第十四章 概率

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14.2 概率的定义及其性质
每次试验的样本空间只含有有限个基本事件；每次试验 中，各基本事件出现的可能性是相等的（简称等可能的）. 具有这一特点的概率模型称为古典概型. 定义3 如果试验只有n个基本条件，即I {e1 , e2 ,, en }, 且每个基本事件 e1e2 en 出现的可能性都相等， 事件A包含m个基本事件，则事件A的概率
在一定条件下，对随机现象进行试验http://www.118665.cn 的每一可能的结果称为随机事件（简称事件），通常用字母 A、B、C等来表示.
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14.1 随机事件
例1 抛掷一枚骰子,观察其出现的点数,“出现i点”（i=1，2， 3，4，5，6）,“出现奇点数”,“出现小于6的点数”都是该随机 试验的随机事件,可分别记作ei（i=1，2，3，4，5，6）和A,B.
A BC
（2）A，B，C都发生. （3）A，B，C至少有一个发生.
（4）A，B，C恰有一个发生.
ABC
A B C
ABC ABC ABC
ABC ABC ABC ABC
（5）A，B，C至少有二个发生.
（7）A，B，C一个也不发生.
（6）A，B，C最多有一个不发生. ABC AC B ABC ABC
事件和的概念可推广到n个事件的和的情形：设A1， A2，…，An为n个事件,则“A1，A2，…，An中婴儿湿疹至少有 一个发生”的事件A称为这n个事件的和（或并）,记作
A A1 A2 An Ai
i 1
n
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14.1 随机事件
（3）事件的积 定义4 “事件A与事件B”同时发生的事件称为
在一定条件下，重复进行某种试验或观察，可能出现这 种结果，也可能出现另一种结果，到底出现哪个结果，事 先不能确定，这类现象称为随机现象.
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14.1 随机事件
2．样本空间
把对随机现象的一次试验或观察称为一次随机试验(简称试验). 它满足下列条件： （1）可以在相同的情况下重婴儿湿疹复进行； （2）试验的所有可能的结果是已知的，并且不止一个； （3）每次试验前不能准确预言该次试验会出现哪一个结果.
如果n个事件A1,A2,…,An中任何两个事件都不能同时发生,即 Ai A j (i j; i, j 1,2,, n) 则称这n个事件为两两互不相容事件.
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14.1 随机事件
（5）事件的差
“事件A发生而事件B不发生”的事件称为事件A与 定义6 B的差,记作A－B.
e1 {正面朝上}, e2 {反面朝上}
则样本空间 I {e1 , e2 }. 例2 从依次编号为1，2，…，100的100件产品中任取1 件,检验产品的质量,可能出现的基本事件只有100个. 设 i={取 得第i号产品}(I=1,2,…,5),则样本空间 I={1，2，…，100}.
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P( A) p
性质1（非负性）对任一事件A，有0 P( A) 1. 性质2 必然事件的概率等于，即 P( I ) 1. 性质3 不可能事件的概率等于零，即 P() 0.
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14.2 概率的定义及其性质
2．概率的古典定义
例1 掷一枚均匀的硬币，观察“正面朝上”还是“反面 朝上”，可能出现的基本事件只有2个. 设
k n
0.5181 0.5069
费 勒 皮尔逊
维 尼
10000 24000
30000
4979 12012
14994
0.4979 0.5005
0.4998
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14.2 概率的定义及其性质
定义2 在不变的条件下,重复进行n次试验,如果事件A发生的 频率k/n, 总是稳定地在某个常数P附近摆动,则称常数 P为事 件A的概率,记作P(A),即
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14.2 概率的定义及其性质
例4 在10件产品中,有7件合格品,3件次品. 从中任取5件, 计算： （1）5件中恰有1件是次品的概率； （2）5件都是合格品的概率. （3）5件中至少有4件合格品的概率.
解 从10件产品中任取5件的基本事件总数是 C10 .
（1）设A={5件中恰有1件是次品}，因为在10件产品 1 4 中有7件合格品，所以A包含的基本事件数是 C 3 C 7 .
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14.1 随机事件
两个相互对立事件一定是互不相容的,但两个互不相 容事件不一定是相互婴儿湿疹对立事件. 事件的运算满足以下规律： （1）交换律： A+B=B+A , AB=BA . （2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC). （3）分配律：(A+B)C=(AC)+(BC), (AB)+C=(A+C)(B+C).
A B AB,
（4）德摩根(De MorgAn)律：
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A A ,
i n i i i 1 n
n
n
AB A B ,
A A.
i i 1 i 1 i
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14.1 随机事件
例6 设I为样本空间 ，A，B，C为三个事件. 试用事件的 运算符号表示下列事件： （1）A发生而B与C不发生.
k 定义1 设在n次重复试验中,事件A发生了k次,则称比值 n 为n次试验中事件A发生的频率,简称为频率,记作 f n (A) ，即
k f n ( A) , n
1．概率的统计定义
其中k叫做A发生的频数.
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14.2 概率的定义及其性质
表14-1 抛掷硬币试验结果表
试验者 德· 摩根 蒲 丰 抛掷次数(n) 2048 4040 正面朝上的次数 （频数k） 1061 2048 频率
（1）A与B是互不相容事件,又是互为对立事件,即 A B. （2）A+C={红红，绿绿，蓝蓝，红绿，红蓝}. （3）BD={红绿，蓝红，蓝绿}=B.
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14.2 概率的定义及其性质
1．概率的统计定义 2．概率的古典定义 3．概率的加法公式
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14.2 概率的定义及其性质
例2 10个产品中含有2个次品,8个正品. 从中任取3个,观 察它所含的次品数：“恰有0个次品”,“恰有1个次品”,“恰 有2个次品”,“至少有1个正品”,“最多有1个次品”,“至少有 3个次品”都是随机事件,可分别记作B0，B1，B2，A，B，C.
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14.1 随机事件
在一定条件下，每次试验中都必定要发生的事件称为 必然事件. 每次试验中都不可能发生的事件称为不可能事件. 在随机试验中，不能再分解的事件称为基本事件. 一个随机试验的全体基本事件组成的集合称为样本空间，记作I. 每个基本事件称为样本点，常用e 表示.
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14.1 随机事件
1．随机现象
2．样本空间
3．事件的关系及其运算
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14.1 随机事件
1．随机现象
在一定条件下，重复进行某种试验或观察，其结果总 是确定的现象称为确定性现象. 例如 在标准大气压下，纯水加热到100℃必然会沸腾； 从高处抛出一重物，它一定会向地面降落； 掷一枚骰子，出现的点数必不可能大于6点.
e5 {正反反}, e6 {反正反}, e7 {反反正}, e8 {反反反}.
I {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 }. A {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 }. B {e2 , e3 , e4 }.
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14.1 随机事件
例3 一次掷3枚均匀的硬币,观察正面和反面出现的情 况. 用“正”表示{正面向上},用“反”表示{反面向上},写出 这个试验的基本事件空间及下列事件所包含的基本事件： A={至少有1个正面向上}，B={恰有两个正面向上}. 解 e1 {正正正}, e2 {正正反}, e3 {正反正}, e4 {反正正},
B
A
I
A A, I A .
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14.1 随机事件
定义2 如果事件A B且B A ,则称事件A与B相等,记作A=B. （2）事件的和 定义3 “事件A与B至少有一个发生”的事件称为事件A与B的 和（或并）,记作A+B.
A
B I
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14.1 随机事件
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14.1 随机事件
例4 从编号分别为1，2，3，…，9，10的十个球中任取 一个观察其编号数，试写出该试验的样本空间和下列事件所 包含的基本事件： A={取到6号球}， B={取到偶数号球}， C={取到编号数大于4的球}. 解 i {取得球的编号数为i} (i 1,2,,10),
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第十四 章 概 率
• • • • • • • • • 14.1 随机事件 14.2 概率的定义及其性质 14.3 条件概率与事件的独立性 14.4 全概率公式与贝叶斯公式 14.5 事件的独立性 贝努里概型 14.6 随机变量及其分布 14.7 数学期望 14.8 方差及其简单性质 ﹡14.9 概率在经济工作中的应用举例
m A包含的基本事件数 P( A) n 基本事件的总数
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14.2 概率的定义及其性质
例3 从编号分别为1，2，3，4，5的大小相同的5只球中 任取1球，求取到的球是奇数号的概率. 解
1 n C5 5.
1 m C3 3,
3 P( A) 0.6. 5
I {1, 2,3,,10}, B {2, 4, 6,8,10}, A {6}, C {5, 6, 7,8,9,10}.
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14.1 随机事件
3．事件的关系及其运算
（1）事件的包含与相等 定义1 如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B 包含事件A，或称事件A包含于事件B，记作 B A或A B.
ABC A B C
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14.1 随机事件
例7 在一个口袋里装有红,绿,蓝3种球各2个,一次任取2个球, 设A={2个同色球},B={2个异色球},C={至少有一个红球},D={最 多有一个蓝球}. 求：（1）A与B的关系. （2）A+C. （3）BD. 解
I ={红红，绿绿，蓝蓝，红绿，绿蓝，蓝红}， A={红红，绿绿，蓝蓝}， B={红绿，绿蓝，蓝红}， C={红绿，红蓝，红红}， D={蓝红，蓝绿，红绿，红红，绿绿}， 于是
A B
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14.1 随机事件
（6）对立事件 定义7 如果事件A与B满足 AB 且A+B= I ，
则称事件A与B为相互对立事件（或逆事件）. A的对立事件记作 A. 即： B A.
A I A, A A, A A I , AA .
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事件A与B的积（或交）,记作AB(或A∩B).
A
B I
AB A, AB B, AA A, AI A, A .
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14.1 随机事件
例5 掷一枚骰子,设事件A={出现点数为2},B={出现点数 大于3},C={出现点数小于6},D={出现偶数点}. 用基本事件表 示A,B,C,D,并求（1）A+B;（2）BC;（3）D与A+B的关系. 解 设 i 表示“出现点数为 i ”（i=1,2,3,4,5,6）的基本事件. A={2}， B={4，5，6}， C={1，2，3，4，5}， D={2，4，6}， 于是 A+B={2，4，5，6}， BC={4，5} ， 且 D A B
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14.1 随机事件
设A1,A2,…,An 为n个事件,则“A1,A2,…,An同时发 生”的事件称为这n个事件的积,记作
n
A A1 A2 An Ai
i 1
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14.1 随机事件
（4）互不相容事件 定义5 如果事件A与B不能同时发生.即 AB ,则称事件A 与B为互不相容（或互斥）事件.