2014年山东高考模拟试题文科数学3-复兰高考名师在线精编解析版

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2014山东高考数学考试试卷调整-复兰高考名师在线精编解析版

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可以看出，2014年的数学高考试题，虽然试题总数减少了1个小题，但是加大了对于第Ⅱ卷主观题的考查，特别是填空题分值增加较多，而以往的填空题考生的得分率普遍不高。

建议广大考生，要在老师的引领下，重视对运算能力基本功的提高，规范解题步骤、加强对中低档题目的落实，这一点显得尤为重要，避免出现“会儿不对、对而不全”等眼高手低的现象;要研究考试的基本题型，把握考试的高频考点和低频考点，要关注“正态分布”、“线性回归”、“独立性检验”等考试中出现频率较低的考点;要“重视通法、淡化技巧”，从知识结构、解题方法、考试题型三个维度去立体式的复习，吃透考点，明确重点，突破难点，进行解题训练，要注重相似题目之间的联系，能够将解题方法从一个题目“迁移”到另一个题目，做到举一反三、触类旁通，提升实战能力;同时要了解6道不同内容的解答题的得分点，加强对应试技巧的训练。

考生在研读《说明》时，一定要关注“命题指导思想”，在选择备考材料时要注意是否具备山东卷的风格，复习中要注重基础、注重联系、不钻片怪、提高能力，把“基本题目做熟，典型题目做透”，不要做无用功，力争“会做的题不丢分”。

山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷数学文3含答案

绝密★启用前试卷类型：A山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷（三）文科数学满分150分考试用时120分钟参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面上，复数()1i i z =+的共轭复数的对应点所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设△ABC 的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定3．若0.320.32,0.3,log 2a b c ===，则,.a b c 的大小顺序是（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．设,a b ∈R ，则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若实数x ，y 满足约束条件12280x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，目标函数z=x+ay （a>0）取得最大值的最优解有无数个，则z 的最小值为（） A ．2B ．3C ．5D ．13 6．已知函数2log ,0,()31,0,x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩则1(())f f 的值是（）A ．10B ．109C ．-2D ．-57．已知{}0232<+-=x x x A ，{}a x x B <<=1，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,2B ．](1,2C ．()2,+∞D ．[)2,+∞8．如图给出的是计算20121614121+⋅⋅⋅+++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（） A ．2012≤i B ．2012i > C ．1006≤iD ．1006>i ．9．设点P 是双曲线22221x y a b-= ()0,0a b >>与圆2222x y a b+=+在第一象限的交点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且21122PF F PF F ∠=∠，则双曲线的离心率为（）A ．1B ．2C ．1D ．310．定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意x R ∈，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．2⎛⎝⎭C ．⎛⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置． 11．若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则,a b 夹角的余弦值为．12．已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则___________.13．若圆()2220xy r r +=>上有且只有两个点到直线x-y-2=0的距离为1，则实数r 的取值范围是_________．14．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为； 15．已知函数()()02xf x x x =>+．观察下列计算：()()1,2xf x f x x ==+()()21(),34xf x f f x x ==+()()32(),78xf x f f x x ==+()()43(),1516xf x f f x x ==+ ，根据以上事实，由归纳推理可得：当2n N n *∈≥且时，()()()1_______n n f x f f x -==．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()cos cos()3f x x x π=⋅-（Ⅰ）求2()3f π的值; （Ⅱ）求使1()4f x <成立的x 的取值集合．17．（本小题满分12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．18．（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列.（Ⅰ）证明:2a =（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅲ）证明:对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<．19．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，1,AB AD ==,AB BC CD BD ⊥⊥，如图（1）．把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面A BD BCD '⊥平面，如图（2）．（Ⅰ）求证：CD A B '⊥；（Ⅱ）求三棱锥A BDC '-的体积；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点N ，使得A N 'BD ⊥？若存在，请求出BCBN的值；若不存在，请说明理由．20．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0Fc c >到直线:20l x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程; （Ⅱ）当点()00,Px y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程;（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．21．（本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+的图象在点(1,(1))P f 处的切线斜率为10．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断方程()2f x x =根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）探究：是否存在这样的点(,())A t f t ，使得曲线()y f x =在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由．文科数学（三）一、选择题：二、填空题：11．3- ； 12．2； 13．）； 14．2π+24； 15．(21)2n nx x -+ 三、解答题：16、解：(1) 41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos(cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以. (2)由(1)知,)2,2()62(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππππk k x x x x -∈+⇒<+⇒<++=.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：17．解：（Ⅰ）设PM2．5的24小时平均浓度在（50,75]内的三天记为123,,A A A ，PM2.5的24小时平均浓度在（75,100）内的两天记为12,B B ．所以5天任取2天的情况有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共10种． …4分其中符合条件的有：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32AB 共6种． …………6分所以所求的概率63105P ==． ……………………8分（Ⅱ）去年该居民区PM2．5年平均浓度为：12.50.2537.50.562.50.1587.50.140⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．……10分因为4035>，所以去年该居民区PM2．5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． ………………………………12分 18、解: (1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴=(2)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+ [来源:学,科,网Z,X,X,K] ∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =,由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.(3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 19．解：（Ⅰ）∵平面A BD BCD '⊥平面，A BD BCD BD '⋂=平面平面，CD BD ⊥∴CD A BD '⊥平面， 2分又∵AB A BD '⊂平面，∴CD A B '⊥． …4分（Ⅱ）如图（1）在2Rt ABD BD ∆==中，．30ADBC ADB DBC ∴∠==︒，．在tan 30Rt BDC DC BD =︒=中，∴12BDC S BD DC ∆=⋅=． ……………………………6分如图（2），在R t A BD '∆中，过点A '做A E BD '⊥于E ，∴A E BCD '⊥平面．3A B A D A E BD '''==， 7分∴233111333A BDC BDC V S A E '-∆'=⋅==． 8分（Ⅲ）在线段BC 上存在点N ，使得A N 'BD ⊥，理由如下：如图（2）在Rt A EB '∆中，12BE ==，∴14BE BD =， …9分过点E 做DC EN //交BC 于点N ，则14BN BE BC BD ==，∵BD EN BD CD ⊥∴⊥,， …10分又A E BD '⊥，A EEN E '=，BD A EN '∴⊥平面，又A N A EN ''⊂平面，∴A N BD '⊥．∴在线段BC 上存在点N ，使得A N 'BD ⊥，此时14BN BC =．…………………12分20．(1)依题意d ==,解得1c =(负根舍去) ∴抛物线C 的方程为24x y =;(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P , 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y-+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理,20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+,所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=,2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为9221．解法一：（Ⅰ）因为2()ln f x x a x =+，所以'()2af x x x=+，函数()f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线斜率'(1)2k f a ==+．由210a +=得：8a =． …………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()8ln f x x x =+，令()()2F x f x x =-228ln x x x =-+．因为(1)10F =-<，(2)8ln 20F =>，所以()0F x =在(0,)+∞至少有一个根．又因为8'()22260F x x x=-+≥=>，所以()F x 在(0,)+∞上递增，所以函数()F x 在(0,)+∞上有且只有一个零点，即方程()2f x x =有且只有一个实根． 7分（Ⅲ）证明如下：由2()8ln f x x x =+，8'()2f x x x =+，可求得曲线()y f x =在点A 处的切线方程为28(8ln )(2)()y t t t x t t -+=+-，即28(2)8ln 8y t x t t t =+-+-(0)x >． ………………… 8分记2()8ln h x x x =+-28[(2)8ln 8]t x t t t+-+- 28ln x x =+-28(2)8ln 8t x t t t++-+(0)x >，则42()()88'()2(2)x t x t h x x t x t x --=+-+=． ………………… 11分（1）当4t t=，即2t =时，22(2)'()0x h x x -=≥对一切(0.)x ∈+∞成立，所以()h x 在(0,)+∞上递增．又()0h t =，所以当(0,2)x ∈时()0h x <，当(2,)x ∈+∞时()0h x >，即存在点(2,48ln 2)A +，使得曲线在点A 附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 12分（2）当4t t >，即2t >时，4(0,)x t ∈时，'()0h x >；4(,)x t t∈时，'()0h x <； (,)x t ∈+∞时，'()0h x >．故()h x 在4(,)t t上单调递减，在(,)t +∞上单调递增．又()0h t =，所以当4(,)x t t∈时，()0h x >；当(,)x t ∈+∞时，()0h x >，即曲线在点(,())A t f t 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧． 13分（3）当4t t<，即02t <<时， (0,)x t ∈时，'()0h x >；4(,)x t t ∈时，'()0h x <；4(,)x t∈+∞时，'()0h x >．故()h x 在(0,)t 上单调递增，在4(,)t t上单调递减．又()0h t =，所以当(0,)x t ∈时，()0h x <；当4(,)x t t∈时，()0h x <，即曲线在点(,())A t f t 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．综上，存在唯一点(2,48ln 2)A +使得曲线在点A 附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）证明如下：由2()8ln f x x x =+，8'()2f x x x=+，可求得曲线()y f x =在点A 处的切线方程为28(8ln )(2)()y t t t x t t-+=+-，即28(2)8ln 8y t x t t t=+-+-(0)x >． ……………… 8分记2()8ln h x x x =+-28[(2)8ln 8]t x t t t+-+- 28ln x x =+-28(2)8ln 8t x t tt++-+(0)x >，则42()()88'()2(2)x t x t h x x t x t x--=+-+=． ………………… 11分若存在这样的点(,())A t f t ，使得曲线()y f x =在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t 不是极值点，由二次函数的性质知，当且仅当4t t=，即2t =时，t 不是极值点，即()0h x '≥．所以()h x 在()0,+∞上递增．又()0h t =，所以当(0,2)x ∈时，()0h x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h x >，即存在唯一点(2,48ln 2)A +，使得曲线在点A 附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分。

2014年山东省济南市山师附中高考数学三模试卷(文科)

2014年山东省济南市山师附中高考数学三模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x＞2}，则A∩∁U B等于（）A.{x|1＜x≤2}B.{x|2＜x≤3}C.{x|1≤x≤2}D.{x|1≤x≤3}【答案】A【解析】解：∵B={x|x＞2}，∴C U B={x|x≤2}∵A={x|1＜x≤3}∴A∩C U B={x|1＜x≤2}故选A利用补集的定义求出集合B的补集；利用交集的定义求出A∩C U B．本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行交、并、补集的混合运算．2.在等差数列{a n}中，a1=-2012，其前n项和为S n，若a12-a10=4，则S2012的值等于（）A.-2010B.-2011C.-2012D.-2013【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，a1=-2012，a12-a10=2d=4；∴公差d=2，又其前n项和为S n=na1+n（n-1）d=-2012n+n（n-1）=n2-2013n，∴S2012=20122-2013×2012=2012×（2012-2013）=-2012；故选：C．由a12-a10=4求出等差数列{a n}的公差d，写出前n项和S n，计算S2012即可．本题考查了等差数列的前n项和公式的应用问题，是基础题．3.函数y=sinxsin的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π【答案】B【解析】解：∵y=sinxsin=sinxcosx=sin2x∴T==π故选B利用诱导公式、二倍角公式对已知函数进行化简，然后代入周期公式即可求解本题主要考查了诱导公式、二倍角的正弦公式及周期公式的简单应用，属于基础试题4.R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f（2012）=（）A.-2B.2C.D.【答案】A【解析】解：∵R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，∴f（2012）=f（670×3+2）=f（2）=f（3-1）=f（-1）=-f（1）=-2．故选A．由R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），知f（2012）=-f（1），再由0＜x≤1时，f（x）=2x，能够求出结果．本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5.直线l与圆x2+y2+2x-4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB的中点（-2，3），则直线l的方程为（）A.x+y-3=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=0【答案】C【解析】解：圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程为（x+1）2+（y-2）2=4，圆心坐标为C（-1，2）．∵弦AB的中点D（-2，3），∴k CD==-1，∴直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y-3=x+2，即x-y+5=0．故选C．圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程，可得圆心坐标，先求出垂直于直线l的直线的斜率，再求出直线l的斜率，利用点斜式可得直线方程．本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出直线的斜率是关键．6.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A. B. C. D.【答案】【解析】解：随机取出2个小球得到的结果数有C52=种取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，∴P=，故选A从5个小球中选两个有C52种方法，列举出取出的小球标注的数字之和为3或6的有{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，根据古典概型公式，代入数据，求出结果．本题也可以不用组合数而只通过列举得到事件总数和满足条件的事件数．本题也可以这样解，在解题时注意所取小球的顺序，注意顺序时，要所有事件和满足条件的事件都要有顺序：．7.若a、b为实数，则“ab＜1”是“＜＜”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若a、b为实数，ab＜1，令a=-1，b=1，ab=-1＜1，推不出＜＜，若＜＜，可得b＞0，∴0＜ab＜1，⇒ab＜1，∴ab＜1”是“＜＜必要不充分条件，故选B．令a=-1，b=1特殊值法代入再根据必要条件和充分条件的定义进行判断；此题以不等式为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，利用了特殊值法进行判断，特殊值法是高考做选择题和填空题常用的方法，此题是一道基础题．8.已知a＞b，函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a（x+b）的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由f（x）=（x-a）（x-b）的图象与a＞b得：a＞1＞b＞0．∴g（x）=log a（x+b）的图象是单调递增的，可排除A，D，又g（1）=log a（1+b）＞log a1=0，可排除C，故选B．由a＞b，函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可知，a＞1＞b＞0．于是g（x）=log a（x+b）的图象是单调递增的，g（1）＞0，从而可得答案．本题考查对数函数的图象与性质，由由a＞b与函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象得到a ＞1＞b＞0是关键，属于基础题．9.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A.a＞c＞bB.c＞a＞bC.a＞b＞cD.b＞a＞c【答案】D【解析】解：∵a＞0，b＞0，．．，．，∴a4＜b4，∴a＜b．又∵c=log50.3＜log51=0，∴c＜a．综上可知：c＜a＜b．故选D．考查幂函数y=x4，对数函数y=log5x在区间（0，+∞）上的单调性即可得出答案．掌握幂函数和对数函数的单调性是解题的关键．另外要注意适当的变形．10.已知向量=（x-1，2），=（4，y），若⊥，则32x+3y的最小值为（）A.2B.C.6D.9【答案】C【解析】解：∵⊥，∴•=0，∵向量=（x-1，2），=（4，y），∴•=4（x-1）+2y=0，即4x+2y=4，2x+y=2．则32x+3y，故32x+3y的最小值为6，故选：C．根据若⊥得到•=0，从而得到2x+y=2，然后利用基本不等式的解法即可得到结论．本题主要考查基本不等式的应用，利用向量垂直得到2x+y=2是解决本题的关键．11.实数x，y满足＞若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为（）A.4B.3C.2D.【答案】C【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示∵y=-x+z，则z表示直线的纵截距做直线L：x+y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知，平移到C（a，a）时，z最大此时z=2a=4∴a=2故选C作出不等式组表示的可行域，将目标函数变形y=-x+z，判断出z表示直线的纵截距，结合图象，求出k的范围解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．12.设双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，-），P（c，），∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ-μ）），∴λ+μ=1，λ-μ=，解得λ=，μ=，又由λμ=得=，解得=，∴e==由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ-μ=，解之可得λμ的值，由可得a，c的关系，由离心率的定义可得．本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)13.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为______ ．【答案】3【解析】解：求导函数得：y′=-（x＞0），又由曲线的一条切线的斜率为，令-=即（x-3）（x+2）=0，解得x=3，x=-2（不合题意，舍去），则切点的横坐标为3．故答案为：3求出曲线方程的导函数，根据切线的方程找出切线的斜率，令导函数等于斜率列出关于x的方程，求出方程的解即为切点的横坐标．此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．学生在求出x的值后，注意隐含的条件函数的定义域x＞0，舍去不合题意的x的值．14.设椭圆和双曲线的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则= ______ ．【答案】3【解析】解：∵椭圆和双曲线的公共焦点分别为F1、F2，∴m-2=3+1，∴m=6，∴|PF1|+|PF2|=2，||PF1|-|PF2||=2，两式平方相减可得，4|PF1|•|PF2|=12，∴|PF1|•|PF2|=3．故答案为：3．先根据椭圆和双曲线的公共焦点分别为F1、F2，确定m的值，再利用椭圆、双曲线的定义，即可求得|PF1|•|PF2|的值．本题考查椭圆与双曲线的综合，考查椭圆与双曲线定义，正确运用定义是关键．15.在△ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，则= ______ ．【答案】【解析】解：以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，则=+∵=∴四边形ABDC是矩形过A作AE⊥BC于E∵R t△ABC中，，，∴BC==2，可得斜边上的高AE==因此，BE==∵=，cos ABC=∴==1，可得=故答案为：根据题意，以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC是矩形，由勾股定理求出BC=2．过A作AE⊥BC于E，算出BE=，最后结合数量积的公式和直角三角形余弦的定义，即可算出的值．本题在直角三角形中，求一个向量在另一个向量上投影的值．着重考查了向量加法的几何定义和向量数量积的定义等知识，属于基础题．16.已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对∀x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立．当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，给出下列命题：（1）f（2）=0；（2）直线x=-4是函数y=f（x）图象的一条对称轴；（3）函数y=f（x）在[-4，4]上有四个零点；（4）f（2012）=f（0）其中所有正确命题的序号为______ ．【答案】①②④【解析】解：∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立当x=-2，可得f（-2）=0，又∵函数y=f（x）是R上的偶函数∴f（-2）=f（2）=0，又由当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，∴函数在区间[0，2]单调递减故函数f（x）的简图如下图所示：故答案：①②④．由函数y=f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我们令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，进而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，我们易得函数在区间[0，2]单调递减，由此我们画出函数的简图，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点，解答的关键是根据已知，判断函数的性质，并画出函数的草图，结合草图分析题目中相关结论的正误．三、解答题(本大题共6小题，共74.0分)17.已知△ABC是边长为2的正三角形，P，Q依次是AB，AC边上的点，且线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，设AP=x，AQ=t，PQ=y．（1）求t关于x的函数关系式；（2）求y的最值，并写出取得最值得条件．【答案】解：（1）由已知得，∴t=；（2）由题意，y===，∵＜＜，∴1≤x≤2，∴，当且仅当，即x=时等号成立，∴x=时，y min=；当x=1或2时，y max=．【解析】（1）利用线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，建立方程，即可求t关于x的函数关系式；（2）利用余弦定理，确定函数解析式，确定x的范围，利用基本不等式，即可得出结论．本题考查三角形面积的计算，考查余弦定理的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．18.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sin C+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2-2abcos C∴a2+b2-ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sin C+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A=4sin A cos A，∴sin B cos A=2sin A cos A当cos A=0时，，，，，求得此时当cos A≠0时，得sin B=2sin A，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积【解析】（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b 的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．（Ⅱ）通过C=π-（A+B）及二倍角公式及sin C+sin（B-A）=2sin2A，求出∴sin B cos A=2sin A cos A．当cos A=0时求出a，b的值进而通过absin C求出三角形的面积；当cos A≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absin C求出三角形的面积．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．19.已知，，．（1）求f（x）的值域；（2）若∃x∈[1，2]使得g（x）=0，求a的取值范围．【答案】解：（1）f（x）==，当x∈（0，2）时，∈[2，+∞），故f（x）∈（0，]．（2）原问题等价于方程-lnx=a（x∈[1，2]）有解，令u（x）=-lnx，则u′（x）=x-=≥0，故u（x）在[1，2]上单调递增，∵u（1）=，u（2）=2-ln2，∴u（x）∈[，2-ln2]，故a∈[，2-ln2]，【解析】（1）原函数变形为f（x）=，求出∈[2，+∞），值域即可求，（2）原问题等价于方程-lnx=a（x∈[1，2]）有解，令u（x）=-lnx，利用导数求最值即可．本题主要考查了函数的值域以及导数与最值的关系，属于中档题．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2log2a n+1-1，①若数列的前n项和为，证明＜；②求数列{a n b n}的前n项和为M n．【答案】解：（1）∵a1=1，a n+1=S n+1，∴a n+2=S n+1+1，即a n+2=2a n+1，∴，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）∵，∴b n=2log2a n+1-1=2n-1．①∵b n=2n-1，∴==，∴T n=（1-+…+）=＜．②∵，b n=2n-1，∴a n b n=（2n-1）•2n-1，∴M n=1×20+3×2+5×22+…+（2n-1）×2n-1，①2M n=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n，②①-②，得-M n=1+2（2+22+23+…+2n-1）-（2n-1）•2n=1+2×-（2n-1）•2n=1+2•2n-4-（2n-1）•2n=-3-（2n-3）•2n，∴M n=3+（2n-3）•2n．【解析】（1）利用题设条件推导出数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出．（2）由（1）知b n=2log2a n+1-1=2n-1，由此利用用裂项求和法能求出：①数列的前n项和T n，并证明＜；利用错位相减法能求出：②求数列{a n b n}的前n项M n．本题考查数列通项公式和前n项和的求法，解题时要注意裂项求和法、错位相减法的合理运用．21.已知f（x）=lnx，g（x）=af（x）+f′（x），（1）求g（x）的单调区间；（2）当a=1时，比较与的大小．【答案】解：（1）∵f（x）=lnx，∴f′（x）=，则g（x）=af（x）+f′（x）=alnx+，函数的定义域为（0，+∞），则g′（x）=，①若a≤0，由g′（x）＜0，此时函数单调递减，减区间为（0，+∞），②若a＞0，由g′（x）＞0，得x＞，此时函数单调递增，增区间为（，+∞），由g′（x）＜0，得0＜x＜，此时函数单调递减，减区间为（0，）；（2）当a=1时，g（x）=lnx+，g（）=ln+x=-lnx+x，g（x）-g（）=2lnx+-x，设u（x）=2lnx+-x，则u′（x）==，①当x=1时，u（x）=0，此时g（x）=g（），②当0＜x＜1，u′（x）＜0，此时函数单调递减，u（x）＞u（1）=0，∴g（x）＞g（），③当x＞1，u′（x）＜0，此时函数单调递减，u（x）＜u（1）=0，∴g（x）＜g（）．【解析】（1）求函数的导数，即可求g（x）的单调区间；（2）当a=1时，利用作差法即可比较与的大小．本题主要考查函数单调性的判断，以及函数大小的比较，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．22.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点（-1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点Q（，0），动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A，B两点，证明：为定值．【答案】（Ⅰ）解：由题意知：c=1．根据椭圆的定义得：，解得．所以b2=2-1=1．所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）证明：当直线l的斜率为0时，，，，．则，，．当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．由，可得：（t2+2）y2+2ty-1=0．显然△＞0，则，因为x1=ty1+1，x2=ty2+1，所以=，，===，即．综上，=-，即为定值．【解析】（Ⅰ）由题意知：c=1，根据椭圆定义可求得a，根据b2=a2-c2可得b；（Ⅱ）分直线l的斜率为0，不为0两种情况进行讨论：当直线l的斜率为0时直接按照向量数量积运算即可；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线方程与椭圆方程消掉x得y的二次方程，由韦达定理及向量数量积公式代入运算可得结论；本题考查椭圆方程、直线方程及其位置关系，考查向量的数量积运算，考查学生解决问题的能力．。

2014年全国高考山东省数学(文)试卷及答案【精校版】

2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第Ｉ卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分，考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：１. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

２. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。

３. 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

４. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i + (C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3)函数()f x =(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是(A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =(A)(B)(C) 0(D)(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。

2014年山东省潍坊市高考数学一模试卷(文科)

2014年山东省潍坊市高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若复数i满足z（1+i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）【答案】A【解析】解：由z（1+i）=2i，得．∴在复平面内z对应的点的坐标是（1，1）．故选：A．把已知等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|-1≤x≤5}，则（∁U A）∩B等于（）A.[-1，0）B.（0，5]C.[-1，0]D.[0，5]【答案】C【解析】解：由A中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，∴A=（0，+∞），∵全集U=R，∴∁U A=（-∞，0]，∵B=[-1，5]，∴（∁U A）∩B=[-1，0]．故选：C．求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.已知命题p、q，“¬p为真”是“p∧q为假”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若¬p为真，则p且假命题，则p∧q为假成立，当q为假命题时，满足p∧q为假，但p真假不确定，∴￢p为真不一定成立，∴“¬p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复合命题真假之间的关系是解决本题的关键，比较基础，4.若圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（）A.（x-2）2+（y±2）2=3B.C.（x-2）2+（y±2）2=4D.【答案】D【解析】解：∵圆C经过（1，0），（3，0）两点，∴圆心在直线x=2上．可设圆心C（2，b）．又∵圆C与y轴相切，∴半径r=2．∴圆C的方程为（x-2）2+（y-b）2=4．∵圆C经过点（1，0），∴（1-2）2+b2=4．∴b2=3．∴．∴圆C的方程为．故选：D．由已知圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切．可得圆心在直线x=2上，且半径长为2．设圆的方程为（x-2）2+（y-b）2=4．将点（1，0）代入方程即可解得．从而得到圆C的方程．本题考查圆的标准方程，直线与圆相切的性质等知识，属于中档题．5.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A.1007B.1008C.2013D.2014【解析】解：由程序框图知：程序运行的功能是求S=1-2+3-4+…+（-1）k-1•k，当n=2014时，不满足条件n＜2014，程序运行终止，此时k=2014，∴输出的S=1-2+3-4+…（-1）2012•2013=1+1006=1007．故选：A．程序运行的功能是求S=1-2+3-4+…+（-1）k-1•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键．6.高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A.13B.17C.19D.21【答案】C【解析】解：∵高三某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本组距为56÷4=14，则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19，故选：C．根据系统抽样的定义即可得到结论．本题主要考查系统抽样的应用，根据系统抽样的定义得到样本组距为14是解决本题的关键．比较基础．7.函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象可能是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】解：当a＞1时，函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象为：比照后，发现D满足第一种情况，故选D结合函数图象的对折变换法则和正弦型函数的伸缩变换，分当a＞1时和当0＜a＜1时两种情况，分析两个函数的图象，比照后，可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握函数图象的对折变换及伸缩变换是解答的关键．8.三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，则球O的表面积为（）A. B. C.3π D.12π【答案】C【解析】解：三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，∴球的半径R==．球的表面积为：4πR2=4=3π．故选：C．根据题意，三棱锥S-ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S-ABC的外接球的表面积．本题考查三棱锥S-ABC的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥S-ABC的外接球的球心与半径．9.对任意实数a，b定义运算“⊗”：，设f（x）=（x2-1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A.（-2，1）B.[0，1]C.[-2，0）D.[-2，1）【答案】D【解析】解：当（x2-1）-（x+4）＜1时，f（x）=x2-1，（-2＜x＜3），当（x2-1）-（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤-2），函数y=f（x）=或的图象如图所示：由图象得：-2≤k＜1，函数y=f（x）与y=-k的图象有3个交点，即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；故答案选：D．化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=-k的图象有3个交点，结合图象求得结果．．本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．10.如图，已知直线l：y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】解：设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=-1直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（-1，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为，∴点B的坐标为B（，），把B（，）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0），解得k=．直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（-1，0），由此推导出|OB|=|AF|，由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值．本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为（3，4），则cos2α= ______ ．【答案】-【解析】解：由题意可得，x=3、y=4、r=5，∴cosα==，∴cos2α=2cos2α-1=-，故答案为：-．根据任意角的三角函数的定义求得cosα=的值，再利用二倍角公式cos2α=2cos2α-1，计算求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于中档题．12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______【答案】12【解析】解：由三视图知几何体为三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角三角形，且直角三角形的两直角边长分别为3，2，∴几何体的体积V=×3×2×4=12．故答案为：12．本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．13.若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是______ ．【答案】11【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A时，对应的直线的截距最大，此时z也最大，由，解得，即A（2，3），此时z=2+3×3=11，故答案为：11作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14.已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为______ ．【答案】【解析】解：∵a＞b＞0，ab=1∴a-b＞0∴=当且仅当a-b=时取等号故答案为本题是基本不等式问题，可以利用a＞b＞0得到a-b＞0（正数），再利用条件ab为定值将a2+b2转化为（a-b）2与ab，化简后，运用基本不等式解决问题．本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等）15.已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=-f（1-x）．当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x-1），给出以下4个结论：①函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；②函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；③当x∈（-1，0）时，f（x）=-log2（1-x）；④函数y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增．其中所有正确结论的序号为______ ．【答案】解：令x取x+1代入f（1+x）=-f（1-x）得，f（x+2）=-f（-x）∵函数y=f（x）为奇函数，∴f（x+2）=f（x），则函数是周期为2的周期函数，设0＜x＜1，则2＜x+2＜3，∵当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x-1），∴f（x）=f（x+2）=log2（x+1），设-1＜x＜-0，则0＜-x＜1，由f（x）=-f（-x）得，f（x）=-log2（-x+1），根据奇函数的性质和周期函数的性质画出函数的图象：由上图得，函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；且函数y=|f（x）|的图象是将y=f（x）的图象在x轴下方的部分沿x轴对称过去，其他不变，则函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；故①②③正确，而函数y=f（|x|）=，则图象如下图：由图得，图象关于y轴对称，故y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上不是单调递增的，故④不正确，故答案为：①②③．根据奇函数的性质和f（1+x）=-f（1-x），求出函数的周期，再由所给的解析式和周期性，求出函数在一个周期性的解析式，再画出函数在R上的图象，由图象进行逐一判断．本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性的综合应用，以及对数函数的图象，考查了数形结合思想和转化能力，难度较大．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f（x）=sinx+cosx．（Ⅰ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知=（a，b），=（f（C），【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx+cosx=sin（x+），∴由，，得，当k=0时，，k=1时，，∵x∈[0，2π]，∴，，，∴函数y=f（x）在x∈[0，2π]上的单调递增区间为，，，；（Ⅱ）∵f（C）=sin C+cos C，且∥，∴a-f（C）b=0，即a=b（sin C+cos C），由正弦定理得sin A=sin B（sin C+cos C），即sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C=sin B sin C+sin B cos C，即cos B sin C=sin B sin C，∵sin C≠0，∴cos B=sin B，即tan B=1，∴B=．【解析】（Ⅰ）利用辅助角公式求函数y=f（x）的表达式，即可求出函数在x∈[0，2π]上的单调递增区间；（Ⅱ）根据向量平行的坐标公式，以及正弦定理建立方程关系即可求B．本题主要考查三角函数的化简以及正弦定理的应用，综合考查学生的运算能力．17.如图，底面是等腰梯形的四棱锥E-ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB=2CD，∠ABC=．（Ⅰ）设F为EA的中点，证明：DF∥平面EBC；（Ⅱ）若AE=AB=2，求三棱锥B-CDE的体积．【答案】（Ⅰ）证明：取EB的中点G，连接FG，CG，∵F为EA的中点，∴FG∥AB，FG=AB，∵AB∥CD，AB=2CD，∴FG∥CD，FG=CD，∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG，∵DF⊄平面EBC，CG⊂平面EBC，∴DF∥平面EBC；（Ⅱ）解：等腰梯形ABCD中，作CH⊥AB于H，则BH=，在R t△BHC中，∠ABC=60°，则CH=tan60°=，即点C到AB的距离d=，则点B到CD的距离为，∵EA⊥平面ACD，∴三棱锥B-CDE的体积为V E-BDC==．【解析】（Ⅰ）取EB的中点G，连接FG，CG，利用F为EA的中点，证明四边形CDFG为平行四边形，即可证明：DF∥平面EBC；（Ⅱ）等腰梯形ABCD中，作CH⊥AB于H，求出点B到CD的距离，即可求三棱锥B-CDE 的体积．本题考查线面平行，考查三棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．18.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【答案】解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积π•R2，阴影部分的面积为，则在甲商场中奖的概率为：记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3）（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共15种，摸到的是2个红球有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共3种，则在乙商场中奖的概率为：P2=，又P1＜P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大．【解析】分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到．本题考查等可能事件的概率计算以及几何概率的求法，关键是正确列举事件的全部情况．此题用到的知识点还有：概率=相应的面积与总面积之比．19.已知数列{a n}的前n项和S n=a n+n2-1，数列{b n}满足3n•b n+1=（n+1）a n+1-na n，且b1=3．（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）设T n为数列{b n}的前n项和，求T n，并求满足T n＜7时n的最大值．【答案】解：（Ⅰ）由，得（n≥2），两式相减得，a n=a n-a n-1+2n-1，∴a n-1=2n-1，则a n=2n+1．由3n•b n+1=（n+1）a n+1-na n，∴3n•b n+1=（n+1）（2n+3）-n（2n+1）=4n+3．∴．∴当n≥2时，，由b1=3适合上式，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴①．②．①-②得，=．∴．∵＜．∴T n＜T n+1，即{T n}为递增数列．又＜，＞．∴T n＜7时，n的最大值3．【解析】（Ⅰ）在已知数列递推式中取n=n-1得另一递推式，两式作差后整理得到a n-1=2n-1，则数列{a n}的通项公式可求，把a n代入3n•b n+1=（n+1）a n+1-na n，整理后求得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由错位相减法求得数列{b n}的前n项和T n，然后利用作差法说明{T n}为递增数列，通过求解T3，T4的值得答案．本题是数列与不等式的综合题，考查了数列递推式，训练了利用数列的前n项和求通项公式，考查了错位相减法求数列的和，求解（Ⅱ）的关键是说明数列{T n}为递增数列，是中高档题．20.已知函数f（x）=x3-x-．（Ⅰ）判断的单调性；（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数；（Ⅲ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）设φ（x）==x2-1-（x＞0），则φ'（x）=2x+＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）∵φ（1）=-1＜0，φ（2）=3-＞0，且φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）在（1，2）内有零点，又f（x）=x3-x-=x•φ（x），显然x=0为f（x）的一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）g（x）=+lnx=lnx+，则g'（x）==，设h（x）=x2-（2+a）x+1，则h（x）=0有两个不同的根x1，x2，且有一根在（0，）内，不妨设0＜x1＜，由于x1x2=1，即x2＞e，由于h（0）=1，故只需h（）＜0即可，即-（2+a）+1＜0，解得a＞e+-2，∴实数a的取值范围是（e+-2，+∞）．【解析】（Ⅰ）化简，并求导数，注意定义域：（0，+∞），求出单调区间；（Ⅱ）运用零点存在定理说明在（1，2）内有零点，再说明f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）对g（x）化简，并求出导数，整理合并，再设出h（x）=x2-（2+a）x+1，说明h（x）=0的两个根，有一个在（0，）内，另一个大于e，由于h（0）=1，通过h（）＞0解出a即可．本题主要考查导数在函数中的综合运用：求单调区间，求极值，同时考查零点存在定理和二次方程实根的分布，是一道综合题．21.已知双曲线C：=1的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x-y=0．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆的左顶点，，求|的取值范围；（Ⅲ）若点P满足|PA|=|PB|，求证为定值．【答案】（Ⅰ）解：∵双曲线C：=1的焦距为3，∴c=，∴，①∵一条渐近线的方程为x-y=0，∴，②由①②解得a2=3，b2=，∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）解：∵点P为椭圆的左顶点，∴P（-，0），设G（x0，y0），由，得（x0+，y0）=2（-x0，-y0），∴，解得，∴G（-，0），设A（x1，y1），则B（-x1，-y1），||2+||2=（）2++（x1-）2+=2+2+=2+3-x+=+，又∵x1∈[-，]，∴∈[0，3]，∴，∴的取值范围是[，]．（Ⅲ）证明：由|PA|=|PB|，知P在线段AB垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，①若A、B在椭圆的短轴顶点上，则点P在椭圆的长轴顶点上，此时==2（）=2．②当点A，B，P不是椭圆的顶点时，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OP的方程为y=-，设A（x1，y1），由，解得，，∴|OA|2+|OB|2==，用-代换k，得|OP|2=，∴==2，综上所述：=2．【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆E的方程．（Ⅱ）由已知条件知P（-，0），设G（x0，y0），由，推导出G（-，0），由此能求出的取值范围．（Ⅲ）由|PA|=|PB|，知P在线段AB垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，由此能够证明为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查线段之和取值范围的求法，考查线段之和为定值的证明，解题要注意直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用．。

数学试题(文)

2014年高考模拟训练试题文科数学(三)本试卷共5页，分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．第I 卷(选择题共50分)注意事项：1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。

4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效。

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中。

有且只有一项是符合题目要求的． 1.已知i 为虚数单位，则复数2ii-的模等于A.B.C.D.2.设集合{}{}22230,1A x x x B x x A B =--===⋃，则等于A. {}1-B. {}13，C. {}113-，，D.R3.在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差4.抛物线28y x =的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离等于A.25B.45C.5D.55.函数()()2ln 1f x x =+的图象大致是6.下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题:p “2000,10x R x x ∃∈-->”的否定:p ⌝“2,10x R x x ∀∈--<”； ③设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”必要而不充分条件； ④若20.30.30.3,2,log 2a b c c a b ===<<，则.A.①③④B.③④C.①④D.②③7.执行如图的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A.15B.105C.120D.720 8.将函数()()sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()ϕϕ>0个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点0,2P ϕ⎛⎝⎭，则的值可以是 A.6πB.2π C.56π D.53π9.已知函数())3ln f x x x =-，则对于任意实数()()(),,f a f b a b a b a b++≠+的值 A.恒为正B.恒等于0C.恒为负D.不确定10.已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()()1122,x y M x y M ∈∈，存在，，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”.给出下列4个集合： ①(){}1,M x y y x -==②(){}2,M x y y x ==③(){},sin M x y y x ==④(){},ln M x y y x ==其中所有“好集合”的序号是 A.①②④ B.②③ C.③④ D.①③④第II 卷（选择题共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.已知函数()3log ,0192,0xx x f x f f x >⎧⎛⎫⎛⎫==⎨⎪⎪≤⎝⎭⎝⎭⎩，则___________. 12.若曲线2ln y kx x =+在点()1,k 处的切线与直线210x y +-=垂直，则k=________. 13.某几何体的三视图（如图所示）均为边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是__________.14.若0,0,00,1x a b y x y ≥⎧⎪≥≥≥⎨⎪+≤⎩，且当时，恒有1ax by +≤，则以,a b 为坐标点(),P a b 所形成的平面区域的面积等于_________.15.在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上.当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是______. 三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为tan 21tan A ca b c B b+=、、，且. （I ）求角A ；（II ）已知7,62a bcbc ==+，求的值.17.（本小题满分12分）如图所示，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 是AC 、PC 的中点.（I ）求证：AC DF ⊥；（II ）若2,1PA AB ==，求三棱锥C —PED.18.（本小题满分12分）已知直线1210l x y --=：，直线2:10l ax by -+=，其中(),1,2,3,4,5,6a b ∈. （I ）求直线12l l ⋂=∅的概率；（II ）求直线12l l 与的交点位于第一象限的概率.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为12nn n a S -=，且有S ；数列{}n b 满足()27n n b n a =-. （I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：555273n T -≤≤-.20.（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =. （I ）求函数{}f x 的最小值；（II ）若对一切()0,x ∈+∞，都有()22f x x ax ≤-+恒成立，求实数a 的取值范围；（III ）试判断函数12ln x y x e ex=-+是否有零点？若有，求出零点的个数；若无，请说明理由.21.（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 的方程为()22220x y a b a b +>>，双曲线22221x y a b-=的两条渐近线为12,l l .过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使12l l l l ⊥，又与交于点P ，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A ，B.（I ）若12l l 与的夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程；（II ）求FA AP的最大值.。

2014年山东省高考数学试卷(文科)(附参考答案+详细解析Word打印版)

2014年山东省普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）一.选择题每小题5分，共50分1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=（）A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i2．（5分）设集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2） C．[1，2） D．（1，4）3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，2） B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）4．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞6．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1 7．（5分）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2 B．C．0 D．﹣8．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．189．（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）10．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2二.填空题每小题5分，共25分11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为．12．（5分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为．13．（5分）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为．14．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．15．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为．三.解答题共6小题，共75分16．（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．19．（12分）在等差数列{a n}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a，记T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n，求T n．20．（13分）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D 在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．2014年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题每小题5分，共50分1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=（）A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i【分析】利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得（a+bi）2的值．【解答】解：∵a+i=2﹣bi，∴a=2、b=﹣1，则（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的乘法法则，属于基础题．2．（5分）设集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2） C．[1，2） D．（1，4）【分析】分别解出集合A和B，再根据交集的定义计算即可．【解答】解：A={x|0＜x＜2}，B={x|1≤x≤4}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．故选：C．【点评】本题是简单的计算题，一般都是在高考的第一题出现，答题时要注意到端点是否取得到，计算也是高考中的考查点，学生在平时要加强这方面的练习，考试时做到细致悉心，一般可以顺利解决问题．3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，2） B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】分析可知，，解出x即可．【解答】解：由题意可得，，解得，即x＞2．∴所求定义域为（2，+∞）．故选：C．【点评】本题是对基本计算的考查，注意到“真数大于0”和“开偶数次方根时，被开方数要大于等于0”，及“分母不为0”，即可确定所有条件．高考中对定义域的考查，大多属于容易题．4．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．5．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．sinx＞sinyC．ln（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y，但x2＞y2不成立．D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．6．（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2 B．C．0 D．﹣【分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：由题意可得cos===，解得m=，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．8．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．9．（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）【分析】由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可．【解答】解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0，选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴．函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的对称性的应用，新定义的理解，基本知识的考查．10．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．二.填空题每小题5分，共25分11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3．【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3．故答案为：3．【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．12．（5分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．13．（5分）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12．【分析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．【解答】解：∵一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，∴h=1，棱锥的斜高为：==2，该六棱锥的侧面积为：=12．故答案为：12．【点评】本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题．14．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【分析】由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【点评】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．15．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【分析】求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出及，求出a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=±x．【解答】解：∵右顶点为A，∴A（a，0），∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，F，∵|FA|=c，∴抛物线的准线方程为由得，，由①②，得=2c，即c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b ，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x ，故答案为：y=±x ．【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．三.解答题共6小题，共75分16．（12分）海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．（Ⅰ）求这6件样品来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．【分析】（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）A ，B ，C 三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A 地区抽取的商品的数量为：×50=1； B 地区抽取的商品的数量为：×150=3； C 地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A ，则这2件商品可能都来自B 地区或C 地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．【点评】本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．【分析】（Ⅰ）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；（Ⅱ）证明BE⊥AP、BE⊥AC，即可证明BE⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）连接CE，则∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，∵F为线段PC的中点，∴PA∥OF，∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，∴AP∥平面BEF；（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，∴BE⊥AP，∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，∵AP∩AC=A，∴BE⊥平面PAC．【点评】本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键19．（12分）在等差数列{a n}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a，记T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n，求T n．【分析】（Ⅰ）由于a2是a1与a4的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得b n=a=n（n+1），因此T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）n n•（n+1）．对n分奇偶讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵a2是a1与a4的等比中项，∴，∵在等差数列{a n}中，公差d=2，∴，即，化为，解得a1=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n．（Ⅱ）∵b n=a=n（n+1），∴T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）n n•（n+1）．=2k（2k+1）﹣（2k﹣1）（2k﹣1+1）=4k当n=2k（k∈N*）时，b2k﹣b2k﹣1T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣b2k﹣1）=4（1+2+…+k）=4×=2k（k+1）=．当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣2﹣b2k﹣3）﹣b2k﹣1=n（n+1）=﹣．故T n=．（也可以利用“错位相减法”）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，属于中档题．20．（13分）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣f （1）=f′（1）（x﹣1），代入计算即可．（Ⅱ）先对其进行求导，即，考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，分成a≥0，﹣＜a＜0，a≤﹣三种情况分别讨论即可．【解答】解：，（Ⅰ）当a=0时，，f′（1）=，f（1）=0∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（x﹣1）．（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则＞0，整理得，ax2+（2a+2）x+a ＞0，令f′（x）＜0，则＜0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＜0．以下考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.，对称轴方程．①当a≤﹣时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）②当﹣＜a＜0时，此时，对称轴方程＞0，∴g（x）=0的两根一正一负，计算得当0＜x＜时，g（x）＞0；当x＞时，g（x）＜0．综合（1）（2）可知，当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣＜a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．【点评】导数是高考中极易考察到的知识模块，导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点，特别是单调性的处理中，分类讨论是非常关键和必要的，分类讨论也是高考中经常考查的思想方法．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D 在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值；（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，则a2=4b2．∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2．将y=x代入可得，因此，解得a=2．则b=1．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）．∵直线AB的斜率，又AB⊥AD，∴直线AD的斜率．设AD方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0．联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴．因此．由题意可得．∴直线BD的方程为．令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．可得．∴，即．因此存在常数使得结论成立．（ii）直线BD方程为，令x=0，得，即N（）．由（i）知M（3x1，0），可得△OMN的面积为S==．当且仅当时等号成立．∴△OMN面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．。

数学_2014年山东省某校高考数学模拟试卷(3)_(含答案)

2014年山东省某校高考数学模拟试卷（3）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 已知集合A ={1,3,√m}，B ={1,m}，A ∩B =B ，则m =( ) A 0或1 B 0或3 C 1或3 D 0或1或32. 下列命题中，真命题是（）A 命题“若p ，则q ．”的否命题是“若p ，则￢q ．”B 命题p:∃x ∈R ，使得x 2+1<0，则¬p:∀x ∈R ，使得x 2+1≥0C 已知命题p 、q ，若“p ∨q”为假命题，则命题p 与q 一真一假D a +b =0的充要条件是ab =−13. 某校200名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50, 60)，[60, 70)，[70, 80)，[80, 90)，[90, 100)．则成绩在[90, 100]内的人数为（）A 20B 15C 10D 54. 函数f(x)=|log 2(x +1)|的图象大致是( )A B C D5.一个几何体的三视图如图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（） A 12+3π2 B 36+9π2C 18+9π4D 6+3π46. 已知AB →=(k, 1)，AC →=(2, 4)，若k 为满足|AB →|≤4的随机整数，则AB →⊥BC →的概率为（）A 17B 27C 13D 237. 已知x ，y 满足{x ≥1x +y −4≤0x −y ≤0，则z =x −2y 的最大值是（）A −5B −2C −1D 18. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cosB =14，b =2，sinC =2sinA ，则△ABC 的面积为( ) A√156 B √154 C √152D √159. 已知函数f(x)=x3−12x+a，其中a≥16，则下列说法正确的是（）A f(x)有且只有一个零点B f(x)至少有两个零点C f(x)最多有两个零点D f(x)一定有三个零点10. 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，P1、P2、P3是抛物线C上的不同三点，且|FP1|、|FP2|、|FP3|成等差数列，公差d≠0，若点P2的横坐标为3，则线段P1P3的垂直平分线与x 轴交点的横坐标是（）A 3B 5C 6D 不确定，与d的值有关二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设i是虚数单位，复数a+i2−i是纯虚数，则实数a=________．12. 过点(2, 3)且以y=±√3x为渐近线的双曲线方程是________．13. 设f(x)为定义在(−3, 3)上的奇函数，当−3<x<0时，f(x)=log2(3+x)，f(1)=________．14. 执行如图所示的程序框图，输出的S的值为________．15. 如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且AB、CD均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看点D的仰角为α，看点C的俯角为β，已知α+β=45∘，则BC的长度是________m．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知函数f(x)=√3sin2x−2sin(π2+x)cos(π−x)．（1）求函数f(x)的单调增区间．（2）若f(α2−π12)=32，α为第二象限角，求cos(2α+π3)的值．17. 如图，在几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE // BD，△ABC为边长等于2的正三角形，CD =2√3，BD =4，AE =2，M 为CD 的中点．（1）证明：平面ECD ⊥平面ABC ；（2）证明：EM // 平面ABC ．18. 已知数列{a n }是一个公差大于零的等差数列，且a 3a 6=55，a 2+a 7=16，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n =2b n −2．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n =an b n，求{c n }的前n 项和T n ．19. 某质检机构检测某产品的质量是否合格，在甲乙两厂的匀速运行的自动包装传送带上每隔10分钟抽一包产品，称其质量（单位：克），分别记录抽查数据，获得质量数据茎叶图（如图）．（1）该质检机构用哪种抽样方法抽取产品？根据样本数据，计算甲乙两工厂产品质量的均值与方差，并说明哪个工厂的质量相对稳定；（2）若从甲厂6件样品中随机抽取两件，记它们的质量分别是a 克，b 克，求|a −b|≤3的概率． 20. 定义：若ℎ(x)x k在[k, +∞)上为增函数，则称ℎ(x)为“k 次比增函数”，其中k ∈N ∗，已知f(x)=x 3+2ax 2+ax ，g(x)=e x −ax ．(I)若f(x)是“1次比增函数”，又是“2次比增函数”，求实数a 的取值范围； (II)当a =1时，求函数g(x)在[m −1, m](m >0)上的最小值． 21. 已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，椭圆中心到直线x +y −b =0的距离为52√2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的右焦点F 且倾斜角为45∘的直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，对于椭圆C 上任一点M ，若OM →=λOA →+μOB →，求λμ的最大值．2014年山东省某校高考数学模拟试卷（3）答案1. B2. B3. C4. A5. A6. B7. C8. B9. C 10. B11. 1212. x 2−y 23=113. −1 14. √3 15. 1816. 解：（1）化简函数式可得f(x)=√3sin2x −2cosx(−cosx) =√3sin2x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，故函数的单调递增区间为[kπ−π3, kπ+π6](k ∈Z) （2）由（1）可得f(α2−π12)=2sinα+1=32，∴ sinα=14，∵ α为第二象限角，∴ cosα=−√1−sin 2α=−√154， ∴ sin2α=2sinαcosα=−√158，cos2α=cos 2α−sin 2α=78，∴ cos(2α+π3)=12cos2α−√32sin2α=78×12−(−√158)×√32=7+3√51617. 证明：（1）在△BCD 中，BC =2，CD =2√3，BD =4，∴ BC 2+CD 2=BD 2，∴ BC ⊥CD ，∵ 平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD =BC ， ∴ DC ⊥平面ABC ， ∵ DC ⊂平面ECD ，∴ 平面ECD ⊥平面ABC ；（2）取BC 中点F ，连接FM ．在△BCD 中，CF =FB =MD ， ∴ FM // BD ，FM =12BD ，∵ AE =2，BD =4，AE // BD ， ∴ FM // AE ．FM =AE ，∴ 四边形AEMF 为平行四边形， ∴ AF // EM ，∵ AF ⊂平面ABC ，EM ⊄平面ABC ， ∴ EM // 平面ABC ．18. 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d(d >0)，由a 3a 6=55，a 2+a 7=16，得 {(a 1+2d)(a 1+5d)=552a 1+7d =16，解得{a 1=1d =2．∴ a n =2n −1．由S n =2b n −2，当n =1时，b 1=S 1=2b 1−2，b 1=2．当n ≥2时，b n =S n −S n−1=(2b n −2)−(2b n−1−2)=2b n −2b n−1， ∴ b n =2b n−1．∴ {b n }是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴ b n =2⋅2n−1=2n ；（2）c n =a n b n=2n−12n， T n =12+322+⋯+2n−12n① 12T n =122+323+⋯+2n−32n +2n−12n+1②①-②得，12T n =12+222+223+⋯+22n−2n−12n+1=12+12+122+⋯+12n−1−2n−12n+1=12+12(1−12n−1)1−12−2n−12n+1=32−2n+32n+1．∴ T n =3−2n+32n．19. 解：（1）该质检机构采用系统抽样； x 甲¯=122+114+113+111+111+1076=113，x 乙¯=124+110+112+115+108+1096=113，S 甲2=16[(122−113)2+(114−113)2+(113−113)2+(111−113)2+(111−113)2+(107−113)2]=21，S 乙2=16(1+9+1+4+25+16)=883∵ S 甲2<S 乙2，∴ 甲厂的质量相对稳定；（2）从甲车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法，设A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过3克”，则A 的基本事件有6种：(111, 111)，(111, 113)，(111, 114)，(111, 113)，(111, 114)，(113, 114)，故所求概率为P(A)=615=25．20. 解：(1)∵ f(x)是“1次比增函数”， ∴f(x)x=x 2+2ax +a 在[1, +∞)上为增函数，∴ −a ≤1，∴ a ≥−1， ∵ f(x)是“2次比增函数”，则f(x)x 2=x +ax +2a 在[2, +∞)为增函数，则(x +a x +2a)′=1−ax 2≥0在[2, +∞)恒成立，∴ a ≤x 2在[2, +∞)恒成立，∴ a ≤4，综上a 的取值范围为[−1, 4]．(2)当a =1时，函数g(x)=e x −x g′(x)=e x −1，由g′(x)>0，得x >0；由g′(x)<0，得x <0， ∴ g(x)在(−∞, 0)单调递减，在(0, +∞)单调递增，①当m −1<0<m ，即0<m <1时，g(x)在[m −1, 0]上单调递减，在[0, m]上单调递增， ∴ g(x)min =g(0)=1，②当m −1≥0，即m ≥0时，g(x)在[m −1, m]上单调递增， ∴ g(x)min =g(m −1)=e m−1−m +1．综上，当m −1<0<m ，g(x)min =1，当m ≥0时，∴ g(x)min =g(m −1)=e m−1−m +1． 21. 解：（1）∵ e =c a=√32，∴ c 2=34a 2，∴ b 2=a 2−c 2=14a 2，∵ 椭圆中心到直线x +y −b =0的距离为52√2．∴ d =√2=5√22，∴ b =5，b 2=25，a 2=4b 2=100，∴ 椭圆的方程为x 2100+y 225=1．（2）由（1）知F(5√3, 0)，由题意可知AB 方程为y =x −5√3，① 椭圆的方程可化为x 2+4y 2=100，②将①代入②消去y 得5x 2−40√3x +200=0，③设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则有x 1+x 2=8√3，x 1x 2=40，设M(x, y)，由OM →=λOA →+μOB →得(x, y)=λ(x 1, y 1)+μ(x 2, y 2)=(λx 1+μx 2, λy 1+μy 2) ∴ {x =λx 1+μx 2y =λy 1+μy 2，又点M 在椭圆上，∴ x 2+4y 2=(λx 1+μx 2)2+4(λy 1+μy 2)2=λ2x 12+μ2x 22+2λμx 1x 2+4(λ2y 12+μ2y 22+2λμy 1y 2)=λ2(x 12+4y 12)+μ2(x 22+4y 22)+2λμ(x 1x 2+4y 1y 2) =100，④又A ，B 在椭圆上，故有x 12+4y 12=100，x 22+4y 22=100，⑤而x 1x 2+4y 1y 2=x 1x 2+4(x 1−5√3)(x 2−5√3)=5x 1x 2−20√3(x 1+x 2)+300=5×40−20√3×8√3+300=20，⑥ 将⑤，⑥代入④可得λ2+μ2+2λμ5=1，∵ 1=λ2+μ2+2λμ5≥2λμ+2λμ5=125λμ，∴ λμ≤512，当且仅当λ=μ时取“=”，则λμ的最大值为512．。

山东省2014届高三4月模拟考试数学(文)试题 Word版含答案.pdf

文科数学（根据2014年山东省最新考试说明命制）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米及以上黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持答题卡上面清洁，不折叠，不破损. 第I卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合 A. B. C. D. 2.复数（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.已知某篮球运动员2013年度参加了25场比赛，我从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图1所示，则该样本的方差为A.25B.24C.18D.16 4.执行如图2所示的程序框图，输出的Z值为A.3B.4C.5D.6 5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为已知 A. B. C. D. 6.设命题平面；命题函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是A.为真B.C. 为假D. 为真 7.函数的部分图象是 8.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图3所示）的面积为8，则该三棱柱外接球的表面积为 A. B. C. D. 9.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为 A. B. C. D. 10.已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 第II卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.已知抛物线上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是 . 12.数列的前n项和为，则 . 13.矩形ABCD中，若=. 14.观察下列不等式： ①；②；③ 15.设变量x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为a，最小值为b，则a—b的值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（本题满分12分）如图4，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且.将角α的始边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记. （1）若；（2）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记，求角的值. 17.（本题满分12分）四棱锥P—ABCD的底面是平行四边形，平面，E，F分别为AD，PC的中点. （1）求证：（2）若AB=2，求四棱锥P—ABCD的体积.. 18.（本小题满分12分）空气质量指数PM2.5（单位：）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重.PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示某市2013年11月（30天）对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率. 19.（本题满分13分）已知在等比数列. （1）若数列满足，求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和. 20.（本题满分13分）已知分别为椭圆的上下焦点，其是抛物线的焦点，点M是与在第二象限的交点，且（1）试求椭圆的方程；（2）与圆相切的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足的取值范围. 21.（本题满分13分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数a的最小值；（3）若成立，求实数a的取值范围.。

2014年山东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2014年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题每小题5分，共50分1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=（）A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得（a+bi）2的值．解答：解：∵a+i=2﹣bi，∴a=2、b=﹣1，则（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的乘法法则，属于基础题．2．（5分）（2014•山东）设集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（1，2）C．[1，2）D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：分别解出集合A和B，再根据交集的定义计算即可．解答：解：A={x|0＜x＜2}，B={x|1≤x≤4}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．故选：C．点评：本题是简单的计算题，一般都是在高考的第一题出现，答题时要注意到端点是否取得到，计算也是高考中的考查点，学生在平时要加强这方面的练习，考试时做到细致悉心，一般可以顺利解决问题．3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：分析可知，，解出x即可．解答：解：由题意可得，，解得，即x＞2．∴所求定义域为（2，+∞）．故选：C．点评：本题是对基本计算的考查，注意到“真数大于0”和“开偶数次方根时，被开方数要大于等于0”，及“分母不为0”，即可确定所有条件．高考中对定义域的考查，大多属于容易题．4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根考点：反证法与放缩法．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用命题的否定写出假设即可．解答：解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．点评：本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．x3＞y3B．s inx＞sinyC．l n（x2+1）＞ln（y2+1）D．＞考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．解答：解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．故选：A．点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．6．（5分）（2014•山东）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的图象和性质即可得到结论．解答：解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）（2014•山东）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A．2B．C．0D．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值．解答：解：由题意可得cos===，解得m=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．8．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6B．8C．12 D．18考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；解答：解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．点评：本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．9．（5分）（2014•山东）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可．解答：解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0，选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴．函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确．故选：D．点评：本题考查函数的对称性的应用，新定义的理解，基本知识的考查．10．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5B．4C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．解答：解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．点评：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．二.填空题每小题5分，共25分11．（5分）（2014•山东）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．解答：解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3．故答案为：3．点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．12．（5分）（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答：解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．13．（5分）（2014•山东）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．解答：解：∵一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，∴h=1，棱锥的斜高为：==2，该六棱锥的侧面积为：=12．故答案为：12．点评：本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题．14．（5分）（2014•山东）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解答：解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．15．（5分）（2014•山东）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出及，求出a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=±x．解答：解：∵右顶点为A，∴A（a，0），∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，F，∵|FA|=c，∴抛物线的准线方程为由得，，c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故答案为：y=±x．点评：熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．三.解答题共6小题，共75分16．（12分）（2014•山东）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C数量50 150 100（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；B地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．点评：本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．17．（12分）（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．18．（12分）（2014•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（Ⅰ）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；（Ⅱ）证明BE⊥AP、BE⊥AC，即可证明BE⊥平面PAC．解答：证明：（Ⅰ）连接CE，则∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，∵F为线段PC的中点，∴PA∥OF，∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，∴AP∥平面BEF；（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，∴BE⊥AP，∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，∵AP∩AC=A，∴BE⊥平面PAC．点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键19．（12分）（2014•山东）在等差数列{a n}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a，记T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n，求T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由于a2是a1与a4的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得b n=a=n（n+1），因此T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）n n•（n+1）．对n分奇偶讨论即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵a2是a1与a4的等比中项，∴，∵在等差数列{a n}中，公差d=2，∴，即，化为，解得a1=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n．（Ⅱ）∵b n=a=n（n+1），∴T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）n n•（n+1）．当n=2k（k∈N*）时，b2k﹣b2k﹣1=2k（2k+1）﹣（2k﹣1）（2k﹣1+1）=4kT n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣b2k﹣1）=4（1+2+…+k）=4×=2k（k+1）=．当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣2﹣b2k﹣3）﹣b2k﹣1=n（n+1）=﹣．故T n=．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，属于中档题．20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），代入计算即可．（Ⅱ）先对其进行求导，即，考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，分成a≥0，﹣＜a＜0，a≤﹣三种情况分别讨论即可．解答：解：，（Ⅰ）当a=0时，，f′（1）=，f（1）=0∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（x﹣1）．（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则＞0，整理得，ax2+（2a+2）x+a ＞0，令f′（x）＜0，则＜0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＜0．以下考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.，对称轴方程．①当a≤﹣时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）②当﹣＜a＜0时，此时，对称轴方程＞0，∴g（x）=0的两根均大于零，计算得当＜x＜时，g（x）＞0；当0＜x＜或x＞时，g（x）＜0．综合（1）（2）可知，当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣＜a＜0时，f（x）在（，）上单调递增，在（0，），（，+∞）上单调递减；当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．点评：导数是高考中极易考察到的知识模块，导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点，特别是单调性的处理中，分类讨论是非常关键和必要的，分类讨论也是高考中经常考查的思想方法．21．（14分）（2014•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C 上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值；（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，则a2=4b2．∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2．将y=x代入可得，因此，解得a=2．则b=1．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）．∵直线AB的斜率，又AB⊥AD，∴直线AD的斜率．设AD方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0．联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴．因此．由题意可得．∴直线BD的方程为．令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．可得．∴，即．因此存在常数使得结论成立．（ii）直线BD方程为，令x=0，得，即N（）．由（i）知M（3x1，0），可得△OMN的面积为S==．当且仅当时等号成立．∴△OMN面积的最大值为．点评：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．。

【恒心】2014届山东省临沂市高三三模试卷数学(文科)试题及参考答案

山东省临沂市2014届高三三模试卷数学试题（文）第I 卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}31,2,3,,A B y y x x A A B =-==∈⋂=，则 A.{}0 B.{}1 C.{}1- D.{}0,12.已知集合()()()211z x x i x R i =-++∈，为虚数单位是纯虚数，则x 的值为 A.1- B.1 C.1± D.03.已知函数()()()()()20102cos 20003201422000x x x f x f f x π-⎧≤⎪==⎨⎪>⎩，则B.C.1 D.1-4.已知直线()()22:40112l x y C x y -+=-+-=与圆：，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为C.1D.3 5.已知命题P ：函数()01x y a a a =>≠且在R 上是增函数，命题()2:log 2log 201a q a a a +≥>≠且，则下列命题中为真命题的是 A.p q ∨ B. p q ∧C.()p q ⌝∧D.()p q ∨⌝ 6.已知直线()10kx y k k R -++=∈上存在点(),x y 满足30230,1x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数k 的取值范围为 A.5,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.5,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.已知数列{}111,n n n a a a a n +==+中，，若利用如图所示的程序框图计算并输出该数列的第10项，则判断横的条件可以是A.11?n ≤B.10?n ≤ C.9?n ≤ D. 8?n ≤ 8.函数3cos391x x x y =-的图象大致为9.将函数()sin 2y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为 A.12π B.6π C.3π D.56π 10.已知M 是28x y =的对称轴与准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN m =，当取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴长为A. )21 B. )41C. )21D. )41第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11.已知x y 、的取值如下表所示：从散点图分析，y x 与成线性相关，且0.95y x a a =+=，则_________.12.已知函数()()[)2log 323f x x =--，若在，上随机取一个实数0x ，则使()01f x ≤成立的概率为__________.13.已知α是第一象限角，()1sin ,tan 53αβα=-=-，则()tan 2βα-的值为______. 14.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________.15.已知函数()f x 定义在R 上，对任意实数()()3x f x f x +=-+有()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，()()12014f f -==________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A,B,C所对的边分别为,,,a b c 向量22s n ,22=c o s ,2c o s 124B B m n B m n ⎛⎛⎫=- ⎪⎝⎝⎭，，且. （I ）求角B 的余弦值；（II ）若2b =，求ABC S ∆的最大值.17. （本小题满分12分）某地区统一组织A ，B 两校举行数学竞赛，考试后分别从A ，B 两校随机抽取100名学生的成绩进行统计，得到下面的结果：（I ）若考试分数大于或等于80分为优秀，分别估计A ，B 两校的优秀率；（II ）已知B 校用这次成绩对学生进行量化评估，每一个学生的量化评估得分y ，与其考试分数t 的关系为2,60,2,60804,80.t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，B 校一个学生量化评估成绩大于0的概率和该校学生的平均量化评估成绩.18. （本小题满分12分）如图，已知鞭形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，===∠=∠=∠=，点，分别是线段EF，BC的中点，点AB AD CD BAD CDA EFA H G224,90,60M为HE的中点.（I）求证：MG//平面ADF.（II）求证：平面AHC⊥平面BCE.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12482,,a a a a =且成等比数列.（I ）求数列{}n a 的通项；（II ）设(){}1n n n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前2n 项和.20. （本小题满分13分）设()()32211232f x x ax a x a R =-++∈. （I ）若()23f x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭在，上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（II ）设函数()()()()()[]2112102,142g x f x a x a a x a g x =+-+-<<，若在，上的最小值为()163g x -，求在该区间上的最大值.21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，已知点()1,,2e e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于P ，Q 两点，若在椭圆C 上存在点R ，使四边形OPRQ 为平行四边形，求m 的取值范围.页11第。

2014年高考山东卷文科数学真题及参考答案.doc

2014年高考山东卷文科数学真题及参考答案举国瞩目的2014高考数学科目的考试已结束，新东方在线高考名师团队第一时间对2014高考数学真题进行了解析，希望能对考生、家长有所帮助，也希望对2015高考考生提供借鉴。

以下是济南新东方高考名师团队老师提供的2014高考山东卷文科数学真题及参考答案，供广大考生参考。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

（1）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a +bi -=2，则=+2）（bi a （A ）i 43-（B ）i 43+（C ）i 34-（D ）i 34+【解析】由i a +bi -=2得，12-==b a ，，=+2）（bi a i i i i 4344)2(22-=+-=- 故答案选A（2）设集合},41{,}02{2≤≤=<-=x x B x x x A 则=B A （A ）(0,2]（B ） (1,2)（C ） [1,2)（D ）(1,4)【解析】[]4,1)20(==B A ，，，数轴上表示出来得到=B A [1,2) 故答案为C （3）函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为（A ）)20(，（B ）]2,0(（C ）),2(+∞（D ）)2[∞+，【解析】01log 2>-x 故2>x 。

选D（4）用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是（A ）方程02=++b ax x 没有实根（B ）方程02=++b ax x 至多有一个实根（C ）方程02=++b ax x 至多有两个实根（D ）方程02=++b ax x 恰好有两个实根【解析】答案选A ，解析略。

（5）已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx ，则下列关系式恒成龙的是（A ）33y x >（B ）y x sin sin >（C ）)1ln()1ln(22+>+y x（D ）111122+>+y x 【解析】由)10(<<<a a a yx得，y x >，但是不可以确定2x 与2y 的大小关系，故C 、D排除，而x y sin =本身是一个周期函数，故B 也不对，33y x >正确。

2014届高考数学模拟试题名师解析十三(山东文)

2014届高考数学模拟试题名师解析十三（山东文）参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一个是正确的）1．设常数a ∈R ,集合()(){}|10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-.若A B =R ,则a 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．复数2=（）A ．iB ．i -C i +D i3．“1k=”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．设01a <<，2log (1)a m a =+，log (1)a n a =+，log (2)a p a =，则,,m n p 的大小关系是（）A ． n m p >>B ．m p n >>C ．m n p >>D ．p m n >>5．已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则(lg(lg 2))f =（）A ．5-B ．1-C ．3D ．46．设m ,n 是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面．有下列四个命题：① 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；② 若m α⊥，//m β，则αβ⊥； ③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥；④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥．其中错误．．命题的序号是（）A ．①④B ．①③C ．②③④D ．②③ 7．函数()()112122x x f x ⎡⎤=+--⎣⎦的图象大致为（）8．设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A ，B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为（）A ．y=x-1或y=-x+1B ．（X-1）或y=x-1）C ．y=（x-1）或y=x-1）D ．（x-1）或y=（x-1）9．函数y =则以下不可能成为该数列的公比的数是（）A ．34BCD 10．已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（） A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（每小题5分，共5分）11．已知向量(1,),(,2)a m b m ==，若a //b ，则实数m 等于．12．已知实数,x y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值是1-，那么此目标函数的最大值是．13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值是______．14．已知圆2210240x y x +-+=的圆心是双曲线2221(0)9x y a a -=>的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为． 15．观察下列一组等式：①223sin 30+cos 60+sin 30cos 60=4， ②223sin 15+cos 45+sin15cos 45=4，③223sin 45+cos 75+sin 45cos 75=4，……，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：．三、解答题（本大题共6道小题，满分75分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若sin sin A C =,求C .2014年山东省第二十三届运动会将在济宁召开，为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了50人，结果如下：（II ）在（I ）中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率；（III ）你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？下面的临界值表供参考：独立性检验统计量()()()(),2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中.d c b a n +++=设n S 为数列{n a }的前项和,已知01≠a ,2n n S S a a ∙=-11,∈n N *（Ⅰ）求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式; （Ⅱ）求数列{n na }的前n 项和.三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，90ABC ∠=，12AB BC BB ===，,M N 分别是AB ，1A C 的中点．（Ⅰ）求证：MN ∥平面11BCC B ；（Ⅱ）求证：MN ⊥平面11A B C ；（Ⅲ）求三棱锥M -11A B C 的体积．已知1F ,2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点. （Ⅰ）求圆C 的方程;（Ⅱ）设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b .当ab 最大时,求直线l 的方程.已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．文科数学（答案）一、选择题：二、填空题11． 12．3 13．1/2 14 ．34y x =±18．（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=-=∴=时，当 .1,011=≠⇒a a11111111222221----=⇒-=---=-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当- .*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-的等比数列，公比为时首项为(Ⅱ)n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT上式左右错位相减: n n n nn n n n na qq a na a a a a T q 21211)1(111321⋅--=---=-++++=-++*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒.19．⑴连结1BC ，1AC ，∵,M N 是AB ，1A C 的中点∴MN ∥1BC ．又∵MN ⊄平面11BCC B ，∴MN ∥平面11BCC B ． --------------------4分⑵∵三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，∴四边形11BCC B 是正方形．∴11BC B C ⊥． ∴1MN B C ⊥．连结1,A M CM ，1AMA AMC ∆≅∆．∴1A M CM =，又N 中1A C 的中点，∴1MN A C ⊥．∵1B C 与1A C 相交于点C ，∴MN ⊥平面11A B C ． --------------9分 ⑶由⑵知MN 是三棱锥M -11A B C 的高．在直角MNC ∆中，15,23MC A C ==， ∴2MN =．又1122A B CS=．11111433M A B C A B CV MN S-=⋅=． ---------12分21．解：（1）当1-=a时，2()ln 1,(0,)f x x x x x=++∈+∞－．2211(xx x f -+='∴）, ,22ln )2(+=∴f 1)2(='f , ∴曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为2ln +=x y ． …4分（2）因为11ln )(--+-=xaax x x f ，所以211)('xa a x x f -+-=221x a x ax -+--= ),0(+∞∈x ，令,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x …………6分（Ⅰ）当0=a 时，()1, (0,)g x x x =+∈+∞－,所以当(0,1)x ∈时0)(>x g ，此时0)(<'x f ，函数()f x 单调递减，。

2014版高考数学(山东专用)模拟试题精编3无答案

山东省数学高考模拟试题精编三【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若复数z满足错误!＝1＋i，i是虚数单位,则z＝( )A．2－2i B．1－2iC．2＋i D．1＋2i2．若集合A＝{x∈Z|2＜2x＋2≤8}，B＝｛x∈R｜x2－2x＞0｝，则A∩(∁B)所含的元素个数为( ）RA．0 B．1C．2 D．33。

若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为( ) A．80 B．40C.错误!D。

错误!4．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13,则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题：①l∥m,m⊂α,则l∥α②l∥α，m∥α，则l∥m③α⊥β，l⊂α,则l ⊥β④l⊥α，m⊥α，则l∥m其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．46．已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，P(1，－2）是C 上的点，且y＝错误!x是C的一条渐近线，则C的方程为( )A。

错误!－x2＝1 B．2x2－错误!＝1C。

错误!－x2＝1或2x2－错误!＝1 D.错误!－x2＝1或x2－错误!＝17．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组,代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ）A．0.852 B．0.819 2C．0。

2014山东高考数学文科试卷逐题解析

2014-山东-高考数学（文）-试卷一.选择题1.已知a ，b R ∈，i 是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=（）A.34i -B.34i +C.43i -D.43i +【答案】A 【解析】先依据两复数相等的充要条件确定出a ，b 的值，再进行复数的平方运算.由i a +bi -=2得，12-==b a ，，=+2）（bi a i i i i 4344)2(22-=+-=-. 【知识点】复数相等的条件;复数的四则运算2.设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =（）A.(0,2]B.(1,2)C.[1,2)D.(1,4)【答案】C 【解析】先将集合化简，再求交集.2{|20}{|(2)0}(02)A x x x x x x =-<=-<=，，{|14}[14]B x x =≤≤=，，[12)A B ∴=，. 【知识点】一元二次不等式;集合的基本运算3.函数()f x =的定义域为（）A.(0,2)B.(0,2]C.(2,)+∞D.[2,)+∞【答案】C 【解析】求函数的定义域时要保证函数解析式有意义.要使函数有意义，2log 100x x ->⎧⎨>⎩，，故2>x .【知识点】函数的定义域与值域;对数函数的概念、图像和性质;对数不等式4.用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（） A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根【答案】A 【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也灭有，直接写出命题的否定. 方程30x ax b ++=至少有一个实根的反面是方程30x ax b ++=没有实根，故选A. 【知识点】命题及其关系;反证法5.已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（） A.33x y >B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 【答案】A 【解析】先依据指数函数的性质确定x ，y 的大小，再逐一对选项进行判断.,01x y a a a <<<Q ，x y ∴>.排除C ，D ，对于B ，sin x 是周期函数，排除B. 函数3=y x 在R 上是增函数，故选A.【知识点】基本初等函数的性质;不等式性质6.已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（） A.0,1a c >>B.1,01a c ><<C.01,1a c <<> D .01,01a c <<<<【答案】D 【解析】依据对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换求解.由图象单调递减的性质可得01a <<，向左平移小于1个单位，故01c << 【知识点】对数函数的概念、图像及其性质;函数的图像变换7.已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =（）A.C.0D.【答案】B 【解析】依据向量数量积的定义和坐标运算列出关于m 的方程.3a b ⋅=r r Q ，又()||||cos ,2a b a b a b ⋅===r r r r r r3∴m ∴【知识点】平面向量的数量积;平面向量的坐标运算8.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.6B.8C.12D.18【答案】C 【解析】一局频率分布直方图及频率公式求解.第一组与第二组频率之和为0.240.160.4+=，所以志愿者的总人数为200.450÷=，所以第三组人数为500.3618⨯=，有疗效的人数为18612-=.【知识点】用样本估计总体9.对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A.()f x =B.3()f x x =C.()tan f x x =D.()cos(1)f x x =+【答案】D 【解析】在正确理解新定义的基础上对所给选项作出判断.由()(2)f x f a x =-知()f x 的图像关于x a =对称，且0a ≠，A ，C 中两函数图像无对称轴，B 中函数图像的对称轴只有0x =，而D 中当1()a k k Z π=-∈时，x a =都是()cos(1)f x x =+的图像的对称轴. 【知识点】函数新定义10.已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数z ax by =+(0,0)a b >>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（）A.5B.4D.2【答案】B 【解析】先正确作出可行域，运用平移直线法确定出关于a ，b 的不等式，再进一步求出22a b +的最小值.线性约束条件所表示的可行域如图所示.由10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，，解得21x y =⎧⎨=⎩，，所以z ax by =+在(21)A ，处取得最小值，故2a b +=222222)4)44a b a a +=+=-+≥. 【知识点】线性规划;函数的极值和最值二.填空题11.执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 . 【答案】3 【解析】按照程序框图逐一进行.根据判断条件0342≤+-x x ，得31≤≤x ，输入1=x第一次判断后循环，11,21=+==+=n n x x ；第二次判断后循环，21,31=+==+=n n x x ；第三次判断后循环，31,41=+==+=n n x x ；第四次判断不满足条件，退出循环，输出3=n . 【知识点】算法的概念;基本算法语句12.函数22cos y x x =+的最小正周期为 . 【答案】π 【解析】先将函数化为sin()y A x ωϕ=+的形式，再依据周期公式进行求解.23111sin 2cos 2cos 2sin 22262y x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， ∴函数的最小正周期22T ππ==. 【知识点】三角恒等变换;三角函数的周期性13.一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 . 【答案】12 【解析】利用体积公式求出正六棱锥的高，再利用截面图确定正六棱锥斜高，最后求侧面积. 设六棱锥的高为h ，斜高为h '，则由体积1122sin 60632V h ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭1h =，2h '==∴ 侧面积为126122h '⨯⨯⨯=.【知识点】空间几何体的表面积和体积14.圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦长为C 的标准方程为 . 【答案】22(2)(1)4x y -+-= 【解析】设出圆心坐标，由弦长公式求解.设圆心(),02a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，半径为a .由弦长公式2222a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：2a =∴圆心为()2,1，半径为2， ∴圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=【知识点】圆的方程;直线与圆的位置关系;弦长公式15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线为 . 【答案】y x =± 【解析】依据题意得到关于a ，b 的等式，进而得出双曲线的渐近线方程. 抛物线的准线2p y =-，焦点(0)2p F ，，222()2p a c ∴+=. ① 设抛物线的准线2p y =-交双曲线于1()2p M x -，，2()2p N x -，两点，222221p y x y a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，，22c ∴=. ② 又222b c a =-，③ ∴由①②③，得222c a =. 222211b c a a∴=-=，解得1b a =.∴双曲线的渐近线方程为y x =±【知识点】双曲线的定义及其标准方程;双曲线的几何性质;抛物线的定义及其标准方程;抛物线的几何性质三.解答题16.海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（1）求这6件样品中来自A （2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.【答案】（1）A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2；（2）415【解析】（1）按照分层抽样中抽样比与每层抽出的数量成比例求解. 因为样本容量与总体中的个体数的比时615015010050=++，所以，样本中包含三个地区的个体数量分别是：111501,1503,1002505050⨯=⨯=⨯=. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2. （2）列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解. 设6件来自A,B,C 三个地区的样品分别为12312;,,;,A B B B C C .则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：12312{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A C A C1213111223{,},{,},{,},{,},{,}B B B B B C B C B B ，2122313212{,},{,},{,},{,},{,}B C B C B C B C C C 共15个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现时等可能的. 记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同的地区”，则事件D 包含的基本事件由12132312{,},{,},{,},{,}B B B B B B C C 共4个.所以4()15P D =，即这2件商品来自相同地区的概率为415. 【知识点】分层抽样;古典概型17.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c . 已知3,cos 2a A B A π===+. （1）求b 的值；（2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）（2）2【解析】（1）先求出的sin A ，sin B 的值，再用正弦定理求解. 在ABC ∆中，由题意知sin A ==，又因为2B A π=+，所以sin sin()cos 2B A A π=+==由正弦定理可得3sin sin a B b A ===. （2）先用三角函数的诱导公式、两角和公式求出sin C ，再代入三角形面积公式即可求得面积. 由2B A π=+得cos cos()sin 23B A A π=+=-=-. 由A B C π++=，得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(=+13=. 因此ABC ∆的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=. 【知识点】正弦定理;诱导公式;三角恒等变换;解三角形18.如图，四棱锥P ABCD -中，1,,,,2AP PCD AD BC AB BC AD E F ⊥==平面∥分别为线段,AD PC 的中点.（1）求证：AP BEF ∥平面；（2）求证：BE PAC ⊥平面. 【答案】见解析【解析】证明（1）在平面中连接OF ，依据线面平行的判定定理只需证明//AP OF 即可. 设ACBE O =，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，1,//2AB BC AD AD BC ==，因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点，又F 为PC 的中点，因此在PAC ∆中，可得//AP OF .又OF BEF AP BEF ⊂⊄平面，平面所以//AP BEF 平面.（2）依据线面垂直的判定定理，只需证明BE 垂直于平面PAC 内的两条相交直线即可.由题意知//,ED BC ED BC =，所以四边形BCDE 为平行四边形，因此//BE CD .又AP PCD ⊥平面，所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥.因为四边形ABCE 为菱形，所以BE AC ⊥. 又APAC A =，且AP ，AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC .【知识点】线面位置关系;线面平行的判定和性质;线面垂直的判定和性质19.在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .【答案】（1）2n a n =；（2）2(1),2(1),2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数【解析】（1）根据条件建立首项1a 的方程求解.由题意知2111(3)a d a a d +=+（），即21112(6)a a a +=+（），解得12a =.所以，数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）分n 为奇数和偶数进行讨论，求出数列{}n b 的前n 项和n T .由题意知(1)2(1)n n n b a n n +==+，所以122334...(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+.因为12(1)n n b b n +-=+，可得，当n 为偶数时，12141()()...()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+4812...2n =++++(42)22nn +=(2)2n n +=. 当n 为奇数时，1()n n n T T b -=+-(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=-. 所以2(1),2(1),2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数【知识点】等差数列的概念和性质;等差数列的通项公式;等差数列的前n 项和公式;等比数列的概念和性质;等比数列的通项公式;等比数列的前n 项和公式;数列求和方法.20.设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数. （1）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）210x y --=；（2）见解析【解析】（1）利用导数求出曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率，再用点斜式求出切线方程. 由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+. 此时22()(1)f x x '=+，可得1(1)2f '=，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=.（2）对()f x 的导函数中的字母参数进行分类讨论，确定出导函数的符号，从而得出函数()f x 的单调性.函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++. 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++，由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+，①当12a =-时，0∆=，221(1)2()0(1)x f x x x --'=≤+，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. ②当12a <-时，0,()0g x ∆<<， ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. ③当102a -<<时，0∆>. 设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点，则12x x ==由11a x a +=-0a=>-，所以1(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减，12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.综上可得：当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当12a <-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，函数()f x 在)+∞上单调递减，在上单调递增. 【知识点】导数的概念与几何意义;导数计算;利用导数研究函数的单调性21.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线y x =被椭圆C . （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.（Ⅰ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（Ⅱ）求OMN ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）（Ⅰ）12λ=-；（Ⅱ）98 【解析】（1）由椭圆的离心率得出a ，c 的关系，结合y x =被椭圆C 截得的线段长确定a ，b 的值.由题意知2a =，可得224ab =.椭圆C 的方程可简化为2224x y a +=.将y x =代入可得x ==2a =，因此1b =. 所以，椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）（Ⅰ）设出A ，B ，D 三点坐标，进而确定出直线BD ，AM 的斜率，代入表达式即可证明.设111122(,)(0),(,)A x y x y D x y ≠，则11(,)B x y --，因为直线AB 的斜率11AB y k x =，又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-. 设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠ 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122814mk x x k +=-+，因此121222()214m y y k x x m k +=++=+. 由题意知12x x ≠，所以1211121144y y y k x x k x +==-=+. 所以，直线BD 的方程为1111()4y y y x x x +=+. 令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x ，可得1212y k x =-，所以1212k k =-，即12λ=-. 因此，存在常数12λ=-使得结论成立. （Ⅱ）求出含参数的OMN ∆的面积的表达式，应用均值不等式求最小值. 直线BD 的方程1111()4y y y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y -. 由（Ⅰ）知1(3,0)M x ，可得OMN ∆的面积11111393||||||||248S x y x y =⨯⨯=. 因为221111||||14x x y y ≤+=当且仅当11||||22x y ==时等号成立，此时S 取得最大值98，所以OMN ∆面积的最大值为98. 【知识点】椭圆的定义及标准方程;椭圆的几何性质;直线与圆锥曲线的位置关系;均值不等式。