概率论与数理统计浙大四版 第五章 习题课4-5

6 7
x2
dx
5, 7
E( X 2 ) 1 2 6 x2( x2 1 xy)dxdy 39 ,
007
2
70
故
D(
X
)

39 70


52
7


23 , 490
因为E(Y ) 1 2 6 y( x2 1 xy)dydx 8 ,
007
2
7
E(Y 2 ) 1 2 6 y2( x2 1 xy)dydx 34 ,
007
2
21
故
D(Y
)

34


8
2


46
,
21 7 147
E( XY ) 1 2 6 xy( x2 1 xy)dydx 17 ,
007
2
21
故 Cov( X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
9


P 40
95 95

k 1
Xk 95 95

50 9 5
95






50

1/ 2 45

45




40

1/ 2 45

45

(0.820) (0.820)
(2)
9 P
k1
第四章 随机变量的数字特征 习题课
一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题
一、重点与难点
1.重点
数学期望的性质和计算 方差的性质和计算 相关系数的性质和计算
2.难点
数字特征的计算
二、主要内容
方
二 维
数学期望
差
随
机
变 量 的 数
离 散 型
连 续 型
性 质
学
期 望
随机变量函数的 数学期望
协 方 差 与 相 关 系
P Yn 1000
6

1000 5 / 6 1000 5 / 6
2 6 6 1 2 (0.208) 1
5000
2 0.5832 1 0.1664 .
例9 某医院一个月接受破伤风患者的人数是一
个随机变量, 它服从参数 5 的泊松分布, 各月
y

π, 2
0,
其他
且 Z cos( X Y ), 求 E(Z ) 和 D(Z ).
解

E(Z)
cos( x y) f ( x, y)dxdy


π 2
π 2
1 cos( x

y)sin( x

y)dxdy
0 02

π 2
1
[cos
2
x

cos(
其他.
因此所求数学期望为
E( X Y ) 1 1 x y 6x2 y dx dy 00
( x y)6x2 ydxdy ( x y)6x2 y dxdy
D1
D2
1 1 12 6
1 (小时). 4
例6 设随机变量X1, X2 ,, Xn 量相互独立,且都服 从数学期望为1的指数分布, 求 Z min( X1, X2,, Xn ) 的数学期望和方差.
nenz , z 0,
fZ
(z)

0,
其他.
于是
E(Z ) znenzdz zenz enzdz 1 .
0
0
0
n
而
E(Z2)
0
z 2ne nzdz

2 n2
,
于是
D(Z )
E(Z 2 ) (E(Z ))2

1 n2 .
17 5 8 1 , 21 7 7 147
于是 ( X ,Y )的协方差矩阵为

23
490 1
147
1 147 46
.
147
X 与Y 的相关系数 XY
Cov( X ,Y ) 15 . D( X ) D(Y ) 69
备用例题
例4 设随机变量 X 和 Y 相互独立, 且都服从标准 正态分布, 求 Z X 2 Y 2 的数学期望. 解 X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1), X 和 Y 相互独立,
X 和Y 的联合概率密度为
f ( x, y) 1 e x2 2 1 e y2 2 1 e , ( x2 y2 ) 2
2π
2π
2π
于是 E(Z ) E( X 2 Y 2 )
1
x2 y2

x2

y
2

e
2
dx dy.
2π
令 x r cos , y r sin ,得
6 ( x2 7

1 xy), 0 2
x
1, 0
y

2,
0,
其他
求 ( X ,Y )的协方差矩阵及相关系数.
解
E(X)

x f ( x, y)dxdy


1 0
2 6 x( x2 1 xy)dydx
07
2
1 0
12 7
x3
E(Z ) 1
r2
2π r 2e 2 drd
2π 0 0
2π
r2
r 2e 2 dr
2π 0
r2
r2
re 2 e 2 dr 0
π. 2
0
例5 甲、乙两人相约于某地在 12 : 00 ~ 13 : 00 会面,
设 X , Y 分别是甲、乙到达的时间, 且设 X 和Y 相互独
数
定义 计算
性质
定义
协方差 的性质 相关系数 定理
例1
设随机变量
X
的概率密度
f
( x)

π(1
1
x2),
求 E[min( X ,1)].
解

E[min( X ,1)] min( x , 1) f ( x)dx

x f ( x)dx f ( x)dx
x 1
x 1
1
π
1x 11 x2
dx

1 π
1 x 11 x2
dx

2 π
1
01
x x2
dx

2 π
1
1
1 x
2
dx

1 ln 2 1 .
π
2
例2 设二维连续型随机变量( X ,Y )的联合密度
函数为 f (x, y)
12 sin( x
y), 0
x

π, 0 2
接受破伤风患者的人数相互独立. 求一年中前 9 个月内接受的患者(1) 40人 ~ 50人; (2)多于 30人 的概率.
解 记 Xk ( k 1,2,,9) 是第 k 个月医院接受破 伤风患者的人数,
根据题意有 Xk ~ π(5),
(1)
P
40

9
Xk

50

k 1


立,已知X , Y 的概率密度分别为
3x2 , 0 x 1,
f
X
(
x)

0,
其他.
fY
(
y)

2 y, 0,
0 y 1, 其他.
求先到达者需要等待的时间的数学期望.
解 X 和 Y 的联合概率密度为
6x2 y, 0 x 1,0 y 1,
f (x, y) 0,
i 1
则Yn
~
B
n,
1 6
,
n 6000.
根据题意, 所求概率为
P
Yn 6000

1 6

1 1000

P(Yn
1000

6),
因为
Yn
~
B 6000,
1 6
,
由中心极限定理有:
Yn近似服
从
N

1000,
1000
5 6
,
所以 P Yn 1 1 6000 6 1000
Xk

31

P31
9 k 1
Xk




()



31

1
/2 45
45

1 (2.16)
0.9846.
π

2
x
)]dx

0,
02
D(Z ) E(Z 2 )

π 2
π 2
1
cos2
(
x

y)sin( x

y)dxdy
0 02
1 6
π 2 0
cos3
x

cos3

x

π 2
dx
2. 9
例3 设二维连续型随机变量( X ,Y )的联合密度
函数为
f (x, y)
i 1
例8 现有一批种子, 其中良种占1 , 今在其中任 6
选 6000 粒, 试问在这些种子中良种所占的比例与
Hale Waihona Puke Baidu
1 之差的绝对值小于 1 的概率是多少?
6
1000
解
令
Xi

1, 0,
第 i 粒是良种, 第 i 粒不是良种,
i 1,2,,n.
则 P( Xi

1)

1, 6
n
记Yn Xi ,
解 Xi (i 1,2,, n) 的分布函数为
1 ex , x 0,
F(x) 0,
其他.
Z min( X1, X 2 ,, X n ) 的分布函数为
FZ (z) 1 [1 F (z)]n

1 enz , 0,
z 0, 其他.
Z 的概率密度为
由于
P{ X i
1} P{Y
0} (1 3)0e1 3 0!
e1 3 ,
知 Xi 的分布律为
Xi
0
1
pk 1 e1 3 e1 3
i 1,2,,365.
于是 E( Xi ) e1 3 .
即得 X 的数学期望为
365
E( X ) e1 3 365 e1 3 262(天).
例7 某城市一天内发生严重刑事案件数Y 服从以
1 3 为参数的泊松分布, 以 X 记一年内未发生严重
刑事案件的天数, 求 X 的数学期望.
解 引入随机变量:
1, 若在第 i 天未发生严重行事案件,
Xi 0, 其他,
i 1, 2,, 365.
则 X X1 X2 X365.