代数方法解几何问题在初中教学中的探究

代数方法解几何问题在初中教学中的探究

作者：罗亚平

来源：《中国校外教育·综合（上旬）》2013年第10期

摘要：在初中几何教学中，会遇到求角的度数、线段的长度、图形的面积等计算类的几何问题，代数方法是解决这类问题的一种重要而且简捷的办法，掌握它有助于我们把千变万化的题目化归为相对固定的题型，从而树立以不变应万变的解题策略。

关键词：代数方法几何问题数形结合方程思想

数学是研究客观世界空间形式和数量关系的学科，运用对立统一的规律，“数”与“形”相互影响、相互渗透、相互转化，从而形成了研究数学关系的数学方法——数形结合。数形结合思想的实质是，把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，以直观的可见辅助抽象的思考，正如华罗庚先生所说“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”

在初中几何的教学中，我们会遇到求角的度数、线段的长度、图形的面积等计算类的几何问题，在解决这种问题时，由于涉及到的数量关系比较多，容易在思维上给学生以混乱，在书写上给学生以麻烦，往往是我们教学中的一大难点，也是学生学习中的一大障碍，但是用代数方法把一个或两个关键的数量用x、y等字母来表示，其它相关的数量用含这些字母的代数式来表示，从而利用数学定理中的等量关系或是题目中的数量关系列方程来解决，可以使复杂的数量关系变得清晰，使混乱的逻辑联系变得简洁，使抽象的思维变得直观，有利于提高学生的思维能力和数学素养，为高中学习解析几何作好必要的准备。

一、利用定理列方程

三角形的内角和定理、互余互补的定义、多边形内角和定理、多边形的外角和定理和直角三角形的勾股定理都直接反应了图形数量间的等量关系，非常适合用方程思想解决这类问题。

如图，在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD⊥AC于E，求∠DBC的度数.由于题中既有已知的等量关系，又要用到三角形内角和，所以关系一多，学生反而不易理解题目，造成觉得题目简单，但是不知如何下笔，如果用方程来解，思路就很清晰。

在垂径理的应用中，我们经常会碰到四种数量，圆的半径r、弦长a、弦心距d、弓高h。这四个数量之间既有垂径定理的模型，又有勾股定理模型，在已知上述两个数量的基础上我们可以利用方程思想求得另外的两个数量，有了这一种通用的方法，这类问题就整体解决了。这里体现了代数方法解决几何问题的便捷所在。

二、巧设字母表关系

（1）如图1、2、3，△ABC中，BO、CO分别是内角或外角的角平分线，试说明∠A与∠BOC的关系。

（2）如图4，AM、CM分别平分∠BAD与∠BCD，求∠M与∠B、∠D的关系。

这一组题中，既有三角形的内角和定理，又有外角定理，还涉及到角平分线知识，等量关系比较多，学生在书写时不容易理清彼此之间的逻辑联系，造成想得到写不出的结果，但是象图上标明的一样，用x、y来表示一些角，根据定理用等式表示题中的等量关系，使得思维变得直观具体，巧的是这些未知数x和y不需要解出来，而是使用等量代换就可以把题目中要求的关系求得，学生易于理解和掌握。

三、铅垂高来算面积

中考数学常会出现一些综合性的求面积的问题，这类题型所要求的图形面积，经常是三角形或四边形，当然有时也有一些不规则的图形，直接求面积肯定有难度，解决这类问题基本上分为两种方法，一种是转化为另一个图形的面积来算，另一种则是转化成两个或两个以上的图形面积之间的和差来求。用铅垂高和水平宽求三角形面积的方法具有代表性。

在解决上述问题时，我们可以把三角形ABC的面积看作是△ACM与△ABM的面积和，即以AM为铅垂高乘以B、C的水平宽的积的一半来求，使问题变得简单而直接，甚至这个题还可以进一步求出点C到AB的距离。

这种用三角形的铅垂高与三角形的水平宽之积的一半来求三角形面积的方法，具有普遍性和新颖性，在很多时候它可以做到化难为易，化繁为简，学生也容易理解和运用，从而形成一种解决三角形面积问题的数学思想，体现了代数方法解决几何问题的便捷和直接。

代数方法本身具有方法的固定性，适合解决同类型的问题，可以说是有招有式的方法，其思考方向，思维模式，解题步骤都基本相同，但是几何的题目却是千变万化的，这就要求学生善于把变化多端的题目化归为不变的题型，从而找到相应的解决办法，有时一个“方程思想”就可以使一类问题迎刃而解，也有的时候要多种解题思想综合运用才能达到“柳暗花明”的境界。比如，全国各地的中考题中，最后的压轴题基本上都是多种思维方法，多种解题策略综合运用才能解决的，而较好地掌握代数方法就使我们在解决复杂问题的时候多了一条路，也多了一个得分的机会，更多了一个迈向成功的希望。

参考文献：

[1]中学数学教学与实践研究.

[2]激智数学.

[3]精析巧练.