第二章 土壤水分运动基本方程2

第二章 土壤水分运动基本方程

如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即

()H h k q ∇= （2-2-1）

式中：H ∇——为水势梯度；

k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。 Richards 方程垂向一维方程为

)

1)(( )

(±∂∂-=∂∂-=z

h

k z

H k q z θθ

注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。

由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。

一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。

一维Richards 方程的几种形式：

根据()

()θθ

θD h

k =∂∂（K=C ×D ）得： x h k q x ∂∂-=)(θ x D q x ∂∂-=θ

θ)

( y h k q y ∂∂-=)

(θ y

D q y ∂∂-=θθ)( )1)(

(±∂∂-=z h k q z θ )]()([θθθk z

D q z ±∂∂-=

第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程

一、基本方程的推导

土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。

如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为z y x ∆∆∆，由于该立方体很小，在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为z y x v v v 、、，在t ～t+Δt 时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）：

t y x v t z x v t z y v m z y x ∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=ρρρ入 （2-2-2）

流出立方体的质量为（3个面流出）：

t z y x x v v m x x ∆∆∆⎪⎭

⎫

⎝⎛∆∂∂+=ρ出

t y x z z v v t z x y y v v z z

y y ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂++∆∆∆⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∆∂∂++ρρ （2-2-3） 式中：ρ––––水的密度；

z y x ∆∆∆,,––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；

x x v x ∆∂∂，y y v y ∆∂∂，z z

v

z ∆∂∂––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变化值。

由式(2一2－2）、式（2－2－3）之差可求得流入和流出立方体的质量差：

出入m m m -=∆ ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=z v y v x

v z y x ρt z y x ∆∆∆∆⨯ （2—2—4） 设θ为立方体内土壤含水率，则在Δt 时间内立方体内质量变化又可写为

t z y x t

m ∆∆∆∆∂∂=∆θ

ρ

（2—2—5） 根据质量平衡原理（流入量－流出量＝储存量变化量），式（3－2－4）、式（3—2—5）

应相等，即

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂z v y v x

v t z y x θ

（2-2-6） 根据达西定律得：

()

x H k v x ∂∂-=θ，()y H k v y ∂∂-=θ，()z

H

k v z ∂∂-=θ （2-2-7）

式中k （θ）––––土壤水力传导度，为含水率的函数；

H ––––总土水势，为基质势与重力势之和（H ＝h ＋z ）。 因此，式（2－2—6）可以写作以下形式：

()()()z

z H k y y H k x x H k t ∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂θθθθ （2-2-8）

上式可以简写为

()[]H k t

∇∇=∂∂θθ

（2-2-9） 式（2－2－8）或式（2－2－9）为土壤水分运动基本方程。

在饱和土壤中，含水量和基质势均为常量。水力传导度也为常量，常称渗透系数，则方程（2－2－8）可写为

022222

2=∂∂+∂∂+∂∂z

H

y H x H （2－2－10） 或写作

02=∇H （2－2－10‘）

22

22222

z

y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ （2－2－11）

式中：▽2––––

拉普拉斯算子。

式（2－2－10）或式（2－2－10‘

）为饱和土壤水流的拉普拉斯方程。

二、基本方程的不同形式

为运用基本方程分析各种实际问题的方便，可将基本方程改写为多种表达形式。 为简便起见，以下均以一维垂向土壤水分运动为例，给出基本方程的不同表达形式。 （一）以含水率θ为变量的基本方程

由式（2－2－8）可得一维垂向土壤水分运动的基本方程为

()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂z H k z t θθ （2－2－12） 式中：H ––––总土水势；

z ––––为水流方向坐标，取z 向上为正。 因为H=h 十z ，所以上式可写作