高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课后导练北师大版必修4

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高中数学第一章三角函数 1.6 余弦函数的图像与性质学案北师大版必修4(2021年整理)

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1.6 余弦函数的图像与性质知识梳理1。

任意角的余弦函数 (1)定义如图1-5—1所示，单位圆与角α的终边交于P 点.设P （a ，b ）,则P 点横坐标a 是角α的函数，称为余弦函数，记为a=cosα（α∈R ）.通常用x 、y 表示自变量和因变量，将余弦函数表示为y=cosx(x∈R ）.图1—5-1（2）余弦线如图1-5-1所示，过点P 作x 轴的垂线PM,垂足为M.单位圆中的有向线段OM 叫做角α的余弦线（是三角函数线之一).当角α的终边在y 轴上时，M 与O 重合,此时余弦线变成一个点. （3）余弦线所表示的余弦值可如下确定：余弦线的方向是表示余弦值的符号,同x 轴一致,向上为正，向下为负;正弦线的长度是正弦值的绝对值。

（4）任意角的余弦函数定义的推广如图1-5-2所示，设P （x ，y ）是α的终边上任意一点,它到原点的距离｜OP|=r ，有r=22y x ，则cosα=rx 。

图1—5—2对于每一个确定的角α，总有唯一确定的余弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做余弦函数。

余弦函数值与点P在角α终边上的位置无关,只依赖于角α的大小.2.余弦函数值的符号（1）图形表示：余弦值在各象限的符号如图1—5-3所示.图1-5-3（2）用表格表示α的终边c osαx非负半轴+第一象限+y非负半轴0第二象限-x非正半轴—第三象限—y非正半轴0第四象限+3。

高中数学第一章三角函数6余弦函数的图像与性质学案北师大版必修4

§6 余弦函数的图像与性质内容要求 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2.理解“五点法”作出余弦函数的图像( 重点 ).3.掌握余弦函数的图像性质及其运用( 难点 )、知识点1 余弦函数的图像余弦函数y ＝cos x ( x ∈R )的图像叫余弦曲线、根据诱导公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ,x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ,x ∈R 的图像向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图像( 如图 )、要画出y ＝cos x ,x ∈[0,2π]的图像,可以通过描出( 0,1 ),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0,( π,－1 ),⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0,( 2π,1 )五个关键点,再用光滑曲线将它们连接起来,就可以得到余弦函数y＝cos x ,x ∈[0,2π]的图像、【预习评价】( 正确的打“√”,错误的打“×” )( 1 )余弦函数y ＝cos x 的图像可以向左、向右无限伸展、( √ ) ( 2 )y ＝cos x 的图像与y ＝sin x 的形状完全一样,只是位置不同( √ ) ( 3 )y ＝cos x 的图像与x 轴有无数个交点( √ ) ( 4 )y ＝cos x 的图像关于y 轴对称( √ ) 知识点2 余弦函数的性质函数 y ＝cos x定义域 R 值域 [－1,1] 奇偶性偶函数周期性 2π为最小正周期单调性当x ∈[2k π－π,2k π]( k ∈Z )时,递增；当x ∈[2k π,2k π＋π]( k ∈Z )时,递减最大值与最小值当x ＝2k π( k ∈Z )时,最大值为1；当x ＝2k π＋π( k ∈Z )时,最小值为－1( 1 )y ＝－cos x 的最小正周期为2π.( √ )( 2 )函数y ＝－cos x 在区间[0,π2]上是增函数、( √ )( 3 )函数y ＝sin( x －π2 )的图像关于x ＝0对称、( √ )( 4 )函数y ＝sin( π2－x )是奇函数、( × )题型一余弦函数的图像及应用【例1】画出y ＝cos x ( x ∈R )的简图,并根据图像写出： ( 1 )y ≥12时x 的集合；( 2 )－12≤y ≤32时x 的集合、解用“五点法”作出y ＝cos x 的简图、( 1 )过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12点作x 轴的平行线,从图像中看出：在[－π,π]区间与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12,⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12点,在[－π,π]区间内,y ≥12时,x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π3≤x ≤π3. 当x ∈R 时,若y ≥12,则x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z. ( 2 )过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12,⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32点分别作x 轴的平行线,从图像中看出它们分别与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，－12,k ∈Z ,⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2k π，－12,k ∈Z 点和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π，32,k ∈Z ,⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π，32,k ∈Z 点,那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求,即当－12≤y ≤32时x 的集合为：⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ －2π3＋2k π≤x ≤－π6＋2k π或⎭⎬⎫π6＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .规律方法 “五点法”画函数图像的三个步骤【训练1】 ( 1 )函数y ＝cos 2x ,x ∈[0,2π]的简图是( )详细解析由2x ＝0,π2,π,3π2,2π可得五点,描图知,A 为x ∈[0,π]上的简图；D 为x ∈[0,2π]上的简图、正确答案 D( 2 )作出函数y ＝1－13cos x 在[－2π,2π]上的图像、解 ①列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝cos x 1 0 －1 0 1 y ＝1－13cos x23143123②作出y ＝1－3cos x 在x ∈[0,2π]上的图像、由于该函数为偶函数,作关于y 轴对称的图像、从而得出y ＝1－13cos x 在x ∈[－2π,2π]上的图像、题型二余弦函数的性质【例2】已知f ( x )＝2＋cos x . ( 1 )判断函数的奇偶性； ( 2 )求函数的单调区间； ( 3 )求函数的最小正周期、解 ( 1 )∵f ( x )＝2＋cos x 的定义域为R 且f ( －x )＝f ( x ), ∴函数f ( x )＝2＋cos x 为偶函数、( 2 )∵y ＝cos x 在[2k π－π,2k π]( k ∈Z )上是增加的,在[2k π,2k π＋π]( k ∈Z )上是减少的,∴y ＝2＋cos x 的单调递增区间为[2k π－π,2k π]( k ∈Z ),单调递减区间为[2 kπ,2 kπ＋π]( k ∈Z )、( 3 )由cos x 的周期性知y ＝2＋cos x 的最小正周期为2π.规律方法对于余弦函数的性质,要善于结合余弦函数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆,其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致、【训练2】 ( 1 )求函数y ＝1－12cos x 的单调区间；( 2 )比较cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7与cos 18π7的大小、解 ( 1 )∵－12＜0,∴y ＝1－12cos x 的单调性与y ＝cos x 的单调性相反、∵y ＝cos x 的单调增区间是[2k π－π,2k π]( k ∈Z ),减区间是[2k π,2k π＋π]( k ∈Z )、 ∴y ＝1－12cos x 的单调减区间是[2k π－π,2k π]( k ∈Z ),增区间是[2k π,2k π＋π]( k∈Z )、( 2 )cos 18π7＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋4π7＝cos 4π7. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7＝cos π7.又0＜π7＜4π7＜π,且函数y ＝cos x 在[0,π]上是减少的,∴cos π7＞cos 4π7,即cos 18π7＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7.【例3】函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域为________、详细解析 y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋14.因为－1≤cos x ≤1, 所以当cos x ＝12时,y max ＝14.当cos x ＝－1时,y min ＝－2.所以函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.正确答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14【迁移1】求本例中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时函数的值域、解 ∵y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋14,因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3,所以12≤cos x ≤1.所以当cos x ＝12时y max ＝14,cos x ＝1时y min ＝0, ∴原函数的值域为[0,14]、【迁移2】求本例中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3时函数的值域、解由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3,所以0≤cos x ≤1, 此时函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域也为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.【迁移3】若将本例改为已知函数y ＝a －b cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32,求ab 的值、解 ∵函数y ＝a －b cos x 的最大值是32,最小值是－12.当b ＞0时,由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝32，a －b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1，ab ＝12.当b ＜0时,由题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，ab ＝－12.综上所述,ab ＝±12.规律方法与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法 ( 1 )利用sin x ,cos x 的有界性、 ( 2 )利用sin x ,cos x 的单调性、( 3 )化为sin x ＝f ( x )或cos x ＝f ( x ),利用|f ( y )|≤1来确定、 ( 4 )通过换元转化为二次函数.课堂达标1、下列函数中,不是周期函数的是( ) A 、y ＝|cos x | B 、y ＝cos|x | C 、y ＝|sin x |D 、y ＝sin|x |详细解析画出y ＝sin|x |的图像( 图略 ),易知D 选项不是周期函数、正确答案 D2、设函数f ( x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2,x ∈R ,则f ( x )是( ) A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为π的偶函数 C 、最小正周期为π2的奇函数D 、最小正周期为π2的偶函数详细解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x , ∴f ( x )＝－cos 2x .又f ( －x )＝－cos( －2x )＝－cos 2x ＝f ( x ), ∴f ( x )是最小正周期为π的偶函数、正确答案 B3、函数y ＝cos x ,x ∈[0,2π]的图像和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形,这个封闭图形的面积是________、详细解析如图,可把x 轴下方图形补到x 轴上方阴影部分,此时所围面积可变成一个矩形、正确答案 2π4、使cos x ＝1＋m1－m有意义的实数m 的取值范围是________、详细解析－1≤1＋m 1－m ≤1；即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋m 1－m ≤1；|1＋m |≤|1－m |且m ≠1,得m ≤0.正确答案 {m |m ≤0}5、( 1 )已知函数y ＝lg( 2cos x ＋1 ),求它的定义域和值域； ( 2 )求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－3的值域、解 ( 1 )2cos x ＋1＞0,即cos x ＞－12.∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－2π3＜x ＜2k π＋2π3，k ∈Z. 令y ＝lg t ,t ＝2cos x ＋1,则0＜t ≤3. ∴y ≤lg 3,即值域为( －∞,lg 3]、 ( 2 )设t ＝cos x ,则－1≤t ≤1.原函数可转化为：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－3.∴当t ＝12时,y min ＝－3；当t ＝－1时,y max ＝－34.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－34.课堂小结1、比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较,再利用单调性作出判断、2、求三角函数值域或最值的常用求法( 1 )将y 表示成以sin x ( 或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方,或利用函数的单调性等来确定y 的范围、( 2 )将sin x 或cos x 用所求变量y 来表示,如sin x ＝f ( y ),再由|sin x |≤1,构建关于y 的不等式|f ( y )|≤1,从而求得y 的取值范围.基础过关1、函数y ＝cos x ＋|cos x |,x ∈[0,2π]的大致图像为( )详细解析由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π，0，π2<x <32π.显然只有D 合适、正确答案 D2、若f ( x )＝cos x 在[－b ,－a ]上是增函数,则f ( x )在[a ,b ]上是( ) A 、奇函数 B 、偶函数 C 、减函数D 、增函数详细解析因为y ＝cos x 为偶函数并且在[－b ,－a ]上是增函数,所以y ＝cos x 在[a ,b ]上递减,故选C. 正确答案 C3、函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1详细解析 ∵0≤x ≤π2,∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6, ∴－12≤y ≤32.故选B.正确答案 B4、函数y ＝－3cos x －1的单调递减区间是________、详细解析 ∵函数y ＝cos x 的单调递增区间是[－π＋2k π,2k π]( k ∈Z )、 ∴函数y ＝－3cos x －1的单调递减区间是[－π＋2k π,2k π]( k ∈Z )、正确答案 [－π＋2k π,2k π]( k ∈Z ) 5、比较大小：cos 158π________cos 149π.详细解析 ∵cos 158π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8,cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9,而0＜π8＜4π9＜π2,∴cos π8＞cos 4π9,即cos 15π8＞cos 14π9.正确答案＞6、比较下列各组数的大小、( 1 )－sin 46°与cos 221°；( 2 )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.解 ( 1 )－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°, cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°. ∵180°>139°>136°>0°,∴cos 139°<cos 136°,即－sin 46°>cos 221°. ( 2 )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π, cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<35π<π,且y ＝cos x 在[0,π]上递减,∴cos 35π<cos π4,即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 7、求函数y ＝2－cos x 2＋cos x 的值域、解 y ＝4－2＋cos x 2＋cos x ＝42＋cos x －1.∵－1≤cos x ≤1,∴1≤2＋cos x ≤3, ∴13≤12＋cos x≤1, ∴43≤42＋cos x ≤4,∴13≤42＋cos x －1≤3,即13≤y ≤3. ∴函数y ＝2－cos x 2＋cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.能力提升8、下列函数中,周期为π,且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A 、y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B 、y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C 、y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D 、y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2详细解析因为函数周期为π,所以排除C 、D.又因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数,故B 不符合、故选A. 正确答案 A9、下列关系式中正确的是( ) A 、sin 11°<cos 10°<sin 168° B 、sin 168°<sin 11°<cos 10° C 、sin 11°<sin 168°<cos 10° D 、sin 168°<cos 10°<sin 11°详细解析 ∵sin 168°＝sin( 180°－12° )＝sin 12°, cos 10°＝sin( 90°－10° )＝sin 80°.由正弦函数的单调性得sin 11°<sin 12°<sin 80°, 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 正确答案 C10、函数y ＝lg( sin x )＋ cos x －12的定义域为__________________________、详细解析要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π( k ∈Z ),∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .正确答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z11、函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的最小值为________、详细解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322－14,∴当cos x ＝1时,y 最小值为0.正确答案 012、已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.( 1 )画出函数的简图；( 2 )这个函数是周期函数吗？如果是,求出它的最小正周期；( 3 )指出这个函数的单调增区间、解 ( 1 )y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2k ∈Z，0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2k ∈Z .函数图像如图所示、( 2 )由图像知函数的周期是2π.( 3 )由图像知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π( k ∈Z )、13、( 选做题 )求函数f ( x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值、解 f ( x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,令cos x ＝t 且t ∈[0,1],则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋1,则当t ＝32时,f ( x )取最大值1.。

高中数学第1章 6余弦函数的图像与性质课时作业北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题

【成才之路】2015-2016学年高中数学第1章 6余弦函数的图像与性质课时作业北师大版必修4一、选择题1．函数y ＝cos x (0≤x ≤π3)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[12，1]C ．[0，12]D ．[－1,0][答案] B[解析] ∵函数y ＝cos x 在[0，π3]上是减少的，∴函数的值域为[cos π3，cos0]，即[12，1]．2．在区间(0，π2)上，下列函数是增函数的是( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝－1cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x [答案] D[解析] 由正、余弦函数的单调性判断可知选D ． 3．函数y ＝sin(2x ＋52π)的一个对称中心是( )A ．(π8，0)B ．(π4，0)C ．(－π3，0)D ．(3π8，0)[答案] B[解析] 对称中心为曲线与x 轴的交点，将四个点带入验证，只有(π4，0)符合要求，故选B ．4．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图像为( )[答案] D[解析] y ＝cos x ＋|cos x |＝⎩⎨⎧2cos xx ∈[0，π2]∪[3π2，2π]0 x ∈[π2，3π2]，故选D ．5．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根[答案] C[解析] 在同一坐标系中作函数y ＝|x |及函数y ＝cos x 的图像，如图所示．发现有2个交点，所以方程|x |＝cos x 有2个根．6．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [答案] B[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )可知T ＝2，再f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cosπx －1，∴f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cosπx －1＝f (x )．二、填空题7．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上是增加的，则a 的取值X 围是______________． [答案] (－π，0][解析] ∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π<a ≤0时，满足已知条件，∴a ∈(－π，0]． 8．比较大小：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4710π________cos(－449π)． [答案] >[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4710π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π＋310π＝－cos 310π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－449π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π＋π9＝－cosπ9，由y ＝cos x 在[0，π]上是单调递减的，所以cos 310π<cos π9，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4710>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－449π. 三、解答题9．若函数f (x )＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝1－a cos bx 的最值和周期．[解析] (1)当b >0时，若sin x ＝－1，f (x )max ＝32；若sin x ＝1，f (x )min ＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.此时b ＝1>0符合题意，所以y ＝1－12cos x .(2)当b ＝0时，f (x )＝a ，这与f (x )有最大值32，最小值－12矛盾，故b ＝0不成立．(3)当b <0时，显然有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，符合题意．所以y ＝1－12cos(－x )＝1－12cos x .综上可知，函数y ＝1－12cos x 的最大值为32，最小值为12，周期为2π.10．求下列函数的单调区间： (1)y ＝cos 12x ；(2)y ＝cos(x 3＋π4)．[解析] (1)由2k π－π≤12x ≤2k π，得4k π－2π≤x ≤4k π(k ∈Z )．又由2k π≤12x ≤2k π＋π，得4k π≤x ≤4k π＋2π(k ∈Z )．∴函数y ＝cos 12x 的递增区间为[4k π－2π，4k π](k ∈Z )，递减区间为[4k π，4k π＋2π](k ∈Z )．(2)令2k π－π≤x 3＋π4≤2k π，则6k π－15π4≤x ≤6k π－3π4(k ∈Z )，令2k π≤x 3＋π4≤2k π＋π，则6k π－3π4≤x ≤6k π＋9π4(k ∈Z )．∴函数y ＝cos(x 3＋π4)的递增区间是[6k π－15π4，6k π－3π4](k ∈Z )，递减区间是[6k π－3π4，6k π＋9π4](k ∈Z )．一、选择题1．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( ) A ．cos0<cos 12<cos1<cos30°<cosπB ．cos0<cosπ<cos 12<cos30°<cos1C ．cos0>cos 12>cos1>cos30°>cosπD ．cos0>cos 12>cos30°>cos1>cosπ[答案] D [解析] 在[0，π2]上，0<12<π6<1，又余弦函数在[0，π2]上是减少的，所以cos0>cos 12>cos π6>cos1>0.又cos π<0，所以cos0>cos 12>cos π6>cos1>cos π.2．函数f (x )＝－x cos x 的部分图像是( )[答案] D[解析] 由f (x )＝－x cos x 是奇函数，可排除A ，C ．令x ＝π4，则f (π4)＝－π4cos π4＝－2π8<0.故答案选D ．二、填空题3．若cos x ＝2m －13m ＋2，且x ∈R ，则m 的取值X 围是________．[答案] (－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－15，＋∞ [解析] ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m －13m ＋2＝|cos x |≤1， ∴|2m －1|≤|3m ＋2|.∴(2m －1)2≤(3m ＋2)2.∴m ≤－3，或m ≥－15.∴m ∈(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－15，＋∞. 4．函数y ＝log 12 cos x 的递增区间是________． [答案] [2k π，2k π＋π2)(k ∈Z )[解析] 由题知cos x >0，x ∈(2k π－π2，2k π＋π2)，k ∈Z .又令t ＝cos x ，y ＝log 12 t ，则t ＝cos x 的减区间即为y ＝log 12 cos x 的增区间．∴x ∈[2k π，2k π＋π2)(k ∈Z )．三、解答题5．利用余弦函数的单调性，比较cos(－23π5)与cos(－17π4)的大小．[解析] cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．6．求下列函数的定义域． (1)y ＝cossin x ；(2)y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)． [解析] (1)要使y ＝cos sin x 有意义，需有cos(sin x )≥0，又∵－1≤sin x ≤1，而y ＝cos x 在[－1,1]上满足cos x >0，∴x ∈R . ∴y ＝cossin x 的定义域为R .(2)要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2sin x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >12.由下图可得cos x ≤12的解集为{x |π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z }．sin x >12的解集为{x |π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z }．它们的交集为{x |π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z }，即为函数的定义域．7．函数f (x )＝12－a 4＋a cos x －cos 2x (0≤x ≤π2)的最大值为2，某某数a 的值．[解析] 令t ＝cos x ，由0≤x ≤π2，知0≤cos x ≤1，即t ∈[0,1]．所以原函数可以转化为y ＝－t 2＋at ＋12－a 4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a 24＋12－a4，t ∈[0,1]．(1)若a2≤0，即a ≤0时，当t ＝0时，y max ＝12－a4＝2，解得a ＝－6.(2)若0<a 2<1，即0<a <2时，当t ＝a2时，y max ＝a 24＋12－a 4＝2，解得a ＝3或a ＝－2，全舍去．(3)若a2≥1，即a ≥2时，当t ＝1时， y max ＝－1＋a ＋12－a 4＝2，解得a ＝103.综上所述，可知a ＝－6或103.。

高中数学 1.6 余弦函数的图像与性质基础巩固北师大版必修4

朝花夕拾读书笔记之父亲的病朝花夕拾读书笔记之父亲的病看完一本名著后，你有什么领悟呢？是时候静下心来好好写写读书笔记了。

那么你真的懂得怎么写读书笔记吗？下面是小编为大家整理的朝花夕拾读书笔记之父亲的病，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

朝花夕拾读书笔记之父亲的病1《父亲的病》讲的是鲁迅为生病的父亲求医问药，结果还是没有救回父亲的经历。

父亲生病时，鲁迅为父亲请了很多的医生，这些医生都有共同的特点。

首先，他们都自称是名医，其次，诊金都非常的贵，还有也是非常重要的一点就是药引很奇怪。

新方一换，需要花很长的时间找。

先买药，再寻药引。

严重耽误了病人的病情。

比如第一个来的“名医”药方中的.生姜“两片，竹叶去尖，他是不用的，起码是芦根，须到河边取掘；一到经霜三年的甘蔗，便至少也得搜寻两天。

”这样很耽误时间，延误最佳治病时间。

又例如后面来的陈莲河先生，他的药方是一种特别的丸散和一种奇特的药引。

但最后还是没有用。

最后父亲的病如益恶化就请巫师，但最后听从衍太太，在床边喊父亲，最终还是失败了。

从这篇文章中，我懂得要相信科学，不要迷信。

文中，鲁迅的父亲因为过于迷信中医，相信那些根本好不了的偏方，而不相信科学，让西医诊治，虽然现在中医是我们得以大国粹，但前提是它是由科学可依，就算没科学所依，至少不像文中那些“名医”所说的那么悬。

在古时候，虽然有类似于华佗，扁鹊的神医，但是当时还是以封建迷信来治愈疾病或躲避灾祸，例如我曾在电影里看到，明朝倭寇攻打某城，那个城的老县令，首先想到的不是如何抵御外敌，而是到寺庙吃斋念佛，希望根本不存在的佛祖来解决问题，更多的求雨，一群巫师在那里手舞足蹈，但滴雨未下，简直是劳命伤财，最后还没有效果。

最有代表的就是那些帝王，术士寻道成仙，成天吃一些所谓的“丹药”或长生不老药，其实，那些药铅，汞严重超标，又是烟熏火燎，非但没有长寿的效果，反而让他们更早的离开了人世。

有一边文章说过：“有一个老和尚有一个磬，每当寺庙里的钟敲响时，磬旧货跟着响。

高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质sinx±cosx的符号规律及应用素材北师大版必修4

sin α±cos α的符号规律及应用由三角函数的定义，sin α＝y r，cos α＝xr ，则极易得到sin α±cos α的符号，即sin α±cos α＝y xr±，故符号由y±x决定，易得以下规律．一、符号规律①＞0(或＜0)⇔的终边在直线的上(或下)方；②＞0(或＜0)⇔的终边在直线的上(或下)方．③＝0⇔的终边在直线上； ④＝0⇔的终边在直线上．以上四条规律，可利用图1表示．二、应用举例例1在(0，2π)内，使sinx ＞cosx 成立的x 的取值范围为（）(A) (4π，2π)∪(π，54π) (B) (4π，π)(C) (4π，54π) (D) (4π，π)∪(54π，32π)分析：移项，化为sinx －cosx ＞0，利用符号规律②即可解决．解：由sinx ＞cosx ，即sinx －cosx ＞0，故x 应在直线y －x ＝0上方的区域，故选(C)．评注：利用符号规律来解，体现了数形结合法思想．本题还可用特殊值法排除．例2已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在)20[π，内α的取值是 ( ) (A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2345ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) 分析：由点P 在第一象限，则可转化为三角不等式组sin cos 0tan 0 ααα->⎧⎨>⎩，解此不等式即可．1图解：由题意，得sin cos 0 ①tan 0 ②ααα⎧->⎪⎨>⎪⎩，由①得α应在直线x －y ＝0上方，由②知α应在第一、三象限，所以α∈(24ππ，)∪(45ππ，)，而选(B)．评注：本题应注意α限制条件)20[π，内，同时解不等式组应取①②交集，但其结果是并集形式．例3 若，则取值范围是（）A.B.C.D.分析：粗看无从入手，但通过移项及因式分解，即发现可以转化为符号法则来解．解：由，得，知与同号，角终边落在如图3所示的阴影部分，故选(D)．评注：常规方法需用到三角变换公式，而符号规律法，用到的仅是定义法．而“回到定义去”也是数学解题大师波利亚特别强调一种重要解题方法．。

高中数学第一章三角函数 1.6 余弦函数的图像与性质课后导练北师大版必修4(2021年整理)

高中数学第一章三角函数1.6 余弦函数的图像与性质课后导练北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.6 余弦函数的图像与性质课后导练北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章三角函数1.6 余弦函数的图像与性质课后导练北师大版必修4的全部内容。

1。

6 余弦函数课后导练基础达标1.如果α+β=180°,那么下列等式中成立的是( )A.cosα=cosβ B 。

cosα=-cosβC.sinα=-sinβ D 。

以上都不对解析：利用诱导公式π—α即可推导.cosα=cos(180°-β）=-c osβ。

答案：B2。

cos(621π-)的值是( ） A.0 B.21 C.23D。

1 解析：∵621π-=—4π+63π， ∴cos（621π-)=cos （—4π+63π) =cos 63π=cos 2π=0答案：A3.若sinθ·cosθ＞0,则θ在（ )A 。

第一、二象限 B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解析：∵sinθ·cosθ＞0，∴⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>.0cos ,0sin ,0cos ,0sin θθθθ或∴θ在第一象限或第三象限.答案：B4.已知角θ的终边经过点P(4a ，-3a ）,（a≠0)则2sinθ+cosθ的值是( ） A.52 B 。

52- C 。

52或52- D.不确定解析：分a ＞0与a ＜0两种情况进行讨论，当a ＞0时，r=5a ， ∴sinθ=53-,cosθ=54。

高中数学 1.6余弦函数的图像与性质课后训练北师大版必修4

高中数学 1.6余弦函数的图像与性质课后训练北师大版必修41．函数y ＝2cos x ＋12的值域是( )． A ．[－1,1] B ．[－2,2]C ．35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．R 2．函数3cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递减区间是( )． A ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) 3．在同一平面直角坐标系中，函数3cos 22x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (x ∈[0,2π])的图像和直线1=2y 的交点个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．44．如果x ∈[0,2π]，则函数sin cos y x x =+-的定义域为( )． A ．[0，π] B ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[π，2π] 5．方程log 2x ＝cos x 的实根个数是( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个6．设p ＝cos 3，q ＝cos 4，r ＝cos 5，则p ，q ，r 的大小关系是( )．A ．p ＞q ＞rB ．q ＞p ＞rC ．r ＞q ＞pD ．r ＞p ＞q7．(1)函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围为________．(2)函数y ＝4cos 2x ＋4cos x －2的值域是__________．8．判断下列函数的奇偶性．(1) sin cosx y =()(2) 236+lgcos y x x =-．9．求函数32cos 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，x ∈,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值及取得相应最值时x 的值．10．设a ，b 为常数，f (x )＝(a －3)sin x ＋b ，g (x )＝a ＋b cos x ，且f (x )为偶函数．(1)求a 的值；(2)若g (x )的最小值为－1，且sin b ＞0，求b 的值．参考答案 1答案：C2答案：D3答案：C4答案：C5答案：B6答案：C7答案：(1)(－π，0] (2)[－3,6] 8答案：(1)偶函数(2)偶函数9答案：6x π=时，y 取最小值12x π=时，y 取最大值410答案：(1)3 (2)－4。

高中数学1.6余弦函数的图像与性质同步精练北师大版必修4

高中数学 1.6 余弦函数的图像与性质同步精练北师大版必修 4 1．下列函数中，在π2，π上增加的是( ) A ．y ＝sin x B．y ＝cos x C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x2．函数y ＝cos x －2，x ∈[－π，π]的图像是() )(的值域是0，π2∈x ，x ＋π6cos ＝y ．函数3－12，32．B －32，12．A 12，1．D 32，1．C 4．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )π．D π2．C π4．B 0 ．A 中，是周期函数x ＋π2cos ＝y ，x ＋3π2sin ＝y ，|x |sin ＝y ，|x sin|＝y ．在函数5的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4π．149π__________cos 158cos ．比较大小：67．函数y ＝－3cos x －1的减区间是__________．．________________的解集是≤０12＋x cos ．不等式8的集合．x 时12≥y 的简图，并根据图像写出)R ∈x (x cos ＝y ．画出函数910．已知函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝的解析式．ax ＋π3sin b参考答案内不具备单调2π］，[π在x sin 2＝y ∴，≤2πx ∴π≤２，≤πx ≤π2∵解析：．1性；符合．D 上都是减少的，只有π2，π在x cos ＝y 与x sin ＝y 而答案：D2．解析：用五点法作出函数y ＝cos x －2，x ∈[－π，π]的图像或把函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图像向下平移2个单位长度均可．答案：A，2π3≤π6＋x ≤π6∴，π2≤x ∵0≤解析：．3.32≤x ＋π6≤cos 12－∴答案：B是偶函数．x cos 2＝y ，而x cos 2＝2x ＋π2sin ＝y 时，π2＝φ当解析：．4答案：C5．解析：由y ＝sin|x |的图像知，它是非周期函数．答案：C，π8cos ＝2π－π8cos ＝π158∵cos 解析：．6，π49cos ＝2π－49πcos ＝14π9cos ，π2＜4π9＜π8＜0而，4π9cos ＞π8∴cos π．149cos ＞π158cos 即答案：＞7．解析：∵函数y ＝cos x 的增区间是[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)，∴函数y ＝－3cos x －1的减区间是[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)．答案：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z).12－≤x cos ，得≤０12＋x cos 由解析：．8根据余弦函数的图像可知，原不等式的解集为.x 2k π＋2π3≤x ≤2k π＋4π3，k ∈ＺZ∈k ，2k π＋2π3，2k π＋4π3答案：9．解：用五点法作出y ＝cos x 的简图，如图所示．轴的平行线，从图像中看出：x 点作0，12过，π－[，故在区间π3，12，－π3，12与余弦曲线交于点12＝y 上，π］，π－[在区间.x －π3≤x ≤π3的集合为x 时，12≥y 内，π］.x －π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Ｚ的集合为x ，则12≥y 时，若R ∈x 当a ＝2，b ＝－1，∴a ＋b ＝1，－a ＋b ＝－3，时，有0＞a ．解：当10；2x ＋π3sin ＝－)x (g 此时a ＝－2，b ＝－1.∴－a ＋b ＝1，a ＋b ＝－3，时，有0＜a 当.2x －π3sin ＝－2x ＋π3sin ＝－)x (g 此时；2x ＋π3sin ＝－)x (g 时，0＞a 综上，当.2x －π3sin ＝)x (g 时，0＜a 当。

2019高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课后篇巩固探究含解析北师大必修420190416137.doc

§6余弦函数的图像与性质课后篇巩固探究A组基础巩固1.下列关于函数f(x)=的说法正确的是()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.非奇非偶函数解析定义域为{x|x≠0,x∈R},且f(-x)==-=-f(x),故f(x)是奇函数.答案A2.函数f(x)=cos的图像的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=-D.x=-解析作出函数f(x)=cos的图像(图略),由图像知,其一条对称轴是x=.答案A3.函数y=-3cos x+2的值域为()A.[-1,5]B.[-5,1]C.[-1,1]D.[-3,1]解析∵-1≤cos x≤1,∴-1≤-3cos x+2≤5,即值域为[-1,5].答案A4.函数y=|cos x|的一个单调递减区间是()A.B.C.D.解析作出函数y=|cos x|的图像(图略),由图像可知A,B都不是单调区间,D为单调递增区间,C为单调递减区间,故选C.答案C5.不等式2cos x>的解集为()A.B.C.(k∈Z)D.(k∈Z)解析不等式2cos x>,即cos x>,作出y=cos x在[-π,π]上的图像(图略),因为cos=cos ,所以当-<x<时,cos x>,故原不等式的解集为.答案D6.函数y=cos x在区间[-π,a]上是增加的,则a的取值范围为.?解析∵y=cos x在[-π,0]上是增加的,∴-π<a≤0.答案(-π,0]7.cos 110°,sin 10°,-cos 50°的大小关系是.?解析因为sin 10°=cos 80°,-cos 50°=cos(180°-50°)=cos 130°,而y=cos x在[0,π]上是减少的,所以cos 80°>cos 110°>cos 130°,即sin 10°>cos 110°>-cos 50°.答案sin 10°>cos 110°>-cos 50°8.方程2x=cos x的实根有.?解析在同一平面直角坐标系中分别画出y=2x与y=cos x的图像,可知两图像有无数个交点,即方程2x=cos x有无数个实数根.答案无数个9.画出函数y=cos x(x∈R)的简图,并根据图像写出y≥时x的集合.解用五点法作出y=cos x的简图,如图所示.过点作x轴的平行线,从图像中看出:在区间[-π,π]上,y=与余弦曲线交于点,故在区间[-π,π]内,当y≥时,x的集合为.当x∈R时,若y≥,则x的集合为x-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.10.求函数y=cos2x+2cos x-2,x∈的值域.解令t=cos x.∵x∈,∴-≤t≤1,∴原函数可化为y=t2+2t-2=(t+1)2-3.∵-≤t≤1,∴当t=-时,ymin=-3=-;当t=1时,ymax=1.∴原函数的值域是.B组能力提升1.函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ的值是()A.0B.C. D.π解析当φ=时,y=sin=cos x,而y=cos x是偶函数.答案C2.导学号93774021函数y=-xcos x的部分图像是下图中的()解析因为函数y=-xcos x是奇函数,图像关于原点对称,所以排除选项A,C;当x∈时,y=-xcos x<0,所以排除选项B.故选D.答案D3.导学号93774022已知函数f(x)=cos x,x∈,若函数f(x)=m有三个从小到大不同的实数根α,β,γ,且β2=αγ,则实数m的值是()A.-B.C.-D.解析方程f(x)=m有三个不同的实数根,则m∈(-1,0),由题意知三个根分别为α,β,γ,且α<β<γ,则<α<β<<γ<3π,且α+β=2π,β+γ=4π,又β2=αγ,∴β2=(2π-β)(4π-β),解得β=,则m=f=cos=-,故选A.答案A4.已知cos x=有实根,则m的取值范围为.?解析∵-1≤cos x≤1,∴-1≤≤1,且2m+3≠0,解得m≥-或m≤-4.答案(-∞,-4]∪5.画出函数y=cos x+|cos x|的图像,并根据图像讨论其性质.解y=cos x+|cos x|=利用五点法画出函数在上的图像,如图所示.将图中的图像左右平移2kπ(k∈Z)个单位长度,即得函数y=cos x+|cos x|的图像(图略).由图像可知函数具有以下性质:定义域:R;值域:[0,1];奇偶性:偶函数;周期性:最小正周期为2π;单调性:在区间(k∈Z)上是减少的,在区间(k∈Z)上是增加的.6.导学号93774023已知函数f(x)=lg(cos 2x).(1)求其定义域、值域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性.解(1)要使函数f(x)=lg(cos 2x)有意义,只需cos 2x>0,于是有2kπ-<2x<2kπ+(k∈Z),解得kπ-<x<kπ+(k∈Z).故函数的定义域为.∵0<cos 2x≤1,∴lg(cos 2x)≤0,∴函数的值域为(-∞,0].(2)由(1)知f(x)=lg(cos 2x)的定义域关于原点对称.又f(-x)=lg{cos[2(-x)]}=lg(cos 2x)=f(x),∴原函数是偶函数.(3)令y=f(x)=lg u,u=cos 2x.u=cos 2x在区间(k∈Z)上是增加的,在区间(k∈Z)上是减少的.∴函数y=lg(cos 2x)在区间(k∈Z)上是增加的,在区间(k∈Z)上是减少的.。

高中数学第一章三角函数 1.6 余弦函数例题与探究(含

1.6 余弦函数典题精讲1.为什么说：在同一坐标系中正、余弦函数的图像的形状相同，只是位置不同?剖析：很多同学观察它们的图像后，知道这一点，但是离开图像就产生怀疑.究其原因是通过观察、归纳得到的结论没有加以证明.其突破方法是数形结合，要从数和形两方面来分析. 我们知道函数的图像经过左右平移后，其形状未发生变化，但在坐标系中的位置变化了.类似于一个人从北京到纽约，这个人还是他本人，只是他的地理位置改变了.由平移变换，知函数f(x)=sinx 的图像向左平移2π个单位得函数f(x+2π)=sin(x+2π).根据诱导公式sin(x+2π）=cosx 知平移后的函数就是余弦函数f(x)=cosx 的图像，由此可见在同一坐标系中正、余弦函数的图像的形状相同，只是位置不同.由于sin(2kπ+2π+x)=cosx(k∈N )、sin(-2kπ-23π+x)=cosx(k∈N )，则将正弦函数的图像向左平移2kπ+2π(k∈N )个单位或向右平移2kπ+23π(k∈N )个单位均得到余弦函数的图像.通过数和形两方面来分析，就真正明确了其中的正、余弦函数图像的关系，有利于帮助我们解决问题.2.正、余弦函数的诱导公式如何记忆？剖析：诱导公式太多，记不住.其突破路径是从以下几个方面找出规律：函数名称怎样变化；这些角和角α有何共同特点；诱导公式右边的符号有什么变化规律.(1)-α，π±α，2π-α，2kπ+α(k∈Z )的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”.(2) 2π-α，2π+α的三角函数值，等于α的余名三角函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”. （3）这两套公式可以归纳为：k·2π+α(k∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇指k 的奇偶. 典题精讲例1根据余弦函数的图像，求满足cosx≥-21的x 的集合. 思路分析：在一个周期［-π,π］内，找出满足不等式的x ，再拓展到全体实数即可. 解：余弦函数在［-π,π］内的图像如图1-5-5所示.图1-5-5由图,得在［-π,π］内，-3π≤x≤3π. 则满足cosx≥-21的x 的集合是{x|2kπ-3π≤x≤2kπ+3π,k∈Z }. 绿色通道：利用余弦函数的图像可以解三角不等式，还可以求三角函数的周期.要善于利用余弦函数的图像即数形结合解决问题.黑色陷阱：如果在一个周期［0,2π］上，找出满足不等式的x ，再拓展到全体实数上，那么找出的范围是间断的，不是最简形式.要注意保持x 的范围具有“连续性”变式训练1在（0，2π）内，使sinx ＞cosx 成立的取值范围是（）A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π） C.（4π，45π） D.（4π，π）∪（45π，23π）思路解析：利用单位圆或三角函数图像解决会比较简捷直观.方法一（图像法）：作出［0，2π）区间上的正弦和余弦的函数图像，如图1-5-6（1）所示，易知两交点的横坐标为4π和45π，可知C 正确.（1）（2）图1-5-6方法二（单位圆法）：如图1-5-6（2），在单位圆中作出第一、三象限的角平分线，由正弦线和余弦线可知应选C. 方法三（代入验证法）：当x=π时，sinπ=0＞cosπ=-1，即x=π符合题意，排除A 、B 、D.故选C.答案：C变式训练2函数y=|cosx|的周期是（）A.2πB.πC.2πD.4π 思路解析：画函数y=|cosx|的图像，如图1-5-7所示.图1-5-7由函数y=|cosx|的图像知周期为π.答案：B例2已知角α的终边经过点P （-5，12），求sinα,cosα.思路分析：分别写出x 、y 、r 的值，应用定义求解.解：由x=5，y=12，得r=22125+=13.∴sinα=r y =1312，cosα=r x =-135. 绿色通道：如果已知角的终边经过的一个点求三角函数值，通常应用三角函数的定义求解. 变式训练已知角α的终边经过点P （5t ，12t ），t≠0，求sinα,cosα.思路分析：应用三角函数的定义.解：由x=5t ，y=12t ，得r=22)12()5(t t +=13|t|.当t ＞0时，r=13t.因此sinα=1312，cosα=135；当t ＜0时，r=-13t.因此sinα=-1312，cosα=-135. 例3（经典回放）设M 和m 分别是函数y=31cosx-1的最大值和最小值，则M+m 等于（） A.32 B.32- C.-34 D.-2 思路分析：只需据y=cosx 的性质（或图像）确定M 、m.由y=31cosx-1，且x∈R 可知y max =M=31-1=-32，y min =m=31--1=-34. ∴M+m=36-=-2. 答案：D绿色通道：解决y=Acosx+B 和y=Acos 2x+Bcosx+C 类型函数，要结合图像，利用换元法，并且正确理解运用余弦曲线的性质解决问题.变式训练1函数y=cos 2x-3cosx+2的最小值为（） A.2 B.0 C.41-D.6 思路解析：利用换元法化归为求二次函数的最小值.设cosx=t,-1≤t≤1，则有y=t 2-3t+2=(t-23)241-.画图可知，当t=1时，函数y=cos 2x-3cosx+2取最小值0. 答案：B变式训练2(2006北京高考卷，文2)函数y=1+cosx 的图像（）A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=2π对称思路解析：函数y=1+cosx 是偶函数，其图像关于y 轴对称.答案：B问题探究问题求适合条件cosx=23的角x 的集合. 导思：要求角x 的集合，必须明确怎样表示角x 的余弦值.我们知道余弦线表示余弦值，余弦函数的图像能反映余弦值的大小，由此探究的思路有两条，思路一：图像法，利用余弦函数的图像；思路二：利用余弦线.探究：方法一（图像法）：如图1-5-8所示，在同一坐标系中画出余弦函数y=cosx 的图像和直线y=23，则函数y=cosx 的图像和直线y=23交点的横坐标就是适合条件cosx=23的角x.图1-5-8在一个周期［-π,π］内，有x=±3π.所以适合条件cosx=23的角x=2kπ±3π (k∈Z )，即角x 的集合是{x|x=2kπ±3π (k∈Z )}. 方法二（利用余弦线）：如图1-5-9所示.由于cosx=23，则角x 的余弦线的方向向右，长度为23.图1-5-9由图可知角x 的终边与±3π的终边相同，所以适合条件cosx=23的角x 的集合是{x|x=2kπ±3π(k∈Z )}.。

高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课后导练北师大版必修4

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