统计物理初步

dx (T2
L (T1 T2 )
. x
dx
0
T1 T2 L
ln 5
x)

M
M mol po S R
x
18

M
M mol po S R
L (T1 T2 )
ln 5
末态: 封闭开口端, 并使管子冷却到TE= 100K。
pSL M M mol RTE
p
TE ln 5 T1 T2
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课程内容 大学物理II
热力学与统计物理初步 电磁学 量子论
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成绩评定 平时成绩20%+期末考试成绩80%
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第2篇 热力学与统计物理初步
第七章 统计物理初步
均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到TE=100K。计算
此时管内气体的压强。
解 初态是定态, 但不是平衡态。末态是平衡态。
关键是求出管内气体的质量。
对x处的气体元(dx ,dM)可视为平衡态:
podV dM M mol RT
T2 . . . x . dx dM . . .
T T2
T1 T2 L

2 x 2 y 2 z
1
2
3
9
2.理想气体的宏观模型
严格遵守理想气体状态方程的气体
pV M M mol RT vRT
普适气体恒量: R =8.31 (Jmol-1K-1)
理想气体状态方程还可写为
pV
Nm N 0m
RT NkT
(阿伏伽德罗常数 N0=6.021023mol-1
6
§7-2
压强和温度的统计意义
一 统计规律
1.统计规律的概念 (1).伽尔顿板实验 (2).统计规律 在一定条件下，大量偶然事件存在一种 必然的规律性，这种规律性称为统计规律。 (3).统计规律的特点 A.统计规律只能通过大量偶然事件的整体效果体现出来，对 少数事件不适用。 B.统计规律与系统所处的宏观条件有关。 C.统计规律总是伴有“涨落”。
Et 1 2 m
2

3 2
kT
——理想气体的温度公式
说明：A.温度的微观实质：温度是分子平均平动动能的量度， 是分子热运动剧烈程度的标志。
B.温度具有统计意义：是大量分子热运动的集体表现。
对于单个分子, 温度是没有意义的。
例1 一长金属管下端封闭, 上端开口, 置于压强为po的大气中。 在封闭端加热达T1=1000K, 上端达到T2=200K，温度沿管长
M i RT
i 2
M mol 2
pV
刚性分子 t r， i t r 2 s， 非刚性分子
可见，对一定量的理想气体 ，内能是温度的单值函数 。
26
例3 容器内有He和O2 两种混合气体，混合气体的热力学温度
T=290K， 总的内能E=9.64×105J， 总质量M=3.2kg，求两种
一 热学的研究对象
热学是研究分子热运动及各种热现象的规律及其应用 的一门学科。
二 热学的研究方法
1.统计物理研究方法 ——分子物理学(分子动理论)
从物质的微观结构出发，依据每个粒子所遵循的力学规律， 用统计的方法研究微观量和宏观量之间的关系,从而阐述热现 象的微观本质。
2.热力学研究方法 ——热力学 从能量的观点出发，由观察和实验总结出热力学定律； 用严密的逻辑推理方法研究宏观物体的热力学性质。
i ( ix 0)
iy iz
.
m
ix .
. .
i ix
.A
. .
.

2mni ix
2
x
单位时间内器壁A单位面积上所受的总冲量：
i ( υix 0 )
2mn υ
i
2
ix
根据理想气体分子的统计假设， ix0和ix0的分子各 占一半。故单位时间内器壁A单位面积上所受的总冲量,
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2.统计规律的数学描述
(1).概率：大量偶然事件中，出现某一结果的可能性
PA lim NA N
N
所有结果的概率和等于1，即称概率满足归一化条件。
P
i
i
1
0 Pi 1
(2).物理量的统计平均值
W lim W1 N 1 W2 N 2 Wn N n N
N
W1 P1 W2 P2 Wn Pn
. . .
. .
.
i ix
.A
.
x
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(1)考虑速度为i的分子 A.一个分子碰撞一次给A面的冲量： 2mix
B.单位时间内与器壁A上单位面积碰撞的分子数：
niix1
C.单位时间内器壁A单位面积上所受的冲量为：
2mniix2
(2)考虑所有可能的速度 单位时间内器壁A单位面积上 所受的总冲量：
玻耳兹曼常量 k =R /N0=1.38×10-23 JK-1) 或
p nkT
式中：n=N/V—分子数密度。
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三.压强的统计意义
1.压强的统计意义
理想气体处于平衡态下，气体在宏观上施于器壁的压强, 是大量分子对器壁频繁碰撞的总的平均效果。
2.压强公式 设气体分子质量为m, 分子数
密度为n, 而单位体积中速度为i 的分子数为ni 。 现沿速度i方向取一底面为 单位面积、高为ix的斜柱体。
确定沿连线的振动-----1个振动自由度， t=3 ， r=2 ， s=1 ，总自由度数为6 4.多原子气体分子(原子数n3) 刚性: t=3 r=3，总自由度数为6 非刚性： 总自由度数为3n，t=3 r=3 s=3n-6 在常温下，可将气体分子视为刚性分子，只需考虑平 动自由度和转动自由度。
E mol N 0
i 2 kT
i 2 RT
刚性分子 t r， i t r 2 s， 非刚性分子
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•单原子气体分子 E mol
3 2 6
2
RT •刚性双原子气体 E mol
RT
5 2
RT
•刚性多原子气体 E mol
• M千克理想气体的内能为
E M M mol E mol
高温
5
(4).平衡态是一种动态平衡，又称热动平衡。
(5).平衡态是一个理想模型。
二 描述热力学系统的参量
1.微观参量 表征微观粒子运动状态的物理量
如分子的质量m、速度、动量p、能量等。
2.宏观参量
表征热力学系统宏观性质的物理量
如气体的质量M、体积V、压强P、温度T、内能E等。 当系统处在平衡态时，其状态可以用宏观参量描述， 这些宏观参量称为状态参量。
解得： T
p1 p2 p1 T1 p2 T2
.
.
.
.
.
.
P1 T1 V
P2 T2 V
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例5 体积为20.0升的瓶子以v=200m/s匀速运动，瓶中装有100g 的氦气。设瓶子突然停止，且气体分子定向运动的动能都变为
气体的质量。
解 设He的质量为M1，O2的质量为M2，则
M1+M2 =M
总的内能：
E M1 3 M He 2 RT M2 5 Mo 2
2
RT
解得： M1=0.50kg, M2=2.7kg。
E M i RT
M mol 2
O2均可视为刚性分子
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例4
容器两边是同种气体，左边：p1、T1、V，右边：p2、
ln 5 8
p0
S . . . . . . .
L
最后得
p
p0 0.2 p0
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例2 一容器体积V=1m3, 有N1=1×1025个氧分子， N2=4×1025
氮分子，混合气体的压强 p=2.76 ×105pa, 求分子的平均平动 动能及混合气体的的温度。 解 由状态方程 得 T
pV NkT
pV ( N 1 N 2 )k
pV Nk
=400K
又
Et
3 2
kT =8.2610-21J
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§7-3 能量按自由度均分定理
一.气体分子的自由度
自由度— 确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数目
1.单原子气体分子 t=3 可视为质点 确定它在空间的位置需3个独立坐标，故有3个平动自由度
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二.能量按自由度均分定理
1.分子的平均平动动能按自由度均分 分子的平均平动动能
υx υ y υz
2 2 2
Et
1 2
m
2

3 2
kT
1 3
υ
2

1 2
m x
2
1 2
m y
2
1 2
m z
2
1 2
kT
可见，分子的平均平动动能是均匀地分配在3个自由 度上的，或者说每个平动自由度具有相等的平均动能， 都为 kT 。
x ,
L 管长
T1
x
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podV
dM M mol
RT
T T2
T1 T2 L
x
dV Sdx , S 管横截面积
dM M mol po Sdx RT
M mol po S R
M mol po S R(T2 T1 T2 L x) dx
. . . . . .
M

L
一般说来，某次测量值与统计平均值之间存在的偏离， 这种偏离就是涨落。
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二 理想气体模型
1.理想气体的微观模型