10.1 随机抽样

10.1 随机抽样

1． 简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2． 系统抽样的步骤

假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． (1)先将总体的N 个个体编号；

(2)确定分段间隔k ，对编号进行分段，当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ；

(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；

(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本． 3． 分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． [难点正本 疑点清源] 1． 三种抽样方法的联系

三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n ，总体的个体数为N ，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是n

N .

2． 各种抽样方法的特点

(1)简单随机抽样的特点

总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性，个体间无固定间距． (2)系统抽样的特点

适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始

部分抽样时，采用简单随机抽样．

(3)分层抽样的特点

适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．

1．大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个，现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本，较为恰当的抽样方法为________________．

答案简单随机抽样

解析因为三个盒子中装的是同一种产品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整数，所以将三盒中产品放在一起搅匀按简单随机抽样法(抽签法)较为适合．

2．(2011·天津)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人．若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．

答案12

解析样本的抽取比例为

21

48＋36

＝

1

4，所以应抽取男运动员48×

1

4＝12(人)．

3．(2011·山东)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．

答案16

解析抽样比为

40

150＋150＋400＋300

＝

4

100，因此从丙专业应抽取

4

100×400＝16(人)．

4．(2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为

()

A．7 B．9 C．10 D．15

答案 C

解析由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为960

32＝30，抽取的号码依次为

9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．

5．将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量

为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为

( )

A ．700

B ．669

C ．695

D ．676

答案 C 解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号l ＝15，

分段间隔数k ＝N n ＝1 000

50＝20，则抽取的第35个编号为a 35＝15＋(35－1)×20＝695.

题型一 简单随机抽样

例1 某车间工人加工一种轴承100件，为了了解这种轴承的直径，要从中抽取10件轴承

在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？

思维启迪：考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数法均可容易获取样本，须按这两种抽样方法的操作步骤进行．抽签法应“编号、制签、搅匀、抽取”；随机数法应“编号、确定起始数、读数、取得样本”．

解 (抽签法)将100件轴承编号为1,2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴承的直径．

探究提高 (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键要看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

(2)随机数表中共随机出现0,1,2，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．

有一批瓶装“山泉”牌矿泉水，编号为1,2,3，…，112，为调查该批矿泉

水的质量问题，打算抽取10瓶入样，问此样本若采用简单随机抽样方法将如何获得？ 解 方法一 (抽签法)：把每瓶矿泉水都编上号码001,002,003，...，112，并制作112个号签，把112个形状、大小相同的号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取10次，就得到一个容量为10的样本． 方法二 (随机数法)：第一步，将原来的编号调整为001,002,003， (112)

第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如：选第9行第7列的数3，向右读．

第三步，从选定的数3开始向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,092.

第四步，对应原来编号74,100,94,52,80,3,105,107,83,92的瓶装矿泉水便是要抽取的对象． 题型二 系统抽样