高一数学(人教A版)必修4能力提升：1-2-1单位圆中的三角函数线

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高中数学必修4 1.2.2单位圆与三角函数线

利用三角函数线比较函数值大小课后作业：一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.π4或34πB.5π4或74πC.π4或54πD.π4或74π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 4．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等5．若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α6．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]7．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]8．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 10.函数x x y cos sin -+=的定义域是（）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈二、填空题11．不等式cos α≤12的解集为________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.13．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________．14．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．。

高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习(含解析)新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习（含解析）新人教A版必修41．对于三角函数线，下列说法正确的是( )A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在答案 D解析当角的终边落在y轴上时，正切线不存在，但对任意角来说，正弦线、余弦线都存在．2．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A．y轴上 B．x轴上C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上答案 B解析由题意得|cosα|＝1，即cosα＝±1，角α终边在x轴上，故选B．A．sin1>cos1>tan1 B．sin1>tan1>cos1C．tan1>sin1>cos1 D．tan1>cos1>sin1答案 C解析设1 rad角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，∵π4<1<π2，∴0<x<y<1，从而cos1<sin1<1<tan1．4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．a<c<b答案 C解析作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线，可知：b＝OM>0，a＝MP<0，c＝AT<0，且MP>AT．∴c<a<b．5．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( )A．sinα＋cosα B．tanα＋sinαC．cosα－tanα D．sinα－tanα答案 B解析如图，作出sinα，cosα，tanα的三角函数线．显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|．∵MP>0，AT<0，∴MP<－AT．∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0．6．已知MP，OM，AT分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线，则这三条线从小到大的排列顺序是________．答案OM<MP<AT解析如图，在单位圆中，∠POA＝75°>45°，由图可以看出OM<MP<AT．7．利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)tan 4π3与tan 7π6；(2)cos 11π6与cos 5π3．解 (1)如图1所示，设点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，角4π3和角7π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，PO ，P ′O 的延长线与单位圆的过点A 的切线的交点分别为T ，T ′，则tan 4π3＝AT ，tan 7π6＝AT ′．由图可知AT >AT ′>0，所以tan 4π3>tan 7π6．(2)如图2所示，设角5π3和角11π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，过P ，P ′分别作x 轴的垂线，分别交x 轴于点M ，M ′，则cos 11π6＝OM ′，cos 5π3＝OM ．由图可知0<OM <OM ′，所以cos 5π3<cos 11π6．答案 0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π解析由0≤θ<2π且tan θ≤1，利用三角函数线可得θ的取值范围是0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π．9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12；(3)tan α≥－1．解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z ．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k ＋4π3，k ∈Z．(3)在单位圆过点A (1，0)的切线上取AT ＝－1，连接OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1，P 2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，所以α的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－π4＋k π≤α<π2＋k π，k ∈Z，如图．一、选择题1．已知α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且方向相同，那么α的值为( ) A ．5π4或7π4 B ．π4或3π4C ．π4或5π4D ．π4或7π4答案 C解析因为角α的正弦线与余弦线长度相等，方向相同，所以角α的终边在第一或第三象限，且角α的终边是象限的角平分线，又0<α<2π，所以α＝π4或5π4，选C ．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案 D解析当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角． 3．如果π<θ<5π4，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ 答案 D解析本题主要考查利用三角函数线比较三角函数值的大小．由于π<θ<5π4，如图所示，正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，由此容易得到cos θ<sin θ<0<tan θ，故选D ．4．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3 B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 C ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π答案 D解析由图1知当sin α<32时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π．由图2知当cos α>12时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π． 5．已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析解法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sin α>sin β，此时cos α<cos β，所以A 不正确；取α＝120°，β＝150°，满足sin α>sin β，这时tan α<tan β，所以B 不正确；取α＝210°，β＝240°，满足sin α>sin β，这时cos α<cos β，所以C 不正确．解法二：如图，P 1，P 2为单位圆上的两点，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且y 1>y 2．若α，β是第一象限角，又sin α>sin β，则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2． ∵y 1>y 2，∴α>β．∴cos α<cos β．∴A 不正确．若α，β是第二象限角，由图知P 1′(x 1′，y 1′)，P 2′(x 2′，y 2′)，其中sin α＝y 1′，sin β＝y 2′，则tan α－tan β＝y 1′x 1′－y 2′x 2′＝x 2′y 1′－x 1′y 2′x 1′x 2′．而y 1′>y 2′>0，x 2′<x 1′<0， ∴－x 2′>－x 1′>0，∴x 1′x 2′>0，x 2′y 1′－x 1′y 2′<0，即tan α<tan β．∴B 不正确．同理，C 不正确．故选D ．二、填空题6．若α是第一象限角，则sin2α，cos α2，tan α2中一定为正值的个数为________．答案 2解析由α是第一象限角，得2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，所以k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，所以α2是第一或第三象限角，则tan α2>0，cos α2的正负不确定；4k π<2α<π＋4k π，k ∈Z ，2α的终边在x 轴上方，则sin2α>0．故一定为正值的个数为2．7．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是________．答案π2，π 解析由三角函数线知，在[0，2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈π4，5π4，使tan θ<sin θ的角θ∈π2，π∪3π2，2π，故θ的取值范围是π2，π．8．若函数f (x )的定义域是(－1，0)，则函数f (sin x )的定义域是________．答案－π＋2k π，－π2＋2k π∪－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )解析 f (x )的定义域为(－1，0)，则f (sin x )若有意义，需－1<sin x <0，利用三角函数线可知－π＋2k π<x <2k π，且x ≠－π2＋2k π(k ∈Z )．三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)sin1和sin π3；(2)cos 4π7和cos 5π7；(3)tan 9π8和tan 9π7；(4)sin π5和tan π5．解 (1)sin1<sin π3．如图1所示，sin1＝MP <M ′P ′＝sin π3．(2)cos 4π7>cos 5π7．如图2所示，cos 4π7＝OM >OM ′＝cos 5π7．(3)tan 9π8<tan 9π7．如图3所示，tan 9π8＝AT <AT ′＝tan 9π7．(4)sin π5<tan π5．如图4所示，sin π5＝MP <AT ＝tan π5．10．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2．当2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2(k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2．。

1.2.1(2)单位圆与三角函数线(高中数学人教A版必修四).ppt

π 5π (2)如图所示，在 0～2π 内作出正切值等于 1 的角：4和 4 ，则在图中所示的阴影区域内的每个角 x(不包括终边在 y 轴上的角)均满足 tanx≤1.
π 5π π 所以所求的角 x 的集合为： {x|2kπ＋2<x≤ 4 ＋2kπ 或－2＋ π π π 2kπ<x≤4＋2kπ，k∈Z}＝{x|kπ－2<x≤kπ＋4，k∈Z}．
cos OM tan AT
O P
A(1,0)
α的终边
终边落在第四象限
y
α
sin MP
M A(1,0)
O
P
T
x
cos OM tan AT
α的终边
α的终边 y P α
M
三角函数线
y α的终边 P T x
A(1,0) T
α
O y
O
M A(1,0)
x
sin MP cos OM
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。
用途
三角函数线的具体作用 :
1.比较两个三角函数值的大小
实例
剖析
3π 例1、作出 2π 的正弦线、余弦线和正切线.. 4 3
解：在直角坐标系中作单位圆如图示 2
y y
以x轴的正半轴为始边作出的角， 3 其终边与单位圆交于P点，作PM x轴，垂足
为M，由单位圆与x轴的正半轴的交点A作 x轴的垂线, 与OP的反向延长线交于T点，
P

《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-2-1任意角的三角函数-2

(1)sinβ________sinα. (2)cosα________cosβ. (3)tanβ________tanα. 答：(1)> (2)> (3)>
(1)三角函数线的特征：①三角函数线的位置：正弦线为角α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段，余弦线在x 轴上，正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外．②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值．
在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sinα≥ 23；(2)cosα≤－12.
解：直线y＝
3 2
交单位圆于A，B两点，连接OA与OB，则
OA与OB围成的区域(图(1)的阴影部分)即为角α的终边范围．
故满足条件的角的集合为{α|
π 3
＋2kπ≤α≤
2π 3
＋2kπ，k∈
解析：因为π4<1<2π，如图所示：
由三角函数线可得sin1> 22>cos1，故sin1－cos1>0. 答案：>
(2)下列关系式中正确的是( ) A．sin10°<cos10°<sin160° B．sin160°<sin10°<cos10° C．sin10°<sin160°<cos10° D．sin160°<cos10°<sin10°
【解】如图(1)． ∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12. ∴函数定义域为2kπ－π3，2kπ＋3π(k∈Z)．

必修四1-2-1-2三角函数线及其应用

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【变式 2】利用正弦线比较 sin1，sin 1.2，sin 1.5 的大小关系是( )．
A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 解析 ∵1,1.2,1.5
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1 解如图(1)作直线 y＝2交单位圆于 P、Q，则 OP、OQ 为角 α 的终边．如图(2)所示，当 α 的终边是 OP 时，角 α 的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT. 当 α 的终边为 OQ 时，角 α 的正弦线为 NQ，余弦线为 ON，正切线为 AT′.
(1)
(2)
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规律方法
作三角函数线关键是依据三角函数线的定义，三角
函数的定义不仅给出了什么是正弦线、余弦线、正切线．同时也给出了角 α 的三角函数线的画法即先找到 P、M、T 点，再画出 MP、OM、AT.
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1 1 【变式 1】若将例题中“sin α＝2”改为 cos α＝2，如何画出角 α 的终边．解 1 如图作直线 x＝交单位圆于 M、N.则 OM、ON 为角 α 的 2
如上图，过(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或α
正切线终边的反向延长线于T，有向线段正切线即为 AT
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人教A版高中数学必修4《第一章三角函数 1.2 任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学》_0

“任意角的三角函数”教学设计•数学（4）》（人教A版）。

三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用.直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。

三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.二、学情分析在初中学生学习过锐角三角函数。

因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。

学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

三、教学方法与手段教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学目标1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数.4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。

5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。

1-2-1 单位圆中的三角函数线

基础巩固一、选择题1．(江苏苏州五中期中)角α的正弦线、余弦线和正切线的数量分别为a ，b ，c ，如果5π4<α<3π2，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．a >c >b[答案] C2．已知角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．x 轴上B ．y 轴上C ．直线y ＝－x 上D ．直线y ＝x 上 [答案] A3．下列各式正确的是( ) A ．sin1>sin π3 B ．sin1<sin π3 C ．sin1＝sin π3 D ．sin1≥sin π3 [答案] B[解析] 1和π3的终边均在第一象限，且π3的正弦线大于1的正弦线，则sin1<sin π3.4．下列判断中错误的是( ) A ．α一定时，单位圆中的正弦线一定B ．单位圆中有相同正弦线的角相等C ．α和α＋π有相同的正切线D ．有相同正切线的两个角的终边在同一直线上 [答案] B[解析] 有相同正弦线的角相差2π的整数倍，不一定相等，故选B.5．若MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM[答案] D[解析] 作出单位圆中的正弦线、余弦线，比较知D 正确． 6．如图所示，角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，过点A 作单位圆的切线AT 交OP 的反向延长线至点T ，则有( )A ．sin α＝OM ，cos α＝PMB ．sin α＝MP ，tan α＝OTC ．cos α＝OM ，tan α＝ATD ．sin α＝MP ，tan α＝AT[答案] D 二、填空题7．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________． [答案] 18．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．[答案] －12 三、解答题9．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0，得⎩⎨⎧sin x ≥0，cos x >12，在直角坐标系中作单位圆，如图所示，由三角函数线可得⎩⎨⎧2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，2k π－π3<x <2k π＋π3(k ∈Z ).解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为{x |2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z }．10．在单位圆中画出满足cos α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合．[解析] 如图所示，作直线x ＝12交单位圆于M 、N ，连接OM 、ON ，则OM 、ON 为α的终边．由于cos π3＝12，cos 5π3＝12，则M 在π3的终边上，N 在5π3的终边上，则α＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z .所以α组成的集合为S ＝{α|α＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z }.。

高中数学人教A版必修四课时训练：第一章三角函数1-2任意角的三角函数

11．解 (1)
图1
作直线 y＝ 23交单位圆于 A、B，连结 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图 1 阴影部分)，即为角 α 的终边的范围．故满足条件的角 α 的集合为 {α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z}． (2)
∴sin 2cos 3tan 4<0.
10．2
解析 ∵y＝3x，sin α<0，∴点 P(m，n)位于 y＝3x 在第三象限的图象上，且 m<0，n<0，
n＝3m.
∴|OP|＝ m2＋n2＝ 10|m|＝－ 10m＝ 10.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
11．解 (1)原式＝cosπ3＋－4×2π＋tanπ4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.
3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求 0～2π(或 0°～360°)角的三角函数值．
答案
知识梳理
y 1.r
x r
y x
3.相等
sinα
cosα
tanα
作业设计
1．A 2.B
3．C [∵sinα<0，∴α 是第三、四象限角．又 tanα>0，
∴α 是第一、三象限角，故 α 是第三象限角．]
4．C [∵1,1.2,1.5 均在0，π2内，正弦线在0，π2内随 α 的增大而逐渐增大，
∴sin1.5>sin1.2>sin1.] 5．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得 D 正确．] 6．A [
如图所示，在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP、余弦线 OM、正切线 AT，很容易地观察出
OM<MP<AT，即 cosα<sinα<tanα.]

数学(人教A版)必修4课件：1-2-1 单位圆中的三角函数线

第一章
1.2
高中新课程
· 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4
4．若750° 角的终边上有一点(4，a)，则a的值是_____．
[答案]
4 3 － 3
第一章
1.2
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[解析]
∵tan750° ＝tan(360° ×2＋30° )
3 a ＝tan30° ＝＝ . 3 4 3 4 3 ∴a＝ 3 ×(4)＝ 3 .
第一章
1.2
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3．在下列各式中填上适当的不等号： (1)sin759° 28′8″________0； (2)sin(－759° 23′8″)________0； 13 (3)tan(－ 5 π)________0； 41 (4)cos π________0. 7
第一章
1.2 任意角的三角函数
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三角函数
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第一章
1．2.1 单位圆中的三角函数线
第一章
三角函数
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
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1.2
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第一章
1.2
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③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值． ④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后． ⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．

人教课标版高中数学必修4《单位圆在三角函数中的应用》复习课件

OAcos AP sin cos cos sin sin
y
P'
A
C P
o BM
x
1、相当于角的终边顺时针旋转了角度。
2、体现了角的旋转变换思想的运用
3、同理可得如果逆时针旋转则为
4、使用诱导公式可以得出sin( ) sin cos cos sin
5、如果则为倍角公式 sin 2 2sin cos
3、数学和物理的有机结合可以方便理解相关概念。
a
突出重点
函数线
函数线
诱导公式一般形式恒等变换
三角函数线
函数线：用有向2、余弦线: OM 3、正切线: AT
o M A(1, 0) x
突破
在其他象限又该如何表示呢？
难点
三角定义
函数线
诱导公式一般形式恒等变换
典型例题
思路：利用面积大小比较
三角定义函数线
cos 2 cos2 sin2
三角定义函数线
诱导公式一般形式恒等变换
典型例题
三角定义函数线
诱导公式一般形式恒等变换
归纳总结
1、充分挖掘和利用单位圆的相关性质，结合角度的变换，从而更加形象深刻地理解相关的公式。
2、把单位圆作为联系的桥梁，全面掌握角度的对称变换、旋转变换和相关的意义。
单位圆在三角函数中的应用
三角定义
函数线诱导公式
一般形式恒等变换
三角定义
函数线
诱导公式
一般形式
恒等变换
单位圆
三角定义
函数线
诱导公式一般形式
单位圆定义
恒等变换
单位圆：平面内到坐标原点的距离为1的所有点的集合圆心（0,0）半径为1

高一数学(新人教A版必修4)考点清单《1.2.1 单位圆中的三角函数线》

单位圆中的三角函数线
命题方向利用三角函数线解三角不等式
、已知α≥，求角α的集合．
[分析]根据正弦线的定义，先找到正弦线等于的角，再根据正弦线的变化趋势即可得到．
[解析]作直线＝交单位圆于、′，则∠＝∠′＝，在[π)内∠＝，∠′＝，如图所示．
∴满足条件的集合为{απ＋≤α≤π＋，∈}．
、()利用三角函数线求满足α≥的角α的集合．
()利用单位圆中的三角函数线求同时满足α≤，α≥
的α的取值范围．
[答案](){απ－≤α≤π＋，∈}
(){απ－≤α≤π＋，∈}
[解析]()满足≤的α取值范围为[π－，π＋](∈)，满足α≥的α范围[π－，π＋](∈)，故符合题目要求的α的范围是{απ－≤α≤π＋，∈}.
命题方向利用三角函数线解三角方程
1、已知，求角α的取值集合。

[解析]已知角α的正弦值，可知＝，则点纵坐标为.所以在轴上取点(，)，过这点作轴的平行线＝，交单位圆于、两点，则、是角α的终边，因而角α的集合为{αα＝π＋或α＝π＋，∈}，如图：
、解方程：α＝－.
[解析]因为角α的正切值等于－，所以＝－.在单位圆上过点()的切线与直线＝－交于点，连接，所在直线与单位圆交于、两点、是角α的终边，则角α的取值集合是{αα＝π＋或α＝π＋π，∈}＝{αα＝π＋，∈}，如图.。

高一数学(人教A版)必修4能力提升：1-2-1 单位圆中的三角函数线

能力提升一、选择题1．11π6的正弦线为MP ,正切线为AT ,那么有( )A ．MP 与AT 的方向相同B ．|MP |＝|AT |C ．MP >0 ,AT <0D ．MP <0 ,AT >0[答案] A[解析] 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP ＝sin 11π6<0 ,AT ＝tan 11π6<0.2．α角的正弦线与y 轴正方向相同 ,余弦线与x 轴正方向相反 ,但它们的长度相等 ,那么( )A ．sin α＋cos α＝0B ．sin α－cos α＝0C ．tan α＝0D ．sin α＝tan α[答案] A3．假设π4<α<π2 ,那么以下不等式正确的选项是( )A ．sin α>cos α>tan αB ．cos α>tan α>sin αC ．sin α>tan α>cos αD ．tan α>sin α>cos α[答案] D4．y ＝sin x ＋lgcos xtan x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ≤2k π＋π2B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x <2k π＋π2 C.{}x |2k π<x <(2k ＋1)πD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2<x <2k π＋π2(以上k ∈Z ) [答案] B[解析] ∵⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧sin x ≥0cos x >0tan x ≠0x ≠k π＋π2 k ∈Z,∴2k π<x <2k π＋π2,k ∈Z .5．(能力拔高题)cos α≤sin α ,那么角α的终边落在第|一象限内的范围是( )A ．(0 ,π4]B ．[π4 ,π2)C ．[2k π＋π4 ,2k π＋π2) ,k ∈ZD ．(2k π ,2k π＋π4] ,k ∈Z[答案] C[解析] 如下图 ,由余弦线长度|OM |不大于正弦线长度|MP |可知,角α的终边落在图中的阴影区域,应选C.6．sinα>sinβ ,那么以下命题成立的是()A．假设α、β是第|一象限角,那么cosα>cosβB．假设α、β是第二象限角,那么tanα>tanβC．假设α、β是第三象限角,那么cosα>cosβD．假设α、β是第四象限角,那么tanα>tanβ[答案] D[解析]如图(1) ,α、β的终边分别为OP、OQ ,sinα＝MP>NQ＝sinβ ,此时OM<ON ,∴cosα<cosβ ,故A错；如图(2) ,OP、OQ分别为角α、β的终边,MP>NQ ,∴AC<AB ,即tanα<tanβ ,故B错；如图(3) ,角α ,β的终边分别为OP、OQ ,MP>NQ即sinα>sinβ ,∴ON>OM ,即cosβ>cosα ,故C错,∴选D.二、填空题7．tan x ＝1 ,那么x ＝________. [答案] x ＝π4＋k π(k ∈Z )8．不等式cos x >0的解集是________． [答案] {x |2k π－π2<x <2k π＋π2,k ∈Z }．[解析] 如下图 ,OM 是角x 的余弦线 ,那么有cos x ＝OM >0 , ∴OM 的方向向右．∴角x 的终边在y 轴的右方． ∴2k π－π2<x <2kx ＋π2,k ∈Z .9．点P (tan α ,sin α－cos α)在第|一象限 ,且0≤α≤2π ,那么角α的取值范围是______________________．[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4 π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π 5π4 [解析] ∵点P 在第|一象限 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0(1)sin α－cos α>0 (2)由(1)知0<α<π2或π<α<3π2 ,(3)由(2)知sin α>cos α ,作出三角函数线知 ,在[0,2π]内满足sin α>cos α的α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4 5π4 ,(4) 由(3)、(4)得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4 π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π 5π4. 三、解答题10．利用三角函数线比拟以下各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5.[解析]如图 ,射线OP 1、OP 2分别表示角2π3、4π5的终边 ,其中P 1、P 2是终边与单位圆的交点 ,过点P 1、P 2分别作x 轴的垂线 ,垂足分别为点Q 1、Q 2 ,过点A (1,0)作x 轴的垂线分别与角2π3、4π5的终边的反向延长线交于点T 1、T 2 ,那么Q 1P 1、Q 2P 2是角2π3、4π5的正弦线 ,AT 1、AT 2是2π3、4π5的正切线．于是 ,有向线段Q 1P 1>Q 2P 2 ,AT 1<AT 2 , 所以sin 2π3>sin 4π5 ,tan 2π3<tan 4π5.11．求以下函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． [解析] 如图(1)． ∵2cos x －1≥0 ,∴cos x ≥12.∴函数定义域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3＋2k π π3＋2k π(k ∈Z )．(2)如图(2)．∵3－4sin 2x >0 ,∴sin 2x <34 ,∴－32<sin x <32.∴函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3＋2k π π3＋2k π∪⎝ ⎛2π3＋2k π ,⎭⎪⎫4π3＋2k π(k ∈Z ) ,即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π3＋k π π3＋k π(k ∈Z )． 12．利用单位圆和三角函数线证明：假设α为锐角 ,那么 (1)sin α＋cos α>1； (2)sin 2α＋cos 2α＝1.[证明] 如图 ,记角α的两边与单位圆的交点分别为点A ,P ,过点P 作PM ⊥x 轴于点M ,那么sin α＝MP ,cos α＝OM .(1)在Rt△OMP中,MP＋OM>OP ,∴sinα＋cosα>1.(2)在Rt△OMP中,MP2＋OM2＝OP2 ,∴sin2α＋cos2α＝1.。

人教A版高中数学必修四1-2-1 单位圆中的三角函数线牛老师

[解析] 已知角 α 的正弦值，可知 MP＝12，则 P 点纵坐标为12.所以在 y 轴上取点(0，12)，过这点作 x 轴的平行线 y＝12，交单位圆于 P1、P2 两点，则 OP1、OP2 是角 α 的终边，因而角 α 的集合为{α|α＝2kπ＋6π或 α＝2kπ＋56π，k∈Z}，如图：
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。
►A man is not old as long as he is seeking something. A man is not old until regrets take the place of dreams. 只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才算老。
③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．
④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．
⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．
如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于 M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的( )
－759°23′8″为第四象限角，sin(－759°23′8″)<0，－ 153π为第三象限角tan(－135π)>0，471π为第四象限角cos471π>0.
4．若750°角的终边上有一点(4，a)，则a的值是_____． [答案] －433

高中数学 122(单位圆与三角函数线)教案新人教A版必修4 教案

单位圆与三角函数线一、学习目标(一)知识目标1.单位圆的概念.2.有向线段的概念.3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.(二)能力目标1.理解并掌握单位圆、有向线段的概念.2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(三)德育目标通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.二、教学重点、难点重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值三、教学方法（一）讲授法讲清楚单位圆的概念，有向线段的概念，本节内容中的有向线段与坐标轴是平行的，使学生弄清楚线段的正负与坐标轴正反方向之间的对应，以及线段的数量与三角函数值之间的对应.对于理解正弦线、余弦线、正切线是突破难点的关键所在.（二）教具准备幻灯片1X：多媒体课件：课本P19图1—13，在平面直角坐标系中，作出单位圆，角α的终边，标出单位圆与角α的终边的交点P(x，ｙ），过P向x轴作垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线与角α的终边或终边的反向延长线交于点T(利用现代教育技术手段的优势，边讲述边作图，使学生看得清楚，听得明白).四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图课题导入前面我们研究了三角函数在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0°到360°角的三角函数的一组公式，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法可以通过提问与学生自查相结合的形式，对所学知识加以回顾，进而加深对已有知识的巩固和提高，为下一步的学习做好知识储备。

人教A版高中数学必修4导学案设计：1.2.1单位圆中的三角函数线(无答案)

第一章§1.2.1（2）单位圆中的三角函数线学习目标：1. 三角函数线的作法2. 掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦，正切值，并会应用.预习导航：任意角三角函数的定义，其中，设P（x,y)是α终边上任一点,线段0P 的长度为 r 。

1.三角函数在各象限的函数值的符号？3、猜想可以用何种几何元素表示任意角三角函数值？探究问题（一）三角函数的定义:思考1：什么是有向线段？正负方向是怎样规定的？思考2：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点是P（x,y)，你能分别用一条有向线段表示角α的正弦值和余弦值吗？5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sinkαπα+=cos(2)coskαπα+= (其中k Z∈)tan(2)tankαπα+=6.三角函数线:设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)x y，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T.由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y==，于是有sin1y yyrα====MP cos1x xx OMrα====OM tany MP ATx OM OAα====AT我们就分别称有向线段,,MP OM AT为正弦线、余弦线、正切线。

（Ⅳ）（Ⅲ）我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.说明：（1）作三角函数图像；（2）解三角不等式；（3）比较三角函数值的大小。

探究问题（二）正切线思考1：如何用有向线段来表示α的正切呢？思考：当角的终边与坐标轴重合时，正弦线、余弦线、正切线分别变成什么？例2:在单位圆中作出符合条件的角的终边:()21cos 2≤α变式：写出满足条件 21- ≤cos α＜23的角α的集合.课堂小结：1.这节课学到了什么2.各小组表现如何例1 作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）3π；（3） 32π-．()21sin 1>α()1tan 3-≥α。