2017年中考专题复习《与圆有关的性质》同步练习含答案

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中考数学复习《圆的有关性质》测试题(含答案)

中考数学复习《圆的有关性质》测试题（含答案）一、选择题(每题5分，共30分)1．[2014·梧州]已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O 的位置关系是(C) A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【解析】∵⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O 的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．2．[2015·珠海]如图29－1，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是(D)A．25°B．30°C．40°D．50°图29－1【解析】∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴AD︵＝BD︵，∴∠DOB＝2∠C＝50°.3．[2015·遂宁]如图29－2，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝(B) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm图29－2【解析】显然利用垂径定理．如答图，连结OA ， ∵AB ＝6 cm ，AC ＝12AB ＝ 3 cm ，又⊙O 的半径为5 cm ，所以OA ＝5 cm ，在Rt △AOC 中， OC ＝AO 2－AC 2＝52－32＝4(cm)．4．[2015·宁波]如图29－3，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A ＝72°，则∠BCO 的度数为(B)A ．15°B ．18°C ．20°D ．28°图29－3【解析】连结OB ，如答图，∠BOC ＝2∠A ＝2×72°＝144°，∵OB ＝OC ，∴∠CBO ＝∠BCO ，∴∠BCO ＝12(180°－∠BOC )＝12×(180°－144°)＝18°.5．[2015·巴中]如图29－4，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为(A)A ．25°B ．50°C ．60°D ．30° 【解析】 ∵∠BOC ＝2∠BAC ，∠BOC ＝50°，第3题答图第4题答图∴∠BAC＝25°，∵AC∥OB，∴∠BAC＝∠B＝25°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝25°.图29－4 图29－56．[2014·荆门]如图29－5，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是(D) A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD【解析】由题意可知，∠ADC＝∠ADB＝90°，A．∵∠ACD＝∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A正确；B．∵AD＝DE，∴AD︵＝DE︵，∴∠DAE＝∠B，∴△ADC∽△BDA，故B正确；C．∵AD2＝BD·CD，∴AD∶BD＝CD∶AD，∴△ADC∽△BDA，故C正确；D．∵AD·AB＝AC·BD，∴AD∶BD＝AC∶AB，但∠ADC＝∠ADB不是夹角，故D错误．二、填空题(每题5分，共30分)7．[2015·贵州]如图29－6，A ，B ，C 三点均在⊙O 上，若∠AOB ＝80°，则∠ACB ＝__40°__．【解析】 ∠ACB ＝12∠AOB ＝12×80°＝40°.图29－6 图29－78．[2015安徽]如图29－7，点A ，B ，C 在⊙O 上，⊙O 的半径为9，AB ︵的长为2π，则∠ACB 的大小是__20°__．9．[2015·娄底]如图29－8，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD ＝40°，则∠BAD ＝__50__度．【解析】 ∵在⊙O 中，AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠B ＝∠ACD ＝40°，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝50°.10.[2015·泰州]如图29－9，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A ＝115°，则∠BOD 等于__130°__．【解析】 ∵∠A ＝115°，∴∠C ＝180°－∠A ＝65°，∴∠BOD ＝2∠C ＝130°.图29－9 图29－10图29－811．[2015·绍兴]如图29－10，已知点A (0，1)，B (0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于__60__度．【解析】 ∵A (0，1)，B (0，－1)， ∴AB ＝2，OA ＝1，∴AC ＝2，在Rt △AOC 中，cos ∠BAC ＝OA AC ＝12， ∴∠BAC ＝60°.12．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道．如图29－11，水面宽度原有60 cm ，发现时水面宽度只有50 3 cm ，同时水位也下降65 cm ，则修理人员应准备的半径为__50__cm 的管道．图29－11【解析】如答图所示：过点O 作EF ⊥AB 于点F ，交CD 于点E ，连结OC ，OA ， ∵CD ∥AB ，∴EF ⊥CD ，∵CD ＝60 cm ，AB ＝50 3 cm ， ∴CE ＝12CD ＝12×60＝30 cm ， AF ＝12AB ＝12×503＝25 3 cm ，设⊙O 的半径为r ，OE ＝h cm ，则OF ＝65－h (cm)，在Rt △OCE 中，OC 2＝CE 2＋OE 2，即r 2＝302＋h 2，①第12题答图在Rt△OAF中，OA2＝AF2＋OF2，即r2＝(253)2＋(65－h )2，②①②联立，解得r＝50 cm.三、解答题(共10分)13．(10分)[2014·湖州]如图29－12，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．图29－12解：(1)证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E.则CE＝DE，AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD；(2)由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，第13题答图如答图，连结OA，OC，∴CE＝OC2－OE2＝82－62＝27.AE＝OA2－OE2＝102－62＝8.∴AC＝AE－CE＝8－27.14．(8分)[2015·安顺]如图29－13，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为(C)图29－13A．2 2 B．4C．4 2 D．8【解析】∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝22OC＝22，∴CD＝2CE＝4 2.15．(10分)某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2 m，如图29－14，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m，船舱顶部为方形并高出水面(AB)2 m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？图29－14解：如答图，连结ON，OB.∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．∵AB＝7.2 m，∴BD＝12AB＝3.6 m.第15题答图设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝OC－CD＝r－2.4.在Rt△BOD中，根据勾股定理得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9(m)．∵CD＝2.4 m，船舱顶部为方形并高出水面AB为2 m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96，∴EN＝ 2.96 m，∴MN＝2EN＝2× 2.96≈3.44(m)＞3(m)，∴此货船能顺利通过这座拱桥．16．(12分)[2015·台州]如图29－15，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.图29－15解：(1)∵BC＝DC，∴BC︵＝DC︵.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°；(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.。

九年级数学： 24.1 圆的有关性质(同步练习题)( 含答案)

24．1圆的有关性质24．1.1圆1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周___，__另一个端点A___所形成的图形叫做圆．这个固定的端点O叫做__圆心___，线段OA叫做__半径___．2．连接圆上任意两点间的线段叫做__弦___．圆上任意两点间的部分叫做__弧___．直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦．3．在同圆或等圆中，能够__互相重合___的弧叫等弧．4．确定一个圆有两个要素，一是__圆心___，二是__半径___，圆心确定__位置___，半径确定__大小___．知识点1：圆的有关概念1．以已知点O为圆心，已知长为a的线段为半径作圆，可以作( A)A．1个B．2个C．3个D．无数个2．下列命题中正确的有( A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，图中弦的条数为( B)A．1条B．2条C．3条D．4条4．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为( A)A．1条B．2条C．3条D．无数条5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆．解：在，圆心是线段BD的中点．图略知识点2：圆中的半径相等6．如图，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为( C)A．38°B．52°C．76°D．104°,第6题图),第7题图) 7．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝( D)A．45°B．60°C．90°D．30°8．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.解：由ASA证△BEO≌△CFO，∴OE＝OF，又∵OC＝OB，∴OC＋OE＝OB＋OF，即CE＝BF9．如图，点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，且∠AOB＝∠COD.求证：∠C＝∠D.解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠AOC＝∠COD＋∠AOC，即∠AOD＝∠BOC，又OA＝OB，OC＝OD，∴△AOD≌△BOC，∴∠C＝∠D10．M，N是⊙O上的两点，已知OM＝3 cm，那么一定有( D)A．MN＞6 cm B．MN＝6 cmC．MN＜6 cm D．MN≤6 cm11．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是( B)A．a＞b＞c B．a＝b＝cC．c＞a＞b D．b＞c＞a12．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为( C)A．50°B．60°C．70°D．80°,第12题图),第13题图) 13．如图是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是( D)14．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为__3或4___．15．如图，AB，CD为圆O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点．求证：四边形CEDF为平行四边形．解：∵AO＝BO，E，F分别是AO和BO的中点，∴EO＝FO，又CO＝DO，∴四边形CEDF为平行四边形16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB，∴∠OBA ＝∠OAB.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)，∴OE＝OF17．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB ＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE，∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E ＝18°，∴∠OCE＝36°，∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°18．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形．(1)求证：OC＝OF；(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．解：(1)连接OD，OE，则OD＝OE，又∠OCD＝∠OFE＝90°，CD＝EF，∴Rt△ODC ≌Rt△OEF(HL)，∴OC＝OF(2)连接OH，∵CF＝EF＝2，∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝12＋22＝5.设FG＝GH＝x，则(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(舍去)，∴S ＝12＝1正方形FGHK24．1.2 垂直于弦的直径1．圆是__轴对称___图形，任何一条__直径___所在的直线都是它的对称轴．2．(1)垂径定理：垂直于弦的直径__平分___弦，并且__平分___弦所对的两条弧； (2)推论：平分弦(非直径)的直径__垂直___于弦并且__平分___弦所对的两条弧．3．在圆中，弦长a ，半径R ，弦心距d ，它们之间的关系是__(12a)2＋d 2＝R 2___．知识点1：认识垂径定理 1．(2014·毕节)如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( B ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3,第1题图),第3题图),第4题图)2．CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，则BE 的长是( C )A ．8B ．2C ．2或8D ．3或73．(2014·北京)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A ＝22.5°，OC ＝4，则CD 的长为( C )A ．2 2B ．4C ．4 2D ．8 4．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为__24___．知识点2：垂径定理的推论5．如图，一条公路弯道处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O 是这条弧所在圆的圆心，点C 是AB ︵的中点，半径OC 与AB 相交于点D ，AB ＝120 m ，CD ＝20 m ，则这段弯道的半径是( C )A ．200 mB ．200 3 mC ．100 mD ．100 3 m,第5题图) ,第6题图)6．如图，在⊙O 中，弦AB ，AC 互相垂直，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则四边形OEAD 为( C )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．梯形知识点3：垂径定理的应用7．如图是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB 宽为8 cm ，水的最大深度为2 cm ，则输水管的半径为( C )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm,第7题图) ,第8题图)8．古题今解：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE ＝1寸，CD ＝10寸，则直径AB 的长为__26___寸．9．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？解：连接OA.∵CD ⊥AB ，且CD 过圆心O ，∴AD ＝12AB ＝1米，∠CDA ＝90°.在Rt△OAD 中，设⊙O 的半径为R ，则OA ＝OC ＝R ，OD ＝5－R.由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝(5－R)2＋12，解得R ＝2.6，故圆拱形门所在圆的半径为2.6米10．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是( C )A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5,第10题图) ,第11题图)11．(2014·黄冈)如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB 于点E ，若∠BAD ＝30°，且BE ＝2，则CD ＝．12．已知点P 是半径为5的⊙O 内一点，OP ＝3，则过点P 的所有弦中，最长的弦长为__10___；最短的弦长为__8___．13．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B 的坐标为__(6，0)___．,第13题图) ,第14题图)14．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为__4___．15．如图，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工人师傅求出AB ︵所在⊙O 的半径r.解：由题意知OA ＝OE ＝r ，∵EF ＝1，∴OF ＝r －1.∵OE ⊥AB ，∴AF ＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt △OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2，解得r ＝138，即圆O 的半径为138米16．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8 cm ，腰AB ＝5 cm ，求圆片的半径R.解：(1)分别作AB ，AC 的垂直平分线，其交点O 为所求圆的圆心，图略 (2)连接AO交BC 于E.∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，BE ＝12BC ＝4.在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3.连接OB ，在Rt △BEO 中，OB 2＝BE 2＋OE 2，即R 2＝42＋(R －3)2，解得R ＝256，即所求圆片的半径为256cm17．已知⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，则AB ，CD 之间的距离为( D )A ．17 cmB ．7 cmC ．12 cmD ．17 cm 或7 cm18．如图，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点F ，AO ⊥BC ，垂足为E ，BC ＝2 3. (1)求AB 的长； (2)求⊙O 的半径．解：(1)连接AC ，∵CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴AF ＝BF ，∴AC ＝BC.延长AO 交⊙O 于G ，则AG 为⊙O 的直径，又AO ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∴AC ＝AB ，∴AB ＝BC ＝23 (2)由(1)知AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠OAF ＝30°，在Rt △OAF 中，AF ＝3，可求OA ＝2，即⊙O 的半径为224．1.3 弧、弦、圆心角1．圆既是轴对称图形，又是__中心___对称图形，__圆心___就是它的对称中心． 2．顶点在__圆心___的角叫圆心角．3．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的__弧___相等，且所对的弦也__相等___． 4．在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量是相等的，则它们所对应的其余各组量也分别__相等___．知识点1：认识圆心角1．如图，不是⊙O 的圆心角的是( D ) A ．∠AOB B ．∠AOD C ．∠BOD D ．∠ACD,第1题图) ,第3题图)2．已知圆O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝__60°___．3．(2014·菏泽)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为__50°___．知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 是( C )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°,第4题图) ,第5题图)5．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D ) ①AB ︵＝CD ︵； ②BD ︵＝AC ︵；③AC ＝BD ； ④∠BOD ＝∠AOC. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为( C )A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°,第6题图) ,第7题图)7．如图，在同圆中，若∠AOB ＝2∠COD ，则AB ︵与2CD ︵的大小关系为( C ) A .AB ︵＞2CD ︵ B .AB ︵＜2CD ︵ C .AB ︵＝2CD ︵D ．不能确定8．如图，已知D ，E 分别为半径OA ，OB 的中点，C 为AB ︵的中点．试问CD 与CE 是否相等？说明你的理由．解：相等．理由：连接OC.∵D ，E 分别为⊙O 半径OA ，OB 的中点，∴OD ＝12AO ，OE ＝12BO.∵OA ＝OB ，∴OD ＝OE.∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC.又∵OC＝OC ，∴△DCO ≌△ECO(SAS )，∴CD ＝CE9．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝__40°___．,第9题图) ,第10题图)10．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.在下列结论中：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME ＝NF ；③AE ＝BF ；④ME ＝2AE.正确的有__①②③___．11．如图，A ，B ，C ，D 在⊙O 上，且AB ︵＝2CD ︵，那么( C )A ．AB ＞2CD B ．AB ＝2CDC ．AB ＜2CDD ．AB 与2CD 大小不能确定12．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，且AC ＝BD ，求证：AB ＝CD.解：∵AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD13．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC 于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，求证：GE ︵＝EF ︵.解：连接AF ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠GAE ＝∠B ，∠EAF＝∠AFB.又∵AB ＝AF ，∴∠B ＝∠AFB ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝EF ︵14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.解：(1)△AOC 是等边三角形．理由：∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°.又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形(2)∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD)＝60°.∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形，∴∠ODB ＝60°，∴∠ODB ＝∠COD ＝60°，∴OC ∥BD15．如图，在△AOB 中，AO ＝AB ，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于D ，交AO 于点E ，AD ＝BO.试说明BD ︵＝DE ︵，并求∠A 的度数．解：设∠A ＝x °.∵AD ＝BO ，又OB ＝OD ，∴OD ＝AD ，∴∠AOD ＝∠A ＝x °，∴∠ABO ＝∠ODB ＝∠AOD ＋∠A ＝2x °.∵AO ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO ＝2x °，从而∠BOD＝2x °－x °＝x °，即∠BOD ＝∠AOD ，∴BD ︵＝DE ︵.由三角形的内角和为180°，得2x ＋2x ＋x ＝180，∴x ＝36，则∠A ＝36°16．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，AN ︵的度数为60°，点B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上的一个动点，求PA ＋PB 的最小值．解：作点B 关于MN 的对称点B′.因为圆是轴对称图形，所以点B′在圆上．连接AB′，与MN 的交点为P 点，此时PA ＋PB 最短，ABB ′⌒所对的圆心角为90°，连接OB′，则∠AOB′＝90°，∴AB ′＝AO 2＋OB′2＝2，∴PA ＋PB ＝AB ′＝2，即PA ＋PB 的最小值为224．1.4 圆周角1．顶点在__圆___上，并且两边和圆__相交___的角叫圆周角．2．在同圆或等圆中，__同弧___或__等弧___所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角___的一半．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相等___．3．半圆或直径所对的圆周角是__直角___，90°的圆周角所对的弦是__直径___． 4．圆内接四边形对角__互补___，外角等于__内对角___.知识点1：认识圆周角1．下列图形中的角是圆周角的是( B )2．在⊙O 中，A ，B 是圆上任意两点，则AB ︵所对的圆心角有__1___个，AB ︵所对的圆周角有__无数___个，弦AB 所对的圆心角有__1___个，弦AB 所对的圆周角有__无数___个．知识点2：圆周角定理3．如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，ACB ︵为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是( A ) A ．2∠C B ．4∠B C ．4∠A D ．∠B ＋∠C,第3题图) ,第4题图)4．(2014·重庆)如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC ＋∠AOC ＝90°，则∠AOC 的大小是( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°知识点3：圆周角定理推论5．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°,第5题图),第6题图),第7题图)6．如图，CD ⊥AB 于E ，若∠B ＝60°，则∠A ＝__30°___．7．如图，⊙O 的直径CD 垂直于AB ，∠AOC ＝48°，则∠BDC ＝__24°___．8．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.解：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴∠BDC ＝∠ADB ，∴DB 平分∠ADC知识点4：圆内接四边形的对角互补9．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( B )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°,第9题图) ,第10题图)10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D ＝__80°___，∠B ＝__100°___.11．如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是( B )A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°,第11题图) ,第12题图)12．(2014·丽水)如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD.已知DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦BC 的弦心距等于( D )A .412B .342C ．4D ．3 13．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，∠BAC ＝70°，则∠OCB ＝__20°___．,第13题图),第14题图),第15题图)14．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是AC ︵上任意一点(不与A ，C 重合)，∠ABC ＝55°，则∠POC 的取值范围是__0°＜∠POC ＜110°___．15．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA ＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为．16．如图，在△ABC 中，AB ＝为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．解：(1)连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.又∵AB ＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形 (2)连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE ⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12×2＝117．(2014·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB ︵上两点，AB ＝13，AC ＝5.(1)如图①，若点P 是AB ︵的中点，求PA 的长；(2)如图②，若点P 是BC ︵的中点，求PA 的长．解：(1)连接PB.∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB ︵的中点，∴PA ＝PB ，∠APB ＝90°，可求PA ＝22AB ＝1322(2)连接BC ，OP 交于点D ，连接PB.∵P 是BC ︵的中点，∴OP ⊥BC ，BD＝CD.∵OA ＝OB ，∴OD ＝12AC ＝52.∵OP ＝12AB ＝132，∴PD ＝OP －OD ＝132－52＝4.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，由勾股定理可求BC ＝12，∴BD ＝12BC ＝6，∴PB ＝PD 2＋BD 2＝42＋62＝213.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∴PA ＝AB 2－PB 2＝132－（213）2＝31318．已知⊙O 的直径为10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D. (1)如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长； (2)如图②，若∠CAB ＝60°，求BD 的长．解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝∠BDC ＝90°.在Rt △CAB 中，AC ＝BC 2－AB 2＝102－62＝8.∵AD 平分∠CAB ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD.在Rt △BDC 中，CD 2＋BD 2＝BC 2＝100，∴BD 2＝CD 2＝50，∴BD ＝CD ＝52 (2)连接OB ，OD.∵AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°，∴∠DAB ＝12∠CAB ＝30°，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝60°.又∵⊙O 中OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵⊙O 的直径为10，∴OB ＝5，∴BD ＝5。

人教版-数学-九年级上册-24.1 圆的有关性质同步测试题(含答案)

圆的有关性质一、选择题(每题4分，共32分)1．下列说法错误的是( )A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧2．如图1，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC＝50°，则∠ADB的度数为( )图1A．15°B．25°C．30°D．50°3．如图2，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是( )图2A．25°B．35°C．15°D．20°4．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使斜边AB＝c，BC＝a，小明的作法如图3所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( )图3A．勾股定理B．直径所对的圆周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径5．如图4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则CD的长为( )图4A．2 B．1C. 2 D．46．绍兴是著名的桥乡，如图5②所示，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC 为5 m，则水面宽AB为( )图5A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m7．如图6所示，已知⊙O中，弦AB的长为10 cm，测得圆周角∠ACB＝45°，则直径AD为( )图6A．5 2 cm B．10 2 cmC．15 2 cm D．20 2 cm8．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是( ) A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°二、填空题(每题5分，共30分)9．如图7所示，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D.若⊙O的半径为2，则弦AB的长为________．图710．如图8所示，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝________°.图811．如图9，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝________°.图912．如图10，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若AC＝6，BD＝5 2，则BC的长为________．图1013．如图11所示，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B的坐标为________．图1114．如图12，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升________ cm.图12三、解答题(共38分)15．(12分)如图13，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A，B，D作⊙O.(1)求证：AB是⊙O的直径；(2)延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC＝DE.图1316．(12分)如图14所示，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC边的距离OD.图1417．(14分)某市新建了一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC的长为120米，A到BC的距离为4米，如图15所示(示意图)．(1)请你帮他们求出该湖的半径；(2)如果在圆周上再另取一点P，建造一座连接B，C，P三点的三角形艺术桥，且△BCP为直角三角形，那么这样的点P有几处？如何找到？图15答案1．B 2.B 3．A 4．B 5．A 6．D 7．B 8．D9．2 310．n11．6012．813．(6，0)14．10或7015．证明：(1)连接BD，如图．∵BA＝BC，D是底边的中点，∴BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴AB是⊙O的直径．(2)∵BA＝BC，∴∠A＝∠C.由圆周角定理得∠A ＝∠E ，∴∠C ＝∠E ，∴DC ＝DE.16．解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠APC ，∠BAC ＝∠APC ＝60°，∴∠ABC ＝60°， ∴∠ACB ＝180°－∠ABC －∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．(2)连接OB ，OC ，可得∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°.∵OB ＝OC ，∴∠OBD ＝∠OCD ＝12×(180°－120°)＝30°. ∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝12OB ＝4.17．解：(1)如图，设圆心为点O ，连接OB ，OA ，AB ，AC ，OA 交线段BC 于点D. ∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴OA ⊥BC ，∴BD ＝DC ＝12BC ＝60米．设OB ＝x 米，则OD ＝OA －AD ＝(x －4)米，在Rt △BDO 中，∵OB2＝OD2＋BD2，∴x2＝(x －4)2＋602，解得x ＝452.∴该湖的半径为452米．(2)这样的点P 有2处，过点B 或点C 作BC 的垂线交圆于一点，此点即为点P.。

中考数学复习《圆的基本性质》练习题含答案

中考数学复习圆的基本性质一、选择题1．如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若∠OBC ＝50°，则∠A 的度数是( A ) A ．40° B ．50° C ．80° D ．100°【解析】∠A ＝12∠COB ＝12(180°－2∠OBC )＝12(180°－2×50°)＝40°.,第1题图) ,第2题图)2．如图为4×4的网格，A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，则点O 是( B ) A ．△ACD 的外心 B ．△ABC 的外心 C ．△ACD 的内心 D ．△ABC 的内心3．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，若AB ＝12，OM ∶MD ＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )A ．26πB ．13π C.96π5 D.3910π5【解析】连结OA ，∵CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，∴AM ＝12AB ＝6，∵OM ∶MD ＝5∶8，∴设OM ＝5x ，DM ＝8x ，∴OA ＝OD ＝13x ，∴AM ＝12x ＝6，∴x ＝12，∴OA ＝132，∴⊙O 的周长＝2OA ·π＝13π.故选B.,第3题图) ,第4题图)4．如图，扇形OAB 的圆心角为122°，C 是弧AB 上一点，则∠ACB ＝( D ) A ．110° B ．120° C ．122° D ．119°【解析】因为同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以与∠AOB 所对同弧的圆周角度数为12∠AOB ＝61°，由圆内接四边形对角互补，得∠ACB ＝180°－61°＝119°，故选D.5．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O 的直径AB ＝100，在半圆弧上有一运动员C 从B 点沿半圆周匀速运动到M (最高点)，此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A 点停止．设运动时间为t ，点B 到直线OC 的距离为d ，则下列图象能大致刻画d 与t 之间的关系是( C )【解析】设运动员的速度为v ，则运动的路程为v t ，设∠BOC ＝α，当点C 从B 运动到M 时，∵v t ＝α·π·50180＝5πα18，∴α＝18v t 5π，在直角三角形中，∵d ＝50sin α＝50sin 18v t5π，∴d 与t之间的关系d ＝50sin 18v t 5π，当点C 从M 运动到A 时，d 与t 之间的关系d ＝50sin(180－18v t5π)，故C 正确．二、填空题6．如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是AB ︵上一点．若∠OAB ＝25°，∠OCA ＝40°，则∠BOC 的大小为__30__度．【解析】∵∠BAO ＝25°，∠ACO ＝40°，OA ＝OC ，∴∠C ＝∠CAO ＝40°，∴∠CAB ＝∠CAO －∠BAO ＝15°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝30°.,第6题图) ,第7题图)7．如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，则∠P 的度数为__70°__．【解析】∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，∴∠DOE ＝180°－40°＝140°，∴∠P ＝12∠DOE ＝70°.8．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，若点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是__522__．,第8题图) ,第9题图)9．如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB ＝45，BD ＝5，则OH 的长度为__76__．【解析】连结OD ，∵AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，∴AB ⊥CD ，∴∠OHD＝∠BHD ＝90°，∵cos ∠CDB ＝DH BD ＝45，BD ＝5，∴DH ＝4，∴BH ＝BD 2－DH 2＝3，设OH＝x ，则OD ＝OB ＝x ＋3，在Rt △ODH 中，由勾股定理得x 2＋42＝(x ＋3)2，解得x ＝76，∴OH＝76. 若点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为__2－3或2＋3__．【解析】存在两种情况，当△ABC 为钝角三角形时，连结OB ，OC ，∵点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，OB ＝OC ，∴△OBC 为等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝2，OA ⊥BC 于点D ，∴CD ＝1，OD ＝22－12＝3，∴S △ABC ＝BC ·AD 2＝2×（2－3）2＝2－3；当△ABC 为锐角三角形时，连结OB ，OC ，∵点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，OB ＝OC ，∴△OBC 为等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝2，OA ⊥BC 于点D ，∴CD ＝1，OD ＝22－12＝3，∴S △ABC ＝BC ·DA 2＝2×（2＋3）2＝2＋3，由上可得，△ABC 的面积为2－3或2＋ 3.三、解答题11．如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°.(1)求∠EBC 的度数； (2)求证：BD ＝CD .解：(1)∠EBC ＝22.5° (2)证明略12．如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的半径OC ＝13，求AB 的长．解：如图，作直径AE ，连结CE ，∴∠ACE ＝90°，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝90°，∴∠ACE ＝∠AHB ，∵∠B ＝∠E ，∴△ABH ∽△AEC ，∴AB AE ＝AHAC，∵AC ＝24，AH ＝18，AE ＝2OC ＝26，∴AB ＝18×2624＝39213．如图，A ，P ，B ，C 是圆上的四个点，∠APC ＝∠CPB ＝60°，AP ，CB 的延长线相交于点D .(1)求证：△ABC 是等边三角形；(2)若∠P AC ＝90°，AB ＝23，求PD 的长．解：(1)∵∠ABC ＝∠APC ，∠BAC ＝∠BPC ，∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形 (2)∵△ABC 是等边三角形，AB ＝23，∴AC ＝BC ＝AB ＝23，∠ACB ＝60°.在Rt △PAC 中，∠PAC ＝90°，∠APC ＝60°，AC ＝2 3.∴AP ＝2.在Rt △DAC 中，∠DAC ＝90°，AC ＝23，∠ACD ＝60°，∴AD ＝6.∴PD ＝AD －AP ＝6－2＝414. 如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠CPB ＝60°. (1)判断△ABC 的形状；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．解：(1)等边三角形(2)PA ＋PB ＝PC.证明：如图，在PC 上截取PD ＝PA ，连结AD.∵∠APC ＝60°， ∴△PAD 是等边三角形，∴PA ＝AD ，∠PAD ＝60°.又∵∠BAC ＝60°， ∴∠PAB ＝∠DAC. ∵AB ＝AC, ∴△PAB ≌△DAC ，∴PB ＝DC. ∵PD ＋DC ＝PC, ∴PA ＋PB ＝PC(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 面积最大．理由：如图，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E, 过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F .∵S △PAB ＝12AB·PE ，S △ABC ＝12AB·CF ，∴S 四边形APBC＝12AB (PE ＋CF )．∵当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 直径，∴四边形APBC 面积最大．又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝3，∴S 四边形APBC ＝12×2×3＝3。

人教版九年级数学上册 24.1 与圆有关的性质同步提高训练(含答案)

11. 如图，AT 切⊙O 于点 A，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.
12. 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD ＝________°.
13. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB＝8，CD＝6，则 BE＝ ________．
15. 【答案】
【思维教练】(1)证明 AC 是∠DAO 的角平分线即证明∠DAC＝∠OAC，由圆的性质知 OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，由切线性质得 OC⊥CD，即 OC∥AD，得∠OCA＝∠CAD，即可得证；(2)①△OCE 内角和为 180°，∠E 已知，由 (1)OC∥AD 得∠COE＝∠DAO，即可求解；②EF＝GE－FG，由∠OCE＝45°，
5. 【答案】A [解析]∵∠A=22.5°， ∴∠COE=45°， ∵☉O 的直径 AB 垂直于弦 CD， ∴∠CEO=90°，CE=DE. ∵∠COE=45°， ∴CE=OE=√22OC=3√2， ∴CD=2CE=6√2，故选 A. 6. 【答案】A 【解析】∵ON⊥AB，AB＝24，∴AN＝A2B＝12，∴在 Rt△AON 中，ON＝ OA2－AN2＝ 132－122＝5. 7. 【答案】B 【解析】∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ ADC＝75°，∵ ＝，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF ＝50°. 8. 【答案】B 【解析】∵∠D 与∠AOC 同对弧 AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝
三、解答题 14. 如图，MP 切⊙O 于点 M，直线 PO 交⊙O 于点 A、B，弦 AC∥MP，求证： MO∥BC.
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 15. 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，AD⊥CD 于点 D.E 是 AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点 F，连接 OC，AC. (1)求证：AC 平分∠DAO. (2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°. ①求∠OCE 的度数． ②若⊙O 的半径为 2 2，求线段 EF 的长．

初中九年级数学中考专项复习综合滚动练习：圆的有关性质(含答案)

初中九年级数学中考专项复习综合滚动练习：圆的有关性质(含答案)综合滚动练习：圆的有关性质时间：45分钟分数：100分得分：________一、选择题(每题4分，共32分) 1．⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有交点，那么点O到直线AB的距离可能为( ) A．5.5 B．6 C．4.5 D．72．如图，点A，B，C均在⊙O上，假设∠B＝40°，那么∠AOC的度数为( ) A．40°B．60° C．80° D．90°第2题图第3题图3．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，测直径时把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，那么圆的直径为( )A．12个单位 B．10个单位 C．4个单位 D．15个单位 4．(2022·福建中考)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．以下四个角中，一定与∠ACD互余的角是( )A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD第4题图第5题图第6题图5．如图，AB是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，BC＝CD＝DA，那么∠BCD 等于( )A．100° B．110° C．120° D．135°6．如图，A，B，C，D为⊙O上的点，OC⊥AB于点E，假设∠CDB＝30°，OA ＝2，那么AB的长为( )A.3 B．23 C．2 D．47．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，那么剪下的△AMN的周长为( )A．20cm B．15cm C．10cm D．无法确定- 1 -8．(2022·陕西中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙⊙O 上的一点，在△ABP中PB＝AB，那么PA的长为( )53A．5 B. C．52 D．532二、填空题(每题4分，共24分) 9．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．假设∠A＝50°，那么∠BCE＝________．第9题图第10题图第11题图10．如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，∠ACD＝40°，那么∠BAD＝________°. 11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，那么∠ABC＝________． 12．如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，那么该脸盆的半径为________cm.第12题图第13题图第14题图13．(2022·宜春二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB＝90°，⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为(3，1)，那么OB的长为________．14．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，假设∠CBD＝32°，那么∠BEC的度数为________．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠D＝2∠A.(1)求∠D的度数；(2)假设CD＝2，求BD的长．16．(10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O- 2 -上一点，且∠AED＝45°.(1)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；5(2)假设⊙O的半径为3，sin∠ADE＝，求AE的长．617．(12分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线交于点E，DC＝DE.(1)求证：∠A＝∠AEB；(2)连接OE，交CD于点F，OE⊥CD.求证：△ABE是等边三角形．18．(12分)★在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD.(1)如图①，假设点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r； (2)如图②，假设点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数．- 3 -参考答案与解析1．C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A8．D 解析：连接OA，OB，OP，OB与AP交于点D.∵∠C＝30°，∴∠APB＝∠C＝30°.∵PB＝AB，∴∠PAB＝∠APB＝30°，∴∠ABP＝120°.∵PB＝AB，∴OB ⊥AP，AD＝PD，∴∠OBP＝∠OBA＝60°.∵OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝5，那么Rt△ABD中，AD＝sin60°·AB＝353×5＝，∴AP＝2AD＝53.应选D. 229．50°° 12.25 13.514．122°解析：在△ABC的外接圆中，∵∠CBD＝32°，∴∠CAD＝32°.∵点E是△ABC的内心，∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠BAC ＝2∠CAD＝2×32°＝64°，∴∠EBC＋∠ECB＝(180°－64°)÷2＝58°，∴∠BEC＝180°－58°＝122°.15．解：(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠COD＝∠A＋∠ACO＝2∠A.∵∠D ＝2∠A，∴∠D＝∠COD.(3分)∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝45°.(5分)(2)由(1)可知∠D＝∠COD，∴∵CD＝2，∴OC＝OB＝2.(7分)在Rt△OCD中，由勾股定理得OD2＝OC2＋CD2＝22＋22＝8，∴OD＝22，∴BD＝OD－OB＝22－2.(10分)16．解：(1)CD与⊙O相切．(1分)理由如下：连接OD，那么∠AOD＝2∠AED ＝2×45°＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，(3分)∴∠CDO＝∠AOD＝90°，∴OD⊥CD.∴CD与⊙O相切．(5分)(2)连接BE，那么∠ADE＝∠ABE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，AB＝2×3＝6.(8AE5分)在Rt△ABE中，∵sin∠ABE＝sin∠ADE＝＝，∴AE＝5.(10分)AB617．证明：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝180°.∵∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE.(4分)∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∴∠A＝∠DEC，即∠A＝∠AEB.(6分)(2)由(1)可知∠A＝∠AEB，∴AB＝EB，∴△ABE是等腰三角形．(7分)∵OE⊥CD，∴CF＝DF，∴OE是CD的垂直平分线，∴∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC，∴△DCE 是等边三角形，(10分)∴∠AEB＝60°，∴△AEB是等边三角形．(12分)1118．解：(1)过点O作OE⊥AC于点E，那么AE＝AC＝×2＝1.∵翻折后点D与圆心O22212322222?1?重合，∴OE＝r.(3分)在Rt△AOE中，AO＝AE＋OE，即r＝1＋?2r?，解得r＝.(623。

圆的有关性质练习及答案(供参考)

1° ° D CB A O圆的有关性质【知识要点】 1．圆的定义：（1）动态定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

（2）静态定义：在平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r ）所有点的集合叫做圆：2.圆的相关概念弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆：3.垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

由此得到推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。

4.圆的轴对称性：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。

5..圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形6．圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。

7．弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

8..圆周角定理及推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径.（2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆定理：圆内接四边形的对角互补【基础和能力训练】一、选择题1．平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰2.（2014•毕节地区）如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（） A 6 B 5 C 4 D 33. （ 2014•珠海）如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠AOD 等于（） A 160° B 150° C 140° D 120°4.（2015湖南常德）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为（） A 、50° B 、80° C 、100° D 、130°5.（2015上海）如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A 、AD ＝BD ；B 、OD ＝CD ；C 、∠CAD ＝∠CBD ；D ∠OCA ＝∠OCB ．6．如图：是小明完成的.作法是：取⊙O 的直径AB ，在⊙O 上任取一点C 引弦CD ⊥A B.当C 点在半圆上移动时(C 点不与A 、B 重合)，∠OCD 的平分线与⊙O 的交点P 必（） A 。

2017年中考专题复习《与圆有关的性质》自测题含答案.docx

2017年中考复习专题《与圆有关的性质》自测题一、选择题1.（2016重庆南开）如图，点昇、点〃、点C均在00±,若Z〃二40°,则ZAOC的度数为（）A. 40°B. 60°C. 80°D. 90°【答案】C2.（重庆西大附冲）如图，昇〃为00的直径，a〃为00上两点，Z/l^60° , JIJZZ?的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 7 5°【答案】A3.（2015宁夏）如图，四边形昇殆9是的内接四边形.若ABOD- 88°,则/彩的度数是（）A. 88°B. 92°C. 10 6°D. 136°【答案】D4.（2016重庆育才）如图，的直径力〃垂直于弦①，垂足为£ Z/=22.5°, OC=4, 则Q的长为（）A. 2近B. 4C. 4x/2D. 8【答案】C5.（2016泰安）如图，点畀、厌、C是圆0上的•三点，且四边形是平行四边形.OF 丄％交圆0于点尺则Z 刚F 等于（） A. 12. 5 ° B. 15°二、填空题6. .（2016黄.冈）如图是的外接圆，Z 座矽尸70° , AB=AC,则 __________________________【答案】35°7. （2016青岛）如图，是＜30的直径，Q 〃是上.的两点，若ZBCD=28° ,则D= ________ .【答案】62°8.（2016南京）如图，扇形。

仏的圆心角为122 ° 是弧初上一点，则Z ACB= ______________【答案】119°9. （2015衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA= .lm,水面宽AB= 1. 2m, 某天下雨后，水管水面上升了 0. 2m.则此时排水管水面宽⑵等于 _______________ m.B 组提高练习10. （2016达州）如图，半径为3的0/1经过原点0和点C （0, 2）, 〃是尸轴左侧OS 优弧上一点，贝0 tanZOBC 为（）C. 20°D. 22.5°【答案】B【答案】1.6A. | 8.2^2 C.普 D.爭【答案】C（提示：作直径CO,根据勾股定理求出DD=4电,根据正切的定义求出5ZCD盛,根据圆周角定理得到乙0B&乙CDO,等量代换即可.）11.（2016宿迁）如图，在中，已知Z应车130° , "AC=20。

人教版九年级数学上册24.1与圆有关的性质同步训练（含答案）

⼈教版九年级数学上册24.1与圆有关的性质同步训练（含答案）⼈教版九年级数学上册24.1 与圆有关的性质同步训练⼀、选择题（本⼤题共8道⼩题）1. 如图所⽰，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂⾜为N，则ON＝()A. 5B. 7C. 9D. 112. 如图，以O为圆⼼的两个同⼼圆中，⼩圆的弦AB的延长线交⼤圆于点C.若AB＝4，BC＝1，则下列整数与圆环⾯积最接近的是()A．10 B．13 C．16 D．193. 有下列说法：(1)直径是弦；(2)弦是直径；(3)半圆是弧，但弧不⼀定是半圆；(4)半径相等的两个圆是等圆；(5)长度相等的两条弧是等弧．其中错误的有() A．1个B．2个C．3个D．4个4. 如图，⊙O的半径为8 cm，把劣弧AB沿AB折叠，使劣弧AB经过圆⼼O，再把劣弧CD沿CD折叠，使劣弧CD经过AB的中点E，则折痕CD的长为()A．8 cm B．8 3 cm C．27 cm D．47 cm5. 如图，量⾓器的零刻度线与三⾓尺ABC的斜边AB重合，其中量⾓器的零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针⽅向以每秒2度的速度旋转，CP与量⾓器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量⾓器上对应的读数是()A ．48°B ．64°C ．96°D ．132°6. 如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意⼀点．若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°7. 如图，有⼀个⽔平放置的透明⽆盖的正⽅体容器，容器⾼8 cm ，将⼀个球放在容器⼝，再向容器内注⽔，当球⾯恰好接触⽔⾯时测得⽔深为6 cm.若不计容器壁厚度，则球的半径为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．7 cmD ．8 cm8. 2020·武汉模拟⼩名同学响应学习号召，在实际⽣活中发现问题，并利⽤所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地⾯台阶直⾓处，他测量了台阶⾼a 为160 mm ，直⾓顶点A 到轮胎与地⾯接触点B 的距离AB 为320 mm ，请帮⼩名同学计算轮胎的直径为( )A ．350 mmB ．700 mmC．800 mm D．400 mm⼆、填空题（本⼤题共8道⼩题）9. 如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.10. 如图所⽰，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝23，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最⼤值为________．11. 将量⾓器按图所⽰的⽅式放置在三⾓形纸⽚上，使顶点C在半圆上，点A，B 的读数分别为100°，150°，则∠ACB的⼤⼩为________°.12. 如图，已知等腰三⾓形ABC中，∠ACB＝120°且AC＝BC＝4，在平⾯内任作∠APB＝60°，则BP的最⼤值为________．13. 2018·曲靖如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上⼀点，若∠A＝n°，则∠DCE＝________°.14. 已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是r 1，r 2，且r 1和r 2是⽅程x 2－ax ＋14＝0的两个根．若⊙O 1与⊙O 2是等圆，则a 2021的值为________．15. 如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接OD ，OE .若∠A ＝65°，则∠DOE ＝________°.16. 只⽤圆规测量∠XOY 的度数，⽅法是：以顶点O 为圆⼼任意画⼀个圆，与⾓的两边分别交于点A ，B(如图)，在这个圆上顺次截取AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝…，这样绕着圆⼀周⼀周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m(m ＞n)次截得的弧的末端恰好与点A 重合，那么∠XOY 的度数等于________．三、解答题（本⼤题共5道⼩题）17. 如图所⽰，若BD ，CE 都是△ABC 的⾼，求证：B ，C ，D ，E 四点在同⼀个圆上．18. 我们学习了“弧、弦、圆⼼⾓的关系”，事实上我们还可以得到“圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系”．圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆⼼⾓、两条弧、两条弦或两条弦的弦⼼距中有⼀组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．[弦⼼距是指从圆⼼到弦的距离(如图①中的OC ，OC ′的长)]请直接运⽤圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系解决下列问题：如图②，O 是∠EPF 的平分线上⼀点，以点O 为圆⼼的圆与⾓的两边所在的直线分别交于点A ，B 和C ，D . (1)求证：AB ＝CD .(2)若⾓的顶点P 在圆上或圆内，(1)中的结论还成⽴吗？若不成⽴，请说明理由；若成⽴，请加以证明．19. 如图，直线AB 经过⊙O 的圆⼼，与⊙O 相交于点A ，B ，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝30°，P 是直线AB 上的⼀个动点(与点O 不重合)，直线PC 与⊙O 相交于点Q .在直线AB 上使QP ＝QO 成⽴的点P 共有⼏个？请相应地求出∠OCP 的度数．20. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为半圆ACB ︵上的动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，则点P 的位置有何规律？请证明你的结论．21. 如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，A是优弧BAD上的⼀个动点(不与点B，D重合)．(1)当圆⼼O在∠BAD的内部时，若∠BOD＝120°，则∠OBA＋∠ODA＝________°.(2)若四边形OBCD为平⾏四边形．①当圆⼼O在∠BAD的内部时，求∠OBA＋∠ODA的度数；②当圆⼼O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．⼈教版九年级数学上册24.1 与圆有关的性质同步训练-答案⼀、选择题（本⼤题共8道⼩题）1. 【答案】A【解析】∵ON⊥AB，AB＝24，∴AN＝AB2＝12，∴在Rt△AON中，ON＝OA2－AN2＝132－122＝5.2. 【答案】C[解析] 如图，连接OA，OC，过点O作OD⊥AB，垂⾜为D，则AD＝BD＝2，∴DC＝2＋1＝3.S圆环＝πOC2－πOA2＝π(OD2＋DC2－OD2－AD2)＝π(32－22)＝5π≈15.7.3. 【答案】B4. 【答案】D[解析] 如图，作CD 关于AB 对称的弦C ′D ′，连接OE 并延长，交CD 于点F ，交C ′D ′于点F ′.由题意可得OF ′⊥C ′D ′，且OF ′＝34×8＝6(cm)，所以C ′F ′＝OC ′2－OF ′2＝ 2 7 cm ，所以CD ＝C ′D ′＝2C ′F ′＝47cm.5. 【答案】C[解析] ∵∠ACB ＝90°，∴点C 在以O 为圆⼼，OA 长为半径的圆上．第24秒时，∠ACE ＝48°，∴∠EOA ＝2∠ACE ＝96°.6. 【答案】D[解析] 连接AD ，OA ，OB .∵B 是AC ︵的中点，∴∠ADB ＝∠BDC ＝40°，∴∠AOB ＝2∠ADB ＝80°.⼜∵M 是OD 上⼀点，∴∠ADB ≤∠AMB ≤∠AOB ，即40°≤∠AMB ≤80°，则不符合条件的只有85°.7. 【答案】A[解析] 作出该球轴截⾯的⽰意图如图所⽰．依题意，得BE ＝2 cm ，AE ＝CE ＝4 cm.设OE ＝x cm ，则OA ＝(2＋x )cm.∵OA 2＝AE 2＋OE 2，∴(2＋x )2＝42＋x 2，解得x ＝3，故该球的半径为5 cm.8. 【答案】C⼆、填空题（本⼤题共8道⼩题） 9. 【答案】50° 【解析】∵AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠BAT ＝90°，在Rt△BAT 中，∵∠ABT ＝40°，∴∠ATB ＝50°.10. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH ＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最⼩时，CD 最⼤．当点C 运动到点H 时，OC 最⼩，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最⼤值为 3.11. 【答案】25[解析] 设量⾓器的中⼼为O ，由题意可得∠AOB ＝150°－100°＝50°，所以∠ACB ＝12∠AOB ＝25°.12. 【答案】8[解析] 由题意可得A ，P ，B ，C 在同⼀个圆上，所以当BP 为圆的直径时，BP 最⼤，此时∠P AB ＝90°.过点C 作CD ⊥AB 于点D ，可求得AB ＝4 3，进⽽可求得BP 的最⼤值为8.13. 【答案】n14. 【答案】1[解析] ∵⊙O 1与⊙O 2是等圆，∴r 1＝r 2.∵r 1和r 2是⽅程x 2－ax ＋14＝0的两个根，∴r 1r 2＝14，r 1＋r 2＝a ，∴r 1＝r 2＝12，从⽽a ＝1，∴a 2021＝12021＝1.15. 【答案】50[解析] 由三⾓形的内⾓和定理，得∠B ＋∠C ＝180°－∠A .再由OB ＝OD ＝OC ＝OE ，得到∠BDO ＝∠B ，∠CEO ＝∠C .在等腰三⾓形BOD 和等腰三⾓形COE 中，∠DOB ＋∠EOC ＝180°－2∠B ＋180°－2∠C ＝360°－2(∠B ＋∠C )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A ，所以∠DOE ＝180°－2∠A ＝50°.16. 【答案】? ????360n m ° [解析] 设∠XOY 的度数为x ，则mx ＝n ×360°，所以x ＝? ??360n m °.三、解答题（本⼤题共5道⼩题）17. 【答案】证明：取BC 的中点F ，连接DF ，EF . ∵BD ，CE 都是△ABC 的⾼，∴△BCD 和△BCE 都是直⾓三⾓形，∴DF ，EF 分别是Rt △BCD 和Rt △BCE 斜边上的中线，∴DF ＝EF ＝BF ＝CF ，∴B ，C ，D ，E 四点都在以点F 为圆⼼，BF 的长为半径的圆上．18. 【答案】解：(1)证明：如图①，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N . ∵PO 平分∠EPF ，∴OM ＝ON ，∴AB ＝CD .(2)(1)中的结论还成⽴．证明：当点P 在⊙O 上时，如图②，同(1)知OM ＝ON ，∴AB ＝CD ；当点P 在⊙O 内时，如图③，同(1)知OM ＝ON ，∴AB ＝CD .19. 【答案】解：在直线AB 上使QP ＝QO 成⽴的点P 共有3个． (1)如图①.在△QOC 中，OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ . 在△OPQ 中，QP ＝QO ，∴∠QOP ＝∠QPO .⼜∵∠QPO ＝∠OCQ ＋∠AOC ，且∠AOC ＝30°，∠QOP ＋∠QPO ＋∠OQC ＝180°，∴3∠OCQ ＝120°，∴∠OCQ ＝40°. 即∠OCP ＝40°.(2)如图②. ∵QO ＝QP ，∴∠QPO ＝∠QOP .设∠QPO ＝x ，则∠OQC ＝∠QPO ＋∠QOP ＝2x .⼜∵OC ＝OQ ，∴∠OCQ ＝∠OQC ＝2x ，∴∠AOC ＝∠OPC ＋∠OCP ＝x ＋2x ＝3x . ∵∠AOC ＝30°，∴3x ＝30°，解得x ＝10°，∴∠OCP ＝2x ＝20°. (3)如图③.∵QO ＝QP ，∴∠QOP ＝∠QPO . ∵OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ .设∠QPO ＝y ，则∠OQC ＝∠OCQ ＝∠QPO ＋∠AOC ＝y ＋30°，∴在△OPQ 中，有y ＋y ＋y ＋30°＝180°，解得y ＝50°，∴∠OCP ＝180°－50°－30°＝100°.综上所述，在直线AB 上使QP ＝QO 成⽴的点P 共有3个，∠OCP 的度数分别为40°，20°，100°.20. 【答案】360n m 解：P 为半圆ADB ︵的中点．证明：如图，连接OP .∵∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，∴∠PCD ＝∠PCO . ∵OC ＝OP ，∴∠PCO ＝∠OPC ，∴∠PCD ＝∠OPC ，∴OP ∥CD .∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵，即P 为半圆ADB ︵的中点．21. 【答案】52解：(1)60 (2)①如图(a)．∵四边形OBCD 为平⾏四边形，∴∠BOD ＝∠BCD ，∠OBC ＝∠ODC .⼜∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠BAD ＝12∠BOD ，∴12∠BOD ＋∠BOD ＝180°，解得∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝12∠BOD ＝12×120°＝60°，∠OBC ＝∠ODC ＝180°－∠BOD ＝180°－120°＝60°. ⼜∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠OBA ＋∠ODA ＝∠ABC ＋∠ADC －(∠OBC ＋∠ODC )＝180°－(60°＋60°)＝60°.②如图(b)所⽰，连接AO . ∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB . ∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA .∵∠OAB＝∠OAD＋∠BAD，∴∠OBA＝∠ODA＋∠BAD＝∠ODA＋60°. 如图(c)，同理可得∠ODA＝∠OBA＋60°.。

2017年中考数学备考专题复习圆的有关性质含解析

圆的有关性质一、单选题（共12题；共24分）1、下列语句中，正确的是（）A、长度相等的弧是等弧B、在同一平面上的三点确定一个圆C、三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等2、下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三条边的距离相等；④圆的切线垂直于经过切点的半径．其中正确的个数是（）A、0B、2C、3D、43、如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，弧AB与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB 的长为（）A 、B 、C、6D 、4、如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形的上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D、C、E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（）.A、9B、10C、12D、145、（2016•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A、15°B、25°C、30°D、75°6、（2016•泰安）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（）A、1：B、1：C、1：2D、2：37、（2016•聊城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且= ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A、45°B、50°C、55°D、60°8、（2016•舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A、120°B、135°C、150°D、165°9、（2016•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A、45°B、50°C、60°D、75°10、（2016•义乌）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，= ，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（）A、60°B、45°C、35°D、30°11、如图，直线AB，AD与⊙O相切于点B，D，C为⊙O上一点，且∠BCD=140°，则∠A的度数是（）A、70°B、105°C、100°D、110°12、如图，小敏家厨房一墙角处有一自来水管，装修时为了美观，准备用木板从AB处将水管密封起来，互相垂直的两墙面与水管分别相切于D，E两点，经测量AD=10cm，BE=15cm，则该自来水管的半径为（）cm．A、5B、10C、6D、8二、填空题（共5题；共5分）13、（2016•岳阳）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=________度．14、（2016•常德）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．15、（2016•贵港）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为________．16、（2016•泉州）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE=2：3，则AE：DE=________17、（2016•义乌）如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为________ cm．三、解答题（共2题；共10分）18、已知点P到圆的最大距离为11，最小距离为7，则此圆的半径为多少？19、一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16．求截面圆心O到水面的距离．四、综合题（共3题；共32分）20、（2016•自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．(1)求证：∠1=∠BAD；(2)求证：BE是⊙O的切线．21、（2016•湖州）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．(1)求证：BD=CD；(2)若圆O的半径为3，求的长．22、（2016•青海）如图1，2，3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形，BE和CD相交于点O．(1)在图1中，求证：△ABE≌△ADC．(2)由（1）证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图1中∠BOC=120°，请你探索在图2中，∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．(3)填空：在上述（1）（2）的基础上可得在图3中∠BOC=________（填写度数）．(4)由此推广到一般情形（如图4），分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想得∠BOC的度数为________（用含n的式子表示）．答案解析部分一、单选题【答案】D【考点】圆的认识，确定圆的条件，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心【解析】【解答】A、能完全重合的弧才是等弧，故错误；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；C、三角形的内心到三边的距离相等，是三条角平分线的交点，故错误；D、三角形的外心是外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，故正确；故选D．【分析】确定圆的条件及三角形与其外心和内心之间的关系解得即可．【答案】C【考点】垂径定理，确定圆的条件，切线的性质，三角形的内切圆与内心【解析】【解答】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误；垂直于弦的直径平分弦，所以②正确；三角形的内心到三条边的距离相等，所以③正确；圆的切线垂直于经过切点的半径，所以④正确．故选C．【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理对②进行判断；根据三角形内心的性质对③进行判断；根据切线的性质对④进行判断．【答案】B【考点】勾股定理，垂径定理，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】延长CO交AB于E点，连接OB，∵CE⊥AB，∴E为AB的中点，∵OC=6，CD=2OD，∴CD=4，OD=2，OB=6，∴DE=（2OC-CD)=（6×2-4)=×8=4，∴OE=DE-OD=4-2=2，在Rt△OEB中，∵OE2+BE2=OB2∴∴AB=2BE=故选B.【分析】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键。

2017全国中考数学真题与圆的有关计算(选择题+填空题+解答题)解析版

（cm2）．
15. 7.(2017 湖北咸宁，7，3 分)如图，⊙O 的半径为 3，四边形 ABCD 内接于⊙O，连接 OB、OD，若∠ BOD=∠ BCD，
则 BD 的长为( )
A．
B． 3 2
C. 2
D． 3
答案：C
解析：∵∠ BAD= 1 ∠ BOD= 1 ∠ BCD，∠ BAD+∠ BCD=180°，
转动五次 A 的路线长是：错误!未找到引用源。，
以此类推，每四次循环，
5
2017 全国中考数学真题（精品文档）
故顶点 A 转动四次经过的路线长为： 2 5 3 6 ， 22
∵2017÷4=504……1
∴这样连续旋转 2016 次后，顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是：6π×504+2π=3026π．故选：D．
18. （2017 江苏宿迁，3 分）若将半径为 12cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
答案：D，解析：根据圆锥底面圆周长=扇形弧长，即 l=C 得 12π=2πr，所以 r=6．
19. (2017 甘肃天水．9．4 分)如图所示，AB 是圆 O 的直径，弦 CD⊥AB．垂足为 E，∠BCD＝30°，CD＝4 3 ，则
A．68πcm2
B．74πcm2
C．84πcm2
答案：C 解析：圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积．
D．100πcm2
5. 2. （2017 重庆，9，4 分）如图，矩形 ABCD 的边 AB＝1，BE 平分∠ABC，交 AD 于点 E，若点 E 是 AD 的中点，
以点 B 为圆心，BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积是（

九年级数学上册《圆的有关性质》同步测试附加答案

圆24.1__圆的有关性质__24．1.1圆[见B本P36]1．下列命题正确的有(C)(1)半圆是弧；(2)弦是圆上两点之间的部分；(3)半径是弦；(4)直径是最长的弦；(5)在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】(1)弧是圆上任意两点间的部分；任意一条直径的两个端点在圆上把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆，因此(1)是正确的命题．(2)弦是连接圆上任意两点的线段，不是圆上两点之间的部分，因此(2)是错误的命题．(3)半径是连接圆心与圆上任意一点的线段，不是弦．因此(3)是假命题．(4)直径是过圆心的弦，也是最长的弦．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是任意一条不过圆心的弦，连接OC，OD，在△OCD中，OC＋OD>CD，而AB＝OC ＋OD，则AB>CD，因此直径是最长的弦．(5)圆心为O，半径为r的圆可以看成由所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形，因此(5)正确．所以(1)，(4)，(5)正确，选C.2．如图24－1－1所示，⊙O中点A，O，D以及点B，O，C分别在同一直线上，图中弦的条数为(A)A．2B．3C．4D．5图24－1－1图24－1－2图24－1－3 3．如图24－1－2，P 是⊙O 内的一点，P 到⊙O 的最小距离为4 cm ，最大距离为9 cm ，则该⊙O 的直径为( C )A ．6.5 cmB ．2.5 cmC ．13 cmD ．不可求【解析】过O ，P 作直径AB ，则AB ＝P A ＋PB ＝4＋9＝13(cm)，故选C.4．图24－1－3中，__AC __是⊙O 的直径；弦有__AB ，BC ，AC __；劣弧有__AB ︵，BC ︵__；优弧有__BAC ︵，BCA ︵__．5．如图24－1－4所示，已知∠AOB ＝60°，则△AOB 是__等边__三角形．图24－1－4图24－1－56．如图24－1－5，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝22°，则∠COB 的度数等于__44°__．【解析】 ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠C ＝22°，∴∠BOC ＝∠A ＋∠C ＝22°×2＝44°.7．如图24－1－6，以O 为圆心的两个同心圆⊙O ，大圆O 的半径OC ，OD 分别交小圆O 于A ，B 两点，求证：AB ∥CD .证明：∵OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴∠OAB ＝12(180°－∠O )＝∠C ，∴AB ∥CD .图24－1－6图24－1－78．如图24－1－7，在⊙O 中，D ，E 分别为半径OA ，OB 上的点，且AD ＝BE ，点C 为弧AB 上一点，连接CD ，CE ，CO ，∠AOC ＝∠BOC .求证：CD ＝CE .证明：∵OA ＝OB ，AD ＝BE ，∴OA －AD ＝OB －BE ，即OD ＝OE .在△ODC 和△OEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OE ，∠DOC ＝∠EOC ，OC ＝OC ，∴△ODC ≌△OEC ，∴CD ＝CE .9．如图24－1－8所示，已知⊙O 中，直径MN ＝10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM ，OP 以及⊙O 上，并且∠POM ＝45°，则AB 的长为__5__．【解析】连接OA ，构造Rt △OAB ，利用勾股定理，求出AB 的长．设正方形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝CD ＝x ，又∠POM ＝45°，∠DCO ＝90°，∴∠ODC ＝∠POM ＝45°，∴DC ＝OC ＝x ，∴OB ＝2x .在Rt △OAB 中，AB 2＋OB 2＝OA 2，OA ＝12MN ＝5，即x 2＋(2x )2＝52，∴x ＝ 5.图24－1－8图24－1－910．如图24－1－9，AB ，AC 为⊙O 的弦，连接CO ，BO 并延长分别交弦AB ，AC 于点E ，F ，∠B ＝∠C .求证：CE ＝BF .证明：∵OB ，OC 是⊙O 的半径，∴OB ＝OC .又∵∠B ＝∠C ，∠BOE ＝∠COF ，∴△EOB ≌△FOC ，∴OE ＝OF ，∴CE ＝BF .11．如图24－1－10，半圆O 的直径AB ＝8，半径OC ⊥AB ，D 为弧AC 上一点，DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，垂足分别为E ，F ，求EF 的长．图24－1－10解：连接OD .∵OC ⊥AB ，DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，∴∠AOC ＝∠DEO ＝∠DFO ＝90°，∴四边形DEOF 是矩形，∴EF ＝OD .∵OD ＝OA ，∴EF ＝OA ＝4.12．如图24－1－11，AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ，BE 是⊙O 的弦，且弦DF ＝BE .求证：∠B ＝∠D .图24－1－11【解析】连接OF ，OE ，证明△DO F ≌△BOE .证明：如图，连接OE ，OF .在△DOF 和△BOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OF ＝OE ，OD ＝OB ，DF ＝BE ，∴△DOF ≌△BOE (SSS)．∴∠B ＝∠D .13．如图24－1－12所示，已知CD 是⊙O 的直径，∠EOD ＝51°，AE 交⊙O 于点B ，且AB ＝OC ，求∠A 的度数．图24－1－12【解析】已知∠EOD ＝51°，与未知∠A 构成了内、外角关系，而∠E 也未知，且AB ＝OC 这一条件不能直接使用，因此想到同圆的半径相等，需连接半径OB ，从而得到OB ＝AB .解：如图所示，连接OB .∵AB ＝OC ，OB ＝OC ，∴AB＝OB，∴∠A＝∠1.又∵OB＝OE，∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A，∴∠DOE＝∠E＋∠A＝3∠A.而∠DOE＝51°，∴3∠A＝51°，∴∠A＝17°.数学选择题解题技巧1、排除法。

初中数学圆的有关性质解答题专题训练含答案

初中数学圆的有关性质解答题专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、解答题（共15题）1、如图，AB 是⊙ O 的直径，CD 是⊙ O 的一条弦，且CD ⊥ AB 于点E ．(1) 求证:∠BCO ＝∠ D ；(2) 若BE ＝ 8 cm ，CD ＝ 6 cm ，求⊙ O 的半径．2、如图，AB 是ABC 的外接圆O 的直径，点D 在半圆上，DC 与AB 交于点E ，过点C 作CF ⊥ DC 交DB 的延长线于点F ，交圆O 于点G ．（ 1 ）求证：ABC ∽ DCF ；（ 2 ）当∠1 ＝∠2 ，DF ＝ 10 ，AE ：EC ＝ 1 ： 2 时，求圆O 的半径．（ 3 ）在（2 ）的条件下，连接DG 交BC 于点M ，则（直接写出答案）．3、如图，⊙ O 的半径为 1 ，点A 是⊙ O 的直径BD 延长线上的一点，C 为⊙ O 上的一点，AD ＝CD ，∠ A ＝30° ．（ 1 ）求证：直线AC 是⊙ O 的切线；（ 2 ）求△ABC 的面积；（ 3 ）点E 在上运动（不与B 、D 重合），过点C 作CE 的垂线，与EB 的延长线交于点F ．① 当点E 运动到与点C 关于直径BD 对称时，求CF 的长；② 当点E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时CF 的长．4、ABC 内接于⊙ O ，点D 在弧AC 上，弦BD 交AC 边于点E ，且DE ＝AE ．（ 1 ）如图1 ，求证：BE ＝CE（ 2 ）如图2 ，作射线CO ，交弦BD 于点F ，连接AF 并延长AF ，交⊙ O 于点G ，连接CG ，∠ BFG ＝∠ FCG ，求∠ ACB 的度数．5、已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点，，连接，．（ 1 ）求证：；（ 2 ）若，，求的半径．6、在中，为直径，为上一点．（Ⅰ ）如图①，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的大小；（Ⅱ ）如图②，为优弧上一点，且的延长线经过的中点，连接与相交于点，若，求的大小．7、如图，⊙ 中，弦与相交于点, , 连接.求证：⑴ ；⑵ .8、如图，是的直径，点C 是上异于A 、B 的点，连接、，点D 在的延长线上，且，点E 在的延长线上，且．（ 1 ）求证：是的切线：（ 2 ）若，求的长．9、如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边、分别相交于点、，且．（ 1 ）求证：；（ 2 ）当，时，求的长．10、如图，AB 是⊙ O 的弦，半径OD ⊥ AB ，垂足为C ，点E 在⊙ O 上，连接OA 、DE 、BE ．（ 1 ）若∠DEB ＝30°，求∠AOD 的度数；（ 2 ）若CD ＝ 2 ，弦AB ＝ 8 ，求⊙O 的半径长．11、如图 1 ，在中，，，D 为内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90° 得到AE ，连接CE ，BD 的延长线与CE 交于点F ．（ 1 ）求证：，；（ 2 ）如图2 ．连接AF ，DC ，已知，判断AF 与DC 的位置关系，并说明理由．12、如图，A ，B 是上两点，且，连接OB 并延长到点C ，使，连接AC ．（ 1 ）求证：AC 是的切线．（ 2 ）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交于点F ，G ，，求GF 的长．13、如图，是的外接圆，点D 是的中点，过点D 作分别交、的延长线于点E 和点F ，连接、，的平分线交于点M ．（ 1 ）求证：是的切线；（ 2 ）若，，求线段的长．14、如图，是的直径，点C 是上异于A 、B 的点，连接、，点D 在的延长线上，且，点E 在的延长线上，且．（ 1 ）求证：是的切线：（ 2 ）若，求的长．15、如图，是的外接圆，是的直径，于点．（ 1 ）求证：；（ 2 ）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为 5 ，，求和的长．============参考答案============一、解答题1、 (1) 见解析；(2)⊙ O 的半径为cm【解析】【分析】（ 1 ）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO =∠ B =∠ D ；（ 2 ）由垂径定理可求得CE 与DE 的长，然后证得△ BCE ∽△ DAE ，再由相似三角形的对应边成比例，求得AE 的长，继而求得直径与半径．(1)证明：∵ OB = OC ，∴∠ BCO =∠ B ，∵∠ B =∠ D ，∴∠ BCO =∠ D ；(2)解：∵ AB 是⊙ O 的直径，CD ⊥ AB ，∴ CE = DE = CD = ×6=3 ，∵∠ B =∠ D ，∠ BEC =∠ DEA ，∴△ BCE ∽△ DAE ，∴ AE ：CE = DE ：BE ，∴ AE ： 3=3 ：8 ，解得：AE = ，∴ AB = AE + BE = = ，∴⊙ O 的半径为( cm ) ．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△ BCE ∽△ DAE 是关键．2、（ 1 ）证明见解析；（ 2 ）；（ 3 ）【分析】（ 1 ）证明，结合从而可得答案；（ 2 ）连接OD ，先证明△ AEC ∽△ DCF ，可得DC ＝ 10 ，DE ＝CE ＝ 5 ，AE ＝，设⊙ O 的半径为r ，则OE ＝，OD ＝r ，根据勾股定理列方程可解答；（ 3 ）如图，连接BG ，根据圆周角定理可得DG 是⊙ O 的直径，根据勾股定理计算CG 的长，得FG 的长，知FG ＝DG ，根据等腰三角形三线合一的性质得BD ＝BF ，证明△ OBM ∽△ GCM ，得OD ：OM ：MG ＝ 11 ： 5 ： 6 ，根据同高三角形面积的关系可得结论．【详解】（ 1 ）证明：∵AB 是△ ABC 的外接圆⊙ O 的直径，∴∴ ABC ∽ DCF ；（ 2 ）解：如图，连接OD ，∵，∴ AB ⊥ CD ，∴∠ AEC ＝90° ，∵ DC ⊥ CF ，∴∠ DCF ＝90° ，∴∠ AEC ＝∠ DCF ，∵∠ A ＝∠ ADB ，∴△ AEC ∽△ DCF ，∴ ，∵ AE ：EC ＝ 1 ： 2 ，∴ DC ：CF ＝ 1 ： 2 ，∵ DF ＝，∴ DC ＝ 10 ，（负根舍去）∵ OA ⊥ CD ，∴ DE ＝CE ＝ 5 ，AE ＝，设⊙ O 的半径为r ，则OE ＝，OD ＝r ，在Rt△ ODE 中，由勾股定理得：OD 2 ＝DE 2 + OE 2 ，∴ ，解得：，答：圆O 的半径为；（ 3 ）解：如图，连接BG ，∵∠ DCG ＝90° ，∴ DG 是⊙ O 的直径，∴∠ DBG ＝90° ，由（ 2 ）知：CD ＝ 10 ，DG ＝，由勾股定理得：，∴ FG ＝CF ﹣CG ＝，∵BG ⊥ DF ，∴ BD ＝BF ，∴ S △ DBG ＝S △ BGF ，∵ S △ DGF ＝FG • CD ＝，∴ S △ DGB ＝，∵∠ DEB ＝∠ DCG ＝90° ，∴ ，∴△ OBM ∽△ GCM ，∴ ，∴ OD ：OM ：MG ＝ 11 ： 5 ： 6 ，∴ S △ OMB ＝，∴ S △ OMB ：S △ DGF ＝：．故答案为：．【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形和等腰三角形解决问题，属于中考常考题型．3、（ 1 ）见解析；（ 2 ）；（ 3 ）①3 ；②【解析】（ 1 ）连接OC ，利用切线的判定定理，证明OC ⊥ AC 即可；（ 2 ）要求的面积，结合（ 1 ）题，底边AB 可求，只需再求出底边上的高CH 即可；（ 3 ）根据垂径定理可求CE 的长，再利用锐角三角函数，可求CF 的长；由可知，点E 在运动过程中，始终有，所以，求出CE 的最大值，即可得到CF 的最大值．【详解】（ 1 ）证明：连结OC ，如图所示．∵ AD ＝CD ，∠ A ＝30° ，∴∠ ACD ＝∠ A =30° ．∴∠ CDB ＝60° ．∵ OD ＝OC ，∴∠ OCD ＝∠ ODC =60° ．∴∠ ACO ＝∠ ACD ＋∠ OCD ＝30°+60°=90° ．∴ OC ⊥ AC ．∴ 直线AC 是⊙ O 的切线．（ 2 ）过点C 作CH ⊥ AB 于点H ，如图所示．∵ OD = OC ，∠ ODC =60° ，∴ 是等边三角形．∴ ．∴ 在中，．∵ AB ＝AD ＋BD ＝ 3 ，∴ ．（ 3 ）当点运动到与点关于直径BD 对称时，如图所示．此时，CE ⊥ AB ，设垂足为K ．由（ 2 ）可知，．∵ BD 为圆的直径，CE ⊥ AB ，∴ CE ＝ 2 CK ＝．∵ CF ⊥ CE ，∴∠ ECF ＝90° ．∵ ，∴∠ E =∠ CDB ＝60° ．在中，∵ ，∴ ．如图所示：由可知，在中，∵ ，∴ ．∴ 当点E 在上运动时，始终有．∴ 当CE 最大时，CF 取得最大值．∴ 当CE 为直径，即CE =2 时，CF 最大，最大值为．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理的推论、锐角三角函数、求线段的最值等知识点，熟知切线的判定方法、垂径定理、圆周角定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．4、（ 1 ）见解析；（ 2 ）45°【分析】（ 1 ）由圆周角定理可直接得出结论．（ 2 ）延长CF 交圆O 于点H ，连接AH ，可证明AH ∥ BD ，从而△ BCE 是等腰直角三角形．【详解】（ 1 ）连接AD∵∴∠ D ＝∠ C ，∠ DAE ＝∠ DBC∵ AE ＝DE∴∠ DAE ＝∠ D∴∠ DBC ＝∠ C∴ BE ＝CE（ 2 ）延长CF 交⊙ O 于点H ，连接AH ，则CH 是⊙ O 的直径∴∠ HAC ＝90°∵∴∠ FCG ＝∠ HAG∵∠ BFG ＝∠ FCG∴∠ BFG ＝∠ HAG∴ AH ∥ BD∴∠ BFC ＝∠ HAC ＝90°∵∠ ACB ＝∠ DBC∴∠ ACB ＝45°【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，熟练通过圆周角定理找到角度相等是解题的关键．5、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；（ 2 ）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径．【详解】（ 1 ）连接，如图，是的切线，，，，，，，．（ 2 ）连接是的直径，，，，，，，，，．即的半径为．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题意添加辅助线是解题的关键．6、（Ⅰ ）26°；（Ⅱ）69°．【分析】（Ⅰ ）连接OC ，如图①，根据切线的性质得∠OCP=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB=32°，则利用三角形外角性质可计算出∠POC ，然后利用互余计算∠P 的度数；（Ⅱ ）如图②，根据垂径定理的推论，由点 E 为AC 的中点得到OD⊥AC ，则利用三角形外角性质得∠AOD=∠CAB+∠OEA=106°，再根据圆周角定理得到，然后利用三角形外角性质可计算出∠DPA 的度数．【详解】（Ⅰ ）连接，如图① ，为切线，，，，，，；（Ⅱ ）如图②，点为的中点，，，，，．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．7、（ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析.【分析】（ 1 ）由AB=CD 知，即，据此可得答案；（ 2 ）由知 AD=BC ，结合∠ADE=∠CBE ，∠DAE=∠BCE 可证△ADE≌△CBE ，从而得出答案．【详解】证明（ 1 ）∵AB=CD ，∴ ，即，∴ ；（ 2 ）∵，∴AD=BC ，又∵∠ADE=∠CBE ，∠DAE=∠BCE ，∴△ADE≌△CBE （ASA ），∴AE=CE ．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，① 圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“ 知一推二” ，一项相等，其余二项皆相等．8、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ ACB =90° ，根据等量代换得到∠DCO =90° ，即可证明DC 是圆O 的切线；（ 2 ）根据已知得到OA =2 DA ，证明△ DCO ∽△ DEB ，得到，可得DA = EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（ 1 ）如图，连接OC ，由题意可知：∠ ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ ACB =90° ，∵ OC ，OB 是圆O 的半径，∴ OC = OB ，∴∠ OCB =∠ ABC ，又∵∠ DCA =∠ ABC ，∴∠ DCA =∠ OCB ，∴∠ DCO =∠ DCA +∠ ACO =∠ OCB +∠ ACO =∠ ACB =90° ，∴ OC ⊥ DC ，又∵ OC 是圆O 的半径，∴ DC 是圆O 的切线；（ 2 ）∵，∴ ，化简得OA =2 DA ，由（ 1 ）知，∠DCO =90° ，∵ BE ⊥ DC ，即∠ DEB =90° ，∴∠ DCO =∠ DEB ，∴ OC ∥ BE ，∴△ DCO ∽△ DEB ，∴ ，即，∴ DA = EB ，∵ BE =3 ，∴ DA = EB = ，经检验：DA = 是分式方程的解，∴ DA = ．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．9、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）连接，，因为，所以，从而易证，所以，继而可证明；（ 2 ）设的半径为，则，在中，，从而可求出的值．【详解】解：（ 1 ）证明：连接，，，，，，，，，与边相切于点，，，；（ 2 ）在，，，，，设的半径为，则，在中，，，．【点睛】本题考查了圆中弧、弦之间的关系，圆周角定理的推论，切线的性质和解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键．10、（ 1 ）60°；（ 2 ） 5 ．【分析】（ 1 ）根据圆周角定理得到∠BOD 的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD ＝∠BOD ＝60°；（ 2 ）设⊙O 的半径为 r ，则OC ＝r−2 ，根据垂径定理得到AC ＝BC ＝ 4 ，然后利用勾股定理得到（r−2 ） 2 ＋ 4 2 ＝ r 2 ，再解方程即可得出结果．【详解】解：（ 1 ）∵∠BOD ＝2∠DEB ，∠DEB ＝30°，∴∠BOD ＝60°，∵OD⊥AB ，∴ ＝，，∴∠AOD ＝∠BOD ＝60°；（ 2 ）设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r−2 ，∵OD⊥AB ，∴AC ＝BC ＝AB ＝×8 ＝ 4 ，在Rt△OAC 中，由勾股定理得：（r−2 ） 2 ＋ 4 2 ＝ r 2 ，解得： r ＝ 5 ，即⊙ O 的半径长为 5 ．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．11、（ 1 ）见解析；（ 2 ），理由见解析【分析】（ 1 ）首先根据旋转的性质，判断出∠DAE =90° ，AD = AE ，进而判断出∠ BAD =∠ CAE ；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ ABD ≌△ ACE ，即可判断出BD = CE ．再证明，即可证明；（ 2 ）由得，再证明A ，D ，F ，E 在以DE 为直径的圆上，即可证明，从而可证明AF // CD ．【详解】解（ 1 ）由旋转的性质，可得∠DAE =90° ，AD = AE ，∵∠ BAD +∠ DAC =∠ BAC =90° ，∠CAE +∠ DAC =∠ DAE =90° ，∴∠ BAD =∠ CAE ，在△ ABD 和△ ACE 中，，∴△ ABD ≌△ ACE （SAS ），∴ BD = CE ，∵∴ ，即∴∴∴ ，即;（ 2 ），理由如下：∵∴由（ 1 ）知，∴ A ，D ，F ，E 在以DE 为直径的圆上，如图，∵ AD = AE∴ 弧AD = 弧AE ，∴∴∴ ；【点睛】此题主要考查了旋转的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：① 对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．另外此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及四点共圆的知识，要熟练掌握．12、（ 1 ）见解析；（ 2 ） 2【分析】（ 1 ）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠ OAB =60° ，利用三角形外角的性质得出∠C =∠ CAB =30° ，由此可得∠OAC =90° 即可得出结论；（ 2 ）过O 作OM ⊥ DF 于M ，DN ⊥ OC 于N ，利用勾股定理得出AC = ，根据含30° 的直角三角形的性质得出DN = ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（ 1 ）证明：∵AB = OA ，OA = OB∴ AB = OA = OB∴△ AOB 为等边三角形∴∠ OAB =60° ，∠OBA =60°∵ BC = OB∴ BC = AB∴∠ C =∠ CAB又∵∠ OBA =60°=∠ C +∠ CAB∴∠ C =∠ CAB =30°∴∠ OAC =∠ OAB +∠ CAB =90°∴ AC 是⊙ O 的切线；（ 2 ）∵OA =4∴ OB = AB = BC =4∴ OC =8∴ AC = = =∵ D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴ OE // BC ，DC =过O 作OM ⊥ DF 于M ，DN ⊥ OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴ DN = OM在Rt △ CDN 中，∠ C =30° ，∴DN = DC = ∴ OM =连接OG ，∵ OM ⊥ GF∴ GF =2 MG =2 = =2【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．13、（ 1 ）见详解；（ 2 ） 2【分析】（ 1 ）连接OD ，由垂径定理得OD ⊥ BC ，从而得OD ⊥ EF ，进而即可得到结论；（ 2 ）由平行线分线段定理得DN = ，再证明，可得BD =2 ，最后证明∠BMD =∠ DBM ，进而即可求解．【详解】（ 1 ）证明：连接OD ，如图，∵ 点D 是的中点，∴ ，∴ OD ⊥ BC ，∵ BC ∥ EF ，∴ OD ⊥ EF ，∴ EF 为⊙ O 的切线；（ 2 ）设BC 、AD 交于点N ，∵ ，，，∴ ，∴ DN = ，∵ 点D 是的中点，∴∠ BAD =∠ CAD =∠ CBD ，又∵∠ BDN =∠ ADB ，∴ ，∴ ，即：，∴ BD =2 ，∵ 的平分线交于点 M ，∴∠ ABM =∠ CBM ，∴∠ ABM +∠ BAD =∠ CBM +∠ CBD ，即：∠ BMD =∠ DBM ，∴ DM = BD =2 ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的判定定理相似三角形的判定和性质，平行线分线段定理，等腰三角形的判定和性质，找出相似三角形，是解题的关键．14、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【分析】（ 1 ）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ ACB =90° ，根据等量代换得到∠DCO =90° ，即可证明DC 是圆O 的切线；（ 2 ）根据已知得到OA =2 DA ，证明△ DCO ∽△ DEB ，得到，可得DA = EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（ 1 ）如图，连接OC ，由题意可知：∠ ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ ACB =90° ，∵ OC ，OB 是圆O 的半径，∴ OC = OB ，∴∠ OCB =∠ ABC ，又∵∠ DCA =∠ ABC ，∴∠ DCA =∠ OCB ，∴∠ DCO =∠ DCA +∠ ACO =∠ OCB +∠ ACO =∠ ACB =90° ，∴ OC ⊥ DC ，又∵ OC 是圆O 的半径，∴ DC 是圆O 的切线；（ 2 ）∵，∴ ，化简得OA =2 DA ，由（ 1 ）知，∠DCO =90° ，∵ BE ⊥ DC ，即∠ DEB =90° ，∴∠ DCO =∠ DEB ，∴ OC ∥ BE ，∴△ DCO ∽△ DEB ，∴ ，即，∴ DA = EB ，∵ BE =3 ，∴ DA = EB = ，经检验：DA = 是分式方程的解，∴ DA = ．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．15、（ 1 ）见详解；（ 2 ），【分析】（ 1 ）由题意易得，然后问题可求证；（ 2 ）由题意可先作图，由（ 1 ）可得点E 为BC 的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】（ 1 ）证明：∵是的直径，，∴ ，∴ ；（ 2 ）解：由题意可得如图所示：由（ 1 ）可得点E 为BC 的中点，∵ 点O 是BG 的中点，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∵ 的半径为 5 ，∴ ，∴ ，∴ ．【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．。

天津市静海区2018-2017届中考数学《圆的有关性质》专题练习含答案

天津市静海区普通中学2018届初三数学中考复习圆的有关性质专项复习练习1．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( D )A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，⊙O 的半径为5 cm ，则圆心O 到弦CD 的距离为( A )A.52cm B ．3 cm C ．3 3 cm D ．6 cm 3．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠CAB ＝40°，则∠ABD 与∠AOD 分别等于( B )A ．40°，80°B ．50°，100°C ．50°，80°D ．40°，100°4．如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB＝3∠ADB，则( D )A ．DE ＝EB B.2DE ＝EB C.2DE ＝DO D ．DE ＝OB5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( B ) A ．45° B ．50° C ．55° D ．60°6．如图，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OC 交圆O 于点F ，则∠BAF 等于( B )A ．12.5°B ．15°C ．20°D ．22.5°7. 如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP 长的最小值为( B ) A.32 B ．2 C.81313 D.1213138. 如图，△ABC 内接于⊙O，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的半径OC ＝13，则AB ＝__392__．9．如图，在⊙O 中，A ，B 是圆上的两点，已知∠AOB ＝40°，直径CD∥AB，连接AC ，则∠BAC＝__35__度．10．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径是4，sinB ＝14，则线段AC 的长为__2__．11．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，则∠B＋∠E＝__215__°.12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC 交于点E ，连OD 交BE 于点M ，且MD ＝2，则BE 的长为__8__.13．如图是由两个长方形组成的工件平面图(单位：mm)，直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是__50__mm.14．在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC ，点Q 在⊙O 上，且OP⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB 时，求PQ 的长；(2)如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．解：(1)连接OQ ，∵tan30°＝PO OB ＝33，∴PO ＝3，又∵OQ＝3，∴PQ ＝OQ 2－OP 2＝6 (2)∵PQ 2＝OQ 2－OP 2，OQ ＝3，∴当OP 2最小时，PQ 2最大，即当OP⊥BC 时PQ 2最大，此时OP ＝12OB ＝32，∴PQ 最大2＝OQ 2－OP 2＝274，∴PQ 最大＝33215．如图，在平面直角坐标系中，以点M(0，3)为圆心，以23长为半径作⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 、D 两点，连接AM 并延长交⊙M 于P 点，连接PC 交x 轴于E.(1)求点C ，P 的坐标； (2)求证：BE ＝2OE.解：(1)连接PB ，∵PA 是圆M 的直径，∴∠PBA ＝90°，∴AO ＝OB ＝3，又∵MO⊥AB，∴PB ∥MO ，∴PB ＝2OM ＝23， ∴P 点坐标为(3，23)， ∴OC ＝MC －OM ＝3，则C(0，－3)(2)连接AC.∵AM ＝MC ＝23，AO ＝3，OC ＝3，∴AM ＝MC ＝AC ＝23，∴△AMC 为等边三角形，又∵AP 为圆M 的直径，∴∠ACP ＝90°， ∴∠OCE ＝30°，∴OE ＝1，BE ＝2，∴BE ＝2OE16．如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠CPB ＝60°. (1)判断△ABC 的形状：__等边三角形__；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．解：(2)PA ＋PB ＝PC.证明：如图①，在PC 上截取PD ＝PA ，连接AD.∵∠APC＝60°，∴△PAD 是等边三角形，∴PA ＝AD ，∠PAD ＝60°，又∵∠BAC＝60°，∴∠PAB ＝∠DAC.又∵AB＝AC ，∴△PAB ≌△DAC(SAS)，∴PB ＝DC.∵PD＋DC ＝PC ，∴PA ＋PB ＝PC(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 面积最大．理由：如图②，过点P 作PE⊥AB，垂足为E ，过点C 作CF⊥AB，垂足为F ，∵S △PAB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB·CF，∴S 四边形APBC＝12AB(PE ＋CF)．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径，∴此时四边形APBC 面积最大．又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝3，∴S 四边形APBC 最大＝12×2×3＝ 3。

初中数学：圆的基本性质同步测试题(附答案)

初中数学：圆的基本性质同步测试题（含答案） [测试范围：3.1～3.3 时间：40分钟分值：100分]一、选择题(每小题4分,共24分)1．已知⊙O 的半径是4,OP ＝3,则点P 与⊙O 的位置关系是( ) A ．点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外 D ．不能确定2．下列四个圆形图案中,分别以它们所在圆的圆心为旋转中心,顺时针旋转120°后能与原图形完全重合的是( )图G －2－1图G －2－23．如图G －2－2,在⊙O 中,∠OAB ＝45°,圆心O 到弦AB 的距离OE ＝2 cm,则弦AB 的长为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 2 cmD ．4 cm4．平面直角坐标系内,过A (2,2),B (6,2),C (4,5)三点的圆的圆心坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫4，176 B ．(4,3)C.⎝⎛⎭⎪⎫5，176 D ．(5,3)5．在直径为200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图G －2－3所示．若油面AB ＝160 cm,则油的最大深度为( )A ．40 cmB ．60 cmC ．80 cmD ．100 cmG －2－3G －2－46．如图G －2－4,正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ,连结AF ,则∠OFA 的度数是( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°二、填空题(每小题4分,共24分)7．平面上到点O 的距离为3 cm 的点的轨迹是____________________．8．如图G －2－5,AB 是⊙O 的弦,AB 的长为8,P 是⊙O 上一个动点(不与点A ,B 重合),过点O 作OC ⊥AP 于点C ,OD ⊥PB 于点D ,则CD 的长为________．G －2－5G －2－69．如图G －2－6,AB 是⊙O 的直径,点C,D 在⊙O 上,∠BOC ＝110°,AD ∥OC,则∠AOD＝________°.10．如图G －2－7所示,已知⊙O 的半径为10 cm ,弦AB ＝12 cm ,D 是AB ︵的中点,则弦BD 的长为________．G －2－7G －2－811．如图G －2－8,将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C 均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC ,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．12．如图G －2－9,在一直径为8 m 的圆形戏水池中搭有两座浮桥AB,CD,已知C 是AB ︵的中点,浮桥CD 的长为4 3 m ．设AB,CD 相交于点P,则∠APC＝________°.图G －2－9三、解答题(共52分)13．(12分)如图G －2－10,在平面直角坐标系中,Rt △ABC 的三个顶点分别是A(－3,1),B(0,3),C(0,1)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后的△A1B1C1(点A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1)；(2)连结AB1,BA1,求四边形AB1A1B的面积．图G－2－1014．(12分)如图G－2－11,将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆相交于点D,E,量出半径OC＝5 cm,弦DE＝8 cm,求直尺的宽．图G－2－1115．(14分)如图G－2－12,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B,C两点,求弦BC的长的最小值．图G－2－1216．(14分)如图G－2－13,⊙O的半径OA＝5 cm,AB是弦,∠OAB＝30°,现有一动点C从点A出发,沿弦AB运动到点B,再从点B沿劣弧BA回到点A.(1)若AC＝12AB,求OC的长；(2)若BC＝CO,求∠COA的度数．图G－2－13详解详析1．A [解析] ∵OP＝3＜4,∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内．故选A.2．A3．D [解析] ∵OE⊥AB,∴AE＝EB.在Rt△AOE中,∠OAB＝45°,∴△AEO是等腰直角三角形,∴AE＝OE＝2 cm.∴AB＝2AE＝2×2＝4(cm)．故选D.4．A [解析] 根据题意,可知线段AB的垂直平分线为直线x＝4,然后由点C的坐标可求得圆心的横坐标为x＝4,然后设圆的半径为r,则根据勾股定理可知r2＝22＋(5－2－r)2,解得r＝136,因此圆心的纵坐标为176,因此圆心的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，176.5．A6．C [解析] ∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF, ∴∠AOF＝90°＋40°＝130°,OA＝OF,∴∠OFA＝(180°－130°)÷2＝25°.故选C.7．以点O为圆心,3 cm长为半径的圆8．4 [解析] ∵OC⊥AP,OD⊥PB,∴由垂径定理,得AC＝PC,PD＝BD,∴CD 是△APB 的中位线, ∴CD ＝12AB ＝12×8＝4.9．40 [解析] ∵∠BOC ＝110°,∠BOC ＋∠AOC ＝180°, ∴∠AOC ＝70°. ∵AD ∥OC ,OD ＝OA , ∴∠D ＝∠A ＝70°,∴∠AOD ＝180°－2∠A ＝40°.10．2 10 cm [解析] 连结OD ,交AB 于点E .因为BD ︵＝AD ︵,O 为圆心,所以OD ⊥AB ,BE ＝AE ＝12AB ＝6.在Rt △BOE 中,OB ＝10,BE ＝6,则OE ＝8.又在Rt △BDE 中,BE ＝6,DE ＝2,则BD ＝BE 2＋DE 2＝62＋22＝2 10(cm)．11. 5 [解析] 如图所示,作AB ,AC 的垂直平分线,交点为O ,则点O 为△ABC 外接圆的圆心,AO 为△ABC 外接圆的半径．在Rt △AOD 中,AO ＝AD 2＋OD 2＝22＋12＝5,所以能够完全覆5.12．60 [解析] 如图,过点O 作OM ⊥CD 于点M ,连结OC ,交AB 于点N .∵C 是AB ︵的中点, ∴OC ⊥AB .在Rt △OMC 和Rt △PNC 中, ∠C ＝∠C ,∠OMC ＝∠PNC ＝90°, ∴∠APC ＝∠O . ∵CD ＝4 3,OM ⊥CD , ∴CM ＝12CD ＝2 3,∴在Rt △OCM 中,OM ＝OC 2－CM 2＝2, ∴∠OCM ＝30°,∴∠APC ＝∠O ＝60°. 13．解：(1)如图,△A 1B 1C 1即为所求．(2)四边形AB 1A 1B 的面积＝12×6×4＝12.14．[解析] 过点O 作OM ⊥DE 于点M ,连结OD ,根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧”和勾股定理进行计算．解：如图,过点O 作OM ⊥DE 于点M ,连结OD ,∴DM＝12DE.∵DE＝8 cm,∴DM＝4 cm.在Rt△ODM中,∵OD＝OC＝5 cm,∴OM＝OD2－DM2＝3 cm,∴直尺的宽为3 cm.15．解：如图,连结OB.∵直线y＝kx－3k＋4必过点D(3,4),∴最短的弦CB是过点D且与OD垂直的弦．∵点D的坐标是(3,4),∴OD＝32＋42＝5.∵以原点O为圆心的圆过点A(13,0),∴圆的半径为13,∴OB＝13,∴BD＝OB2－OD2＝132－52＝12.∵OD⊥BC,∴BC＝2BD＝12×2＝24,∴弦BC的长的最小值为24.16．解：(1)分两种情况：当点C在弦AB上时,连结OC,如图①,∵AC＝12AB,即C为AB的中点,∴OC⊥AB.在Rt△OAC中,∵∠OAB＝30°,∴OC＝12OA＝52cm；当点C在劣弧AB上时,必然存在某处使得AC＝12AB,此时OC＝OA＝5 cm.综上,OC的长为52cm或5 cm.(2)如图②,连结OB.∵OA＝OB,∴∠OBA＝∠OAB＝30°,∴∠AOB＝120°.当点C在AB上的点C′处时,BC′＝C′O,则∠OBC′＝∠BOC′＝30°,∴∠C′OA＝120°－30°＝90°；当点C在劣弧AB上时,BC＝CO,而OB＝CO,∴△OBC为等边三角形,∴∠BOC＝60°,∴∠COA＝60°.综上所述,∠COA的度数为90°或60°.1。

初三-圆有关的性质含答案

由垂径定理，得AE＝ AB＝3，CF＝ CD＝4，
设OE＝x，则OF＝x－1，
在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，
在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，
∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋(x－1)2，解得x＝4，∴半径OA＝＝5，∴直径MN＝2OA＝10(分米)．故选C.
答案：C
方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．
A．116° B．32°
C．58° D．64°
解析：根据圆周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠BOD＝2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD.还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°.
【经典考题】
A．CM＝DMB． C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( )
(第3题图)
A．45° B．85° C．90° D．95°
4．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________ mm.
A．2.5cmB．2.5cm或6.5cm
C．6.5cmD．5cm或13cm
4．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝，且BD＝5，则DE等于( )
A．2 B．4 C． D．

2017年秋人教九年级上《24.1.1圆的有关性质》同步练习含答案

离相等即可,此时点O为圆心,任意一点到点O的距离为该圆的半径. 8. 【解析】选 B.只有在同圆或等圆才有等弧可知选项 A、C 错,优弧大于半圆, 劣弧小于半圆,可得同圆中优弧与半圆的差必是劣弧.
9. 【解析】选 C.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆周大于半圆,是优弧.
10.【解析】弦是连接圆上两点的线段,图中的弦有 BC,CE.
A. 2
B. 3 C. 4
D. 5
3、过圆内一点可以做圆的最长弦（）
O A
A. 1 条 B.2条
C. 3 条
D. 4 条
4.顺次连接圆内两条相交直径的 4 个端点,围成的四边形一定是( )
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
5.如图,AB是☉O 的直径,AC是弦,D是 AC的中点,若 OD=4,则 BC=
答案:2
【易错提醒】弦的两个端点必须都在圆上,只有一个端点在圆上的线段不是弦.
11.【解析】以 A 为一个端点的优弧有 , , 共 3 条;劣弧有 , , ,
共 3 条.
答案:3 3
12.【解析】如图,CD为☉O 中非直径的任意一条弦,连接 OC,OD,则 OC+OD>CD,
而 OC,OD为☉O 的半径,
E D C
.
6.已知:如图,OA,OB为☉O 的半径,C,D分别为 OA,OB的中点,求证:AD=BC.
7.如图所示,BD,CE是△ABC的高,求证:E,B,C,D四点在同一个圆上.
12.如图,在☉O 中,线段 AB为其直径,为什么直径 AB是☉O 中最长的弦?
13.若☉O 的半径是 12cm,OP=8cm,求点 P 到圆上各点的距离中最短距离和最长距离. 14.【错在哪？】作业错例课堂实拍若☉O 的半径为 4,点 P 到☉O 上一点的最短距离为 2,求点 P 到☉O 上一点的最长距离.