最新-2018届高考数学一轮复习定时检测 33和差倍角的三角函数(带详细解析)文 新人教A版 精品
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§3.3 和差倍角的三角函数
一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)
1．(2018·山东青岛模拟)cos 43°cos 77°＋sin 43°·cos 167°的值为________． 解析 原式＝cos 43°cos 77°＋sin 43°cos(90°＋77°) ＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77°
＝cos(43°＋77°)＝cos 120°＝－1
2
.
答案 －1
2
2．(2018·南京模拟)已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，
∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， 即cos β(sin α－cos α)＋sin β(sin α－cos α)＝0， ∴(sin α－cos α)(cos β＋sin β)＝0， ∵α、β均为锐角，
∴cos β＋sin β>0，∴sin α－cos α＝0， ∴tan α＝1. 答案 1
3．(2018·湖北四校联考)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则∠C 的大小为________．
解析 两式平方相加可得9＋16＋24sin(A ＋B )＝37，
sin(A ＋B )＝sin C ＝12，所以C ＝π6或56π.如果C ＝56π，则03
2
，3cos
A >1
与4sin B ＋3cos A ＝1矛盾(因为4sin B >0恒成立)，故C ＝π
6
.
答案 π6
4．(2018·湖南长沙调研)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小
关系是________．
解析 方法一 ∵△ABC 为锐角三角形，
∴A ＋B >π
2
，∴cos(A ＋B )<0，
即cos A cos B －sin A sin B <0， ∴cos A cos B x ＝32×22＝64 y ＝12× 22＝2 4 ∴x >y . 答案 y 5．(2018·广东韶关模拟)已知tan α＝2，则sin 2α－cos 2α 1＋cos 2 α ＝________. 解析 原式＝2sin αcos α－(cos 2α－sin 2 α) (sin 2α＋cos 2α)＋cos 2 α ＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2 αsin 2α＋2cos 2 α ＝2tan α－1＋tan 2 αtan 2 α＋2 ＝2×2－1＋44＋2＝76. 答案 76 6．(2018·无锡模拟)若1＋tan x 1－tan x ＝2 010，则1 cos 2x ＋tan 2x 的值为________． 解析 1cos 2x ＋tan 2x ＝1＋sin 2x cos 2x ＝(sin x ＋cos x ) 2 cos 2x －sin 2 x ＝cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝2 010. 答案 2 010 7．(2018·苏州调研)若锐角α、β满足(1＋3tan α)·(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3， 即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π 3 . 答案 π3 8．(2018·江苏南通二模)已知sin αcos β＝1 2 ，则cos αsin β 的取值范围是 ____________． 解析 方法一 设x ＝cos αsin β， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1 2＋x ， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1 2 －x . ∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤1 2＋x ≤1－1≤1 2－x ≤1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －32≤x ≤1 2－12≤x ≤3 2 ∴－12≤x ≤1 2 . 方法二 设x ＝cos αsin β， 则sin αcos βcos αsin β＝1 2 x . 即sin 2αsin 2β＝2x . 由|sin 2αsin 2β|≤1，得|2x |≤1，∴－12≤x ≤1 2 . 答案 [－12，1 2 ] 9．(2018·苏、锡、常、镇四市调研)若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π 4 ) ＝________. 解析 tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π 4 )] ＝tan(α＋β)－tan(β－π 4 ) 1＋tan(α＋β)tan(β－π 4 ) ＝25－141＋25×14 ＝322 . 答案 3 22 二、解答题(本大题共3小题，共46分) 10．(14分)(2018·广东)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ) (A >0,0<φ<π) (x ∈R )的最大值是 1，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π3，12. (1)求f (x )的解析式； (2)已知α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值． 解 (1)依题意知A ＝1，则f (x )＝sin(x ＋φ)． 将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝12 ， 而0<φ<π，∴π3＋φ＝5 6 π. ∴φ＝π2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x . (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝4 5 ， sin β＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513 ， ∴f (α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝35×1213＋45×513＝5665 . 11．(16分)(2018·宿迁模拟)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313 . (1)求cos(α－β)的值；