四川省成都市金堂县又新镇永乐场九年级数学下册 2 二次函数回顾与思考导学案北师大版 精

回顾与思考
函数中，有一种多项式函数形如c bx ax y ++=2(c b a ,,为常数,0≠a )，最高次数是2，这种函数，我们称之为二次函数。

二次函数知识点颇多，初高中都会出现，在初中，刚刚出现在一次函数数形结合学习之后，因此，二次函知识点离不开数形结合思想。

二次函数主要有哪些知识点？
步骤/方法
1.定义与定义表达式
一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：
c bx ax y ++=2
(c b a ,,为常数,0≠a 且a 决定函数的开口方向，0>a 时，开口方向向上，
0<a 时，开口方向向下，a 还可以决定开口大小，a 越大开口就越小，a 越小开口就越大.）
则称y 为x 的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二次函数的三种表达式
一般式：c bx ax y ++=2
(c b a ,,为常数,0≠a )
顶点式：()k h x a y +-=2
[抛物线的顶点()k h P ,]
交点式：()()21x x x x a y --=[仅限于与x 轴有交点()0,1x A 和()0,2x B 的抛物线]
2.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

3.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线.2a
b x -
= 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点.P
特别地，当0=b 时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线0=x ）
2.抛物线有一个顶点P ，坐标为.44,22⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--a b ac a b P
当02=-
a
b
时，P 在y 轴上；当042=-=∆ac b 时，P 在x 轴上. 3.二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小.
当0>a 时，抛物线向上开口；当0<a 时，抛物线向下开口. a 越大，则抛物线的开口越小.
4.一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置. 当a 与b 同号时（即0>ab ），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即0<ab ），对称轴在y 轴右.
5.常数项c 决定抛物线与y 轴交点. 抛物线与y 轴交于()c ,0
6.抛物线与x 轴交点个数
042
>-=∆ac b 时，抛物线与x 轴有2个交点。

042
=-=∆ac b 时，抛物线与x 轴有1个交点。

042<-=∆ac b 时，抛物线与x 轴没有交点。

4.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）c bx ax y ++=2，
当0=y 时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程）， 即02=++c bx ax .
此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。

画抛物线2ax y =时，应先列表，再描点，最后连线.列表选取自变量x 值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势. 二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：c bx ax y ++=2(c b a ,,为常数,0≠a ) (2)顶点式：()k h x a y +-=2
(a ，h ，k 为常数，0≠a ).
(3)两根式：()()21x x x x a y --=，其中1x ，2x 是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二
次方程02
=++c bx ax 的两个根，0≠a .
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式()k h x a y +-=2
，抛物线的顶点坐
标是()k h ,，0=h 时，抛物线k ax y +=2的顶点在y 轴上；当0=k 时，抛物线()2
h x a y -=的
顶点在x 轴上；当0=h 且0=k 时，抛物线2
ax y =的顶点在原点.
如果图像经过原点，并且对称轴是y 轴，则设2
ax y =；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设k ax y +=2
.
练习
一、填空题：
⑴．抛物线()522
1
2+--
=x y 的对称轴是 .这条抛物线的开口向 . ⑵.用配方法将二次函数1232--=x x y 化成()k h x a y +-=2
的形式是 . ⑶．已知二次函数32++=bx x y 的图象的顶点的横坐标是1，则b= .
⑷. 二次函数x x y 42+-=的图象的顶点坐标是 ，在对称轴的右侧y 随x 的增大而 ⑸．已知抛物线c bx x y ++=22的顶点坐标是（-2，3），则bc = . ⑹．若抛物线c x x y +-=242的顶点在x 轴上，则c= . ⑺. 已知二次函数m x x y +-=62的最小值是1,那么m 的值是 . ⑻. 若抛物线()x m mx y 122+-=经过原点，则m= .
⑼. 已知二次函数()()m mx x m y --+-=3222的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是 .
⑽. 若抛物线()
4152322---+=x m m x y 的顶点在y 轴上, 则 m 的值是
二、选择题：
⑴． 若直线b ax y +=不经过一、三象限，则抛物线c bx ax y ++=2
（ ）. (A)开口向上，对称轴是y 轴; (B) 开口向下，对称轴是y 轴; (C)开口向上, 对称轴是直线1=x ; (D) 开口向下，对称轴是直线1-=x ;
⑵. 抛物线()()312-+=x x y 的顶点坐标是( ). (A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);
⑶. 若二次函数c bx ax y ++=2
的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y 轴的正半轴; 则点⎪⎭
⎫ ⎝⎛b c a P ,在（ ）. (A)
第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限;
⑷. 对于抛物线171222+-=x x y ,下列结论正确的是（ ）.
(A) 对称轴是直线3=x ,有最大值为1; (B) 对称轴是直线3=x ,有最小值为1-; (C) 对称轴是直线3-=x ,有最大值为1; (D)
对称轴是直线3-=x ,有最小值为1-;
⑸．已知直线m x y +=与抛物线2x y =相交于两点，则实数m 的取值范围是( ). (A)
41-
>m (B)41-<m (C)41>m (D) 4
1<m ⑹.若一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第二象限，交于y 轴的正半轴，与x 轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.
(A)0,0>>bc a (B)0,0<<bc a (C)0,0><bc a (D) 0,0<>bc a ⑺. 抛物线232+-=x x y 不经过（ ）. (A)
第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限
⑻. 已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则这条抛物线的解析式是（ ）.
(A) 342---=x x y , (B)342+--=x x y , (C) 342
--=x x y ,(D) 342
-+-=x x y ,
⑼.在同一直角坐标系中，抛物线542
-+=x x y 与直线62-=x y 的交点个数是( ).
(A)0个; (B)1个; (C)2个; (D)3个. ⑽．已知反比例函数x
k y =
的图象如右图所示，则二次函数2
22k x kx y +-=的图象大致为（ ）
三、解答下列各题：
（1）.已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象经过()0,1-A 、()0,3B 、()3,0C 三点，求这个二次函
数的解析式.
A ．
B ．
C ．
⑵. 已知抛物线()8122
++-=x y ,①求抛物线与y 轴的交点坐标;②求抛物线与x 轴的两个交点
间的距离.
⑶.已知抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0) 经过()1,0和()3,2-两点.①如果抛物线开口向下，对称轴在
y 轴的左侧，求a 的取值范围;②若对称轴为1-=x . 求抛物线的解析式.
⑷.围猪圈三间（它的平面图为大小相等的三个长方形），一面利用旧墙，其它各墙（包括中间隔墙）都是木料，已知现有木料可围24米长的墙，试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大，并求最大面积.
⑸．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
⑹．已知抛物线k x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，设抛物线与 x 轴交于B ,C 两点.①求抛物线的顶点坐标;②求△ABC 的外接圆的面积（用准确值表示）.
⑺．如图，在一块三角形区域ABC 中，︒=∠90C ，边6,8==BC AC ，现要在△ABC 内建造一个矩形水池DEFG ，如图的设计方案是使DE 在AB 上. ⑴求△ABC 中AB 边上的高h ;
⑵设x DG =,当x 取何值时，水池DEFG 的面积最大？
⑶实际施工时，发现在AB 上距B 点85.1的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能
避开大树.
A
B
C
D
E
F
G。