二阶非线性微分方程解的Sturm比较定理
二阶奇异Sturm-Liouville边值问题m(λ)函数比较
其 中 ｇｆ ｒｔ是 定义 在 ［，。） 的局 部 可 积 函 数 ， （，（ ） ） ０斗。上
称 ｑｔ为势函数 ，，ｆ为权函数．当权 函数 ｒ ） （ ） （ ） （＞ ｔ ０ａ ．∈０＋ ） 称方程（） ， ．ｔ ［， 时， ｅ ∞ １ 是右定的． 早在 １１ 年， ｙ Ｈ把奇异的 Ｓ ｒ ．ｉ ｖｌ ９０ Ｗｅｌ ｔ ｍ Ｌｏ ｉ ｕ ｕｌ ｅ 方程分成 ２ 类： 极限点型和极限圆型． 极限圆型是 指对任 意的 ∈ Ｊ， Ｃ／ 方程（） Ｒ １ 的所有解都是平方
由 Ｔｔ ｍ ｒ — ｙ 理论知， ｉ ｈ ａ ｈＷｅｌ ） ｃ ｓ （ 当方程（） １ 是
收 稿 日期 ：２０ －９１． ０９０－８ 宁 波大 学学报 （ 工版 ）网址： ｔ ：３ｂｎ ｕ ｄ ． 理 ｈｔ ／ ｘ ｂ ． ｕｃ ｐ／ ｅ ｎ 作者 简介 ： 震林 （ ９ １ ）， ， 江杭 州人 ， 戴 １８ 一 男 浙 助理 实验 师 ， 要研究 方 向： 分 方程 ． — ｉ ｄｉ ｅｌ ＠ｎｕｅｕ ｎ 主 微 Ｅｍａｌ ａｚ ｎｉ ｂ ． ． ： ｈ ｎ ｄｃ
一
为 Ｐｏｑ ， ｒ （） 方程（ 记为 （ 下面给 出主要结论． １ ） １． ）
（） １
Ｙ （ ＋ （ ｆ＝２ （ ｙ ｔ ｔ ０＋ ， ｆ ｇ ｆ （ ） ） ） ｒｔ （ ， ∈［，∞） ） ）
定理 １ 考虑 ＝ ／ 时的 ２ 兀２ 个奇异的边值问
题 Ｐｏ ｇ ， ｒ （ ） 当它们是右定且为极限点型 ｒ （ Ｐｏｑ ， ） ： 的 ，并 记它 们所 对 应 （） 函数 分 别 为 ｍ（） 和
０时，这 里 ， 。 。 为 — ， 都 ∞，则 在 （ 有：
ｍ１ ） （ ≥ｍ （ ） ２ ．
二阶非线性微分方程的Sturm比较定理与振动性
这 里 ， ， ， ， ｈ ＥＣ［ ×Ｒ ］ ｒ＇＾ ×Ｒ ， ， Ｊ ， ， ｈ ， Ｒ ’＿ｒＥｃ Ｒ ］ 吼ＥＣ Ｒ ； Ｐ ， 对 各变 量分别 Ｅ ］ Ｐ ， ２ｒ， 有 一 阶连 续 偏导 数 ； 。 ０ Ｐ ＞ ０ 其 中 Ｒ Ｐ ＞ ， ， ＝（ ， 。 ． 外 ， 中 涉 及方 程 的解 都 可 以延 拓 到 Ｒ ０ 十。 ） 此 文
＾）ｕ］ ｒ“‘ ２ｙ 。～ １ ｚ． ｄ
ｒ。 “ ，一
… ＋＇ （ —ｚ ｔ ｒ ２＇ ｒ ｚ Ｐ） ｙ ｕ ｚ 卜—－ ｕ ｈ 。 ～一 ２ 卜］２ ｔ ｄａ 一 ｒ 只 一ｚ “ ｒ㈠ 一 ｔ 助 番一ｄ ” ２ Ｊ １
其次证 明（ ） 闭区 间 ，］ ３在 卢 上成 立 ．设 ｓ 一～—ｕ２ 定义 函数 Ｆ（） （） ｒ ，∈（ ， ） （） Ｐ ｙ￣ ｚ ｆ 一ｓ ｆ 一ｉ ｎ 卢 ； ２ ２
维普资讯
第 ５卷第 ２期
２０ ０ ２年 ５月
扬 州 大学 学报 （ １ 科学版） ９然
Ｊ Ｕ ＲＮ Ａ Ｉ Ｆ Ｙ Ａ ＮＧ ＺＨＯ Ｕ Ｎ Ｉ ＇ Ｏ Ｏ Ｕ ＶＥＲ Ｓ Ｔ Ｙ （ ＡＴ Ｕ Ｒ Ａ ｌ Ｓ Ｉ ＣＥ ＥＤＩ Ｉ Ｉ Ｎ Ｃ ＥＮ Ｔ ＯＮ ）
Ｖ０１ ｏ ２ ５ Ｎ ．
Ｍ ａｙ ２０ ０２
二阶非线性微分方程 的 Ｓｕｍ ｔｒ
比较定 理 与 振动 性
程 崇 高 周 正 新
（．黄 冈 师范 学 院 数 学 系．湖 北 黄 州 ．４ ０ ０ ２ 扬 州 大学 理 学 院 数学 系 ，江苏 扬 州 ．２５ ０ １ 粥 ０ ２０２
引理 ．
， ｔｎ ｐ ＣＲ ， ｌ ， ］ ） 首先证 明两个
引 理 １ 设 ∈Ｊ ） 是 方 程（ ） （ ， ） （ ２ 的解 ， （） ａ ，Ｅ （ ， ． ｌ 坠 二 存 在 ， ＿ ｚ ｖ ｏ ｔ ｎ ） 若 ｉ ｙ ｍ 则在 闭 区 间 ［ ， 上 成立 恒等式 。 ］
二阶非线性微分方程解的Sturm比较定理
第18卷第2期数学研究与评论V o l.18N o.2 1998年5月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON M ay1998二阶非线性微分方程解的Sturm比较定理Ξ庄 容 坤(惠州大学数学系,广东惠州516015)摘 要 本文首先建立二个微分恒等式,然后利用它们研究了二类非线性微分方程与线性微分程之间解的Sturm比较定理,所得结论包含了一些经典的结论.关键词 二阶非线性微分方程,微分恒等式,Sturm比较定理.分类号 AM S(1991)34C10 CCL O175.4考虑方程 (p1(t)x′)′+r1(t)x′+q1(t)x=0,(1) (p2(t)y′)′+r2(t)y′+q2(t)f(y)=0,(2) (p2(t)y′)′+r2(t)y′+q2(t)y=g(y).(3)设x(t)是方程(1)的非平凡解,且x(0)=x(1)=0,I=[0,1],p1(t),p2(t),r1(t),r2(t), q1(t),q2(t)∈C′(I),p2(t)>0,t∈I,f(u),g(u)∈C(-∞,+∞).定理1 设y(t)是方程(2)的非平凡解,若y(t)≠0,t∈[0,1],则成立下面恒等式[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2 +(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′.证明 [xy (y p1x′-x p2y′)]′=(x p1x′)′-(x2p2y′y)′=p1x′2+x(p1x′)′-x2(p2y′)′y-2x x′p2y′y+p2x2y′2y2=p1x′2-r1x x′-q1x2+r2x2y′y+q2x2f(y)y-2x x′p2y′y+p2x2y′2y2=p1x′2-r1x x′+(q2f (y)y-q1)x2+2p2x y′y(r2x2p2-x′)+p2(x y′y)2=p1x’2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2-p2(r2x2p2-x′)2+(q2f(y)y-q1)x2-r1x x′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2+(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′,即Ξ1995年4月26日收到.[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2 +(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′.定理2 设y(t)是方程(3)的非平凡解,若y(t)≠0,t∈[0,1],则成立下面恒等式[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2 +(q2-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′-g(y)yx2.定理2的证法与定理1的证法类似,故略.定理3 设0,1是方程(1)的非平凡解x(t)的两相邻零点,p1≥p2>0,q2≥q1+r 2 24p2+ r′2-r′12,t∈[0,1]且在[0,1]的任一子区间上等式不成立,又Πu≠0,有uf(u)≥u2,则方程(2)的非平凡解y(t)在[0,1]内至少有一个零点. 证明 若不然,y(t)≠0,t∈[0,1],则由定理1有:[xy(y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2 +(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′,从0到1积分得:∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t +∫10(q2f(y)y-q1-r224p2-r2′-r1′2)x2d t,又由于∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=0,从而∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t+∫10(q2f(y)y-q1-r224p2-r2′-r1′2)x2d t =0.但由已知条件可知上面的等式的左边大于零,产生矛盾,故y(t)在[0,1]内至少有一个零点.定理4 设x(t)是方程(1)的满足x(0)=x′(Α)=0,Α∈(0,1)的非平凡解,r2≥r1,其他条件同定理3,则方程(2)的满足y(0)=0的非平凡解y(t)的导函数y′(t)在(0,Α)内有一个零点.证明 若有0<t1≤Α使y(t1)=0,由罗尔定理知:ϖΣ∈(0,Α)使y′(Σ)=0,定理显然成立.现设y(t)≠0,t∈(0,Α)则由定理1有[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2 +(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′,从0到Α积分得∫Α0[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫Α0(p1-p2)x′2d t+∫Α0p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t +∫Α0(q2f(y)y-q1-r224p2)x2d t+∫Α0(r2-r1)x x′d t.由于x(0)=0,故 ∫Α0(r2-r1)x x′d t=r2-r12x2 Α0-∫Α0r′2-r′12x2d t=r2(Α)-r1(Α)2x2(Α)-∫Α0r′2-r′12x2d t,又由于 ∫Α0[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=[x y(y p1x′-x p2y′)]Α0=-p2(Α)x2(Α)y′(Α)y(Α)从而-p2(Α)x 2(Α)y′(Α)y(Α)=∫Α0(p1-p2)x′2d t+∫Α0p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t+∫Α0(q2f(y)y-q1-r224p2-r′2-r′12)x2d t+r2(Α)-r1(Α)2x2(Α).由已知条件,显然上面等式的右边大于零,即-p2(Α)x 2(Α)y′(Α)y(Α)>0,从而y′(Α)与y(Α)反号,无妨设y(t)>0,t∈(0,Α),则y′(0)>0,y′(Α)<0,由y′(t)的连续性知:存在Σ∈(0,Α),使y′(Σ)=0.定理5 设0,1是方程(1)的非平凡解x(t)的两相邻零点,p1≥p2>0,q2≥q1+r 2 24p2+ r′2-r′12,t∈[0,1]且在[0,1]的任一子区间上等号不成立,又Πu≠0有ug(u)≤0,则方程(3)的非平凡解y(t)在[0,1]内至少有一个零点,证明 若不然,y(t)≠0,t∈[0,1],则由定理2有[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2 +(q2-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′-g(y)yx2,从0到1积分得∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t+∫10(q2-q1-r224p2)x2d t+∫10(r2-r1)x x′d t-∫10g(y)y x2d t.由于x(0)=x(1)=0,故∫10(r2-r1)x x′d t=r2-r12x2 10-∫10r′2-r′12x 2d t=-∫10r′2-r′12x2d t,从而∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t)x2d t-∫10g(y)y x2d t. +∫10(q2-q1-r224p2-r′2-r′12显然,由已知条件知上面等式的右边大于零,但等式的左边∫10[x y(y p1x′-x y2y′)]′d t=[x y(y p1x′-x p2y′)]10=0产生矛盾,故y(t)在[0,1]内至少有一个零点.定理6 设x(t)是方程(1)的满足x(0)=x′(Α)=0,Α∈(0,1)的非平凡解,r2≥r1,其他条件同定理5,则方程(3)的满足y(0)=0的非平凡解y(t)的导函数y′(t)在(0,Α)内有一个零点.定理6的证法与定理4的证法类似,故略.注1 当f(u)≡u(或g(u)≡0),p1=p2≡1,r1=r2≡0时,定理3(或定理5)为Stu r m 比较定理.注2 当f(u)≡u(或g(u)≡0),r1=r2≡0时,定理3(或定理5)为Stu r m2P icone比较定理.注3 当f(u)≡u(或g(u)≡0),p1=p2≡1,r1=r2≡0,∫10(q2-q1)x2d t>0时,定理3(或定理5)为Stu r m2L eigh ton比较定理.注4 当f(u)≡u(或g(u)≡0),r1=r2≡0,∫10[(p1-p2)x′2+(q2-q1)x2]d t>0时,定理4(或定理6)为Stu rm2L eigh ton关于解的导函数比较定理.参 考 文 献[1] W.L eigh ton,O n the z ero of solu tions of a seeond ord er linea r d if f eren tia l equa tion,J.M ath,Pu re.A pp l,3(1965),297-310.[2] W.L eigh ton,S o m e ele m en ta ry S tu r m theory,J.D ifferen tial Equati on4(1968),187-193[3] 邓宗琦,常微分方程边值问题和Stu rm比较理论引论(第一版),华中师范大学出版社,1987.[4] 程崇高等,一个微分2积分恒等式及其应用,华中师范大学学报(自然科学版),4(1993),433-435Sturm Com par ison Theorem of Solution s for SecondOrder Non li near D ifferen ti al EquationZ huan R ong kun(D ep t.of M ath.,H uizhou U niversity,Guangdong516015)AbstractIn th is p ap er,w e estab lish tw o differen tial iden ties and there by generalize som e classical Stu rm Com p arison theo rem s.Keywords second o rder non linear differen tial equati on,differen tial iden tity,Stu rm com p ar2 ison theo rem.。
二阶非线性微分方程Riccati方程的解法及应用_李晓琴
１ １－ｘ２
，ｔ＝ｇ（ｙ）＝ｓｉｎｙ，有ｂ′（ｘ）＋２ａ（ｘ）ｂ（ｘ）＝０，由
定
理
３
的
２）及
推
论
得ｔ″＋ａ（ｘ）ｔ′＋ｂ（ｘ）ｔ＝ｆ（ｘ）方
程
通 解 为 ：ｔ＝ｃ１ｘ＋ｃ２
槡１－ｘ２
＋
１３ｘ２＋
１ ３
，从
而
原
方
程
的
通
积
分
为
ｓｉｎｙ＝ｃ１ｘ＋ｃ２
槡１－ｘ２
＋
１３ｘ２
＋
１ ３
，ｙ＝
ａｒｃｓｉｎ（ｃ１ｘ＋ｃ２
０ 引言
我们知道，二阶非线性微分方程一般 是 不 可 积 的 （即 不 能 用 初 等 积 分 法 求 其 通 解 ），利 用 两 类 Ｒｉｃｃａｔｉ
方程
ｚ′＝ｚ２－ａ（ｘ）ｚ＋ｂ（ｘ）
（１）
的 求 解 公 式 ，给 出 了 两 类 二 阶 非 线 性 微 分 方 程 的 通 解 ，应 用 这 些 只 与 方 程 系 数 ａ（ｘ）与ｂ（ｘ）相 关 的 求 解 公
槡－ｃ
槡α－１
ｃ２ｅ 槡１－αｘ ）ｅ－４１ｘ２ ，ｙ ＝ （ ｃ１ ｅ－ 槡１－αｘ ＋ｃ２ｅ 槡１－αｘ ）ｅ ２ －２１ｘ２ ．
槡α－１
例 ２ 求 解 方 程 （１－ｘ２）ｙ″ｃｏｓｙ－ （１－ｘ２）ｙ′２ｓｉｎｙ－ｘｙ′ｃｏｓｙ＋ｓｉｎｙ＝１－ｘ２ ，（｜ｘ｜＜１）．
解 原方程可 化 为，ｙ″ｃｏｓｙ－ｙ′２ｓｉｎｙ－１－ｘｘ２ｙ′ｃｏｓｙ＋１－１ｘ２ｓｉｎｙ＝１，取 ａ（ｘ）＝ －１－ｘｘ２，ｂ（ｘ）＝
τ
ｓｉｎτ
槡ｂ（ｘ）ｄｘ＋ｃ２ｃｏｓτ
槡ｂ（ｘ）ｄｘ］；
∫ ∫ ３）当ｃ２
二阶非线性微分方程组的解法
二阶非线性微分方程组的解法微分方程是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域。
其中，二阶非线性微分方程组是一类常见的微分方程，在实际应用中也具有重要的意义。
本文将介绍二阶非线性微分方程组的解法。
一、基本概念与知识首先，我们需要了解一些基本概念和知识。
二阶非线性微分方程组一般形式为：$$\begin{cases}y''=f(x,y,y')\\z''=g(x,y,z,z')\end{cases}$$其中，$y$, $z$ 分别是自变量 $x$ 的函数，$f$, $g$ 是已知函数，$'$ 表示对自变量求导。
这类微分方程的解法不像线性微分方程组那样简单，需要运用一些特殊的技巧。
二、变系数法变系数法是解决二阶非线性微分方程组的一种有效方法。
其基本思想是将原方程组中的一个方程看作另一个方程的辅助方程，从而将原方程组化为一个二阶非齐次线性微分方程，然后再利用常规的线性微分方程的求解方法来解决。
具体步骤如下：(1) 假设 $z$ 是 $y$ 的辅助方程，即 $z''=g(x,y,z,z')$。
(2) 将 $z''$ 在 $y''$ 的方程中代入，得到二阶非齐次线性微分方程：$$y''-f(x,y,y')+\frac{dg(x,y,z,z')}{dz}=\frac{d^2 z}{dx^2}+\frac{d g(x,y,z,z')}{dy}\frac{dy}{dx}+\frac{dg(x,y,z,z')}{dz}\frac{dz}{dx}$$(3) 求解该方程。
(4) 由 $z''=g(x,y,z,z')$ 得到 $z$。
注意事项：在应用变系数法的过程中，需要注意以下几点：(1) 辅助方程的选取需要灵活，一般选取在求导和代入方便的方程作为辅助方程。
二阶非线性模糊微分方程解的存在性和唯一性
ìï ï
１ ５
ｘ
－ ４ꎬ
ïï １ꎬ
ｕ( ｘ)
＝
í ï ï
－
１ ５
ｘ
＋ ７ꎬ
îï ０ꎬ
２０≤ｘ < ５ꎻ ２５≤ｘ≤３０ꎻ ３０ < ｘ≤３５ꎻ ｘ < ２０ꎬｘ > ３５.
上述例 １ 是一个模糊数的例子. 我们用 Ｅ 表示所有一维模糊数的集合. 对任意 α∈(０ꎬ１] ꎬ[ ｕ] α ＝
{ｘ∈Ｒ ｜ ｕ(ｘ)≥α}称为 ｕ 的 α － 截集ꎬ 它是一个闭区间. 设 ｕꎬｖ∈Ｅꎬ 它们的距离定义如下ꎬ
方程的边值问题ห้องสมุดไป่ตู้的存在唯一性ꎬ
ｘ″ ＝ ｆ(ｔꎬｘ(ｔ))
(１)
收稿日期:２０１８ ０４ ２２ 基金项目:中央高校基本科研业务费专项资金(２０１７Ｂ１９７１４ꎬ２０１７Ｂ０７４１４) 资助 作者简介:陈峰 (１９９２ ) ꎬ男ꎬ 硕士生ꎬＥ￣ｍａｉｌ: ｆｅｎｇｅｄｉｉ＠ １６３. ｃｏｍ
６５８
(１) ｕ 是上半连续的ꎻ
(２) ｕ 是凸的模糊集ꎻ
(３) ｕ 是正规的模糊集ꎬ 即有 ｘ０∈Ｒꎬ 使得 ｕ(ｘ０) ＝ １ꎻ (４) [ ｕ]０ ＝ ｃｌ{ ｘ∈Ｒ ｜ ｕ( ｘ) > ０} 是闭区间ꎬ
则称 ｕ 是模糊数.
例 １ 记天气“好”为一个模糊集 ｕꎬ 则其关于温度 ｘ 的隶属函数可定义如下:
ｄ( ｕꎬｖ)
＝
ｓｕｐ
α∈[０ꎬ１]
ｄＨ
(
[
ｕ]
α
ꎬ[
ｖ]
α
)
ꎬ
其中 ｄＨ 表示区间的 Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ 距离.
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ: ｆｕｚｚｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎꎻ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙꎻ Ｓｃｈａｕｄｅｒ’ ｓ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍꎻ Ｂａｎａｃｈ’ ｓ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ ｍａｐｐｉｎｇ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
二阶非齐次方程的解法.
i i 是特征单根 ,
故 y* x(C cos x D sinx ), 代入原方程
所求非齐方程特解为 y*
1 2C sinx 2 D cos x sinx, C , D 0 2 1
1 原方程通解为 y C 1 cos x C 2 sin x x cos x . 2
故设 y* e (C cos2 x D sin2 x),
x
将y*, y*, y * 代入原方程，得 x x e [(10D C ) cos2 x ( D 10C ) sin2 x] e cos2 x
1 10 10D C 1 ,D C 101 101 D 10C 0
2
2
2 p 0,
2 x y * x Q ( x ) e . 可设 Q( x ) x Qm ( x ), m
x 综上讨论：非齐次方程 y py qy e Pm ( x )
的通解y*可以设为：
0 不 是 特 征 根 k x , y* x e Qm ( x ) , k 1 是 特 征 单 根 2 是 特 征 重 根
特征根的情况 通解的表达式
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
1 2 2
二阶常系数非齐次线性方程的解法
y py qy f ( x ) (P,q为常数)
环境的影响，服从牛顿冷却定理.
dT kt T (t ) 21.1 ae k (T 21.1) 通解为 dt 0 1 t 8:20 9:20
应用PDE讲解09StumLiouville问题
11
2.1 典则方程
特别关注二阶常微分方程的不同表现形式。
0
如果在有关区间上
0，可以换成
0 在方程两边分别乘以
合并，得到
exp
exp
0
从而得到方程
0 有导数项的系数本身与微分相联系的特性。
§2 解的零点与振荡性态 .................................................................... 11 2.1 典则方程..................................................................................... 12 2.2 Sturm 比较定理 ........................................................................ 13 2.3 Liouville 定理............................................................................. 19
§3 特征值与特征函数 ......................................................................... 23 3.1 特征函数正交性 ....................................................................... 23 3.2 特征值非负性 ........................................................................... 24 3.3 例子：热传导问题 ................................................................. 27
sturm比较定理
sturm比较定理
斯图姆比较定理是数学分析中的一个重要定理，它主要用于研究级数的收敛性。
该定理由德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒让德·施图姆（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）于1837年提出，因此得名斯图姆比较定理。
斯图姆比较定理的表述如下，设a_n和b_n是两个非负数列，如果对于所有的n，都有0≤a_n≤b_n，那么如果级数Σb_n收敛，那么级数Σa_n也收敛；反之，如果级数Σa_n发散，那么级数
Σb_n也发散。
斯图姆比较定理的重要性在于它提供了一种判别级数收敛性的方法。
通过将所求级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较，可以得出所求级数的收敛性。
这在数学分析和实际问题中具有广泛的应用，尤其是在处理复杂的级数求和问题时，斯图姆比较定理可以帮助我们快速判断级数的收敛性，从而简化问题的分析过程。
除了在数学分析中的应用外，斯图姆比较定理还在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学、工程学和经济学等领域，级数的收敛性判定经常是解决问题的关键一步，而斯图姆比较定理为我
们提供了一个简单而有效的方法来进行判断。
总之，斯图姆比较定理是数学分析中的重要定理，它为我们提供了一种判别级数收敛性的方法，不仅在理论研究中有着重要的意义，也在实际问题的求解中具有广泛的应用。
希望我的回答能够帮助你更好地理解斯图姆比较定理。
二阶非线性微分方程的解法
二阶非线性微分方程的解法微分方程是现代数学里研究的重要分支之一，也是物理、工程、经济等各个领域中重要的工具。
本文将介绍二阶非线性微分方程的解法，希望对读者有所帮助。
1. 常系数二阶非线性微分方程一般地，形如$y''+f(y)=0$的二阶非线性微分方程是需要特殊注意的。
如果$f(y)$是一个关于$y$的线性函数，那么这个方程就是线性的，可以用标准的方法解决。
但如果$f(y)$是一个非线性函数，问题就比较麻烦了。
对于常系数二阶非线性微分方程，如$$y''+ay+f(y)=0$$其中$a$是常数，我们可以使用想象力来得到它的近似解。
设$y=y_0+u$，其中$y_0$是$y$的一阶近似解，$u$是一个小量。
代入方程得到$$u''+yu'+f(y_0+u)=0$$忽略$u$的高阶项，即可得到$u''+y_0u'+f(y_0)=0$，这是一个线性方程，可以解出$u$，进而得到$y=y_0+u$的近似解。
2. 变系数二阶非线性微分方程对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y+r(x)=0$的非齐次线性微分方程，可以通过求出它的齐次解和一个特解的和来得到通解。
但对于非线性微分方程，通常需要采用其它方法来解决。
一个有效的方法是使用变换$$z=y'^2$$将原来的二阶方程转化为一阶方程。
将原方程对$x$求导得到$$y'''+(p(x)+2y''/y')y''+q(x)y'+q'(x)y=0$$用变换$z=y'^2$，得到$$y''=\frac{z'}{2\sqrt{z}}$$代入方程中，可以得到一个一阶非线性微分方程：$$zz''+(p(x)+2\sqrt{z})z'+q(x)z+r(x)=0$$这个方程可以用常数变易法来求解。
非线性二阶偏微分方程
非线性二阶偏微分方程
如果一个偏微分方程中，未知函数及其所有各阶偏导数以线性形式出现，则将这个偏微分方程称为线性偏微分方程（linear partial differential equation），反之，则称为非线性偏微分方程（nonlinear partial differential equation）。
若一个非线性偏微分方程中，未知函数的所有最高阶偏导数以线性形式出现，而其系数含有该未知函数或其较低阶的偏导数，则称这样的非线性偏微分方程为拟线性偏微分方程（quasilinear partial differential equation）。
又若一个非线性略偏微分方程中，未明函数的所有最低阶偏导数以线性形式发生，且最低的阶偏导数的系数也不不含未明函数与其较低阶的偏导数，这样的非线性略偏微分方程称作半线性略偏微分方程（semilinear partial differential equation）。
偏微分方程研究各类偏微分方程的求解与解的性质。
在18世纪初，微积分理论形成后不久，人们就开始结合物理问题研究偏微分方程，并逐渐形成一个独立的数学分支。
最早研究的几个偏微分方程是弘振动方程、热传导方程和调和方程。
随着力学、物理学的发展，连续介质力学、电磁场论、量子力学、引力理论、规范场论等方面的基本规律都被写成偏微分方程的形式。
数学领域中分析学、几何学中很多基本问题也可归结为一些偏微分方程的求解。
近年来，在各门自然科学、工程技术以致金融、经济、社会学等学科中又不断归结出一些新的偏微分方程，它们的研究对于相应学科的发展是十分重要的。
二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解方法
二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解方法
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解求解方法是指利用一般解的特殊形式来求解二阶常
系数非齐次线性微分方程的方法。
特解也称为积分形式解决方案，是求解微分方程的经典
方法之一。
本文旨在介绍二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解方法的基本原理及其应
用方法。
首先，要解决二阶常系数非齐次线性微分方程，需要考虑到方程的形式，即
d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=f(x)（1）
其中，p（x）和q（x）是方程的系数，f（x）是方程的右端项，d^2y/dx^2是导数的二阶导数。
解决（1），需要先将其化为可积分形式，即
(d/dx)[p(x)y]=f(x)-q(x)y (2)
式（2）可以变换为
y=(1/p(x))[d/dx INT[f(x)-q(x)y]dx+C] (3)
其中，INT[f(x)-q(x)y]dx是不定积分，C是常数。
将式（3）带入（2），即可求出y的解。
特别地，当f（x）=0时，式（3）就会变为
y=Cexp[-INT[q(x)]dx/p(x)] (4)
即y的解是一个泛函数。
利用二阶常系数非齐次线性微分方程特解求解方法，可以求解出不同场合下的一般解及其
特殊解。
如，一般解可以用来求解模式间的变形关系，特殊解可以用来求解瞬态现象的明
确形态及其变化规律。
综上所述，特解求解方法是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的经典方法之一。
它不仅
可以求解出一般解及其特殊解，而且可以有效地解决一些场景无法解决的瞬态问题，是一种非常有效的微分方程求解方法。
第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
2
(*)
次数相同的多项式: 则可设 Q( x ) 为次数与 Pm ( x ) 次数相同的多项式:
Q( x ) = Qm ( x ) , 即 y = Qm ( x) e
∗
rx
情形2 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r 2 + ar + b = 0 , 是特征方程的单根,
而 2r + a ≠ 0 , 则令 Q ( x ) = x Qm ( x ) , 即
y = xQm ( x)e
∗
rx
5
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
情形3 情形3
(*)
是特征方程的二重 二重根 若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 + ar + b = 0 ,
Qm(x) ， r 不是特征根
其中 Q(x) =
∗
xQm(x) ， r 是单特征根
x2Qm( x) ，r 是二重特征根
代入原方程，或根据恒等式(*) (*)来确定 然后将 y 代入原方程， 或根据恒等式(*)来确定
Q( x ) , 从而得到特解 y .
若 f ( x) = P ( x) ， 看 成 是 r = 0 的 特殊情形。 特殊情形 情形。 可 m
所以设特解为y = x ( Ax + B)e = ( Ax + Bx )e ,
2 2x 3 2 2x
∗
1 代入方程, 代入方程 得 6 Ax + 2 B = x , 解得 A = , B = 0 , 6
Sturm比较定理的一些结果
Sturm比较定理的一些结果
Andrea Laforgia;Martin E.Muldoon;蔡伟
【期刊名称】《甘肃联合大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1989(000)001
【摘要】一、引言关于二阶线性微分方程的解的 Sturm 比较定理(见[22]),问世以来差不多有150年了.这个定理已经被大大地推广和一般化,其中最值得注意的是在高阶方程、方程组和偏微分方程等方面(参阅[20]、[23]).初级教科书(例如[5]、[12]、[21])中所讨论的基本上是 Sturm 的原始结果以及它的一些较为直接的应用.本文是一篇介绍性的文章,旨在指出一些进一步的应用,这些应用值得被人们所了解,并且可以在初级教程中加以讨论.我们还希望能够使读者信服 Sturm 定理(即使是它的原始形式)在为特殊函数
【总页数】8页(P26-33)
【作者】Andrea Laforgia;Martin E.Muldoon;蔡伟
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】N
【相关文献】
1.三阶线性齐次微分方程解的Sturm比较定理 [J], 薛巧梅;秦宏立;张荣荣
2.一类三阶非线性微分方程解的Sturm比较定理 [J], 李飞飞;秦宏立
3.三阶非线性微分方程解的导函数的Sturm比较定理 [J], 秦宏立;李飞飞
4.3阶非线性微分方程解的Sturm比较定理 [J], 秦宏立;李飞飞
5.奇异Sturm-Liouville问题Weyl函数比较定理及应用 [J], 陈守川; 綦建刚; 黄文礼
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微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.docx
微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解李绍刚段复建徐安农(桂林电子科技大学，计算科学与数学系，广西桂林，541004)摘要：木文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式，并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明，并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用，大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。
关犍词：线性微分算子非齐次微分方程特解中图分类号：0175.1 引言对于微分方程，尤其是常系数非齐次线性微分方程，算了法求其特解一肓是研究的热点问题，见参考文献［3・9］,有一些是针对一般高阶的常系数非齐次线性微分方程［3-61，文献⑹ 研究了高阶的变系数非齐次线性微分方程的算子特解算法，而［7］是针对二阶的常系数非齐次线性微分方程的算子特解解法，但是理论不是很完善，而微分级数法以及复常系数非齐次线性微分方程在一般教科书很少出现，针对性不够强。
因为在高等数学中，二阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法在微分方程屮占有很重要的地位，也是学习的重点和难点，人多高数教材采用待定系数法来求其特解，根据不同情况记忆特解的设法对人多数学生而言述是很有难度的，而且有些题目计算过程非常复朵，本文就针对微分算子法在求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解方而的应用做一些讨论，给出理论的详细证明，并通过例子说明理论的的一些具体应用。
我们考虑如下的二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式y"+py'+q = f(x)其中p,q 为常数。
(1)2 2引入微分算子—= D,^ = D2,则有：y=型二Dydx dx" dx dx~于是(1)式可化为：D’y + pDy + qy = f(x) 即：(D2 + pD + q)y = f(x) (2)令F(D) = D24-pD + q 称其为算子多项式。
则(2)式即为：F(D)y = f(x) 其特解为：y = ^—f(x),在这里我们称为逆算子。
二阶非齐次方程的解法
6 .y 2 y 3 y e 4 x (c x o 4 ssx i)n 6 .y*e4x(C co x sD sixn )
三、小结
二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y p y q y f(x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 待定系数法.
(1 ) f(x ) e xP m (x )型 0 不是特征根
难点：如何求特解y*？ 方法：待定系数法.
一、 f(x)exP m (x)型
设非齐方程特解为 y*Q(x)ex 代入原方程
Q ( x ) ( 2 p ) Q ( x ) ( 2 p q ) Q ( x ) P m ( x )
(1) 若不是特征方程的根2 ，pq0,
可 Q (x 设 ) Q m (x ),y*Qm(x)ex;
i i 是特征单 , 根
故 y *x (C co xs D six ) n,代入原方程
2 C six n 2 D cx o six ,n C1,D0
所求非齐方程特解为 y*1xcosx, 2 2
原方程通解为 yC 1cox sC2six n 1 2xcox.s
例5 求方 y4y程 2 x46 sixn 的.通解
i 12i不是特,征根
故 y * 设 e x (C c2 o x sD s2 ix n ),
将y*,y*, y*代入原方程，得 e x [1 ( D 0 C ) c2 x o ( D s 1 C ) s 0 2 i x ] n e x c2 x o
10DC D10C
1 C
1
,D
10
0
101 101
二阶非齐次方程的解法
二阶常系数非齐次线性方程的解法
y p y q y f( x )(P,q为常数)
sturm比较定理 -回复
sturm比较定理-回复“sturm比较定理”是一项重要的数学定理，它为解决多项式的实根个数问题提供了有力的工具。
本文将详细介绍sturm比较定理的定义、原理以及应用，并逐步解释其背后的推理过程。
首先，让我们来了解一下sturm比较定理的定义。
给定一个一元多项式f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中a_i是实数系数，且a_n ≠0。
我们对f(x)进行斯特姆序列的构建，定义如下：S_0(x) = f(x)S_1(x) = f'(x)S_i(x) = -remainder(S_{i-2}(x), S_{i-1}(x))斯特姆序列的构建是逐项取余的过程，其中remainder(g, h)是g除以h 的余项。
通过斯特姆序列，我们可以得到一系列多项式，记作{S_0(x),S_1(x), ..., S_k(x)}。
接下来，让我们来了解一下sturm比较定理的原理。
sturm比较定理指出，对于给定的一元多项式f(x)，斯特姆序列{S_0(x), S_1(x), ..., S_k(x)}中的多项式个数减去其中变号的次数，等于f(x)的实根的个数。
这个结论是基于斯特姆序列的一个重要性质得出的，即相邻两个多项式S_i(x)和S_{i-1}(x)之间的根的个数的差，等于剩余多项式S_{i-2}(x)除以S_{i-1}(x)的根的个数。
在应用sturm比较定理求解多项式的实根个数时，我们需要进行以下步骤：第一步：将多项式f(x)进行斯特姆序列的构建，得到{S_0(x), S_1(x), ...,S_k(x)}。
第二步：计算斯特姆序列中每两个相邻多项式的变号次数。
即找出S_i(x)和S_{i-1}(x)的变号次数，并将结果记为V_i。
第三步：计算多项式f(x)的实根个数。
实根的个数等于斯特姆序列的多项式个数减去变号次数的和。
让我们通过一个具体的例子来解释sturm比较定理的应用过程。
关于多项式sturm定理的矩阵描述
关于多项式sturm定理的矩阵描述
Sturm定理是一种多项式定理，允许用户精确查找多项式的解。
它
主要针对单调的多项式和抛物线，它可以快速准确地查找多项式的解。
Sturm定理有时也称为Sturm-Bolzano定理，它还被称为“Sturm数”。
Sturm定理的公式为[f1(x), f2(x), f3(x), … fn(x)]，其中fi是满足fi(x) ≡ 0
的第i次多项式，n是多项式最高次数。
Sturm定理可以使用矩阵表示，当我们写出多项式f1（x），f2（x），
f3（x）... fn（x）时，Sturm定理就可以用下面的表示法表示：
A = {
[f1(x)],
[f2(x)],
[f3(x)],
...
[fn(x)]
}
在矩阵A中，每一行代表了一个多项式，以及它们从高次数到低次数
排列的性质。
通过使用Sturm定理来搜索多项式的解，我们可以看到
一系列不同的行数的矩阵，这样可以得到所有满足Sturm定理要求的
多项式的解。
使用Sturm定理来解多项式的过程很简单，也比较快速和准确，首先，在矩阵A中，我们根据它们的符号来区分负反值和正反值，开始从符
号反向移动，将每个次数移动到下一次数，而且对于每一次反向转换，都要检查一下多项式的符号值是什么。
总之，Sturm定理是一个特定的多项式定理，可以使我们将这个特定的
多项式表示为矩阵的形式，用它来搜索多项式的解，能够快速准确地
求出多项式的解，不需要花费大量的时间来求解多项式。
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第18卷第2期数学研究与评论V o l.18N o.2 1998年5月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON M ay1998二阶非线性微分方程解的Sturm比较定理Ξ庄 容 坤(惠州大学数学系,广东惠州516015)摘 要 本文首先建立二个微分恒等式,然后利用它们研究了二类非线性微分方程与线性微分程之间解的Sturm比较定理,所得结论包含了一些经典的结论.关键词 二阶非线性微分方程,微分恒等式,Sturm比较定理.分类号 AM S(1991)34C10 CCL O175.4考虑方程 (p1(t)x′)′+r1(t)x′+q1(t)x=0,(1) (p2(t)y′)′+r2(t)y′+q2(t)f(y)=0,(2) (p2(t)y′)′+r2(t)y′+q2(t)y=g(y).(3)设x(t)是方程(1)的非平凡解,且x(0)=x(1)=0,I=[0,1],p1(t),p2(t),r1(t),r2(t), q1(t),q2(t)∈C′(I),p2(t)>0,t∈I,f(u),g(u)∈C(-∞,+∞).定理1 设y(t)是方程(2)的非平凡解,若y(t)≠0,t∈[0,1],则成立下面恒等式[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2 +(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′.证明 [xy (y p1x′-x p2y′)]′=(x p1x′)′-(x2p2y′y)′=p1x′2+x(p1x′)′-x2(p2y′)′y-2x x′p2y′y+p2x2y′2y2=p1x′2-r1x x′-q1x2+r2x2y′y+q2x2f(y)y-2x x′p2y′y+p2x2y′2y2=p1x′2-r1x x′+(q2f (y)y-q1)x2+2p2x y′y(r2x2p2-x′)+p2(x y′y)2=p1x’2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2-p2(r2x2p2-x′)2+(q2f(y)y-q1)x2-r1x x′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2+(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′,即Ξ1995年4月26日收到.[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2 +(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′.定理2 设y(t)是方程(3)的非平凡解,若y(t)≠0,t∈[0,1],则成立下面恒等式[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2 +(q2-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′-g(y)yx2.定理2的证法与定理1的证法类似,故略.定理3 设0,1是方程(1)的非平凡解x(t)的两相邻零点,p1≥p2>0,q2≥q1+r 2 24p2+ r′2-r′12,t∈[0,1]且在[0,1]的任一子区间上等式不成立,又Πu≠0,有uf(u)≥u2,则方程(2)的非平凡解y(t)在[0,1]内至少有一个零点. 证明 若不然,y(t)≠0,t∈[0,1],则由定理1有:[xy(y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2 +(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′,从0到1积分得:∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t +∫10(q2f(y)y-q1-r224p2-r2′-r1′2)x2d t,又由于∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=0,从而∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t+∫10(q2f(y)y-q1-r224p2-r2′-r1′2)x2d t =0.但由已知条件可知上面的等式的左边大于零,产生矛盾,故y(t)在[0,1]内至少有一个零点.定理4 设x(t)是方程(1)的满足x(0)=x′(Α)=0,Α∈(0,1)的非平凡解,r2≥r1,其他条件同定理3,则方程(2)的满足y(0)=0的非平凡解y(t)的导函数y′(t)在(0,Α)内有一个零点.证明 若有0<t1≤Α使y(t1)=0,由罗尔定理知:ϖΣ∈(0,Α)使y′(Σ)=0,定理显然成立.现设y(t)≠0,t∈(0,Α)则由定理1有[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2 +(q2f(y)y-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′,从0到Α积分得∫Α0[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫Α0(p1-p2)x′2d t+∫Α0p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t +∫Α0(q2f(y)y-q1-r224p2)x2d t+∫Α0(r2-r1)x x′d t.由于x(0)=0,故 ∫Α0(r2-r1)x x′d t=r2-r12x2 Α0-∫Α0r′2-r′12x2d t=r2(Α)-r1(Α)2x2(Α)-∫Α0r′2-r′12x2d t,又由于 ∫Α0[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=[x y(y p1x′-x p2y′)]Α0=-p2(Α)x2(Α)y′(Α)y(Α)从而-p2(Α)x 2(Α)y′(Α)y(Α)=∫Α0(p1-p2)x′2d t+∫Α0p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t+∫Α0(q2f(y)y-q1-r224p2-r′2-r′12)x2d t+r2(Α)-r1(Α)2x2(Α).由已知条件,显然上面等式的右边大于零,即-p2(Α)x 2(Α)y′(Α)y(Α)>0,从而y′(Α)与y(Α)反号,无妨设y(t)>0,t∈(0,Α),则y′(0)>0,y′(Α)<0,由y′(t)的连续性知:存在Σ∈(0,Α),使y′(Σ)=0.定理5 设0,1是方程(1)的非平凡解x(t)的两相邻零点,p1≥p2>0,q2≥q1+r 2 24p2+ r′2-r′12,t∈[0,1]且在[0,1]的任一子区间上等号不成立,又Πu≠0有ug(u)≤0,则方程(3)的非平凡解y(t)在[0,1]内至少有一个零点,证明 若不然,y(t)≠0,t∈[0,1],则由定理2有[x y (y p1x′-x p2y′)]′=(p1-p2)x′2+p2(r2x2p2-x′+x y′y)2 +(q2-q1-r224p2)x2+(r2-r1)x x′-g(y)yx2,从0到1积分得∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t+∫10(q2-q1-r224p2)x2d t+∫10(r2-r1)x x′d t-∫10g(y)y x2d t.由于x(0)=x(1)=0,故∫10(r2-r1)x x′d t=r2-r12x2 10-∫10r′2-r′12x 2d t=-∫10r′2-r′12x2d t,从而∫10[x y(y p1x′-x p2y′)]′d t=∫10(p1-p2)x′2d t+∫10p2(r2x2p2-x′+x y′y)2d t)x2d t-∫10g(y)y x2d t. +∫10(q2-q1-r224p2-r′2-r′12显然,由已知条件知上面等式的右边大于零,但等式的左边∫10[x y(y p1x′-x y2y′)]′d t=[x y(y p1x′-x p2y′)]10=0产生矛盾,故y(t)在[0,1]内至少有一个零点.定理6 设x(t)是方程(1)的满足x(0)=x′(Α)=0,Α∈(0,1)的非平凡解,r2≥r1,其他条件同定理5,则方程(3)的满足y(0)=0的非平凡解y(t)的导函数y′(t)在(0,Α)内有一个零点.定理6的证法与定理4的证法类似,故略.注1 当f(u)≡u(或g(u)≡0),p1=p2≡1,r1=r2≡0时,定理3(或定理5)为Stu r m 比较定理.注2 当f(u)≡u(或g(u)≡0),r1=r2≡0时,定理3(或定理5)为Stu r m2P icone比较定理.注3 当f(u)≡u(或g(u)≡0),p1=p2≡1,r1=r2≡0,∫10(q2-q1)x2d t>0时,定理3(或定理5)为Stu r m2L eigh ton比较定理.注4 当f(u)≡u(或g(u)≡0),r1=r2≡0,∫10[(p1-p2)x′2+(q2-q1)x2]d t>0时,定理4(或定理6)为Stu rm2L eigh ton关于解的导函数比较定理.参 考 文 献[1] W.L eigh ton,O n the z ero of solu tions of a seeond ord er linea r d if f eren tia l equa tion,J.M ath,Pu re.A pp l,3(1965),297-310.[2] W.L eigh ton,S o m e ele m en ta ry S tu r m theory,J.D ifferen tial Equati on4(1968),187-193[3] 邓宗琦,常微分方程边值问题和Stu rm比较理论引论(第一版),华中师范大学出版社,1987.[4] 程崇高等,一个微分2积分恒等式及其应用,华中师范大学学报(自然科学版),4(1993),433-435Sturm Com par ison Theorem of Solution s for SecondOrder Non li near D ifferen ti al EquationZ huan R ong kun(D ep t.of M ath.,H uizhou U niversity,Guangdong516015)AbstractIn th is p ap er,w e estab lish tw o differen tial iden ties and there by generalize som e classical Stu rm Com p arison theo rem s.Keywords second o rder non linear differen tial equati on,differen tial iden tity,Stu rm com p ar2 ison theo rem.。