高中数学课时跟踪训练七二项式定理北师大版选修2_3
高中数学选修2-3 北师大版 二项式定理 同步练习(含答案)
5．1 二项式定理双基达标 (限时20分钟)1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项的个数是 ( )． A ．0 B ．2 C ．4 D ．6解析，由5－32r ∈N ＋，知r ＝0或r ＝2，即 展开式的第1,3项满足条件．答案 B 2．在(x 2－2x)6的二项展开式中，x 2的系数为 ( )． A ．－154B.154 C ．－38 D.38 解析 该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·(－2x)r ＝(－1)r C r 6·126－2r ·x 3－r .令3－r ＝2，得r ＝1.∴T 2＝－6×124x 2＝－38x 2，∴应选C. 答案 C3．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝ ( )．A ．6B ．7C ．8D ．9解析 T r ＋1＝C r n (3x )r ＝3r C r n x r ，由已知条件35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，n ！5！（n －5）！＝3n ！6！（n －6）！，解得n ＝7. 答案 B4．(x y －y x )4的展开式中x 3y 3的系数为________．解析 (x y －y x )4＝x 2y 2(x －y )4，只需求(x －y )4展开式中的含xy 项的 系数：C 24＝6.答案 65．若在(1＋ax )5的展开式中x 3的系数为－80，则a ＝________.解析 T r ＋1＝C r 515－r (ax )r ＝a r ·C r 5·x r ，由题设a 3C 35＝－80，∴a ＝－2.答案 －26．求(x －2y 3)7的第四项，指出第四项的二项式系数，与第四项的系数分别是什么？解 T 4＝C 37(x )7－3(－2y 3)3＝C 37x 2(－2)3y 9＝－280x 2y 9 第四项的二项式系数为C 37＝35，第四项的系数为－280.综合提高 (限时25分钟)7.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项，则n 的最小值为 ( )．A ．6B ．7C ．12D ．14解析 T r ＋1＝C r n (2x 2)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝C r n 2n －r x 2n －2r (－1)r ·x －r 3.令2n －7r 3＝0，得6n ＝7r ，因而n 必须是7的倍数，n min ＝7.答案 B8．设k ＝1,2,3,4,5，则(x ＋2)5的展开式中，x k 的系数不可能是( )．A ．10B ．40C ．50D ．80解析 (x ＋2)5＝C 05·x 5＋C 15·2·x 4＋C 25·22·x 3＋C 35·23·x 2＋C 45·24·x ＋C 55·25＝x 5＋10x 4＋40x 3＋80x 2＋80x ＋32.比较系数知：x k (k ＝1,2,3,4,5)的系数不可能为50，故 选C.答案 C 9．(x －13x )18的展开式中含x 15的项的系数为________(结果用数值表示)．解析 T r ＋1＝C r 18x 18－r (－13x)r ＝(－1)r C r 18·(13)r x 18－32r ，令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以所求系数为(－1)2·C 218(13)2＝17. 答案 1710．(x 2－1x )n 的展开式中，常数项为15，则n 等于________．解析 ∵T r ＋1＝C r n (x 2)n －r (－1x)r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ， 又常数项为15，∴2n －3r ＝0，即r ＝23n 时，(－1)r C r n ＝15，∴n ＝6.答案 611．若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋1x 3n 展开式的各项系数之和为243，试判断其展开式中是否有常 数项，若有求出．解 令x ＝1，得展开式各项系数之和为(2＋1)n ＝3n ， ∴3n ＝243＝35，∴n ＝5.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋1x 35的通项第r ＋1项为： T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r x －3r ＝C r 525－r x 10－5r ， 当10－5r ＝0，即r ＝2时为常数项T 3＝C 2523＝80，∴存在常数项，常数项为80.12．(创新拓展)已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第五项的二项式系数与第 三项的二项式系数的比是14∶3.(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解 (1)依题意有C 4n ∶C 2n ＝14∶3，化简得(n －2)·(n －3)＝56，解之得n ＝10或n ＝－5(不合题意，舍去)．所以n 的值为10.。
高中高中数学北师大版选修2-3练习课件1.5.1 二项式定理精选ppt课件
A．1
B．－1
C．(－1)n
D．3n
解析：逆用公式，将1看作公式中的a，－2 看作公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
答案：C
2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x －1)2＋5(x－1)＝________.
解析：注意逆用二项式定理即可． 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋ C45(x－1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
答案：x5－1
知识点二
求展开式的特定项
3．(x－2y)6展开式中的第4项为________．
解析：由二项展开式的通项得，(x－2y)6 展开式中的第 4 项为 C36x6－3·(－2y)3＝－160x3y3.
答案：－160x3y3
4．[2013·江西高考](x2－x23)5 展开式中的常数项为(
C68·(2x2)8－6·(－ 1 )6＝112x2. 3 x
法二：在(2x2－ 1 )8 展开式中的倒数第 3 项就是( 1 －
3
3
x
x
2x2)8 展开式中的第 3 项，T3＝C28·( 1 )8－2×(2x2)2＝112x2. 3 x
课后提升训练
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再见
(1)第 5 项的二项式系数及第 5 项的系数；
(2)倒数第 3 项．
解：(1)T5＝C48·(2x2)8－4·(－
1 3
)4＝C48·24·x230，
x
∴第 5 项的二项式系数是 C48＝70，第 5 项的系数是 C48 ×24＝1120.
(2)法一：展开式中的倒数第 3 项即为第 7 项，T7＝
高二数学北师大版选修2-3同步课时作业1.5二项式定理(有答案)
高二数学北师大版选修2-3同步课时作业1.5二项式定理一、选择题 1.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为( ) A .15 B .20 C .30 D .352.若()412(1)x ax -+的展开式中2x 的系数为78，则整数a 的值为( )A.-3B.-2C.2D.3 3.已知在()*n n∈N 的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式的有理项的项数是( )A.1B.2C.3D.4 4.若()*1n x n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A.10 B.20 C.30 D.1205.在20()a b -的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项 6.2*(),n a b n +∈N 的展开式的项数是( )A.2nB.21n +C.21n -D.2(1)n + 7.6(1)x+的展开式中2x 的系数为( ) A.72 B.60 C.48 D.36 8.若51(2)a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为48，则a =( ) A.-2B.-1C.1D.2二、填空题 9.622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是____________________(用数字作答). 10.已知()2311n x x x x ⎛⎫++⋅+ ⎪⎝⎭的展开式中没有常数项，*n ∈N ，且27n ，则n =___________.11.4()(1)a x x ++的展开式中，若x 的奇数次幂的项的系数之和为32，则a =__________.三、解答题12.若2012112n n n x a a x a x a x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，且27a =. （1）求112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项； （2）求23112342222n n a a a a a -+++++的值参考答案1.答案：C 解析：对于6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若要得到含2x 的项，可以在211x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中选取1，此时6(1)x +中要选取含2x 的项，则系数为26C ；当在211x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中选取21x 时，6(1)x +中要选取含4x 的项，则系数为46C ，所以展开式中2x 的系数为2466C C 30+=，故选C. 2.答案：A解析：4(1)ax +的通项为14C rr r r T a x +=，由题意得221441C (2)C 78a a ⨯⨯+-⨯⨯=，即234390a a --=，解得3a =-或133a =， 因为a 为整数，所以3a =-，故选A.3.答案：C 解析：3n x⎛- 的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，16n ∴=， 16n∴-=，其展开式的通项为32516611616C (2)C r r r r r r r T x --+⎛==- ⋅⎝， 当3256r -∈Z 时，1r T +为有理项，016r 且,4,10,16r r ∈∴=Z 符合要求，∴有理项有3项，分别为第5,11,17项.故选C.4.答案：B解析：01C C C 264n n n n n +++==，6n ∴=， ∴该式为61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其展开式的通项为6216C r r r T x -+=， 令620r -=，得3r =，∴常数项为346C 20T ==，故选B.5.答案：B解析：第6项的二项式系数为520C ，又1552020C C =，所以第6项与第16项的二项式系数相同，故选B.6.答案：B解析：根据二项式定理可知，展开式共有21n +项.7.答案：C 解析：6的展开式的通项公式为616C r r r T -+=⋅36(2)C (0,1,2,3,4,5,6)r r r r x r -⎛=-⋅⋅= ⎝.令31r -=，得2r =；令332r -=，得3,2r r =∉Z ，舍去；令32r -=，得1r =.故6(1)x +⋅的展开式中2x 的系数为221166(2)C (2)C -⋅+-⋅=601248-=，故选C.8.答案：C 解析：51(-2)a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为445555C (2)1C (2)48a x x ⋅⋅-+⋅⋅-=， ，即51680a ⨯=，所以1a =.故选C.9.答案：240解析：展开式的通项为()621231662C 2C rr rr r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭⋅，令1230r -=，解得4r =，故常数项为4462C 240=.10.答案：5 解析：由题意知31n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中没有常数项，没有含1x -的项，没有含2x -的项，31n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为4131C C (0),4(0)rrn r r n r r n n T x x r n n r r n x --+⎛⎫==∴- ⎪⎝⎭不能取0，-1，-2. 若4n =，则4n r -可以为0，若3n =或7n =，则4n r -可以为-1，若2n =或6n =，则4n r -可以为-2，只有当5n =时，4n r -不能取0，-1，-2，故5n =.11.答案：3解析：因为4234(1)1464x x x x x +=++++，所以4()(1)a x x ++的展开式中含x 的奇数次幂的项分别为3354,4,,6,ax ax x x x ，其系数之和为4416132a a ++++=，解得3a =.12.答案：1.4358x 2. 12- 解析：1.因为22222321124n n T C x C x a x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，且27a =， 所以21(1)7(8)(7)048n n n C n n -==⇒-+=，解得8n =或7n =-（舍）， 故112n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为4544813528T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； 2.令0x =，可知01a =，令2x =，得23401234022222n n a a a a a a =++++++， 所以2341234222221n n a a a a a +++++=-， 故()231234123412341122222222222n n n n a a a a a a a a a a -+++++=+++++=-。
高中数学北师大版选修2-3课时跟踪训练(七) 二项式定理 Word版含解析
课时跟踪训练(七) 二项式定理．(－)的展开式中的第项为( )．－．．－．．在(－)的展开式中，的系数是( )．－．．－．．(大纲全国卷)(＋)(＋)的展开式中的系数是( )．．．．．已知的展开式中的常数项是第项，则正整数的值为()．．．．．(安徽高考)若的展开式中的系数为，则实数＝.．(浙江高考)设二项式的展开式中常数项为，则＝.展开式第项与第项二项式系数相等，求的一次项系数．．在的展开式中，求：()第项的二项式系数及第项的系数；()倒数第项．答案．选(－)的展开式中的第项为＝(－)＝(－)＝－.．选＋＝·－(－)，令－＝，知＝，∴＝(－)，即的系数为.．选在(＋)展开式中含的项为＝，(＋)展开式中含的项为＝，所以的系数为×＝，故选.．选的展开式的通项＋＝－－，由＝时，－＝.得＝.．解析：二项式展开式的通项为＋＝－，令－＝，可得＝，故＝，易得＝.答案：．解析：＋＝(－)，令－＝，得＝，故常数项＝(－)＝－. 答案：－．解：由题意知，＝.∴＝.∴＋＝··－＝··－.∴－＝.解得＝.∴＋＝···－，即＝··.其一次项系数为·.．解：法一：利用二项式的展开式解决．()＝()－()·＋()·－()·＋()·－()·＋()·－()·＋，则第项的二项式系数为＝，第项的系数·＝.()由()中的展开式可知倒数第项为·()·＝.法二：利用二项展开式的通项公式．()＝()－·＝··，则第项的二项式系数是＝，第项的系数是·＝.()展开式中的倒数第项即为第项，＝·()－·＝.。
高中数学北师大版选修2-3课时跟踪训练(二) 排列与排列数公式 Word版含解析
课时跟踪训练(二) 排列与排列数公式．＋等于( )．．．．等于( )．设∈＋，且<，则(－)(－)·…·(－)等于( )．．．．．若从名志愿者中选出人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( )．种．种．种．种．已知！＝，那么＝.．给出下列问题：①从这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？②从这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？上述问题中，是排列问题的是．(填序号)．()计算；()解方程＝.．从语文、数学、英语、物理本书中任意取出本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．答案．选原式＝×××＋××＝.．选＝＝.．选个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选.．选名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有＝种方案．．解析：＝＝)＝ .答案：．解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．答案：②③．解：()原式＝＝＝＝.()由＝，得＝，化简，得－＋＝，解得＝，＝.又∵≤，且－≤，∴原方程的解是＝.．解：从语文、数学、英语、物理本书中任意取出本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从个不同的元素中任意取出个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有＝××＝种不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为号，画出下列树形图：由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数。
2019-2020高中北师版数学选修2-3课时分层作业7 二项式定理
课时分层作业(七)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设n 为自然数，则C 0n 2n －C 1n 2n －1＋…＋(－1)k C k n 2n －k＋…＋(－1)n C n n 等于( )A ．2nB ．0C ．－1D ．1 D [原式＝(2－1)n ＝1.]2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10B [⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 3n －4r ，由r ＝6时，3n －4r ＝0，得n ＝8.]3．若(1＋3x )n (n ∈N ＋)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( )A ．4B ．27C ．36D ．108D [T k ＋1＝C k n (3x )k ，由C 2n ＝6，得n ＝4，从而T 4＝C 34·(3x )3，故第四项的系数为C 3433＝108.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( )A ．4B ．6C ．8D ．10B [依据分段函数的解析式，得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 4，∴T k ＋1＝C k 4(－1)k x k －2.令k －2＝0，则k ＝2，故常数项为C 24(－1)2＝6.]5．使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7B[由二项式定理得，T r ＋1＝C r n(3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r x n －52r ，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小．]二、填空题6．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫112，15 [由⎩⎨⎧ T 2＞T 1，T 2＞T 3，得⎩⎨⎧C 162x ＞1，C 162x ＞C 26(2x )2.解得112＜x ＜15.] 7．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是________．－121 [展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.]8．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是________．168 [在(1＋x )8展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168.]三、解答题9．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．[解] (1)第3项的二项式系数为C 26＝15， 又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ， 所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k，令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.10．已知m ，n ∈N ＋，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．[解] 由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N ＋.∴⎩⎨⎧ m ＝1 ，n ＝18，⎩⎨⎧ m ＝2，n ＝17，…，⎩⎨⎧m ＝18，n ＝1. x 2的系数C 2m ＋C 2n＝12(m 2－m )＋12(n 2－n ) ＝m 2－19m ＋171＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1922＋3234.∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.[能力提升练]1．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207D [x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项分别与1及－x 3相乘再把积相加．∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.]2．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5C [C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅C 适合．]3．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6 (a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．2 [对于T r ＋1＝C r 6x6－r(－ax－12)r ＝C r 6(－a )r·x 6－32r ，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.]4．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i ) (i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.3 [由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．即a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式的通项公式知T k ＋1＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a k(k ＝0,1,2，…，n )．故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.]5．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项．[解] 法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5. 其中为常数项的有：C 15⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项；C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2；C 35·⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5. 综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322.法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x 5·(x ＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5，所以所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.。
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-3同步训练：(5)二项式定理 Word版含答案
（5）二项式定理1、42 x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-展开式中的常数项为( )A.6B.-6C.24D.-242、已知曲线33y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是m ,则()5x m +的展开式中3x 项的系数为( )A.160B.480C.640D.12803、已知()()()()()423401234211111x a a x a x a x a x -=+-+-+-+-,则2a = ( ) A.18 B.24 C.36 D.564、 23(1)(2)x x x +--的展开式中,含5x 项的系数为( ) A.-6 B.-12 C.-18 D.18 5、设()22132a x x dx =-⎰,则二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的第6项的系数为( )A.-6B.6C.-24D.246、()712x x-的展开式中2x 的系数为( )A.-84B.84C.-280D.2807、设6x ⎛ ⎝的展开式中含3x 项的系数为A ,二项式系数为B ,则:A B = ( ) A.1 B.2 C.3 D.48、设2012(12)n n n x a a x a x a x -=++++L ,若340a a +=,则5a = ( ) A.256 B.-128 C.64 D.-329、()612x -的展开式中不含有3x 项的各项系数之和为( )A.79B.81C.-159D.16110、二项式30的展开式的常数项为第( )项 A.17 B.18 C.19 D.2011、已知()5234501234532x a a x a x a x a x a x -=+++++,则0123452345a a a a a a +++++的值为__________.12、()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为__________13、设5nx⎛⎝的展开式的各项系数之和为M ,二项式系数之和为N ,若240M N -=,则展开式中x 的系数为__________14、()()()()()3828012812111,x x a a x a x a x ++-=+-+-+⋯+-则6a =__________.15、已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+. 求:1. 127a a a ++⋅⋅⋅+;2. 1357a a a a +++;3. 0127a a a a +++⋅⋅⋅+.答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：B 解析：4答案及解析： 答案：A 解析：5答案及解析： 答案：C 解析：6答案及解析： 答案：C 解析：7答案及解析： 答案：D 解析：8答案及解析： 答案：D 解析：9答案及解析： 答案：D 解析：10答案及解析： 答案：C解析：由二项式定理可知()905306130303rrrr r r r T C C a--+⎛=⋅=- ⎝,展开式的常数项是使90506r-=的项,解得18r =为第19项,答案选C . 考点：二项式定理11答案及解析： 答案：233 解析：12答案及解析： 答案：40 解析：13答案及解析： 答案：150 解析：14答案及解析： 答案：28 解析：15答案及解析：答案：1.当1x =时, ()()7712121x -=-=-,展开式右边为0127a a a a ++++,则012345671a a a a a a a a +++++++=-,当0x =时,则0071a C ==,∴12372a a a a +++⋅⋅⋅+=-. 2.令1x =,则012345671a a a a a a a a +++++++=-,① 令1x =-,则7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=,②①-②得: ()71357213a a a a +++=--,∴7135********a a a a --+++==-。
高中数学北师大版选修2-3课时作业1.5.1 二项式定理 Word版含解析
选修第一章§课时作业一、选择题．[·山东枣庄一模]若(＋)＝＋(，为有理数)，则＋＝( )．．．．解析：二项式的展开式为＋()＋()＋()＋()＝＋＋＋＋＝＋，所以＝，＝，＋＝＋＝，选.答案：．如果(－)的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为( )．．．．解析：因为＋＝()－(－－)＝(－)·－－，则－＝，即＝，所以(\\(＝＝))或(\\(＝，＝，))….故的最小值为.答案：．已知(－)的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是( )．－．．－．解析：由题知第三项的系数为(－)＝，第五项的系数为(－)＝，则有＝，解之得＝，由＋＝－·－(－)，当－－＝时，即当＝时，常数项为(－)＝＝，选.答案：二、填空题．[·新课标全国卷Ⅰ](－)(＋)的展开式中的系数为．(用数字填写答案)解析：由二项展开式公式可知，含的项可表示为·－·，故(－)(＋)的展开式中的系数为－＝－＝－＝－.答案：－．(－)的展开式中，的系数为．解析：设含有项为第(＋)项，则－·()＝·－··(－)·－＋＝·()＝·－－··(－)，令－－＝，即＝，∴＝···＝·，系数为＝＝.答案：．[·安徽高考]若(＋)的展开式中的系数为，则实数＝.解析：通项公式＋＝－·()＝·－，由－＝得＝.故·＝，解得＝.答案：．(－)的二项展开式中的系数是(用数字作答)．解析：∵(－)的二项展开式的通项为－(－)·()＝(－)···－，＋＝·令－＝，得＝，∴(－)·＝(－)··＝.答案：三、解答题．已知(－)(∈*)的展开式中第项的系数与第项的系数的比是∶，求：()证明展开式中没有常数项；()求展开式中含的项．解：()证明：由题意知第项的系数为·(－)，第项的系数为·(－)，则＝，解得＝，或＝－(舍去)．通项公式＋＝()－·(－)＝(－)·.若＋为常数项，当且仅当＝，即＝，且∈，这是不可能的，所以展开式中没有常数项．()由()知，展开式中含的项需＝，则＝，故展开式中含的项为＝－.．已知在(－)的展开式中，第项为常数项．()求；()求含的项的系数；()求展开式中所有的有理项．解：()通项公式为＝(－)－＝(－)，＋因为第项为常数项，。
高中数学北师大版选修2-3课时跟踪训练(五) 组合的应用 Word版含解析
课时跟踪训练(五) 组合的应用．件产品中，有件一等品，件二等品，件三等品，现在要从中抽出件产品，抽出产品中至少有件一等品的抽法种数为( )．．．．．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有( )．个．个．个．个．从名大学毕业生中选个人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )．．．．．在某种信息传输过程中，用个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有和，则与信息至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )．．．．．(大纲全国卷)从进入决赛的名选手中决出名一等奖，名二等奖，名三等奖，则可能的决赛结果共有种．(用数字作答)．某校开设门课程供学生选修，其中，，三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修门，共有种不同选修方案．(用数字作答)．件产品中，有件正品，件次品，从这件产品中任意抽出件．()共有多少种不同的抽法？()抽出的件中恰好有件次品的抽法有多少种？()抽出的件中至少有件次品的抽法有多少种？．双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出只，试求各有多少种情况出现如下结果：()只鞋子没有成双的；()只鞋子恰成两双；()只鞋中有只成双，另只不成双．答案．选分三类：恰有件一等品，有＝种取法；恰有件一等品，有＝种取法；恰有件一等品，有＝种取法．∴抽法种数为＋＋＝.．选从个顶点中任取个有＝种取法，其中四点共面的有种．所以满足题意的四面体有－＝个．．选由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人入选，有·＝种不同选法，另一类是甲、乙都入选，有·＝种不同选法，所以共有＋＝种不同选法．．选与信息至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：第一类：与信息只有两个对应位置上的数字相同有＝个；第二类：与信息只有一个对应位置上的数字相同有＝个；第三类：与信息没有一个对应位置上的数字相同有＝个．∴与信息至多有两个对应位置上的数字相同的信息有＋＋＝个．．解析：第一步决出一等奖名有种情况，第二步决出二等奖名有种情况，第三步决出三等奖名有种情况，故可能的决赛结果共有＝种情况．答案：．解析：分两类完成：第一类，，，三门课程都不选，有种不同的选修方案；第二类，，，三门课程恰好选修一门，有·种不同选修方案．故共有＋·＝种不同的选修方案．答案：．解：()有＝种抽法．()分两步：先从件次品中抽出件有种方法；再从件正品中抽出件有种方法，所以共有＝种抽法．()法一(直接法)：分两类：即包括恰有件次品和恰有件次品两种情况，与()小题类似共有＋＝种抽法．法二(间接法)：从件产品中任意抽出件有种方法，其中抽出的件全是正品的抽法有种方法，所以共有－＝种抽法．．解：()从双鞋子中选取双，有种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为＝·＝(种)．。
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-3同步训练：(5)二项式定理
（5）二项式定理1、展开式中的常数项为( )42 x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-A.6 B.-6 C.24 D.-242、已知曲线和直线所围成图形的面积是,则的展开式中项33y x x =-y x =m ()5x m +3x 的系数为( )A.160B.480C.640D.12803、已知,则 ( )()()()()()423401234211111x a a x a x a x a x -=+-+-+-+-2a =A.18 B.24 C.36 D.564、 的展开式中,含项的系数为( )23(1)(2)x x x +--5x A.-6 B.-12 C.-18 D.185、设,则二项式展开式中的第项的系数为( )()22132a x x dx =-⎰621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭6A.-6 B.6 C.-24 D.246、 的展开式中的系数为( )()712x x -2x A.-84 B.84 C.-280 D.2807、设的展开式中含项的系数为,二项式系数为,则 ( )6x x ⎛ ⎝3x A B :A B =A.1 B.2 C.3 D.48、设,若,则 ( )2012(12)n n n x a a x a x a x -=++++L 340a a +=5a =A.256 B.-128 C.64 D.-329、的展开式中不含有项的各项系数之和为( )()612x -3x A.79 B.81 C.-159 D.16110、二项式的展开式的常数项为第( )项30A.17B.18C.19D.2011、已知,则()5234501234532x a a x a x a x a x a x -=+++++的值为__________.0123452345a a a a a a +++++12、的展开式中的系数为__________()()52x y x y +-33x y13、设的展开式的各项系数之和为,二项式系数之和为,若,则5nx⎛ ⎝M N 240M N -=展开式中的系数为__________x 14、则__________.()()()()()3828012812111,x x a a x a x a x ++-=+-+-+⋯+-6a =15、已知.()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+求:1. ;127a a a ++⋅⋅⋅+2. ;1357a a a a +++ 3. .0127a a a a +++⋅⋅⋅+答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：C解析：3答案及解析：答案：B解析：4答案及解析：答案：A解析：5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：D解析：9答案及解析：答案：D解析：10答案及解析：答案：C解析：由二项式定理可知,()905306130303r r r r r r r T C C a --+⎛=⋅=- ⎝展开式的常数项是使的项,90506r -=解得为第项,答案选.18r =19C 考点：二项式定理11答案及解析：答案：233解析：12答案及解析：答案：40解析：13答案及解析：答案：150解析：14答案及解析：答案：28解析：15答案及解析：答案：1.当时, ,展开式右边为,则1x =()()7712121x -=-=-0127a a a a ++++ ,012345671a a a a a a a a +++++++=-当时,则,∴.0x =0071a C ==12372a a a a +++⋅⋅⋅+=-2.令,则,①1x =012345671a a a a a a a a +++++++=-令,则,②1x =-7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=①-②得: ,∴。
2021_2022学年高中数学课时分层作业7二项式定理(含解析)北师大版选修2_3
课时分层作业(七)(建议用时：60分钟)[根底达标练]一、选择题1．设n 为自然数，那么C 0n 2n－C 1n 2n －1＋…＋(－1)k C k n 2n －k＋…＋(－1)n C nn 等于( )A ．2nB ．0C ．－1D ．1 D [原式＝(2－1)n＝1.]2．⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n的展开式中的常数项是第7项，那么正整数n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10B [⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n的展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 3n －4r，由r ＝6时，3n －4r ＝0，得n ＝8.]3．假设(1＋3x )n(n ∈N ＋)的展开式中，第三项的二项式系数为6，那么第四项的系数为( )A ．4B ．27C ．36D ．108D [T k ＋1＝C k n (3x )k ，由C 2n ＝6，得n ＝4，从而T 4＝C 34·(3x )3，故第四项的系数为C 3433＝108.] 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4，x <0，－x ，x ≥0，那么当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( )A ．4B ．6C ．8D ．10B [依据分段函数的解析式，得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 4，∴T k ＋1＝C k 4(－1)k xk －2.令k －2＝0，那么k ＝2，故常数项为C 24(－1)2＝6.]5．使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [由二项式定理得，T r ＋1＝C rn(3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r＝C r n 3n －r x n －52r ，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小．]二、填空题6．假设(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，那么x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫112，15 [由⎩⎪⎨⎪⎧T 2＞T 1，T 2＞T 3，得⎩⎪⎨⎪⎧C 162x ＞1，C 162x ＞C 26(2x )2.解得112＜x ＜15.]7．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是________． －121 [展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.] 8．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是________．168 [在(1＋x )8展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168.]三、解答题9．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．[解] (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k6(2x )6－k⎝⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k，令3－k ＝2，得k ＝1.所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.10．m ，n ∈N ＋，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．[解] 由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N ＋.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1 ，n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝17，…，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝1.x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171＝⎝⎛⎭⎪⎫m －1922＋3234.∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81， 此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.[能力提升练]1．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207D [x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项分别与1及－x 3相乘再把积相加． ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.]2．假设C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，那么x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5C [C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n＝(1＋x )n－1，分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅C 适合．]3．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .假设B ＝4A ，那么a的值是________．2 [对于T r ＋1＝C r 6x 6－r (－ax －12)r ＝C r 6(－a )r ·x 6－32r ，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.]4．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .假设点A i(i ，a i ) (i ＝0,1,2)的位置如下图，那么a ＝________.3 [由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．即a 0＝1，a 1＝3，a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n的展开式的通项公式知T k ＋1＝C kn⎝ ⎛⎭⎪⎫x a k(k ＝0,1,2，…，n )．故C 1n a ＝3，C 2n a 2＝4，解得a ＝3.] 5．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项． [解] 法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5.其中为常数项的有：C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项；C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2；C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5.综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322.法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x5·(x ＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5，所以所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.。
北师版数学高二-选修2-3课时作业二项式定理
§5 二项式定理 5.1 二项式定理一、选择题1．S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3，则S 等于( ) A ．x 4 B ．x 4＋1 C ．(x －2)4D ．x 4＋42．设i 为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第三项为( ) A ．－20i B ．15i C ．20 D ．－153．(1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为( ) A ．190 B ．380 C ．－190D ．04．在(x ＋2x )n 的展开式中，若常数项为60，则n 等于( )A ．3B ．6C ．9D ．125．在(x －13x)24的二项展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项6．在(ax ＋1)7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数和x 5的系数的等比中项，则实数a 的值为( ) A.259 B.45 C.253D.537．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 4，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( )A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题8.⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 27的展开式中倒数第三项为________． 9．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎫1＋xa n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.10．在(x＋43y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．11．若n∈N＋，(1－2)n＝2a n＋b n(a n，b n∈Z)，则a5＋b5的值为________．12．已知正实数m，若x10＝a0＋a1(m－x)＋a2(m－x)2＋…＋a10(m－x)10，其中a8＝180，则m 的值为________．三、解答题1)n的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3. 13．已知在(3x－23x(1)求n；(2)求展开式中所有的有理项．四、探究与拓展14．若(x＋m)2n＋1与(mx＋1)2n(n∈N＋，m≠0)的展开式中x n的系数相等，则实数m的取值范围是________．15.设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中含x项的系数是19(m，n∈N＋)．(1)求f(x)的展开式中含x2项的系数的最小值；(2)当f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值时，求f(x)的展开式中含x7项的系数．答案精析1．A [S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44＝[(x －1)＋1]4＝x 4，故选A.]2．D [(1＋i)6展开式中的第三项为C 26i 2＝－15.]3．D [(1－x )20的二项展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 202rx ，x 的系数为C 220＝190，x 9的系数为C 1820＝C 220＝190，所以它们的差为0.] 4．B [T r ＋1＝C r n (x )n －r (2x)r ＝2r C r n 32n rx -.令n －3r 2＝0，得n ＝3r .根据题意有2r C r 3r ＝60，验证知r ＝2， 故n ＝6.] 5．C[T r ＋1＝C r 2432n rx- (－13x)r ＝(－1)rC r 24·7256rx-，当r ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数分别是12,7,2，－3，－8，故选C.]6．A [∵(ax ＋1)7的二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(ax )7－r ，∴x 3的系数是C 47a 3，x 2的系数是C 57a 2，x 5的系数是C 27a 5.∵x 3的系数是x 2的系数与x 5的系数的等比中项，∴(C 47a 3)2＝C 57a 2×C 27a 5，∴a ＝259.]7．B [依据分段函数的解析式， 得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫1x －x 4， ∴T r ＋1＝C r 4(－1)r x r －2.令r －2＝0，则r ＝2，故常数项为C 24(－1)2＝6.]8.84x8 解析 由于n ＝7，可知展开式中共有8项， ∴倒数第三项即为第六项，∴T 6＝C 57(2x )2·⎝⎛⎭⎫1x 25＝C 57·221x 8＝84x 8. 9．3解析 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)． 即a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝⎛⎭⎫1＋x a n 的展开式的通项公式知T r ＋1＝C r n⎝⎛⎭⎫x a r (r ＝0,1,2，…，n )． 故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3. 10．6解析 T r ＋1＝C r 20x 20－r (43y )r ＝(43)r C r 20x 20－r y r,0≤r ≤20，要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0,4,8,12,16,20，共6种，故系数为有理数的项共有6项． 11．12解析 ∵当n ＝5时，(1－2)5＝C 05－C 152＋C 25·2－C 35·22＋C 45·4－C 5542＝41－292＝2a 5＋b 5，∴a 5＝－29，b 5＝41， ∴a 5＋b 5＝12. 12．2解析 由x 10＝[m －(m －x )]10，[m －(m －x )]10的二项展开式的第9项为C 810m 2(－1)8·(m －x )8， ∴a 8＝C 810m 2(－1)8＝180，则m ＝±2.又m >0，∴m ＝2.13．解 (1)依题意有C 4n ∶C 2n ＝14∶3，化简，得(n －2)(n －3)＝56，解得n ＝10或n ＝－5(不合题意，舍去)， ∴n 的值为10.(2)通项公式为T r ＋1＝C r 10(3x )10－r ·(－1)r (123x )r ＝(－1)r (12)r C r 10·1023rx -，由题意得⎩⎨⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z ，∴r ＝2,5,8.∴第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210(－12)2x 2，C 510(－12)5，C 810(－12)8x －2. 14．(12，23]解析 (x ＋m )2n ＋1的展开式中x n 的系数为C n ＋12n ＋1·m n ＋1，(mx ＋1)2n 的展开式中x n 的系数为C n 2n m n .由题意得C n ＋12n ＋1m n ＋1＝C n 2nm n ，整理得m ＝n ＋12n ＋1∈(12，23]． 15．解 (1)由题设知m ＋n ＝19， 所以m ＝19－n ，含x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n＝(19－n )(18－n )2＋n (n －1)2＝n 2－19n ＋171＝(n －192)2＋3234.因为n ∈N ＋，所以当n ＝9或n ＝10时，x 2项的系数的最小值为(12)2＋3234＝81.(2)当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时，x 2项的系数取最小值，此时x 7项的系数为C 710＋C 79＝C 310＋C 29＝156.。
北师大版高中数学选修2-3二项式定理同步练习.docx
二项式定理 同步练习【选择题】1、在（1+x ）n 的展开式中，第9项为 （ ）A.C 9n x 9B. C 8n x 8C. C 9n x 9-nD. C 8n x8-n2、在(a －b)n (n∈N +)展开式中，第r 项的系数为 ( )A.C r n B .C 1-r nC. (－1)r C r nD. (－1)r-1C 1-r n3、在(1－26x )n 展开式中，第5项的二项式系数和第7项的二项式系数相等，则n ＝（ ）A.8B.9C.10D.114、二项式（a +b ）2n (n ∈N +)的展开式中，二项式系数最大的项是 （ ）A.第n 项B.第n+1 项C.第n+2 项 D .不确定5、在(a+b)n 展开式中与第k 项系数相同的项是（ ）A ．第n －k 项 B.第n －k+1项 C.第n －k+2项 D.第n+k －1项6、（a+b ）n +（a －b ）n (n 是奇数)展开式合并后还有 （ ）A.2(n+1)项B.21n +项 C.n+1项 D 21-n 项7、若（X X 1+）n (n∈N +)展开式中含有常数项，则n 必为 （ ） A.奇数 B.偶数 C.3的倍数 D.6的倍数8、在（X －X1）10展开式中系数最大的项是 （ ） A.第5、7项 B.第6项 C.第5、6项 D.第6、7项【填空题】 9、（2123-）20展开式中有理项共有 项。
10、352003除以6的余数为 。
11、若（aa 13-）n 展开式中，第三项含有a 4，则n = 。
12、（1+x ）6（1－x ）4展开式中含有x 3项的系数为 。
【解答题】13、已知（1+a ）n 展开式中连续3项的系数比为3：8：14，求展开式中系数最大的项。
14、在（a+b ）23的展开式中，是否存在连续三项，这三项的系数成等差数列？如果存在，说明是哪些项，如果不存在，说明理由。
参考答案1、B2、D3、B4、B5、C6、B7、C8、A9、4 提示：分别是第3项，第9项，第15项，和第21项。
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课时跟踪训练(七) 二项式定理
1．(x －2y )7
的展开式中的第4项为( ) A ．－280x 4y 3 B ．280x 4y 3
C ．－35x 4y 3
D ．35x 4y 3
2．在(x －3)10
的展开式中，x 6
的系数是( ) A ．－27C 6
10 B ．27C 4
10 C ．－9C 610
D ．9C 4
10
3．(大纲全国卷)(1＋x )8
(1＋y )4
的展开式中x 2y 2
的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112
D ．168
4．已知⎝
⎛⎭
⎪⎫2x 3＋1x n
的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
5．(安徽高考)若⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________. 6．(浙江高考)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. 7.⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋23x n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．
8．在⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．
答案
1．选A (x －2y )7的展开式中的第4项为T 4＝C 37x 4(－2y )3＝(－2)3C 37x 4y 3＝－280x 4y 3
. 2．选D T k ＋1＝C k 10·x 10－k
(－3)k ，令10－k ＝6，知k ＝4，∴T 5＝C 410x 6(－3)4，即x
6
的系数为9C 4
10.
3．选D 在(1＋x )8
展开式中含x 2
的项为C 28x 2
＝28x 2
，(1＋y )4
展开式中含y 2
的项为C 24y 2
＝6y 2
，所以x 2y 2
的系数为28×6＝168，故选D.
4．选B ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x 3＋1x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 3n －4r
，由r ＝6时，3n －4r ＝0.得n ＝8.
5．解析：二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋a 3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a r x 8－43r ，
令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3
＝7，易得a ＝12
.
答案：12
6．解析：T r ＋1＝(－1)r C r 5x 15－5r 6
，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 3
5＝－
10.
答案：－10
7．解：由题意知，C 8
n ＝C 9
n . ∴n ＝17. ∴T r ＋1＝C r
17x 17－r 2·2r ·x －r 3＝C r 17·2r
·x 17－r 2－r 3
. ∴
17－r 2－r
3
＝1. 解得r ＝9.
∴T r ＋1＝C 9
17·x 4
·29
·x －3
， 即T 10＝C 9
17·29
·x . 其一次项系数为C 9
17·29
.
8．解：法一：利用二项式的展开式解决．
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 1
8(2x 2)7·13x
＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48
(2x 2)4
·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
13x 8， 则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数C 48·24
＝1 120.
(2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．
(1)T 5＝C 48(2x 2)8－4·⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24
·x 203
，
则第5项的二项式系数是C 4
8＝70， 第5项的系数是C 4
8·24
＝1 120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项，
T 7＝C 6
8
·(2x 2)8－6
·⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
－13x 6＝112x 2.。