排列组合与二项式定理精华总结

排列组合

知识点

一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理：分类相加，分步相乘。 二、排列：元素是有顺序的 （1）：对排列定义.：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （2）：排列数公式： ),,()!

(!

)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=

+--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1 111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1

1

--=m n m n nA A 规定10==n n n C C

（3）： 含有可重元素．．．．．．

的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中有限重复数为n 1、n 2……n k ，且

n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!

!...!!

21k n n n n n =

.

三、组合：元素没有顺序之分 （1）：组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

（2）：组合数公式：)!

(!!!

)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m

m

m

n m

n -=+--==Λ

（3）：两个性质：①;m n n m n C C -= ②m

n m n m n C C C 11+-=+

（4）：常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：

)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ（利用!

1

)!1(1!1n n n n --=-）

ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.

v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：4

13353433+=+++n n C C C C C Λ.

vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ

证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为

2

2120022110)

()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅--ΛΛ，而右边n

n C 2= 四、排列、组合综合

（1）直接法 （2）间接法 （3）捆绑法 （4）插空法 （5）占位法 （6）调序法 （7）平均法 （8）隔板法 （9）定位问题 （10）指定元素排列组合问题

五、二项式定理.

1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n

n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+--ΛΛ. 展开式具有以下特点：

项数：共有1+n 项；

系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ΛΛ

每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.

⑵二项展开式的通项.

n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r

r n r n r ∈≤≤=-+.

⑶二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大.

I. 当n 是偶数时，中间项是第12

+n

项，它的二项式系数2n

n C 最大；

II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第2

1

+n 项和第121++n 项，二项式系数2121

+-=n n

n n

C

C

最大.

③系数和：

1

31420102

2

-=++=+++=+++n n

n n n n n n n n n C C C C C C C C ΛΛΛ

例题释疑

1：由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144

2：现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是

A ． 152 B. 126 C. 90 D. 54

3：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 A.18 B.24 C.30 D.36

4：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60

B. 48

C. 42

D. 36 5：名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C 6：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 7：平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有

k k

n n

n n k n kn A C C C Λ)1(-⋅.

例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!

22

4=C （平均分组就

用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将20名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？:（!

2/102022818C C C P =

）