直线与平面之间的位置关系

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高中数学点、直线、平面之间的位置关系

点、直线、平面之间的位置关系知识回顾1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间两条直线的位置关系（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面．（2）异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（3）异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．3. 线面、面面的位置关系1．一条直线a和一个平面α有且仅有a⊂α，a∩α＝A或a∥α三种位置关系．(用符号语言表示)2．两平面α与β有且仅有α∥β或α∩β＝l两种位置关系(用符号语言表示)．题型讲解题型一概念例1、下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案：A例2、若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β答案：B例3、如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．解析：如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线.例4、空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形答案：B题型二异面直线例5、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．答案：(1)60°(2)45°解析连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．例6、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．答案：①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．题型三线面关系例7、已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D例8、三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或2条答案：D例9、平面α∥β，且a ⊂α，下列四个结论： ①a 和β内的所有直线平行； ②a 和β内的无数条直线平行； ③a 和β内的任何直线都不平行； ④a 和β无公共点．其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C跟踪训练1. 文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B ．⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈α C ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α 答案：B2. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能答案：D3．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)答案：D4．正方体AC 1中，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和AA 1DD 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90° 答案：B5．已知a 是一条直线，过a 作平面β，使β∥平面α，这样的β( ) A ．只能作一个 B ．至少有一个 C ．不存在 D ．至多有一个答案：D6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BA 1C 1和平面ACD 1的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．答案：平行平行解析：如图所示，。

平面和直线的位置关系

平面和直线的位置关系
平面和直线是几何学中常见的基本图形，它们在空间中的位置关系有以下几种情况：
1. 直线在平面内：当一条直线完全位于一个平面内时，我们称这条直线在这个平面内。

这种情况下，直线与平面有唯一的交点，也就是直线的一个端点与平面的一个点重合。

2. 直线与平面相交：当一条直线与一个平面有交点时，我们称这条直线与这个平面相交。

这种情况下，直线与平面有无限多个交点，交点的数量取决于直线与平面的相对位置。

3. 直线与平面平行：当一条直线与一个平面没有交点且与平面上任意一条直线的夹角为零时，我们称这条直线与这个平面平行。

这种情况下，直线与平面之间没有交点。

4. 直线与平面垂直：当一条直线与一个平面上的任意一条直线的夹角为90度时，我们称这条直线与这个平面垂直。

这种情况下，直线与平面有唯一的交点，交点位于直线与平面的垂线上。

总之，平面和直线的位置关系有多种情况，要根据具体的情况来判断它们之间的
关系。

在实际应用中，我们需要根据需要来选择适当的位置关系，以便更好地解决问题。

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、空间中直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有___________种： ①直线在平面内——有___________个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③___________——没有公共点. 学*科网直线与平面相交或平行的情况统称为___________. 2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3．直线和平面位置关系的分类（1）按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点（2）按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内（3）按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行二、平面与平面之间的位置关系 1．两个平面之间的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有___________条公共直线. 2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示3．两个平行平面的画法画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行,且把这两个平行四边形上下放置.K 知识参考答案：一、1．三无数直线与平面平行直线在平面外二、 1．一K—重点了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系K—难点会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面与平面之间的位置关系K—易错对概念理解不透彻致误1．直线与平面的位置关系空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．【例1】若直线a α,则下列结论中成立的个数是①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a 平行的直线A．0 B．1C．2 D．3【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维.2．平面与平面的位置关系判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．【例2】已知α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β【答案】D【解析】不能保证α，β无公共点．如图：故A、B选项错误.当a∥α，a∥β时，α与β可能相交．如图：故C选项错误.平面α内所有直线都与平面β平行，说明α，β一定无公共点，则α∥β.故D选项正确.【名师点睛】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断.【例3】如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系是A．平行B．相交C．平行或相交D．不确定【答案】C【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊂平面ABCD,C1D1⊂平面A1B1C1D1,C1D1⊂平面CDD1C1,AB∥C1D1,但平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD与平面CDD1C1相交.3．对直线与平面相交的概念理解不透彻致误【例4】已知：直线a∥b，a∩平面α=P，求证：直线b与平面α相交.【错解】如图，因为a∥b，所以a，b确定一个平面，设该平面为β.因为a∩平面α=P，所以P∈a，P∈α,所以P∈β,即点P为平面α与β的一个公共点，由此可知α与β相交于过点P的一条直线，记为c，即α∩β=c.在平面β内，a∥b，a∩c=P.由平面几何知识可得b与c也相交，设b∩c=Q,则Q∈b，Q∈c.因为c⊂α，所以Q∈α,所以直线b与平面α相交.【错因分析】错解中对直线与平面相交的概念理解不透彻，误认为直线和平面相交就是直线和平面有一个公共点.【名师点睛】直线与平面相交，要求直线与平面有且只有一个公共点，即直线与平面有一个公共点且直线不在平面内，也就是直线既不与平面平行，又不在平面内.1．已知直线与直线垂直，，则与的位置关系是A．//B．C．相交D．以上都有可能2．如果空间的三个平面两两相交，那么A．不可能只有两条交线B．必相交于一点C．必相交于一条直线D．必相交于三条平行线3．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么 A ．α∥β B ．α与β相交 C ．α与β重合D ．α∥β或α与β相交4．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是A ．α内的所有直线均与a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内直线均与a 相交D ．直线a 与平面α有公共点 5．以下命题（其中a b ，表示直线，α表示平面）： ①若∥a b ，b α⊂，则∥a α； ②若∥a α，b α⊂，则∥a b ； ③若∥a b ，∥b α，则∥a α. 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．36．若M ∈平面α，M ∈平面β，则不同平面α与β的位置关系是． 7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，试判断：（1）AM 所在的直线与平面ABCD 的位置关系；（2）CN 所在的直线与平面ABCD 的位置关系；（3）AM 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系；（4）CN 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系.8．三个平面,,αβγ，如果,,∥a b αβγαγβ==,且直线,∥c c b β⊂.（1）判断c 与α的位置关系,并说明理由; （2）判断c 与a 的位置关系,并说明理由.9．若a ，b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是 A ．∥b α B ．相交C ．b α⊂D ．b α⊂、相交或平行 10．已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线lA ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都有可能11．不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.（填序号）12．如图所示，1111ABCD A B C D -是正方体，在图①中E ，F 分别是11D C ，1B B 的中点，画出图①、②中有阴影的平面与平面ABCD 的交线，并给出证明．1 2 3 4 5 9 10 DADDADB3．【答案】D【解析】如图，设α∩β＝l ，则在α内与l 平行的直线可以有无数条a 1，a 2，…，a n ，…，它们是一组平行线．这时a 1，a 2，…，a n ，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l.另外也有可能αβ∥.故选D.4．【答案】D【解析】直线a 不平行于平面α，则a 在α内或a 与α相交，故A 错；当a α⊂时，在平面α内存在与a 平行的直线，故B 错；α内的直线可能与a 平行或异面，故C 错；显然D 正确. 5．【答案】A【解析】若∥a b ，b α⊂，则∥a α或a α⊂，故①不正确；若∥a α，b α⊂，则∥a b 或,a b 异面，故②不正确；若∥a b ，∥b α，则∥a α或a α⊂，故③不正确．故选A ． 6．【答案】相交【解析】由公理3知，α与β相交．7．【解析】（1）AM 所在的直线与平面ABCD 相交．（2）CN所在的直线与平面ABCD相交．（3）AM所在的直线与平面CDD1C1平行．（4）CN所在的直线与平面CDD1C1相交．9．【答案】D【解析】三种情况如图（1）,（2）,（3）.10．【答案】B【解析】若直线l与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l平行，故A错误；若直线l∥平面α，则在平面α内不存在直线与l相交，故C错误；对于直线l与平面α相交，直线l与平面α平行，直线l在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，故选B.11．【答案】①【解析】如图，三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.证明：在图①中，因为直线EN ∥BF ，所以、、、B N E F 四点共面，又2EN BF ，因此EF 与BN 相交，设交点为M .因为M ∈EF ，且M ∈NB ，而EF ⊂平面AEF ，NB ⊂平面ABCD ，所以M 是平面ABCD 与平面AEF 的公共点．又因为点A 是平面AEF 和平面ABCD 的公共点，故AM 为两平面的交线．在图②中，C 1M 在平面11CDD C 内，因此与DC 的延长线相交，设交点为M ，则点M 为平面11A C B 与平面ABCD 的公共点，又点B 也是这两个平面的公共点，因此直线BM 是两平面的交线．学！科网。

直线与平面、平面与平面间的位置关系

错解:因为 ∥ 所以l与所成的角α,就是就是l与错解因为BD∥B1D1,所以与B1D1所成的角就是与BD 因为所以所成的角.在平面内以P为顶点底边在B 为顶点,底边在所成的角在平面A1C1内以为顶点底边在 1D1上作一个等在平面腰三角形,使底角为则两腰所在直线就与腰三角形使底角为α,则两腰所在直线就与 1D1成等角所使底角为则两腰所在直线就与B 成等角,所以这样的直线有两条.应选以这样的直线有两条应选B. 应选错因分析:错解中受定势思维的影响只考虑了错因分析错解中受定势思维的影响,只考虑了 α ∈ (0, ) 错解中受定势思维的影响 2 π 时的一般情况,而忽略了特殊情况而忽略了特殊情况.当时的一般情况而忽略了特殊情况当 α = 0或时, 这样的直 2 线只有一条. 线只有一条正解: 正解
2－1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相－如果在两个平面内分别有一条直线如果在两个平面内分别有一条直线，平行，那么这两个平面的位置关系是平行，那么这两个平面的位置关系是( C ）
A．平行． C．平行或相交．平行或相交 B．相交． D．垂直相交．
解析：有平行、相交两种情况，如图
解析：可能在平面α内在平面α外有解析：①错，l 可能在平面内；②错，直线 a 在平面外有两种情况： ∥ 和相交；可能在平面α内两种情况：a∥α和 a 与α相交；③错，直线 a 可能在平面内；相交在平面α内或 ∥ ，在平面α内都有无数条直线 ④正确，无论 a 在平面内或 a∥α，在平面内都有无数条直线正确，与 a 平行．平行．
2:如图在长方体如图,在长方体的面A 上有一点P(P 如图在长方体ABCD—A1B1C1D1的面 1C1上有一点 — ∉ B1D1),过P点在平面 1C1上作一直线使l与直线成α角, 点在平面A 上作一直线l,使与直线与直线BD成角过点在平面这样的直线l有这样的直线有( A.1条条 B.2条条 ) C.1条或条条或2条条或 D.无数条无数条

第五节空间直线与平面的位置关系

【提示】 A，B选项，直线a，b可能平行、相交或异面；C选项，两平面α，β也可能垂直，如墙角，三个平面两两垂直；根据直线与平面垂直的性质定理可知，D正确．
同步精练
8．给出下列命题： ①过平面外一点可以作无数条直线与已知平面平行； ②若一条直线与已知平面平行，则此直线平行于该平面内无数条直线； ③若一条直线与已知平面内的无数条直线不相交，则此直线与该平面平行； ④若一条直线与已知平面内的任意直线不相交，则此直线与该平面平行； ⑤若两条直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线平行．其中正确命题的序号是( D ) A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④
A．外心
B．内心 C．垂心 D．重心
【提示】点P是△ABC所在平面α外一点，且在α内的射影为O，所以PO与平面ABC垂直，若点P到△ABC 的三边距离相等，则根据直角三角形勾股定理，可知点O到△ABC的三边距离相等，所以选B.
同步精练
5．已知Rt△ABC的斜边AB在平面α内，且AC和BC与平面α所成的角分别为30°，45°，CD是斜边AB上的高，则 CD与平面α所成的角为( C )
A．0 B．1
C．2
D．3
【提示】本题主要考查的是直线和平面的位置关
系，只有②正确．
同步精练
10．已知正方体ABCDA1B1C1D1，则下列命题中错误的是( C )
A．AD∥平面D1BC
B．D1C 与平面ABCD所成的角为45° C．A1C1与BD所成的角为45° D．AC与BC1所成的角为60°
符号表示
知识梳理
内容
图形表示
直线与平面垂直
直线与平面所成的角
平面的一条斜线与它在这个平面上的射影所成的锐角叫做这条直线与平面所成的角；若直线与平面垂直，则所成的角为直角；若直线与平面平行或直线在平面内，则所成的角为0°

空间直线和平面的位置关系ppt课件

a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离：设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面内所有直线平行; D. 直线 m 与平面没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法（1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都垂直，那么直线l与平面垂直.

高中数学必修知识点总结：第二章_直线与平面的位置关系

第二章直线与平面的位置关系1. 三个公理：<1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理1作用：判断直线是否在平面内<2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理2作用：确定一个平面的依据。

<3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

3.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

4.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补5.注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；b5E2RGbCAP② 两条异面直线所成的角θ∈(0， >；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

6.直线与平面有三种位置关系：<1）直线在平面内——有无数个公共点<2）直线与平面相交——有且只有一个公共点<3）直线在平面平行——没有公共点7.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

8.两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

9.定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

10.定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

直线平面之间的关系

加强与其他学科的交叉研究
对未来研究的展望
谢谢观看
雕塑
在雕塑艺术中，直线与平面的关系也是塑造形体和表现形式的重要因素之一。雕塑家通过运用直线和平面来塑造形体的轮廓、结构和质感，创造出具有独特美感和意义的作品。
绘画
艺术作品中的直线与平面关系实例
05
总结与展望
对直线与平面关系的总结
直线与平面的关系是几何学中的基本问题，涉及到空间几何的基本概念和性质。在总结直线与平面的关系时，可以从以下几个方面进行阐述
详细描述
直线与平面平行的性质表明，如果一条直线与平面平行，那么这条直线不会与平面内的任何直线相交。这是因为平行线与平面内的所有直线都保持等距，所以不会出现相交的情况。
直线与平面的平行性质
当直线与平面相交时，它们会在平面上产生一个或多个交点。
总结词
直线与平面相交的性质表明，如果一条直线与平面相交，那么它们会在平面上产生一个或多个交点。这是因为直线和平面在三维空间中只有一个共同的点，即它们的交点。如果直线与平面斜交，则会产生一条交线，该交线由多个点组成。
02
直线与平面的性质
总结词
当直线与平面垂直时，直线上的任意一点到平面的距离都相等。
详细描述
直线与平面垂直的性质表明，如果一条直线与平面垂直，那么这条直线上的任意一点到平面的距离都是相等的。这是因为垂直线与平面内的任意一条直线都形成直角，所以点到平面的距离都是相等的。
直线与平面的垂直性质
总结词
当直线与平面平行时，直线不会与平面内的任何直线相交。
直线与平面的关系不仅在几何学中有重要应用，在其他学科中也有广泛的应用前景。例如，在物理学中，如何利用直线与平面的关系来描述光的传播规律；在生物学中，如何利用直线与平面的关系来描述细胞的结构和功能等。因此，加强与其他学科的交叉研究，有助于推动直线与平面关系的研究和应用。

空间中直线与平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。

2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3)直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。

例1、下列命题中正确的命题的个数为。

①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。

变式1、下列说法中正确的是。

①直线l平行于平面α内无数条直线，则lααααbα⊂答案：B⊂bαα⊂变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交.例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B 相交，直线CD 与直线A′B 异面，所以A 、B 都不正确；平面ABCD内不存在与a 平行的直线，所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α,以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α;②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a 平行的直线分析：∵直线a ⊄α,∴a ∥α或a∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A.知识点二直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线与平面的位置关系与判定

直线与平面的位置关系与判定直线与平面的位置关系是几何学中的一个重要概念，研究直线和平面之间的相互关系不仅有助于我们理解几何图形的性质，还有助于解决实际应用问题。

本文将介绍直线与平面的位置关系的概念和判定方法。

一、概念在三维空间中，直线是由无限多个点组成的，而平面是由无限多个直线组成的。

直线与平面的位置关系主要有以下三种情况：1. 直线在平面上当直线上的所有点都在平面上时，我们说该直线在平面上。

直线与平面的交点数目可以是无穷多个，也可以是有限个。

2. 直线与平面相交当直线与平面只有一个交点时，我们说该直线与平面相交。

直线与平面相交可以是垂直相交，也可以是斜交。

3. 直线与平面平行当直线上的所有点都不在平面上，且直线与平面之间没有交点时，我们说该直线与平面平行。

平行关系意味着直线与平面之间的距离相等。

二、判定方法判定直线与平面的位置关系有多种方法，下面将介绍几种常见的判定方法。

1. 平面点法式平面点法式是判断直线与平面关系的一种常用方法。

设平面的方程为ax + by + cz + d = 0，其中a、b、c为平面的法向量分量，x、y、z为平面上任意一点的坐标，d为常数。

若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行；若直线的方向向量与平面的法向量不垂直，则直线与平面相交。

2. 三点确定一平面法三点确定一平面法是另一种判定直线与平面关系的方法。

设直线上的两点坐标为P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)，平面上一点坐标为P0(x0, y0, z0)。

将P1、P2和P0的坐标代入平面的方程，若等式成立，则直线在平面上；若等式不成立，则直线与平面平行或相交。

3. 直线方向向量在平面法向量上的投影为零设直线的方向向量为n(x, y, z)，平面的法向量为m(a, b, c)，则直线与平面平行的条件是n·m = 0，其中·表示向量的内积运算。

若n·m ≠ 0，则直线与平面相交。

直线与平面之间的位置关系(平行动图)

D1 A1
C1 B1
D A
C B
1.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的中点，求证：EF//平面BCD
A
F
E
D
B
C
例1.如图，已知E,F分别是三棱锥 A-BCD的侧棱AB,AD的中点
F
B
D
分析：要证明线面平行只需证明线线平行，即在C平面
BCD内找一条直线平行于EF，由已知的条件怎样找这条直线？
a
符号表示：
a

b

a
//

b
a // b
注意:1.定理三个条件缺一不可。
2.简记：线线平行，则线面平行。
要证线面平行，得在面内找一条线，使线线平行。
感受平行线
球场地面
练习
1.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1平行
的平面是____平__面___Ｂ___Ｃ__1__、__平_. 面CD1
思考:如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线是否和这个平面内的任意一条直线都平行?
平行或异面
1.判定直线与平面平行的方法：
（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；
（2）判定定理：（线线平行线面平行）；
a
b

a
//
a // b
2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成。
直线与平面之间的位置关系
想一想
直线与平面有什么样的位置关系？
学习目标
• 1.了解空间直线与平面的几种关系。 • 2.掌握直线与平面平行的判定定理，能够判断直

空间中直线与平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、直线和平而平行的定义如杲一条亶线和一个平而没有公共点，那么这条直线和这个平而平行。

2、直线与平面位置关系的分类(1) 直线与平而位昼关系可归纳为(玄线和平面平行①按公共点个数分类:直线和平面不平行「直线在平面内②按是否在平面内分类［直线不在平面内 (2) 在直线和平面的位宜关系中，亶线和平面平行，直线和平面相交统称亶线在平而外，我们用记号"U Q 来表示all a 和dp|a = A 这两种情形•⑶宜线与平而位蜀关系的图形画法：① 画直线a 在平而a 内时，裘示亶线a 的直线段只能在表示平而a 的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这爱因为这个用来丧示平面的平行四边形的四周应曼无限延伸而没有边界的，闵而这条直线不可能有某部分在某外；② 在画宜线a 与平而&相交时，表示直线；1的线段必须有部分在表示平而a 的平行四边形之外，这样吒能与丧示亶线在平面內区分开来，又具有较强的立体感；③ 画亶线与平面平行时，晟克观的画法是用来裘示熨线的线在用来表示平而的平行四边形之外，且与某一边平行。

例1、下列命題中正确的命•題的个数为 ______ o① 如果一条直线与一平而平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如栗一条亶线与一平面相交，那么这条直线与平而內的无數条宜线垂直；③过平而外一点有且只有一条宜线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平而的距离相等，则这条克线平行于这个平面。

炎式1、下列说法中正确的是 ______ O① 直线/平行于平面a 內无數条直线，则〃/a ；② 若宜线Q 在平面a 外，则a//a ；③ 若直线a//b,直线bua,则a//a ；宜线和平面相交宜线在平面内宜线和平面相交直线和平面平行④若直线a//b,直线bug 那么直线2就平行于平面a內的无數条宜线。

变式2、下列命题中正确的个数是（）①若直线1上有无数个点不在平而a内，则l//a②若直线1与平而a平行，则1与平而a内的任蕙一条直线都平行③如杲两条平行直线中的一条与一个平而平行，那么另一条也与这个平而平行④若直线1与平而Ot平行，则1与平而0C内的任意一条直线都没有公共点A.OB.lC.2D.3分析：如图2,图2我们借助长方体模型，AA,所在直线有无数点在平面ABCD外，但AA,所在直线与平面ABCP相交，所以命题①不正确；A IB I所在直线平行于平面ABCD, 显然不平行于BD,所以命題②不正确；所在直线平行于平面ABCP,但直线ABU平面ABCP.所以命题③不正确；1与平面0C平行，则1与a无公共点,1与平面«內所有直线都没有公共点，所以命题④正确. 卷案:B萸式3、若直线1上有两个点到平而oc的距离相等，讨论直线1与平而oc的位置关系.0 3解：直线1与平而oc的位亘关系有两种悄况（如图3）,直线与平而平行或賣线与平而相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面工內，讨论另一条直线与平而oc的位置关系.用符号语言表示为：若arib=A,bC：a,R>] aCZa或aAa=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平而oc内，讨论另一条直线与平面oc的位虽关系.用符号语言表示为：若a与b异而则b//工或bAa=A.例3、若直线狄不平行于平而oc,且 y 则下列结论成立的是() A.a 内的所有直线与n 异而 B.oc 內的宜线与久都相交例如直线X B 与平而ABCD 相交，恵线AB 、CD 在平而ABCP 内，直线AB 与直线？/ B 相交，賣线CD 与直线工B 异面，所以A. B 都不正确；平面ABCP 內不存在与a 平行的直线，所以应选D ・变式1.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平而oc 的距离相等，且Aga,以下三个命题： ①AABC 中至少有一条边平行于oc;②AABC 中至多有两边平行于oc ；③ZLABC 中只可能有一条边与oo 相交.其中真命题畏 _______________ .其中真命题是①.萸式2、若賣线aCa,则下列结论中成立的个数是( (1) 00内的所有直线与a 异面 ⑵a 內的賣线与a 都相交內不存在与次平行的直线A.OB.lC.2D.3分析：丁直线 a (Za,/.a // a 或 ap|a=A.如图9,显然⑴⑵⑶(4)都有反例，所以应选A.咎案：A.知识点二直线与平面平行1、直线与平面平行的判定龙理：如杲平而外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平而平行。

直线与平面的位置关系判断

直线与平面的位置关系判断直线与平面的位置关系是几何学中重要的内容之一，通过判断直线与平面的位置关系可以帮助我们解决许多实际问题。

在本文中，我们将介绍判断直线与平面的位置关系的方法和几个实际应用案例。

一、直线在平面上的位置关系判断直线与平面的位置关系判断可以分为三种情况：直线与平面相交、直线在平面上、直线与平面平行。

1. 直线与平面相交当直线与平面有一个或多个交点时，我们可以判断直线与平面相交。

相交的情况下，可以进一步判断直线与平面的交点数目。

2. 直线在平面上当直线的每一个点都在平面上时，我们可以判断直线在平面上。

直线在平面上的情况下，可以进一步判断直线与平面的位置关系。

3. 直线与平面平行当直线上的所有点都不在平面上，并且直线与平面的方向向量垂直时，我们可以判断直线与平面平行。

直线与平面平行的情况下，可以进一步判断直线与平面之间的距离。

二、直线与平面位置关系判断的应用直线与平面的位置关系判断在实际应用中有许多重要的应用。

以下是几个典型的应用案例。

1. 三维图形的绘制在三维图形的绘制中，判断直线与平面的位置关系可以帮助我们确定直线的投影位置，从而绘制出更加准确的三维图形。

2. 汽车设计与航空设计汽车设计与航空设计中，直线与平面的位置关系判断可以帮助工程师确定车身与机翼的位置关系，从而优化车辆的气动性能和安全性能。

3. 建筑设计与土木工程在建筑设计与土木工程中，直线与平面的位置关系判断可以帮助建筑师和工程师确定建筑物与地面的位置关系，从而确保建筑物的稳定性和安全性。

4. 光学设计在光学设计中，直线与平面的位置关系判断可以帮助光学工程师确定光线的传输路径，从而设计出更加高效和精确的光学系统。

总结：直线与平面的位置关系判断是几何学中的重要内容，通过合理的判断可以帮助我们解决许多实际问题。

在本文中，我们介绍了直线与平面相交、直线在平面上以及直线与平面平行的判断方法，并且给出了几个应用案例。

直线与平面的位置关系判断在各个领域都有重要的应用，希望本文能为读者提供一些帮助。

直线和平面的位置关系

o
证明：反证法.

设a与b不平行，b O. 过O点作b // a.
a // b, a , b .
设a与b不平行，b O. 过O点作b // a.
例2 已知一条直线l 和一个平面平行. 求证: 直线 l 上各点到平面的距离相等(如图).
证明: 过直线l上任意两点A, B
a
无数个
a∥
没有
a=A
一个
a
一个
一、直线和平面平行
1、直线和平面平行的判定直线和平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
如图已知l , m ,
l
且l//m.
求证： l //
m α
如图已知l , m ,
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的射影. （4）射影定理
2、直线和平面所成的角
（1）斜线和平面成角（2）直线和平面成角（3）最小角定理
例如图，P 是平面外一点，过P分别作平面的垂线PO、斜线PA、 PB,O是垂足，A、B
是斜足.PO 8, PA 16, PB 10. 求直线PA、 PB 分别和平面所成的角的度数（精确到分）。
平面内的一条直线垂直的判定定理。
三垂线逆定理
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
PA⊥α
aα
①
PA⊥a
PO⊥a
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
P a
Ao α
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
三垂线定理

空间解析几何基础直线与平面的位置关系

空间解析几何基础直线与平面的位置关系直线与平面是空间解析几何中的基本图形，它们在空间中的位置关系是解析几何的核心内容之一。

本文将介绍直线与平面的位置关系，包括直线与平面的相交、平行以及垂直关系。

一、直线与平面的相交关系直线与平面可以有不同的相交情况，主要包括直线与平面相交于一点、直线与平面相交于一条直线和直线与平面相交于两条直线三种情况。

1. 直线与平面相交于一点当一条直线与一个平面相交于一个点时，我们称这条直线与该平面相交于一点。

该点既属于直线，也属于平面。

直线与平面相交于一点的情况比较常见，可以用许多实际生活中的例子来说明，比如一根针穿过一张纸的情况。

2. 直线与平面相交于一条直线当一条直线与一个平面相交于一条直线时，我们称这条直线与该平面相交于一条直线。

这种情况可能出现在直线与平面平行的情况下，例如一根笔放在桌子上的情况。

3. 直线与平面相交于两条直线当一条直线与一个平面相交于两条直线时，我们称这条直线与该平面相交于两条直线。

这种情况比较特殊，不太容易在实际生活中找到例子。

二、直线与平面的平行关系直线与平面的平行关系是指直线与平面在空间中没有任何交点的情况。

直线与平面平行的条件是直线上的任意一点到平面的距离等于直线上另一点到该平面的距离，也可以说直线的方向向量与平面的法向量平行。

例如，一根笔放在桌子上时，笔看起来与桌面平行。

三、直线与平面的垂直关系直线与平面的垂直关系是指直线与平面在空间中相互垂直的情况。

直线与平面垂直的条件是直线上的向量与平面上的向量垂直，也可以说直线的方向向量与平面的法向量垂直。

例如，一个立着的直角梯子放在地上时，梯子与地面垂直。

总结：直线与平面是空间解析几何中的基本图形，它们在空间中的位置关系有相交关系、平行关系和垂直关系。

相交关系包括相交于一点、相交于一条直线和相交于两条直线三种情况，平行关系是指直线与平面没有任何交点，垂直关系是指直线与平面相互垂直。

理解直线与平面的位置关系对于解析几何的学习非常重要，它们的性质和应用将在进一步的学习中得到深入探讨。

直线与平面的位置关系表示方法

直线与平面的位置关系表示方法直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行
①直线在平面内——有无数个公共点
②直线和平面相交——有且只有一个公共点
直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp。

空间向量法（找平面的法向量）
规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角
三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直
esp。

直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直。

直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行——没有公共点
直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

直线与平面之间的位置关系

高中数学 点、直线、平面之间的位置关系

平面和直线的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系

直线与平面、平面与平面间的位置关系

第五节 空间直线与平面的位置关系

空间直线和平面的位置关系ppt课件

高中数学必修知识点总结：第二章_直线与平面的位置关系

直线平面之间的关系

空间中直线与平面之间的位置关系

直线与平面的位置关系与判定

直线与平面之间的位置关系(平行动图)

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直线与平面的位置关系判断

直线和平面的位置关系

空间解析几何基础直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系表示方法

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第五节空间直线与平面的位置关系