1.知识与技能：会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．2.过程与方法：利用向量的坐标可以使向量运算完全代数化，实现了形向数的转化.3.情感、态度与价值观：了解向量与其他知识之间的紧密关系，培养学生的学习兴趣及探索精神．四.教学准备：根据本节课的特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学知识，利用多媒体辅助教学.五．教学过程:(一).复习回顾:1.向量的加法、减法：师:已知向量、b,如何求向量a+b 、a-b? 学生回答,教师指正.2.向量的数乘运算：师:已知向量ａ、ｂ,如何求向量３ａ，２ｂ？如何求向量３ａ＋２ｂ？ 学生回答,教师指正. ３.向量的坐标表示:师:向量的坐标表示的定义是什么? 学生回答,教师指正,并强调:在平面直角坐标系中，分别取与ｘ轴、ｙ轴方向相同的两个单位向量j i ,作为基底．对于平面内的任一向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数y x ,,使y x +=.这样，平面内的任一向量都可由y x ,唯一确定，我们把有序数对),(y x 叫做向量的坐标．记作：),(y x =(二) .自主探究:已知)3,2(),1,2(=-=b a . 如图所示，j i ,方向如图所示，且都是单位向量，写出b a ,的正交分解式，并在直角坐标系中画b +，-，2.一般情况，设),(),,(2211y x y x ==用文字语言描述一般性结论：师：通过以上计算，你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量的积的运算法则吗？生：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.(三).尝试练习：1.如图，已知),(),,(2211y x B y x A ，求的坐标.学生练习，教师指名回答. 生:),(),(),(12121122y y x x y x y x --=-=-=师:你能用语言描述一下吗？生：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标. 师：你能在图中标出坐标为),(1212y y x x --对应的点P 吗?生：把平移到以原点O 为起点，则终点即为所求的点P . 师:你能发现向量的坐标与向量的坐标之间的关系吗? 生:向量的坐标与向量的坐标是相等的.师:这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系,而点的坐标与有序实数对是一一对应的,所以向量的坐标与有序实数对也是一一对应的. 2.已知)4,3(),1,2(-==，+，-，43+的坐标.学生练习，教师指名回答.3.如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是 （－２，１），（－１，３），（３，４），试求顶点D 的坐标。
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平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算教课目标：（1）认识平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的观点；（2）理解平面里的任何一个向量都能够用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实质问题的重要思想方法；（3）能够在详细问题中适合地选用基底，使其余向量都能够用基底来表达.教课要点：平面向量基本定理.教课难点：平面向量基本定理的理解与应用.向量的坐标表示的理解及运算的正确性.教课过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1）|λa |=|λ||a|；2）λ>0时λa 与a 方向同样；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=02．运算定律联合律：λμa)=(λμ)a；分派律： λμ λμ，λ (a+)= λa+λ+)a=a +3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa. 二、解说新课：1．思虑：（1）给定平面内两个向量e 1，e 2，请你作出向量3e 1+2e 2，e 1-2e 2，（2）同一平面内的任一直量能否都能够用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示？平面向量基本定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.2．研究：我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；基底不唯一，要点是不共线；由定理可将任一直量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给准时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a ，e 1，e 2独一确立的数目3．解说典范：例1已知向量e1，e2求作向量e1+3e2P例2如图，、不共线,且OAOBB APtAB(tR),用，表示OP.OAOBO A本是O A B已知、、三点不共线，若点P在直线AB上，则OP mOA nOB,且m n 1. 4．1：1.e1、e2是同一平面内的两个向量，有(D)A.e、e 必定平行B.e、e的模相等C.同一平面内的任一直量a都有a＝λe+μe(λ、μ∈R)121212e1、e2不共，同一平面内的任一直量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)a ＝e1-2e2，b＝21+2，此中e1、2不共，+b与c＝61-22的关系（Ｂ）ee e a eeB.共C.相等D.没法确立λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一基底，且a＝λ1e1+λ2e2，a与e1不共，a与e2不共．(填共或不共).5．向量的角:已知两个非a、b，作OAa，OB b，∠AOB＝，叫向量a、b零向量的角，当=0°，a、b同向，当=18°，a、b反向，当=90°，a与b垂直，作a⊥b。
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编者:曲芳审稿人：全组人员星期授课类型：新授课
学习目标
1．学生通过阅读课本知道怎样用直角坐标来表示向量
2.学生在学习力向量的分解以及向量加减运算的基础上学会向量的直角坐标运算
3..学生通过合作探究达到熟练利用坐标表示向量的目的
课堂内容展示
自学指导：自学课本P99-100例1以上部分内容，独自解决以下问题
班级：高一（）班姓名__________
一、选择题
1．若向量 ， ，则 ， 的坐标分别为（）
、 ， 、 ， 、 ， 、 ，
2．已知两点M(3,2)，N(－5，－5)，＝，则P点坐标是()
A．(－8,1) B．(－1，－) C．(1，) D．(8，－1)
3．若a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则c等于()
2．已知点A（-1,2），B（2,8），且 ,求C,D和 坐标
3.已知点A(2，3),B(5，4),C(7，10),若 + ∈R），试求λ为何值时，①点P位于第三象限；②点P在一、三象限平分线上？
课堂小结
1.点A（ ），B（ ），则 =________,AB中点M的坐标______
2. =（ ）， =（ ），则 + =__________, - =___________
（2）能根据向量的坐标写出向量和、差的坐标。
自学检测
1.已知平面向量 ，则向量 =_____________
2.已知A(2，1),B(3，2)，且 ，则点P的坐标为________
3.已知点A（1,3），B（-3,5），则线段AB的中点坐标为__________
合作探究
1、如图，已知 是坐标原点，点 在第一象限， ， ，求向量 的坐标。
λ =__________
当堂检测
1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()
A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2
2．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1,2)，B(3，2)，则x的值为()
A．－1B．－1或4C．4D．1或－4
3．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2等于()
A．5B．(－1,5)C．6D．(－4,9)
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________.
规律总结
课后训练向量的正交分解与向量的直角坐标运算
A．－a＋3bB．a－3bC．3a－bD．－3a＋b
二、填空题
4．已知 ，终点坐标是 ，则起点坐标是。
5.已知 ， ，向量 与 相等.则 。
6．已知点 ， ， ，则 。
7.已知 的终点在以 ， 为端点的线段上，则 的最大值和最小值分别等于。
三、解答题
8．已知
1.怎样判断两向量是否垂直
2.什么是正交基底？什么叫正交分解？
3.什么样的两个向量能作为正交基底？
4.设向量 ， 的方向相对于x轴正向的转角为θ，则
5.向量的坐标是否唯一？坐标怎么确定？
6.符号 在直角坐标系中有几重意思？分别是什么？
阅读课本P100-101例2上方，要求
（1）能根据向量的起点和终点坐标写出向量的坐标
9.已知 =(2，1)， =(-3，4)，求 + ， - ，3 +4 的坐标.