2016上海市初三一模数学压轴题汇编
2016年上海中考数学一模试卷和答案含奉贤,浦东,青浦,静安,闸北,嘉定,宝山,虹口,黄浦9区试卷和答案
2016年奉贤区调研测试九年级数学2016.01（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.用一个4倍放大镜照△ABC ，下列说法错误的是（▲） A ．△ABC 放大后，∠B 是原来的4倍； B ．△ABC 放大后，边AB 是原来的4倍； C ．△ABC 放大后，周长是原来的4倍； D ．△ABC 放大后，面积是原来的16倍2.抛物线()212y x =-+的对称轴是（▲）A ．直线2x =；B ．直线2x =-；C ．直线1x =；D ．直线1x =-．3.抛物线223y x x =--与x 轴的交点个数是（▲） A . 0个 ； B ．1个； C ． 2个 ； D ． 3个．4.在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且有12AD AE DB EC ==，BC =18,那么DE 的值为（▲）A ．3 ；B ．6 ；C ．9 ；D ．12． 5.已知△ABC 中,∠C =90°，BC =3，AB =4，那么下列说法正确的是（▲） A ．3sin 5B =； B ． 3cos 4B = ； C ．4tan 3B =； D ．3cot 4B =6.下列关于圆的说法，正确的是（▲） A ．相等的圆心角所对的弦相等；B ．过圆心且平分弦的直线一定垂直于该弦；C ．经过半径的端点且垂直于该半径的直线是圆的切线；D ．相交两圆的连心线一定垂直且平分公共弦．二.填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.已知3x =2y ，那么xy=▲； . 8.二次函数342+=x y 的顶点坐标为▲；9. 一条斜坡长4米，高度为2米，那么这条斜坡坡比i =▲；10.如果抛物线k x k y -+=2)2(的开口向下，那么k 的取值范围是▲；11.从观测点A 处观察到楼顶B 的仰角为35°，那么从楼顶B 观察观测点A 的俯角为▲； 12.在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （-1，3），如果AO 与y 轴正半轴的夹角为α，那么角α的余弦值为▲；13.如图，△ABC 中，BE 平分∠ABC ，DE//BC ，若DE =2AD ，AE=2，那么EC =▲； 14.线段AB 长10cm ，点P 在线段AB 上，且满足BP APAP AB=，那么AP 的长为▲cm ；. 15.⊙O 1的半径11r =，⊙O 2的半径22r =，若此两圆有且仅有一个交点，那么这两圆的圆心距d =▲；16.已知抛物线(4)y ax x =+，经过点A (5,9)和点B （m,9）,那么m =▲；17.如图，△ABC 中，AB =4，AC =6，点D 在BC 边上，∠DAC =∠B ,且有AD =3，那么BD的长为▲；18.如图，已知平行四边形ABCD 中，AB=AD =6，cotB =21，将边AB 绕点A 旋转，使得点B 落在平行四边形ABCD 的边上，其对应点为B ’（点B ’不与点B 重合），那么 sin ∠CAB ’=▲. 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：︒+︒--︒+︒60sin 260tan 2130cos 45sin 422．第13题图BA DC E第17题图B ADC第18题图B20.（本题满分10分，每小题5分）如图，已知AB//CD//EF ，AB:CD:EF=2:3:5，=. （1）=BD （用a 来表示）；（2）求作向量AE 在AB 、BF 方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21.（本题满分10分，每小题5分）为方便市民通行，某广场计划对坡角为30°，坡长为60米的斜坡AB 进行改造，在斜坡中点D 处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．（1）若修建的斜坡BE 的坡角为36°，则平台DE 的长约为多少米？（2）在距离坡角A 点27米远的G 处是商场主楼，小明在D 点测得主楼顶部H 的仰角为30°，那么主楼GH 高约为多少米？（结果取整数，参考数据：sin 36°=0.6，cos 36°=22.（本题满分10分，每小题5分）如图，在⊙O 中，AB 为直径，点B 为CD 的中点，CD =AE =5. （1）求⊙O 半径r 的值；（2）点F 在直径AB 上，联结CF ，当∠FCD =∠DOB 时，求AF 的长.E AB F第20题图CD第21题图F E ABOCD23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，∠AEB =∠ADC . （1）求证：△ADE ∽△DBC ；（2）联结EC，若2CD AD BC =⋅，求证：∠DCE =∠ADB .24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，二次函数2y x bx c =++图像经过原点和点A （2,0），直线AB 与抛物线交于点B ， 且∠BAO =45°.（1）求二次函数解析式及其顶点C 的坐标； （2）在直线AB 上是否存在点D ，使得△BCD为直角三角形.若存在，求出点D 的坐标， 若不存在，说明理由.25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，BC =3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，垂足为点C ，联结DE ，使得∠EDC =∠A ，联结BE . （1）求证：AC BE BC AD ⋅=⋅；（2）设AD =x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围； （3）当ABC BDE S S ∆=41△时，求tan ∠BCE 的值.EA B第20题图CDAE第25题备用图A2016学年九年级第一学期期末测试参考答案与评分标准 2016.01一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ； 2．C ； 3．C ； 4．B ； 5．B ； 6．D ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．23； 8．（0,3）；9．2k <-； 10．1 11．35°； 12．10103； 13．4； 14．5； 15．1或3； 16．-9； 17．72； 18．1010或2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（1）原式=2+24222⎛⨯ ⎝⎭...................................（4分）=(13+244-+（4分） = -1 .......................（2分） 20．解：（1）13a …………………………………………………（5分）（2）向量AE 在AB 、BF 方向上的分向量分别为GE 、AG．图形准确……………………………………………（3分） 结论正确……………………………………………（2分）21.解：（1）由题意得，AB =60米，∠BAC =30°，∠BEF =36°，FM//CG∵点D 是AB 的中点 ∴BD =AD =12AB =30................................................（1分） ∵DF//AC 交BC 、HG 分别于点F 、M ， ∴∠BDF =∠A=30°，∠BFE =∠C=90° 在Rt △BFD 中，∠BFD =90°，cos BDF DF BD ∠=，30DF =， 25.5DF =≈............（1分） sin BF BDF BD∠=1230BF =. 15BF =…………………………（1分）在Rt △BFE 中，∠BFE =90°，tan BEF BFEF ∠=，0.715EF =，EF =21.4………（1分） ∴DE=DF-EF =25.5-21.4=4.1≈4（米）答：平台DE 的长约为4米. ………………………………………………………（1分）（2）由题意得，∠HDM =30°，AG =27米，过点D 作DN ⊥AC 于点N在Rt △DNA 中，∠DNA =90°cos DAC AN AD ∠=30AN =AN =（1分）sin DN DAN AD∠= 1230DN = 15DN =...................（1分）∴27DM NG AN AG ==+=……………………………………（1分）在Rt △HMD 中，∠HMD =90° tan HDM HMDM ∠=15HM =+453930153915≈+=++=+=MG HM HG 米…（1分）答：主楼GH 的高约为45米………………………………………………………（1分） 22．解：(1) ∵OB 是半径，点B 是CD 的中点∴OB ⊥CD ，CE=DE =12CD =…（2分）∴222ODED OE =+ ∴()()2225-5r r =+ 解得 r =3…………（3分）(2) ∵OB ⊥CD ∴∠OEC=∠OED =90°……………………………………………（1分） 又∵∠FCE=∠DOE ∴△FCE ∽△DOE ∴EF CEED OE=…………………………（2分）= 得52EF =……………………………………………………（1分）∴ 52AF AE EF =-=……………………………………………………………（1分） 23.（1）证明：∵AD ∥BC ∴∠ADB =∠DBC ………………………………………（2分） ∵ ∠ADC+∠C=180° ∠AEB+∠AED=180°又∵∠AEB =∠ADC ∴∠C =∠AED …………………………………………（2分） ∴△ADE ∽△DBC ……………………………………………………………（2分） （2） ∵△ADE ∽△DBC∴AD DBDE BC =∴AD BC DB DE ⋅=⋅…………………………………………（1分） ∵2CD AD BC =⋅ ∴2CD DB DE =⋅∴CD DEDB CD =………………………………………………………………………（1分） ∵∠CDB =∠CDE∴△CDE ∽△BDC ………………………………………………………………（2分） ∴ ∠DCE =∠DBC ………………………………………………………………（1分） ∵∠ADB =∠DBC∴∠DCE =∠ADB ………………………………………………………………（1分）24．解：（1）将原点（0,0）和点A （2，0）代入2y x bx c =++中0042cb c=⎧⎨=++⎩ 解得20b c =-⎧⎨=⎩ 22y x x =-………………………（3分）∴顶点C 的坐标为（1，﹣1（2）过点B 作BG ⊥x 轴，垂足为点G ∵∠BGA =90°，∠A =45° ∴∠GBA=45° 设点A （x ，22x x -） 则22x x -=2-x ∴点B （-1，3设直线AB ： 0y kx b k =+≠（） 将点A （2，0）、B （-1，3）代入203k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得12k b =-⎧⎨=⎩ 直线AB ：y =设点D （x ，2x -+）则BC =CD =BD 若△BCD 为直角三角形①∠BCD =90° ∴222BC CD BD += 即(222+= 解得73x =∴7133D ⎛⎫⎪⎝⎭点，-……………………………………………（2分）② ∠BDC =90°∴222BDCD BC += 即(222+=解得 1221x x ==-，（舍去） ∴点D （2，0）…………………（2分）综上所述：()712,033D ⎛⎫ ⎪⎝⎭点，-或25．解：（1）∵CE ⊥CD ∴∠DCE =∠BCA =90︒∵∠EDC =∠A ∴△EDC ∽△BAC ∴EC BCDC AC=……………（2分） ∵∠DCE =∠BCA ∴∠DCE -∠BCD =∠BCA -∠BCD 即∠BCE=∠DCA ……（1分）∵ECBCDC AC = ∴△BCE ∽△ACD ………………………………（1分）∴BCACBEAD= 即AC BE BC AD ⋅=⋅………………………………………（1分） （2）∵△BCE ∽△ACD ∴∠CBE =∠A ∵∠BCA=90° ∴4AC ，∠ABC+∠A=90°∴∠CBE+∠ABC=90°即∠DBE=90°……………………（1分）∴DE ==∵BC AC BE AD =，34BE x = ∴ 3=4BE x ()2113153==52248BDE x x S BD BE x x ∆-⋅-⋅=……………………………………（1分） ∵ △CDE ∽△CAB ∴22121165CDE ABC S DE x x S AB ∆∆⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭ ∵11==43=622ABC S BC AC ∆⋅⨯⨯ ∴2312=685CDE S x x ∆-+……………………（1分） 即()21=S 60540BDE CDE S S x x ∆∆+=-<<……………………………（2分） （3）11==43=622ABC S BC AC ∆⋅⨯⨯ 由14ABC S S ∆=得 21531684x x -=⨯ ∴2540x x -+=1214x x ==，…………………………（1分）过点D 作DF ⊥AC 于点F ∴∠DFA=∠BCA =90°∴ DF ∥BC ∴DF AD AFBC AB AC == 当x =1时，3455DF AF ==，，165CF AC AF =-=………………………………（1分） 在Rt △DFC 中，∠DFC =90° t a n 3DF DCF ==∠∵∠BCE=∠DCA ∴3an 16t BCE =∠当x =4时，得121655DF AF ==， CF =3tan DCF DFCF∠==，即tan ∠∴综上所述：6an 331t BCE =∠或．2016浦东一模一. 选择题1. 如果两个相似三角形对应边之比是1:4，那么它们的对应边上的中线之比是（ ） A. 1:2； B. 1:4； C. 1:8； D. 1:16；2. 在Rt △ABC 中，90C ︒∠=，若5AB =，4BC =，则sin A 的值为（ ）A.34； B. 35； C. 45； D. 43； 3. 如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE ∥BC 的条件是（ ） A. ::AD AB DE BC =； B. ::AD DB DE BC =； C. ::AD DB AE EC =； D. ::AE AC AD DB =；4. 已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么a 、b 、c 的符号为（ ） A. 0a <，0b <，0c >； B. 0a <，0b <，0c <； C. 0a >，0b >，0c >； D. 0a >，0b >，0c <；5. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，CD AB ⊥于点D ，下列结论中错误的是（ ）A. 2AC AD AB =⋅；B. 2CD CA CB =⋅； C. 2CD AD DB =⋅； D. 2BC BD BA =⋅； 6. 下列命题是真命题的是（ ）A. 有一个角相等的两个等腰三角形相似；B. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似；C. 四个内角都对应相等的两个四边形相似；D. 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；二. 填空题7. 已知13x y =，那么x x y =+ ； 8. 计算：123()3a ab -+=；9. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1:5000000的地图上，上海与杭州的图 上距离约 厘米；10. 某滑雪运动员沿着坡比为100米，则运动员下降的垂直高度为 米；11. 将抛物线2(1)y x =+向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是 ； 12. 二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，对称轴为直线2x =，若此抛物线与x 轴的 一个交点为(6,0)，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是 ；13. 如图，已知AD 是△ABC 的中线，点G 是△ABC 的重心，AD a = ，那么用向量a表示向量AG为 ；14. 如图，△ABC 中，6AC =，9BC =，D 是△ABC 的边BC 上的点，且CAD B ∠=∠， 那么CD 的长是 ；15. 如图，直线1AA ∥1BB ∥1CC ，如果13AB BC =，12AA =，16CC =，那么线段1BB 的 长是 ；16. 如图是小明在建筑物AB 上用激光仪测量另一建筑物CD 高度的示意图，在地面点P 处 水平放置一平面镜，一束激光从点A 射出经平面镜上的点P 反射后刚好射到建筑物CD 的 顶端C 处；已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，且测得15AB =米，20BP =米，32PD =米，B 、P 、D 在一条直线上，那么建筑物CD 的高度是 米；17. 若抛物线2y ax c =+与x 轴交于点(,0)A m 、(,0)B n ，与y 轴交于点(0,)C c ，则称 △ABC 为“抛物三角形”；特别地，当0mnc <时，称△ABC 为“正抛物三角形”；当0mnc > 时，称△ABC 为“倒抛物三角形”；那么，当△ABC 为“倒抛物三角形”时，a 、c 应分 别满足条件 ；18. 在△ABC 中，5AB =，4AC =，3BC =，D 是边AB 上的一点，E 是边AC 上的 一点（D 、E 均与端点不重合），如果△CDE 与△ABC 相似，那么CE = ；三. 解答题19. 456tan302cos30︒︒︒+-；20. 二次函数2y ax bx c =++的变量x 与变量y 的部分对应值如下表：（1）求此二次函数的解析式； （2）写出抛物线顶点坐标和对称轴；21. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是边AD 的中点，联结BE 并延长交CD 的延 长线于点F ，交AC 于点G ；（1）若2FD =，13ED BC =，求线段DC 的长； （2）求证：EF GB BF GE ⋅=⋅；22. 如图，l 为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时的公路上 由西向东匀速行驶，依次经过点A 、B 、C ，P 是一个观测点，PC l ⊥，PC =60米，4tan 3APC ∠=，45BPC ︒∠=，测得该车从点A 行驶到点B 所用时间为1秒； （1）求A 、B 两点间的距离；（2）试说明该车是否超过限速；23. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，DE BC ⊥交AB 于点E ，AD AC =，EC 交AD 于点F ；（1）求证：△ABC ∽△FCD ； （2）求证：3FC EF =；24. 如图，抛物线22y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（A 在B 的左侧）， 与y 轴交于点(0,3)C -，抛物线的顶点为M ；（1）求a 、c 的值； （2）求tan MAC ∠的值；（3）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ； 问是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的 三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点坐标； 若不存在，请说明理由；25. 如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与点A 、D 不重合），45EBM ︒∠=，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线AC 于点G ，交CD 于点M ；（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）联结EG ，如图2，设AE x =，EG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当M 为边DC 的三等分点时，求EGF S 的面积；21、22、23、24、25、2016青浦、静安一模一. 选择题 1.的相反数是（ ）A.B. C.2； D. 2-； 2. 下列方程中，有实数解的是（ ）A. 210x x -+=； B. 1x =-；C.210x x x -=-； D. 211xx x-=-； 3. 化简11(1)x ---的结果是（ ） A.1x x -； B. 1xx -； C. 1x -； D. 1x -； 4. 如果点(2,)A m 在抛物线2y x =上，将此抛物线向右平移3个单位后，点A 同时平移到 点A '，那么A '坐标为（ ）A. (2,1)；B. (2,7)；C. (5,4)；D. (1,4)-；5. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CD 是高，如果AD m =，A α∠=，那么BC 的长为（ ）A. tan cos m αα⋅⋅；B. cot cos m αα⋅⋅；C.tan cos m αα⋅； D. tan sin m αα⋅；6. 如图，在△ABC 与△ADE 中，BAC D ∠=∠，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满 足下列条件中的（ ）A. AC AB AD AE =；B. AC BC AD DE =；C. AC AB AD DE =；D. AC BCAD AE=；二. 填空题7. 计算：23(2)a -= ； 8. 函数3()2x f x x -=+的定义域为 ；9. 1x =-的根为 ；10. 如果函数(3)1y m x m =-+-的图像经过第二、三、四象限，那么常数m 的取值范围为 ；11. 二次函数261y x x =-+的图像的顶点坐标是 ；12. 如果抛物线225y ax ax =-+与y 轴交于点A ，那么点A 关于此抛物线对称轴的对称点坐标是 ；13. 如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，如果1AE =，2CE =，那么:EF BF 等于 ；14. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，点G 是重心，如果1sin 3A =，2BC =，那么GC 的长 等于 ；15. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2BC AD =，设AB a = ，BC b = ，那么CD =（用向量a 、b的式子表示）；16. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AED B ∠=∠，6AB =，5BC =，4AC =，如果四边形DBCE 的周长为10，那么AD 的长等于 ；17. 如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为E ，如果5AB =，8BC =，4sin 5B =，那么tan CDE ∠= ； 18. 将平行四边形ABCD （如图）绕点A 旋转后，点D 落在边AB 上的点D '，点C 落到C '，且点C '、B 、C 在一直线上，如果13AB =，3AD =，那么A ∠的余弦值为 ；三. 解答题19. 化简：222266942x x x x x x x---++--，并求当123x =时的值；20. 用配方法解方程：22330x x --=；21. 如图，直线43y x =与反比例函数的图像交于点(3,)A a ，第一象限内的点B 在这个反比 例函数图像上，OB 与x 轴正半轴的夹角为α，且1tan 3α=：（1）求点B 的坐标；（2）求OAB ∆的面积；22. 如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是26.6°，向 前走30米到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是45°和33.7°，求该电 线杆PQ 的高度（结果精确到1米）；（备用数据：sin 26.60.45︒=，cos 26.60.89︒=，tan 26.60.50︒=，cot 26.6 2.00︒=，sin 33.70.55︒=，cos33.70.83︒=，tan 33.70.67︒=，cot 33.7 1.50︒=）23. 已知，如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，BD AD AC ==，AD 与CE 相交于点F ，2AE EF EC =⋅； （1）求证：ADC DCE EAF ∠=∠+∠；（2）求证：AF AD AB EF ⋅=⋅；2124. 如图，直线112y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相 交于点C ，与直线112y x =+相交于点A 、D ，CD ∥x 轴，CDA OCA ∠=∠；（1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式；25. 已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，10AC BC ==，4cos 5ACB ∠=，点E 在对角 线AC 上，且CE AD =，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ，设AD x =，△AEF 的面积为y ；（1）求证：DCA EBC ∠=∠；（2）如图，当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积；22静安区2015学年第一学期期末教学质量调研 九年级数学试卷参考答案及评分说明2016.1一、选择题：1．D ； 2．D ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．C ． 二、填空题：7．68a -； 8．2-≠x ； 9．4=x ； 10．31<<m ； 11．（3, -8）； 12．（2, 5）； 13．31； 14．2； 15．b a 21--； 16．2； 17．21； 18．135． 三、解答题：19．解：原式＝ )2()3()2)(2()3)(2(2--÷-+-+x x x x x x x ············································································ （4分） ＝)3()2()2)(2()3)(2(--⋅-+-+x x x x x x x ··············································································· （1分） ＝3-x x． ········································································································ （2分） 当3321==x时，原式＝231311333+-=-=-． ································· （3分） 20．解：023232=--x x , ····································································································· （1分） 23232=-x x , ············································································································ （1分） 16923)43(2322+=+-x x , ······················································································· （2分） 1633)43(2=-x , ·········································································································· （2分） 43343±=-x , ········································································································· （2分）433231+=x ,433232-=x ． ·············································································· （2分）2321．解：（1）∵直线x y 34=与反比例函数的图像交于点A （3，a ）， ∴334⨯=a =4，∴点的坐标A （3，4）． ······························································ （1分） 设反比例函数解析式为xky =， ············································································· （1分）∴12,34==k k ，∴反比例函数解析式为xy 12=． ··········································· （1分）过点B 作BH ⊥x 轴，垂足为H ， 由31tan ==OB BH α，设BH =m ，则OB =m 3，∴B （m 3，m ） ························ （1分） ∴mm 312=，2±=m （负值舍去）， ······································································ （1分） ∴点B 的坐标为（6，2）． ······················································································ （1分）（1） ····································· 过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，OBH AEHB OAE OAB S S S S ∆∆∆-+=梯形············································································ （1分） =BH OH EH BH AE OE AE ⋅-⋅++⋅21)(2121 ··············································· （1分） ==⨯⨯-⨯++⨯⨯26213)24(2143219． ······················································ （2分）22．解：延长PQ 交直线AB 于点H ，由题意得．由题意，得PH ⊥AB ，AB =30，∠PAH =26 .6°，∠PBH =45°，∠Q BH =33.7°， 在Rt △QBH 中，50.1cot ==∠QHBHQBH ，设QH =x ，BH =x 5.1， ···················· （2分） 在Rt △PBH 中，∵∠PBH =45°，∴PH = BH =x 5.1，··············································· （2分） 在Rt △PAH 中，00.2cot ==∠PHAHPAH ，AH =2PH =x 3， ··································· （2分） ∵AH –BH =AB ，∴305.13=-x x ，20=x ． ························································· （2分） ∴PQ =PH –QH =105.05.1==-x x x ． ····································································· （1分） 答：该电线杆PQ 的高度为10米． ················································································· （1分）2423．证明：（1）∵EC EF AE ⋅=2，∴AEECEF AE =． ·························································· （1分） 又∵∠AEF =∠CEA ，∴△AEF ∽△CEA ． ······················································· （2分） ∴∠EAF =∠ECA ， ··························································································· （1分） ∵AD =AC ，∴∠ADC =∠ACD ， ······································································· （1分） ∵∠ACD =∠DCE +∠ECA =∠DCE +∠EAF ． ····················································· （1分）（2）∵△AEF ∽△CEA ，∴∠AEC =∠ACB ． ······························································· （1分）∵DA =DB ，∴∠EAF =∠B ． ················································································ （1分） ∴△EAF ∽△CBA ． ····························································································· （1分）∴ACEFBA AF =． ··································································································· （1分） ∵AC =AD ，∴ADEFBA AF =． ················································································ （1分） ∴EF AB AD AF ⋅=⋅． ···················································································· （1分）24．解：（1）∵直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ， ∴A （–2，0）、B （0，1）．∴OA =2，OB =1． ······················································ （2分） ∵CD //x 轴，∴∠OAB =∠CDA ，∵∠CDA =∠OCA ，∴∠OAB =∠OCA ． ············· （1分） ∴tan ∠OAB =tan ∠OCA ， ························································································· （1分） ∴OCOA OA OB =，∴OC 221=， ·················································································· （1分） ∴4=OC ，∴点C 的坐标为（0，4）． ································································ （1分） （2）∵CD //x 轴，∴BOBCAO CD =． ················································································· （1分） ∵BC =OC –OB=4–1=3,∴132=CD ，∴CD =6，∴点D （6，4）． ························ （1分） 设二次函数的解析式为42++=bx ax y ， ···························································· （1分）⎩⎨⎧++=+-=,46364,4240b a b a ………………（1分） ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.23,41b a ········································· （1分） ∴这个二次函数的解析式是423412++-=x x y ． ················································· （1分）25．解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ECB ． ········································································ （1分）又∵AD =CE ，AC =CB ，∴△DAC ≌△ECB ． ······························································ （2分） ∴∠DCA ＝∠EBC ． ··································································································· （1分） （2）过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．AE =AC –CE =x -10．。
2016一模数学24.25题
1 1 AP CO ＝ (m 1) 4 ＝2m＋2． 2 2 CM BP BP S CM ．又因为 △CPM ，所以 S△CPM ＝ (2m 2) ． CA BA BA S△CPA CA
由 PM//BC，得
①如图 2，当点 P 在 AB 上时，BP＝3－m． 解方程
3 m (2m 2) ＝2，得 m＝1．此时 P(1, 0)． 4 m3 (2m 2) ＝2，得 m 1 2 2 ．此时 P (1 2 2,0) ． 4
BC EC ． AC DC
AC BC ．因此 AC·BE ＝BC·AD ． AD BE
图2
图3
（2）在 Rt△ ABC 中，AB＝ 5，BC＝3，所以 AC＝4．所以 S△ABC＝6． 如图 3，由于△ABC 与△ADC 是同高三角形，所以 S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB＝x∶5． 所以 S△ADC＝
动感体验
请打开几何画板文件名“16 崇明一模 24” ，拖动点 P 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验 到，有两个时刻，△ CPM 的面积为 2．
满分解答
（1）由C(0, 4)，OC＝4OA ，得OA＝1，A(－ 1, 0)． 设抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x－3)，代入点 C(0, 4)，得 4＝－3a．
图1
备用图
动感体验
请打开几何画板文件名 “16 奉贤一模 25” ， 拖动点 E 在 AD 边上运动， 可以体验到， △ABC 与△DEC 保持相似，△ACD 与△BCE 保持相似，△BDE 是直角三角形．
满分解答
（1）如图 2，在 Rt△BAC 和 Rt△EDC 中，由 tan∠A＝tan∠EDC，得 如图 3，已知∠ACB＝∠DCE＝90 °，所以∠1＝∠2 ． 所以△ACD ∽△BCE ．所以
2016年上海各区数学一模18题汇编(含解析)(1)
2016年上海各区县一模数学第18题汇编（含分析）例2016年上海市崇明县中考一模第18题如图I.等边•二角形中,。
是8r边上的一点，E BD : DC= 1 :3.把AdBr折都使点d落在6C边上的点D处,那么_ 的佗为如图2,因为/A/Z>C=/B+/l=6(r +/1, NA/DC=/A/PN+/2=6(r +/2, 所以Nl = /2.又因为NE = NC=6(r ,所以△MBD S ADCN.由3 DM 413/向周长TB + BD所以 --- = -------------- = ----------ND △ZXW的周长JC+DC如图3,设等边三角形ABC的边长为4, "1BD ：。
「=1 ：3时,—=—AM ND 4 + 3 7图图例 2016年上海市奉贤区中考一模第18题如图1.已知平行四边形,45。
［）中，.48:2/,,3=6.8由='.将边绕点」旋*）转，使得点B 落在平行四边形ABCD 的边上,其对应点为F （点£不与点S 瓯合），那么 sin ZC-fB r = .如图2.在Rtzk/HE 中,由T5=2，7, covB- 1 .可得2E=3 .正=4.在RlA/fCE 中,由.dE=4. CE=BC-BE=6-2-4.可得/C= 4应.乙4CE75 .①如图3,当点用在灰:,边上时,B 任=BE=2.在等腰直角—.用形中,B fC=2.所以8H=CH=J 三. 管1△ABH R'H= JI, AH=AC-CH = 372 .所以-虫?'=26.此时向“用=型=£=巫. AB' 2V5 10②如图4.当点？在HD 边上时，ZCJ5r=45 .此时sin/CH3=^. ?图12016年上海市虹口区中考一模第18题如图1,在矩形JBCD中，.48=6,初=10,点E是SC的中点,联结HE.若将&4的沿HE翻折，点8落在点广处，联结FC.贝iJco$NECF= __________ .B E图I如图2.由EB=EC=EF.可知N3尸C=90 .又因为.在戊直平分BF.所以NRO£=90° .所以如O/JE所以NECF=N8E4.在R【ZLd%？I。
上海初三数学各区一模压轴题汇总套全
上海初三数学各区一模压轴题汇总套全TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-2016~2017学年度上海市各区初三一模数学压轴题汇总（18+24+25）共15套整理 廖老师宝山区一模压轴题18（宝山）如图，D 为直角ABC 的斜边AB 上一点，DE AB 交AC 于E ，如果AED 沿着DE 翻折，A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ，如果8AC ，1tan 2A ，那么:___________.CF DF24（宝山）如图，二次函数232(0)2y ax x a 的图像与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点,C 已知点(4,0)A .（1）求抛物线与直线AC 的函数解析式；（2）若点(,)D m n 是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系；（3）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A C E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点E 的坐标.25（宝山）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P Q 、同时从点B 出发，点P 以1/cm s 的速度沿着折线BE ED DC 运动到点C 时停止，点Q 以2/cm s 的速度沿着BC 运动到点C 时停止。
设P Q 、同时出发t 秒时，BPQ 的面积为2ycm ，已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（其中曲线OG 为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）.（1）试根据图（2）求05t 时，BPQ 的面积y 关于t 的函数解析式；（2）求出线段BC BE ED 、、的长度；（3）当t 为多少秒时，以B P Q 、、为顶点的三角形和ABE 相似；（4）如图（3）过点E 作EF BC 于F ，BEF 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度，如果BEF 中E F 、的对应点H I 、恰好和射线BE CD 、的交点G 在一条直线，求此时C I 、两点之间的距离.崇明县一模压轴题18（崇明）如图，已知 ABC ∆中，45ABC ∠=，AH BC ⊥于点H ，点D 在AH 上，且DH CH =，联结BD ，将BHD 绕点H 旋转，得到EHF ∆（点B 、D 分别与点E 、F 对应），联结AE ，当点F 落在AC 上时，（F 不与C 重合）如果4BC =，tan 3C =，那么AE 的长为 ；24（崇明）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD = ，联结AD 、将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）联结DF ，求cot EDF ∠的值；（3）点G 在直线l 上，且45EDG ︒∠=，求点G 的坐标．25（崇明）在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，3cot 2A =，AC =，以BC 为斜边向右侧作等腰直角EBC ∆，P 是BE 延长线上一点，联结PC ，以PC 为直角边向下方作等腰直角PCD ∆，CD 交线段BE 于点F ，联结BD ．（1）求证：PC CE CD BC =； （2）若PE x =，BDP ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当BDF ∆为等腰三角形时，求PE 的长．奉贤区一模压轴题18（奉贤）如图3，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，点P 是边AD 上的一点，联结BP ，将△ABP 沿着BP 所在直线翻折得到△EBP ，点A 落在点E 处，边BE 与边CD 相交于点G ，如果CG=2DG ，那么DP 的长是__ ____.24（奉贤）如图，在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于点A (-1,0)和点B ，与y 轴相交于点C (0,3)，抛物线的顶点为点D ，联结AC 、BC 、DB 、DC .（1）求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）求证：△ACO ∽△DBC ；（3）如果点E 在x 轴上，且在点B 的右侧，∠BCE=∠ACO ，求点E 的坐标。
【精品】2016上海普陀区初三一模数学试题及答案
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原传送带 AB的长为 4 2 米，那么新传送带 AC的长为（
）米 .
18、 已知 A(3,2) 是平面直角坐标中的一点，点 B 是 x 轴负半轴上一动点，联接 AB，并以 AB为边在 x 轴上方作矩形 ABCD，且满足 BC：AB=1:2, 设点 C的横坐标
是 a，如果用含 a 的代数式表示点 D的坐标，那么点 D的坐标为（
)
10、已知点 P 把线段分割成 AP和 PB（AP＞PB）两段，如果 AP是 AB 和 PB的比
例中项，那么 AP：AB=（
）
11、在函数 1. y
ax2
bx c ，2. y
( x 1) 2
x2 ，3. y
5x 2
5 x2 ，4. y
x2 2
中， y 关于 x 的二次函数是（
）（填序号）
12、二次函数 y x2 2x 3 的图像有（
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2016 上海普陀区初三数学一模卷答案
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20（本题满分 10 分） 将抛物线 y 1 x2 先向上平移 2 个单位，再向左平移 m（ m＞ 0）个单位，所得抛 2
物线经过点（ -1 ，4），求新抛物线的表达式以及新抛物线与 y 轴交点的坐标 .
21（本题满分 10 分） 如图 7，已知 AD是圆 O的直径，AB、AC是圆 O的弦，AD⊥BC，垂足是点 E，BC=8，
）（填“最高点”或“最低
点”） 13、如果抛物线 y 2 x2 mx n 的顶点坐标为（ 1， 3），那么 m+n 的值等于
（
）
14、如图 3，点 G是△ ABC的重心， DE经过点 G，DE∥ AC，EF∥AB，如果 DE的长
度为 4，那么 CF的长为（
2016年上海各区县初三一模较难题(18.23.24.25)汇编
（闵行）将一副三角尺如图摆放，其中 Rt△ABC 中， ACB=90°， B=60°，在 Rt△EDF 中， EDF=90°， E=45°，点 D 为边 AB 的中点，DE 交 AC 于点 P，DF 经过点 C， 将△EDF 绕点 D 顺时针旋转角α（0°＜α＜60°）后得△E’DF’，DE’交 AC 于点 M，DF’ 交 BC 于点 N，那么
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Tel: 15000295778
（虹口） 在平面直角坐标系中， 抛物线 y ax bx 3 与 X 轴分别交于点 A （2,0） 、 点B （点
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B 在点 A 的右侧） ，与 y 轴交于点 C， tan CBA （1）求该抛物线的解析式；
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（2）设该抛物线的顶点为 D，求四边形 ABCD 的面积； （3）设抛物线上的点 E 在第一象限，△BCE 是以 BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写 出点 E 的坐标。
AD EF x。 AB AF
AG 的值； AB
S△GDH y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； S△ EBA
（3）当 DH=3HC 时，求 x 的值。
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Tel: 15000295778
（普陀）25. 如图，已知锐角 MBN 的正切值等于 3，△ PBD 中， BDP 90 ，点 D 在
（长宁）如图， ABCD 为正方形， E 为 BC 上一点，将正方形折叠，使 A 点与 E 点重合， 折痕为 MN ，如果 tan AEN
1 ， DC CE 10 ，那么△ ANE 的面为 3
；
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Tel: 15000295778
旋转：
1 ，将边 AB 2 绕点 A 旋转，使得点 B 落在平行四边形 ABCD 的边上，其对应点为 B （点 B 不与点 B 重 合） ，那么 sin CAB ；
上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第2425题
2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0, 4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1, 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16(1)3，．（2）如图2，设P(m, 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CP A＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC，得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1, 0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2，得122m=±．此时P(122,0)+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点（不与B、C重合），过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABH∽△ECM；（2）设BE＝x，EHEM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△BHE为等腰三角形时，求BE的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E在BC上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC的余角，所以∠1＝∠2．又因为∠BAH和∠CEM都是∠AEB的余角，所以∠BAH＝∠CEM．所以△ABH∽△ECM．图2 图3（2）如图3，延长BG交AD于N．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10．在Rt△ABN中，AB＝6，所以AN＝AB tan∠1＝34AB＝92，BN＝152．如图2，由AD//BC，得92 AH ANEH BE x==．由△ABH∽△ECM，得68AH ABEM EC x==-．所以y＝EHEM＝AH AHEM EH÷＝6982x x÷-＝12729xx-．定义域是0＜x＜8．（3）如图2，由AD//BC，得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4，当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+，得92x=．③如图6，当EB＝EH时，1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2, 0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2, 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2, 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边AB上任意一点，联结DC，过点C作CE⊥CD，联结DE，使得∠EDC＝∠A，联结BE．（1）求证：AC·BE＝BC·AD；（2）设AD＝x，四边形BDCE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S△BDE＝14S△ABC时，求tan∠BCE的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E在AD边上运动，可以体验到，△ABC 与△DEC保持相似，△ACD与△BCE保持相似，△BDE是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt△BAC和Rt△EDC中，由tan∠A＝tan∠EDC，得BC EC AC DC=．如图3，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，所以∠1＝∠2．所以△ACD∽△BCE．所以AC BCAD BE=．因此AC·BE＝BC·AD．图2 图3（2）在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，所以AC＝4．所以S△ABC＝6．如图3，由于△ABC与△ADC是同高三角形，所以S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB＝x∶5．所以S△ADC＝65x．所以S△BDC＝665x-．由△ADC∽△BEC，得S△ADC∶S△BEC＝AC2∶BC2＝16∶9．所以S△BEC＝916S△ADC＝96165x⨯＝2740x．所以S＝S四边形BDCE＝S△BDC＋S△BEC＝6276540x x-+＝21640x-+．定义域是0＜x＜5．（3）如图3，由△ACD∽△BCE，得AC BCAD BE=，∠A＝∠CBE．由43x BE=，得BE＝34x．由∠A＝∠CBE，∠A与∠ABC互余，得∠ABE＝90°（如图4）．所以S△BDE＝1133(5)(5) 2248BD BE x x x x⋅=-⨯=--．当S△BDE＝14S△ABC＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x--=，得x＝1，或x＝4．图4 图5 图6 作DH⊥AC于H．①如图5，当x＝AD＝1时，在Rt△ADH中，DH＝35AD＝35，AH＝45AD＝45．在Rt△CDH中，CH＝AC－AH＝416455-=，所以tan∠HCD＝DHCH＝316．②如图6，当x＝AD＝4时，在Rt△ADH中，DH＝35AD＝125，AH＝45AD＝165．在Rt△CDH中，CH＝AC－AH＝164455-=，所以tan∠HCD＝DHCH＝3．综合①、②，当S△BDE＝14S△ABC时，tan∠BCE的值为316或3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12． （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积；（3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1 动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3．由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6，B (6, 0)． 将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--． （2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)． S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+． 当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BO BF CO ==．所以EF ＝2BF ． 解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)． 当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ． 解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H．设AD EF x AB AF ==． （1）当x＝1时，求AG ∶AB 的值；（2）设GDH EBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点．因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ． 所以AG ∶AB ＝1∶2． （2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ． 由AD //BC ，得BE EF x AG AF==． 所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ．因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ．因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ．所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBA S S △△＝2()DG BE＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -． （3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ． DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC 的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =． 因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)． （2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55． ②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4． 根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON的面积为332，求AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN边上的高为3．当S△DON＝332时，DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=，得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --． 点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝42，BC ＝25，AB ＝6，CO ＝4． 作BH ⊥AC 于H ． 由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝42＝32． 因此sin ∠ACB ＝BH BC ＝3225＝310．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==． 所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得341m ±=． 图2 所以点P 的横坐标m ＝341+．如图1，已知△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝1 2．点D在AC边的延长线上，且DB2＝DC·DA．（1）求DCCA的值；（2）如果点E在线段BC的延长线上，联结AE，过点B作AC的垂线，交AC于点F，交AE于点G．①如图2，当CE＝3BC时，求BFFG的值；②如图3，当CE＝BC时，求BCDBEGSS△△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E运动，可以体验到，当CE＝3BC 时，BD//AE，BG是直角三角形ABE斜边上的中线．当CE＝BC时，△ABF≌△BEH，AF ＝2EH＝4CF．满分解答（1）如图1，由DB2＝DC·DA，得DB DADC DB=．又因为∠D是公共角，所以△DBC∽△DAB．所以DB BC CDDA AB BD==．又因为tan∠BAC＝BCAB＝12，所以12CD BD=，12BD DA=．所以14CD DA=．所以13DCCA=．（2）①如图4，由△DBC∽△DAB，得∠1＝∠2．当BF⊥CA时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DCCA=，当CE＝3BC时，得DC BCCA CE=．所以BD//AE．所以13BDEA=，∠2＝∠E．所以∠3＝∠E．所以GB＝GE．于是可得G B是Rt△ABE斜边上的中线．所以23BDGA=．所以23BF BDFG GA==．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1． 由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=． 解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ． 在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ． 所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ． 因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x ≤555-． 定义域中x ＝555-的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECB CE=，列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝335104504xGC HE x GB HBx x===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(3, 0)，与y轴交于点C(0,－3)，点P是直线BC下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C 为菱形，求点P的坐标；（3）如果点P在运动过程中，使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P在直线BC下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP′C为菱形时，PP′垂直平分OC．还可以体验到，当点P与抛物线的顶点重合时，或者点P落在以BC为直径的圆上时，△PCB是直角三角形．满分解答（1）将B(3, 0)、C(0,－3)分别代入y＝x2＋bx＋c，得930,3.b cc++=⎧⎨=-⎩．解得b＝－2，c＝－3．所以二次函数的解析式为y＝x2－2x－3．（2）如图2，如果四边形POP′C为菱形，那么PP′垂直平分OC，所以y P＝32 -．解方程23 232x x--=-，得2102x±=．所以点P的坐标为2103(,)22+-．图2 图3 图4 （3）由y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)＝(x－1)2－4，得A(－1, 0)，顶点M(1,－4)．在Rt△AOC中，OA∶OC＝1∶3．分两种情况讨论△PCB与△AOC相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3, 0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点G，已知AB＝BC＝3，tan∠BDC＝12，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为F，交射线AC于点M，交射线DC于点H．（1）当点F是线段BH的中点时，求线段CH的长；（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE＝x，CM＝y，求y关于x 的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）联结GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E在射线BC上运动，可以体验到，点G是BD的一个三等分点，CH始终都有CE的一半．还可以体验到，GF可以与BC垂直，也可以与DC垂直．满分解答（1）在Rt△BCD中，BC＝3，tan∠BDC＝BCDC＝12，所以DC＝6，DB＝35．如图2，当点F是线段BH的中点时，DF垂直平分BH，所以DH＝DB＝35．此时CH＝DB－DC＝356．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH与∠CDE都是∠BHD的余角，所以∠CBH＝∠CDE．由tan∠CBH＝tan∠CDE，得CH CECB CD=，即336CH x-=．又因为CH//AB，所以CH MCAB MA=，即332CHy=+．因此3632xy-=+．整理，得32(3)3xyx-=+．x的取值范围是0＜x＜3．（3）如图4，不论点E在BC上，还是在BC的延长线上，都有12BG ABGD DC==，12CH CE=．①如图5，如果GF⊥BC于P，那么AB//GF//DH．所以13BP PF BGBC CH BD===．所以BP＝1，111(3)366PF CH CE x===-．由PF//DC，得PF PEDC CE=，即12(3)(3)363xxx---=-．整理，得242450x x-+=．解得21611x=±．此时21611BE=-．②如图6，如果GF⊥DC于Q，那么GF//BE．所以23QF DQ DGCE DC DB===．所以DQ＝4，2(3)3QF x=-．由QF//BC，得QF QHBC CH=，即21(3)2(3)3213(3)2x xx---=-．整理，得223450x x--=．解得3341x±=．此时3341BE+=．图4 图5 图6如图1，抛物线y＝ax2＋2ax＋c（a＞0）与x轴交于A(－3,0)、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，抛物线的顶点为M．（1）求a、c的值；（2）求tan∠MAC的值；（3）若点P是线段AC上的一个动点，联结OP．问：是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P在线段AC上运动，可以体验到，△COP与△ABC相似存在两种情况．满分解答（1）将A(－3,0)、C(0,－3)分别代入y＝ax2＋2ax＋c，得960,3.a a cc-+=⎧⎨=-⎩解得a＝1，c＝－3．（2）由y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得顶点M的坐标为(－1,－4)．如图2，作MN⊥y轴于N．由A(－3,0)、C(0,－3)、M(－1,－4)，可得OA＝OC＝3，NC＝NM＝1．所以∠ACO＝∠MCN＝45°，AC＝32，MC＝2．所以∠ACM＝90°．因此tan∠MAC＝MCAC＝13．（3）由y＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，得B(1, 0)．所以AB＝4．如图3，在△COP与△ABC中，∠OCP＝∠BAC＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC=时，332CP=．解得22CP=．此时点P的坐标为(－2,－1)．当CP ACCO AB=时，323CP=．解得924CP=．此时点P的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DE CG 的值； （2）如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形． 满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2．又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ． 因此2DE DB CG CB==．图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DB GB CB=． 又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）．所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE 236x +所以y ＝EG ＝22BE 22362x +2272x +． 定义域是0＜x ＜6．（3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EF S EB =△△， 所以2364EGF EF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE＝2CG ，所以 x ＝AE ＝AD －DE ＝62CG -．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==． 所以113622442CG CA ==⨯=． 此时x ＝AE ＝62CG -＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =． 所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==． 所以2212622555CG CA ==⨯=． 此时x ＝AE ＝62CG -＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =． 所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ：如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面22GB CB EB DB ==，另一方面2cos 452HB GB =︒=，所以GB HB EB GB=． 于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形．如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ：在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝EN 2x ． 又因为CG 22)x -，所以GN ＝AC －AN －CG ＝32所以y ＝EG ＝22EN GN +＝222()(32)2x +＝2272x +． 如图10，第（2）题如果构造Rt △EGQ 和Rt △CGP ，也可以求斜边EG ＝y ：由于CG ＝2DE ＝2(6)x -，所以CP ＝GP ＝2CG ＝1(6)2x -＝132x -． 所以GQ ＝PD ＝16(3)2x --＝132x +，EQ ＝16(3)2x x ---＝132x -． 所以y ＝EG ＝22GQ EQ +＝2211(3)(3)22x x ++-＝2272x +．图8 图9 图10如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值；（2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P的坐标． 图1 动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+． 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=． （2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)． 因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3． （3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠P AQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CA x CP=． （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答 （1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AH CA x PD CP ===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AH CA x PD CP==，得AH ＝xPD ＝3x ． 又因为tan ∠MBN ＝AH BH＝3，所以BH ＝x ． 设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m x x m -=-． 整理，得81x m x =-． 所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321x x x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC中，BA＝10x，cos∠ABC＝10，BC＝81xx-．①如图4，当BA＝BC时，解方程8101xxx=-，得41105x=+．②如图5，当AB＝AC时，BC＝2BH．解方程821xxx=-，得x＝5．③如图6，当CA＝CB时，由cos∠ABC＝10，得1102AB BC=．解方程11081021xxx⨯=⨯-，得135x=．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠P AB ＝∠CAB ，求点P 的坐标；（3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠P AB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝32，∠ABC ＝∠BCO ＝45°． 当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似： 如图3，当CD BACB BC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)． 如图4，当CD BC CB BA =时，32432=．解得92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝∠BCD＝45°，AD＝3，BC＝9，点P是对角线AC上的一个动点，且∠APE＝∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G．（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（2）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP＝x，DE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG＝2时，求AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，DG＝2存在两种情况，对应的DE也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M、N，那么MN＝AD＝3．在Rt△ABM中，BM＝3，∠B＝45°，所以AM＝3，AB＝32．在Rt△AMC中，AM＝3，MC＝6，所以CA＝35．如图4，由AD//BC，得∠1＝∠2．又因为∠APE＝∠B，当E、D重合时，△APD∽△CBA．所以AP CBAD CA=．因此335AP=．解得此时AP＝95．（2）如图5，设（1）中E、D重合时点P的对应点为F．因为∠AFD＝∠APE＝45°，所以FD//PE．所以AF ADAP AE=，即95353x y=+．因此53y x=-．定义域是95＜x≤35．图3 图4 图5（3）如图6，因为35CA =，95AF =，所以65FC =． 由DF //PE ，得21332FP DG FC DC ===．所以25FP =． 由DF //PE ，95259552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==． ①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=． ②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB ＝22，抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴； （3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB ＝22B 到x 轴、y 轴的距离都为2． 所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO ＝2，BA ＝BC 10BD ＝32如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MA BE BN NE==． 设点E 的坐标为(x , y )101322x y==+-．图2 图3当点E在射线BA上时，∠EBO＝∠DBC．分两种情况讨论相似：①当BE BCBO BD=时，102232=．解得2103BE=．此时1013222103x y==+-．解得x＝43-，y＝0．所以E4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBO BC=时，322210=．解得6105BE=．此时1013622105x y==+-．解得x＝45-，y＝85-．所以E48(,)55--（如图5）．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD中，∠C＝60°，AB＝AD＝5，CB＝CD＝8，点P、Q分别是边AD、BC上的动点，AQ与BP交于点E，且∠BEQ＝90°－12∠BAD．设A、P两点间的距离为x．（1）求∠BEQ的正切值；（2）设AEPE＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当△AEP是等腰三角形时，求B、Q两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P在AD边上运动，可以体验到，∠AEP＝∠BEQ＝∠ABH＝∠ADH，△ABF∽△BEF∽△BDP，△AEP∽△ADF．满分解答（1）如图2，联结BD、AC交于点H．因为AB＝AD，CB＝CD，所以A、C在BD的垂直平分线上．所以AC垂直平分BD．因此∠BAH＝12∠BAD．因为∠BEQ＝90°－12∠BAD，所以∠BEQ＝90°－∠BAH＝∠ABH．在Rt△ABH中，AB＝5，BH＝4，所以AH＝3．所以tan∠BEQ＝tan∠ABH＝34．图2（2）如图3，由于∠BEQ＝∠ABH，∠BEQ＝∠AEP，∠ABH＝∠ADH，所以∠AEP＝∠BEQ＝∠ABH＝∠ADH．图3 图4 图5如图3，因为∠BF A是公共角，所以△BEF∽△ABF．如图4，因为∠DBP是公共角，所以△BEF∽△BDP．所以△ABF∽△BDP．所以AB BDBF DP=．因此585BF x=-．所以5(5)8BF x=-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x=-=--=+．如图5，因为∠DAF是公共角，所以△AEP∽△ADF．所以5401539(539)8AE ADyPE FD xx====++．定义域是0≤x≤5．（3）分三种情况讨论等腰△AEP：①当EP＝EA时，由于△AEP∽△ADF，所以DF＝DA＝5（如图6）．此时BF＝3，HF＝1．作QM⊥BD于M．在Rt△BMQ中，∠QBM＝60°，设BQ＝m，那么12BM m=，3QM m=．在Rt△FMQ中，132FM m=-，tan∠MFQ＝tan∠HF A＝3，所以QM＝3FM．解方程313(3)2m m=-，得BQ＝m＝933-．②如图7，当AE＝AP时，E与B重合，P与D重合，此时Q与B重合，BQ＝0．③不存在PE＝P A的情况，因为∠P AE＞∠P AH＞∠AEP．图6 图7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)． 将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+． （2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-． （3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝42，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似： ①当CM AB CO AC =时，442CM =．解得32CM =．此时M (－3, 1)（如图3）． ②当CM AC CO AB =时，4246CM =．解得823CM =．此时M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=，即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ． 如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MBME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+． 作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ． 在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++． 整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)，对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标；（3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答（1）点A (－1,0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(3, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 2)，得2＝－3a ． 解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+． 顶点D 的坐标为8(1,)3． （2）过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++． 作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ． 由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =． 解方程22442(1)333x x x -++=-，得5x =±．所以F 454(5,)-．图2 图3 图4。
2016上海市各区一模分类整理(第25题压轴题)
2016年初三一模知识点分类整理——压轴题压轴题1. （宝山）如图，点C在以AB为直径的半圆的圆周上，若AB= 4，∠ABC=30°，D为边AB上一动点，点E和D关于AC对称，当D与A重合时，F为EC的延长线上满足CF=EC的点，当D与A不重合时，F为EC的延长线与过D且垂直于DE的直线的交点,（1）当D与A不重合时，CF=EC的结论是否成立？试证明你的判定。
,（2）设AD=x，EF=y，求y关于x的函数及其定义域；（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上时，求出此时AD的值；如不存在，则请说明理由．（4）请直接写出当D从A运动到B时，线段EF扫过的面积．2. （崇明） 如图，已知矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF AE ⊥交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG AC ⊥，垂足为G ，BG 交AE 于H ； （1）求证：△ABH ∽△ECM ； （2）设BE x =，EHy EM=，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△BHE 为等腰三角形时，求BE 的长；3. （奉贤）已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，BC =3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，垂足为点C ，联结DE ，使得∠EDC =∠A ，联结BE . （1）求证：AC BE BC AD ⋅=⋅；（2）设AD =x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围； （3）当ABC BDE S S ∆=41△时，求tan ∠BCE 的值.第25题图AE第25题备用图A4. （虹口）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ，设AD EFx AB AF==； （1）当1x =时，求:AG AB 的值； （2）设GDHEBAS y S ∆∆=，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当3DH HC =时，求x 的值；5. （黄浦）A 是1l 上的点，B 、C 是2l 上的点，AC ⊥BC ，∠ABC =60°，AB =4，O 是AB 的中点，D 是CB 延长线上的点，将DOC ∆沿直线CO 翻折，点D 与'D 重合 （1）如图12，当点'D 落在直线1l 上时，求DB 的长； （2）延长DO 交1l 于点E ，直线'OD 分别交1l 、2l 于点M 、N .① 如图13，当点E 在线段AM 上时，设x AE =，y DN =，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；② 若DON ∆的面积为323时，求AE 的长. B CD 'D O1l 2l A图12A BCD 'D O1l 2l MNE图136. （嘉定）已知：△ABC ，90ABC ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，点D 在边AC 上的延长线上， 且2DB DC DA =⋅（如图）； （1）求DCCA的值； （2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ； ① 如图1，当3CE BC =时，求BFFG的值；② 如图2，当CE BC =时，求BCD BEG S S ∆∆的值；7. （闵行）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点G ，已知3AB BC ==，1tan 2BDC ∠=，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF DE ⊥，垂足 为点P ，交射线AC 于点M ，射线DC 于点H ； （1）当点F 是线段BH 中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE x =，CM y =，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值；MEM E8. （浦东）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点(与点A 、D不重合)，45,EBM BE ∠=︒交对角线AC 于点F ，BM 交对角线AC 于点G ，交CD 于点.M (1) 如图1，联结BD ，求证：DEBCGB ∆∆，并写出DECG的值； (2) 联结EG ，如图2，若设,,AE x EG y ==求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； (3) 当M 为边CD 的三等分点时，求EGF S ∆的面积。
2016上海市初三一模数学压轴题汇编
2016年黄浦区一模18、如图6，在梯形ABCD 中，AD//BC ，45=∠B ,点E 是AB 的中点，DE=DC ，90=∠EDC 若AB=2，则AD 的长是_____24、在平面直角坐标系中，抛物线c ax ax y +-=32与x 轴交于A （-1,0）、B 两点（A 在B 点左侧),与y 轴交于点C （0,2）（1）求抛物线的对称轴及B 点坐标 （2）求证：BCO CAO ∠=∠（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作OD BF ⊥，垂足为BOD ∆外一点E ，若BDE ∆与ABC ∆相似，求点D 的坐标25、已知直线1l 、2l ，1l //2l ,点A 是1l 上的点，B 、C 是2l 上的点BC AC ⊥,60=∠ABC ,AB=4，O 是AB 中点，D 是CB 延长线上的点，将DOC ∆沿直线CO 翻折，点D 与'D 重合（1）如图12，当点'D 落在直线1l 上时，求DB 的长（2）延长DO 交1l 于点E ，直线'OD 分别交1l 、2l 于点M 、N①如图13，当点E 在线段AM 上时，设AE=x,DN=y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域 ②若DON ∆的面积为323时，求AE 的长2016年杨浦区一模18、如图，已知将ABC ∆沿角平分线BE 所在的直线翻折，点A 恰好落在边BC 的中点M 处，且AM=BE ，那么EBC ∠的正切值为_____24、在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线4+=x y 经过A,C 两点（1）求抛物线的表达式（2）如果点P 、Q 在抛物线上（P 点在对称轴的左边），且PQ//AO,PQ=2AO,求点P 、Q 的坐标 （3）动点M 在直线4+=x y 上，且ABC ∆与COM ∆相似，求点M 的坐标25、已知菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 的长为6,（如图1），点E 为边AB 上的动点，点F 在射线AD 上，且B ECF ∠=∠，直线CF 交直线AB 于点M,的余弦值(1)求B（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求BM的长（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y,求y关于x的函数解析式并写出定义域2016年徐汇区一模18、如图8，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，cosB=，将△ABC绕着点A旋转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，联结CE，那么CE的长是________.24、如图12，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，已知点A(-1，-1)，点B在第二象限，OB=，抛物线经过点A和点B.(1)求点B的坐标；(2)求抛物线的对称轴；(3)如果该抛物线的对称轴分别和边AO、BO的延长线交于点C、D，设点E在直线AB上，当△BOE和△BCD相似时，直接写出点E的坐标。
(word完整版)2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题
2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题 / 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题 / 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题 / 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题 / 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题 / 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题 / 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题 / 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题 / 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题 / 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题 / 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题 / 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题 / 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题 / 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题 / 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题 / 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C，其中B（3, 0)，C(0， 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标;(2)联结AC、BC,点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”,拖动点P在x轴的正半轴上运动,可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1)由C（0， 4），OC＝4OA，得OA＝1，A（－1， 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)（x－3)，代入点C（0， 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16 (1)3，．(2）如图2，设P（m， 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CPA＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC,得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1， 0）．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2,得122m=±．此时P(122,0)+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8,点E是BC边上一点（不与B、C重合)，过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F,过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABH∽△ECM；（2）设BE＝x，EHEM＝y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3)当△BHE为等腰三角形时，求BE的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E在BC上运动,可以体验到，有三个时刻，△BHE可以成为为等腰三角形．满分解答（1)如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC的余角，所以∠1＝∠2．又因为∠BAH和∠CEM都是∠AEB的余角，所以∠BAH＝∠CEM．所以△ABH∽△ECM．图2 图3(2）如图3,延长BG交AD于N．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10．在Rt△ABN中，AB＝6,所以AN＝AB tan∠1＝34AB＝92，BN＝152．如图2，由AD//BC，得92AH ANEH BE x==．由△ABH∽△ECM，得68AH ABEM EC x==-．所以y＝EHEM＝AH AHEM EH÷＝6982x x÷-＝12729xx-．定义域是0＜x＜8．（3)如图2,由AD//BC,得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4,当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+,得92x=．③如图6，当EB＝EH时,1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1,二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2， 0），直线AB与抛物线交于点B,且∠BAO＝45°．(1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到,以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD 存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A（2， 0）两点，所以y＝x(x－2）＝（x－1)2－1．顶点C的坐标为(1，－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x）．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3）．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A（2, 0）、C(1，－1）,可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A（2， 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A（2， 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D（m，－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得（m＋1）2＋(－m－1)2＝22＋42＋（m－1）2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt△ABC中,∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3,点D是斜边AB上任意一点，联结DC，过点C作CE ⊥CD,联结DE，使得∠EDC＝∠A，联结BE．（1）求证：AC·BE＝BC·AD；（2）设AD＝x，四边形BDCE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3)当S△BDE＝14S△ABC时,求tan∠BCE的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E在AD边上运动,可以体验到，△ABC与△DEC保持相似，△ACD与△BCE保持相似,△BDE是直角三角形．满分解答(1）如图2，在Rt△BAC和Rt△EDC中，由tan∠A＝tan∠EDC,得BC EC AC DC=．如图3，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，所以∠1＝∠2．所以△ACD∽△BCE．所以AC BCAD BE=．因此AC·BE＝BC·AD．图2 图3(2)在Rt△ABC中,AB＝5，BC＝3，所以AC＝4．所以S△ABC＝6．如图3,由于△ABC与△ADC是同高三角形,所以S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB＝x∶5．所以S△ADC＝65x．所以S△BDC＝665x-．由△ADC∽△BEC,得S△ADC∶S△BEC＝AC2∶BC2＝16∶9．所以S△BEC＝916S△ADC＝96165x⨯＝2740x．所以S＝S四边形BDCE＝S△BDC＋S△BEC＝6276540x x-+＝21640x-+．定义域是0＜x＜5．（3）如图3,由△ACD∽△BCE,得AC BCAD BE=，∠A＝∠CBE．由43x BE=，得BE＝34x．由∠A＝∠CBE，∠A与∠ABC互余，得∠ABE＝90°（如图4）．所以S△BDE＝1133(5)(5) 2248BD BE x x x x⋅=-⨯=--．当S△BDE＝14S△ABC＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x--=，得x＝1，或x＝4．图4 图5 图6作DH⊥AC于H．①如图5，当x＝AD＝1时，在Rt△ADH中，DH＝35AD＝35，AH＝45AD＝45．在Rt△CDH中,CH＝AC－AH＝416455-=，所以tan∠HCD＝DHCH＝316．②如图6，当x＝AD＝4时，在Rt△ADH中，DH＝35AD＝125,AH＝45AD＝165．在Rt△CDH中,CH＝AC－AH＝164455-=，所以tan∠HCD＝DHCH＝3．综合①、②，当S△BDE＝14S△ABC时， tan∠BCE的值为316或3．如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A （2， 0）、点B (点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ,tan ∠CBA ＝12．（1）求该抛物线的表达式;（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积；（3)设抛物线上的点E 在第一象限,△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形,请直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”,可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1)由y ＝ax 2＋bx ＋3,得C (0， 3）,OC ＝3．由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6,B (6, 0)．将A （2, 0)、B (6， 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--． （2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1）．S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3)如图3，点E 的坐标为(10, 8)或（16， 35）．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+．当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BOBF CO==．所以EF ＝2BF ．解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10， 8）．当∠BCE ＝90°时,EF ＝2CF ．解方程21224x x x -=,得x ＝16，或x ＝0．此时E （16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ．设AD EFx AB AF==．(1)当x ＝1时，求AG ∶AB 的值；（2)设GDHEBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2,当x ＝1时，AD ＝AB ,F 是AE 的中点．因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ．所以AG ∶AB ＝1∶2．（2)如图3,已知AD EF x AB AF ==,设AB ＝m ,那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ．由AD //BC ，得BE EFx AG AF ==．所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4 如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ． 因为GH //AE ,所以△GDH ∽△ADM ． 因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ． 所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBAS S △△＝2()DG BE ＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -． (3）如图5,因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-． 因为DM //AB ,E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ．DH ＝3HC 存在两种情况：如图5,当H 在DC 上时,35DH HM =．解方程3215x -=,得45x =． 如图6，当H 在DC 的延长线上时,3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1， 0）、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C （0， 2）．(1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； (2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3)点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC相似,求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24"，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1)由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =． 因此点A （－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为（4， 0）． （2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．(3）由B （4, 0)、C (0, 2）,得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余,∠DBE 与∠ODC 互余,所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0,或85x =．此时D 86(,)55．②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4．根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4,或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2,点A是l1上的点,B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4,O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时,求DB的长;（2)延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时,设AE＝x,DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON的面积为332，求AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”,拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到,有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°,AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时， AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3(2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON,∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO,所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN边上的高为3．当S△DON＝332时，DN＝3．有两种情形：情形1，如图4,当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3,解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5,当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=,得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4,或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中,抛物线212y x bx c =++经过点A (4,0）、点C (0，－4），点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1)用配方法求这条抛物线的顶点坐标; (2）联结AC 、BC ,求∠ACB 的正弦值； （3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0）,过点P 作y 轴的垂线PQ ,垂足为Q ,如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A （4, 0)、C (0，－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩ 解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --． 点B 的坐标是（－2, 0），顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A （4， 0)、B （－2， 0）、C （0,－4），得AC ＝42，BC ＝25，AB ＝6,CO ＝4． 作BH ⊥AC 于H ．由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝2442＝32．因此sin ∠ACB ＝BH BC ＝3225＝31010． （3)点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --．由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==．所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得3412m ±=． 图2所以点P 的横坐标m ＝3412+．如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在AC 边的延长线上，且DB 2＝DC ·DA ．（1）求DCCA的值；（2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ,过点B 作AC 的垂线,交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE ＝3BC 时,求BFFG的值；②如图3，当CE ＝BC 时，求BCDBEGS S △△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25"，拖动点E 运动，可以体验到，当CE ＝3BC 时，BD //AE ，BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线．当CE ＝BC 时，△ABF ≌△BEH ，AF ＝2EH ＝4CF ．满分解答（1）如图1，由DB 2＝DC ·DA ，得DB DADC DB=． 又因为∠D 是公共角，所以△DBC ∽△DAB ．所以DB BC CDDA AB BD==． 又因为tan ∠BAC ＝BC AB ＝12，所以12CD BD =,12BD DA =．所以14CD DA =．所以13DC CA =．（2）①如图4,由△DBC ∽△DAB ，得∠1＝∠2．当BF ⊥CA 时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3． 因为13DC CA =，当CE ＝3BC 时，得DC BC CA CE =．所以BD //AE ． 所以13BD EA =，∠2＝∠E ．所以∠3＝∠E ．所以GB ＝GE ．于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线．所以23BD GA =．所以23BF BD FG GA ==．②如图5，作EH ⊥BG ,垂足为H ．当CE＝BC时,CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12,得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m,EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ,二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ．(1）求点C 的坐标；(2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A （－2， 0），B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1． 由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ．由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=．解得OC ＝4．所以C （0, 4）．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2解方程1142x +=,得x ＝6．所以D (6, 4）．所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A （－2, 0）关于直线x ＝3的对称点为(8， 0）． 设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋2)(x －8）．代入点C (0， 4)，得4＝－16a ．解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10,cos ∠ACB ＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；(2)当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到,直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ,所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ,所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ．在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ．所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ．因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x ≤555-． 定义域中x ＝555-的几何意义如图4,D 、F 重合,根据AD AE CB CE =,列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD ＝90°，那么在Rt △BCG 和Rt △BEH 中，tan∠GBC＝335104504xGC HE xGB HB x x ===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°,那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中,二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于A、B两点,点B的坐标为(3， 0)，与y轴交于点C（0,－3)，点P是直线BC下方的抛物线上的任意一点．(1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C,如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标；（3）如果点P在运动过程中,使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24"，拖动点P在直线BC下方的抛物线上运动,可以体验到,当四边形POP′C为菱形时,PP′垂直平分OC．还可以体验到，当点P与抛物线的顶点重合时,或者点P落在以BC 为直径的圆上时，△PCB是直角三角形．满分解答(1）将B（3， 0）、C（0,－3）分别代入y＝x2＋bx＋c，得930,3.b cc++=⎧⎨=-⎩．解得b＝－2,c＝－3．所以二次函数的解析式为y＝x2－2x－3．（2）如图2，如果四边形POP′C为菱形，那么PP′垂直平分OC，所以y P＝32 -．解方程23 232x x--=-，得2102x±=．所以点P的坐标为2103(,)22+-．图2 图3 图4（3)由y＝x2－2x－3＝(x＋1)（x－3）＝（x－1)2－4，得A（－1， 0），顶点M（1，－4）．在Rt△AOC中，OA∶OC＝1∶3．分两种情况讨论△PCB与△AOC相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3， 0）、C（0，－3），M（1，－4），可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M（1，－4)重合时,△PCB∽△AOC．②如图4,当∠BPC＝90°时,构造△AEP∽△PFB,那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD中,AB//CD，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点G,已知AB＝BC＝3，tan∠BDC＝12，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为F，交射线AC于点M，交射线DC于点H．（1）当点F是线段BH的中点时，求线段CH的长；（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合）,设BE＝x，CM＝y，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3)联结GF,如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E在射线BC上运动，可以体验到，点G是BD的一个三等分点，CH始终都有CE的一半．还可以体验到，GF可以与BC垂直，也可以与DC垂直．满分解答（1）在Rt△BCD中,BC＝3,tan∠BDC＝BCDC＝12,所以DC＝6，DB＝35．如图2，当点F是线段BH的中点时,DF垂直平分BH，所以DH＝DB＝35．此时CH＝DB－DC＝356．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH与∠CDE都是∠BHD的余角，所以∠CBH＝∠CDE．由tan ∠CBH ＝tan ∠CDE ，得CH CE CB CD =，即336CH x-=． 又因为CH //AB ，所以CH MC AB MA =,即332CH y y =+． 因此3632x yy -=+．整理，得32(3)3x y x -=+．x 的取值范围是0＜x ＜3． （3)如图4,不论点E 在BC 上，还是在BC 的延长线上,都有12BG AB GD DC ==, 12CH CE =． ①如图5，如果GF ⊥BC 于P ，那么AB //GF //DH ．所以13BP PF BG BC CH BD ===．所以BP ＝1，111(3)366PF CH CE x ===-．由PF //DC ，得PF PE DC CE =，即12(3)(3)363x x x ---=-． 整理，得242450x x -+=．解得21611x =±．此时21611BE =-． ②如图6，如果GF ⊥DC 于Q ，那么GF //BE ．所以23QF DQ DG CE DC DB ===．所以DQ ＝4，2(3)3QF x =-．由QF //BC ，得QF QH BC CH =，即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-． 整理，得223450x x --=．解得33414x ±=．此时33414BE +=．图4 图5 图6如图1，抛物线y＝ax2＋2ax＋c（a＞0）与x轴交于A（－3,0）、B两点（A在B的左侧）,与y轴交于点C(0，－3)，抛物线的顶点为M．（1)求a、c的值;（2）求tan∠MAC的值；（3）若点P是线段AC上的一个动点，联结OP．问：是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24"，拖动点P在线段AC上运动，可以体验到，△COP与△ABC相似存在两种情况．满分解答（1)将A(－3,0）、C(0,－3）分别代入y＝ax2＋2ax＋c,得960,3.a a cc-+=⎧⎨=-⎩解得a＝1，c＝－3．（2)由y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得顶点M的坐标为(－1,－4)．如图2，作MN⊥y轴于N．由A（－3,0）、C（0,－3）、M(－1,－4)，可得OA＝OC＝3，NC＝NM＝1．所以∠ACO＝∠MCN＝45°，AC＝32，MC＝2．所以∠ACM＝90°．因此tan∠MAC＝MCAC＝13．（3）由y＝x2＋2x－3＝（x＋3）(x－1),得B（1， 0）．所以AB＝4．如图3，在△COP与△ABC中，∠OCP＝∠BAC＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC=时，4332CP=．解得22CP=．此时点P的坐标为(－2，－1）．当CP ACCO AB=时，3234CP=．解得924CP=．此时点P的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点(与A 、D 不重合）,∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1)如图1，联结BD ，求证:△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2)如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3)当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25"，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2． 又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ．因此2DE DB CG CB==．图3 图4 （2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DBGB CB=． 又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）． 所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6,AE ＝x ,所以BE 236x +所以y ＝EG 222362x +2272x + 定义域是0＜x ＜6．(3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EFS EB=△△,所以2364EGFEF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE ＝2CG ，所以 x ＝AE ＝AD －DE ＝62CG -．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==． 所以113622442CG CA ==⨯=．此时x ＝AE ＝62CG -＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时,23CG CM AG AB ==．所以2212622555CG CA ==⨯=．此时x ＝AE ＝62CG -＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =．所以2364EGFEF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG : 如图8,作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形． 一方面22GB CB EB DB ==,另一方面2cos 452HB GB =︒=GB HB EB GB =． 于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形． 如图9，第（2)题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ： 在Rt △AEN 中，AE ＝x ,所以AN ＝EN ＝22x ． 又因为CG 2＝2(6)2x -，所以GN ＝AC －AN －CG ＝32所以y ＝EG ＝22EN GN +＝222()(32)2x +＝22722x +． 如图10,第（2）题如果构造Rt △EGQ 和Rt △CGP ,也可以求斜边EG ＝y ： 由于CG ＝22DE ＝2(6)2x -，所以CP ＝GP ＝22CG ＝1(6)2x -＝132x -．所以GQ ＝PD ＝16(3)2x --＝132x +，EQ ＝16(3)2x x ---＝132x -．所以y ＝EG ＝22GQ EQ +＝2211(3)(3)22x x ++-＝22722x +．图8 图9 图10例 2016年上海市普陀区中考一模第24题如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0， 8）、B (6， 2)、C (9， m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值; （2)求∠ADO 的余切值;（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P (点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动,可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1)将A (0， 8)、B (6， 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+． 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=．(2）由A (0, 8)、C （9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)．因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3．（3）如图2,如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠PAQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ,那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为（0， 20)．图2例 2016年上海市普陀区中考一模第25题如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3,△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上,点P 在∠MBN内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CAx CP=．（1)求x ＝2时，点A 到BN 的距离;（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3)当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时,求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25"，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答(1)如图2,作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ．因此2AH CA x PD CP===．所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2)如图3，由AH CAx PD CP==，得AH ＝xPD ＝3x ． 又因为tan ∠MBN ＝AHBH ＝3,所以BH ＝x ．设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m xx m -=-．整理，得81xm x =-．所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321x x x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC中，BA＝10x,cos∠ABC＝1010，BC＝81xx-．①如图4，当BA＝BC时，解方程8101xxx=-，得41105x=+．②如图5，当AB＝AC时，BC＝2BH．解方程821xxx=-，得x＝5．③如图6，当CA＝CB时，由cos∠ABC＝1010，得110210AB BC=．解方程1108102101xxx⨯=⨯-，得135x=．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是（3， 0），tan ∠OAC ＝3．（1)求该抛物线的函数表达式；（2)点P 在x 轴上方的抛物线上,且∠PAB ＝∠CAB ,求点P 的坐标； （3）点D 是y 轴上的一动点,若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3），OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1,A (－1， 0）．因为抛物线与x 轴交于A （－1， 0）、B (3， 0）两点,设y ＝a （x ＋1)（x －3）． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)（x －3）＝x 2－2x －3． （2)如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P （x , (x ＋1）(x －3）)．由tan ∠PAB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+．解得x ＝6．所以点P 的坐标为（6, 21）．（3)由A (－1， 0)、B (3, 0)、C (0，－3)，得BA ＝4，BC ＝32，∠ABC ＝∠BCO ＝45°． 当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似：如图3，当CD BACB BC =时，CD ＝BA ＝4．此时D (0， 1）． 如图4，当CD BC CB BA =时,32432CD =．解得92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝∠BCD＝45°,AD＝3，BC＝9，点P是对角线AC上的一个动点，且∠APE＝∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G．(1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；(2）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP＝x，DE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG＝2时，求AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，DG＝2存在两种情况,对应的DE也存在两种情况．满分解答（1)如图3，作AM⊥BC,DN⊥BC，垂足分别为M、N，那么MN＝AD＝3．在Rt△ABM中，BM＝3，∠B＝45°，所以AM＝3，AB＝32．在Rt△AMC中，AM＝3，MC＝6，所以CA＝35．如图4，由AD//BC,得∠1＝∠2．又因为∠APE＝∠B，当E、D重合时，△APD∽△CBA．所以AP CBAD CA=．因此9335AP=．解得此时AP＝955．（2)如图5,设（1)中E、D重合时点P的对应点为F．因为∠AFD＝∠APE＝45°,所以FD//PE．所以AF ADAP AE=，即95353x y=+．因此533y x=-．定义域是955＜x≤35．图3 图4 图5(3)如图6，因为35CA =，955AF =，所以655FC =． 由DF //PE ，得21332FP DG FC DC ===．所以255FP =． 由DF //PE ,95259552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==．①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=．②如图7,当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1,在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°,已知点A (－1，－1），点B 在第二象限,OB ＝22，抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标；（2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴;（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24"，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1)由A （－1，－1），得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°． 又因为∠AOB ＝90°,所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB ＝22,点B 到x 轴、y 轴的距离都为2． 所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A （－1，－1）、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-,145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A （－1，－1）、B （－2，2)、C （1, 1）、D (1，－1），以及∠AOB ＝90°,可得BO 垂直平分AC ，BO ＝2BA ＝BC 10BD ＝32如图3,过点A 、E 作y 轴的平行线,过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MABE BN NE==． 设点E 的坐标为（x , y )101322x y==+-．图2 图3当点E 在射线BA 上时,∠EBO ＝∠DBC ．分两种情况讨论相似： ①当BE BC BO BD =时，102232BE =．解得2103BE =． 此时1013222103x y==+-．解得x ＝43-,y ＝0．所以E 4(,0)3-（如图4）． ②当BE BD BO BC =时，322210BE =．解得6105BE =． 此时1013622105x y==+-．解得x ＝45-,y ＝85-．所以E 48(,)55--（如图5)．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1,四边形ABCD中,∠C＝60°，AB＝AD＝5，CB＝CD＝8,点P、Q分别是边AD、BC上的动点，AQ与BP交于点E，且∠BEQ＝90°－12∠BAD．设A、P两点间的距离为x．（1)求∠BEQ的正切值;(2）设AEPE＝y，求y关于x的函数解析式及定义域;（3）当△AEP是等腰三角形时，求B、Q两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P在AD边上运动，可以体验到，∠AEP＝∠BEQ＝∠ABH＝∠ADH，△ABF∽△BEF∽△BDP，△AEP∽△ADF．满分解答（1）如图2，联结BD、AC交于点H．因为AB＝AD，CB＝CD，所以A、C在BD的垂直平分线上．所以AC垂直平分BD．因此∠BAH＝12∠BAD．因为∠BEQ＝90°－12∠BAD,所以∠BEQ＝90°－∠BAH＝∠ABH．在Rt△ABH中,AB＝5，BH＝4，所以AH＝3．所以tan∠BEQ＝tan∠ABH＝34．图2（2）如图3，由于∠BEQ＝∠ABH，∠BEQ＝∠AEP，∠ABH＝∠ADH,所以∠AEP＝∠BEQ＝∠ABH＝∠ADH．图3 图4 图5如图3,因为∠BFA 是公共角，所以△BEF ∽△ABF ．如图4，因为∠DBP 是公共角,所以△BEF ∽△BDP ．所以△ABF ∽△BDP ．所以AB BD BF DP =．因此585BF x=-． 所以5(5)8BF x =-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+．如图5，因为∠DAF 是公共角，所以△AEP ∽△ADF ．所以5401539(539)8AE AD y PE FD x x ====++．定义域是0≤x ≤5．(3)分三种情况讨论等腰△AEP ：①当EP ＝EA 时，由于△AEP ∽△ADF ，所以DF ＝DA ＝5（如图6）． 此时BF ＝3，HF ＝1． 作QM ⊥BD 于M ．在Rt △BMQ 中,∠QBM ＝60°,设BQ ＝m ，那么12BM m =，32QM m =． 在Rt △FMQ 中,132FM m =-，tan ∠MFQ ＝tan ∠HFA ＝3，所以QM ＝3FM ．解方程313(3)22m m =-，得BQ ＝m ＝933-． ②如图7，当AE ＝AP 时，E 与B 重合,P 与D 重合，此时Q 与B 重合,BQ ＝0． ③不存在PE ＝PA 的情况，因为∠PAE ＞∠PAH ＞∠AEP ．图6 图7例 2016年上海市杨浦区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线y＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式;（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边)，且PQ //AO ,PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1)由y ＝x ＋4，得A (－4, 0）,C (0， 4)．将A (－4, 0)、C （0， 4）分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩解得b ＝－1,c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+．（2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称．因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1,PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-．（3)由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B （2， 0)．由A (－4, 0)、B （2, 0)、C （0, 4），得AB ＝6，AC ＝42，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时,由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当CM AB CO AC =时，6442CM =．解得32CM =．此时M （－3, 1)（如图3）． ②当CM AC CO AB =时,4246CM =．解得823CM =．此时M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4例 2016年上海市杨浦区中考一模第25题如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上,且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25"，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3,△MCE与△MBC保持相似．满分解答(1）如图2,作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时,由于∠ECF＝∠B,∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=,即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3(3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ． 如图5，因为∠M 是公共角,所以△MCE ∽△MBC ．所以MC MB ME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+． 作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ．在Rt △MCH 中，根据勾股定理,得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++．整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ．所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C （0， 2），对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标； （3)联结BD ,设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似,求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24"，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答(1）点A (－1，0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为（3， 0）．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3），代入点C (0, 2),得2＝－3a ．解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+．顶点D 的坐标为8(1,)3．（2)过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++．作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ．由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =．解方程22442(1)333x x x -++=-,得5x =±．所以F 454(5,)3-．。
上海沪教版数学2016年初三一模1-18题
2016年初三一模1-18题【普陀区】 一. 选择题1. 如图，BD 、CE 相交于点A ，下列条件中，能推出DE ∥BC 的条件是（ ） A. ::AE EC AD DB =； B. ::AD AB DE BC =；C. ::AD DE AB BC =；D. ::BD AB AC EC =；2. 在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DE ∥BC ，如果△ADE 的面积等于3， 那么△ABC 的面积等于（ ）A. 6；B. 9；C. 12；D. 15；3. 如图，在Rt △ABC 中，90C ︒∠=，CD 是斜边AB 上的高，下列线段的比值不等于cos A 的值的 是（ ） A.AD AC ； B. AC AB ； C. BD BC ； D. CDBC； 4. 如果a 、b 同号，那么二次函数21y ax bx =++的大致图像是（ ）A. B. C. D.5. 下列命题中，正确的是（ ）A. 圆心角相等，所对的弦的弦心距相等；B. 三点确定一个圆；C. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；D. 弦的垂直平分线必经过圆心；6. 已知在平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，如果AB a =，AD b =，那么 向量MN 关于a 、b 的分解式是（ ）A.1122a b -； B. 1122a b -+； C. 1122a b +； D. 1122a b --； 二. 填空题7. 如果:2:5x y =，那么y xx y-=+ ； 8. 计算：2()()a b a b ++-= ； 9. 计算：2sin 45cot 30tan 60︒︒︒+⋅= ；10. 已知点P 把线段AB 分割成AP 和PB ()AP PB >两段，如果AP 是AB 和PB 的比例中项，那么:AP PB 的值等于 ；11. 下列函数：①2y ax bx c =++；②22(1)y x x =--；③2255y x x=-；④22y x =-+； y 关于x 的二次函数是 ；（填写序号）12. 二次函数223y x x =+-的图像有最 点；（填“高”或“低”） 13. 如果抛物线22y x mx n =++的顶点坐标为(1,3)，那么m n +的值等于 ；14. 如图，点G 为△ABC 的重心，DE 经过点G ，DE ∥AC ，EF ∥AB ，如果DE 的长是4，那么CF 的长是 ；15. 如图，半圆形纸片的半径长是1cm ，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆的中点M 与圆心O 重合，那么折痕CD 的长是 cm ；16. 已知在Rt △ABC 中，90C ︒∠=，点P 、Q 分别在边AB 、AC 上，4AC =，3BC AQ ==，如果△APQ 与△ABC 相似，那么AP 的长等于 ；17. 某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程中的安全性，工人师傅将原坡角为45︒的传送带AB ， 调整为坡度1:3i =的新传送带AC （如图所示），已知原传送带AB 的长是42米，那么新传送带AC 的长是 米；18. 已知(3,2)A 是平面直角坐标中的一点，点B 是x 轴负半轴上一动点，联结AB ，并以AB 为边 在x 轴上方作矩形ABCD ，且满足:1:2BC AB =，设点C 的横坐标是a ，如果用含a 的代数式表示 点D 的坐标，那么点D 的坐标是 ； 答案：1. A 2. C 3. C 4. D 5. D 6. B 7.37 8. 3a b + 9. 72 10. 512- 11. ④ 12. 低13. 1 14. 2 15. 3 16. 125或154 17. 8 18. 6(2,)2a- 【浦东新区】 一. 选择题1. 如果两个相似三角形对应边之比是1:4，那么它们的对应边上的中线之比是（ ） A. 1:2； B. 1:4； C. 1:8； D. 1:16；2. 在Rt △ABC 中，90C ︒∠=，若5AB =，4BC =，则sin A 的值为（ ） A.34； B. 35； C. 45； D. 43； 3. 如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE ∥BC 的条件是（ ） A. ::AD AB DE BC =； B. ::AD DB DE BC =；C. ::AD DB AE EC =；D. ::AE AC AD DB =；4. 已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么a 、b 、c 的符号为（ ） A. 0a <，0b <，0c >； B. 0a <，0b <，0c <； C. 0a >，0b >，0c >； D. 0a >，0b >，0c <；5. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，CD AB ⊥于点D ，下列结论中错误的是（ ） A. 2AC AD AB =⋅； B. 2CD CA CB =⋅；C. 2CD AD DB =⋅； D. 2BC BD BA =⋅； 6. 下列命题是真命题的是（ ）A. 有一个角相等的两个等腰三角形相似；B. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似；C. 四个内角都对应相等的两个四边形相似；D. 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似； 二. 填空题7. 已知13x y =，那么xx y=+ ； 8. 计算：123()3a a b -+= ；9. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1:5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约厘米；10. 某滑雪运动员沿着坡比为1:3的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度为 米； 11. 将抛物线2(1)y x =+向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是 ；12. 二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，对称轴为直线2x =，若此抛物线与x 轴的一个交点 为(6,0)，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是 ；13. 如图，已知AD 是△ABC 的中线，点G 是△ABC 的重心，AD a =，那么用向量a 表示向量AG 为 ；14. 如图，△ABC 中，6AC =，9BC =，D 是△ABC 的边BC 上的点，且CAD B ∠=∠，那么CD 的长是 ；15. 如图，直线1AA ∥1BB ∥1CC ，如果13AB BC =，12AA =，16CC =，那么线段1BB 的长是 ；16. 如图是小明在建筑物AB 上用激光仪测量另一建筑物CD 高度的示意图，在地面点P 处水平放置 一平面镜，一束激光从点A 射出经平面镜上的点P 反射后刚好射到建筑物CD 的顶端C 处；已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，且测得15AB =米，20BP =米，32PD =米，B 、P 、D 在一条直线上，那么建筑物CD 的高度是 米；17. 若抛物线2y ax c =+与x 轴交于点(,0)A m 、(,0)B n ，与y 轴交于点(0,)C c ，则称△ABC 为 “抛物三角形”；特别地，当0mnc <时，称△ABC 为“正抛物三角形”；当0mnc >时，称△ABC 为 “倒抛物三角形”；那么，当△ABC 为“倒抛物三角形”时，a 、c 应分别满足条件 ；18. 在△ABC 中，5AB =，4AC =，3BC =，D 是边AB 上的一点，E 是边AC 上的一点（D 、E 均与端点不重合），如果△CDE 与△ABC 相似，那么CE = ；答案：1. B2. C3. C4. A5. B6. D7. 148. 3a b - 9. 4 10. 50 11. 221y x x =+- 12. (2,0)- 13. 23a 14. 415. 3 16. 24 17. 0,0a c >< 18. 3625或2或258【闵行区】 一. 选择题1. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判定DE ∥BC 的是（ ） A.AD AE DB EC =； B. AD AE AB AC =； C. DB AB EC AC =； D. AD DE DB BC=； 2. 将二次函数21y x =-的图像向右平移1个单位，向下平移2个单位得到（ ） A. 2(1)1y x =-+； B. 2(1)1y x =++；C. 2(1)3y x =--；D. 2(1)3y x =++； 3. 已知α为锐角，且5sin 13α=，那么α的余弦值为（ ） A.512； B. 125； C. 513； D. 1213； 4. 抛物线2y ax bx c =++的图像经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（ ） A. 0a >，0b >，0c =； B. 0a >，0b <，0c =； C. 0a <，0b >，0c =； D. 0a <，0b <，0c =；5. 在比例尺为1:10000的地图上，一块面积为22cm 的区域表示的实际面积约为（ ） A. 20000002cm ； B. 200002m ； C. 40000002m ； D. 400002m ；6. 如图，在矩形ABCD 中，3AB =，6BC =，点1O 为矩形对角线的交点，○2O 的半径为1，12OO AB ⊥，垂足为点P ，126O O =，如果○2O 绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，○2O 与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ） A. 3次； B. 4次； C. 5次； D. 6次； 二. 填空题 7. 如果35x y =，那么x yy+= ； 8. 如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们的相似比是 ；9. 已知线段AB 长为2厘米，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP <），那么BP 的长是 厘米； 10. 如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，点F 在边AC 延长线上，且FD AB ⊥， 垂足为点D ，如果6AD =，10AB =，2ED =，那么FD = ； 11. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，1cos 3A =，2AC =，那么BC = ； 12. 已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为 ； 13. 过△ABC 的重心作DE ∥BC ，分别交AB 于点D ，AC 于点E ，如果AB a =，AC b =，那么DE = ；14. 方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为-3和1，那么抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴 是直线 ；15. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，12AC =，5BC =，以点A 为圆心作○A ，要使B 、C 两点中的 一点在圆外，另一点在圆内，那么○A 的半径长r 的取值范围为 ；16. 已知○1O 与○2O 内切，○1O 的半径长是3厘米，圆心距122O O =厘米，那么○2O 的半径长等于 厘米；17. 闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图①），如果曲线APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流 （如图②），其上的水珠的高度y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为2944y x x =-++， 那么圆形水池的半径至少为 米时，才能使喷出的水流不落在水池外；18. 将一副三角尺如图摆放，其中在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，在Rt △EDF 中，90EDF ∠=︒，45E ∠=︒，点D 为边AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C ，将△EDF 绕点D 顺时针方向旋转角α（060α︒<<︒）后得到△E DF ''，DE '交AC 于点M ，DF '交BC 于点N ， 那么PMCN的值为 ； 答案：1、D 2、C 3、D 4、A 5、B 6、B 7、588、2:3 9、1-5 10、12 11、24 12、1:0.75 13、a 32-b 32 14、x=-1 15、12<r<13 16、5或1 17、29 18、33【闸北区】 一. 选择题1. 在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）A. B. C. D. 2. 抛物线223y x =-+的顶点在（ ）A. x 轴上；B. y 轴上；C. 第一象限；D. 第四象限； 3. 如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边BA 、CA 的延长线上， 下列给出的条件中，不能判定DE ∥BC 的是（ ）A. ::BD AB CE AC =；B. E ::D BC AB AD =；C. ::AB AC AD AE =；D. ::AD DB AE EC =；4. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP PB >），4AB =，那么AP 的长是（ ） A. 252-； B. 25-； C. 251-； D. 52-；5. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，12AC =，5BC =，CD AB ⊥于点D ， 则cot BCD ∠的值为（ ） A.513； B. 512； C. 125； D. 1213； 6. 已知，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，则以下说法不正确的是（ ）A. 根据图像可得该函数y 有最小值；B. 当2x =-时，函数y 的值小于0；C. 根据图像可得0a >，0b <；D. 当1x <-时，函数值y 随着x 的增大而减小；二. 填空题 7. 已知13a cb d ==，则ac bd ++的值是 ；8. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，当△ADE 与△ABC 的周长比为1:3时，那么:DE BC = ； 9. 如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 和点F 分别在AD 和BC 上，EF 是梯形ABCD 的 中位线，若EF a =，DC b =，则用a 、b 表示AB = ；10. 计算：sin 60tan 30︒-︒= ；11. 汽车沿着坡度为1:7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了 米；12. 已知抛物线2(1)4y m x =-+的顶点是此抛物线的最高点，那么m 的取值范围是 ； 13. 如图某矩形的周长为16，那么它的面积y 与它的一条边长x 之间的函数关系式为y = （不需要写出定义域）；14. 在直角坐标系中，已知点P 在第一象限内，点P 与原点O 的距离2OP =，点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为60°，则点P 的坐标是 ；15. 如图，正方形CDEF 内接于Rt △ABC ，点D 、E 、F 分别在边AC 、AB 和BC 上，当2AD =，3BF =时，正方形CDEF 的面积是 ；16. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 平分BCD ∠，BAC D ∠=∠，若4AD =，10BC =， 则AC = ；17. 如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，过点E 作EF ∥BC 交AD 于点F ，那么FGAG= ； 18. 如图，将一张矩形纸片ABCD 沿着过点A 的折痕翻折，使点B 落在边AD 上的点F ，折痕交BC 于 点E ，将折叠后的纸片再次沿着另一条过点A 的折痕翻折，点E 恰好与点D 重合，此时折痕交DC 于 点G ，则:CG GD 的值为 ； 答案：答案：1、D 2、B 3、B 4、A 5、C 6、C 7、31 8、1:3 9、b -2a 10、63 11、2512、m<1 13、x x y 82+-= 14、），（31 15、6 16、102 17、41 18、22 【宝山区】一. 选择题1. 如图，在直角△ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，1tan 2A =，下列判断正确的是（ ） A. 30A ∠=︒； B. 12AC =； C. 2AB =； D. 2AC =；2. 抛物线245y x =-+的开口方向（ ）A. 向上；B. 向下；C. 向左；D. 向右；3. 如图，D 、E 在△ABC 的边上，如果ED ∥BC ，:1:2AE BE =，6BC =，那么DE 的模为（ ） A. -2； B. -3； C. 2； D. 3；4. 已知○O 是以坐标原点O 为圆心，5为半径的圆，点M 的坐标为(3,4)-，则点M 与○O 的位置关系 为（ ）A. M 在○O 上；B. M 在○O 内；C. M 在○O 外；D. M 在○O 右上方；5. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，26A ∠=︒，以点C 为圆心，BC 为半径的圆分别交AB 、AC 于 点D 、点E ，则弧BD 的度数为（ ）A. 26°；B. 64°；C. 52°；D. 128°；6. 已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A. 0ac >；B. 当1x >-时，0y <；C. 2b a =；D. 930a b c ++=； 二. 填空题 7. 已知32a b =，那么a b b-= ； 8. 两个相似比为1:4的相似三角形的一组对应边上的中线比为 ；9. 如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，当 时（填一个条件），△DEA 与△ABC相似；10. 如图△ABC 中，90C ∠=︒，若CD AB ⊥于D ，且4BD =，9AD =，则CD = ；11. 计算：2(34)5a b a +-= ；12. 如图，菱形ABCD 的边长为10，3sin 5BAC ∠=，则对角线AC 的长为 ； 13. 抛物线22(3)4y x =--+的顶点坐标是 ；14. 若(1,2)A ，(3,2)B ，(0,5)C ，(,5)D m 是抛物线2y ax bx c =++图像上的四点，则m = ； 15. 已知1(4,)A y 、2(4,)B y -是抛物线2(3)2y x =+-的图像上两点，则1y 2y ； 16. 已知○O 中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为 ；17. 如图，在等边△ABC 内有一点D ，5AD =，6BD =，4CD =，将△ABD 绕A 点逆时针旋转， 使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，则CDE ∠的正弦值为 ；18. 如图，抛物线223y x x =--交x 轴于(1,0)A -、(3,0)B ，交y 轴于(0,3)C -，M 是抛物线的顶点， 现将抛物线沿平行于y 轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB 在平移过程中扫过的面积为 （面积单位）；答案：1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、D 7、21 8、1:4 9、∠ADE=∠C 10、6 11、b 8+a12、16 13、），（43 14、4 15、> 16、13 17、873 18、9【杨浦区】 一. 选择题1. 将抛物线22y x =向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（ ） A. 222y x =+； B. 22(2)y x =+；C. 22(2)y x =-；D. 222y x =-； 2. 以下图形中一定属于互相放缩关系的是（ ）A. 斜边长分别是10和5的两直角三角形；B. 腰长分别是10和5的两等腰三角形；C. 边长分别为10和5的两菱形；D. 边长分别为10和5的两正方形；3. 如图，已知在△ABC 中，D 是边BC 的中点，BA a =，BC b =，那么DA 等于（ ） A.12a b -； B. 12a b -； C. 12b a -； D. 12b a -； 4. 坡比等于1:3的斜坡的坡角等于（ ）A. 30°；B. 45°；C. 50°；D.60°；5. 下列各组条件中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A. A E ∠=∠且D F ∠=∠； B. A B ∠=∠且D F ∠=∠；C. A E ∠=∠且AB EF AC ED =； D. A E ∠=∠且AB FDBC DE=； 6. 下列图像中，有一个可能是函数2y ax bx a b =+++（0a ≠）的图像，它是（ ）A. B. C. D.二. 填空题 7. 如果23x y y -=，那么x y = ；8. 如图，已知点G 为△ABC 的重心，DE 过点G ，且DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么:CF BF = ； 9. 已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，2AD =，1DB =，6BC =，要使DE ∥AC ， 那么BE = ；10. 如果△ABC 与△DEF 相似，△ABC 的三边之比为3:4:6，△DEF 的最长边是10cm ，那么 △DEF 的最短边是 cm ；11. 如果AB ∥CD ，23AB CD =，AB 与CD 的方向相反，那么AB = CD ；12. 计算：sin 60cot 30︒-︒= ； 13. 在△ABC 中，90C ∠=︒，如果1sin 3A =，6AB =，那么BC = ； 14. 如果二次函数2y x bx c =++配方后为2(2)1y x =-+，那么c 的值是 ； 15. 抛物线2241y x x =-+-的对称轴是直线 ；16. 如果1(1,)A y -、2(2,)B y -是二次函数2y x m =+图像上的两个点，那么1y 2y （请填入“>”或“<”）；17. 请写出一个二次函数的解析式，满足：图像的开口向下，对称轴是直线1x =-，且与y 轴的交点在x 轴下方，那么这个二次函数的解析式可以是 ；18. 如图，已知将△ABC 沿角平分线BE 所在直线翻折，点A 恰好落在 边BC 的中点M 处，且AM BE =，那么EBC ∠的正切值为 ；答案：1、A 2、D 3、B 4、A 5、C 6、C 7、35 8、1:2 9、2 10、5 11、23- 12、23- 13、2 14、5 15、x=1 16、< 17、522---=x x y 18、32【黄浦区】 一. 选择题1. 如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么这两个三角形的相似比为（ ） A. 1:2； B. 1:4； C. 1:8； D. 1:16；2. 已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若9a cm =，4b cm =，则c 长（ ） A. 18cm ； B. 5cm ； C. 6cm ； D. 6cm ±；3. 如果向量a 与向量b 方向相反，且3||||a b =，那么向量a 用向量b 表示为（ ） A. 3a b =； B. 3a b =-； C. 13a b =； D. 13a b =-； 4. 在直角坐标平面内有一点(3,4)P ，OP 与x 轴正半轴的夹角为α，下列正确的是（ ） A. 4tan 3α=； B. 4cot 5α=； C. 3sin 5α=； D. 5cos 4α=； 5. 下列函数中不是二次函数的有（ ） A. (1)y x x =-； B. 221y x =-；C. 2y x =-； D. 22(4)y x x =+-；6. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE ∥BC ，且DCE B ∠=∠，那么下列说法中，错误的是（ ）A. △ADE ∽△ABC ；B. △ADE ∽△ACD ；C. △ADE ∽△DCB ；D. △DEC ∽△CDB ；二. 填空题7. 如果3sin 2α=，那么锐角α= ； 8. 已知线段a 、b 、c 、d ，如果23a c b d ==，那么a cb d+=+ ； 9. 计算：31(2)422a b a b --+= ；10. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1cot 3A =，则BC = ；11. 如图，已知AD 、BC 相交于点O ，AB ∥CD ∥EF ，如果2CE =，4EB =， 1.5FD =， 那么AD = ；12. 如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上的点，且2CD BD =，如果AB a =，AD b =， 那么BC = （用含a 、b 的式子表示）；13. 在△ABC 中，点O 是重心，DE 经过点O 且平行于BC 交边AB 、AC 于点D 、E ， 则:ADE ABC S S ∆∆= ；14. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，且2AD =，4DC =，3AE =，1EB =，则:DE BC = ；15. 某水库水坝的坝高位10米，迎水坡的坡度为1:2.4，则该水库迎水坡的长度为 米；16. 如图，AD 、BE 分别是△ABC 中BC 、AC 边上的高，4AD =，6AC =，则sin EBC ∠= ；17. 已知抛物线21()y a x m k =-+与22()y a x m k =++（0m ≠）关于y 轴对称，我们称1y 与2y 互为 “和谐抛物线”，请写出抛物线2467y x x =-++的“和谐抛物线” ；18. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，45B ∠=︒，点E 是AB 的中点，DE DC =，90EDC ∠=︒， 若2AB =，则AD 的长是 ；答案：1、B 2、C 3、D 4、A 5、D 6、C 7、60° 8、32 9、b a + 10、6 11、2912、a 3-b 3 13、4:9 14、1:2 15、26 16、35 17、7642+--=x x y 18、22【崇明区】 一. 选择题 1. 已知23a b =，那么aa b+的值为（ ） A.13； B. 25； C. 35； D. 34； 2. 已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，3BC =，5AB =，那么sin B 的值是（ ）A.35； B. 34； C. 45； D. 43； 3. 将抛物线2y x =先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的函数解析式是（ ） A. 2(2)3y x =++； B. 2(2)3y x =+-；C. 2(2)3y x =-+；D. 2(2)3y x =--；4. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，AED B ∠=∠，那么下列各式中一定正确的是（ ） A. AE AC AD AB ⋅=⋅； B. CE CA BD AB ⋅=⋅； C. AC AD AE AB ⋅=⋅； D. AE EC AD DB ⋅=⋅；5. 已知两圆的半径分别是3和5，圆心距是1，那么这两圆的位置关系是（ ） A. 内切； B. 外切； C. 相交； D. 内含；6. 如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm ，底边上的高长18cm ，现沿底边依次向下往上裁剪宽 度均为3cm 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ） A. 第4张； B. 第5张； C. 第6张； D. 第7张； 二. 填空题7. 化简：2(2)3()a b a b --+= ；8. 如果在比例1:1000000的地图上，A 、B 两地的图上距离为2.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离 为 千米；9. 抛物线2(2)3y a x x a =++-的开口向下，那么a 的取值范围是 ；10. 一斜面的坡度1:0.75i =，一物体由斜面底部沿斜面向前推进了20米，那么这个物体升高了 米；11. 如果一个正多边形的一个外角是36°，那么该正多边形的边数为 ；12. 已知AB 是○O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，如果8AB =，6CD =，那么OE = ；13. 如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子为线段AD ，甲的 影子为线段AC ，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距 米；14. 如图，点(3,)A t 在第一象限，OA 与x 轴正半轴所夹的锐角为α，如果3tan 2α=，那么t 的值 为 ；15. 如图，平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，2CD DE =， 如果△DEF 的面积为1，那么平行四边形ABCD 的面积为 ；16. 如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，以B 为圆心BC 为半径画弧交AD 于点E ，如果点F 是弧EC 的中点，联结FB ，那么tan FBC ∠的值为 ；17. 新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图所示，△ABC 中，AF 、BE 是中线，且AF BE ⊥，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形称为“中垂三角形”，如果30ABE ∠=︒，4AB =，那么此时AC 的长为 ；18. 如图，等边△ABC 中，D 是边BC 上的一点，且:1:3BD DC =，把△ABC 折叠，使点A 落在边BC 上的点D 处，那么AMAN的值为 ； 答案：1、B 2、C 3、D 4、A 5、D 6、B 7、b 7-a -8、24 9、a<-2 10、16 11、1012、7 13、1 14、29 15、12 16、31 17、72 18、75【长宁、金山】 一. 选择题1. 如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是（ ） A. 1:2； B. 1:4； C. 1:2； D. 2:1；2. 如图，在△ABC 中，ADE B ∠=∠，:2:3DE BC =，则下列结论正确的是（ ） A. :2:3AD AB =； B. :2:5AE AC =；C. :2:3AD DB =；D. :3:2CE AE =；3. 在Rt △ABC 中，90C ︒∠=，2AB =，1AC =，则sin B 的值是（ ）A.22； B. 32； C. 12； D. 2；4. 在△ABC 中，若2cos 2A =，tan 3B =，则这个三角形一定是（ ） A. 直角三角形； B. 等腰三角形； C. 钝角三角形； D. 锐角三角形； 5. 已知1O 的半径r 为3cm ，2O 的半径R 为4cm ，两圆的圆心距12O O 为1cm ，则这两圆的位置关系是（ ）A. 相交；B. 内含；C. 内切；D. 外切；6. 二次函数2(2)1y x =+-的图像可以由二次函数2y x =的图像平移而得到，下列平移正确的是（ ） A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位； B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位； C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位； D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位；二. 填空题7. 已知抛物线21y x =+的顶点坐标是 ；8. 已知抛物线23y x bx =++的对称轴为直线1x =，则实数b 的值为 ；9. 已知二次函数2y ax bx =+，阅读右侧表格的信息，由此可知y 与x 之间的函数关系式是 ； 10. 已知二次函数2(3)y x =-图像上的两点(3,)A a 和(,)B x b ，则a 和b 的大小关系是a b ； （填>、≥、<或≤）11. 圆是轴对称图形，它的对称轴是 ； 12. 已知O 的弦8AB cm =，弦心距3OC cm =，那么该圆半径为 cm ；13. 如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，已知1AC =，22BC =，那么sin ACD ∠的值是；14. 王小勇操纵一辆遥控汽车从A 处沿北偏西60︒方向走10m 到B 处，再从B 处向正南方向走20m 到C 处，此时遥控汽车离A 处 m ；15. 在△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，设AD m =，那么用m 表示AG = ；16. 如图，已知AB BD ⊥，ED BD ⊥，C 是线段BD 的中点，且AC CE ⊥，1ED =，4BD =， 那么AB = ；17. 如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为512-的矩形称作黄金矩形，现将长度为20厘米的铁丝 折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是 厘米；18. 如图，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，如果1tan 3AEN ∠=，10DC CE +=，那么△ANE 的面积为 ； 答案；1. B2. A3. C4. D5. C6. B7. (0,1)8. 2-9. 2y x x =+ 10. ≤ 11. 直径所在直线 12. 5 13. 13 14. 103 15. 23m 16. 4 17. 1555- 18. 103【嘉定区】1. 已知32x y =，那么下列等式中一定正确的是（ ） A.392x y = B. 3635x y +=+ C. 3322x y -=- D. 52x y x += 2. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3AC =，下列选项中，正确的是（ ） A. 3sin 5A =； B. 3cos 5A =； C. 3tan 5A =； D. 3cot 5A =； 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB a =，AD b =，那么下列 选项中，正确的是（ ） A. 1()2OC a b =+； B. 1()2OA a b =+； C. 1()2OD a b =-； D. BD a b =-；4. 已知二次函数23y x bx =++如图所示，那么2(1)3y x b x =+-+的图像可能是（ ）A. B. C. D. 5. 下面四个命题中，假命题是（ ） A. 两角对应相等，两个三角形相似；B. 三边对应成比例，两个三角形相似；C. 两边对应成比例且其中一边的对角相等，两个三角形相似；D. 两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；6. 已知○1O 的半径长为3，○2O 的半径长r （0r >），如果123O O =，那么○1O 与○2O 不可能存在的 位置关系是（ ）A. 两圆内含；B. 两圆内切；C. 两圆相交；D. 两圆外切；二. 填空题 7. 计算：33()22a ab --= ； 8. 如果两个相似三角形的周长比为4:9，那么面积比是 ；9. 如图，在平面直角坐标系xOy 内有一点(3,4)Q ，那么射线OQ 与x 轴正半轴的夹角α的余弦值10. 已知一个斜坡的坡度1:3i =，那么该斜坡的坡角的度数是 ；11. 如果抛物线2(1)y m x =+的最低点是原点，那么实数m 的取值范围是 ； 12. 抛物线22(1)1y x =--与y 轴的交点坐标是 ；13. 如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过原点，那么所得抛物线的表达式是 ； 14. 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 ；15. 如果○2O 与○1O 外切，○1O 的半径长为6，圆心距1210O O =，那么○2O 的半径长是 ； 16. 在○O 中，已知2AB AC =，那么线段AB 与2AC 的大小关系是 （从“<”或“=”或“>”中选择）；17. 将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义 为“白银矩形”，事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见，我们常见的4A 纸就是一个“白银矩形”， 请根据上述信息求4A 纸的较长边和较短边的比值，这个比值是 ； 18. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90ABC ∠=︒，AB CB =，4tan 3C ∠=（如图）， 点E 在边CD 上运动，联结BE ，如果EC EB =，那么DECD 的值是 ； 答案：1、A 2、B 3、A 4、C 5、C 6、D 7、b 23a 21 + 8、16:81 9、5310、30° 11、m>-112、(0,1) 13、x x y 22+= 14、5 15、4 16、< 17、2 18、31【奉贤区】一. 选择题1. 用一个4倍放大镜照△ABC ，下列说法错误的是（ ） A. △ABC 放大后，B ∠是原来的4倍；B. △ABC 放大后，边AB 是原来的4倍；C. △ABC 放大后，周长是原来的4倍；D. △ABC 放大后，面积是原来的16倍； 2. 抛物线2(1)2y x =-+的对称轴是（ ）A. 直线2x =；B. 直线2x =-；C. 直线1x =；D. 直线1x =-； 3. 抛物线223y x x =--与x 轴的交点个数是（ ） A. 0个； B. 1个； C. 2个； D. 3个； 4. 在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且有12AD AE DB EC ==，18BC =， 那么DE 的值为（ ）A. 3；B. 6；C. 9；D. 12；5. 已知△ABC 中，90C ︒∠=，3BC =，4AB =，那么下列说法正确的是（ ）A. 3sin 5B =； B. 3cos 4B =； C. 4tan 3B =； D. 3cot 4B =； 6. 下列关于圆的说法，正确的是（ ） A. 相等的圆心角所对的弦相等；B. 过圆心且平分弦的直线一定垂直于该弦；C. 经过半径的端点且垂直于该半径的直线是圆的切线；D. 相交两圆的连心线一定垂直且平分公共弦； 二. 填空题7. 已知32x y =，那么xy= ； 8. 二次函数243y x =+的顶点坐标为 ；9. 一条斜坡长4米，高度为2米，那么这条斜坡坡比i = ；10. 如果抛物线2(2)y k x k =+-的开口向下，那么k 的取值范围是 ；11. 从观测点A 观察到楼顶B 的仰角为35︒，那么从楼顶B 观察观测点A 的俯角为 ；12. 在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点(1,3)A -，如果AO 与y 轴正半轴的夹角为α，那么 角α的余弦值为 ；13. 如图△ABC 中，BE 平分ABC ∠，DE ∥BC ，若2DE AD =，2AE =，那么EC = ； 14. 线段AB 长10cm ，点P 在线段AB 上，满足BP APAP AB=，则AP 的长为 cm ； 15.1O 的半径11r =，2O 的半径22r =，若此两圆有且仅有一个交点，那么这两圆的圆心距d = ；16. 已知抛物线(4)y ax x =+，经过点(5,9)A 和点(,9)B m ，那么m = ；17. 如图，△ABC 中，4AB =，6AC =，点D 在BC 边上，DAC B ∠=∠，且有3AD =，那么BD 的 长是 ；18. 如图，已知平行四边形ABCD 中，25AB =，6AD =，1cot 2B =，将边AB 绕点A 旋转，使得 点B 落在平行四边形ABCD 的边上，其对应点为B '（点B '不与点B 重合），那么sin CAB '∠= ；答案：1. A2. C3. C4. B5. B6. D7.238. (0,3) 9. 1:3 10. 2k <- 11. 35︒12. 31010 13. 4 14. 555- 15. 1或3 16. 9- 17. 72 18. 1010或22【静安区】 一. 选择题 1.12的相反数是（ ） A. 2； B. 2-； C.22； D. 22-；2. 下列方程中，有实数解的是（ ）A. 210x x -+=； B. 21x x -=-；C.210x x x -=-； D. 211xx x-=-； 3. 化简11(1)x ---的结果是（ ） A.1x x -； B. 1x x -； C. 1x -； D. 1x -； 4. 如果点(2,)A m 在抛物线2y x =上，将此抛物线向右平移3个单位后，点A 同时平移到点A '，那么A '坐标为（ ）A. (2,1)；B. (2,7)；C. (5,4)；D. (1,4)-；5. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CD 是高，如果AD m =，A α∠=，那么BC 的长为（ ） A. tan cos m αα⋅⋅； B. cot cos m αα⋅⋅；C.tan cos m αα⋅； D. tan sin m αα⋅；6. 如图，在△ABC 与△ADE 中，BAC D ∠=∠，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的 （ ） A. AC AB AD AE =； B. AC BC AD DE =； C. AC AB AD DE =； D. AC BC AD AE=；二. 填空题7. 计算：23(2)a -= ； 8. 函数3()2x f x x -=+的定义域为 ； 9. 方程51x x +=-的根为 ；10. 如果函数(3)1y m x m =-+-的图像经过第二、三、四象限，那么常数m 的取值范围为 ； 11. 二次函数261y x x =-+的图像的顶点坐标是 ；12. 如果抛物线225y ax ax =-+与y 轴交于点A ，那么点A 关于此抛物线对称轴的对称点坐标是 ； 13. 如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ， 如果1AE =，2CE =，那么:EF BF 等于 ；14. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，点G 是重心，如果1sin 3A =，2BC =，那么GC 的长等于 ； 15. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2BC AD =，设AB a =，BC b =，那么CD = （用向量a 、b 的式子表示）；16. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AED B ∠=∠，6AB =，5BC =，4AC =， 如果四边形DBCE 的周长为10，那么AD 的长等于 ；17. 如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为E ，如果5AB =，8BC =，4sin 5B =，那么 tan CDE ∠= ；18. 将平行四边形ABCD （如图）绕点A 旋转后，点D 落在边AB 上的点D '，点C 落到C '，且点C '、 B 、C 在一直线上，如果13AB =，3AD =，那么A ∠的余弦值为 ；答案：1、D 2、D 3、A 4、C 5、C 6、C 7、a 68- 8、2-≠x 9、4 10、1<m<3 11、(3,-8)12、(2,5) 13、1:3 14、2 15、b 21-a - 16、错题 17、21 18、135【松江区】 一. 选择题1. 如果两个相似三角形的面积比是1:4，那么它们的周长比是（ ） A. 1:16； B. 1:4； C. 1:6； D. 1:2；2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）A. 21y x =+；B. 22(1)y x x =-- ；C. 227y x =-；D. 21y x=-； 3. 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A. 3sin 2A =； B. 3cos 2A =； C. 1tan 2A =； D. 3cot 3A =；4. 若四边形ABCD 的对角线交于点O ，且有2AB DC =，则以下结论正确的是（ ） A. 2AO OC =； B. ||||AC BD =； C. AC BD =； D. 2DO OB =；5. 如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，那么（ ） A. 0a <，0b >，0c >； B. 0a >，0b <，0c >；C. 0a >，0b >，0c <；D. 0a <，0b <，0c <；6. P 是△ABC 一边上的一点（P 不与A 、B 、C 重合），过点P 的一条直线截△ABC ，如果截得的 三角形与△ABC 相似，我们称这条直线为过点P 的△ABC 的“相似线”Rt △ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，当点P 为AC 的中点时，过点P 的△ABC 的“相似线最多有几条？（ ）A. 1条；B. 2条；C. 3条；D. 4条； 二. 填空题7. 若::1:3:2a b c =，且24a b c ++=，则a b c +-= ；8. 已知线段2a cm =，8b cm =，那么线段a 、b 的比例中项等于 cm ； 9. 二次函数223y x x =--+的图像与y 轴的交点坐标为 ；10. 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，如果4AC =，2sin 3B =，那么AB = ； 11. 一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为21251233y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米；12. 如图，直线AD ∥BE ∥CF ，23BC AB =，6DE =，那么EF 的值是 ；13. 在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i = ；14. 若点1(3,)A y -、2(0,)B y 是二次函数22(1)3y x =--+图像上的两点，那么1y 与2y 的大小关系 是 （填12y y >、12y y =或12y y <）；15. 将抛物线2y x =沿x 轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是 ；16. 如图，已知DE ∥BC ，且DE 经过△ABC 的重心G ，若6BC cm =，那么DE 等于 cm ； 17. 已知二次函数的图像经过(0,3)、(4,3)两点，则该二次函数的图像对称轴为直线 ；18. 已知在△ABC 中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，点D 是AB 边上一点，将△ABC 沿着直线CD 翻折，点A 落在直线AB 上的点'A 处，则sin 'A CD ∠= ；答案：1. D2. C3. B4. A5. A6. C7. 88. 49. (0,3) 10. 6 11. 3 12. 4 13. 62:1 14. y 21y < 15. )2(2-=x y 16. 4 17. x=2 18.54【虹口区】一. 选择题1. 已知α为锐角，如果2sin 2α=，那么α等于（ ） A. 30°； B. 45°； C. 60°； D. 不确定；2. 把二次函数241y x x =-+化成2()y a x m k =++的形式是（ ） A. 2(2)1y x =-+； B. 2(2)1y x =--；C. 2(2)3y x =-+；D. 2(2)3y x =--；3. 若将抛物线2y x =平移，得到新抛物线2(3)y x =+，则下列平移方法中，正确的是（ ） A. 向左平移3个单位； B. 向右平移3个单位；C. 向上平移3个单位；D. 向下平移3个单位；4. 若坡面与水平面的夹角为α，则坡度i 与坡角α之间的关系是（ ） A. cos i α=； B. sin i α=； C. cot i α=； D. tan i α=；5. 如图，平行四边形ABCD 对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =，AD n =，那么下列选项中，与向量1()2m n +相等的向量是（ ） A. OA ； B. OB ； C. OC ； D. OD ；6. 如图，点A 、B 、C 、D 的坐标分别是(1,7)、(1,1)、(4,1)、(6,1)，若△CDE 与△ABC 相似， 则点E 的坐标不可能是（ ）A. (4,2)；B. (6,0)；C. (6,4)；D. (6,5)；二. 填空题7. 若:5:2x y =，则():x y y +的值是 ； 8. 计算：13(2)2a ab --= ； 9. 二次函数22y x x =-的图像的对称轴是直线 ；10. 如果抛物线231y x x m =-+-+经过原点，那么m = ；11. 已知点11(,)A x y 、22(,)B x y 为二次函数2(1)y x =-图像上的两点，若121x x <<， 则1y 2y （填“>”、“<”或“=”）；12. 用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图像时，列出了下面的表格：x… -2 -1 0 1 … y…-11-21-2…根据表格上的信息回答问题：当2x =时，y = ；13. 如果两个相似三角形的周长的比为1:4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的 比为 ；14. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，分别联结AE 、BD 相交于点O ，若5AD =，35BO DO =，则EC = ；15. 如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，若△ABC 的边BC 长为40厘米，高AH 为30厘米，则正方形DEFG 的边长为 厘米； 16. 如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，若点G 是△ABC 的重心，2cos 3BCG ∠=，4BC =， 则CG = ；17. 如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，3AB =，2BC =，4tan 3A =，则CD = ；18. 如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10AD =，点E 是边BC 的中点，联结AE ，若将△ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，联结FC ，则cos ECF ∠= ； 答案：1. B2. D3. A4. D5. C6. C7. 278. b a625-+ 9. x=1 10. 111. > 12. -11 13. 4:1 14. 2 15. 7120 16. 2 17. 56 18.61615。
2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析18题
答案
10 2 或 ．思路如下： 10 2
1 ，可得BE＝2，AE ＝4． 2
如图2，在 Rt△ABE 中，由AB＝ 2 5 ，cotB＝
在Rt△ACE中，由AE＝4， CE＝BC－BE＝6 －2＝4，可得AC＝ 4 2 ，∠ACE＝45°． ①如图 3，当点 B′在 BC 边上时，B′E ＝BE＝2． 在等腰直角三角形 B′CH 中，B′C＝ 2，所以 B′H＝CH ＝ 2 ． 在 Rt△ AB′H，B′H＝ 2 ，AH＝AC－ CH＝ 3 2 ，所以 AB′＝ 2 5 ． 此时 sin∠CAB′＝
5 7
DM △MBD的周长 AB BD ． ND △DCN的周长 AC DC
如图3， 设等边三角形 ABC的边长为4 ， 当BD∶DC＝1∶3 时，
AM DM 4 1 5 ． AN ND 4 3 7源自图2图32例
2016 年上海市奉贤区中考一模第 18 题
如图 1，已知平行四边形 ABCD 中，AB＝ 2 5 ，AD＝6，cotB＝
B'H 2 10 ． AB ' 2 5 10
②如图 4，当点 B′在 AD 边上时，∠ CAB′＝45°．此时 sin∠ CAB′＝
2 ． 2
图2
图3
图4
3
本讲义由《挑战中考数学压轴题》的作者马学斌老师制作
例
2016 年上海市虹口区中考一模第 18 题
如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝10，点 E 是 BC 的中点，联结 AE，若将△ABE
答案
2 ．思路如下： 2 2 ． 2 2 ． 2
在Rt△AEM中，AE＝1，∠EAM＝45°，所以EM＝AM＝
由△EMD≌△DNC，得MD＝ NC＝2EM＝ 2 ．所以AD＝
2016上海十七区初三中考数学一模试卷汇总(WORD)
初三一轮数学检测卷（2016奉贤一模）一. 选择题1. 用一个4倍放大镜照△，下列说法错误的是（）A.△放大后，是原来的4倍；B.△放大后，边是原来的4倍；C. △放大后，周长是原来的4倍；D.△放大后，面积是原来的16倍；2. 抛物线的对称轴是（）A.直线；B. 直线；C. 直线；D. 直线；3. 抛物线与轴的交点个数是（）A.0个；B. 1个；C. 2个；D. 3个；4. 在△中，点、分别是边、上的点，且有，，那么的值为（）A. 3；B. 6；C. 9；D. 12；5. 已知△中，，，，那么下列说法正确的是（）A. ；B. ；C. ；D. ；6. 下列关于圆的说法，正确的是（）A. 相等的圆心角所对的弦相等；B. 过圆心且平分弦的直线一定垂直于该弦；C. 经过半径的端点且垂直于该半径的直线是圆的切线；D. 相交两圆的连心线一定垂直且平分公共弦；二. 填空题7. 已知，那么；8. 二次函数的顶点坐标为；9. 一条斜坡长4米，高度为2米，那么这条斜坡坡比；10. 如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是；11. 从观测点观察到楼顶的仰角为，那么从楼顶观察观测点的俯角为；12. 在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果与轴正半轴的夹角为，那么角的余弦值为；13. 如图△中，平分，∥，若，，那么；14. 线段长，点在线段上，满足，则的长为；15. 的半径，的半径，若此两圆有且仅有一个交点，那么这两圆的圆心距；16. 已知抛物线，经过点和点，那么；17. 如图，△中，，，点在边上，，且有，那么的长是；18. 如图，已知平行四边形中，，，，将边绕点旋转，使得点落在平行四边形的边上，其对应点为（点不与点重合），那么；三. 解答题19. 计算：；20. 如图，已知∥∥，，；（1）；（用来表示）（2）求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所表示向量）21. 为方便市民通行，某广场计划对坡角为，坡长为米的斜坡进行改造，在斜坡中点处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡；（1）若修建的斜坡的坡角为，则平台的长约为多少米？（2）在距离坡角点米远的处是商场主楼，小明在点测得主楼顶部的仰角为，那么主楼高约为多少米？（结果取整数，参考数据：，，，）22. 如图，在中，为直径，点为的中点，直径交弦于，，；（1）求半径的值；（2）点在直径上，联结，当时，求的长；23. 已知在梯形中，∥，，；（1）求证：△∽△；（2）联结，若，求证：；24. 如图，二次函数图像经过原点和点，直线与抛物线交于点，且；（1）求二次函数解析式及其顶点的坐标；（2）在直线上是否存在点，使得△为直角三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由；25. 已知如图，△中，，，，点是斜边上任意一点，联结，过点作，联结，使得，联结；（1）求证：；（2）设，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当时，求的值；初三一轮数学检测卷（2016奉贤一模）参考答案一. 选择题1. A2. C3. C4. B5. B6. D二. 填空题7. 8. 9. 10.11. 12. 13. 14.15. 或 16. 17. 18. 或三. 解答题19. ；20.（1）；（2）略；21.（1）；（2）；22.（1）；（2）；23. 略；24.（1），；（2）或；25.（1）略；（2）；（3）或；初三一轮数学检测卷（2016浦东一模）一. 选择题1. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应边上的中线之比是（）A.；B. ；C. ；D. ；2. 在△中，，若，，则的值为（）A.；B. ；C. ；D. ；3. 如图，点、分别在、上，以下能推得∥的条件是（）A.；B. ；C.；D. ；4. 已知二次函数的图像如图所示，那么、、的符号为（）A. ，，；B. ，，；C. ，，；D. ，，；5. 如图，△中，，于点，下列结论中错误的是（）A. ；B. ；C. ；D. ；6. 下列命题是真命题的是（）A. 有一个角相等的两个等腰三角形相似；B. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似；C. 四个内角都对应相等的两个四边形相似；D. 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；二. 填空题7. 已知，那么；8. 计算：；9. 上海与杭州的实际距离约千米，在比例尺为的地图上，上海与杭州的图上距离约厘米；10. 某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度为米；11. 将抛物线向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是；12. 二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，若此抛物线与轴的一个交点为，则抛物线与轴的另一个交点坐标是；13. 如图，已知是△的中线，点是△的重心，，那么用向量表示向量为；14. 如图，△中，，，是△的边上的点，且，那么的长是；15. 如图，直线∥∥，如果，，，那么线段的长是；16. 如图是小明在建筑物上用激光仪测量另一建筑物高度的示意图，在地面点处水平放置一平面镜，一束激光从点射出经平面镜上的点反射后刚好射到建筑物的顶端处；已知，，且测得米，米，米，、、在一条直线上，那么建筑物的高度是米；17. 若抛物线与轴交于点、，与轴交于点，则称△为“抛物三角形”；特别地，当时，称△为“正抛物三角形”；当时，称△为“倒抛物三角形”；那么，当△为“倒抛物三角形”时，、应分别满足条件；18. 在△中，，，，是边上的一点，是边上的一点（、均与端点不重合），如果△与△相似，那么；三. 解答题19. 计算：；20. 二次函数的变量与变量的部分对应值如下表：（1）求此二次函数的解析式；（2）写出抛物线顶点坐标和对称轴；21. 如图，梯形中，∥，点是边的中点，联结并延长交的延长线于点，交于点；（1）若，，求线段的长；（2）求证：；22. 如图，为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时的公路上由西向东匀速行驶，依次经过点、、，是一个观测点，，60米，，，测得该车从点行驶到点所用时间为1秒；（1）求、两点间的距离；（2）试说明该车是否超过限速；23. 如图，在△中，是边的中点，交于点，，交于点；（1）求证：△∽△；（2）求证：；24. 如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为；（1）求、的值；（2）求的值；（3）若点是线段上一个动点，联结；问是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；25. 如图，在边长为6的正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交于点；（1）如图1，联结，求证：△∽△，并写出的值；（2）联结，如图2，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域；（3）当为边的三等分点时，求的面积；初三一轮数学检测卷（2016浦东一模）参考答案一. 选择题1. B2. C3. C4. A5. B6. D二. 填空题7. 8. 9. 10.11. 12. 13. 14.15. 16. 17. 18. 或或三. 解答题19. ；20.（1）；（2）对称轴，顶点坐标；21.（1）；（2）略；22.（1）；（2）不超速；23. 略；24.（1），；（2）；（3），；25.（1）；（2）；（3）或；普陀区2015-2016年度第一学期初三质量调研一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、如图1，相交于点,下列条件中，能推得的条件是（）2、在中，点分别是边的中点，，如果的面积等于3，那么的面积等于（）B、C、D、3、如图2.在中，，是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于的值是（）4、如图同号，那么二次函数的大致图像是（）5、下列命题中，正确的是（）A、圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B、三点确定一个圆C、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D、弦的垂直平分线必经过圆心6、已知在平行四边形中，点分别是边的中点，如果，，那么向量关于的分解式是（）二、填空（12*4=48）7.如果，那么=_______.8.计算：_________.9._________.10.已知点P把线段AB分割成AP和PB（AP＞PB）两段，如果AP是AB和PB的比例中项，那么AP:BP的值为_____.11.在函数①，②，③，④中，关于的二次函数是_____.（填写序号）12.二次函数的图像有最_________点.（填：“高”或“低”）13.如果抛物线的顶点坐标为，那么的值等于_________.14.如图3，点G为的重心，DE经过点G，如果DE的长是4，那么CF的长是______.15.如图4，半圆形纸片的半径长是1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆的中点M与圆心O重合，那么折痕CD的长是_________cm.16.已知在中，，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果与相似，那么AP的长等于_________.17.某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原来坡角为的传送带AB，调整为坡度为的新传送带AC（如图5所示），已知原传送带AB的长是米，那么新传送带AC的长是_______米.18.已知是平面直角坐标系中的一点，点B是轴负半轴上一动点，联结AB，并以AB 为边在轴上方作矩形ABCD，且满足，设点C的横坐标是，如果用含的代数式表示点D的坐标，那么点D的坐标是_________.三，填空题：（本大题共7题，满分78分）19、（本题满分10分）已知：如图6，在梯形中，，，点M是边BC的中点，（1）填空：（结果用表示）（2）直接在图中画出向量（不要写作法，但要指出图中表示结论的向量）20、（本题满分10分）将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移个单位，所得抛物线经过（—1，4），求新抛物线的解析式及新抛物线与y轴交点的坐标。
2016届一模普陀(上海中考数学系列)(带参考答案)
初三一轮数学检测卷（2016普陀一模）一. 选择题1. 如图，BD 、CE 相交于点A ，下列条件中，能推出DE ∥BC 的条件是（ ） A. ::AE EC AD DB =； B. ::AD AB DE BC =； C. ::AD DE AB BC =； D. ::BD AB AC EC =；2. 在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DE ∥BC ，如果△ADE 的面积 等于3，那么△ABC 的面积等于（ ）A. 6；B. 9；C. 12；D. 15；3. 如图，在Rt △ABC 中，90C ︒∠=，CD 是斜边AB 上的高，下列线段的比值不等于cos A 的值的是（ ）A.AD AC ； B. AC AB ； C. BD BC ； D. CDBC； 4. 如果a 、b 同号，那么二次函数21y ax bx =++的大致图像是（ ）A. B. C. D. 5. 下列命题中，正确的是（ ）A. 圆心角相等，所对的弦的弦心距相等；B. 三点确定一个圆；C. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；D. 弦的垂直平分线必经过圆心；6. 已知在平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，如果AB a =，AD b =，那么向量MN 关于a 、b 的分解式是（ ）A.1122a b -； B. 1122a b -+； C. 1122a b +； D. 1122a b --；二. 填空题7. 如果:2:5x y =，那么y xx y-=+ ； 8. 计算：2()()a b a b ++-= ； 9. 计算：2sin 45cot 30tan 60︒︒︒+⋅= ；10. 已知点P 把线段AB 分割成AP 和PB ()AP PB >两段，如果AP 是AB 和PB 的比例 中项，那么:AP PB 的值等于 ；11. 下列函数：①2y ax bx c =++；②22(1)y x x =--；③2255y x x=-；④22y x =-+； y 关于x 的二次函数是 ；（填写序号） 12. 二次函数223y x x =+-的图像有最 点；（填“高”或“低”）13. 如果抛物线22y x mx n =++的顶点坐标为(1,3)，那么m n +的值等于 ； 14. 如图，点G 为△ABC 的重心，DE 经过点G ，DE ∥AC ，EF ∥AB ，如果DE 的 长是4，那么CF 的长是 ；15. 如图，半圆形纸片的半径长是1cm ，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆的 中点M 与圆心O 重合，那么折痕CD 的长是 cm ；16. 已知在Rt △ABC 中，90C ︒∠=，点P 、Q 分别在边AB 、AC 上，4AC =，3BC AQ ==，如果△APQ 与△ABC 相似，那么AP 的长等于 ；17. 某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程中的安全性，工人师傅将原坡角为45︒的传送带AB ，调整为坡度i =AC （如图所示），已知原传送带AB 的长是AC 的长是 米；18. 已知(3,2)A 是平面直角坐标中的一点，点B 是x 轴负半轴上一动点，联结AB ，并以AB 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，且满足:1:2BC AB =，设点C 的横坐标是a ，如果用含a 的代数式表示点D 的坐标，那么点D 的坐标是 ；三. 解答题19. 已知如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，13AD BC =，点M 是边BC 的中点， AD a =，AB b =；（1）填空：BM = ；MA = ；（用a 、b 表示）（2）直接在图中画出向量2a b +；（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）20. 将抛物线212y x =先向上平移2个单位，再向左平移m (0)m >个单位，所得新抛物线 经过点(1,4)-，求新抛物线的表达式及新抛物线与y 轴交点的坐标；21. 如图，已知AD 是O 的直径，AB 、BC 是O 的弦，AD BC ⊥，垂足是点E ，8BC =，2DE =，求O 的半径长和sin BAD ∠的值；22. 已知如图，有一块面积等于12002cm的三角形纸片ABC，已知底边BC与底边上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求加工成的正方形DEFG的边长；23. 已知如图，在四边形ABCD中，ADB ACB∠=∠，延长AD、BC相交于点E，求证：（1）△ACE∽△BDE；（2）BE DC AB DE⋅=⋅；24. 已知如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数27 3y ax x c=-+的图像经过点(0,8)A、(6,2)B、(9,)C m，延长AC交x轴于点D；（1）求这个二次函数的解析式及m的值；（2）求ADO∠的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似，求此时点P的坐标；25. 如图，已知锐角MBN ∠的正切值等于3，△PBD 中，90BDP ︒∠=，点D 在MBN ∠ 的边BN 上，点P 在MBN ∠内，3PD =，9BD =，直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交 射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CAx CP=； （1）求2x =时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值；初三一轮数学检测卷（2016普陀一模）参考答案一、选择题1. A2. C3. C4. D5. D6. B二、填空题7.37 8. 3a b + 9. 72 10. 1211. ④ 12. 低 13. 1 14. 215. 16.125或154 17. 8 18. 6(2,)2a -三、解答题19.（1）32BM a =，32MA a b =--；（2）略； 20. 21(3)22y x =++，13(0,)2；21. 5r =，sin BAD ∠=； 22. 24； 23. 略； 24.（1）227893y x x =-+，5m =；（2）cot 3ADO ∠=；（3）(0,20)P ；25.（1）6；（2）2121x y x =-(19)x <≤；（3）5x =或135或15+；。
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2016年黄浦区一模
18、如图6，在梯形ABCD 中，AD//BC ，
45=∠B ,点E 是AB 的中点，DE=DC ，
90=∠EDC 若AB=2，则AD 的长是_____
24、在平面直角坐标系中，抛物线c ax ax y +-=32
与x 轴交于A （-1,0）、B 两点（A 在B 点左侧),与y 轴交于点C （0,2） （1）求抛物线的对称轴及B 点坐标 （2）求证：BCO CAO ∠=∠
（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作OD BF ⊥，垂足为BOD ∆外一点E ，若BDE ∆与ABC ∆相似，求点D 的坐标
25、已知直线1l 、2l ，1l //2l ,点A 是1l 上的点，B 、C 是2l 上的点
BC AC ⊥, 60=∠ABC ,AB=4，O 是AB 中点，D 是CB 延长线上的点，将DOC ∆沿直线
CO 翻折，点D 与'D 重合（1）如图12，当点'D 落在直线1l 上时，求DB 的长 （2）延长DO 交1l 于点E ，直线'OD 分别交1l 、2l 于点M 、N
如图13，当点E 在线段AM 上时，设AE=x,DN=y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域 若DON ∆的面积为32
3
时，求AE 的长
2016年杨浦区一模
18、如图，已知将ABC ∆沿角平分线BE 所在的直线翻折，点A 恰好落在边BC 的中点M 处，且AM=BE ，那么EBC ∠的正切值为_____
24、在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=2
2
1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线4+=x y 经过A,C 两点 （1）求抛物线的表达式
（2）如果点P 、Q 在抛物线上（P 点在对称轴的左边），且PQ//AO,PQ=2AO,求点P 、Q 的坐标
（3）动点M 在直线4+=x y 上，且ABC ∆与COM ∆相似，求点M 的坐标
25、已知菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 的长为6,（如图1），点E 为边AB 上的动点，点F 在射线AD 上，且B ECF ∠=∠，直线CF 交直线AB 于点M, (1)求B ∠的余弦值
（2）当点E 与点A 重合时，试画出符合题意的图形，并求BM 的长
（3）当点M 在边AB 的延长线上时，设BE=x ，BM=y,求y 关于x 的函数解析式并写出定义域
2016年徐汇区一模
18、如图8，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，cosB=，将△ABC绕着点A旋转得△AD E，点B的对应点D落在边BC上，联结CE，那么CE的长是________.
24、如图12，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，已知点A(-1，-1)，点B在第二象限，OB=，抛物线经过点A和点B.
(1)求点B的坐标；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)如果该抛物线的对称轴分别和边AO、BO的延长线交于点C、D，设点E在直线AB上，当
△BOE和△BCD相似时，直接写出点E的坐标。
D
25、如图13，四边形ABCD 中，∠C=60°，AB=AD=5，CB=CD=8，点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的动点，AQ 和BP 交于点E ，且∠BEQ =90°∠BAD ，设A 、P 两点的距离为x . (1) 求∠BEQ 的正切值；
(2) 设，求y 关于x 的函数关系式及定义域； (3) 当△AEP 是等腰三角形时，求B 、Q 两点的距离。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
图13。