2015年高考第一轮复习数学：2.12 函数的综合问题

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2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：2.12导数的应用(二)

k 解：(1)g(x)＝ln x＋x， x－k ∴令 g′(x)＝ x2 ＝0 得 x＝k. ∵x＞0，∴当 k≤0 时，g′(x)＞0. ∴函数 g(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当 k＞0 时，g′(x)＞0 得 x＞k；g′(x)＜0 得 0＜x＜k. ∴增区间为(k，＋∞)，减区间为(0，k)．
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2．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题． (2)求解不等式恒成立或有解问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．
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1．实际问题的最值 (1)注意函数定义域的确定． (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 2 ．判断方程根的个数或者函数的零点个数时，应先利用导数研究函数的单调性、极值或最值情况，然后数形结合进行判定．
【解】
3a2 (1)f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝， x
由题意知 f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)， 1 2 2 x ＋ 2 ax ＝ 3 a ln x0＋b， 0 0 2 即 2 3 a x0＋2a＝ . x0 3a2 由 x0＋2a＝，得 x0＝a 或 x0＝－3a(舍去)． x0 1 2 5 2 2 2 即有 b＝2a ＋2a －3a ln a＝2a －3a2ln a.
①当 a≥e 时，函数 F(x)在(0，e)上单调递减，F(e)为最小值 a 3 e 所以 F(e)＝1＋－ ≥0，得 a≥ ， e 2 2 所以 a≥e，
②当 a＜e 时，函数 F(x)在(0， a)上单调递减，在(a， e)上单调递增， a 3 F(a)为最小值，所以 F(a)＝ln a＋a－2≥0，得 a≥ e，所以 e≤a＜e. 综上， e≤a.

【高考考案】2015届高考数学第一轮复习第二单元总结课件文

下面比较 f(－1)，f(1)，f(t)，f(t＋3)的大小．由 f(x)在[－2，－1]，[1，2]上单调递增，有 f(－2) ≤f(t)≤f(－1)，f(1)≤f(t＋3)≤f(2)． 5 1 又由 f(1)＝f(－2)＝－，f(－1)＝f(2)＝－，从而 3 3 1 5 M(t)＝f(－1)＝－，m(t)＝f(1)＝－ . 3 3 4 所以 g(t)＝M(t)－m(t)＝ . 3 4 综上，函数 g(t)在区间[－3，－1]上的最小值为 . 3
将 p，q 的值代入验证可知选 B. B 14* 14 9．若 x>0，记 x*＝lg x， a＝， b＝( )*，则( )． 3* 3 A．a>b B．a<b C．a＝b D．无法确定 14* lg 14 14 14 a＝＝＝log314>log39＝2， b＝( )*＝lg 3* lg 3 3 3 <lg 10＝1，故 a>b. A 3 3 10．已知曲线 f(x)＝ x －x(a>0)在点(x1，f(x1))处的
x＋1
(x)＞0.所以 g(x)在(0，＋∞)上的最小值为 g(α)，又由 g′(α)＝0，可得 eα＝α＋2，所以 g(α)＝α＋1∈(2， 3)．由于①式等价于 k＜g(α)，故整数 k 的最大值为 2. 已知函数 f(x)＝ln(x＋1)－ f(0)x－f′(0)x2 ＋2. (1)求 f(x)的解析式及递减区间； b－3 2 (2)若 fx≤x ＋ax＋b，求的最小值． a＋2 (1)令 x＝0 得 f(0)＝2， 1 又 f′(x)＝－2－2f′(0)x，∴f′(0)＝－1， x＋1 ∴f(x)＝ln(x＋1)－2x＋x2＋2，
ln（a＋2）设 h(a) ＝－，则 h ′ (a) ＝ a＋2 a＋2 1＋ln（a＋2）， 2 （a＋2） 1 1 由 h′(a)>0 得 a> －2，h′(a)<0 得－2<a< －2， e e 1 b－3 ∴h(a)≥h( －2)＝1－e，∴ 的最小值为 1－e. e a＋2

2015年高考数学第一轮复习课件：2.12导数的综合应用

单调递减区间是(－1，a)．
第八页，编辑于星期五：十一点四十七分。
导数在方程(函数零点)中的应用
【训练 1】 (2012·天津卷节选)已知函数 f(x)＝13x3＋1－2 ax2－ax－a，x∈R，其中 a＞0. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围．
因为 a∈(－4，－2)，所以－2<a＋2<0，即 m≤－2.
所以实数 m 的取值范围是(－∞，－2]．
第十四页，编辑于星期五：十一点四十七分。
导数与生活中的优化问题
【例 3】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋ x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元． (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
审题路线
(1)由极值点确定出实数m的值，然后利用导数求出函数的单调区间.
第十页，编辑于星期五：十一点四十七分。
导数在不等式中的应用
【例 2】(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设 x＝0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m≤2 时，证明 f(x)>0.
(2)当 m≤2，x>－m 时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)．故只需证明当 m＝2 时，f(x)>0.
审题路线
当
m＝2
时，f′(x)＝ex－x＋1 2在(－2，＋∞)上单调递增．

2015届高考数学(理)一轮讲义：一轮复习综合验收题精讲(二) 精品讲义

一轮复习综合验收题精讲(二)主讲教师：王春辉北京数学特级教师选择题注：本讲课程内容较多，故有些题目不在课堂中讲解，没讲到的题目请同学们课下自己练习并对照详解进行自测. 题一：计算120x dx =⎰（）． (A)2(B) 1(C)13(D)14题二：圆1cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）的极坐标方程是（）． (A)cos ρθ= (B) 2cos ρθ= (C)sin ρθ= (D) 2sin ρθ=题三：若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（）． (A)3- (B) 13- (C) 3 (D)13题四：下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出 //AB 平面MNP 的图形的序号是（）．(A) ①、③ (B) ①、④ (C) ②、③ (D) ②、④题五：已知向量a 1),=b (0,1),=-c (,k =．若a 2-b 与c 共线，则k =（）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4题六：在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）．（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0（C ）丙地：中位数为2，众数为3 （D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3题七：ABC ∆中，3||=→AB ，1||=→BC ， =→B AC cos ||A BC cos ||→，则=⋅→→BC AB （）．(A)23-或1- (B) 32或1 (C) 23-或2- (D)23或2题八：在ABC ∆中，3,2==AC AB ，D 是边BC 的中点，则=⋅→→BC AD ( )． (A) 5 (B) 25 (C) 23(D) 4题九：函数)(x f )(log 3ax x a -=)1,0(≠>a a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（）．(A))1,41[ (B))1,43[ (C)),49(+∞ (D))49,1(题十：设(0,0)A ，(4,0)B ，(4,3)C t +，(,3)D t ()t ∈R ．记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（）．（A ）}9,8,6{（B ）}9,8,7{（C ）}8,7,6{（D ）}9,8,7{填空题题一：设不等式组2220x y a x y -⎧⎪⎨⎪+-≥⎩≤≤≤≤0(0)a >确定的平面区域为U ．在区域U 内任取一个点(,)M s t ，已知s t +的最大值为4，则此点到坐标原点的距离不大于2的概率是 .题二：直线1:2)l y x =-关于直线:l y kx =对称的直线2l 与x 轴平行，则k = ．题三：中国象棋中规定：马每走一步只能按日字格（也可以是横日）的对角线走．例如马从方格中心点O 走一步，会有8种走法．则从图中点A 走到点B ，最少需______步，按最少的步数走，共有______种走法．题四：把函数:(1,2,,)k f k i k n →=称为1,2,,n 这n 个整数的一个“置换”，记作：⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i i i n ,,,,2,121，其中},,2,1{n ={n i i i ,,,21 }．置换f 与g 的积（记作g f ）仍为置换，且)]([)(k g f k g f = ，n k ,,2,1 =．（1）1,2,,n 这n 个整数的不同“置换”共个；（2）求置换的积：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= ．解答题题一：(理)在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===.（1）求直线1AC 和11A B 所成角的大小；（2）求直线1AC 和平面11ABB A 所成角的大小.题二：(文)已知：点P 到定点)0,1(-M 、)0,1(N 的距离之比为2．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．题三：某村子有1000人，因附近工厂有毒物质泄漏，现要对每个人的血液进行化验。

2015届高考数学一轮复习课时跟踪检测16 导数与函数的综合问题文湘教版

课时跟踪检测(十六) 导数与函数的综合问题(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·宜昌模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14B.13C.12 D ．12．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．03．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )4．(2013·山西诊断)设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 5．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．6．函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝ln x －a x. (1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性；(2)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．8．(2014·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·浙江十校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ax (a ∈R )．(1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－4x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．2．(2014·江南十校高三联考)已知函数f (x )＝f ′(1)e ·e x －f (0)·x ＋12x 2(e 是自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的解析式和单调区间；(2)若函数g (x )＝12x 2＋a 与函数f (x )的图像在区间[－1,2]上恰有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．3．(2014·宁波月考)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2.(1)如果函数g (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－13，1，求函数g (x )的解析式； (2)在(1)的条件下，求函数y ＝g (x )的图像在点P (－1,1)处的切线方程；(3)若不等式2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选D 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当x >1a时， f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.2．选A 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.3．选A ∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，∴⎝⎛⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0. 则函数f (x )x 在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b. 即af (b )≤bf (a )．4．选D 设g (x )＝f (x )＋x ，依题意，存在x ∈[1,4]，使g (x )＝f (x )＋x ＝ax 2－2x －a ＋52＝0.当x ＝1时，g (1)＝12≠0；当x ≠1时，由ax 2－2x －a ＋52＝0得a ＝4x －52(x 2－1).记h (x )＝4x －52(x 2－1)(1<x ≤4)，则由h ′(x )＝－2x 2＋5x －2(x 2－1)2＝0得x ＝2或x ＝12(舍去)．当x ∈(1,2)时，h ′(x )>0；当x ∈(2,4)时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x ＝2时，h (x )取得最大值，最大值是h (2)＝12，故满足题意的实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12，选D. 5．解析：由y ′＝x 2－39x －40＝0，得x ＝－1或x ＝40，由于0<x <40时，y ′<0；当x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．答案：406．解析：f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根．∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1.要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0.答案：(－∞，0)7．解：(1)由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋a x 2. ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )<x 2，∴ln x －a x<x 2. 又x >0，∴a >x ln x －x 3.令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2，h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x. ∵x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数．∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0，∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数．g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．8．解：(1)设5858－u ＝k ⎝⎛⎭⎫x －2142， ∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)．(2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18)＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0；当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x >0)． ①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a. 在区间⎝⎛⎭⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上， f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. 综上所述，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a <0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (2)由题意得f (x )max <g (x )max ，而g (x )max ＝2，由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3. 故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－1e 3. 2．解：(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)ee x －f (0)＋x ，令x ＝1，得f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1.又f (0)＝f ′(1)e，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋12x 2. 显然f ′(x )＝e x －1＋x 在R 上单调递增且f ′(0)＝0，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)．(2)由f (x )＝g (x )得a ＝e x －x .令h (x )＝e x －x ，则h ′(x )＝e x －1.由h ′(x )＝0得x ＝0.所以当x ∈(－1,0)时，h ′(x )<0；当x ∈(0,2)时，h ′(x )>0.∴h (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增．又h (0)＝1，h (－1)＝1＋1e，h (2)＝e 2－2 且h (－1)<h (2)．∴两个图像恰有两个不同的交点时，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，1＋1e . 3．解：(1)g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意得3x 2＋2ax －1<0的解集是⎝⎛⎭⎫－13，1，即3x 2＋2ax －1＝0的两根分别是－13，1. 将x ＝1或x ＝－13代入方程3x 2＋2ax －1＝0，得a ＝－1.∴g (x )＝x 3－x 2－x ＋2. (2)由(1)知，g ′(x )＝3x 2－2x －1，∴g ′(－1)＝4，∴点P (－1,1)处的切线斜率k ＝g ′(－1)＝4，∴函数y ＝g (x )的图像在点P (－1,1)处的切线方程为y －1＝4(x ＋1)，即4x －y ＋5＝0.(3)∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，即2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1对x ∈(0，＋∞)上恒成立．可得a ≥ln x －3x 2－12x在x ∈(0，＋∞)上恒成立．令h (x )＝ln x －3x 2－12x，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2. 令h ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－13(舍)．当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0.∴当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝h (1)＝－2，∴a ≥－2.∴a 的取值范围是[－2，＋∞)．。

2015年高考数学(理)真题分项解析：专题02+函数

专题二函数1.【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( ) A．y = B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D 【解析】函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．【考点定位】函数的奇偶性．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特征即定义域关于原点对称，否则即使满足定义，但是不具有奇偶性，属于基础题． 2.【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（） A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x x y 212+= D ．21x y += 【答案】A ．【解析】记()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+，那么()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，依题可知B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A ．【考点定位】函数的奇偶性判断．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性判断和常见函数性质问题，但既不是奇函数，也不是偶函数的判断可能较不熟悉，容易无从下手，因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除，依题易知B 、C 、D 是奇偶函数，排除得出答案，属于容易题．3.【2015高考湖北，理6】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.【考点定位】符号函数，函数的单调性.【名师点睛】构造法数求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题构造恰当的函数，根据已知能快捷的得到答案. 4.【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+ 【答案】A【考点定位】1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.【名师点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-有零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴有交点⇔方程()()0f x g x -=有根⇔函数()y f x =与()y g x =有交点.5.【2015高考四川，理8】设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的（）（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若333a b >>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件. 若log 3log 3a b <不一定有1a b >>，比如.1,33a b ==，从而333a b >>不成立.故选B. 【考点定位】命题与逻辑.【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考.6.【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（）A B Oxy -122CA ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C【解析】如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示解集选C【考点定位】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.【名师点睛】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，本题属于基础题，首先是函数图象平移变换，把2log y x =沿x 轴向左平移2个单位，得到2log (y x =+2)的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集.7.【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，先由函数奇偶性知识求出m 的值，计算出相应的,,a b c 的值比较大小即可，是中档题. 其中计算a 的值时易错. 8.【2015高考浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+【答案】D.【考点定位】函数的概念【名师点睛】本题主要考查了函数的概念，以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题，全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位，同时也考查了举反例的数学思想. 9.【2015高考安徽，理9】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <【答案】C【解析】由()()2ax bf x x c +=+及图象可知，x c ≠-，0c ->，则0c <；当0x =时，2(0)0b f c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=，所以0bx a=->，所以0a <.故0a <，0b >，0c <，选C. 【考点定位】1.函数的图象与应用.【名师点睛】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.本题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断,,a b c 的正负关系.10.【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<. 【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题. 11.【2015高考山东，理10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩错误！未找到引用源。

高三数学一轮总结复习目录

高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。

2015届高考数学总复习配套课件：2-12 导数的综合应用

区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小)值点．
山东
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
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第七页，编辑于星期五：十点十一分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干考点解密
研考向要点
3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)
探究
悟典题能力
的函数关系式为y＝－
1 3
x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润
金太
阳
答案：B
书
业
有
十一分。
抓主干考点解密
研考向要点探究
悟典题能力提升
提素能高效训练
高考总复习 A 数学（文）
生活中的优化问题
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
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山东金太阳书业有限公司
第六页，编辑于星期五：十点十一分。
业
有
则f(r)的最大值为f(6)，最小值为f(2)．
限
公
答案：6 2
司
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第九页，编辑于星期五：十点十一分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干考点解密
研考向要点探究
悟典题能力提升
函数的最值与导数
提素能
高效训练
【例1】 (2014年北京东城模拟)已知a∈R，函数f(x)＝ax＋ln x－1.
书业
∴ω(x)max＝ω(6)＝30 000.
有限
公
司
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第十八页，编辑于星期五：十点十一分。
高考总复习 A 数学（文）

2015年高考数学复习学案：数列综合问题

教学目标：通过研究数列的特征和性质，让学生掌握判定数列中的项的常用方法，学会处理数列单调性的相关问题，从而提高学生对问题分析、转化与突破的能力. 教学重点：求解方程整数解的方法与作差法处理数列的单调性. 教学难点：方程整数解的存在性判定，离散型不等式恒成立的转化. 教学过程：开场白，明确本课的主题.一．小题训练参考答案：1.等差数列，从而31n a n =-，从而9=26a ；或者119n a a dn -=+=.2.先求基本量，则2(12)(10)(18)d d d +=++，得1d =，从而n a n =，即99a =.3.判断为等差数列，从而29n a n =-；利用待定系数法，得28n S n n =-，从而29n a n =-. 二．例题分析 1.判定从属关系例1(必修5，p32，习题2.1，4)已知数列{}n a 的通项公式是232n a n n =++，56是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？分析：只需要判定方程是否有正整数解.解：构建方程23256n n ++=，则23540n n +-=，解得9n =-或者6n =，说明56是数列{}n a 中的第6项.点评：处理关键是建立方程，从而加以求解.其可以通过因式分解或者配方的方法处理. 变式1：若数列{}n a 的通项为332n a n n =++，判断56是否为数列{}n a 中的项？分析：此时基本的想法是构造方程332=56n n ++，整理得：3354=0n n +-，现在问题是如何解？方法1：为了求未知数n ，经过分析2(3)54n n +=，则2543nn +=说明n 为54的正因子，所以1,2,3,6,9,18,27,54n =，此时已经缩小了范围，经过检查，每个都不是解，说明56不是其中的项.方法2：利用方程与函数的关系，把方程的解转化成函数的零点，从而构造：3()354f x x x =+-，又2()33f x x '=+，从而函数在[0,)+∞单调增，又因为(3)0,(4)0f f <>，从而根据零点的存在性定理，知零点0(3,4)x ∈，故不存在正整数解，即56不是其中的项.点评：通过以上特殊问题的研究，不难发现判定项的问题，其实就是建立方程加以求解. 其方程具有特殊性，求整数解，除了可以利用函数的观点来处理，还可以有独特的处理方法，即因子分析加以缩小范围.分析：等差数列的基本量，题目中提供了两个等量关系，所以容易得到首相和公差，从而得到通项和和式.而第二小问，需要我们判断是否为其中的项，首先要具体化，从而来观察，发现分子两次，分母一次，希望“作除法”的过程中没有余数，既能被整除.解答：(1)设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以43=0a a +，即125=0a d +，又由77S =得411,31a a d =+=，解得15,2a d =-=，所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-. (2)122222(4)(2)(27)(25)82236m m m m m m m a a a a m m m a m a a a ++++++----+-===-+为整数，从而因为2m a +是奇数，所以2m a +可取的值为1±，当21m a +=，3m =时，123m m m a a a ++=为数列中第5项；当21m a +=-，1m =时，1215m m m a a a ++=-不是数列中的项，从而满足条件的正整数为2m =.点评：对于整数的问题，我们要思考其特殊性，如果我们了解一点整数理论的知识，也许我们可以通过相邻三个奇数是两两互质的，那么很快可以得到分母只能是1±，从而更快捷的解决问题. 2.判断单调特性例2`(必修5，p32，习题2.1，6(2))已知数列{}n a 的通项公式是285n a n n =-+，这个数列所有项中有没有最小项？分析：由于数列是离散型的函数，因此可以通过图象加以观察.解答：通过配方，2(4)11n a n =--，所以当4n =时，此项最小，即第四项是最小项. 点评：数列也是一种函数，其特殊性在于离散型，可以参考函数的研究方法.变式2. 已知数列{}n a 的通项公式为25n a n kn =++，若对于任意正整数n ，都有1n n a a +>，则实数k 的范围为 .分析：我们刚才把这个问题看成函数处理的，此时判断对称轴的位置，那么本题是否也可以借鉴，那需要注意什么？如果不这么处理，我们该如何刻画一个比一个大？这种比较大小该如何转化？方法1：函数的观点.考察函数25y x kx =++，其对称轴与1，2比较而言，应该靠近1，从而322k x =-<，即3k <-. 方法2：不等式比较.转化为恒成立问题，具体化之后22(1)(1)5>5n k n n kn ++++++恒成立，整理得：(21)k n <-+恒成立，从而3k <-.点评：虽然数列是特殊的函数，可以从单调性（图象）来观察，但要注意其离散性，这对我们以后讨论一些离散型的问题应该有所启发．两者相比较而言，就本题而言，比较倾向于“比较法”．练习：若数列{}n a 的通项为22n n a n =-，则数列{}n a 是否存在最小项？分析：暂时不能画出其函数图象，但可以从函数的角度观察到：当自变量足够大的时候，应该整体是单调增的，从而只需要考虑前面几个，因此可以通过“走几步看看”来实现作为填空题的愿望，同时也能得到一个直观的感觉，从而可以选择“先猜后证”的处理方法．1234561,0,1,0,7,28,a a a a a a ===-===，从而感觉到最小项是第三项，我们如何加以证明呢？方法１：通过对函数22,x y y x ==关系的研究，发现只有当24x <<时，220x x -<，从而最小项确定．方法２：通过1n n a a +-的正负来判断增减性．12(21)n n n a a n +-=-+，可知当3n ≥时，2(21)(11)(21)0n n n n n -+≥++++-+>，从而从第三项起，数列单调递增，于是只需要考察前三项，从而第三项为最小项．点评：通过以上方法的考察，不难发现，数列中的具体数值的计算，可以带给我们数列整体的感觉；另外函数的观点要起到一个先导性的作用，可以给我们指明方向，但具体的证明或者理由还需要依赖相邻两项的比较，进而确定通过这样的递推关系，得到数列的单调性．真题2(2008全国II) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．(1)设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； (2)若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．分析：已知条件中给出的和式和通项的混合关系，因此需要将其中一个转化，得到递推关系，此时观察到第一小问给我们作了精妙的提示，也就是我们首先需要研究的问题是数列中的和式，由此需要将其中的通项转化为和式，从而得到和式的关系，再用代入法处理数列{}n b 的递推关系. 从第二小问的角度，可以首先得到和式，再一次转化为通项来比较大小，得到参数的范围.解：(1)由和式与通项的关系，得到113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得11132(3)2n n n n n n b S S b +++=-=-=．因此类似等比数列的通项，从而得到：所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ． (2)由(1)知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-13(3)n n na a ---=+-⨯---⨯1223(3)2n n a --=⨯+-， 12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22322[12()3]n n a --=⨯+-，从而当2n ≥时，231212()30n n n a a a -+⇔⨯+-≥≥恒成立，从而分离变量，得到9a -≥．说明此时从第二项起单调递增，于是比较前两项的关系为：2113a a a =+>，恒成立．综上，所求的a 的取值范围是[9)-+∞，．方法2：由1n n a a +≥，即1133n n n n S S ++++≥，从而112323n n n n b b +++⨯+⨯≥恒成立，于是，11(3)223(3)223nn n n a a +--+⨯-+⨯≥，化简得：332n a -⨯≥-，因此9a -≥.点评：在处理和式和通项关系的时候，应该根据需要的方向即时选择，可以说是要“因题制宜”，当然题目铺设了更好的台阶提供给我们，更为我们处理的时候方便. 对于第二小问的问题，如果要求通项，则无统一形式；但题目中可以根据特殊性进行转化，也是对题目的一种研究.三．课堂小结本节课我们花了点时间研究了数列中项的两个问题，其一判断是否为其项，主要涉及等量关系，即方程的整数解，可分析因子，或者研究函数零点；其二是数列的单调性，主要涉及不等关系中的离散情况的恒成立情况，主要就是作差比较的方法.涉及到的数学思想方法，包括函数与方程的思想，数形结合的思想，也有一些方法值得注意，数列的整体感觉，先猜后证的研究方法，估算缩小范围的想法等. 作业：1.若数列{}n a 的通项公式为n a =2+是该数列中的第项.2.已知数列{}n a 的通项公式为(2)n n a q q =>满足：存在正整数k 使得21()k k k a a a ++-+为数列{}n a 中的某一项，求公比q = .3.若数列{}n a 的通项公式为225n n n a +=，则该数列的最大项是第项.4.已知不等式1(1)(1)2n n na +--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围为 .5.已知函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n =-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：数列{}n a 是递减数列.思考题：(2010重庆) 在数列{}n a 中，1a =1，11(21)(*)n n n a ca c n n N ++=++∈，其中实数0c ≠.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若对一切*k N ∈，有221k k a a ->，求c 的取值范围.。

(新课标)北京市2015届高考数学一轮复习综合验收题((一)理

一轮复习综合验收题精讲(一)选择题注：本讲课程内容较多，故有些题目不在课堂中讲解，没讲到的题目请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一：函数y=x的定义域是（）．A. [)4,0- ∪(]0,4B. [-4，4]C. (],4-∞- ∪[)4,+∞D. [)4,0- ∪[)4,+∞题二：设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =321 ，则下面论断正确的是（）．A ．Φ=)(321S S S C IB ．)(321SC S C S I I ⊆ C ． 1S C I Φ=32S C S C I ID ．)(321S C S C S I I ⊆题三：设,p q 是两个命题，在下列四个命题中：○1p q ∨； ○2 p q ∧； ○3 p ⌝； ○4q ⌝，随机抽取一个，恰取到真命题的概率是（）． A.14 B. 13 C. 12 D. 23题四：函数()sin (cos sin )f x x x x =⋅-的最小正周期是（）． A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 题五题面：一高为H 的鱼缸，满缸时水量为V ，今不小心将鱼缸底部碰了一个洞，满缸水从洞中流出。

设鱼缸中剩余水的体积为．．．．．．．．．．v ，剩余水的深度为．．．．．．．h ，则v 用h 表达的函数)(h f v =的图象可能是（）．H hA B C D题六：将函数x y 2sin =按向量(, 1)6π=-a 平移后的函数解析式是（）． A ．1)32sin(++=πx y B ．1)32sin(+-=πx y C ．1)62sin(++=πx yD ．1)62sin(+-=πx y题七：若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(23)a ∈，”是“B A ⊆”的（）．A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件题八：已知实数1234,,,a a a a 依次成等比数列，则下面叙述中错误．．的是（）． A ．若12a a ≠，则2132a a a ≠+ B ．2340a a a ++≠C ．若12a a <，则34a a <D ．1223,,a a a a ++34a a +也成等比数列题九：某老师要把四个学生分派到不同的两个班，每班至少一人，则所有不同的分派方法共（）种．A ．14B ．24C ．40D ．48题十：设不等式组123350x a y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，表示的平面区域是W ，若W 中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有91个，则实数a 的取值范围是（）．A ．(21]--，B ．[10)-，C ．(01]，D ．[12)，填空题题一：已知|a |=4，|b |=5，a 与b 的夹角为60，则|3a -b |= .题二：数列}{n a 的前n 项和为2230n S n n =-+，若对*n N ∀∈，有t n S S ≥，则整数t 的取值是．题三：函数)1ln(41)(2x x x f --=的单调增区间为．题四：已知函数()()()22sin 122xf x x x x π=+-+.（1）那么方程()0f x =在区间[100,100]-上的根的个数是__________．（2）对于下列命题：①函数()f x 是周期函数； ②函数()f x 既有最大值又有最小值； ③函数()f x 的定义域是R ，且其图象有对称轴；④对于任意)0,1(-∈x ，()'0f x <（()'f x 是函数()f x 的导函数）.其中真命题的序号是．（填写出所有真命题的序号）解答题题一：已知函数()4cos sin ()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.题二：设不等式组2202x y ≤≤≤≤-⎧⎨⎩确定的平面区域为U ，20200x y x y y ⎧≥⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩-++-确定的平面区域为V ．（I ）定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率；（II ）在区域U 内任取3个点，记此3个点在区域V 的个数为X ，求X 的概率分布列及其数学期望．题三：已知)(22)(2R x x ax x f ∈+-=在区间]1,1[-上是增函数。

(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.12

讲案2.12函数的图象及其变换课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.描点法作图(1)确定函数的__________；(2)化简函数__________；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；(4)画出函数的图象．2．图象变换法作图(1)平移变换：函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象可以由y＝f(x)的图象__________________________而得到；函数y＝f(x)＋b(b≠0)的图象可以由y＝f(x)的图象__________________________而得到．(2)伸缩变换函数y＝Af(x)(A＞0，且A≠1)的图象可由y＝f(x)的图象上各点的____________________________________，横坐标不变而得到；函数y＝f(ωx)(ω＞0，且ω≠1)的图象可由y＝f(x)的图象上各点的__________________________________，纵坐标不变而得到．(3)对称变换：函数y＝－f(x)的图象可通过作函数y＝f(x)的图象关于__________对称的图象而得到；函数y＝f(－x)的图象可通过作函数y＝f(x)的图象关于__________对称的图形而得到；函数y＝－f(－x)的图象可通过作函数y＝f(x)的图象关于__________对称的图形而得到；函数y＝|f(x)|的图象是可通过作函数y＝f(x)的图象，然后________________________，其余部分保持不变而得到；函数y＝f(|x|)的图象是：函数y＝f(x)______________________________．导读校对：1.(1)定义域解析式2.(1)向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位(2)纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A倍横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的1ω倍(3)x轴y轴原点把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方在y轴右侧的部分及其该部分关于y轴对称的部分基础热身1.函数y＝1－1x－1的图象是()解法一：特殊值法．当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝2.观察图形应选B.解法二：图象变换法．可将y＝1－1x－1的图象看成y＝－1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位所得．答案：B2．已知图①中的图象对应函数为y ＝f(x)，则图②中的图象对应的函数，在下列给出的四式中，只可能是()A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)解析：由图象知，当x＜0时，y＝f(x)对应的图象无变化，∴当x＜0时，x＝－|x|.答案：C3．如图所示，那么函数y＝|f(x＋1)|的图象是()解析：先将y ＝f (x )图象向左平移1个单位，再将x 轴下方图象关于x 轴对称过来即得A.答案：A4．(2010·重庆卷)函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：∵f (x )＝4x ＋12x ＝2x ＋2－x ，∴f (－x )＝f (x )，是偶函数．答案：D5．若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝__________.解析：二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图象关于直线x ＝1对称，说明二次函数的对称轴为1，即－a＋22＝1.∴a＝－4.而f(x)是定义域在[a，b]上的，即a、b关于x＝1也是对称的，∴a＋b2＝1.∴b＝6.答案：66．把函数y＝log3(x－1)的图象上各点的横坐标缩小到原来的12，再向右平移12个单位，所得图象的解析式为__________．答案：y＝log3(2x－2)思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．2．用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法．3．图象的对称性的证明(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．要熟悉一些常见的函数图象对称性的判定方法，如奇、偶函数的图象，还要证明y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，只要证明f－1(x)＝f(x)．若f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于x＝a对称．(2)证明曲线C1与C2的对称性，即要证明C1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C2上，反之亦然．4．常见结论(1)若f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于x＝a＋b2成轴对称图形．(2)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝12(b－a)对称．(3)若定义在R上的函数f(x)关于直线x＝a与x＝b(b＞a)都对称，则f(x)为周期函数，2b－2a是它的一个周期(未必是最小正周期，下同)．(4)若定义在R上的函数关于点(a，c)和(b，c)(b＞a)成中心对称，则f(x)是周期函数，2b－2a是它的一个周期．(5)若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a，c)成中心对称，又关于直线x ＝b(b＞a)成轴对称，则f(x)是周期函数，4b－4a是它的一个周期．互动探究题型1作函数的图象例1.作出下列函数的图象：(1)y＝(12)|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝2x－1x－1.【解析】利用图象变换作图．(1)作出y＝(12)x的图象，保留y＝(12)x图象中x≥0的部分，加上y＝(12)x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝(12)|x|的图象(如图)(2)作出y＝log2x的图象，将此图象向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象，再保留其y≥0的部分，加上其y＜0的部分关于x轴的对称部分，即得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图)(3) 由y ＝2x －1x －1得y ＝1x －12. 作出y ＝1x 的图象，将y ＝1x的图象．向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得y ＝1x －1＋2的图象(如图)题型2函数图象的识别例2.已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如图所示，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )【解析】由已知图象知函数g ′(x )为增函数，f ′(x )为减函数且都在x 轴上方，∴g(x)的图象上任一点的切线的斜率在增加，而f(x)的图象上任一点的切线的斜率在减少，又由f′(x0)＝g′(x0)．答案：D题型3函数图象的对称性例3.(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图象关于直线x＝m 对称；(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．【解析】(1)证明：设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，则y0＝f(x0)，又P点关于x＝m的对称点为P′，则P′的坐标为(2m－x0，y0)，由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]＝f[m－(m －x0)]＝f(x0)＝y0，则P′(2m－x0，y0)在y＝f (x )的图象上，故y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称．(2)对定义域内的任意x ，有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立，∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立，即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|.又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.错解辨析例 4.设函数y ＝f (x )定义在实数集上，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于( )A ．直线y ＝0对称B ．直线x ＝0对称C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称【错解】 ∵函数定义在实数集上且f (x －1)＝f (1－x )，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0对称．【错因】这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈．即对称问题中有一结论．设函数y＝f(x)定义在实数集上，且f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称，这个结论只对于一个函数而言，而本题是关于两个不同函数的对称问题，若套用这一结论，必然得到一个错误的答案．【正解】作为一选择题可采用如下两种解法：常规求解法和特殊函数法．下面只讲常规求解法．∵y＝f(x)，x∈R，而f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)＝f[－(x－1)]的图象是f(x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因为f(x)与f(－x)的图象关于y轴(即直线x＝0)对称，因此f(x－1)与f[－(x－1)]的图象关于直线x＝1对称．【答案】 D。

2015年高考数学(理)核按钮：第二章《基本初等函数(Ⅰ)》(含解析)

第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用§2.1函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).从近几年高考来看，函数的概念、分段函数的解析式和求函数值是重点考查的内容之一，主要以选择、填空题的形式出现.1.函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有________f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做________，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________.2.函数的表示方法(1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(3)列表法：就是________表示两个变量之间的对应关系的方法.3.构成函数的三要素(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且完全一致，则称这两个函数相等.4.分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数.5.映射的概念一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于A中的________元素x，在集合B中都有________元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.6.映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_____________.(2)区别：函数是从非空数集．．A到非空数集．．B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集．．.7.复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.【自查自纠】1.唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2.(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格3.(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系5.任意一个唯一确定的6.(1)映射(2012·江西)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sin x B．y＝ln xxC．y＝x e x D．y＝sin xx解：函数y＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，列判断正确的是．都表示映射，都表示y 是x 的函数．仅③表示y 是x 的函数．仅④表示y 是x 的函数．都不能表示y 是x 的函数根据映射的定义，①②③中，x 与y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域________________.依题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，解得－4≤1.故填[－4，0)∪(0，1]．规定记号“*”表示一种运算，且a *b ＝ab ，a b 是正实数，已知1*k ＝3.正实数k 的值为____________；在(1)的条件下，函数f (x )＝k *x 的值域是___________.∵1*k ＝k ＋k ＋1＝3，∴k ＝1；k *x ＝1*x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>1，∴函数f (x )＝k *x 的值域是．故填1；(1，＋∞)．________.①P ＝Z 素取绝对值与集合②P ＝{→y ＝x 2 ①A ＝R ②A ＝⎩⎨⎧a ：a →b ，相等的函数是A ．g (x一函数的是(A．f(x)＝B．f(x)＝的定义域.(2)若函数的定义域求函数f(x)的定义域(2)已知函数的定义域.解：(1)∵(1)y＝11(3)y＝2，x ＜－12，，－12≤x ≤4，＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是求函数值域的常用方法：①单调性法，(2)；③分离常数法，如(包括代数换元与三角换元⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(5)，(6))，其解法要针对具体题目可以将二元函数化为一元函数求值只能用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋； (2)f (x )＝解：(1)函数的定义域为和y ＝(1)已知；(2)已知(3)已知，求f(x)(2)已知2x＋17，求(3)已知1－x），－1）－f ________.解：∵x>02x，x＞012（－x），范围是(A．(－1(a )＞f (－a )，则有由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log ）＞log 2（－a ）⇒⎩⎪⎨⎪⎧）＞0.或－1＜a ＜0.故选类型七创新问题对实数a 与b ，定义运算a －b ≤1a －b >1.若函数y ＝f c 的取值范围是由图可知，要使y ＝f ()x 与y ＝c 的图象有两个交的活动范围是在l 1与l 2之间， a －b ）2)A ．f (x )＝§2.2函数的单调性与最大(小)值1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.掌握简单函数单调性的判断和证明方法.3.能将函数单调性、最大(小)值的定义、图象、求导等紧密结合，并能综合应用，解决函数单调性问题.函数的单调性、最值一直是高考的热点.1.函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的.2.函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值.(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值.【自查自纠】1.(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2.(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥m②f(x0)＝m(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1C．y＝⎝⎛⎭⎫12xD．y＝x＋1x解：易知选项中4个函数均在区间(0，＋∞)上有意义，由y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)可知：y ＝ln(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数．故选A.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2 B．－2C．2或－2 D．0解：当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C.下列区间中，函数f(x)＝||ln（2－x）在其上为增函数的是()A．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43C.⎣⎡⎭⎫0，32D．[1，2)解：f(x)的定义域为(－∞，2)，f(1)＝0，当x∈[1，2)时，f(x)＝－ln(2－x)，由复合函数的单调性特征知f(x)为增函数．故选D.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是____________.解：f(x)的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.∵u＝2x＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，且u∈(0，＋∞)，y＝log5u在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增．故填⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.(2012·上海)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数).若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________.解：图象法，根据函数f(x)＝e|x-a|＝⎩⎪⎨⎪⎧e x-a，x≥a，e-x+a，x＜a.的图象如图所示，由图象知当为增函数，而已知函数上为增函数，所以a的取值范围为判断函数的单调性，求函数的单调区间2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间：①y＝－＋3；②y＝1x＋2；③y＝x①依题意，可得＝－x2＋2x＋3＝－(＝－x2－2x＋3＝－由二次函数的图象知，函数y＝－上是增函数，在[y＝－x2＋2|x|＋1]；单调减区间为0，得x≥2或x≤，则y＝1－u，减的是________①f(x)＝③f(x)＝上是单调增函数，求实数解：设是单调增函数．在区间[2解：设假设符合条件的当a>1时，由复合函数的单调性知，只需y)＝f(x＋(1)求证：(2)求f(∞)，且对一切时，有(1)求f(1)(2)判断－1)＜0，f (11)＝f (3)＞(80)＜f (11)，故选D .若函数f (x )＝||2x ＋a 的单调递增区a ＝____________.函数的对称轴为x ＝－a2，由对称性可知6. (3)＝0⇒a ＝－6.故填－若函数f (x )＝a x (a >0，，最小值为m ，且函数增函数.§2.3函数的奇偶性与周期性了解函数奇偶性的含义.在高考中，函数的奇偶性、周期性常与函数的其他性质结合在一起命题，综合考查学生对函数基本概念及性质的理解，题型以选择、填空为主.1.奇偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数.2.奇偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称.3.具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即定义域关于是一个函数具有奇偶性的条件.4.周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f(x)，如果存在一个T，使得当x取定义域内的值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.5.函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f(x)为奇函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为；(2)若函数f(x)为偶函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为.6.奇偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝，偶±偶＝，奇×奇＝，偶×偶＝，奇×偶＝.7.函数的对称性如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数的图象有对称轴；如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a－x)＝－f(b ＋x)，那么函数的图象有对称中心.8.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T ＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同).(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a).(3)如果函数f(x)，x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.【自查自纠】1.(1)f(－x)＝f(x)(2)f(－x)＝－f(x)2.y轴原点3.原点对称原点对称必要不充分4.(1)非零常数每一个f(x＋T)＝f(x)(2)最小5.(1)增(减)函数(2)减(增)函数6.奇偶偶偶奇7.x＝a＋b2⎝⎛⎭⎫a＋b2，0(2013·广东)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是() A．4 B．3 C．2 D．1解：易知函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，故选C.(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．－2 B．0 C．1 D．2解：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.(2013·东北三校联考)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1 B．1 C．－2 D．2解：∵函数f(x)的周期为5，∴f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.故选A.设函数f(x)＝x(e x＋a e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝.解：令g(x)＝x，h(x)＝e x＋a e－x，因为函数g(x)(1)f(x)＝(2)f(x)＝，∴－2≤x≤2且x≠0定义域关于原点对称．偶性：(1)f(x)＝(2)f(x)＝(1)求证：(2)若f(1)(3)若当f(x)的解析式称，且当x∈x).解：由题意知函数期的周期函数．所以先求出一个周期内的表达式，然2]上单调递减，若值范围是________________解：∵∴f(1－－1，1)上又是减函数，且满足的取值范围为解：由奇函数的性质得＋x)＝f(5－2014，A．808解：∵数，且f(2)＝成立，则A．4024解：函数是定义在R 上的偶函数，且满足：；②当0≤x ≤1时，是否为周期函数；.）＝f （2－x ），）＝f （－x ） ⇒x )是周期为2的周期函数．1.5)＝f (1.5)＝f (2－x )的定义域为(－2，的定义域；为奇函数，并且在定义域上单调递减，的解集.由题意可知，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，12<x <52，的偶函数，当§2.4 二次函数二次函数虽属于初中内容，在考试大纲中也没有明确要求，但二次函数、一元二次方程和一元二次不等式又是高考的热点内容之一，因此，二次函数的重要性在于它的工具性和基础性，从题型上看，选择、填空、大题都有.掌握好二次函数的关键是掌握其图象，记住它的图象，其性质就很容易掌握.1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝ (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝ (a ≠0). 2.二次函数的图象与性质(1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：①对称轴：x ＝； ②顶点坐标：；③开口方向：a ＞0时，开口，a ＜0时，开口；④值域：a ＞0时，y ∈ ，a ＜0时，y ∈ ；⑤单调性：a ＞0时，f (x )在上是减函数，在上是增函数；a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a 上是，在⎝⎛⎭⎫－b 2a ，＋∞上是____________. (2)二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点(图象与x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(或ax 2＋bx ＋c ≤0)解集的 .3.二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的或二次函数的处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.4.一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根，则x 1，x 2的分布范围与系数之间的关向下④⎣⎡⎭⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac－b24a⑤⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎫－b2a，＋∞增函数减函数(2)根端点值3.端点顶点函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1解：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，对称轴为x＝1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立．故选A.(2013·重庆)()3－a()a＋6()－6≤a≤3的最大值为()A．9 B.92C．3 D.322解：（3－a）（a＋6）＝－⎝⎛⎭⎫a＋322＋814≤92，当a＝－32时，取等号．故选B.(也可用基本不等式求解)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()解：A选项中，由于二次函数图象开口向下，所以a<0，且函数与y轴交点在y轴负半轴，所以c<0，又abc>0，所以b>0，函数的对称轴x＝－b2a>0，显然A不正确；B选项中，a<0，c>0，所以b<0，所以对称轴x＝－b2a<0，所以B不正确；C选项中，a>0，c<0，所以b<0，所以对称轴x＝－b2a>0，所以C错．故选D.若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是.解：m＝0时，函数在给定区间上是增函数；m≠0时函数是二次函数，由题知m＞0，对称轴为x＝－12m≤－2，∴0＜m≤14，综上0≤m≤14.故填⎣⎡⎦⎤0，14.(2012·江苏改编)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)－c＜0的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________.解：由条件设f(x)－c＝(x－m)(x－m－6)，∴f(x)＝x2－(2m＋6)x＋m(m＋6)＋c.由于f(x)的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴(2m＋6)2－4[m(m＋6)＋c]＝0，解得c＝9.故填9.类型一求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.解法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.解法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋（－1）2＝12，∴m＝12，又根据题意，函数有最大值为8，∴n＝8，∴f(x)＝a⎝⎛⎭⎫x－122＋8.∵f(2)＝－1，即a⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1.解之得a＝－4.∴f(x)＝－4⎝⎛⎭⎫x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，即g(x)＝f(x)＋1的两个零点为2，－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.⎭⎫32－x 对的两实根之差的绝对值等于析式.解：∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， >0，c <0，b 2－4ac >0，图象开口向上，在y 轴上截距为负，且过故选A.【评析】a 决定抛物线开口的方向，c 确定抛物线轴上的截距，b 与a 确定顶点的横坐标(或对称轴，再结合题设条件就不难解答此题了．在同一坐标系中，函数y ＝ax 2＋bx ＋b (ab ≠0)的图象只可能是( )解：抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点排除A ，又直线与抛物线y ＝ax 2＋bx 都过点⎝⎛⎭⎫－ba ，0，排除故选D.类型三二次函数的最值(2013·济南模拟)已知f (x )＝ax (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值g (a ).解：(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，∴g (a )＝f (x )min ＝f (1)＝－2. 当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口方向向上，且其对称轴为x ＝1a .当0＜1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对上有最小值解：f(x)①当t≤1②当t>1(1)若方程有两根，其中一根在区间另一根在区间(2)若方程两根均在区间1<0，2>0，2<0，5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－m∈m<－m>－的取值范围为⎩⎨⎧m|－56＜m＜－轴交点落在区间1>0，2>0，4（2m＋1）≥0，≤1－2，∴－12<的取值范围为⎩⎨⎧m|－12＜m≤1一元二次方程根的分布，即二次函数零点的分布，关键在于作出二次函数的草图，由此列出不等式组，要注意二次函数的对称轴及2012·郑州模拟)已知二次函数bx＋c(b，＋b＝0的两个实数根分别在区间内，求实数解：由题意知2tx＋2t＋§2.5 基本初等函数(Ⅰ)1. 指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象.(4)体会指数函数是一类重要的函数模型. 2. 对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，10，12的对数函数的图象.(3)体会对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0且a ≠1).3. 幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况.指数函数、对数函数在高考中属常考内容.以考查指数函数、对数函数的图象、性质为主，性质又以单调性为主，有时在大题中与其他函数混合出现，一般用导数方法解决.高考中常以5种幂函数为载体，考查幂函数的图象及性质，题目多以选择填空题的形式出现.(一)指数函数 1. 根式(1)n 次方根：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个数，负数的n 次方根是一个数，这时a 的n 次方根用符号表示.②当n 为偶数时，正数的n 次方根有个，这两个数互为 .这时，正数a 的正的n 次方根用符号表示，负的n 次方根用符号表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 .③负数没有偶次方根.④0的n (n ∈N *)次方根是，记作 . (2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做，a 叫做 .(3)根式的性质：n 为奇数时，na n ＝； n 为偶数时，na n ＝ . 2. 幂的有关概念及性质 (1)正整数指数幂：a n ＝(n ∈N *).(2)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (3)负整数指数幂：a -n ＝ (a ≠0，n ∈N *). (4)正分数指数幂：a m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1).(5)负分数指数幂：a -m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1).(6)0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂.(7)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝（a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝（a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝（a ＞0，b >0，r ∈Q ）.注：无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.3. 指数函数的图象及性质定义一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数图象a ＞10＜a ＜1定义域 __________ 值域 __________ 性质过定点__________在R 上是 __________在R 上是 __________位长度，所得图象与曲线⎛ _________(2)0.75－1614.(1)y＝⎝⎛(3)y＝2解：(1)(1)y＝82(3)y＝⎝⎛1 2解：(1)因为列五个关系：①＜a＜0)A．1个与指数函数有关的比较大小问题，除了应用函数的单调性外，还用到指数函数图象的程度，也就是函数f(x)增(减)的快慢．2013·合肥模拟)函数f(x)＝如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是)＜0＞0，b＞0，b＜0由图象知f(x)是减函数，∴0＜a＜轴的截距小于1可知a－b＜1，即－类型四指数函数的综合问题已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x，x∈[－＝f 2(x)－x)＋3的最小值为h(a).(1)若f(x(2)若2t f的取值范围解：(1)当(1)log535(2)a log(3)(log2(1)(lg2)2(2)(log32(3)lg600lg10，c＝A．c>b C．a>c 解：a＝-12，则(A．x＜yC．z＜y解：由对数与指数性质知(1)若f((2)若函数(3)若函数的取值范围；x＋3).(1)若f(1)(2)是否存在实数求出a的值；若不存在，说明理由a≠1).f(x)－f⎝⎛(1)求f(x(2)若方程图象，已知，C2，C3数形结合法)：如图，作直线的图象与直线x＝t的交点为的大小与图象交点的“高低特殊值法)：当x＝2时，，y4＝2－1＝12，故填3，2，12，－利用幂函数的性质比较大小，往往伴解：因为幂函数0.7＜1，所以1.3x是增函数，并且C ．3 ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛23，13，即α＝log 2313，β2313＝1.故选A.的方程a ·4x ＋b ·2x ＋异号，则下列结论中正确的是．此方程无实根．此方程有两个互异的负实根．此方程有两个异号实根．此方程仅有一个实根，则at 2＋bt ＋c ＝t 2＝－b a ＜0，t 1t 2＝2x 单调递增，所以只有一正根，故选D .已知函数f (x )＝lg x ， .(2x ＋t )(t§2.6函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.从近两年的高考试题来看，函数的零点，方程根的问题是热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题.预计今后高考仍有可能以函数的零点，方程根的存在性问题为主要考点，并结合考查相应函数的图象和性质.1.函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) .2.函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的根.3.二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4考点梳理4)【自查自纠】1.(1)f(x)＝0(2)有交点有零点2.f(a)·f(b)＜0(a，b)(a，b)f(c)＝0函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)解：∵f(－1)＝12－3<0，f(0)＝1>0，∴f(－1)·f(0)<0，因此，函数f(x)在区间(－1，0)内有零点．故选B.(2012·湖北)函数f(x)＝x cos x2在区间[0，4]上的零点个数为()A．4 B．5 C．6 D．7解：若f(x)＝0，则x＝0或cos x2＝0，x2＝kπ＋π2，k∈Z，又x∈[0，4]，k＝0，1，2，3，4，所以f(x)共有6个零点．故选C.已知a是函数f(x)＝ln x－log12x的零点，若0＜x0＜a，则()A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定解：因为f(x)＝ln x－log12x在(0，＋∞)上是增函数，所以当0＜x0＜a时，有f(x0)＜f(a)＝0，故选C.已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为.解：⎩⎪⎨⎪⎧a>0，2（1－a）＋a＝－（1＋a）－2a，或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a .可得a＝－34.故填－34.方程ln x＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解：令函数f(x)＝ln x＋2x－8，∴f′(x)＝1x＋2＞0(x＞0)，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－6＜0，f(2)＝ln2－4＜0，f(3)＝ln3－2＜0，f(4)＝ln4＞0，∴f(x)的唯一零点在(3，4)内，因此k＝3.故填3..(1)f(x)＝(2)f(x)＝的零点所在的大致区间是A．(1，C．(1，解：∵f1)内的零点个数是A．0解法一：定义域上单调递增且连续，＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0f(x)的零点个数．故选零点个数为(A．1解：函数判断函数在给定区间零点的步骤确定函数的图象在闭区间[a，bb)的值并判断f(a)·f0，则有实数解.除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断.零点个数(方程f(x)＝判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由)＝0的判别式Δ＞0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断对于一般函数零点个数的判断，点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题.在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则长春第二次调研)若a ＞2，则函数2)内零点的个数为(．2 C ．1 (x )＝x 2－2ax ，由a 时恒为负数，即f (x )在(0，＝83－4a ＋1＜0，则内只有一个零点，故选是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点，若，＋∞)，则( )2)<0 B ．f (x 1)<02)<0 D ．f (x 1)>0g (x )＝11－x ＝－1x －＝2x 在(1，＋∞)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数x)，f(x)＝§2.7函数的图象1.掌握常见函数的图象(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、幂函数).2.会利用图象变换的知识作出一些简单函数的图象.3.会求经过某种变换后所得图象的函数表达式.4.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.图象是函数的重要表现形式，数形结合是研究函数的重要技巧与方法.在历年高考中，都有直接或间接考查函数图象的题目出现.1.作函数的图象有两种基本方法：(1)利用描点法作图，其一般步骤为：①确定函数定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；④描点并作出函数图象.(2)图象变换法.2.图象变换的四种形式(1)平移变换①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x－a)(a＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位长度而得到.②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x)－b(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移b个单位长度而得到.总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”.(2)对称变换①y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)三个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于、、对称；②若对定义域内的一切x均有f(m＋x)＝f(m－x)，则y＝f(x)的图象关于直线对称.(3)伸缩变换①要得到y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A>1时)或缩(A<1时)到原来的；②要得到y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的.(4)翻折变换①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的部分不变；②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)在y 轴左边的图象，右边的部分不变.【自查自纠】2.(1)①y＝f(x＋a)右②y＝f(x)＋b下(2)①y轴x轴原点②x＝m(3)①A倍②1a倍(2013·福建)函数f(x)＝ln()x2＋1的图象大致是()解：由函数解析式可知f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；由函数图象过(0，0)点，排除B，D.故选A.函数f(x)＝2x＋2－x的图象()解：令x ＝2，则y ＝－f (2－x )＝－f (0)项可排除，令x ＝1，则y ＝－f (2－x )＝－可排除A ，C 项，故选B.若将函数y ＝f (x )的图象向左平移再沿y 轴对折，得到y ＝lg(x ＋1)的图象，则 .解：把y ＝lg(x ＋1)的图象沿y 轴对折得到y ＝lg(－x ＋1)的图象，再将图象向右平移得y ＝lg[－(x －2)＋1]＝lg(3－x )的图象．∴f (x )＝lg(3－x )，故填lg (3－x )．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋116，x ≥0 的图象如图所示，则abc ＝ .解：依图象有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－a ＋b ＝0，log c116＝2.得a ＝(1)y ＝|x (2)y ＝|log (3)y ＝2(1)＝log 2x 的图象，然后向左平移轴下方的图象沿x 轴对折，图(3)函数的解析式为y ＝2x －1x ＋1＝2①本题中(2)(3)的函数的图象是由基本函数通过变换得到的，因此可先作最基本的函数的图象，伸缩、对称等变换作出待作函数的图象；②变换法作函数的图象是经常用到的一种作图方法，在作图时，应注意先作出图象的关键点和关键线(如对称轴、渐近线等函数奇偶性与基本函数图象的特征作图，也是常用方作出下列函数的图象：x －1－1＝2（x －1）＋1x －1.－∞，1)∪(1，＋∞)．的图象向右平移1个单位得＝1x －1的图象向上平移2个单位可得的图象．类型二识图2012·山东)函数y ＝cos6x2x －2 )解：令f (x )＝cos6x2x －2－x，由f (－x )＝－f (x )知f (x )为奇 )解：由3x－1≠0，得x ≠0，可排除A ；当x ＜0，可排除B ；当x 趋近于＋∞时，y 趋近于0.可排故选C.类型三用图设a 为实数，且1＜x ＜3，试讨论关于的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数.解：原方程即a ＝－x 2＋5x －3.分别作出函数y ＝－x 2＋5x －3＝－⎝⎛⎭⎫x －522＋1343)和y ＝a 的图象，得a ＞134或a ≤1时，原方程的实数解的个数为a ＝134或1＜a ≤3时，原方程的实数解的个数3＜a ＜134时，原方程的实数解的个数为2.＝x3＋x的零点依次为小顺序为(A．b>cC．a>b合理处理识图题与用图题对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托.函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期.图象对称性的证明证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一或对称轴)的对称点仍在图象上与C2的对称性，即证明或对称轴)的对称点在研究函数的图象必须与函数的性质有机结合起的完美结合，不要将二者割裂易知函数y＝e21x-为偶函数，因此排除e21x-＞0，故排除D.故选C.f(x)＝x－cos x，则方程f(x)＝0在[0上的实根个数是()．没有实根．有且仅有一个实根．有且仅有两个实根．有无穷多个实根令f(x)＝x－cos x＝0，即x＝cos x，画出函和y＝cos x的图象(如图)，函数y＝x与函数的图象仅在x＝α⎝⎛⎭⎫0<α<π2处有一个交点．把函数y＝log2(x－1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的)＝log2(2x＋1) B．y＝log2(2x＋＝log2(2x－1) D．y＝log2(2x－把函数y＝log2(x－1)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y＝log2(2x－1)的图象，再向右单位长度，所得函数的解析式为⎦⎤⎭⎫12－1＝log2(2x－2)．故选D.y＝2-|x-1|－m的图象与x轴有交点时，取值范围是()。

2015年高考数学一轮复习课时训练第5节对数函数

第5节对数函数课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2012年高考大纲全国卷)已知x=ln π,y=log52,z=,则( D )(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x解析:∵x=ln π>ln e=1,∴x>1,y=log 52<log5=,∴0<y<,z==>=,∴<z<1,∴x>z>y,故选D.2.已知a=log 23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是( B )(A)a=b<c (B)a=b>c(C)a<b<c (D)a>b>c解析:a=log 23+log2=log2=log23,b=log 29-log2=log2=log2=log23>,c=log32<log33=1.所以a=b>c.故选B.3.(2013湖北八校联考)已知指数函数y=a x(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上是减函数,则函数y=log a|2x-3|的大致图象为( A )解析:由题意可知,0<a<1,函数y=log a|2x-3|的定义域是(-∞,)∪(,+∞).当x∈(,+∞)时,y=log a(2x-3)是减函数.当x∈(-∞,)时,y=log a(3-2x)是增函数,结合图象可知,选项A正确.故选A.4.若log a(a2+1)<log a(2a)<0,则a的取值范围是( C )(A)(0,1) (B)(C)(D)(0,1)∪(1,+∞)解析:∵a2+1>1,又log a(a2+1)<0,∴0<a<1,又log a(a2+1)<log a(2a)<0,∴∴a>且a≠1.所以<a<1,故选C.5.若函数f(x)=log m x的反函数的图象过点(-1,n),则3n+m的最小值是( A )(A)2(B)2(C)2 (D)解析:函数f(x)=log m x的反函数为y=m x,m-1=n,即mn=1,3m+n≥2=2,当且仅当3m=n时等号成立.故选A.6.已知函数f(x)=log2(x2-2x+a)的值域为[0,+∞),则正实数a等于( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由已知得函数y=x2-2x+a的值域为[1,+∞),即y=x2-2x+a的最小值为1,所以=1,解得a=2,故选B.7.(2013年高考辽宁卷)已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg 2)+f(lg )等于( D )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析:因为f(x)+f(-x)=ln(-3x)+1+ln(+3x)+1=ln(1+9x2-9x2)+2=2.所以f(lg 2)+f(lg )=f(lg 2)+f(-lg 2)=2.故选D.二、填空题8.(2012年高考北京卷)已知函数f(x)=lg x,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)= .解析:∵f(x)=lg x,f(ab)=1,∴lg(ab)=1,∴f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=2(lg a+lg b)=2lg(ab)=2.答案:29.(2013陕西渭南二模)函数f(x)=的定义域是.解析:由lo(x-1)≥0,得0<x-1≤1,解得1<x≤2.故函数的定义域为(1,2].答案:(1,2]10.设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是.解析:由f(a)>f(-a)得或即或解得a>1或-1<a<0.答案:(-1,0)∪(1,+∞)11.(2013惠州模拟)已知函数f(x)=a x+log3x(a∈R且a>1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为2+log32,则实数a的值为.解析:∵a>1时,函数f(x)递增,在区间[1,2]上f(x)的最大值为f(2)=a2+log32,最小值为f(1)=a1+log31=a.则a2+log32-a=2+log32,∴a2-a-2=0.∴a=2.答案:2三、解答题12.计算:(1)(lg-lg 25)÷10;(2).解:(1)(lg-lg 25)÷10=-2×=-2×lg 10÷=-20.(2)原式===1.13.已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.(1)求k的值;(2)若方程f(x)=log4(a·2x)有且只有一个实根,求实数a的取值范围.解:(1)∵f(x)为偶函数,且f(-x)=log4(4-x+1)-kx=log4-kx=log4(4x+1)-log44x-kx=log4(4x+1)-x-kx,∴log4(4x+1)-x-kx=log4(4x+1)+kx,∴-1-k=k,即k=-.(2)由(1)知f(x)=log4(4x+1)-x=log4(4x+1)-log4=log4(4x+1)-log42x=log4(2x+2-x),方程log4(2x+2-x)=log4(a·2x)有且只有一个实根,即方程2x+2-x=a·2x有且只有一个实根.令2x=t,则(a-1)t2-1=0只有一个正根.则a-1>0,即a>1,∴a的取值范围是(1,+∞).B组14.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m、n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m、n的值分别为( A ) (A)、2 (B)、4 (C)、 (D)、4解析:f(x)=|log2x|=根据f(m)=f(n)(m<n)及f(x)的单调性,知mn=1且0<m<1,n>1,又f(x)在[m2,n]上的最大值为2,由图象知f(m2)>f(m)=f(n),∴f(x)max=f(m2),x∈[m2,n],故f(m2)=2,易得n=2,m=.故选A.15.(2013四川省宜宾市高三一诊)若函数y=lg|ax-1|的图象关于x=2对称,则非零实数a= .解析:由于函数图象关于x=2对称,则lg|ax-1|=lg|a(4-x)-1|,即ax-1=-ax+4a-1或ax-1=ax-4a+1恒成立,所以a=0或a=,即非零实数a=.答案:16.若函数y=f(x)=alog 2·log2(4x)在区间上的最大值是25,求实数a的值.解:f(x)=alog 2·log2(4x)=a[(log2x-3)(log2x+2)]=a[(log2x)2-log2x-6],令t=log2x,则y=a(t2-t-6),且t∈[-3,2].由于h(t)=t2-t-6=-,所以当t=时,h(t)取最小值-; 当t=-3时,h(t)取最大值6.若a=0,显然不合题意;若a>0,则f(x)的最大值为6a, 即6a=25,∴a=;若a<0,则f(x)的最大值为-a,即-a=25,∴a=-4.综上,实数a的值为或-4.。

2015届高考数学(新课标)二轮复习课件专题小综合(一)

a11－a15d1＝143，解得 d＝3a1. a1＝1，d＝3，an＝3n－2. (3)b1＋b2＋…＋bn＝3n－52n＋1＋10.
第十八页，编辑于星期五：十点二十四分。
13．(本小题满分 14 分)把所有正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第 i 行共有 2i－1 个正整数．设 aij(i、j∈N*)表示位于这个数表中从上往下数第 i 行，从左往右数第 j 个数．
1 23 4567 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)若 aij＝2 015，求 i 和 j 的值； (2)记 An＝a11＋a22＋a33＋…＋an n(n∈N*)，试比较 An 与 n2＋n 的大小，并说明理由．
第十九页，编辑于星期五：十点二十四分。
【解析】(1)因为数表中前 i－1 行共有 1＋2＋22 ＋…＋2i－2＝2i－1－1 个数，则第 i 行的第一个数是 2i－1，所以 aij＝2i－1＋j－1.
积为 V，则其内切球半径 r＝3SV”；
乙：由“若直角三角形两直角边长分别为 a、b，
则其外接圆半径 r＝ a22＋b2”类比可得“若三棱锥三
条侧棱两两垂直，侧棱长分别为 a、b、c，则其外接
球半径 r＝ a2＋3b2＋c2”．这两位同学类比得出的结论
()
A．两人都对
B．甲错、乙对
C．甲对、乙错 D．两人都错
8．运行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为 ________．
第十页，编辑于星期五：十点二十四分。
【解析】－2 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据程序框图所示的顺序，可知：当 n＝1，S＝1 时，执行循环体后 n＝2，S＝0；当 n＝2，S＝0 时，执行循环体后 n＝3，S＝2；当 n＝3，S＝2 时，执行循环体后 n＝4，S＝－1；当 n＝4，S＝－1 时，执行循环体后 n＝5，S＝3；当 n＝5，S＝3 时，执行循环体后 S＝－2.故输出 S 的值为－2.

高考数学一轮复习课件2.12函数综合2

3)若h( x) = g ( x) - l f ( x) + 1在[- 11 ，上是增函数， ] 求实数l 的取值范围。
f ( x) = x + 2 x，g ( x) = - x + 2 x \ h( x ) = g ( x ) - l f ( x ) + 1 = - x + 2 x - l ( x + 2 x) + 1 = -（ 1 + l ）x + 2 (1- l ) x + 1
3、定义在R上的函数f ( x x + 3) = 0且当x ? ( 11 ，时，有 ] f ( x) = 2 x - 3，求当x Î (2，时 4] f ( x)的解析式。
不等式 x - ax - a > 0 的解集为 (- ? , ? ) ，则实数 a 的取值范围是__________；不等式 x - ax - a ? 3 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是__________
例3设函数f(x)=x2+|x-2|-1, 1)判断函数的奇偶性 2)求函数的最小值。
求 log3 (1- 2?3 )
x
2x + 1的解
2、定义在R上的函数f ( x)满足： f ( x) = f (4 - x)且f (2 - x) + f ( x - 2) = 0, 求f (2000)的值。
2 2 2
2
2
函数综合2
2.已知命题P：y = log0.5 ( x 2 + 2 x + a)的值域为R, 命题Q : 函数y =- (5 - 2a) 是减函数，若P或Q为真， P且Q为假，则实数a的取值范围为
x
3.若集合M = {y y = 2 },P = x y =