山东省淄博市淄川中学高二数学下学期期中试题
山东省淄博市淄川第一中学高二数学下学期期中试题 理
山东省淄博市淄川第一中学高2014级第二学期期中考试数学试卷（理科）时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、1()f x x -= 则1()2'f =（ ）A 、1B 、4-C 、-1D 、0 2、若i 为虚数单位，m ，n R ，且=n+i 则m+n=（ ） A 、-2B 、1C 、2D 、33、有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x = 是函数()f x 的极值点；因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ）A 、小前提错误B 、推理形式错误C 、大前提错误D 、结论正确4、定积分11()-=⎰ex dx （ ）A 、211e-+ B 、1 C 、e D 、-1 5、一物体的运动方程为s ＝sin2t ＋3t+1，则它的速度方程为( ) A 、v ＝-2cos2t ＋3 B 、v ＝2sin2t +3 C 、v ＝2cos2t ＋3 D 、v ＝2cos2t ＋3t+16、用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A 、1＋12＋13＜2B 、1＋12＋13＜3C 、1＋12<2D 、1＋12＋13＋14＜37、若25p a a =++ ，34q a a =++，0a ≥，则p 、q 的大小关系是（ ）A 、p q <B 、p q >C 、p q =D 、由a 的取值确定8、有一串彩旗，▼代表蓝色，▽代表黄色。
两种彩旗排成一行如下所示：▽▼▽▼▼▽▼▼▼▽▼▽▼▼▽▼▼▼▽▼▽▼▼▽▼▼▼… 那么在前200个彩旗中有（ ）个黄旗。
A 、111B 、89C 、133D 、67 9、下面给出了四个类比推理：（1）由“若,,a b c R ∈则()()ab c a bc =”类比推出“若a,b,c 为三个向量则(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)”（2）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”“a,b 为实数，（3）220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若22121200z z z z +===则”（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”。
山东省淄博市临淄中学2023-2024学年高二下学期期中模块检测数学试题(含答案)
临淄中学2023-2024学年高二下学期期中模块检测数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1．等比数列的各项均为正数，，则（ ）A ．12B ．10C ．5D ．2．丹麦数学家琴生（Jensen ）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．陕西历史博物馆秦汉馆以“秦汉文明”为主题，采用“大历史小主题”展览叙述结构，将于2024年5月18日正式对公众开放．届时，将有6名同学到三个展厅做志愿者，每名同学只去1个展厅，主展厅“秦汉文明”安排3名，遗址展厅“城与陵”安排2名，艺术展厅“技与美”安排1名，则不同的安排方法共有（ ）A ．360种B ．120种C ．60种D ．30种4．函数在上的最小值为 A ．B ．C ．D ．2e5．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若函数在上恰有2个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，为正整数且，则下列等式正确的个数有（ ）{}n a 564718a a a a +=3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=32log 519()f x (),a b ()f x '()f x '(),a b ()f x ''(),a b ()0f x ''>()f x (),a b ()0,2π()sin f x x x =-2()sin f x x x=+()ln f x x x=+()ln x f x e x x=-+()x2e f x x 3=-[)2,∞+()3e 62e3e 4()f x ()f x 'x ∈R ()()1f x f x '-<()02022f =()12023e x f x +>(),0∞-()0,∞+1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(),1-∞()21ln 2f x x x ax =+-1,32⎛⎫⎪⎝⎭52,2⎛⎫⎪⎝⎭52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭m n 1n m >>（1）．（2）．（3）．（4）A ：4个B ：1个C ：2个D ：3个8．已知函数，对于任意且，都有，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（每题6分，共18分，有选错不得分）9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A ．常数项是24B ．第4项系数最大C ．第3项是D ．所有项的系数的和为110．有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（ ）A ．6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240B ．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240C ．6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种D ．6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）A ．函数存在两个不同的零点B ．函数既存在极大值又存在极小值3588C C=3377A C 4!=11C (1)C m m n n m n --=-11A A A m m mn n n m -++=()2e xf x x =-()12,0,x x ∈+∞12x x ≠()()2121f x f x a x x ->-(),22ln 2-∞-(],22ln 2-∞-()22ln 2,+-∞1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭()412x x -232x -A B C ()21xx x f x e +-=()f x ()f xC ．当时，方程有且只有两个实根D ．若时，，则的最小值为三、填空题（每题5分，共15分）12．已知，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|=13．由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数.如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第个数14．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是．四、解答题（共77分）15．（13分）已知数列满足（1）证明:数列是等差数列，并求数列的通项公式;（2）设为数列的前项和，证明16．（15分）已知函数，．(1)若函数在上单调递减，求a 的取值范围：(2)若直线与的图象相切，求a 的值．17．（15分）已知数列的前项和满足．(1)求的通项公式；(2)设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围．0e k -<<()f x k =[),x t ∈+∞()2max 5f x e =t 25250125(12)x a a x a x a x -=++++ ()21e xax x ≤+[)1,x ∞∈+a {}n a ()*1111,202n n n n a a a a a n N ++=-+=∈1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a n S {}1n n a a +n 14n S <()2ln f x x ax x =+-R a ∈()22y f x x =-(]0,2e y x =()f x {}n a n n S 23n n S a +={}n a {}n b ()1n n b n a =+{}n b n n T *n ∈N 154λ≥+n n T a λ18．（17分）已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，.(1)求的通项公式;(2)求.19．（17分）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.高二期中数学试题参考答案：1．B 2．B 3．C 4．A 5．A 6．A 7．C 8．B 9．AD 10．ACD 11．ABC 12．243{}n a 2,9,n n n a n b a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数,n n S T {}{},n n a b n 4328,16S T =={}n a n T ()()2ln R f x mx x x m =--∈()f x 0x >()22f x x >m13. 8514．15．【详解】（1）由题对两边同时除以得又，所以是首项为，公差为的等差数列，所以所以（2）由所以因为所以即16．(1)(2)17．(1)(2)18．【详解】（1）设等差数列的公差为，，(]0,3e 1120n n n n a a a a ++-+=1n n a a +1112n na a +-=112a =1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭22()12212nn n a =+-=12n a n=()()11111114141n n a a n n n n +⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭()1111111111114223141441n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=-⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭*n ∈N ()1114414n -<+14n S <(,-∞e 1-113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭7,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦{}n a d 2,9,n n na nb a n ⎧=⎨-⎩ 为奇数为偶数112212,99,b a b a a d ∴==-=+-()331122224, b a a d a d ==+=+4328,16,S T ==，整理得，解得；（2）当n 为偶数时，；当为奇数时，，，当时，上式也成立；.19．【详解】（1）由题意知的定义域为，，当时，，在上单调递减； 当时，令，，故方程有两个不同的实数根，11114628292416a d a a d a d +=⎧∴⎨++-++=⎩1123145a d a d +=⎧⎨+=⎩11,4,a d =⎧⎨=⎩43n a n ∴=-123n nT b b b b =++++ ()1312n a a a -=+++ ()24999n a a a +-+-++- ()11222n na a -+=⋅+()22922n n a a n ⎡⎤+⎢⎥-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦[14(1)3]2n n =+--+(54318)4nn +--237n n =-n 3n ≥112n n n n nT T b T a --=+=+23(1)7(1)2(43)n n n =---+-2354n n =-+1n =2237,354,n n n n T n n n ⎧-∴=⎨-+⎩为偶数为奇数()f x (0,)+∞()212121mx x f x mx x x--'=--=0m ≤()0f x '<()f x (0,)+∞0m >2210mx x --= 180m ∆=+>2210mx x --=分别为，，当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由可得，即，设，，则，设，，因为，则在上单调递减，且，所以当时，，即，所以在上单调递增，当时，，即，所以在上单调递减，所以的最大值为，所以，即的取值范围为.1x =2x =10x <20x >20x x <<()0f x '<()f x 2x x >()0f x ¢>()f x 0m ≤()f x (0,)+∞0m >()f x )+∞()22f x x >22ln 2mx x x x -->21ln 2x m x x >++()21ln 2x g x x x =++()0,x ∈+∞()233112ln 12ln x x x g x x x x --+-'=-+=()12ln h x x x =-+-()0,x ∈+∞()210h x x'=--<()h x (0,)+∞()10h =()0,1x ∈()0h x >()0g x '>()g x ()0,1(1,)x ∈+∞()0h x <()0g x '<()g x (1,)+∞()g x ()13g =3m >m (3,)+∞。
2016-2017年山东省淄博市淄川中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
0.05 3.841
0.01 6.635
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名 用户中，从评分不低于 80 分的用户中任意抽取 2 名用户，求 2 名用户中评分 小于 90 分的概率． 21． （12 分）已知函数 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明 过程. 17． （12 分）若函数 f（x）＝ax2+2x﹣ lnx 在 x＝1 处取得极值． （1）求 a 的值； （2）求函数 f（x）的单调区间及极值． 18． （12 分）中国柳州从 2011 年起每年国庆期间都举办一届国际水上狂欢节， 到 2016 年已举办了六届，旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，吸引了不少 外地游客到柳州，这将极大地推进柳州的旅游业的发展，现将前五届水上狂 欢节期间外地游客到柳州的人数统计表如表： 份（x） 水上狂欢节届编 号x 外地游客人数 y （单位： 十万） （1）求 y 关于 x 的线性回归方程 ＝ x+ ； （2）旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，每位外地游客可为本市增加 100 元
12． （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，若 f（x）的导函数 f'（x）满足 f' （x）＜x2+1，则不等式 f（x）＜ x3+x 的解集为（ A． B． C． （0，+∞） ） D．[﹣∞，3）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13． （5 分）命题“ ”的命题的否定为 ．
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2011 年 1
2012 年 2
2013 年 3
2014 年 4
2015 年 5
0.6
山东省淄博市淄川中学高二数学下学期期中试题 理
山东省淄博市淄川中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理一、选择题1.已知a R ∈,i 是虚数单位，若4z z 3=•-=，i a z ，则a=（A ）1或-1 （B （C ）（D2.设有下面四个命题1p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p3．已知函数()()()21221f x f x x f '=++，则()2f '的值为( )A ．6-B ．4-C ．2-D ．04.若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞）5．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y ＝cos x (x ∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R)是周期函数． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③① D ．③②①6.621(1)(1)x x++展开式中3x 的系数为 A ．15B ．26C ．30D ．357．若函数()2ln f x kx x =-在区间()+∞,2上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞8.安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．120种B ．180种C ．240种D ．36种 9．已知()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<,其导函数()f x '的图象如图所示,则()πf 的值为A B ． D ．10．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( ) A ．[0．4,1] B ．(0,0．4] C ．(0,0．6] D ．[0．6,1)11. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =,当0x >时，有2'()()0xf x f x x -<恒成立，则不等式0)(3>x f x 的解集为 （ ）A ．(2,0)(2,)-+∞UB ．(2,0)(0,2)-UC ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．(,2)(0,2)-∞-U12．若存在过点O(0,0)的直线l 与曲线x x x x f 23)(23+-=和a x y +=2都相切， 则a 的值是( )．A ．1B ．164C ．1或164D ．1或－164二、填空题13．设随机变量X 的概率分布列为5,4,3,2,1,15)(===k kk X P ，则)251(<<X P π= 。
山东省淄博市高二下学期数学期中考试试卷
山东省淄博市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. (共12题；共60分)1. （5分） (2020高二下·天津期中) 4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（）A . 81B . 64C . 24D . 162. （5分） (2017高二下·沈阳期末) 定义在R上的可导函数f(x),f ′(x)是其导函数.则下列结论中错误的是（）A . 若f(x)是偶函数,则f ′(x)必是奇函数B . 若f(x)是奇函数,则f ′(x)必是偶函数C . 若f ′(x)是偶函数,则f(x)必是奇函数D . 若f ′(x)是奇函数,则f(x)必是偶函数3. （5分）离散型随机变量X的分布列为P（X=k）=pkq1﹣k（k=0，1，p+q=1），则EX与DX依次为（）A . 0和1B . p和p2C . p和1﹣pD . p和p（1﹣p）4. （5分） (2019高二下·拉萨月考) 从5名男生和4名女生中选出4人参加比赛，如果4人中须既有男生又有女生，选法有（）种A . 21B . 120C . 60D . 915. （5分）从6名男同学，3名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A .B .C .D .6. （5分）对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）A .B .C .D .7. （5分）在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（）A . 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B . 1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C . 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D . 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有8. （5分） (2016高二下·吉林期中) 在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（）A .B .C .D .9. （5分）某班选派6人参加两项志愿者活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有（）A . 50种B . 70种C . 35种D . 55种10. （5分）定义:如果函数在区间上存在,满足则称函数在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .11. （5分） (2015高二下·张掖期中) 下列说法正确的是（）A . 类比推理是由特殊到一般的推理B . 演绎推理是特殊到一般的推理C . 归纳推理是个别到一般的推理D . 合情推理可以作为证明的步骤12. （5分）函数的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省淄博市高二下学期数学期中联考试卷
山东省淄博市高二下学期数学期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）若直线和互相垂直，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（）A .B .C .D .3. （2分）已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），f4（x）=f3′（x），…，fn（x）=fn﹣1′（x），则f2016（x）等于（）A . sinxB . ﹣sinxC . cosxD . ﹣cosx4. （2分）曲线y=2x-lnx在点(1,2)处的切线方程为（）A . y=-x-1C . y=x+1D . y=x-15. （2分） (2017高二下·遵义期末) 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）=f（x﹣2），f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（）A . （0，+∞）B . （1，+∞）C . （4，+∞）D . （﹣2，+∞）6. （2分）以下说法错误的是（）A . 命题“若“﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则﹣3x+2≠0”B . “x=2”是“﹣3x+2=0”的充分不必要条件C . 若命题p：存在x0∈R，使得﹣x0+1＜0，则￢p：对任意x∈R，都有﹣x+1≥0D . 若p且q为假命题，则p，q均为假命题7. （2分）如图，在正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成的角的大小是（）A .B .C .8. （2分） (2016高一上·江北期中) 定义在R上的偶函数f（x），在（0，+∞）上是增函数，则（）A . f（3）＜f（﹣4）＜f（﹣π）B . f（﹣π）＜f（﹣4）＜f（3）C . f（3）＜f（﹣π）＜f（﹣4）D . f（﹣4）＜f（﹣π）＜f（3）9. （2分） (2019高三上·上海期中) 已知、、2成等差数列，则的轨迹表示的图象为（）A .B .C .D .10. （2分）已知E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是（）A .B .C .D .二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2017·长宁模拟) 设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为________．12. （1分）(2017·镇江模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线 =l 的右焦点，则双曲线的离心率为________．13. （1分） (2016高三上·长春期中) 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图的曲线部分是四分之一圆弧，则该几何体的体积为________．14. （1分）(2019·湖南模拟) 已知双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，则 ________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2019高一下·通榆月考) 三棱柱ABC－A′B′C′的底面是边长为1 cm的正三角形，侧面是长方形，侧棱长为4 cm，一个小虫从A点出发沿表面一圈到达A′点，则小虫所行的最短路程为________cm.16. （1分） (2015高二上·金台期末) 已知椭圆过A（﹣3，0）和B（0，4）两点，则椭圆的标准方程是________．17. （1分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为________四、解答题 (共5题；共55分)18. （10分） (2016高一上·南京期中) 已知f（x）= ，x∈R．（1）求证：对一切实数x，f（x）=f（1﹣x）恒为定值．（2）计算：f（﹣6）+f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）．19. （10分）已知圆，直线．（1）求证：对任意的，直线与圆恒有两个交点；（2）求直线被圆截得的线段的最短长度，及此时直线的方程．20. （10分）(2020·吉林模拟) 在直四棱柱中，已知，， // ，为上一点，且．（1）求证： //平面；（2）求点到平面的距离．21. （15分）如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为的直角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过作直线交椭圆于两点，使，求的面积.22. （10分）设．（1）求使不等式成立的x的取值集合；（2）先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移个单位；最后向下平移个单位得到函数的图象．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共55分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
山东省淄博市淄川中学2016-2017学年高二下学期期中数
山东省淄博市淄川中学2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题：1、命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A、存在x0∈R，使得x02＜0B、对任意x∈R，使得x2＜0C、存在x0∈R，都有D、不存在x∈R，使得x2＜02、函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、已知F是双曲线C：y2﹣mx2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A、B、C、D、4、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260B、2025C、2520D、50405、的值是（）A、e2B、e2﹣1C、e2﹣2D、e2﹣36、已知命题p：“1，b，4”成等比数列”，命题q：“b=2”，那么p成立是q成立的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分又不必要条件7、若的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A、1B、2C、3D、48、已知△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，则△ABC的周长是（）A、8B、8C、16D、249、张家的3个鸡仔钻进了李家装有3个鸡仔的鸡笼里，现打开笼门，让鸡仔一个一个地走出来，若第一个走出来的是张家的鸡仔，那么第二个走出的也是张家的鸡仔的概率是（）A、B、C、D、10、设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016的值为（）A、﹣log20172016B、﹣1C、log20172016﹣1D、111、若函数f（x）= x4+ ax2+bx+d的导函数有三个零点，分别为x1，x2，x3且满足：x1＜﹣2，x2=2，x3＞2，则实数a的取值范围是（）A、（﹣∞，﹣1）B、（﹣∞，﹣3）C、（﹣7，+∞）D、（﹣∞，﹣12）二、填空题：12、若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．13、如果随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则P等于________．14、设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）= ，则P（﹣1＜ξ＜1）=________．15、若函数y=f（x）的导数y′=f′（x）仍是x的函数，就把y′=f′（x）的导数y″=f″（x）叫做函数y=f（x）二阶导数，记做y（2）=f（2）（x）．同样函数y=f（x）的n﹣1阶导数的导数叫做y=f（x）的n阶导数，表示y（n）=f（n）（x）．在求y=ln（x+1）的n阶导数时，已求得，，根据以上推理，函数y=ln（x+1）的第n阶导数为________．三、解答题：16、如图，在侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC= ，BC=2，AA1= ，点P为CC1的中点．(1)求证：A1C⊥平面ABP；(2)求平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值．17、已知函数f（x）=e x﹣mx，(1)求函数f（x）的单调区间．(2)若函数g（x）=f（x）﹣lnx+x2存在两个零点，求m的取值范围．18、盒子中有大小相同的球6个，其中标号为1的球2个，标号为2的球3个．标号为3的球1个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）．记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ．(1)求随机变量ξ的分布列：(2)求随机变量ξ的期望Eξ．19、甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会（每人抢答机会均等），答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求两队得分之和大于4的概率．20、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．21、（2016•德州二模）已知函数f（x）= ax2﹣（a﹣1）x﹣lnx（a∈R且a≠0）．(1)求函数f（x）的单调递增区间；(2)记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①x0= ；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值和谐切线”．当a=2时，函数f（x）是否存在“中值和谐切线”，请说明理由．答案解析部分一、<b >选择题：</b>1、【答案】A【考点】全称命题，命题的否定【解析】【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得：命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得”．故选A．【分析】根据全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题：“∃x0∈M，￢p（x）”即可得出．2、【答案】B【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】【解答】解：如图，不妨设导函数的零点从小到大分别为x1，x2，x3，x4．由导函数的图象可知：当x∈（a，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（x2，x3）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x4，b）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，由此可知，函数f（x）在开区间（a，b）内有两个极大值点，是当x=x1，x=x4时函数取得极大值．故选B．【分析】根据题目给出的导函数的图象，得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号，由此判断出原函数在各个区间上的单调性，从而判断出函数取得极大值的情况．3、【答案】A【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线C：y2﹣mx2=3m（m＞0）即为﹣=1，可得a2=3m，b2=3，c2=a2+b2=3m+3，设F（0，），一条渐近线方程为y x，则点F到C的一条渐近线的距离为= ．故选：A．【分析】化双曲线方程为标准方程，求得焦点F的坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．4、【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：分析题目先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙丙任务．故可列出：C104•C42•A22=2520．故选C．【分析】首先分析题目求不同的选法种数，故可先从10人中选出4个人，再在这4个人中选两个从事甲任务，剩下的两个人从事乙或丙任务，即可列出式子，求解得到答案．5、【答案】C【考点】定积分【解析】【解答】解：=（x2﹣lnx）|1e=e2﹣2 故选C 【分析】由题设条件，求出被积函数的原函数，求出定积分的值即可6、【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：若1，b，4成等比数列，则b2=1×4=4，解得b=±2，所以p成立是q 成立的必要不充分条件．故选B．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．7、【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1= =，由于x3项的系数为20，则12﹣3r=3，解得，r=3，即有=20，即有ab=1，则a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b，取得最小值2．故选B．【分析】运用二项式展开式的通项公式，化简整理，再由条件得到方程，求出r=3，进而得到ab=1，再由重要不等式a2+b2≥2ab，即可得到最小值．8、【答案】C【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】解：△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，由椭圆的定义可得：△ABC的周长是4a=4×4=16．故选：C．【分析】利用椭圆的定义转化求解即可．9、【答案】A【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：若第一个走出来的是张家的鸡仔，则还有2个张家的鸡仔，3个李家的鸡仔，故走出的是张家的鸡仔的概率p= ，故选：A．【分析】5只鸡仔中有2个满足条件，从而求出满足条件的概率即可．10、【答案】B【考点】对数的运算性质，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由y=x n+1，得y′=（n+1）x n，∴y′|x=1=n+1，∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），取y=0，得x n=1﹣= ，∴x1x2…x2016= × ×…× = ，则log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016=log2017（x1x2…x2016）=log2017=﹣1．故选：B．【分析】求出函数y=x n+1（n∈N*）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得在（1，1）处的切线方程，取y=0求得x n，然后利用对数的运算性质得答案．11、【答案】D【考点】函数零点的判定定理【解析】【解答】解：∵f（x）= x4+ ax2+bx+d，∴f′（x）=x3+ax+b；又∵f′（x）=x3+ax+b有三个零点，且x1＜﹣2，x2=2，x3＞2，故f′（x）=（x﹣2）（x2+2x+a+4）；故x2+2x+a+4=0的两根为x1＜﹣2，x2＞2，故只需使22+2×2+a+4＜0，解得，a＜﹣12；故选D．【分析】首先求导f′（x）=x3+ax+b；再由题意可因式分解成f′（x）=（x﹣2）（x2+2x+a+4）；从而可得x2+2x+a+4=0的两根为x1＜﹣2，x2＞2，从而解得．二、<b >填空题：</b>12、【答案】a＞2或a＜﹣1【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】【解答】解：函数的导数为f'（x）=3x2+6ax+3（a+2）．因为函数f（x）既有极大值又有极小值，则f'（x）=0有两个不同的根．即判别式△＞0，即36a2﹣4×3×3（a+2）＞0，所以a2﹣a﹣2＞0，解得a＞2或a＜﹣1．故答案为：a＞2或a＜﹣1．【分析】先求导，利用函数既有极大值又有极小值，则说明f'（x）=0有两个不同的根，然后确定a的取值范围．13、【答案】【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，∴，∴7（1﹣p）=6，1﹣p=解得p= ．故答案为：．【分析】由随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，知，由此能求出P的值．14、【答案】【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】解：∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），∴正态曲线关于x=0对称，∵P（ξ＞1）= ，∴P（1＞ξ＞0）= ，∴P（﹣1＜ξ＜1）= ，故答案为：．【分析】随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），知正态曲线关于x=0对称，根据P（ξ＞1）= ，得到P（1＞ξ＞0），再根据对称性写出要求概率．15、【答案】【考点】导数的运算【解析】【解答】解：求y=ln（x+1）的n阶导数时，已求得，，根据以上推理，函数y=ln（x+1）的第n阶导数为．故答案为：．【分析】根据导数的计算和归纳推理即可求出答案．三、<b >解答题：</b>16、【答案】（1）证明：在侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，∵AB=1，AC= ，BC=2，AA1= ，点P为CC1的中点，∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC，又AA1∩AC=A，∴AB⊥A1C，在矩形ACC1A1中，A1C= =3，AP= = ，在Rt△A1CA中，sin∠A1CA= = ，在Rt△PAC中，cos = ，∴sin∠A1CA=cos∠PAC，∴∠PAC+∠A1CA=90°，∴A1C⊥AP，∵AP∩AB=A，∴A1C⊥平面ABP（2）解：由（1）知AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，以A为坐标原点，以AB为x轴，AC 为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），P（0，，），=（1，0，0），，设平面A1B1P的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（0，1，），由（1）知平面ABP的一个法向量为=（0，﹣，），∴cos＜＞= = = ，∴sin＜＞= = ．即平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值为．【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）推导出AA1⊥AB，AB⊥AC，从而AB⊥A1C，再推导出A1C⊥AP，由此能证明A1C⊥平面ABP．（2）以A为坐标原点，以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值．17、【答案】（1）解：f′（x）=e x﹣m，若m≤0，则f′（x）＞0恒成立，f（x）在R递增，无递减区间；m＞0时，由f′（x）=0，得：x=lnm，令f′（x）＞0，解得：x＞lnm，令f′（x）＜0，解得：x＜lnm，故f（x）在（﹣∞，lnm）递减，在（lnm，+∞）递增（2）解：由g（x）=f（x）﹣lnx+x2=0，得m= ，令h（x）= ，则h′（x）= ，观察得x=1时，h′（x）=0．当x＞1时，h′（x）＞0，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，∴h（x）min=h（1）=e+1，∴函数g（x）=f（x）﹣lnx+x2存在两个零点时，m的取值范围是（e+1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性，根的存在性及根的个数判断【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）由g（x）=f（x）﹣lnx+x2=0，分离出m，令h（x）= ，由此能求出函数g（x）=f （x）﹣lnx+x2存在两个零点时m的取值范围．18、【答案】（1）解：由题意可得，随机变量ξ的取值是2、3、4、5、6．则随机变量ξ的分布列如下：P（ξ=2）=P（ξ=3）=P（ξ=4）= ，P（ξ=5）= = ，P（ξ=6）= = ，∴变量ξ的分布列是：（2）解：随机变量ξ的期望Eξ=2× +3× +4× +5× +6× =【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）首先分析题目已知第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球．记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ．则可分析得到随机变量ξ可以取值是2、3、4、5、6．然后分别求出概率即可得到分布．（2）由（1）的分布列，再根据期望公式求出期望值即可．19、【答案】解：（Ⅰ）6个选手中抽取两名选手共有=15种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有：=6种结果，用A表示事件：“从两队的6个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队”P（A）= = ．故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为．（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且～B（3，），P（ξ=0）= ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，P（ξ=3）= （）3= ．∴ξ的分布列为：ξ的数学期望E（ξ）=0× +1× +2× +3× =2．（Ⅲ）用B表示事件：两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，用A1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．P（A1）= （+ + ）+ = ，用A2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，则P（A2）= = ，P（B）=P（A1）+P（A2）= =【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（Ⅰ）6个选手中抽取两名选手共有种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有种结果，由此能求出从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率．（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且～B（3，），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）用B表示事件：两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，用A1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．用A2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，由P（B）=P（A1）+P（A2），能求出两队得分之和大于4的概率．20、【答案】解：（I）∵小矩形的面积等于频率，而频率之和等于1．∴（0.07+x+0.04+0.02+0.01）×5=1，解得x=0.06．500名志愿者中，年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）．（II）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．故X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）= = ，= ，，= ．故X的分布列为∴EX= = =【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（I）根据小矩形的面积等于频率，而频率之和等于1．即可得出x，再用频率×总体容量即可．（II）分层抽样的方法，从100名志愿者中选取20名；则其中年龄“低于35岁”的人有20×（0.01+0.04+0.07）×5=12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．X的可能取值为0，1，2，3，再利用超几何分布即可得出，再利用数学期望的计算公式即可得出．21、【答案】（1）解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），由已知得，f′（x）= ，（i）当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＞1；令f′（x）＜0，解得0＜x＜1．所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；（ii）当a＜0时，①当﹣＜1时，即a＜﹣1时，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜1；∴函数f（x）在（﹣，1）上单调递增；②当﹣=1时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，无增区间；③当﹣＞1时，即﹣1＜a＜0时，令f′（x）＞0，解得1＜x＜﹣∴函数f（x）在（1，﹣）上单调递增；综上所述，（i）当a＞0时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；（ii）当a＜﹣1时，函数f（x）在（﹣，1）上单调递增；（iii）当a=﹣1时，函数f（x）无单调递增区间；（iv）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（1，﹣）上单调递增；（2）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f （x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则y1= ﹣x1﹣lnx1，y2= ﹣x2﹣lnx2．k AB= =x2+x1﹣1﹣，曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率：k=f′（x0）=f′（）=x1+x2﹣1﹣，x2+x1﹣1﹣=x1+x2﹣1﹣，∴= ，即ln ﹣=0，令t= ＞1设h（t）=lnt﹣，则h′（t）= ＞0，∴h（t）在（0，+∞）递增，∴h（t）＞h（1）=0，故h（t）=0在（0，+∞）无解，假设不成立，综上所述，假设不成立，所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（2）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．。
山东省淄博市淄博中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含解析)
淄博中学2023-2024学年第二学期高二期中考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分，只有一个正确选项）1．已知函数，则（ ）A ．B ．1CD2．是等差数列a 的前项和，，，则首项（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．在数列中，若，则（ ）A ．B ．2C ．1D ．4．某同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前六个数字3、1、4、1、5、9进行某种排列得到密码，要求两个1必须相邻，那么可以设置的不同密码有（ ）A ．120B ．240C ．60D ．305．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ）A ．15B ．17C ．18D ．196．设，函数的导函数是，若是奇函数，则曲线在处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，用四种不同颜色给矩形A 、B 、C 、D 涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（）A ．12种B ．24种C ．48种D ．72种8．已知函数在区间上单调递减，则a 的值可能为（）()cos f x x =066lim x f x f xππ∆→⎛⎫⎛⎫+∆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∆12-n S {}n a 3412a a +=749S =1a ={}n a 11a =-()1121n n a n a -=≥-2024a =1-12{}n a {}n b 8b =a R ∈()()4323f x x a x ax =-++()f x '()f x '()y f x =1x =31y x =-+2y x=-24y x =+24y x =-+()ln x f x ae x =-()1,2A ．B ．C ．D ．e二、多选题（每小题6分，共18分，选错得0分）9．下列求导运算正确的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法D ．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法11．已知数列的通项公式为，，记为数列的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．若，则D ．若，则三、填空题（每小题5分，共15分）12．函数在上的最大值为______．13．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n 项积，则取最大值时，n 的值为______．14．已知函数有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．四、解答题（本大题共77分）15．（13分）某医院有内科医生7名，外科医生5名，现选派4名参加赈灾医疗队，其中，（1）甲、乙有且仅有一人参加，有多少种选法？2e2e-3e-()()cos 21f x x =+()()2sin 21f x x '=+()23x f x e -+=()232x f x e -+'=-()x x f x e =()1x xf x e +'=()lg f x x x =()1lg ln10f x x '=+{}n a ()214n n a π-=tan n n b a =n S {}n a ()11n n b -=-()1123112n n b b b b -+-++++=n n n c a b =()12314nnn c c c c π-++++=n n n d b S =()2123224n d d d d n n π++++=-+ ()ln f x x x =-(]0,e {}n a 164a =12q =n T {}n a n T ()()ln 2f x x ax a =-+∈R（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？16．（15分）设函数，曲线在点处的切线斜率为1．（1）求a 的值；（2）设函数，求的最小值；17．（15分）已知等比数列中，且是和的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若函数，满足，求的前n 项和．18．（17分）已知数列的前n 项和为，满足．（1）求的通项公式；（2）删去数列的第3i 项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的前n 项和为，请写出的前6项，并求出和．19．（17分）已知函数（，e 为自然对数的底数）．（1）若在处的切线与直线垂直，求a 的值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，求证：．淄博中学2023-2024学年第二学期高二期中考试数学试题答案一、单选题（每小题5分，共40分，只有一个正确选项）1．【答案】，选A 2．【答案】得所以选A3．【答案】，，，所以周期为3，所以选D ()()()2ln 1f x x x ax =++-()y f x =()()0,0f ()()g x f x ='()g x {}n a 12a =22a 3a 14a {}n a {}n b ()22n n b n a n N *=+∈{}n b n S {}n a n S 22n n S a =-{}n a {}n a 1,2,3,i = {}n b {}n b n T {}n b 6T 2n T ()()21x f x axe x =-+a ∈R ()f x 0x =y ax =()f x 21a e≥()2ln 2f x x x x ≥---()sin f x x =-'()016limsin 662x f x f x f x πππ∆→⎛⎫+∆- ⎪⎛⎫⎝'⎭==-=- ⎪∆⎝⎭3471249a a S +=⎧⎨=⎩112a d =⎧⎨=⎩11a =-212a =32a =41a =-{}n a 2024212a a ==4．【答案】，选A5．【答案】前几项为3、5、7、9、11，所以，所以，所以选B 6．【答案】因为是奇函数所以所以所以切点为所以所以选B7．【答案】选C 8．【答案】因为，所以，因为在区间上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意；当时，则在上恒成立，令，，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，故，即，选C 二、多选题（每小题6分，共18分，选错得0分）9．【答案】A ．B ．55120A ={}n b 21n b n =+817b =()()324332f x x a x ax +'=-+()f x '3a =-()423f x x x =-()1,2-()12f '=-2y x =-432248⨯⨯⨯=()()ln 0x f x ae x x =->()1x f x ae x'=-()f x ()1,2()10xf x ae x =-≤'()1,21x a xe≤()1,20a ≤10xxe >()1,20a >1x xe a≥()1,2()x g x xe =()1,2x ∈()()10x g x x e =+>'()1,2()g x ()1,2()()222g x g e <=212e a ≥2102a e<≤()()2sin 21f x x =-+'()232x f x e -+'=-C ．D ． 选BD 10．【答案】A ．B ．C ．D ．选ABD11．【答案】由可知是以，的等差数列。
2019-2020学年山东省淄博市淄川中学高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省淄博市淄川中学高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =I ( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可求出A B I ，从而得出()Z A B ⋂． 【详解】解：因为{}5217B x x =<< 所以517|22B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭；又{}18A x x =-<<∴5|82A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭I ；所以()3A B ∈I ，()4A B ∈I ，()5A B ∈I ，()6A B ∈I ，()7A B ∈I()5Z A B ∴⋂=．故选：D ． 【点睛】考查描述法的定义，交集的运算，理解()Z M 的定义，属于基础题．2．已知a ，b 都是实数，那么“1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“22a b >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 由“（12）a ＜（12）b 得a ＞b ，当a ＝1，b ＝﹣1时，满足a ＞b ，但a 2＞b 2不成立，即充分性不成立，当a ＝﹣1．b ＝0时，满足a 2＞b 2，但“（12）a ＜（12）b 不成立，即必要性不成立， 则“（12）a ＜（12）b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件， 故选D ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键． 3．已知下表为x 与y 之间的一组数据，若y 与x 线性相关，则y 与x 的回归直线y bx a =+必过点（ ）A ．()2,2B ．()1.5,0C ．()1,2D ．()1.5,4【答案】D【解析】根据回归直线过样本的中心点(),x y ，求出x 和y 的值，即可得解. 【详解】由表格中的数据可得0123 1.54x +++==，135744y +++==.因此，回归直线y bx a =+必过点()1.5,4. 故选：D. 【点睛】本题考查回归直线所过定点的求解，考查计算能力，属于基础题.4．下列函数中与函数2xy =的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是（ ） A ．3log y x = B ．31y x =- C ．1y x=-D ．21y x =-【答案】A【解析】2xy =为偶函数且在(),0-∞上单调递减，根据偶函数排除B 和C ；根据单调性排除D . 【详解】由22x x -=可知函数为偶函数，且当0x <时，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数单调递减A 选项：33log log x x -=，为偶函数；当0x >时，3log y x =，此时函数单调递增，根据偶函数对称性可知，函数在(),0-∞上单调递减，符合题意；B 选项：()3311x x --=--，可知函数为非奇非偶函数，不符合题意；C 选项：11x x-=-，可知函数为奇函数，不符合题意； D 选项：21y x =-在(),0-∞上单调递增，不符合题意.本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判定，属于基础题.5．设()929012913x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0129a a a a +++⋅⋅⋅+的值为( ) A ．94 B ．93 C ．92 D ．92-【答案】A【解析】由()913x -的展开式的通项为()193rrr T C x +=-，可得10a <，30a <，50a <，70a <，90a <，则01290123456789a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+-+-+-，再令1x =-即可得解； 【详解】解：因为()929012913x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，()913x -的展开式的通项为()193rr r T C x +=-，所以10a <，30a <，50a <，70a <，90a <，所以01290123456789a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+-+-+-令1x =-得901234567894a a a a a a a a a a -+-+-+-+-=所以901294a a a a +++⋅⋅⋅+= 故选：A 【点睛】本题考查赋值法求二项式展开式的系数和的问题，属于中档题.6．已知(),0,ln ,0,x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若函数()()g x f x a =+有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a > B ．1a <- C ．1a <-或0a = D ．1a ≥【答案】B【解析】依题意画出函数()f x 的图象，将函数的零点转化为函数()y f x =与y a =-的交点，数形结合即可得到不等式，从而解得； 【详解】解：因为(),0,ln ,0,x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩画出函数图象如下所示：函数()()g x f x a =+有两个零点，即函数()y f x =与y a =-有两个交点， 所以1a -> 所以1a <- 故选：B【点睛】本题考查函数方程的综合应用，数形结合思想的应用，属于中档题. 7．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11a b+的最小值是( ) A ．2 B ．42C ．4D ．2【答案】C【解析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=，a Q 、b 为正实数，则111()()2241b a a b a b a b a b +=++=+++…． 当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4． 故选：C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．8．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）()()2f x f x -=；（2）()()22f x f x +=-；（3）[]12,1,3x x ∈时，()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦.则()()()2018,2019,2020f f f 大小关系A ．()()()201820192020f f f >>B ．()()()202020182019f f f >>C ．()()()202020182019f f f =>D ．()()()201820192020f f f >=【答案】C【解析】根据已知可得函数 f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，周期为4，且在[1，3]上为减函数，进而可比较f （2018），f （2019），f （2020）的大小． 【详解】∵函数 f （x ）满足：①f （2﹣x ）＝f （x ），故函数的图象关于直线x ＝1对称； ②f （x +4）＝f （x ），故函数的周期为4；③x 1，x 2∈[1，3]时，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0．故函数在[1，3]上为减函数； 故f （2018）＝f （2）， f （2019）＝f （3），f （2020）＝f （0）＝f （2），故f （2020）＝f （2018）＞f （2019）， 故选C ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的对称性，函数的周期性，函数的单调性，从已知的条件中分析出函数的性质，是解答的关键，属于中档题．二、多选题9．设集合{}220M x x x =+-≤，{}2log 1N x x =<，若实数()a M N ∈⋂，则a 的值可以是( ) A ．1 B ．2-C ．0.5D ．1.5【答案】AC【解析】首先求出集合M 、N ，再根据交集的定义求出M N ⋂，从而判断可得； 【详解】解：因为{}220M x x x =+-≤，{}2log 1N x x =< 所以{}21M x x =-≤≤，{}02N x x =<< 所以{}|01M N x x =<≤I 所以()1M N ∈I ，()0.5M N ∈I 故选：AC 【点睛】本题考查一元二次不等式、对数不等式的解法，交集的运算，以及元素与集合的关系，属于基础题.10．我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为140的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各70人；男性60人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是( )A ．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．调查样本里面倾向选择生育二胎的人群中，男性人数少于女性人数D ．倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数多于城镇户籍人数 【答案】AB【解析】由比例图，可得是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中的男性人数多于女性人数，即可得出结论． 【详解】解：由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知： 在A 中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，∴是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A 正确；在B 中，男性倾向选择生育二胎的比例为80%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，∴是否倾向选择生育二胎与性别有关，故B 正确；在C 中，男性倾向选择生育二胎的比例为80%，人数为6080%48⨯=人， 女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为8060%48⨯=人，∴倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同，故C 错误；在D 中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为70(180%)14⨯-=人， 城镇户籍人数为70(140%)42⨯-=人，∴倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D 错误．故选：AB ． 【点睛】本题考查柱形图的应用，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，属于基础题．11．已知lg x a x =，lg y b y =，lg y c x =，lg x d y =，且1x ≠，1y ≠，则（ ） A ．x ∃，y R +∈，使得a b c d <<< B ．x ∀，y R +∈，都有c d =C ．x ∃，y 且x y ≠，使得a b c d ===D ．a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1 【答案】BD【解析】根据对数的定义可得2lg lg a x =，2lg lg b y =，lg lg lg c x y =，lg lg lg d x y =，即可判断各选项.【详解】lg x a x =，lg yb y =，lg yc x =，lg xd y =，且1x ≠，1y ≠， 则2lg lg a x =，2lg lg b y =，lg lg lg c x y =，lg lg lg d x y =，则x ∀，y R +∈，都有c d =，故B 正确，A ，C 不正确，对于D ：假设a ，b ，c ，d 中最多有一个大于1，若10x >，10y >，则1a >，1b >，1c >，1d >，则假设不成立，故则a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1，D 正确.故选：BD. 【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.12．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是( )A ．对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个B ．()3f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形 【答案】ABC【解析】利用“优美函数”的定义判断选项A ，B ，C 正确，函数()y f x =的图象是中心对称图形，则函数()y f x =是“优美函数”，但是函数()y f x =是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D 错误． 【详解】解：对于A ：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A 正确； 对于B ：因为函数3()f x x =图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数3()f x x =是该圆的“优美函数”， 故选项B 正确；对于C ：将圆的圆心放在正弦函数sin y x =的对称中心上， 则正弦函数sin y x =是该圆的“优美函数”，故选项C 正确； 对于D ：函数()y f x =的图象是中心对称图形， 则函数()y f x =不一定是“优美函数”，如1()f x x=； 但是函数()y f x =是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形， 如图所示：，所以函数()y f x =的图象是中心对称图形是函数()y f x =是“优美函数” 的不充分不必要条件，故选项D 错误， 故选：ABC ． 【点睛】本题主要考查了函数的新定义，属于中档题．三、填空题13．某超市春节大酬宾，购物满100元可参加一次抽奖活动，规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的人口处，小球在自由落下的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，顾客相应获得袋子里的奖品.已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为12.若活动当天小明在该超市购物消费108元，按照活动规则，他可参加一次抽奖，则小明获得A 袋中的奖品的概率为_____.【答案】34【解析】小球落入A 袋中的概率为()()1P A P B =-，由此利用对立事件概率计算公式能求出小球落入A 袋中的概率. 【详解】∵将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为12， 小球落入A 袋中的概率为：()()31311224P A P B ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：34. 【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查利用对立事件进行概率计算，属于基础题. 14．已知函数||2()1x f x e x =+-，则使得不等式()(4)f a f a <-成立的实数a 的取值范围是______. 【答案】(),2-∞【解析】函数||2()1x f x e x =+-为偶数且在[)0,+∞时为增函数,则()(4)f a f a <-可化为()(4)f a f a <-，从而可解出答案. 【详解】函数||2()1x f x e x =+-有||2()1()x f x e x f x -=+-=所以函数()f x 为偶函数,且当0x ≥时，2()1x f x e x =+-在[)0,+∞时为增函数.则()(4)f a f a <-成立，即()(4)f a f a <-成立 所以4a a <-，即224a a <-，即816a < 所以2a <.故答案为：(),2-∞ 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断和利用函数的奇偶性、单调性解不等式,属于中档题. 15．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有 个． 【答案】12【解析】当相同的数字不是1时，有13C 个；当相同的数字是1时，共有13C 13C 个，由分类加法计数原理知共有“好数”13C ＋13C 13C ＝12个．四、双空题16．已知函数()2ln pf x px x x=--，若()f x 在定义域内为单调递增函数，则实数p 的最小值为_____；若0p >，在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()002ef x x >成立，则实数p 的取值范围为_____. 【答案】1 24e ,e 1⎛⎫+∞⎪-⎝⎭【解析】先求出导函数()f x '，要使()f x 在定义域()0,∞+内为单调递增函数，只需()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即221xp x ≥+在()0,∞+上恒成立，再利用基本不等式求出2211xx ≤+，所以1p ≥，从而实数p 的最小值为1，由题意可知不等式()2e f x x>在[]1,e 上有解，设()()2e 2e2ln p F x f x px x x x x=-=---，利用导数得到()()()2max e 1e 40ep F x F -==->⎡⎤⎣⎦，即可解得实数p 的取值范围.【详解】∵函数()2ln pf x px x x=--，()0,x ∈+∞， ∴()22222p px x pf x p x x x-+'=+-=， 要使()f x 在定义域()0,∞+内为单调递增函数，只需()0f x '≥在()0,∞+上恒成立， 即220px x p -+≥在()0,∞+上恒成立，∴221xp x ≥+在()0,∞+上恒成立，∵222111x x x x =≤=++，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立， ∴1p ≥，∴实数p 的最小值为1， 由题意可知，不等式()2ef x x>在[]1,e 上有解， 设()()2e 2e 2ln p F x f x px x x x x=-=---， ∴()()22222e 22e 0px p x p F x p x x x x++-'=+-+=>， ∴函数()F x 在[]1,e 上单调递增， ∴()()()2max e 1e 40ep F x F -==->⎡⎤⎣⎦，解得：24ee 1p >-， ∴实数p 的取值范围为：24e ,e 1⎛⎫+∞⎪-⎝⎭， 故答案为：1，24e ,e 1⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式能成立问题，属于中档题.五、解答题17．已知函数2()12f x mx mx =--. （Ⅰ）当1m =时,解不等式()0f x >;（Ⅱ）若不等式()0f x <的解集为R ,求实数m 的取值范围. 【答案】（I ）{3x x <-或4}x >；（II ）480m -<≤.【解析】（Ⅰ） 当1m =时,不等式为2120x x -->,结合二次函数的特点解出不等式即可；（Ⅱ）分两种情况求解，当0m =时, 120-<恒成立,适合题意；②当0m ≠时,应满足00m <⎧⎨∆<⎩求解即可.【详解】（Ⅰ）当1m =时,不等式为2120x x -->,()()340,x x +->∴解集为{3x x <-或4}x >（Ⅱ）若不等式 ()0f x <的解集为R ,则①当0m =时, 120-<恒成立,适合题意;②当0m ≠时,应满足0,0m <⎧⎨∆<⎩即20480m m m <⎧⎨+<⎩解得480m -<<由上可知, 480m -<≤【点睛】这个题目考查了不含参的二次不等式的求法，以及二次不等式在R 上恒成立的应用，在整个实数集上恒成立，即满足判别式小于0，开口方向满足条件即可，若在小区间上恒成立，则可转化为轴动区间定的问题.18．已知函数()32f x x bx cx d =+++的图像过点()0,2P ，且在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()6g x f x x =-的极大值. 【答案】（1）()32332f x x x x =--+；（2）7.【解析】（1）由图象过点(0,2)P 求出d 的值，再代入求出导数，再由切线方程求出(1)f -、(1)f '-，分别代入求出b 和c 的值；（2）由（1）知，()32392g x x x x =--+，求出函数的导函数，再令()0g x '=，求出x ，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极大值； 【详解】解：（1）()f x Q 的图象经过()0,2P ，2d ∴=，()322f x x bx cx ∴=+++，()232f x x bx c ¢=++. Q 点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=，()3612f b c ∴=-+'-=①，还可以得到，()11f -=，即点()1,1M -满足()f x 方程， 得到121b c -+-+=②， 由①、②联立得3b c ==-，故所求的解析式是()32332f x x x x =--+.（2）由（1）知，()32323326392g x x x x x x x x =--+-=--+，()()()()22369323313g x x x x x x x '=--=--=+-，令()0g x '=，得1x =-或3x =， 当(),1x ∈-∞-时，()0g x '>， 当()1,3x ∈-时，()0g x '<， 当()3,x ∈+∞时，()0g x '>，即函数()g x 在(),1-∞-和()3,+∞上单调递增，在()1,3-上单调递减， 所以函数()g x 的极大值为()17g -=. 【点睛】本题导数的几何意义、切点坐标的应用，导数研究函数的性质：单调性和极值等，属于中档题.19．已知在)23nx的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（1）求n 的值；（2）求展开式中6x 的项； （3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）5n =；（2）6390T x =；（3）2635405T x =【解析】（1）代入1x =求得各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n ，根据二者相差992可得方程，解方程求得n ；（2）根据展开式通项公式，令x 的幂指数等于6，求得r ，进而可得所求项；（3）由展开式通项可知系数通项为53r rC ，利用115511553333r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩解得r ，进而求得系数最大的项. 【详解】 （1）)23nx展开式各项系数的和为：)2314nn ⨯=；二项式系数的和为：2n又各项系数的和比二项式系数的和大99242992nn∴-=，即()2229920nn --=，解得232n =5n ∴=（2）)523x+展开式的通项公式为：()10452315533r rrr r rr TCx C x+-+==令10463r+=，解得2r = 展开式中6x 的项为：226635390T C x x ==（3）设第1r +项的系数为1r t +，则153r rr t C +=由121r r r r t t t t +++≥⎧⎨≥⎩，即115511553333r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩ 解得：7922r ≤≤，所以4r = 展开式系数最大项为：26264433553405T C xx ==【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到二项式系数和、各项系数和的求解、特定项系数的求解以及最大项的求解问题，关键在于能够熟练运用展开式的通项公式，属于常规题型. 20．手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式.在某市，随机调查了200名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的2×2列联表，已知从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为710. （I ）根据已知条件完成2×2列联表，并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？2×2列联表：（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从这200名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”抽取一个容量为10的样本，再从中随机抽取3人，求这三人中“使用手机支付”的人数的分布列及期望.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】（I）有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”（Ⅱ）所求随机变量X的概率分布为期望95 EX=【解析】（Ⅰ）根据抽样比例求得对应数据，填写2×2列联表，根据表中数据计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅱ）根据分层抽样方法计算对应人数，得出随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【详解】（Ⅰ）从使用手机支付的人群中随意抽取1人，抽到青年的概率为7 10，∴使用手机支付的人群中青年的人数为710⨯120＝84， 则使用手机支付的人群中的中老年的人数为120﹣84＝36， 由此填写2×2列联表如下；根据表中数据，计算K 2()22008448363236001168412080203⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯17.734＞7.879，∴P （K 2≥7.879）＝0.005，由此判断有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”； （Ⅱ）根据分层抽样方法，从这200名顾客中抽取10人， 抽到“使用手机支付”的人数为10120200⨯=6， “不使用手机支付”的人数为4，设随机抽取的3人中“使用手机支付”的人数为随机变量X ， 则X 的可能取值分别为0，1，2，3；计算P （X ＝0）34310130C C ==， P （X ＝1）2146310310C C C ⋅==， P （X ＝2）124631012C C C ⋅==， P （X ＝3）3631016C C ==，∴X 的分布列为：X的数学期望为EX＝01 30⨯+1310⨯+212⨯+31965⨯=．【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是中档题．21．某乡镇为了进行美丽乡村建设，规划在长为10千米的河流OC的一侧建一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB，设曲线段OAB为函数2(0)y ax bx c a=++≠，[0,6]x∈（单位：千米）的图象，且曲线段的顶点为()4,4A；观光带的后一部分为线段BC，如图所示.（1）求曲线段OABC对应的函数(),[0,10]y f x x=∈的解析式；（2）若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ，绿化带由线段,,MQ QP PN构成，其中点P在线段BC上．当OM长为多少时，绿化带的总长度最长？【答案】(1)[](]212,0,64()315,6,1042x x xf xx x⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩.(2)当OM长为1千米时，绿化带的总长度最长max616y=.【解析】（1）由题意首先求得a,b,c的值，然后分段确定函数的解析式即可；（2）设(02)OM t t=<≤，由题意得到关于t的函数，结合二次函数的性质确定当OM 长为多少时，绿化带的总长度最长即可.【详解】（1）因为曲线段OAB过点O，且最高点为()4,4A，164442ca b cba⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩，解得142abc⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.所以，当[]0,6x ∈时，2124y x x =-+， 因为后一部分为线段BC ，()()6,3,10,0B C ， 当[]6,10x ∈时，31542y x =-+， 综上，()[](]212,0,64315,6,1042x x x f x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩. （2）设(02)OM t t =<≤，则22112,244MQ t t PN t t =-+=-+， 由213152442PN t t x =-+=-+，得2181033x t t =-+，所以点21810,033N t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以，绿化带的总长度：22211111122101043363y MQ QP PN t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=++=-++-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以当1t =时616max y =. 【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念. 22．设函数()1ln xf x x aea -=+-，a R ∈.（1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性；（2）当()0,x ∈+∞时，()10f x +>恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 在()0,∞+是增函数；（2）{}1a a ≤. 【解析】（1）当1a =时，()1ln 1xf x x e-=+-，求出函数的导函数，令()1x g x e x -=-，利用导数说明()g x 的单调性，从而得到()g x 的最小值，即()0g x ≥，所以()0f x '≥，即可得出()f x 的单调性；（2）设()()()()1ln 10xh x f x x aea x -=+=++->求出导函数，令()()1x p x e a x =-+求导得到()xp x e a '=-，对参数a 分类讨论，从而得到参数的取值范围；【详解】解：（1）当1a =时，()1ln 1xf x x e-=+-所以()()11110x x x e x f x e x x xe----'=-=>. 令()1x g x ex -=-，()11x g x e -'=-，由()0g x '=，可得1x =.当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴当1x =时，()()min 10g x g ==，即()0g x ≥，()0f x '∴≥，则()f x 在()0,∞+是增函数；（2）解：设()()()()1ln 10xh x f x x aea x -=+=++->，所以()()()1111xx xe a x h x ae x x e --+'=-=++. 令()()1xp x e a x =-+，则()xp x e a '=-.①当1a ≤时，()010p x e a a '>-=-≥，()p x ∴在()0,∞+上单调递增，()()010p x p a ∴>=-≥. ()0h x '∴>，()h x ∴在()0,∞+上单调递增，则()()00h x h >=，结论成立；②当1a >时，由()0p x '=，可得ln x a =，当()0,ln x a ∈时，()0p x '<，()p x 单调递减，又()010p a =-<，()0,ln x a ∴∈时，()0p x <恒成立，即()0h x '<. ()0,ln x a ∴∈时，()h x 单调递减，此时()()00h x h <=，结论不成立. 综上，{}1a a ≤即为所求. 【点睛】本题考查了导函数的应用，构造函数，通过二次求导得出导函数的最值从而判断原函数的单调性，属于中档题．。
山东省淄博市淄川第一中学2021-2021学年高二数学下学期期中试题
山东省淄博市淄川第一中学2021-2021学年高二数学下学期期中试题山东省淄博市淄川第一中学高2021级第二学期期中考试数学试卷(文科)120分钟 150分一、选择题（本大题共10个小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数2等于（） 1?iA．１+ｉ B．１－ｉ C．－１+ｉ D．－１－ｉ 2．“a>0”是“|a|>0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若集合A??1,x,4?，B??1,x2?，且B?A，则x? （）A．2，或?2，或0 B．2，或?2，或0，或1 C．2 D．?2 4．函数f(x)?ax2?(3?a)x?1的图象与x轴只有一个公共点，则a的取值范围是A．0B．0或1C．0或1或9 D．0或1或9或125．设集合A?xx?x?6?0,集合B为函数y??2?1的定义域,则A?B?( ） x?1A.?1,2?B.?1,2?C.?1,2?D.?1,2? 6．函数y?xsinx在[??,?]上的图象是（）A B C D7．设a?1，且m?loga(a2?1)，n?loga(a?1)，P?loga2a，则m、n、p有在关系为A．n?m?p B．m?p?n C．m?n?pD． p?m?n8. 已知函数f(x)是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数。
若f(lgx)>f(1),则x 的取值范围是（） A、（111,1） B、（0,)?(0,??) C、（,10） D、(0,1)?(10,??) 101010 19．曲线y?x3?3x?1在点P(0,1)处的切线的倾斜角为（） A．30? B．60? C．120? D．150???)上为增函数，且f(1)?0，则不等式10. 设奇函数f(x)在(0，集为（）f(x)?f(?x)?0的解x，0)?（1，??）?1)?（0，1）?1)?（1，??），0)?（0，1）A (?1 B (??， C (??，D (?1二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.） 11. 写出命题：“至少有一个实数x,使x3?2=0”的否定 12. 已知p:?4?x?4,q:(x?2)(x?3)?0，则p是q的。
2020-2021学年山东省淄博市淄川中学高二(下)期中数学复习卷1(含解析)
2020-2021学年山东省淄博市淄川中学高二(下)期中数学复习卷1一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 复数z 满足z ⋅(2−i)=3+i ，则复数z 的共轭复数的虚部是( )A. iB. −iC. 1D. −12. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1)，集合B ={x|x 2−2x ≤0)，则集合A ∩B =( )A. [−1,0]B. [−1,2]C. [0,1]D. (−∞,1]∪[2,+∞)3. 下列四组函数中，导数相等的是( )A. f(x)=1与f(x)=xB. f(x)=sinx 与f(x)=cosxC. f(x)=sinx 与f(x)=−cosxD. f(x)=x −1与f(x)=x +24. 已知函数f(x)的定义域为(a,e)，下图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列结论中正确的有( )①函数f(x)在(a,b)上单调递增； ②函数f(x)在(a,c)上单调递减； ③函数f(x)在(c,d)上单调递减； ④函数f(x)在(d,e)上单调递增．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 已知P i (i =1,2，3，2018)是抛物线C ：y 2=2x 上的点，F 是抛物线C 的焦点，若P 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +P 2F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+P 2018F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则|P 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|P 2F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+⋯+|P 2018F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( )A. 1008B. 1009C. 2017D. 20186. 已知函数f(x)=e x x,g(x)=a −|x −1|，∃x 1，x 2∈R ，使得f(x 1)≤g(x 2)成立，则实数a 的取值范围为( )A. [e,+∞)B. (−∞,e]C. (e,+∞)D. (−∞,e)7. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( )A. y=−1xB. y=lg(x2−4)C. y=e|x|D. y=cosx8.设直线x−3y+t=0(t≠0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点M(t,0)满足|MA|=|MB|，则双曲线的渐近线方程为()A. y=±4xB. y=±2xC. y=±12x D. y=±14x9.下列命题中，是真命题的是()A. ∃x∈R，sinx+cosx>√2B. 若0<ab<1，则b<1aC. 若x2=|x|，则x=±1D. 若m2+√n=0，则m=n=010.如图所示，曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y=a x，y=b x，y=c x，y=d x的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系是()A. a<b<1<c<dB. a<b<1<d<cC. b<a<1<c<dD. b<a<1<d<c11.若直线y=x+2与椭圆mx2+y2=1相切，则椭圆的离心率为()A. 13B. √53C. √63D. √7312.对于函数f(x)，g(x)，若f(x)的零点为α，g(x)的零点为β，当存在α，β满足|α−β|≤1，则称f(x)，g(x)为亲密函数．现在f(x)=e x−2017+x−2018，g(x)=ln(x−2015)−a(x−2015)互为亲密函数，则实数a的取值范围()A. [ln33,1e] B. [0,ln33] C. [0,1e] D. [1e,1]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.下列命题中正确命题的序号是：______①两条直线a，b和两条异面直线m，n相交，则直线a，b一定异面；②∃α，β∈R，使cos(α+β)=cosα+cosβ；③∀x>0，都有ln6x+ln3x+1>0；④∃m∈R，使f(x)=(m−1)x m2−4m+3是幂函数，且在(0,+∞)上递减；⑤∀ϕ∈R，函数y=sin(2x+ϕ)都不是偶函数．14. f(x)=asinx +bx 3+1，若f(−2)=2，则f(2)= ______ ． 15. 若函数在区间(−1,0)及内各有一个零点，则实数的取值范围是 ． 16. 数列的前项和是，若数列的各项按如下规则排列：，若存在正整数，使，，则 ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=ln(1+x)−ax x+1(a >0).(注：[ln(1+x)]′=11+x )(1)若x =1是函数f(x)的一个极值点，求a 的值； (2)若f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围； (3)证明：(20142015)2015<1e ．18. 近年来．我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数(BodyMassIndex ，缩写为BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI =体重(单位：kg)身高2(单位:m 2)中国成人的BMI 数值标准为：BMI ≤18.4为偏瘦；18.5≤BMI ≤23.9为正常；24≤BMI ≤27.9为偏胖；BMI >28为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工(编号1～8)的身高x(cm)和体重y(kg)数据，并计算得到他们的BMI 值(精确到0.1)如表：(I)现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI 值为“正常”员工的人数为X.求X 的分布列及数学期望．(II)某调查机构分析发现公司员工的身高x(cm)和体重y(kg)之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为y ̂=0.5x +a ̂，且根据回归方程预估一名身高为180cm 的员工体重为71kg.计算得到的其他数据如下x −=170,∑x i n i=1y i =89920． (1)求a ̂的值及表格中8名员工体重的平均值y −；(2)在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg ，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm 的员工的体重．(附：对于一组数据(x,y 1)，(x 2,y 2)，…(x n ,y n )，其回归直线y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−n x−2，a ̂=y ̂−b ̂x −).19. 已知直线l 的参数方程是{x =4ty =4t +a (t 为参数)(a ∈R)，圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ−4sinθ． (1)将直线l 的参数方程化为普通方程，以及将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离为√2，求实数a 的值．20.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道(不重复)．(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？+lnx．21.已知函数f(x)=1−xax(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，求正实数a的取值范围；,e]上的最大值和最小值．(2)当a=1时，f(x)在[1e22.已知函数f(x)=x−1e x的定义域为(0,+∞)．(Ⅰ)求函数f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值；(Ⅱ)对∀x∈(0,+∞)，不等式xf(x)>−x2+ax−1恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵z⋅(2−i)=3+i，∴z=3+i2−i =(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=5+5i5=1+i，∴复数z的共轭复数z−=1−i，∴复数z的共轭复数的虚部为−1，故选：D．利用复数的运算法则、共轭复数的定义和复数虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义和复数虚部的定义，属于基础题．2.答案：C解析：本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解：由B中不等式变形得：x(x−2)≤0，解得：0≤x≤2，即B=[0,2]，∵A=[−1,1]，∴A∩B=[0,1]，故选：C．3.答案：D解析：解：根据导数的求导法则可得A：两函数的导数分别为：0，1B：两函数的导数分别为：cos x，−sinxC：两函数的导数分别为：cos x，sin xD：两函数的导数分别为：1，1故选：D根据导数的求导法则分别对每组函数求导，然后结合选项进行选择即可本题考查了导数的运算，常见函数的求导，本题属于基础题．4.答案：D解析：解：①由图象可知，当a <x <b 时，f′(x)>0，所以此时函数单调递增，所以①正确． ②当a <x <b 时，f′(x)>0，函数单调递增，当b <x <c 时，f′(x)<0，函数单调递减，所以②错误．③当c <x <d 时，f′(x)<0，函数单调递减，所以③正确． ④当d <x <e 时，f′(x)>0，函数单调递增，所以④正确． 故正确的是①③④． 故选D ．观察导数的图象利用导数的符合，确定函数的单调性及单调区间．本题主要考查函数的单调性与导数之间的关系，导函数主要看函数的正负．原函数主要看函数的单调性．5.答案：D解析：本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法，由已知向量等式求得12−x 1+12−x 2+⋯+12−x 2018=0是关键，是中档题．由抛物线方程求出焦点坐标及准线方程，再由向量等式求得12−x 1+12−x 2+⋯+12−x 2018=0，结合抛物线定义求解|P 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|P 2F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+⋯+|P 2018F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 解：抛物线y 2=2x 的焦点为F(12,0)，准线为x =−12， ∴根据抛物线的定义，P i (i =1,2，3，…，2018) 到焦点的距离等于P i 到准线的距离，即|P i F|=x i +12，由P 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +P 2F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+P 2018F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得12−x 1+12−x 2+⋯+12−x 2018=0， ∴x 1+x 2+⋯+x 2018=1009，∴|P 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|P 2F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+⋯+|P 2018F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 1F|+|P 2F|+⋯|P 2018F|=(x 1+12)+(x 2+12)+⋯+(x 2018+12)=(x 1+x 2+⋯+x 2018)+1009=1009+1009=2018．故选：D．6.答案：A解析：解：∃x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，等价于f(x)min≤g(x)max，∵f′(x)=(x−1)e xx2，当x<1时，f′(x)<0，f(x)递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)递增，∴当x=1时，f(x)取得最小值f(x)min=f(1)=e；当x=1时g(x)取得最大值为g(x)max=g(1)=a，∴e≤a，即实数a的取值范围是a≥e，故选：A．∃x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，等价于f(x)min≤g(x)max，利用导数可求得f(x)的最小值，根据绝对值函数的性质可求得g(x)的最大值，代入上述不等式即可求得答案本题考查函数的性质及利用导数求函数的最值，考查“能成立”问题的处理方法，解决该题的关键是把问题转化为求函数的最值问题解决．7.答案：C解析：解：A.y=−1x在(0,+∞)上单调递增，但为奇函数，不正确；B.y=lg(x2−4)是偶函数，但在(2,+∞)上单调递增，不正确；C.y=e|x|为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，正确；D.y=cosx为偶函数，但在(0,+∞)上不是单调函数，不正确；故选：C．根据基本初等函数的单调性、奇偶性，逐一分析答案四个函数在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性的综合，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．8.答案：C解析：解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±bax，与直线x−3y+t=0联立，可得A(ta3b−a ,tb3b−a)，B(−ta3b+a,tb3b+a)，∴AB中点坐标为(ta29b2−a2,3tb29b2−a2)，∵点M(t,0)满足|MA|=|MB|，∴3tb29b2−a2−0ta29b2−a2−t=−3，∴a=2b，∴双曲线的渐近线方程为y=±12x.故选：C．先求出双曲线的渐近线方程，联立直线x−3y+t=0，求得A，B的坐标，可得AB中点坐标，利用点M(t,0)满足|MA|=|MB|，可得3tb29b2−a2−0ta2 9b2−a2−t=−3，化简整理可得a=2b，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用联立直线方程求交点，运用中点坐标公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9.答案：D解析：解：对于A，sinx+cosx=√2sin(x+π4)≤√2，故错；对于B，若a<0时，则b>1a，故错；对于C，若x2=|x|，则x=±1，x=±1或x=0，故错；对于D，m2+√n=0中m2、√n均为非负数，则m=n=0，故正确．故选：D．A，sinx+cosx=√2sin(x+π4)≤√2；B，若a<0时，则b>1a；C，若x2=|x|，则x=±1，x=±1或x=0；D，m2、√n均为非负数，则m=n=0．本题考查了命题真假的判定，涉及到了大量的基础知识，属于基础题．10.答案：D解析：本题考查指数函数的图象，取x=1，求得４个函数值，即可由图象求出４个函数值的大小，即可求解．解：∵当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，可知c，d大于1，a，b大于0小于1，又由图可知c1>d1，即c>d;b1<a1，即b<a，∴a，b，c，d与1的大小关系是b<a<1<d<c，故选：D．11.答案：C解析：本题考查直线和椭圆相切的条件，考查椭圆的性质：离心率，考查运算能力，属于中档题．联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用判别式为0，求得m，再由椭圆方程，求得a、c，再由离心率公式，即可得到．解：将直线y=x+2，代入椭圆方程mx2+y2=1，可得(m+1)x2+4x+3=0，由于直线和椭圆相切，则判别式Δ=16−4(m+1)×3=0，解得m=13，则椭圆x23+y2=1的a=√3，c=√2，则有离心率为e=ca =√63．故选：C．12.答案：C解析：解：函数f(x)=e x−2017+x−2018的零点为x=2017．设g(x)=ln(x−2015)−a(x−2015)的零点为β，若函数f(x)与g(x)互为互为亲密函数，则|2017−β|≤1，∴2016≤β≤2018，∵g(x)=ln(x−2015)−a(x−2015)=0，∴a=ln(x−2015)x−2015，设x−2015=t，则1≤t≤3，则a=lntt，1≤t≤3，设ℎ(t)=lntt，1≤t≤3，∴ℎ′(t)=1−lntt，令ℎ′(t)=0，解得t=e，∴t∈[1,e)时，ℎ′(t)>0，函数ℎ(t)单调递增，t∈[e,3]时，ℎ′(t)<0，函数ℎ(t)单调递减，∴ℎ(t)max=ℎ(e)=1 e∵ℎ(1)=0，ℎ(3)=ln33∴a∈[0,1 e ]故选：C先求出f(x)=e x−2017+x−2018的零点为x=2017，再求出g(x)的零点的范围，分离参数，利用导数求出a的取值范围即可本题考查了新定义以及函数零点的问题，关键是分离参数，构造函数，求出函数值域，属于中档题13.答案：②③④解析：解：①两条直线a，b和两条异面直线m，n相交，则直线a，b可能相交或异面，但是一定不平行，故不正确；②取α=−π4，β=π2，则满足cos(α+β)=cosα+cosβ，故正确；③∵∀x>0，都有ln6x+ln3x+1=(ln3x+12)2+34≥34>0，因此成立；④当m=2时，f(x)=1x是幂函数，且在(0,+∞)上递减，因此正确；⑤取Φ=π2时，函数y=sin(2x+π2)=cos2x是偶函数，故⑤不正确．综上可知：正确答案为②③④．故答案为②③④．①利用异面直线的意义即可判断出；②取α=−π4，β=π2即可；③通过配方即可判断出；④取m=2即可；⑤取Φ=π2即可否定．熟练掌握异面直线的定义、三角函数的奇偶性与单调性、配方法及幂函数的定义及性质是解题的关键．14.答案：0解析：解：根据题意，设g(x)=f(x)−1，则g(x)=asinx+bx3，g(x)的定义域为R，且g(−x)=asin(−x)+b(−x)3=−(asinx+bx3)=−g(x)，即函数g(x)为奇函数，若f(−2)=2，则g(−2)=2−1=1，g(2)=−g(−2)=−1，f(2)=g(2)+1=0；故答案为：0根据题意，构造函数g(x)=f(x)−1，分析可得g(x)为奇函数，有f(−2)的值可得g(−2)的值，结合g(x)的奇偶性可得g(2)的值，即可得f(2)的值．本题考查函数奇偶性的应用，关键是构造函数g(x)=f(x)−1，并判定函数g(x)的奇偶性．15.答案：解析：本题考查二次函数根的分步，结合二次函数图像即可解决，属基础题．解：由题意可知：和x轴在区间(−1,0)及内各有一个交点，只需，即，解得：．故答案为．16.答案：解析：试题分析：将数列重新分组，，，，，……，=，当n=5时，，当n=6时，，第六组数据为，则，则k=20，考点，1、归纳推理；2、等差数列前n项和．17.答案：解：(1)∵函数f(x)=ln(1+x)−axx+1(a>0)．∴函数f′(x)=11+x −a(x+1)−ax(x+1)2=x+1−a(x+1)2(a>0)．∵x=1是函数f(x)的一个极值点，∴f′(1)=2−a4=0∴a=2；…(2分)(2)∵f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，∴f(x)min≥0，…(3分)当0<a≤1时，f′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，即f(x)在[0,+∞)上为增函数，..(4分)∴f(x)min=f(0)=0成立，∴0<a≤1…(5分)当a>1时，令f′(x)>0，则x>a−1，令f′(x)<0，则0≤x<a−1，…(6分)即f(x)在[0,a−1)上为减函数，在(a−1,+∞)上为增函数，∴f(x)min=f(a−1)≥0，又f(0)=0>(a−1)，则矛盾．综上，a的取值范围为(0,1]…(8分)证明：(3)要证：(20142015)2015<1e，只需证(20152014)2015>e．两边取自然对数得，2015ln20152014>1，…(9分)即ln20152014>12015，即ln20152014−12015>0，即ln(1+12014)−11+2014>0，…(11分)由(2)知a=1时，f(x)=ln(1+x)−xx+1在[0,+∞)单调递增．又11+2014>0，f(0)=0，f(12014)=ln(1+12014)−11+2014>f(0)=0…(13分)∴(20142015)2015<1e成立…(14分)解析：(1)利用1处的导数值为0就可求的a的值；(2)若f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，则f(x)min≥0，分当0<a≤1时和当a>1时两种情况，利用导数法，求出函数的最小值，进而综合讨论结果，可得a的取值范围；(3)要证明：(20142015)2015<1e.即ln(1+12014)−11+2014>0，由(2)知a=1时，f(x)=ln(1+x)−xx+1在[0,+∞)单调递增．又11+2014>0，f(0)=0，可得结论．本题考查的知识点是利用导数研究函数的极佳，利用导数研究函数的单调性，利用单调性证明不等式，恒成立问题，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．18.答案：解：(I)由表中的BMI数值可知，8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人，所以X的可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 50C 32C 82=328，P(X =1)=C 51C 31C 82=1528，P(X =2)=C 52C 30C 82=514，∴X 的分布列为数学期望E(X)=0×328+1×1528+2×514=3528=54．(II)(1)∵根据回归方程预估一名身高为180cm 的员工体重为71kg ， ∴71=0.5×180+a ̂，解得a ̂=−19，故线性回归方程为y ̂=0.5x −19． ∵样本中心点(x −,y −)一定在回归直线方程上， ∴y −=0.5×170−19=66．(2)由(1)知更正前的数据x −=170,y −=66，∵b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−n x−2=∑x i 8i=1y i −8x −y−∑x i 28i=1−8x−2=0.5，∴∑x i28i=1−8x 2−=2(∑x i 8i=1y i −8x −y −)=2×(89920−8×170×66)=320， 更正后的数据x′−=x −=170，y′−=66×8+(63−55)8=67，∴∑x i 8i=1′y i ′=∑x i 8i=1y i +x 8×8=∑x i 8i=1y i +182×8，8x′−y′−=8x −(y −+1)=8x −y −+8×170， ∴b′⏜=∑x i 8i=1′y i ′−8x′−y′−∑x i 8i=1′2−8x′2−=(∑x i 8i=1y i +182×8)−(8x −y −+8×170)∑x i 28i=1−8x−2=(∑x i 8i=1y i −8x −y −)+(182−170)×8∑x i 28i=1−8x−2=0.5+96320=0.8，∴a′⏜=y′−−b′⏜x′−=67−0.8×170=−69， 故更正后的线性回归方程为y ̂=0.8x −69． 当x =180时，y ̂=0.8×180−69=75，∴重新预估一名身高为180cm 的员工的体重约为75kg ．解析：(I)由表中可知，8名员工中BMI 数值为“正常”的员工有5人，所以X 的可能取值为0，1，2，然后根据超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；(II)(1)由已知条件易知a ̂=−19，从而得到线性回归方程，由于其一定经过样本中心点(x −,y −)，将样本中心点代入回归方程即可求得y −；(2)由b ̂的计算公式可知∑x i 28i=1−8x 2−=2(∑x i 8i=1y i −8x −y −)=320，而更正后的数据x′−=x −=170，y′−=66×8+(63−55)8=67，再结合b′⏜的公式即可求出其值，利用a′⏜=y′−−b′⏜x′−可求出a′⏜，于是可得更正后的线性回归方程，最后把x =180代入求出y ̂即可．本题考查超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．19.答案：解：(1)直线l 的参数方程是{x =4ty =4t +a (t 为参数)(a ∈R)得x −y +a =0即为直线l 的普通方程；将ρ=4cosθ−4sinθ等号左右两边同乘以ρ得：ρ2=4ρcosθ−4ρsinθ，再由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，ρsinθ=y 得x 2+y 2−4x +4y =0(x −2)2+(y +2)2=8，即为圆C 的直角坐标方程；(2)因为圆C 的半径为2√2，故当圆心到直线l 的距离为√2时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离为√2；所以圆心(2,−2)到直线x −y +a =0的距离为√2，即√2=√2，所以a =−6或a =−2．解析：(1)利用参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化方法，即可得出结论； (2)当圆心到直线l 的距离为√2时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离为√2，即可求实数a 的值． 本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．20.答案：(本小题满分12分)解：(1)甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有5×4=20种抽法 记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ， 则事件A 含有的基本事件数为3×2=6…(4分) ∴P(A)=620=310，∴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是310…(6分) (2)记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B ，其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，记为事件C ， 则事件C 含有的基本事件数为2×1=2…(8分) ∴P(C)=220=110，∴P(B)=1−P(C)=1−110=910，…(11分)∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是910.…(12分)解析：(1)甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有20种抽法记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，求出事件A 含有的基本事件数，由此能求出甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率． (2)记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B ，其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，由此能求出甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件、对立事件概率计算公式的合理运用．21.答案：解：(1)∵f(x)=1−x ax+lnx ．∴f′(x)=ax−1ax 2，若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数， ∴x 在[1,+∞)上，f′(x)≥0恒成立， ∴a ≥1； (2)当a =1时， f′(x)=x−1x 2，x ∈[1e,1]时，f′(x)<0，f(x)递减， x ∈[1,e]时，f′(x)>0，f(x)递增， ∴最小值为f(1)=0， f(1e )=e −2>f(e)=1e ， ∴最大值为e −2，最小值为0．解析：(1)求出导函数，根据函数递增得出导函数f′(x)≥0恒成立，得出a 的取值范围；(2)代入a 值，求出导函数，根据导函数得出函数的最小值，求出f(1e )，f(e)=1e ，比较得出最大值．考查了函数单调性和导函数的关系，利用导函数求函数的最值．属于常规题型，应熟练掌握．22.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=e x(x−1)x2，令f′(x)=0，解得x=1，当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当0<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，①当m≥1时，函数f(x)在[m,m+1]上单调递增，∴f(x)min=f(m)=e mm，②0<m<1时，函数f(x)在[m,1]上单调递减，在[1,m+1]上单调递增，∴f(x)min=f(1)=e；(Ⅱ)对∀x∈(0,+∞)，不等式xf(x)>−x2+ax−1恒成立，即a<e xx +x+1x，令g(x)=e xx +x+1x，∴g′(x)=(e x+x+1)(x−1)x2，由g′(x)>0，可得x>1，函数g(x)在(1,+∞)上单调递增，由g′(x)<0，可得0<x<1，函数g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x)min=g(1)=e+2，∴a<e+2．解析：(Ⅰ)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的最值的关系即可求出，(Ⅱ)对∀x∈(0,+∞)，不等式xf(x)>−x2+ax−1恒成立，即a<e xx +x+1x，令g(x)=exx+x+1x，求导，根据导数和函数最值的关系即可求出．本题考查了导数和函数的单调性最值的关系，以及不等式恒成立的问题，考查了转化能力，运算能力，属于中档题．。
山东省淄博市淄川中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题
山东省淄博市淄川中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）AB ．2C ．D 2．某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm 和9.35cm ，则可认为（ ）A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均异常3．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．18B ．38C ．58D ．784．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ） A ．310B ．25C ．35D ．7105．在报名的3名男生和6名女生中，选取5人参加义务劳动，要求男生、女生都有，则不同的选取方式的种数为( )． A ．120B ．126C ．240D ．2526．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ）A ．0.84B ．0.68C ．0.34D ．0.167．函数()2cos xf x e x x x =+++，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为（ ） A ．220x y -+= B ．220x y ++= C ．220x y ++=D ．220x y8．在二项式3nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A “取出的两个球颜色不同”，事件B “取出一个黄球，一个蓝球”，则(|)P B A =（ ）A ．1247B ．1547C ．2047D ．21110．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x y e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),2-∞C ．()0,1D ．()1,211．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ） A ．30B ．36C ．48D ．5412．已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x f x e >的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞二、填空题 13．随机变量110,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，变量204Y X =+，则()E Y =__________．14．二项式10展开式中含3x 项的系数是__________． 15．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e =__________．16．设01P <<，若随机变量ξ的分布列是：则当P 变化时，()D ξ的极大值是__________．三、解答题17．已知112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为164. （1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项；（2）求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项. 18．已知函数()322f x ax bx x =+-，且当1x =时，函数()f x 取得极值为56-. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()6f x x m =--在[]2,0-上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.19．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．⑴试求甲打完5局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率20．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求()P B 和()|P B A ． 21．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X 的分布列；（2）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？22．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi2．B 【解析】分析：根据3σ原则判断.详解：因为服从正态分布()10,0.04N ，所以10,0.2(100.23,100.23)(9.4,10.6)x μσ==∴∈-⨯+⨯= 所以上午生产情况正常，下午生产情况异常, 选B.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个. 3．C 【解析】分析：先确定随机变量得取法12X =，，再根据独立重复试验求概率.详解：因为14244411(1)(),(2)(),22P x C P x C ====所以142444411105(03)(1)(2)()(),2228P x P x P x C C <<==+==+==选C.点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)k k n kn C p p --.其中p 为1次试验种A 发生得概率. 4．C 【解析】分析：先根据组合数确定随机选取两个节日总事件数，再求春节和端午节恰有一个被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为五个中国传统节日中，随机选取两个节日共有2510C =种，春节和端午节恰有一个被选中的选法有11236C C =,所以所求概率为63.105= 选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 5．A 【解析】 【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女生的情况，即可得答案． 【详解】根据题意，报名的3名男生和6名女生，共9名学生， 在9名中选取5人，参加志愿者服务，有C 95＝126种； 其中只有女生C 65＝6种情况；则男、女生都有的选取方式的种数为126﹣6＝120种； 故选A ． 【点睛】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．6．C 【解析】分析：先根据正态分布得(12)0.16,P ξ≤≤=再求(01)0.16,P ξ≤≤=最后求得() 0P ξ≤=0.34.详解：由正态分布曲线得(12)0.660.50.16,P ξ≤≤=-=所以(01)0.16,P ξ≤≤=所以()0P ξ≤=0.5-0.16=0.34. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背. 7．A 【解析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.详解：因为()21sin xf x e x x +-'=+，所以(0)112,(0)112k f f '==+==+=所以切线方程为22220,y x x y -=∴-+= 选A.点睛：求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 8．A 【解析】分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得B ，最后根据72B +=解出.n详解：因为各项系数之和为(13)4n n+=，二项式系数之和为2n ,因为72A B +=，所以4272283n n n n +=∴=∴=, 选A.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.9．C 【分析】求出()P A ，()P AB ，由此利用条件概率计算公式能求出(|)P B A ． 【详解】因为()11542121033C C P AB C ==， ()1111115453432124766C C C C C C P A C ++==， 故()()20(|)47P AB P B A P A ==， 故选：C ． 【点睛】本题考查概率的求法，条件概率计算公式，是基础题． 10．B 【解析】分析：先根据图像求出()1f x e '≤，即得()0f x '≤，也即得结果. 详解：因为当2x ≤时，()1f x e '≤，所以当2x ≤时，()0f x '≤， 所以()y f x =的单调减区间是(),2-∞， 选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式. 11．D 【解析】分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.详解：先排乙，有3种，再排甲，有3种，最后排剩余三人，有33A 种因此共有333354A ⨯⨯=， 选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在”问题——“分类法”. 12．A 【解析】分析：先构造函数()()xf xg x e =，再根据函数单调性解不等式. 详解：令()()x f x g x e=，因为()()()0xf x f xg x e '-'=<，(0)2g = 所以()2()(0)0xf x eg x g x >⇒>⇒< 因此解集为(),0-∞ ， 选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 13．40. 【解析】分析：先根据二项分布得()E X ,再根据204Y X =+，得().E Y详解：因为1~10,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1()1052E X =⨯=，因为204Y X =+，所以()204()202040.E Y E X =+=+= 点睛：二项分布(,)XB n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()E X np =.14．210.【解析】分析：先根据二项展开式通项公式得含3x 项的项数，再代入得系数详解：因为1130101211010((1)r rr r r rr T C C x --+==-，所以11303612r r -=∴= 因此含3x 项的系数是6610(1)210C -=.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 15．-1. 【解析】分析：先求导数，解得()'f e ，代入解得()f e .详解：因为()()2'ln f x xf e x =+，所以1()2()f x f e x''=+ 所以11()2()(),f e f e f e e e''+∴=-'= 因此1()2()ln 1.f e e e e=-+=-，点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 16．12. 【解析】分析：先求()()E D ξξ，，再根据二次函数性质求极大值. 详解：因为1132()0122222p p pE ξ--=⨯+⨯+⨯=， 所以22223213213211()(0)(1)(2)[2(21)]22222242p p p p p D p ξ----=-+-+-=--≤ ，当且仅当12p =时取等号，因此()D ξ的极大值是12.点睛：本题考查数学期望公式以及方差公式：211(),()(()).n ni iii i i E x p D x E p ξξξ====-∑∑考查基本求解能力. 17．（1）352x -；（2）1-. 【解析】分析：（1）先根据展开式中所有项的系数和为164得到n=6,再求展开式中二项式系数最大的项.(2)先求出112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的一次项和常数项，再求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项.详解：（1）由题意，令1x =得11264n⎛⎫= ⎪⎝⎭，即6n =，所以112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项是第4项，即334631522T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （2）112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1k +项为.()166110,1,2, (622)kk k k k T C C x k x -+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由1k -=-，得1k =；由0k -=，得0k =.所以()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 11612112x C x -⎛⎫⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭. 点睛：（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数和二项式系数，考查展开式中的特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的难点在第2问，展开式的常数项有两种生成方式，一是由（x+2）的一次项“x”和112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的“1x -”项相乘得到，二是由（x+2）的常数项“2”和112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项相乘得到，再把两个相加即得.18．(1) ()3213232f x x x x =-+-. (2) 130,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】分析：(1)先根据导数几何意义得()'10f = ，再与函数值()516f =- 联立方程组解得()f x 的解析式；(2)先化简方程得32134032x x x m ---=，再利用导数研究函数()3213432g x x x x m =---在[]2,0-上单调性，结合函数图像确定条件，解得结果.详解：（1）()2'322f x ax bx =+-，由题意得，()()'10516f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即3220526a b a b +-=⎧⎪⎨+-=-⎪⎩， 解得1332a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴()3213232f x x x x =-+-. （2）由()()620f x x m x =---≤≤有两个不同的实数解，得32134032x x x m ---=在[]2,0-上有两个不同的实数解， 设()3213432g x x x x m =---，由()2'34g x x x =--，由()'0g x =，得4x =或1x =-，当()2,1x ∈--时，()'0g x >，则()g x 在[]2,1--上递增， 当()1,0x ∈-时，()'0g x <，则()g x 在[]1,0-上递减，由题意得()()()201000ggg⎧-≤⎪->⎨⎪≤⎩，即23136mmm⎧≥-⎪⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩，解得13 06m≤<，点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.19．（1）316（2）12【分析】（1）由题意，甲以3：2获胜；由题设条件求解即可；（2）由题意，比赛结束打满3局，4局，5局,计算出结果即可得到答案【详解】甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12．⑴甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负.∴甲打完5局才能取胜的概率22214111322216 P C⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) 记事件A=“甲打完3局才能取胜”，概率为3331128 C⎛⎫=⎪⎝⎭记事件B=“甲打完4局才能取胜”，概率为223111322216 C⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭记事件C=“甲打完5局才能取胜”．，由（1）知概率为3 16事件D“按比赛规则甲获胜”，则D A B C=++，又因为事件A、B、C彼此互斥，故()()()()()P D P A B C P A P B P C =++=++1331816162=++=．答：按比赛规则甲获胜的概率为12【点睛】本题考查n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，互斥事件的和事件的概率，相互独立事件的概率乘法公式，解题的关键是理解题意，根据所研究的事件的类型选择恰当的概率模型求出概率，，是基础题 20．（1）见解析（2）45（3）12,25【解析】试题分析：(1)根据题意可得ξ的所有可能取值为0,1,2，再求出ξ取每一个值的概率,可得ξ的分布列.(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ,求得P (C )＝3436C C ,则所求概率为P (C )＝1－P (C)可得结果.(2)求出男生甲被选中、女生乙被选中的概率和男生甲、女生乙都被选中的概率,即可得出结论.试题解析：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (ξ＝0)＝3436C C ＝15，P (ξ＝1)＝214236C C C ＝35，P (ξ＝2)＝124236C C C ＝15. ∴ξ的分布列为(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝3436C C ＝420＝15.∴所求概率为P (C )＝1－P (C)＝1－15＝45.(3)P(B)＝2536CC＝1020＝12；P(B|A)＝1425CC＝410＝25.21．（1）见解析.（2）见解析.（3）见解析.【分析】（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）=1125，P（X≤19）=1725．由此能确定满足P（X≤n）≥0．5中n的最小值；（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而；；；；；；．所以的分布列为（2）由（1）知，，故的最小值为19．（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040； 当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080. 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．考点：离散型随机变量及其分布列 22．(1) f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增.【分析】(1)求f (x )的导函数为f ′(x )＝(2e x ＋a )(e x －a )，通过讨论a ，求函数的单调区间即可. (2)因为f (x )≥0，所以即求f (x )的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f (x )的最小值，解关于a 的不等式即可求出a 的范围. 【详解】(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln 2a ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当x ∈,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )<0； 当x ∈ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )>0. 故f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增. (2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立. ②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln 2a ⎛⎫-⎪⎝⎭时，f (x )取得最小值，最小值为f ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝a23ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故当且仅当a 23ln 42a ⎡⎤⎛⎫--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥0， 即0>a ≥342e -时，f (x )≥0. 综上a 的取值范围是[342e -，0]. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想和学生的计算能力，属于中档题.。
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时间150分钟 分值150分 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）
A B ．2 C ．
2.某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm 和9.35cm ，则可认为（ ） A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C ．上、下午生产情况均正常 D ．上、下午生产情况均异常
3.将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．
18 B ．38 C ．58 D ．7
8
4.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ）
A ．
310 B ．25 C.35 D ．7
10
5．在报名的3名男生和6名女生中，选取5人参加义务劳动，要求男生、女生都有，则不同的
选取方式的种数为( )．
A ． 120
B ． 126
C ． 240
D ．252 6.已知随机变量ξ服从正态分布(
)2
1,N σ
，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ）
A ．0.84
B ．0.68
C ．0.34
D ．0.16
7.函数()2
cos x
f x e x x x =+++，则()f x 在点()(
)
0,0f 处的切线方程为（ ）
A ．220x y -+=
B ．220x y ++= C.220x y ++= D ．220x y -+=
8.在二项式3n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若
72A B +=，则n =（ ）
A ．3
B ．4 C.5 D ．6
9.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，篮球4个，绿球3个.现从盒子中随机取出两个球，记事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个黄球，一个绿球”，则()
P B A =（ ） A ．
1247 B ．211 C.2047 D ．15
47
10.已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()
f x y e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调
减区间是（ ）
A ．(),1-∞-
B ．(),2-∞ C.()0,1 D ．()1,2
11.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ） A ．30 B ．36 C.48 D ．54
12.已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x
f x e >的解集为（ ）
A ．(),0-∞
B ．()0,+∞ C.(),2-∞ D ．()2,+∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.随机变量110,
2X B ⎛
⎫
⎪⎝⎭
:，变量204Y X =+，则()E Y = ．
14.二项式10
展开式中含3
x 项的系数是 ． 15.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e = ． 16.设01P <<，若随机变量ξ的分布列是：
则当P 变化时，()D ξ的极大值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知112n
x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中所有项的系数和为164. （1）求112n
x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项；
（2）求()1212n
x x ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭
的展开式中的常数项.
18. 已知函数()3
2
2f x ax bx x =+-，且当1x =时，函数()f x 取得极值为56
-
. （1）求()f x 的解析式；
（2）若关于x 的方程()6f x x m =--在[]2,0-上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.
19. 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
⑴试求甲打完5局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率
20. 某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )．
21.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；
（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；
（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？
22.已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．
高二数学试卷答案
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分
1-5:DBCCA 6-10:CAADB 11、D 12、A
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题17.解：（1）由题意，令得，即，所以展开式中二项式系数最大的项是第项，
即
（2）展开式的第项为.
由，得；由，得.
所以的展开式中的常数项为
18.解：（1），
由题意得，即
解得
∴.
（2）由有两个不同的实数解，
得在上有两个不同的实数解，
设，
则，
由，得或，
当时，，则在上递增，
当时，，则在上递减，
由题意得即
解得，
所以，实数的取值范围是.
19. 甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
⑴甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负
∴甲打完5局才能取胜
的概率.
(2) 记事件“甲打完3局才能取胜”，
记事件=“甲打完4局才能取胜”， 记事件=“甲打完5局才能取胜”． 事件
＝“按比赛规则甲获胜”，则
，
又因为事件、
、
彼此互斥，
故
．答：按比赛规则甲获胜的概率为
20. (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (ξ＝0)＝63＝51，P (ξ＝1)＝63＝53
，P (ξ＝2)＝63＝51.
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P
51
53
51
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ， 则P (C )＝63＝204＝51
.
∴所求概率为P ()＝1－P (C )＝1－51＝54
. (3)P (B )＝63＝2010＝21；P (B |A )＝52＝104＝52
. 21.【答案】（I ）见解析（II ）19（III ）。