2013-2014学年高中数学基础知识篇第四章圆与方程同步练测新人教A版必修2

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高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程练习含解析新人教A版必修208192194

对应学生用书P83知识点一圆的一般方程高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程练习含解析新人教A 版必修2081921941．若圆的方程是x 2＋y 2－2x ＋10y ＋23＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，5)， 3 B ．(1，－5)， 3 C ．(－1，5)，3 D ．(1，－5)，3 答案 B解析解法一(化为标准方程)：(x －1)2＋(y ＋5)2＝3；解法二(利用一般方程)：⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2，－D 2＝1，－E2＝－5，r ＝3．2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋54a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a<1B ．a>1C ．－2<a<23 D ．－2<a<0答案 A解析当a 2＋4a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＋a －1>0时表示圆的方程，故－a ＋1>0，解得a<1．知识点二求圆的一般方程A ．x 2＋y 2＋8x ＋6y ＝0 B ．x 2＋y 2－8x －6y ＝0 C ．x 2＋y 2＋8x －6y ＝0D ．x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0 答案 D解析设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝6，F ＝0，于是所求圆的一般方程是x2＋y 2－8x ＋6y ＝0．4．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，6为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋4y ＋5＝0 B ．x 2＋y 2＋4y －5＝0 C ．x 2＋y 2－2y －5＝0 D ．x 2＋y 2－2y ＋5＝0 答案 C解析直线(a －1)x －y ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋ax ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＝0，得C(0，1)．∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝6，即x 2＋y 2－2y －5＝0．知识点三轨迹问题5．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，那么点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．π B．4π C．8π D．9π 答案 B解析设点P 的坐标为(x ，y)，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，故面积为π×22＝4π．6．已知等腰三角形ABC 的顶点为A(3，20)，一底角顶点为B(3，5)，求另一底角顶点C 的轨迹方程．解设另一底角顶点为C(x ，y)，则由等腰三角形的性质可知|AC|＝|AB|，即x －32＋y －202＝3－32＋5－202，整理得(x －3)2＋(y －20)2＝225．当x ＝3时，A ，B ，C 三点共线，不符合题意，故舍去．综上可知，另一底角顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x≠3)．一、选择题1．方程x 2＋y 2－2x ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是 ( ) A ．m ＜1 B ．m ＜2 C ．m≤12 D ．m≤1答案 A解析由圆的一般式方程可知(－2)2－4m ＞0，∴m＜1． 2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32 C ．2或0 D ．－2或0答案 C解析将圆的一般方程化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以圆心(1，2)到直线的距离d ＝|1－2＋a|2＝22，解得a ＝0或a ＝2．3．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析设圆上任一点为Q(x 0，y 0)，PQ 中点为M(x ，y)，根据中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为Q(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A ．4．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2答案 C解析已知圆的圆心为(1，0)，半径等于2，圆心关于直线2x －y ＋3＝0对称的点为(－3，2)，此点即为对称圆的圆心，两圆的半径相等，故选C ．5．与圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0 D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0 答案 B解析设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1)，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0．二、填空题6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，则圆心坐标为________；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________．答案 (－1，－3) x ＋3y ＝0解析将圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9，故圆心为C(－1，－3)．因为k CO ＝3，所以所求直线的斜率为k ＝－33，直线的方程为y ＝－33x ，即x ＋3y ＝0． 7．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．答案－10解析由题意知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D2＋E 2－4F>0的条件．8．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于________．答案－3解析设A(0，y 1)，B(0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m>0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，而∠ACB＝90°，知C(2，－1)，AC⊥BC，即得k AC ·k BC ＝－1，即y 1＋1－2·y 2＋1－2＝－1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4代入上面的结果得m －2＋1＝－4，∴m＝－3，符合m<1的条件．三、解答题9．试判断A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)四点是否在同一个圆上．解解法一：线段AB ，BC 的斜率分别是k AB ＝1，k BC ＝－1，得k AB ≠k BC ，则A ，B ，C 三点不共线，设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．因为A ，B ，C 三点在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＋2E ＋F ＋5＝0，E ＋F ＋1＝0，7D －6E ＋F ＋85＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝4，F ＝－5，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋4y －5＝0，将点D的坐标(4，3)代入方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D 在圆上，故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．解法二：因为k AB ·k BC ＝2－11－0×1＋60－7＝－1，所以AB⊥BC，所以AC 是过A ，B ，C 三点的圆的直径，|AC|＝1－72＋2＋62＝10，线段AC 的中点M 即为圆心M(4，－2)．因为|DM|＝4－42＋3＋22＝5＝12|AC|，所以点D 在圆M 上，所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．10．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 中点为M(x ，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标(2x －2，2y)．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y)2＝4．故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1． (2)设PQ 的中点为N(x ，y)．在Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4．故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0．。

高中数学第四章4.1.2圆的一般方程基础过关训练新人

4.1.2 圆的一般方程一、基础过关1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m ＜12C ．m ＜2D ．m ≤122．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于 ( )A ．1B. 2C. 3 D ．23．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝04．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( )A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外5．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________． 6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.7．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．8．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．二、能力提升9．若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是 ( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝010．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝011．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．12．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程．三、探究与拓展13．已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．答案1．B 2.D 3．B 4．B 5．(0，－1) 6．－27．解设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.圆心C (3,3)． ∵CM ⊥AM ，∴k CM ·k AM ＝－1，即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1，即x 2＋(y ＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)． 8．解设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0. 9．D 10．A12．解设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y . 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14.所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14.13．解设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10E ＝－8F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.。

人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)

（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.
由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而 .
因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为 .
又，O到的距离为，，所以的面积为 .
21．(1).由已知得过点的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心到直线的距离为 ,
A． B．
C． D．
5．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A．或 B．或 C．或 D．或
6．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．已知方程，则的最大值是（）
A．14－ B．14＋ C．9D．14
A．4B．6C． D．
12．已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）
A．2B． C．6D．
二、填空题
13．已知两点，以线段为直径的圆的方程为________________.
14．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______
15．已知为直线上一点，过作圆的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
当的斜率不存在，的斜率等于0时，与圆不相交，与圆不相交.
当、的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设、的方程分别为，即 .
因为到的距离，
到的距离，所以到的距离与到的距离相等.
所以圆与圆的半径相等，所以被圆截得的弦长与被圆截得的弦长恒相等.
综上所述，过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.

人教高中数学必修二第四章-圆的方程单元测试

人教高中数学必修二第四章-圆与方程单元测试题 9月16日用一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知A (－4，－5)、B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋8x －2y －20＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0C ．x 2＋y 2-8x ＋6y ＝0D ．x 2＋y 2－8x －6y ＝03.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（）(A) 10<<a (B)11<<-a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a4.若直线y=kx+1与圆x 2＋y 2＝1相交于P,Q 两点，且∠POQ=120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( )A ．2B ．－1C ．1或-1D ．15.在空间直角坐标系中，点P(-2,1,4)关于xOy 平面的对称点的坐标是（）A.(-2,1,-4)B.(-2,-1,-4)C.(2,-1,4)D.(2,1,-4)6．与圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0同圆心，且与直线x-2y-3=0相切的圆的方程( )A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝07.在空间直角坐标系中，点P(2,3,4)到y 轴的距离是( ) A.5 B.13 C.52 D.298．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝09．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －3)2＝25，圆C 2与圆C 1关于直线3x-2y-4=0对称，则圆C 2的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －5)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋1)2＝25C ．(x －1)2＋(y －4)2＝25D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2510.设点M(x 0 ,1),若在圆O:x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN=45°，则x 0 的取值范围是（）A.[-1,1]B.),1[]1,(+∞⋃--∞C.]2,1[-D.]2,2[-11．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3，3] C. )33,33(- D. ]33,33[- 12.圆A:x 2＋y 2＋2x-15=0,直线l 过点B(1,0),且与x 轴不重合，直线l 交圆A 于点C ，D 两点，过点B 作AC 的平行线交AD 于点E ，则|EA|+|EB|=( )A ．1B ．6C ．2D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．x 2＋y 2＋4x+2by+b 2＝0与x 轴相切，则b =________.14．在空间直角坐标系中，点A(1,2,-1),B(1,0,2),而点A '与点A 关于x 轴对称,则|A 'B|=________.15．已知直线l:x-3y+6=0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作直线l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD|是________．.16．圆1C :221x y +=和圆2C :22(4)()25x y a ++-=相切，实数a 的可能取值为三、解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分）17.已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切,（1）求圆O 的方程；（2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长.18.过点P (3,1)作圆C:x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，设切点分别为A ，B ，(1)求切线的方程；(2)求出直线AB 的方程.19.已知点M(-1,0),N(1,0),曲线E 上任意一点到点M 的距离是到点N 距离的3倍。

高中数学第四章圆与方程章末综合检测(含解析)新人教

【优化方案】2013-2014学年高中数学第四章圆与方程章末综合检测（含解析）新人教A 版必修2(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的范围是( )A ．m <12B ．m <2C ．m ≤12D ．m ≤2 解析：选A.由(－1)2＋12－4m >0得m <12.故选A. 2．圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0与圆x 2＋y 2＝64的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切解析：选C.圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0可化为(x －4)2＋(y ＋3)2＝9.圆心距为42＋(－3)2＝5，由于8－3＝5，故两圆内切．3．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选B.化圆为标准形式为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心， ∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1.4．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34C ．2 5D .655解析：选D.该圆的圆心为A (2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4，又原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝35，所以S ＝12×4×35＝655. 5．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9解析：选C.由题意知，圆的半径r ＝|3×2＋(－4)×(－1)＋5|32＋(－4)2＝3，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.6．与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝6x －3B ．y 2＝2x －3C ．x 2＝6y －3D ．x 2－4x －2y ＋3＝0解析：选A.设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2－1＝x ，移项平方得y 2＝6x －3.7．设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A.12 B.33C.32D. 3 解析：选D.如图所示，设过原点的直线方程为y ＝kx ，则与圆有交点的直线中，k max ＝3，∴y x的最大值为 3.故选D.8．设点P (a ，b ，c )关于原点的对称点为P ′，则|PP ′|＝( )A.a 2＋b 2＋c 2 B ．2a 2＋b 2＋c 2C ．|a ＋b ＋c |D ．2|a ＋b ＋c |解析：选 B.P (a ，b ，c )关于原点的对称点P ′(－a ，－b ，－c )，则|PP ′|＝(2a )2＋(2b )2＋(2c )2＝2a 2＋b 2＋c 2，故选B.9．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线y ＝x －1对称，则( )A ．D ＋E ＝2B ．D －E ＝－1C ．D －E ＝－2 D ．D ＋E ＝1解析：选C.圆的对称轴是圆的直径所在的直线，这是圆的性质，也是题中的隐含条件，所以圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x －1上，所以－E 2＝－D 2－1，D －E ＝－2，故选C. 10．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝2B ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2解析：选A.设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.如图，当已知圆与所求圆圆心连接垂直于已知直线时，半径最小，此时2r ＋32等于已知圆圆心到已知直线的距离，即|6＋6－2|2＝2r ＋32，解得：r ＝2，则⎩⎨⎧ b －6a －6＝1，|a ＋b －2|2＝2，解得：a ＝2，b ＝2.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上)11．直线l ：y ＝k (x ＋3)与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，|AB |＝22，则实数k ＝________.解析：由已知可求出圆心O 到直线l 的距离d ＝2，即|3k |1＋k 2＝2，解得k ＝±147. 答案：±14712．点P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10＝0的距离的最小值为________．解析：点P 到直线3x －4y －10＝0距离的最小值为圆心到直线的距离减半径．d min ＝1032＋42－1＝105－1＝1. 答案：113．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A 、B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．解析：AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2.又C 1(3,0)，C 2(0,3)，所以C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝014．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆心C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝0.15．若圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝R 2上有且仅有两个点到直线4x ＋3y ＝11的距离等于1，则半径R 的取值范围是________．解析：圆心到直线的距离为2，又圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝R 2上有且仅有两个点到直线4x ＋3y ＝11的距离等于1，结合图形(图略)可知，半径R 的取值范围是1<R <3.答案：(1,3)三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．过点P (－1,2)作圆x 2＋y 2－2x ＋4y －15＝0的切线，求切线方程．解：因为(－1)2＋22－2×(－1)＋4×2－15＝0，所以P (－1,2)在圆上，所以该圆过点P 的切线有且只有一条．因为圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝20，所以圆心坐标为C (1，－2)，所以k pc ＝2＋2－1－1＝－2，所以k 切＝12，所以切线方程为x －2y ＋5＝0. 17．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.18．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．解：如图，分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)．∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三等分点且靠近点A 1，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.19．已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．解：(1)将两圆方程配方化为标准方程， C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10.则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52；圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10.又|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10.∴r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)法一：两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0 ①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0 ② 两式相减得x ＝2y －4③，把③代入②得y 2－2y ＝0，∴y 1＝0，y 2＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－4y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝0y 2＝2，所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5.法二：两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0 ①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0 ②，两式相减得x －2y ＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝5 2.圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35，设公共弦长为2l ，由勾股定理r 2＝d 2＋l 2，得50＝45＋l 2，解得l ＝5，所以公共弦长2l ＝2 5.20．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：圆C 化成标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝32.假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(a ，b )，由于CM ⊥l ，∴k CM ·k l ＝－1，∴k CM ＝b ＋2a －1＝－1，即a ＋b ＋1＝0，得b ＝－a －1.①直线l 的方程为y －b ＝x －a ，即x －y ＋b －a ＝0，|CM |＝|b －a ＋3|2. ∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴|MA |＝|MB |＝|OM |，|MB |2＝|CB |2－|CM |2＝9－(b －a ＋3)22，|OM |2＝a 2＋b 2，∴9－(b －a ＋3)22＝a 2＋b 2.②把①代入②得2a 2－a －3＝0.∴a ＝32或a ＝－1.当a ＝32时，b ＝－52，此时直线l 的方程为x －y －4＝0；当a ＝－1时，b ＝0，此时直线l 的方程为x －y ＋1＝0.故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4＝0或x －y ＋1＝0.。

新人教A版高中数学必修2第四章圆与方程过关测试题

B． l l 且 l 与圆 C 相离 B． l l 且 l 与圆 C 相切
12．直线 y = x + b 与曲线 x= 1 y 2 有且仅有一个公共点，则 b 的取值范围是
（）（）
A ． |b|= 2
B． 1 b 1或b
2
C． 1 b 2
D ．以上都错
二．填空题（每小题 4 分，共 16 分）
居民选择 A 或 B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低 . 求 A、B 两地的售
货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点
.
2
2
21．（ 12 分）已知圆 C： x y 2 x 4 y 4 0 ，是否存在斜率为 1 的直线 L ，使以 L
被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线由．
A． 2 条 B ． 3 条 B(3,2), 圆心在直线 2x─y─ 3=0 上的圆的方程为
A.(x-4) 2+(y-5) 2=10 B. (x+4) 2+(y-5) 2=10 C.(x-4) 2+(y+5) 2=10
()
D. (x+4) 2+(y+5) 2=10
1 ．因为方程 x 2 y 2 ax 2ay 2a 2 a 1 0 表示圆，所以
a2
(2 a)2
4(2 a2
a 1)
0 ，解得
2
a
2
．
3
2．因为以（ 5， 6）和（ 3，－ 4）为直径端点，所以圆心为（ 4， 1），半径为 26 ．
3．提示一：由圆的方程，解出交点的坐标，由直线方程的提示二：两圆的方程相减，得出直线方程． 4．因为曲线 x2+y2+a2x+(1 –a2)y –4=0 关于直线 y–x=0 的对称曲线仍是其本身，所以直线 y–x=0 过圆心．

2013-2014学年高中数学基础知识篇第四章章末检测同步练测新人教A版必修2

第四章同步测试试卷（数学人教A 版必修2）一、选择题（本题包括12小题，每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1．直线3ax －y －1＝0与直线(a －23)x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1或13B ． 1或13C ．－13或－1D ．－13或12．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是图中的( )3．已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋＝4，一束光线从A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( )A ．62－2B ．8C ．4 6D ．104. 圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 的值等于( )A. 2B.2－1 C ．2－ 2 D.2＋16．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线是( )A ．3x －2y －6＝0B ．2x ＋3y ＋7＝0C ．3x －2y －12＝0D ．x＋3y ＋8＝07．若直线y －2＝k (x －1)与圆x 2＋y 2＝1相切，则切线方程为( )A ．y －2＝34(1－x )B ．y －2＝34(x －1)C ．x ＝1或y －2＝34(1－x )D ．x ＝1或y －2＝34(x －1)8．圆x 2＋y 2－2x ＝3与直线y ＝ax ＋1的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．随a 值变化而变化9．过P (5,4)作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －3＝0切线，切点分别为A 、B ，四边形PACB 的面积是( )A ．5B ．10C ．15D ．2010．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)11．已知直线l ：y ＝x ＋m 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－1,1)C ．[1，2)D ．(－2，2)12．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2 C.85 D.125二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共分.请将正确的答案填到横线上）13．过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是________．14．过点P (－2,0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于、B 两点，则|PA |·|PB |＝________.15．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________．16．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是__________．建议用时实际用时满分实际得分90分钟150分三、计算题（本题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）17．（本题满分12分）三角形ABC的边AC，AB 的高所在直线方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程．18．（本题满分12分）一束光线l自A(－3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共点．(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程；(2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围．19．（本题满分12分）已知圆x2＋y2－2x－4y ＋m＝0.(1)此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．20. （本题满分12分）已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|PA|成立，如图．(1)求a、b间关系；(2)求|PQ|的最小值；(3)以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．21．（本题满分13分）有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．22．（本题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被C2截得的弦长相等．当直线l1和l2的斜率存在时，试求所有满足条件的点P的坐标．第四章同步测试试卷（数学人教A版必修2）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案13． 14． 15. 16.三、计算题17.18.19.20.21.22.第四章同步测试试卷（数学人教A版必修2）答案一、选择题1.D 解析：由3a(a－23)＋(－1)×1＝0，得a＝－13或a＝1.2.C 解析：直线l1：ax－y＋b＝0，斜率为a，在y轴上的截距为b，设k1＝a，m1＝b.直线l2：bx－y＋a＝0，斜率为b，在y轴上的截距为a，设k2＝b，m2＝a.由A知：因为l1∥l2，所以k1＝k2>0，m1>m2>0，即a＝b>0，b>a>0，矛盾．由B知：k1<0<k2，m1>m2>0，即a<0<b，b>a>0，矛盾．由C知：k1>k2>0，m2>m1>0，即a>b>0，可以成立．由D知：k1>k2>0，m2>0>m1，即a>b>0，a>0>b，矛盾．3.B 解析：点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为10.∴所求的最短路程为10－2＝8.4.D 解析：圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心距0<2－1＝1，所以两圆内含．5.B 解析：圆心(a,2)到直线l：x－y＋3＝0的距离d＝|a－2＋3|2＝|a＋1|2，依题意⎝⎛⎭⎪⎫|a＋1|22＋⎝⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a＝2－1（负值舍去）.6.D 解析：∵所求直线平行于直线2x＋3y－6＝0，∴设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0，由|2－3＋c|22＋32＝|2－3－6|22＋32，∴c＝8，或c＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.7.B 解析：要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分．8.C 解析：直线y＝ax＋1过定点(0,1)，而该点一定在圆内部．9.B 解析：∵圆C的圆心为(1,1)，半径为5，∴|PC|＝5，∴|PA|＝|PB|＝25，∴S＝12×25×5×2＝10.10.C 解析：圆x2＋y2－4x－2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1，当m ＝1时等号成立，此时n＝1，与“m≠n”矛盾，所以mn＜1.11. C 解析：曲线y＝1－x2表示单位圆的上半部分，画出直线l与曲线在同一坐标系中的图象，可观察出仅当直线l在过点(－1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时，直线l与曲线有两个交点．当直线l过点(－1,0)时，m＝1；当直线l为圆的上切线时，m＝2(注：m＝－2，直线l为下切线)．12. A 解析：∵点P在圆上，∴切线l的斜率k＝－1k OP＝－11－42＋2＝43.∴直线l的方程为y－4＝43(x＋2)，即4x－3y＋20＝0.又直线m与l平行，∴直线m的方程为4x－3y＝0.故两平行直线的距离为d＝4.二、填空题13. (x －1)2＋(y －1)2＝4解析：易求得AB 的中点为(0,0)，斜率为－1，从而其垂直平分线为直线y ＝x ，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线x ＋y －2＝0联立得到圆心O (1,1)，半径r ＝|OA |＝2. 14. 3解析：过P 作圆的切线PC ，切点为C ，在Rt △POC 中，易求|PC |＝3，由切割线定理，得|PA |·|PB |＝|PC |2＝3. 15. ±5解析：已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－a 2.∵两直线垂直，∴(－2)·(－a2)＝－1，得a ＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c |5＝5，∴c ＝±5，故ac ＝±5.16. (－∞，0)∪(10，＋∞)解析：将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0化为标准方程，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d ＝|m －5|5＞1，∴m ＜0或m ＞10. 三、计算题17．解：AC 边上的高所在的直线方程为2x －3y ＋1＝0，所以k AC ＝－32.所以AC 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0，同理可求得直线AB 的方程为x －y ＋1＝0.下面求直线BC 的方程.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得顶点C (7，－7)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得顶点B (－2，－1)．所以k BC ＝－23，直线BC ：y ＋1＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y ＋7＝0.18．解：圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1.(1)圆心C 关于x 轴的对称点为C ′(2，－2)，过点A ，C ′的直线的方程x ＋y ＝0即为光线l 所在直线的方程．(2)A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3)，设过点A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)．当该直线与圆C 相切时，有|2k －2＋3k －3|1＋k 2＝1，解得k ＝43或k ＝34，所以过点A ′的圆C 的两条切线分别为y ＋3＝43(x ＋3)，y ＋3＝34(x ＋3)．令y ＝0，得x 1＝－34，x 2＝1，所以在x 轴上反射点M 的横坐标的取值范围是[－34，1]．19. 解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，∵ 此方程表示圆，∴ 5－m ＞0，即m ＜5.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0，消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0，化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝165， ①y 1y 2＝m ＋85. ②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0，即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0，∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0.将①②两式代入上式得16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85.(3)由m ＝85，代入5y 2－16y ＋m ＋8＝0，化简整理得25y 2－80y ＋48＝0，解得y 1＝125，y 2＝45.∴x 1＝4－2y 1＝－45，x 2＝4－2y 2＝125.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，125，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，45， ∴MN 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，85. 又|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－1252＝855，∴所求圆的半径为455. ∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165.20. 解：(1)连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|PA |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2＝1＋|PA |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2，故2a ＋b －3＝0. (2)由(1)知，P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上，所以|PQ |min ＝|PA |min ，为A 到直线l 的距离，所以|PQ |min ＝|2×2＋1－3|22＋12＝255. (或由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min＝255.)(3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 外切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1，又l ′：x －2y ＝0，与l ：2x ＋y －3＝0联立得P 0(65，35)．所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.21．解：方法一：由题意可设所求的方程为(x －3)2＋(y －6)2＋λ(4x －3y ＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.方法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝r ，|CB |=r ，CA ⊥l ，得解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝92，r 2＝254.所以所求圆的方程为(x －5)2＋(y －92)2＝254.方法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由CA ⊥l ，A (3,6)，B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.方法四：设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 的方程为y －6＝－34(x －3)，即3x ＋4y －33＝0.又因为k AB ＝6－23－5＝－2，所以k BP ＝12，所以直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.所以P (7,3)．所以圆心为AP 的中点(5，92)，半径为|AC |＝52.所以所求圆C 的方程为(x －5)2＋(y －92)2＝254.22．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为圆C 1被直线l 截得的弦长为23，所以d ＝1.由点到直线的距离公式并化简得k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，且圆C 1被直线l 1截得的弦长与圆C 2被直线l 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即＝，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件．。

高中数学第四章圆与方程检测试题含解析新人教A版必修2

第四章圆与方程检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( C )(A)x+y+1=0 (B)x+y-1=0(C)x-y+1=0 (D)x-y-1=0解析:易知点C为(-1,0),因为直线x+y=0的斜率是-1,所以与直线x+y=0垂直直线的斜率为1,所以要求直线方程是y=x+1,即x-y+1=0.2.空间直角坐标系Oxyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,则点Q的坐标为( A )(A)(1,2,0) (B)(0,0,3)(C)(1,0,3) (D)(0,2,3)解析:因为空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,所以点Q的坐标为(1,2,0).3.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( A )(A)m< (B)m>(C)m<0 (D)m≤解析:由题意得1+1-4m>0,得m<.4.圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是( D )(A)相交 (B)相离 (C)内含 (D)内切解析:把圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0分别化为标准式为(x-2)2+(y-3)2=1和(x-4)2+(y-3)2=9,两圆心间的距离d==2=|r1-r2|,所以两圆的位置关系为内切,故选D.5.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为( C )(A)-2或2 (B)或(C)2或0 (D)-2或0解析:圆x2+y2-2x-4y=0的圆心是(1,2).点(1,2)到直线x-y+a=0的距离是=,所以|a-1|=1,所以a=2或a=0.选C.6.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( D )(A)-,4 (B),4(C)-,-4 (D),-4解析:直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则直线2x+y+b=0一定过圆(x-2)2+y2=1的圆心(2,0),代入得b=-4,同时直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,可得-2×k=-1,解得k=,故选D.7.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( A )(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=1 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任意一点坐标为(x1,y1),其与点P所连线段的中点坐标为(x,y),则即代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.8.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是( A )(A) (B)1 (C) (D)解析:如图所示,当直线l上恰好只存在一个圆与圆C相切时,直线l的斜率最大,此时,点C(4,0)到直线l的距离是2.即=2.解得k=或k=0.所以k的最大值是.9.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A )(A)x+y-2=0 (B)y-1=0(C)x-y=0 (D)x+3y-4=0解析:欲使两部分的面积之差最大,需直线与OP垂直,因为k OP=1,所以所求的直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.10.过点P(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为( C )(A)5x+12y+20=0(B)5x-12y+20=0(C)5x+12y+20=0或x+4=0(D)5x-12y+20=0或x+4=0解析:x2+y2+2x-4y-20=0可化为(x+1)2+(y-2)2=25,当直线l的斜率不存在时,符合题意;当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),由题意得==3,得k=-.所以直线l的方程为y=-(x+4),即5x+12y+20=0,综上,符合条件的直线l的方程为5x+12y+20=0或x+4=0.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是,半径是.解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径为.答案:(2,-3)12.如图所示,在单位正方体ABCDA1B1C1D1中,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1C和A1C1的长度分别为, .解析:易得A1(1,0,1),C(0,1,0),C1(0,1,1),所以|A1C|==,|A1C1|==.答案:13.圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0与直线l2:x+3y=0都对称,则D= ,E= .解析:由题设知直线l1,l2的交点为已知圆的圆心.由得所以-=-3,D=6,-=1,E=-2.答案:6 -214.若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则m+n的值等于,mn的取值范围是.解析:圆心(2,1),则m×2+2n×1-4=0,即m+n=2,m=2-n,于是mn=(2-n)n=-n2+2n=-(n-1)2+1≤1,故mn的取值范围是(-∞,1].答案:2 (-∞,1]15.若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点,则实数b的取值范围是.解析:将曲线x=变为x2+y2=1(x≥0).如图所示,当直线y=x+b与曲线x2+y2=1相切时,则满足=1,|b|=,b=±.观察图象,可得当b=-,或-1<b≤1时,直线与曲线x=有且只有一个公共点.答案:(-1,1]∪{-}16.若集合A={(x,y)|x2+y2≤16},B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1},且A∩B=B,则a的取值范围是.解析:A∩B=B等价于B⊆A.当a>1时,集合A和B中的点的集合分别代表圆x2+y2=16和圆x2+(y-2)2=a-1的内部,如图,容易看出当B对应的圆的半径小于2时符合题意.由0<a-1≤4,得1<a≤5;当a=1时,满足题意;当a<1时,集合B为空集,也满足B⊆A,所以当a≤5时符合题意.答案:(-∞,5]17.已知直线l1:x+y-=0,l2:x+y-4=0,☉C的圆心到l1,l2的距离依次为d1,d2且d2=2d1,☉C与直线l2相切,则直线l1被☉C所截得的弦长为.解析:当圆心C在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,d1+d2=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=2,d1=1,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=2;同理,当圆心C不在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,则d2-d1=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=6,d1=3,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=6.故直线l1被☉C所截得的弦长为2或6.答案:2或6三、解答题(本大题共5小题,共74分)18.(本小题满分14分)一直线 l 过直线 l1:2x-y=1 和直线 l2:x+2y=3 的交点 P,且与直线 l3:x-y+1=0 垂直.(1)求直线 l 的方程;(2)若直线 l 与圆 C:(x-a)2+y2=8 (a>0)相切,求 a.解:(1)由解得P(1,1),又直线l与直线l3:x-y+1=0垂直,故l的斜率为-1,所以l:y-1=-(x-1),即直线l的方程为x+y-2=0.(2)由题设知C(a,0),半径r=2,因为直线l与圆C:(x-a)2+y2=8(a>0)相切,所以C到直线l的距离为2,所以=2,又a>0,得a=6.19.(本小题满分15分)已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①又直径|CD|=4,所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40,②由①②解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.20.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a=时,直线l与圆C相交于A,B两点,求弦AB的长;(2)若a>0且直线l与圆C相切,求圆C关于直线l的对称圆C′的方程.解:(1)因为圆C:(x+2)2+(y-2a)2=()2,又a=,所以圆心C为(-2,3),直线l:3x+2y+6=0,圆心C到直线l的距离d==,所以|AB|=2=.(2)将y=-ax-2a代入圆C的方程化简得(1+a2)x2+4(1+2a2)x+16a2+1=0,(*)所以Δ=[4(1+2a2)]2-4(1+a2)(16a2+1)=4(3-a2)=0,因为a>0,所以a=,所以方程(*)的解为x=-,所以切点坐标为(-,),根据圆关于切线对称的性质可知切点为CC′的中点,故圆心C′的坐标为(-5,),所以圆C′的方程为(x+5)2+(y-)2=3.21.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标.解:(1)由方程x2+y2+2x-4y+3=0知,圆心为(-1,2),半径为.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,则=.所以k=2±,即切线方程为y=(2±)x.当切线不过原点时,设切线方程为x+y=a,则=.所以a=-1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.所以切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)设P(x1,y1).因为|PM|2+r2=|PC|2,即|PO|2+r2=|PC|2,所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).22.(本小题满分15分)圆C:x2+y2+2x-3=0内有一点P(-2,1),AB为过点P且倾斜角为α的弦.(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程;(3)若圆C上的动点M与两个定点O(0,0),R(a,0)(a≠0)的距离之比恒为定值λ(λ≠1),求实数a的值.解:(1)由题意知,圆心C(-1,0),半径r=2,直线AB的方程为x+y+1=0,直线AB过圆心C,所以弦长AB=2r=4.(2)当弦AB被点P平分时,AB⊥PC,k AB·k PC=-1,又k PC=-1, 所以k AB=1,直线AB的方程为x-y+3=0.(3)设M(x0,y0),则满足++2x0-3=0, ①由题意得,=λ,即=λ.整理得+=λ2[-2ax0+a2+], ②由①②得,3-2x0=λ2[3-2x0-2ax0+a2]恒成立,所以又a≠0,λ>0,λ≠1,解之得a=3.。

人教版高一数学必修二第四章圆与方程单元测试含答案

圆及方程姓名：班级： .一、选择题〔共8小题；共40分〕1. 圆x2+y2−4x+6y=0的圆心坐标是( )A. (2,3)B. (−2,3)C. (−2,−3)D. (2,−3)2. ⊙O的直径是3，直线l及⊙O相交，圆心O到直线l的距离是d，那么d应满足( )A. d>3B. 1.5<d<3C. 0≤d<1.5D. d<03. 圆(x−2)2+(y−1)2=4及圆(x+1)2+(y−2)2=9的公切线有( )条A. 1B. 2C. 3D. 44. 从原点向圆x2+y2−12y+27=0作两条切线，那么该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )A. πB. 2πC. 4πD. 6π5. 过点(1,1)的直线及圆(x−2)2+(y−3)2=9相交于A，B两点，那么∣AB∣的最小值为( )A. 2√3B. 4C. 2√5D. 56. 圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0及圆C相切，那么圆C的方程为( )A. x2+y2−2x−3=0B. x2+y2+4x=0C. x2+y2+2x−3=0D. x2+y2−4x=07. 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，那么需安装这种喷水龙头的个数最少是( )A. 6B. 5C. 4D. 38. 圆：C1:(x−2)2+(y−3)3=1，圆：C2:(x−3)2+(y−4)2=9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，那么∣PM∣+∣PN∣的最小值为( )A. 5√2−4B. √17−1C. 6−2√2D. √17二、填空题〔共7小题；共35分〕9. 过点A(3,−4)及圆x2+y2=25相切的直线方程是．10. 如果单位圆x2+y2=1及圆C:(x−a)2+(y−a)2=4相交，那么实数a的取值范围为．11. 在空间直角坐标系中，点A(1,0,2)，B(1,−3,1)，点M在y轴上，且M到A及到B的距离相等，那么点M的坐标是．12. 圆C:(x−2)2+y2=1．假设直线y=k(x+1)上存在点P，使得过P向圆C所作的两条切线，那么实数k的取值范围所成的角为π3为．13. 如图，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，假设点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动，那么PQ的最小值为．14. 在圆C:(x−2)2+(y−2)2=8内，过点P(1,0)的最长的弦为AB，最短的弦为DE，那么四边形ADBE的面积为．15. 据气象台预报：在A城正东方300km的海面B处有一台风中心，正以每小时40km的速度向西北方向移动，在距台风中心250km以内的地区将受其影响．从现在起经过约h，台风将影响A城，持续时间约为h．〔结果准确到0.1h〕三、解答题〔共5小题；共65分〕16. 假设关于x，y的方程x2+y2−4x+4y+m=0表示圆C．〔1〕求实数m的取值范围；〔2〕假设圆C及圆M:x2+y2=2相离，求m的取值范围．17. 圆C:x2+y2+4x+4y+m=0，直线l:x+y+2=0．〔1〕假设圆C及直线l相离，求m的取值范围；〔2〕假设圆D过点P(1,1)，且及圆C关于直线l对称，求圆D的方程．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x−4．设圆C的半径为1，圆心在l上．〔1〕假设圆心C也在直线y=x−1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；〔2〕假设圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．19. 直线l的方程为2x+(1+m)y+2m=0，m∈R，点P的坐标为(−1,0)．〔1〕求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；〔2〕求点P到直线l的距离的最大值；〔3〕设点P在直线l上的射影为点M，N的坐标为(2,1)，求线段MN长的取值范围．20. 在平面直角坐标系xOy中，圆C1:(x+3)2+(y−1)2=4和圆C2:(x−4)2+(y−5)2=4．〔1〕假设直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2√3，求直线l的方程；〔2〕设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别及圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长及直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．答案第一局部1. D2. C3. B4. B5. B6. D7.C 8. A第二局部9. 3x−4y=25 10. −3√22<a<−√22或√22<a<3√2211. (0,−1,0) 12. [−2√55,2√55] 13. √22a 14. 4√615. 2.0；6.6第三局部16. 〔1〕圆C化简为(x−2)2+(y+2)2=8−m，所以8−m>0，即m<8．〔2〕圆C的圆心为(2,−2)，半径为√8−m〔m<8〕，圆M的圆心为(0,0)，半径为√2，由题意，得圆心距大于两圆的半径和，那么√22+22>√8−m+√2，解得6<m<8．17. 〔1〕圆C:x2+y2+4x+4y+m=0即(x+2)2+(y+2)2= 8−m．圆心C(−2,−2)到直线l的距离d=√2=√2，假设圆C及直线l相离，那么d>r，所以r2=8−m<2即m>6又r2=8−m>0即m<8．故m的取值范围是(6,8)．〔2〕设圆D的圆心D的坐标为(x0,y0)，由于圆C的圆心C(−2,−2)，依题意知点D和点C关于直线l对称，那么有 {x 0−22+y 0−22+2=0y 0+2x 0+2×(−1)=−1，解得 {x 0=0y 0=0．所以圆 D 的方程为 x 2+y 2=r 2，而 r =∣DP ∣=√2，因此，圆 D 的方程为 x 2+y 2=2．18. 〔1〕由题设，圆心 C 是直线 y =2x −4 和 y =x −1 的交点，解得点 C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过 A (0,3) 的圆 C 的切线方程为y =kx +3.由题意，得∣3k +1∣√k 2+1=1,解得：k =0或−34.故所求切线方程为y =3或3x +4y −12=0.〔2〕因为圆心在直线 y =2x −4 上，所以圆 C 的方程为(x −a )2+[y −2(a −2)]2=1.设点 M (x,y )，因为 MA =2MO ，所以√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y −3=0,即x 2+(y +1)2=4,所以点 M 在以 D (0,−1) 为圆心，2 为半径的圆上．由题意，点 M (x,y ) 在圆 C 上，所以圆 C 及圆 D 有公共点，那么∣2−1∣≤CD ≤2+1,即1≤√a 2+(2a −3)2≤3.整理，得−8≤5a 2−12a ≤0.由 5a 2−12a +8≥0，得a ∈R;由 5a 2−12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为 [0,125]．19. 〔1〕由 2x +(1+m )y +2m =0 得 2x +y +m (y +2)=0，所以直线 l 恒过直线 2x +y =0 及直线 y +2=0 交点 Q ．解方程组 {2x +y =0,y +2=0. 得 Q (1,−2)，所以直线 l 恒过定点，且定点为 Q (1,−2)．〔2〕设点 P 在直线 l 上的射影为点 M ，那么 ∣PM∣≤∣PQ∣∣，当且仅当直线 l 及 PQ 垂直时，等号成立，所以点 P 到直线 l 的距离的最大值即为线段 PQ 的长度为 2√2．〔3〕因为直线 l 绕着点 Q (1,−2) 旋转，所以点 M 在以线段 PQ 为直径的圆上，其圆心为点 C (0,−1)，半径为 √2，因为 N 的坐标为 (2,1)，所以∣CN∣=2√2，从而√2≤∣MN∣≤3√2．20. 〔1〕由于直线x=4及圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=k(x−4),圆C1的圆心到直线l的距离为d，又因为直线l被圆C1截得的弦长为2√3，所以d=√22−(√3)2=1.由点到直线的距离公式得d=∣1−k(−3−4)∣√1+k2,从而k(24k+7)=0,即k=0或k=−7 24 ,所以直线l的方程为y=0或7x+24y−28=0.〔2〕设点P(a,b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y−b=k(x−a),k≠0,那么直线l2的方程为y−b=−1k(x−a).因为圆C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长及直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即∣1−k (−3−a )−b∣√1+k 2=∣∣5+1k (4−a )−b ∣∣√1+1k 2,整理得 ∣1+3k +ak −b∣=∣5k +4−a −bk∣,从而1+3k +ak −b =5k +4−a −bk, 或1+3k +ak −b =−5k −4+a +bk.即(a +b −2)k =b −a +3,或(a −b +8)k =a +b −5.因为 k 的取值有无穷多个，所以{a +b −2=0,b −a +3=0,或{a −b +8=0,a +b −5=0.解得{a =52,b =−12,或{a =−32,b =132.这样点 P 只可能是点 P 1(52,−12) 或点 P 2(−32,132)．经检验点 P 1 和 P 2 满足题目条件．。

高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案

高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案高一数学（必修2）第四章圆与方程基础训练一、选择题1.圆(x+2)²+y²=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。

(x-2)²+y²=5B。

x²+(y-2)²=5C。

(x+2)²+(y+2)²=5D。

x²+(y+2)²=52.若P(2,-1)为圆(x-1)²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A。

x-y-3=0B。

2x+y-3=0C。

x+y-1=0D。

2x-y-5=03.圆x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。

2B。

1+√2C。

1-√2D。

1+2√24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x²+y²+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。

-3或7B。

-2或8C。

2或10D。

1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。

1条B。

2条C。

3条D。

4条6.圆x²+y²-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。

x+3y-2=0B。

x+3y-4=0C。

x-3y+4=0D。

x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x²+y²+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是-2.2.由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为x²+y²-x=0.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为(x-1)²+(y+1)²=4.4.已知圆(x-3)²+y²=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为2.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是3.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a²+b²-2a-2b+2的最小值。

人教版高中数学必修二第四章《圆与方程》单元试卷(2)

第四章圆与方程单元检测(时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 (此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)1．直线 y ＝ x ＋ 10 与曲线 x 2＋y 2＝ 1 的地点关系是 ()．A ．订交B ．相离C ．相切D ．不可以确立2．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ( )． A ． x 2＋ (y －2)2＝1 B ． x 2＋ (y ＋ 2)2＝ 1 C ．( x － 1) 2＋ (y －3) 2＝ 1D ． x 2＋ (y － 3)2＝ 13．点 P(x ， y ， z)知足x 1 2 y 1 2 z 1 22，则点 P 在()．A ．以点 (1,1，－ 1)为圆心，2 为半径的圆上B ．以点 (1,1，－ 1) 为中心，2 为棱长的正方体内 C ．以点 (1,1，－ 1) 为球心， 2 为半径的球面上 D ．没法确立4．圆 x 2 ＋y 2＝4 与圆 x 2＋ y 2＋ 4x － 4y ＋ 4＝ 0 对于直线 l 对称，则 l 的方程是 ()．A ． x ＋ y ＝ 0B ． x ＋ y －2＝ 0C ．x － y － 2＝ 0D ． x － y ＋ 2＝ 05．圆 C 1：x 2＋ y 2＋2x ＋ 2y － 2＝ 0 与 C 2：x 2＋ y 2－ 4x － 2y ＋1＝ 0 的公切线有且只有 ( )．A ．1 条B ．2 条C ．3 条D ．4 条 6．把圆 x 2 ＋ y 2＋2x － 4y － a 2－2＝ 0 的半径减小一个单位则正好与直线3x － 4y － 4＝ 0 相切，则实数 a 的值为 ( )．A ．－ 3B ． 3C ．－3或 3D ．以上都不对7．过点 P(2,3)向圆 x 2＋ y 2＝ 1 作两条切线 PA 、 PB ，则弦 AB 所在直线的方程为 ()．A ． 2x － 3y － 1＝ 0B ． 2x ＋ 3y － 1＝ 0C ．3x ＋ 2y － 1＝ 0D ． 3x － 2y － 1＝ 08．与圆 x 2＋ y 2－ ax －2y ＋ 1＝ 0 对于直线 x － y － 1＝0 对称的圆的方程为＝0，则 a 等于 ( )．A ． 0B ． 1C ． 2D ．3229．圆 x ＋(y ＋1) ＝ 3 绕直线 kx －y － 1＝ 0 旋转一周所得的几何体的表面积为 x 2 ＋y 2－ 4x ＋ 3()．A ． 36πB ． 12πC ．4 3D ． 4π10．动圆 x 2＋ y 2－ (4m ＋2)x － 2my ＋ 4m 2＋4m ＋ 1＝ 0 的圆心的轨迹方程是 ( ) ．A ． 2x － y － 1＝ 0B ． 2x － y － 1＝0(x ≠ 1)C ．x － 2y － 1＝0(x ≠ 1)D ．x － 2y － 1＝ 011．若过定点 M(－ 1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x 2＋ 4x ＋ y 2－ 5＝0 在第一象限内的部分有交点，则 k 的取值范围是 ( )．A ． 0 k 5B ．5 k 0C ． 0 k13D ． 0＜ k ＜ 512．直线 y ＝kx ＋ 3 与圆 (x － 3)2＋ (y － 2)2＝ 4 订交于 M ， N 两点，若 MN2 3 ，则 k的取值范围是 ()．A ． [3,0]B ． (－∞，3 ]∪[0 ，＋ ∞)44C ． [3 , 3 ]D ．[ 2,0]3 33二、填空题 (此题共 4 小题，，每题 4 分，共 16 分)13．过直线 l ：y ＝ 2x 上一点 P 作圆 C ：(x － 8)2＋ (y － 1)2＝ 2 的切线 l 1， l 2，若 l 1，l 2 对于直线 l 对称，则点 P 到圆心 C 的距离为 __________ ．14．点 P 为圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，则点P 到直线3x－ 4y－ 10＝ 0 的距离的最小值为__________．15．已知圆 C 经过 A(5,1) ，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 ________．16．已知圆 C 过点 (1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l ：y＝ x－ 1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2 ，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ________．三、解答题 (此题共 6 小题，共74 分)17． (12 分)一圆和直线 l ：x＋ 2y－ 3＝0 切于点 P(1,1)，且半径为 5，求这个圆的方程．18．(12 分 )求平行于直线 3x＋223y＋5＝ 0 且被圆 x ＋ y＝ 20 截得长为6 2的弦所在的直线方程．22＝ 16 内的定点，B，C 是这个圆上的两个动点，若 BA⊥ CA，19．(12 分 )点 A(0,2)是圆 x ＋ y求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．222220． (12 分)圆 x ＋ y －2x－ 5＝ 0 与圆 x ＋ y ＋ 2x－ 4y－ 4＝ 0 的交点为 A、 B.(1)求线段 AB 的垂直均分线的方程；(2)求线段 AB 的长．21． (12 分 ) 已知圆C： (x－ 1)2＋ ( y－ 2)2＝ 25，直线l： (2m＋ 1)x＋ (m＋ 1)y－ 7m－ 4＝0(m∈R)．(1)证明：无论 m 为什么值时，直线和圆恒订交于两点；(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程．22．(14 分 )在平面直角坐标系xOy 中，曲线 y＝ x2－ 6x＋1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 x－y＋ a＝ 0 交于 A， B 两点，且 OA⊥OB ，求 a 的值．答案与分析1.答案： B分析：圆心到直线的距离|10 |2 1.522.答案： A分析：方法一 (直接法 )：设圆心坐标为 (0， b)，则由题意知0 1 2 b 2 21，解得b＝2，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法二 (数形联合法 ) ：由作图依据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋ (y－ 2)2＝ 1.方法三 (考证法 )：将点 (1,2)代入四个选择支，清除 B ， D，又因为圆心在y 轴上，清除C.3.答案： C(x， y， z)知足到定点 (1,1，－ 1)的距离恒分析：依据两点间距离公式的几何意义，动点等于 2.4.答案： D分析：∵两圆圆心分别为(0,0)和 (－ 2,2)，∴中点为 (－ 1,1)，两圆圆心连线斜率为－ 1.∴l 的斜率为 1，且过点 (－ 1,1)．∴l 的方程为 y－ 1＝ x＋1，即 x－ y＋ 2＝ 0.5.答案： B解析：⊙C1： (x ＋ 1)2＋ (y ＋ 1)2＝ 4 ，⊙ C2： (x － 2) 2＋ (y － 1) 2＝ 4 ，C1C2＝ 2 12 1 1 213 4，∴只有 2 条公切线．∴应选 B.6.答案： C分析：圆的方程可变成 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ a2＋ 7，圆心为 (－ 1,2)，半径为a27 ，由题意得| 13 42 4 |a27 1，3 242解得 a＝±3.7.答案： B解析：圆x2＋ y2＝ 1的圆心为坐标原点O ，以OP为直径的圆的方程为( x－1)2＋( y－3) 2＝13.24明显这两个圆是订交的，x2y 21由1 2y32 13x2 4得 2x＋3y－ 1＝ 0，这就是弦 AB 所在直线的方程．8.答案： C分析：两圆的圆心分别为(a,1)，B(2,0)，A2则 AB 的中点(a1,1) 在直线x－y－1＝0上，即a11 1 0 ，解得a＝2，应选4242择 C.9.答案： B分析：由题意，圆心为(0，－ 1)，又直线kx－ y－ 1＝ 0 恒过点 (0，－ 1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以 S＝ 4π(3 )2＝12π.10.答案： C分析：圆心为 (2m＋1， m)， r ＝ |m|(m≠0)．不如设圆心坐标为(x， y)，则 x＝ 2m＋ 1， y＝ m，所以 x－2y－ 1＝ 0.又因为 m≠0，所以 x≠1因.此选择 C.11.答案： A分析：圆 x2＋ 4x＋ y2－ 5＝ 0 可变形为 (x＋ 2)2＋ y2＝ 9，如下图．当 x＝ 0 时，y＝ 5 ，联合图形可得A(0, 5) ，∵ k AM＝55 ，1∴ k (0， 5) ．12.答案： A分析：圆心 (3,2) 到直线 y＝kx＋ 3的距离 d＝| 3k1| ，k21MN ＝23k 1 2，4 2 3k 21∴30 .k413.答案： 3 5 分析：圆心 C 的坐标为 (8,1)，由题意，得 PC ⊥ l ，∴ PC 的长是圆心 C 到直线 l 的距离．|161|即 PC ＝ 3 5 .514.答案： 1分析： ∵圆心到直线的距离为 d ＝102 ，5∴点 P 到直线 3x － 4y － 10＝ 0 的距离的最小值为 d －r ＝ 2－ 1＝ 1.15.答案： ( x － 2)2 ＋y 2＝10分析：由题意，线段 AB 中点 M(3,2) ， k AB ＝－1k AB ＝－ 1，2 2∴线段 AB 中垂线所在直线方程为y － 2＝2(x － 3)．y 2 2 x 3得圆心 (2,0) ．由y则圆 C 的半径 r ＝ 2 1 23 210故圆 C 的方程为 (x － 2)2＋ y 2＝ 10.16.答案： x ＋ y － 3＝ 0分析：设圆心 (a,0)，∴ (| a 1| )2( 2) 2＝ | a －1|2 ,∴ a ＝ 3.2∴圆心 (3,0)．∴所求直线方程为 x ＋ y － 3＝0. 17.解：设圆心坐标为 C( a ， b)，圆的方程即为 (x － a)2＋ (y － b)2＝ 25.∵点 P(1,1)在圆上，则 (1－ a)2＋ (1－ b)2＝ 25.①又 l 为圆 C 的切线，则 CP ⊥ l ，∴b1 2.②a 1 联立①②解得a15a 15或b1 2 5b 125即所求圆的方程为 (x － 1－5 )2＋ (y － 1－ 2 5 )2 ＝ 25 或 (x －1＋ 5 )2＋ (y － 1＋ 2 5 )2＝25.18.解：设弦所在的直线方程为 x ＋ y ＋c ＝ 0.①则圆心 (0,0)到此直线的距离为d ＝ | c || c | .112因为圆的半弦长、半径、弦心距恰巧组成直角三角形，所以 ( | c |) 2(3 2) 2＝20 .2由此解得 c ＝ ±2，代入①得弦的方程为 x ＋ y ＋2＝ 0 或 x －y － 2＝ 0.19.解：设点 M(x ， y)，因为 M 是弦 BC 的中点，故 OM ⊥ BC.又∵∠ BAC ＝ 90°，∴ |MA |＝1|BC|＝ |MB |.2∵ |MB |2＝ |OB|2－ |OM |2，222，即 4 2222＋ (y － 2) 222∴|OB| ＝|MO | ＋|MA| ＝ (x ＋ y ) ＋ [(x － 0) ] ，化简为 x ＋ y － 2y －6＝ 0，即 x 2 ＋(y － 1)2＝ 7.∴所求轨迹为以 (0,1)为圆心，以7 为半径的圆．20.解： (1) 两圆方程相减，得 4x － 4y ＋ 1＝ 0，即为AB的方程．两圆圆心连线即为AB的垂直均分线，所以 AB 的垂直均分线的方程过两圆圆心，且与 AB 垂直．则 AB 的垂直均分线的斜率为－ 1.又圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心为 (1,0)，所以 AB 的垂直均分线的方程为 y ＝－ (x － 1)，即 x ＋ y － 1＝0.(2)圆 x 2＋ y 2－ 2x － 5＝ 0 的半径、圆 x 2＋y 2－ 2x － 5＝ 0 的圆心到 AB 的距离、 AB 长的一半三者组成一个直角三角形的三条边，圆x 2＋ y 2－ 2x － 5＝0 可化为 (x － 1)2＋ y 2＝ 6，所以圆心(1,0)，半径 6，弦心距|4 1 40 1| 5 2，由勾股定理得42428(|AB |25 2 2 2)()( 6，)28解得 AB ＝346.221.解： (1) 由 (2m ＋ 1)x ＋ (m ＋ 1)y － 7m － 4＝ 0，得 (2x ＋ y － 7)m ＋ x ＋ y －4＝ 0.2x y 7 0 x 3则y4 0解得1x y∴直线 l 恒过定点 A(3,1) ．又∵ (3－ 1)2＋ (1－ 2)2＝ 5＜ 25，∴ (3,1)在圆 C 的内部，故 l 与 C 恒有两个公共点．(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，有l ⊥ AC ，由 k AC ＝－1 ，得 l 的方程为 y － 1＝22(x － 3)，即 2x － y －5＝ 0.22.解： (1) 曲线 y ＝ x 2－ 6x ＋ 1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为 (32 2,0) ，(3 2 2,0) ．故可设 C 的圆心为 (3， t)，则有 32＋(t －1)2＝(2 2) 2 t 2，解得 t ＝ 1.则圆 C 的半径为32＋(t －1)2 3所以圆 C 的方程为 (x － 3)2＋ (y － 1)2＝ 9.(2)设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，其坐标知足方程组：x y a0 x 3 2y1 2 9.消去 y ，获得方程 2x 2＋ (2a － 8)x ＋ a 2－ 2a ＋ 1＝ 0.由已知可得，鉴别式＝ 56－16a － 4a 2＞ 0.所以 x 1,2＝ (8 2a)56 16a 4a24 ，进而 x 1＋ x 2＝ 4－ a ， x 1 x 2＝ a 22a 12.①因为 OA ⊥OB ，可得 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.又 y 1＝ x 1＋ a ， y 2＝ x 2＋a ，所以 2x 1 x 2＋ a(x 1＋ x 2)＋ a 2＝ 0.② 由①，②得 a ＝－ 1，知足＞ 0，故 a ＝－ 1.。

【人教A版】高中数学同步检测：第四章4.2-4.2.3直线与圆的方程的应用(含答案)

第四章圆与方程4.2直线、圆的地点关系圆与圆的地点关系直线与圆的方程的应用A 级基础稳固一、选择题1．已知圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 和圆 x2＋y2－6x＝0 交于 A、B 两点，则 AB 的垂直均分线方程是 ()A．x＋y＋3＝ 0B．2x－ y－5＝0C．3x－y－9＝0D．4x－ 3y＋7＝0分析：所求直线本质是两圆心连线所在直线，即3x－y－9＝0.答案： C2．半径为 5 且与圆 x2＋y2－6x＋8y＝0 相切于原点的圆的方程为()A．x2＋y2－6x－8y＝0B．x2＋y2＋6x－8y＝0C．x2＋y2＋6x＋8y＝0D．x2＋y2－6x－8y＝ 0 或 x2＋y2－6x＋8y＝0分析：已知圆的圆心为 (3，－ 4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心对于原点对称，即为 (－3，4)．答案： B3．两圆 x2＋y2－6x＋16y－48＝0 与 x2＋y2＋4x－8y－44＝0 的公切线条数为 ()A．4 条B．3 条C．2 条D．1 条分析：⊙O1为 (x－3)2＋(y＋ 8)2＝121，O1(3，－ 8)，r＝11，⊙O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，所以 |O1O2|＝（3＋2）2＋（－ 8－4）2＝13，所以 r－R<|O1O2|<R＋r，所以两圆订交，所以公切线有 2 条．答案： C．已知方程x 2＋ y2＋4x－2y－4＝0，则 x2＋ y2的最大值是 ()4A．9B．14C．14－6 5D．14＋ 6 5分析：方程化为 (x＋2)2＋(y－1)2＝9，所以圆心为 (－2，1)，r ＝3，而 x2＋y2＝(（x－0）2＋（y－0）2)2.所以 x2＋y2的最大值为 (（－2－0）2＋（1－0）2＋3)2＝14＋6 5.答案： D5． (2016 ·东卷山 )已知圆M ：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－1)2＋(y－ 1)2＝1 的2地点关系是 ()A．内切B．订交C．外切D．相离分析：圆 M ：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为： x2＋(y－a)2＝a2，由a a2题意， d＝2，所以有 a2＝2＋2，解得 a＝2.所以圆 M ：x2＋(y－ 2)2＝22，圆心距＝2，半径和＝ 3，半径差＝ 1，所以两者订交．答案： B二、填空题6．已知圆 C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆 C2：(x＋ 2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的地点关系是 ________．分析： C1(1，2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，所以两圆外切．答案：外切7．两圆订交于两点A(1，3)和 B(m，－1)，两圆圆心都在直线x －y＋c＝0 上，则 m＋c 的值为 ________．分析：由题意得3－（－ 1）k AB＝＝－1，1－mm＋1 3－12－2＋c＝0，m＝5，得c＝－ 2.所以 m＋c＝ 5－2＝3.答案： 3．过两圆x 2＋y2－x－y－2＝0 与 x2＋y2＋4x－4y－8＝0 的交点8和点 (3，1)的圆的方程是．分析：设所求圆方程为 (x2＋2－－－＋λ2＋ 2＋4x －－y x y 2)(x y4y 8)＝，将，代入得λ＝－2.故所求圆的方程为x2＋2－13x＋y＋2＝0(31)5y30.答案： x2＋y2－133x＋y＋2＝0三、解答题9．半径为 3 的圆 C1与圆 C2：x2＋ (y－3)2＝1 内切，切点为 (0，2)，求圆 C1的方程．解：因半径为 3，设圆 C1的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝9，则圆心C1(a，b)，由已知得圆C2圆心为C2(0，3)，半径r＝1.圆心距d＝（a－0）2＋（ b－3）2＝a2＋（ b－3）2.因 C1与 C2内切，故 d＝|R－r|＝|3－1|＝2，即： a2＋（ b－3）2＝2.①因切点为 (0，2)，故(0－a)2＋(2－b)2＝9，即： a2＋(2－b)2＝9，②结合解方程①②得： a＝0，b＝5.所以圆 C1的方程为： (x－0)2＋(y－5)2＝9，即： x2＋(y－5)2＝9.10．已知两圆 x2＋y2－2x＋10y－24＝0 和 x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的地点关系；(2)若订交，恳求公共弦所在直线的方程；(3)若订交，恳求公共弦的长度．解： (1)配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆 C1的圆心为 (1，－ 5)，半径 r1＝5 2；圆 C2的圆心为 (－1，－ 1)，半径 r2＝10.又 |C1C2|＝2 5，r 1＋r 2＝5 2＋10，r1－r2＝ 5 2－10.所以 r1－r2＜|C1C2|＜r 1＋r2，所以两圆订交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.(3)法一双方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0，①x2＋2＋＋－＝，②y2x2y 8 0①－②得 x＝2y－4，③把③代入②得 y2－2y＝0，所以 y1＝0，y2＝2.x1＝－ 4，x2＝0，所以或y1＝0y2＝2.所以交点坐标为 (－4，0)和(0，2)．所以两圆的公共弦长为（－ 4－0）2＋（ 0－2）2＝2 5.法二由(2)知公共弦所在直线方程为x－ 2y＋4＝0，由 (1)知圆C1：圆心为 C(1，－ 5)，半径 r＝5 2.圆心 C 到直线 x－2y＋4＝0 的|1－2×（－ 5）＋ 4|距离 d＝＝3 5，设公共弦长为2l，由勾股定理r21＋（－ 2）2＝d2＋l2，得 50＝45＋l 2，解得 l＝5，所以公共弦长2l＝2 5.B 级能力提高．若圆(x －a)2＋ (y－b)2＝b2＋ 1一直均分圆 (x＋1)2＋ (y＋1)2＝41的周长，则 a、b 应知足的关系式是 ()A．a2－2a－ 2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋3b＋1＝ 0分析：由题意知，订交弦过已知圆圆心，订交弦所在直线方程为2(1＋a)x＋2(1＋b)y－ a2－1＝0，而点 (－1，－1)在此直线上，故有a2＋2a＋2b＋5＝0.答案： B2．已知圆x2＋ y2＝ 1 和 (x ＋ 4)2＋ (y－ a)2＝ 25 相切，则 a＝________．分析：由于 C1(0，0)，r1＝1；C2(－4，a)，r2＝5，所以若 |C1C2|＝r1＋r2＝6，则 a＝±2 5；若 |C1C2|＝r2－r1＝4，则 a＝0.答案：±2 5或 03．有一种大型商品，A、B 两地均有销售且价钱同样，其地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费 A 地是 B 地的两倍，若 A，B 两地相距 10 公里，顾客选择 A 地或 B 地购置这类商品的运费和价钱的总花费较低，那么不一样地址的居民应怎样选择购置此商品的地址？解：以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直均分线为 y 轴，建立直角坐标系，如下图，设A(－5，0)，则 B(5，0)．在座标平面内任取一点 P(x，y)，设从 A 运货到 P 地的运费为 2a 元/km ，则从 B 运货到 P 地运费为 a 元/km.若 P 地居民选择在 A 地购置此商品，则 2a （x＋5）2＋y2<a （x－5）2＋y2，25 2202整理得 x＋3＋y2<3.25 220 2即点 P 在圆 C： x＋3＋y2＝3的内部．也就是说，圆 C 内的居民应在 A 地购物．同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物．圆 C 上的居民可任意选择A、B 两地之一购物．。

高中数学新课标人教A版必修二第四章圆与方程同步经典习题

4.1.2圆的一般方程基础达标1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()．A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝02．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()．A．D＝E B．D＝FC．E＝F D．D＝E＝F3．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A 的轨迹方程是()．A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)4．已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心为________．6．已知圆x2＋y2－4x＋3＝0则x2＋y2的最大值是________．7．(1)定长为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点M 的轨迹．(2)如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．能力提升8．(天津高一检测)设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，P A是圆的切线且|P A|＝1，则P点的轨迹方程是()．A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x9．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．10．自点A(4，0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系基础达标1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()．A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称2．设z是任意实数，相应的点P(2，2，z)运动的轨迹是()．A．一个平面B．一条直线C．一个圆D．一个球3．(吉林高一检测)若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()．A．7 B．－7 C．－1 D．14．已知A(3，2，－4)，B(5，－2，2)，则线段AB中点的坐标为________．5．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1在如图所示的空间直角坐标系中，则体对角线的交点O的坐标是________．6．(北京东城高一检测)在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M1点，则M1关于原点的对称点坐标是________．7．四面体P－ABC是一个正方体截下的一角，且满足|P A|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，建立如图所示的空间直角坐标系，求△ABC的重心G的坐标．能力提升8．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为()．A．(4，0，6) B．(－4，7，－6)C．(－4，0，－6) D．(－4，7，0)9．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述是________．10．如图，有一个棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，以点D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA，DC，DD1的长度为单位长，建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，从而建立起一个空间直角坐标系O－xyz.一只小蚂蚁从点D出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．的距离的最大值和最小值．的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. 能力提升在平面内转动，15＝0也相切，求圆C的方y＝x截得的弦长为27，交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在r1－r2＝1.答案 1x2＋y2＝5的公共弦长为________．②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，|－3|3 22________．关于原点的对称点坐标是(2，0，3)．，|PC|，DD1的长度为单位轴，从而建立起一个空间直角坐标系O－xyz.一只小蚂请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么x＝________．＝(x－2)2＋(0－1)2＋(1－为坐标原点，分别以AB，0，0)，设B(a，0，0)，。

2013-2014学年高中数学第四章圆与方程新人教版必修2

4．1圆的方程4．1.1 圆的标准方程(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握圆的标准方程．(2)会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程．(3)会判断点与圆的位置关系．2．过程与方法(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．(3)增强学生用数学的意识．3．情感、态度与价值观(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识．(2)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．●重点难点重点：圆的标准方程及点与圆的位置关系．难点：会根据不同的条件求圆的标准方程．重难点突破：以圆的定义为切入点，结合坐标法，让学生导出圆的标准方程，考虑到不同条件下求圆的标准方程的难度，教学时，可借助具体实例，通过让学生“看一看、想一想、练一练〞等方式熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解圆的标准方程中三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时化解难点．(教师用书独具)●教学建议圆的方程是学生在初中认识了圆的几何知识后，又在上一章学习了直线与方程，初步认识了解析法的基础上进行研究的．但由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度较浅，对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难．为此，为了充分调动学生学习的积极性，建议本节课采用“启发式〞问题教学法，结合具体问题情景，采用由特殊到一般的思想方法将探究活动层层深入，在启发学生得出圆的标准方程的同时，通过典例让学生熟知点与圆的位置关系，并初步体会待定系数法在求圆的标准方程中的作用．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何借助坐标法描述圆的方程？⇒引导学生回忆初中学习过的圆的定义及两点间的距离公式得出圆的标准方程.⇒通过引导学生回答所提问题理解点与圆的位置关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直接法求圆的方程的关键点.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握点与圆的位置关系的判断方法.⇒结合圆的标准方程的特点及圆的几何性质，完成例3及其互动探究，初步培养学生用待定系数法求圆的方程的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2.能根据所给条件求圆的标准方程．(重点、难点)3.掌握点与圆的位置关系．(易错点)圆的标准方程[问题导思]1．在平面内，圆是如何定义的？[提示] 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合．2．在平面直角坐标系中，如下图，以(1,2)为圆心以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？[提示] 能．圆的标准方程(1)以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.点与圆的位置关系[问题导思]点A(1,1)，B(3,0)，C(2，2)同圆x2＋y2＝4的关系如下图，那么|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2什么关系？[提示] |OA|<2 |OB|>2 |OC|＝2点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，那么点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r直接法求圆的标准方程求满足以下条件的圆的标准方程．(1)圆心为点A(－2,3)，半径为2；(2)经过点A(5,1)，圆心为点C(8，－3)．[思路探究] 只要有确定的圆心与半径，就可以写出圆的标准方程．[自主解答] (1)圆的标准方程为：(x＋2)2＋(y－3)2＝2.(2)法一圆的半径为|AC|＝5－82＋1＋32＝5，圆心为(8，－3)．∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.法二设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，∵点A(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25，∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．(2012·福建六校联考)以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝10 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 [解析] ∵点A (－3，－1)和B (5,5)的中点坐标为(1,2)， ∴以AB 为直径的圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝125＋32＋5＋12＝5.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25. [答案] D点与圆的位置关系一个圆的圆心在点C (－3，－4)，且经过原点． (1)求该圆的标准方程；(2)判断点P 1(－1,0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．[思路探究] 直接法求圆的标准方程――→分析点与圆心的距离同半径的关系―→下结论 [自主解答] (1)∵圆心是C (－3，－4)，且经过原点，∴圆的半径r ＝－3－02＋－4－02＝5，∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25. (2)∵－1＋32＋0＋42＝4＋16＝25＜5，∴P 1(－1,0)在圆内； ∵1＋32＋－1＋42＝5，∴P 2(1，－1)在圆上； ∵3＋32＋－4＋42＝6＞5，∴P 3(3，－4)在圆外．判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法和代数法两种： (1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离d 与半径r 的大小关系作出判断： ①d >r ，点在圆外；②d ＝r ，点在圆上；③d <r ，点在圆内．(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下： ①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2时，点在圆内； ②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上； ③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2时，点在圆外．点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定[解析] 把点P (m 2,5)代入圆的方程x 2＋y 2＝24得m 4＋25>24，故点P 在圆外．[答案] A待定系数法或几何法求圆的标准方程求过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程．[思路探究] 思路一：设圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，利用A ，B 及圆心所在位置求参数a ，b ，r . 思路二：设圆的圆心坐标C (a,2－a )，利用|AC |＝|BC |求a 及圆的半径．思路三：利用圆的几何性质：弦AB 的中垂线与直线x ＋y －2＝0的交点必为圆心，求圆的标准方程． [自主解答] 法一设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋1－b2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二设点C 为圆心， ∵点C 在直线x ＋y －2＝0上， ∴可设点C 的坐标为(a,2－a )．又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |. ∴a －12＋2－a ＋12＝a ＋12＋2－a －12，解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法三由可得线段AB 的中点坐标为(0,0)，k AB ＝1－－1－1－1＝－1，∴弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .那么圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1,1)，圆的半径为1－12＋[1－－1]2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.给定条件，求圆的标准方程时，一般有两种方法：(1)用待定系数法，其一般步骤如下：①根据题意，设出所求圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②根据条件，建立关于a，b，r的方程组；③解方程组，求出a，b，r的值；④将a，b，r的值代入所设的方程，即为所求圆的方程．这种方法表达了方程的思想，思路直接，是通用方法，如此题法一、法二．(2)由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程．这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算相对较容易．如此题法三．把本例条件“圆心在直线x＋y－2＝0上〞换成“圆心在x轴上〞，求相应问题．[解] ∵圆心在x轴上，∴设圆心坐标为(a,0)，由题意可知(a－1)2＋1＝(a＋1)2＋1，解得a＝0，∴圆的半径r＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为x2＋y2＝2.求圆的标准方程时以“形〞代“数〞致误某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[错解] 如图，由题设知|AB|＝8，|AC|＝5.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|OA|2＝52－42＝3.∴C点坐标(3,0)，∴所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝25.[错因分析] 上述求解的错误在于以“形〞代“数〞只画出了圆心在x轴正半轴的情况，没有画出圆心在x轴负半轴的情况而产生漏解．[防范措施] 借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就应考虑到几何图形的各种情况，此题出错就是由于考虑问题不全面所致．[正解] 由题意设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3，如下图．∴圆心坐标为(3,0)或(－3,0)．∴所求圆的方程为(x±3)2＋y2＝25.1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时的运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷．1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是( )A．(2,1) B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)[解析] 结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1)．[答案] B2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 2[解析] 以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.[答案] B3．点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，那么圆的方程是________．[解析] 因为点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋1＝m，∴m＝10.即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.[答案] (x ＋2)2＋y 2＝104．两点P (－5,6)和Q (5，－4)，求以P ，Q 为直径端点的圆的标准方程，并判断点A (2,2)，B (1,8)，C (6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．[解] 由条件及圆的性质可知，圆心M 在直径PQ 的中点处， ∴圆心M 的坐标为(0,1)，半径r ＝12|PQ |＝12×－5－52＋6＋42＝5 2.∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50. ∵|AM |＝2－02＋2－12＝5<r ，∴点A 在圆内． ∵|BM |＝1－02＋8－12＝50＝r ，∴点B 在圆上． ∵|CM |＝6－02＋5－12＝52>r ，∴点C 在圆外.一、选择题1．下面各点在圆(x －1)2＋(y －1)2＝2上的是( ) A ．(1,1) B ．(2,1) C ．(0,0) D ．(2，2)[解析] 经验证点(0,0)满足圆的方程(x －1)2＋(y －1)2＝2. [答案] C2．(2013·周口高一检测)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9 B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝9[解析] 由题意可知，圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，应选D. [答案] D3．(2013·洛阳高一检测)圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －4)2＝25 B ．x 2＋(y ＋4)2＝25 C ．(x －4)2＋y 2＝25 D ．(x ＋4)2＋y 2＝25 [解析] 由题意，圆的半径r ＝0－32＋4－02＝5，那么圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.[答案] A4．点A (3，－2)，B (－5,4)，那么以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100[解析] 圆心为AB 的中点(－1,1)，半径为12|AB |＝123＋52＋－2－42＝5，∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.[答案] B5．(2013·绍兴高一检测)一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，那么圆的方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52 [解析] 如图，结合圆的性质可知，圆的半径r ＝2－02＋－3－02＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13. [答案] B 二、填空题6．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同心且过点P (－1,1)的圆的方程是________．[解析] 圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2，由点P (－1,1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r 2，解得r 2＝25.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. [答案] (x －2)2＋(y ＋3)2＝257．点P (1，－1)在圆x 2＋y 2＝r 的外部，那么实数r 的取值范围是________． [解析] 由题意得12＋(－1)2>r ，即r <2，又r >0，故r 的取值范围是(0,2)． [答案] (0,2)8．(2013·浏阳高一检测)经过圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为________． [解析] 圆心C 的坐标为(－1,2)，又直线的斜率为1，故所求直线的方程为：y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0. [答案] x －y ＋3＝0 三、解答题9．(2012·长春高一检测)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程． [解] 由A (－1,4)，B (3,2)可得直线AB 的斜率k AB ＝4－2－1－3＝－12，AB 的中点M (－1＋32，4＋22)，即M (1,3)，∴直线AB 的垂直平分线的方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0，令x ＝0得y ＝1，即所求圆的圆心为C (0,1)．圆的半径为r ＝|AC |＝12＋4－12＝10.所以，所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.10．点A (1,2)和圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2，试分别求满足以下条件的实数a 的取值范围： (1)点A 在圆的内部；(2)点A 在圆上； (3)点A 在圆的外部． [解] (1)∵点A 在圆内部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2，即2a ＋5<0，解得a <－52.故a 的取值范围是{a |a <－52}．(2)将点A (1,2)坐标代入圆的方程，得(1－a )2＋(2＋a )2＝2a 2，解得a ＝－52，故a 的值为－52.(3)∵点A 在圆的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2>2a 2，即2a ＋5>0，解得a >－52.故a 的取值范围是{a |a >－52}．11．(思维拓展题)平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？ [解] 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 将A ，B ，C 三点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1－b 2＝r 2，2－a 2＋1－b 2＝r 2，3－a 2＋4－b 2＝r 2，解得⎩⎨⎧a＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 将D (－1,2)的坐标代入上式圆的方程左边， (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，即D 点坐标适合此圆的方程．故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上.(教师用书独具)圆过两点A (3,1)，B (－1,3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上，求此圆的方程． [思路探究] 由条件可设出圆的标准方程，利用待定系数法或几何性质确定圆心坐标和半径． [自主解答] 法一设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＋1－b 2＝r 2，－1－a 2＋3－b 2＝r 2，3a －b －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－6a －2b ＝r 2－10，a 2＋b 2＋2a －6b ＝r 2－10，3a －b －2＝0，解得⎩⎨⎧a＝2，b ＝4，r ＝10.∴所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10.法二直线AB 的斜率k ＝3－1－1－3＝－12，可知AB 垂直平分线m 的斜率为2.AB 中点的横坐标和纵坐标分别为x ＝3－12＝1，y ＝1＋32＝2. 因此m 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.又圆心在直线3x －y －2＝0上，∴圆心在这两条直线的交点上．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，3x －y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.设圆心为C ，∴圆心坐标为(2,4)．又半径r ＝|CA |＝10，那么所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10. 法三设圆心为C ，∵圆心在直线3x －y －2＝0上，故可设圆心C 的坐标为(a,3a －2)．又∵|CA |＝|CB |，故a －32＋3a －2－12＝a ＋12＋3a －2－32.解得a ＝2，∴圆心为(2,4)，半径r ＝|CA |＝10. 故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10.1．由于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中含有三个参数a ，b ，r ，因此需要三个独立的条件才能确定一个圆的标准方程． 2．求圆的标准方程常有以上三种方法，其中方法三最为简捷，方法二是几何法，巧用了圆的几何性质，方法一是通法，用方程的观点确定a ，b ，r 的值．求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的标准方程． [解] 法一设点C 为圆心， ∵点C 在直线l ：x －2y －3＝0上， ∴可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |， ∴2a ＋3－22＋a ＋32＝2a ＋3＋22＋a ＋52，解得a ＝－2.∴圆心坐标为C (－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋－3－b 2＝r 2，－2－a 2＋－5－b 2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法三线段AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝－3－－52－－2＝12，所以弦AB 的垂直平分线的斜率k ＝－2，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即y ＝－2x －4.故圆心是直线y ＝－2x －4与直线x －2y －3＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －4，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，即圆心为(－1，－2)，圆的半径为r ＝－1－22＋－2＋32＝10，所以所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.4．1.2 圆的一般方程(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)掌握圆的一般方程及一般方程的特点．(2)能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径． (3)能用待定系数法由条件求出圆的方程． (4)能用坐标法求动点的轨迹方程． 2．过程与方法(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力． (2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．3．情感、态度与价值观(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识．(2)培养学生勇于思考、探究问题的精神．●重点难点重点：圆的一般方程及待定系数法求圆的方程．难点：用坐标法求动点的轨迹方程．重点突破：以教材的思考为切入点，采取由特殊到一般、由具体到抽象的方法，结合圆的标准方程，突破“二元二次方程同圆的关系〞这一重难点，通过学生探究合作与交流，结合题组训练，引导学生进一步掌握用“待定系数法〞求解圆的一般方程；借助多媒体演示及学生的直观感知突破“求动点的轨迹方程〞这一难点．(教师用书独具)●教学建议本节课是上节课的拓展和延伸，可采用开门见山、单刀直入的引入方法，让学生通过对一组二元二次方程的观察比较，分析讨论，得出圆的一般方程的形式，并指明“二元二次方程〞同“圆〞的关系，培养学生分类讨论的思想意识．考虑到“用相关点法求动点的轨迹方程〞的难度，教学时可结合一些具体例子，让学生分组协作，通过组内讨论的方式找出动点的轨迹与曲线的关系，教师适时点拨，这样学生既掌握了用相关点法求动点轨迹的问题，又对一般的轨迹问题有了了解，为今后进一步学习轨迹问题奠定基础．●教学流程创设问题情境，引出问题：二元二次方程同圆什么关系？⇒引导学生结合配方法及圆的标准方程得出圆的一般方程形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解二元二次方程同圆的关系及表示圆的条件.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的概念.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的求法.⇒通过例3及其变式训练，初步培养学生解决与圆相关的轨迹问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读 1.了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)2.会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点)3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法．(难点)圆的一般方程[问题导思]1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2展开可得到一个什么式子？ [提示] x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0. 2．观察以下三个方程： (1)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋8＝0； (2)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋2＝0； (3)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0.先将它们分别配方，分析它们分别表示什么图形？[提示] (1)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝－6，不表示任何图形． (2)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝0，表示点(－1，－1)． (3)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，表示圆．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)表示的图形 (1)变形：(x ＋D2)2＋(y ＋E2)2＝D 2＋E 2－4F4.(2)图形：①当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为圆，且圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F ，方程(*)称为圆的一般方程；②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程(*)表示一个点(－D 2，－E2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程(*)不表示任何图形.圆的一般方程的概念以下方程能否表示圆？假设能，求出圆心和半径． (1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.[思路探究] 分析每个方程是否具有圆的一般方程的特征，也可以把方程配方观察求解．[自主解答] (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同， ∴它不能表示圆．(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项， ∴它不能表示圆．(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆．(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为(x －54)2＋y 2＝(54)2，∴它表示以(54，0)为圆心，54为半径长的圆．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，那么实数k 的范围是________． [解析] 由题意可知(－2)2＋12－4k >0，即k <54.[答案] (－∞，54)求圆的一般方程(2013·周口高一检测)求过三点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标． [思路探究] 设圆的一般式方程――→过点O 、M 、N 求圆的一般式方程――→公式法求圆心坐标、半径[自主解答] 设圆的一般式方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意可知点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)满足圆的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以，所求圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0化为标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.∴圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r ＝5.1．一般地，所求的圆经过几点且不易得知圆心和半径，常选用一般式． 2．圆的一般式方程中也含有三个未知参数，求解时也需要三个独立的条件．A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程． [解] 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.与圆有关的轨迹问题点A (4,0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，求线段AP 的中点M 的轨迹方程．[思路探究] 此题考查动点轨迹方程的求法，关键是寻找动点M 的横、纵坐标之间的关系． [自主解答] 设M (x ，y )，由于M 是AP 的中点， ∴P 点的坐标是(2x －4,2y )． ∵P 是圆x 2＋y 2＝1上的点， ∴(2x －4)2＋(2y )2＝1.即动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝14.此题是运用代入法求轨迹方程．用动点坐标表示相关坐标，再根据相关点所满足的方程即可求动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作相关点法或代入法．经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，那么线段PQ 中点M 的轨迹方程为________． [解析] 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，故x 20＋y 20＝4，即x 2＋4y 2＝4，所以，所求轨迹方程为x 2＋4y 2＝4.[答案] x 2＋4y 2＝4忽略圆的一般方程中D 2＋E 2－4F >0致误定点A (a,2)在圆x 2＋y 2－2ax －3y ＋a 2＋a ＝0的外部，求a 的取值范围． [错解] 因为点A (a,2)在圆的外部，所以a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0，解得a >2.故所求a 的范围为(2，＋∞)．[错因分析] 上述解法的错误在于“忘记判断二元二次方程表示圆的条件〞．[防范措施] 对于二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0只有在D 2＋E 2－4F >0的前提下，它才表示圆，故求解此题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D 2＋E 2－4F >0.[正解] 因为点A 在圆的外部，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0，－2a 2＋－32－4a 2＋a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a <94，即2<a <94.所以a 的取值范围为(2，94)．1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D 2＋E 2－4F >0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件．2．求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．1．圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，那么圆心坐标、半径的长分别是( ) A ．(2，－1)，3 B ．(－2,1)，3 C ．(－2，－1)，3 D ．(2，－1)，9[解析] 圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3. [答案] A2．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，那么动点M 的轨迹方程是________．[解析] 设M (x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4. [答案] x 2＋y 2＝43．假设方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，那么实数k 的取值范围是________． [解析] 由(－4)2＋22－4×5k >0，得k <1. [答案] (－∞，1)4．圆C 过点O (0,0)，A (1,0)，B (0，－1)，求圆C 的方程．[解] 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将O ，A ，B 三点坐标依次代入，得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋D ＋F ＝0，－12－E ＋F ＝0，解之得D ＝－1，E ＝1，F ＝0.所以圆C 的方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.一、选择题1．(2013·聊城高二检测)方程x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示一个圆，那么( ) A ．a ＝－1 B ．a ＝2 C ．a ＝－2 D ．a ＝1[解析] 由题意可知a ＋2＝1，∴a ＝－1. [答案] A2．(2013·浏阳高一检测)假设方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( ) A ．D ＝E B ．D ＝F C ．E ＝F D ．D ＝E ＝F[解析] 方程所表示的曲线为圆，由，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点(－D 2，－E2)在直线y ＝x 上，所以D ＝E .应选A.[答案] A3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b )[解析] 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )． [答案] D4．假设圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，那么a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0[解析] 由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22得a ＝0或a ＝2.应选C.[答案] C5．两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，那么点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C．8π D ．9π[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，由|PA |＝2|PB |得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π. [答案] B 二、填空题6．假设方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，那么F ＝________. [解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－D2＝2，－E2＝－4，12D 2＋E 2－4F ＝4，解得D ＝－4，E ＝8，F ＝4. [答案] 47．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于________． [解析] 圆的半径r ＝12－22＋62－4×8＝2，故圆的周长为22π. [答案] 22π8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，那么PA 的中点M 的轨迹方程是________． [解析] 设M 的坐标为(x ，y )，由题意可知圆心A 为(2，－1)，P (2x －2,2y ＋1)在圆上，故(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.[答案] x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 三、解答题9．(2013·济宁高一检测)设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)假设此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，求直线AB 的方程．[解] (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2,0)，半径为r ＝3. (2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ，∴k CP ·k ＝－1. 又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.10．(2013·黄冈高一检测)定点O (0,0)，A (3,0)，动点P 到定点O 的距离与到定点A 的距离的比值是1λ，求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线．[解] 设动点P 的坐标为(x ，y )，那么由λ|PO |＝|PA |，得λ(x 2＋y 2)＝(x －3)2＋y 2，整理得：(λ－1)x 2＋(λ－1)y 2＋6x －9＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，方程可化为2x －3＝0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，方程可化为(x ＋3λ－1)2＋y 2＝[3λλ－1]2，即方程表示的曲线是以(－3λ－1，0)为圆心，3λ|λ－1|为半径的圆． 11．(思维拓展题)设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a >0，圆M 为△ABC 的外接圆． (1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由． [解] (1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，∴⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .∴圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0. (2)圆M 的方程可化为(3＋y )a －(x 2＋y 2＋3y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3.∴圆M 过定点(0，－3).(教师用书独具)等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边的一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[思路探究] 用直接法求轨迹方程，但必须考虑点C 是三角形的另一顶点，即A ，B ，C 三点不能共线，这一点容易被忽略，应注意． [自主解答] 设另一端点C 的坐标为(x ，y )．依题意得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式，得：x －42＋y －22＝4－32＋2－52，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如下图，又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合且B ，C 不能为⊙A 的一直径的两个端点．因为点B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)．又因为点B ，C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系．把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．如下图，自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． [解] ∵P 为BC 中点，O 为圆心， ∴OP ⊥BC .设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0(0<x <1)．①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(0≤x ＜1).4.2直线、圆的位置关系4．2.1 直线与圆的位置关系(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)理解直线与圆的三种位置关系．(2)掌握用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法． 2．过程与方法(1)通过直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式． (2)强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观通过学生的自主探究、小组讨论合作，培养学生的团队精神和主动学习的良好习惯． ●重点难点重点：掌握用几何法和解析法判断直线与圆的位置关系；能用直线与圆的方程解决一些简单的实际问题．难点：灵活地运用“数形结合〞、解析法来解决直线与圆的相关问题．重难点突破：以平面几何中直线与圆的三种位置关系为切入点，通过对教材实例的探究，结合解析法解决问题的步骤，使学生的思维实现从“形〞到“数〞的转化，即从“方程〞角度来判断直线与圆的三种位置关系，难点顺利突破．为更好的突出用解析法来解决直线与圆的相关问题的优越性，教师可适当引入案例，以帮助学生实现知识的内化．(教师用书独具)●教学建议本节课既是对直线与圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系的基础．由于直线与圆的三种位置关系学生已经非常熟悉，且从直线与圆的直观感受上，学生已懂得从圆心到直线的距离与圆的半径相比较来研究直线与圆的位置关系，故本节课的核心是“如何用‘数’的关系来判断直线与圆的位置关系〞，引导学生学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础．为此，可类比直线与直线的交点坐标的求法，引导学生用解析法探求直线与圆的位置关系的思想，让学生认识到解析法解决平面几何问题的优越性；在问题解决过程中，提高学生知识水平的同时渗透了“数形结合〞的思想方法，培养学生从多角度思考问题的发散性思维能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何判断直线与圆的位置关系？⇒引导学生类比直线与直线的交点坐标的求法，实现学生思维的转化，即用“数〞的观点来研究几何问题.⇒通过引导学生回答所提问题理解直线与圆的位置关系的判断方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与圆的位置关系的判断方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握圆的切线方程的求法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握圆的弦长求法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读 1.理解直线和圆的三种位置关系．(重点)2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．(重点)3.能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易。

(新课标)高中数学素质章节测试题第四章圆与方程新人教A版必修2

y2 4 与圆 ( x 2) 2 ( y 1)2 9 的位置关系为（
B. 相交
C. 外切
D ．相离）
D. 相离
4. （ 11 安徽）若直线 x y a 过圆 x y
x y 的圆心，则 a 的值为（
）
A. 1 5. （ 08 陕西）直线
B. 1
C. 3
D. 3
3x y m 0 与圆 x2 y2 2x 2 0 相切，则实数 m 等于（
一、选择题答题卡：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案 D
B
B
B
A
C
A
B
A
B
D
C
二、填空题
13. x 2 y 2 2 . 14.
25 ． 15. x 3y 0 ． 16. ____2___ ． 4
三、解答题 17. 解：以 O1O2 所在直线为 x 轴，线段 O1O2 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，如图所示 .
）
A． 3 3 或 3
B． 3 3或 3 3
C． 3 或 3
D ． 3或3 3
6. （ 08 广东）经过圆 x2 2 x y2 0 的圆心 C，且与直线 x y 0 垂直的直线方程是（
）
A. x y 1 0
B.
x y 1 0 C. x y 1 0
7. (09 重庆 ) 圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（ 1， 2）的圆的方程为（
13. （ 10 新课标）圆心在原点上与直线 x y 2 0 相切的圆的方程为
．8 2
．
14. (09 全国Ⅱ ) 已知圆 O： x 2 y 2 5 和点 A（ 1， 2），则过 A 且与圆 O相切的直线与两坐标轴围

高中数学第四章圆与方程 4.14.1.2 圆的一般方程练习

4.1.2 圆的一般方程A 级基础巩固一、选择题1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3 解析：因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1，2)，所以3x ＋y ＋a ＝0过点(－1，2)，即－3＋2＋a ＝0，所以a ＝1.答案：B2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0 解析：由圆心(1，2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，得a ＝0或a ＝2. 答案：C3．方程x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0表示的图形是( )A ．一个圆B ．只有当a ＝0时，才能表示一个圆C ．一个点D ．a ，b 不全为0时，才能表示一个圆解析：(2a )2＋4b 2＝4(a 2＋b 2)，当a ＝b ＝0时，方程表示一个点；当a ≠0或b ≠0时方程表示一个圆．答案：D4．若圆O ：x 2＋y 2＝4和圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝0 解析：因为两圆的圆心坐标为O (0，0)和C (－2，2)，直线l 为线段OC 的垂直平分线，所以直线l 的方程是x －y ＋2＝0.答案：D5．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为方程表示的图形是圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )>0，即－4<a <0.所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a ，在第四象限．答案：D二、填空题6．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________．解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13， r ＝13，l ＝2πr ＝213π.答案：213π7．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．解析：由题意圆心⎝⎛⎭⎪⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D 2＋E 2－4F >0的条件．答案：－108．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．解析：由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1. 所以当－34k 2＝0，即k ＝0时，圆的面积最大，此时圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)三、解答题9．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10. 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.10．若A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)三点的外接圆为⊙M ，点D (m ，3)在⊙M 上，求m 的值．解：设过A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧52＋02＋5D ＋E ×0＋F ＝0，（－1）2＋02－D ＋E ×0＋F ＝0，（－3）2＋32－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5，即所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0. 因为点D (m ，3)在⊙M 上，所以m 2＋32－4m －253×3－5＝0，解得m ＝－3或m ＝7.B 级能力提升1．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10解析：圆M 的圆心为(－2，－1)，由题意知点M 在直线l 上，所以－2a －b ＋1＝0，所以b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5.答案：B2．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是________．解析：r 2＝1＋（m －1）2－4×12m 24＝－m 2－2m ＋24，所以当m ＝－1时，r 2max ＝34，所以S max ＝34π. 答案：34π 3．在△ABC 中，|BC |＝4，|AB |＝3|AC |.(1)建立适当的直角坐标系，求A 的轨迹方程，并说明是何种曲线；(2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)以BC 所在的直线为x 轴，B 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．则B 、C 的坐标分别为B (0，0)，C (4，0)．设A 的坐标为(x ，y )，(y ≠0)．由|AB |＝3|AC |，得x 2＋y 2＝ 3（x －4）2＋y 2，化简得x 2＋y 2－9x ＋18＝0，即A 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋y 2＝94(y ≠0)．所以A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0为圆心，半径为32的圆[除去点(3，0)与(6，0)]． (2)由(1)知，当点A 到BC 的距离的最大值为半径r ＝32时，△ABC 的面积最大，最大值为12|BC |·r ＝12×4×32＝3.。

【人教A版】高中数学同步检测：第四章4.1-4.1.1圆的标准方程(含答案)

第四章圆与方程4.1圆的方程圆的标准方程A 级基础稳固一、选择题1．已知点 P(a，a＋1)在圆 x2＋y2＝25 内部，那么 a 的取值范围是()A．－ 4<a<3B．－ 5<a<4C．－ 5<a<5D．－ 6<a<4分析：由 a2＋(a＋1)2<25 可得 2a2＋2a－24<0，解得－ 4<a<3.答案： A2．圆 x2＋y2＝1 的圆心到直线3x＋4y－25＝0 的距离是 () A．5B．3C．4D．2分析：圆 x2＋y2＝1 的圆心为 (0，0)，因此 d＝|－25|＝5. 32＋42答案： A．若圆(x －a)2＋ (y－b)2＝r2过原点，则 ()3A．a2＋b2＝ 0B．a2＋b2＝r2 C．a2＋b2＋ r2＝0D．a＝0，b＝0分析：由题意得 (0－a)2＋(0－b)2＝r2.即 a2＋b2＝r2.答案： B4．圆 (x－1)2＋(y－1)2＝1 上的点到直线x－y＝2 的距离的最大值是()A．2B．1＋ 2C．2＋2D．1＋2 2 2分析：圆(x－1)2＋－2＝1的圆心为(1，，圆心到直线－(y 1)1)x y＝2 的距离为|1－1－2|2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的＝1＋1点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.答案： B．圆的标准方程为(x －2＋(y－6)2＝a2(a＞．若点，在55)0)M(6 9)圆上，则 a 的值为 ()A.10B．2C.2D．1分析：因为点 M 在圆上，因此 (6－5)2＋(9－6)2＝a2，又由 a＞0，可得 a＝10.答案： A二、填空题6．已知两圆 C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9 和 C2：(x－ 2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为__________．分析： C1，3)， 2 ，－1)，依据两点间距离公式得 1 2＝(5 C (2|CC|（5－2）2＋（ 3＋1）2＝5.答案： 57．圆心为直线 x－y＋2＝0 与直线 2x＋y－8＝0 的交点，且过原点的圆的标准方程是 ____________．x－y＋ 2＝0，分析：由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2，4)进而2x＋y－8＝0，r＝（2－0）2＋（4－0）2＝2 5，故圆的标准方程为 (x－2)2＋(y－4)2＝20.答案： (x－ 2)2＋(y－4)2＝20.8．已知点P(1，－ 5)，则该点与圆x2＋y2＝ 25 的地点关系是______________．分析：因为 12＋(－5)2＝26＞25，故点 P(1，－ 5)在圆的外面．答案：在圆的外面三、解答题9．求经过 A(－1，4)，B(3，2)两点且圆心在y 轴上的圆的方程．解：法一设圆心坐标为(a，b)．因为圆心在 y 轴上，因此 a＝0.设圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2.因为该圆过 A，B 两点，（－ 1）2＋（ 4－b）2＝r2，b＝1，因此解得32＋（ 2－b）2＝r2，r2＝10.因此所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.2－4法二因为线段 AB 的中点坐标为 (1，3)，k AB＝＝－3－（－ 1）1，2因此弦 AB 的垂直均分线方程为y－3＝2(x－1)，即 y＝2x＋1.y＝2x＋1，x＝0，由解得x＝0，y＝1.因此点 (0，1)为圆的圆心．由两点间的距离公式，得圆的半径r＝10，因此所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.10．求圆 (x－1)2＋(y－2)2＝1 对于直线 y＝ x 对称的圆的方程．解：因为点 P(x，y)对于直线 y＝x 对称的点为 P′(y，x)，因此 (1，2)对于直线 y＝x 对称的点为 (2，1)，因此圆 (x－1)2＋(y－2)2＝1 对于直线y＝x 对称的圆的方程为 (x －2)2＋(y－1)2＝1.B 级能力提高1．过点 P(1，1)的直线将圆形地区 {(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝ 0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0分析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1，1)的直径所在直线的斜率为1，因此所求直线的斜率为－ 1，方程 x＋y－2＝0.答案： A2．若圆 C 与圆 (x＋2)2＋(y－1)2＝ 1 对于原点对称，则圆 C 的方程是 ________________．分析：因为点 (－2，1)对于原点的对称点为 (2，－ 1)，因此圆 C 的方程为 (x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案： (x－ 2)2＋(y＋1)2＝13．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝4－x2有公共点，试求 b 的取值范围．解：如图，在座标系内作出曲线y＝4－x2(半圆 )．当直线 y＝x4－x2相切时，|b|＋b 与半圆 y＝2＝2，因此 b＝2 2.当直线 y＝x＋b 过 (2，0)时，b＝－ 2.直线 l1：y＝x－2，直线 l 2：y＝x＋2 2.当直线 l ：y＝x＋b 夹在 l 1与 l2之间 (包含 l1，l 2)时， l 与曲线 y＝4－x2有公共点，因此截距 b 的取值范围为： [ －2，2 2]．。