11.2.1 三角形的内角
八年级数学上册11.2.1 三角形的内角
利用上面的结果，你能得出什么结论？
直角三角形的两个锐角互余．
B
C
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
A
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
B
C此性质的几何推理格式该怎样 Nhomakorabea示？A
在Rt△ABC 中， ∵ ∠C =90°， ∴ ∠A +∠B =90°．
B
C
例3 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相 交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
分析：两个角的关系 是什么？这两个角分别在 什么三角形中？你如何验 证自己的想法？
A
C D
E
B
例3 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相 交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
解：在Rt△AEC 中，
∵ ∠C =90°，
C
∴ ∠CAE +∠AEC =90°
（直角三角形两锐角互余）．
在Rt△BDE 中，
∵ ∠D =90°，
A
D E
B
例3 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相 交于点E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？
解：∴ ∠DBE +∠BED =90°
（直角三角形两锐角互余）． C ∵ ∠AEC =∠BED （对顶角相等），
D E
∴ ∠CAE =∠DBE
（等角的余角相等）． A
l B2
A
1 5
46
P
m
n 3C
追问4 通过前面的操作和证明过程，你
能受到什么启发？你能用其他方法证明此定
理吗？
l
m
A
5
1
4
11.2.1三角形的内角(第二课时)说课稿 2022—2023学年人教版数学八年级上册
11.2.1 三角形的内角（第二课时）说课稿一、课程背景《数学》是中学阶段的一门重要学科，对学生的思维能力、逻辑思维能力以及解决问题的能力有着重要的培养作用。
而在《数学》的课程中，三角形是一个非常重要的几何图形，对于学生来说，掌握三角形的性质和应用是十分关键的。
本节课的内容是三角形的内角，是数学八年级上册的重点和难点之一。
二、教学目标1.理解三角形内角的概念和性质；2.掌握如何计算三角形内角的方法；3.能够运用所学知识解决与三角形内角相关的问题。
三、教学重点1.三角形内角的概念和性质；2.计算三角形内角的方法。
四、教学难点1.掌握三角形内角的计算方法；2.运用所学知识解决问题。
五、教学过程1. 导入新知•引入三角形的概念和性质，回顾上节课所学内容，帮助学生复习巩固知识。
2. 学习新知•向学生介绍三角形的内角的概念，与学生共同探讨三角形内角的性质并进行总结。
三角形的内角性质： - 三角形的三个内角之和等于180度。
- 任意一个内角都小于180度。
•老师给出示例三角形，让学生通过测量证明三角形的三个内角之和为180度。
3. 计算三角形的内角•老师向学生讲解如何计算三角形中的内角大小，并通过示例进行解释和演示。
如何计算三角形的内角： - 如果已知三角形的两个内角的大小，则可以通过内角和为180度的性质计算出第三个内角的大小。
- 如果已知三角形的一个内角和两个边的长度，则可以利用三角形的角平分线性质计算出其他内角的大小。
•老师通过几个典型的计算例子，引导学生掌握计算三角形内角的方法。
4. 解决问题应用•老师给出一些与三角形内角相关的问题，让学生灵活运用所学知识解决问题。
问题示例： 1. 已知一个三角形的两个内角分别为50度和70度，求第三个内角的大小； 2. 一个三角形的一个内角为60度，如果另外两边的长度分别为5cm和8cm，求另外两个内角的大小。
5. 归纳总结•老师和学生一起对所学内容进行总结归纳，提醒学生掌握三角形内角的性质和计算方法。
八年级数学 第 三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角
12/10/2021
第六页，共十五页。
解:∵∠B=42°,∠C=68°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°.
∵AD是角平分线,
∴∠DAC= ∠B1AC=35°.
∵AE是高,∠C2=68°,
∴∠EAC=90°-∠C=22°, ∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-22°=13°.
12/10/2021
第七页，共十五页。
1
2
3
4
5
6
7
1.在△ABC中,若∠A=2∠B=70°,则∠C的大小(dàxiǎo)是( ). A.40° B.75°
.
40° 12/10/2021
第十一页，共十五页。
关闭
(dá答答à案案n)
1
2
3
4
5
6
7
5.在△ABC中,若∠A=40°,∠B=∠C,则∠C的度数(dùshu)是
类此三角形是
三角形.
,按角分
锐角 ∵∠A=40°, ∴∠B+∠C=180°-40°=140°. ∵∠B=∠C, ∴∠B=∠C=70°.
按角分类应是锐角三角形. 7102/°10/2021
关闭
关闭
解析 (dá答答à案案n)
内容(nèiróng)总结
11.2 与三角形有关的角。【例题】 (2017·福建上杭期中)如图,在△ABC中,AE是BC边上的高,AD是角平分 线,∠B=42°,∠C=68°,分别求∠BAC,∠DAE的度数.。分析从已知条件入手,首先对△ABC应用三角形内角和定理求
教学设计5：11.2.1三角形的内角
11.2.1三角形的内角教学目标：（1）知识目标：①探索三角形的内角和，并初步体会利用辅助线解决几何问题．②灵活运用三角形内角和结论。
（2）能力目标：①通过学生猜、测、拼、观察等活动，培养学生探索、发现能力、观察能力和动手操作能力。
②会用平行线的性质和平角定义证明三角形的内角和等于180度。
③学会解决与三角形内角和定理有关的实际问题。
④初步培养学生的说理能力。
（3）情感目标：①让学生在探索活动中产生对数学的好奇心，发展学生的空间观念；②体验探索的乐趣和成功的快乐，增强学好数学的信心。
教学重点：探索三角形的内角和。
教学难点：三角形内角和定理的证明方法．教学课时：1课时教学过程：一新课引入在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了……”“为什么？” 老二很纳闷。
同学们，你们知道其中的道理吗？二新课讲授如何验证三角形的内角和为180°呢？方法一：度量法量角器量出三个角并相加方法二：拼图法如图1，将纸片上的△ABC三个内角剪下，随意将它们拼合在一起，你有几种拼合方法，经过拼合你能发现什么？学生活动设计：学生动手操作已经准备好的三角形纸片，独立完成拼合，可能有如图2，3的拼合方式，拼合完成后进行交流，根据拼合的图形，容易发现三角形的三个内角的确是180°．经过观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，还需要通过数学知识来说明.怎样用数学知识来说明呢？如图4，已知△ABC，试说明∠A+∠B+∠C=180°．学生活动设计分组合作，小组讨论，然后进行交流，在交流中逐步完善自己的结果．经过讨论（若没有结果教师进行引导）发现，上述拼合的过程其实就是把三角形的内角经过一定手段进行转移，同时考虑平行线有转移角的功能，于是可以想到利用平行线来证明三角形的内角和，根据拼合的图形，学生进行讨论，发现可以有下列解决方案：方案一：如图5图5作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB．则∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）；∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）；∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．即：∠A+∠B+∠C=180°．方案二：如图6，过点A作直线EF∥BC∴∠EAB=∠B（两直线平行，内错角相等）；∠F AC=∠C（两直线平行，内错角相等）．∵∠EAB+∠BAC+∠F AC=180°（平角定义），∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）．于是得到三角形内角和定理：三角形内角和等于180°．例1：如图7，C岛在A岛的北偏东50°的方向，B岛在A岛的北偏东80°的方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？解：∵∠DAC=50°，∠DAB=80°∴∠CAB＝∠DAB－∠DAC＝30°∵AD//BE，∴∠DAB+∠ABE ＝180°∴∠ABE=180°－∠DAB=180°－80°=100°∵∠EBC=40°∴∠ABC= ∠ABE －∠EBC= 100°－40°=60 °在△ABC 中，∠ACB=180°－∠ABC－∠BAC＝90°答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°．随堂练习在△ABC中：①∠A=35°，∠C=90°，则∠B=？总结：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°即△ABC 中,∠A+∠B+∠C=180°∠A+∠B+∠C=180°的几种变形：(知二求一)∠A=180°–(∠B+∠C).∠B=180°–(∠A+∠C).∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°–∠C.∠B+∠C=180°–∠A.∠A+∠C=180°–∠B.思考：如图11，BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB ，请你探索∠A 和∠D 的数量关系．解：在⊿ABC 中有，∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°在⊿DBC 中有，∠D +∠1+∠2=180°因为BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB所以2∠1＝∠ABC 、2∠2＝∠ACB所以2（∠1＋∠2）＝∠ABC +∠ACB所以∠ABC +∠ACB ＝2（180°－∠D ）所以∠A ＋2（180°－∠D ）＝180°即∠D ＝90°＋21∠A ． 三 课堂练习在△ABC 中：②∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=？四小结和作业小结：通过本节课的学习，你在知识上有什么收获？你是通过什么方法学习了这些知识？（三角形的内角和等于180°及应用）．作业：1 第13页练习．2 习题11.2第1、3、4、7．。
人教版八年级上册11.2.1三角形的内角(教案)
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形内角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
-内角度数的关系：钝角三角形、锐角三角形和直角三角形的内角度数关系容易混淆，需要教师通过具体例子、分类讨论等方式进行详细讲解。
-实际问题的解决：将三角形内角和定理应用于解决生活中的问题时，学生可能面临问题分析、数据提取和计算方法选择等难题。
举例：
难点一：证明三角形内角和定理时，学生可能难以理解以下概念：
-数学思维的培养：在教学过程中，注重培养学生的几何直观、逻辑推理能力和数学建模意识。
举例：在讲解三角形内角和定理时，可以通过以下案例进行强调：
案例一：给定一个三角形，已知两个角的度数，求第三个角的度数。
案例二：证明一个四边形是凸四边形还是凹四边形。
2.教学难点
-证明三角形内角和定理：对于初学者来说，理解并掌握几何证明过程具有一定难度，需要教师通过直观演示、逐步引导等方法帮助学生突破。
4.在小组合作探究中，培养团队合作精神和交流表达能力，提高数学交流与反思的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-三角形内角和定理：强调三角形内角和等于180°的概念，通过几何图形和数学证明，让学生深刻理解这一核心内容。
-内角性质的应用：以实际案例为载体，引导学生学会运用三角形内角和定理解决具体问题，如判断三角形类型、计算未知角度等。
人教版八年级上册11.2.1三角形的内角（教案）
初中数学第11章：11.2.1三角形的内角
练习 下列说法正确的是 （ ） A、三角形的内角中最多只有一个锐角 B、三角形的内角中最多只有两个锐内角 C、三角形的内角中最多有一个直角 D、三角形的内角都大于60°
C
练习 △ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则△ABC 是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
D
B
C
练习 如图，∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点D， (1)若∠A＝40o，∠ABC=60o，求∠BDC的度数.
∠A＝40o，∠ABC=60o ∠ACB=80o ∠DBC=30o ∠DCB=40o ∠BDC=110o
A
D
B
C
练习 如图，∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点D， (2)若∠A＝40o，∠ABC=66o，求∠BDC的度数.
人教版初中数学八年级上册
第11章 三角形
人教版初中数学八年级上册
11.2 与三角形有关的角
初中数学 第11章
11.2.1 三角形的内角
学霸兔 设计
三角形的内角和
定理：三角形的内角和为180°.
证法1： 过A作EF∥BC 有∠B=∠2，∠C=∠1 ∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180
AD⊥BC于点D.
(1) 若∠B=36°,∠， 求∠DAE的度数？
A
你能发现∠DAE与∠B、∠C的关系吗？
B
C
ED
例3 探究：如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，
AD⊥BC于点D.
(1) 若∠B=36°,∠C=66°， 求∠DAE的度数？
11.2.1 三角形的内角解题技巧
11.2.1三角形的内角技巧1综合运用“内角和”定理1．已知角的关系求角度在△ABC中，已知∠A＋∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．解析：题中给出两个条件，即∠A＋∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°，就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．解：由∠A＋∠B＝80°及∠A＋∠B＋∠C＝180°，知∠C＝100°．∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°－∠B＝80°－50°＝30°．2．利用“对顶三角形”的转换求多角和如图(1)所示，试求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．(1) (2)解析：本题中，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E不能单个地求出，因此，需进行整体求值．解：如图(2)所示，连接BC，由三角形的内角和为180°，得∠E＋∠D＝∠1＋∠2．∵∠A＋∠3＋∠4＋∠1＋∠2=180°，∴∠A＋∠3＋∠4＋∠D＋∠E＝180°．技巧2“两线”的运用1．利用高求角度如图所示，在△ABC中，O是高AD，BE的交点．若∠C＝75°，则∠1＝．解析：∵BE是高，∴∠2＝90°．又∵∠C＝75°，∴∠3＝90°－75°＝15°．∠1＝∠4＋∠3＝90°＋15°＝105°．答案：105°．2．利用角平分线求角度如图所示，△ABC的两条角平分线BD，CE相交于点O．(1)若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，求∠1的度数；(2)若∠A＝70°，求∠1的度数；(3)∠A与∠BOC有怎样的数量关系?解析：利用三角形的内角和等于180°，求得∠1．解：(1)∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，且BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠2＝12∠ABC＝12×70°＝35°，∠3＝12∠ACB＝12×50°＝25°．∴∠1＝180°－∠2－∠3＝180°－35°－25°＝120°．(2)∵∠A=70°，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－70°＝110°．∵BD，CE是∠ABC的角平分线，∴∠2＋∠3＝12×110°＝55°．∴∠1＝180°－(∠2＋∠3)＝180°－55°＝125°．(3)由(1)(2)得∠1＝180°－12(∠ABC＋∠ACB)＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A．。
11.2.1三角形的内角
问1、三角形有三个内角，有怎样的数量关系？ 2、三角形按角的大小可分成几类？ 3、在Rt∆ABC中，∠C=90，∠A与∠B有怎样的数量 关系？
A
直角三角形记作：Rt∆ 直角三角形两个锐角互余
C
B
C
应用1、在Rt∆ABC中，∠C=90º , 写出互余的角。 2、若CD是∆ABC的高线， 找出余角？ 3、在Rt∆ABC和Rt∆ABD中， ∠C＝∠D=90º ,找出余角？ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角？（直角除外）
C
D 40º 70º
A
B
2、在△ABC中，∠A=40º,∠B=70º,AD是△ABC的平分线， 你能求出哪些角的度数？
3、在△ABC中,AC⊥BC,∠A=30º.求∠B的度数？
B
A
30º D
45º
C
4、在△ABC中,AC⊥BC,∠A=30º，∠BDC=45º,你能求出哪些角的 度数？
5、四边形ABCD中，∠A=70º, ∠B=150º, ∠C=40º,求∠D的 B 度数？
7、在△ABC中，∠B-∠A=50º,∠C=70º,求△ABC各内角的度数？
8、在△ABC中，∠B =∠A+10º,∠C=∠B+10º,求△ABC各内角 的度数？
小结：1、描述三角形内角和定理的证明思路。 2、定理的用途有哪些？有怎样的使用策略？
作业：教材第16页， 第1题，第3题。
11.2.1三角形的内角（2）
11.2与三角形有关的角
11.2.1三角形的内角
问1、三角形内部的角是它的内角，那么△ABC有哪些内角？ 2、它们有怎样的数量关系？ 3、180º是一个平角，怎样证明这个定理？
A
B
C
三角形内角和定理的证明： A D
人教版八年级上册数学11.2.1
课题：11.2.1三角形的内角
教师提出问题，引发学生思考。
二、 教授新课：做一做。
1．
在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码。
2． 让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出的度数，可得到。
3． 剪下，按图（2）拼在一起，从而还可得到。
图2
4． 把和
剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量
的度数，会得到什么结果。
想一想。
如果我们不用剪、拼的办法，可不可以用推理论
证的方法来说明上面的结论的正确性呢？ 已知
，
说明
，你有几种方法？
结合图（1）、图（2）、图（3）
能不能用图（4）也可以说明这个结论成立。
三、 课堂练习：
如图，C 岛在A 岛的北偏东方向，B 岛在A 岛
的北偏东
方向，C 岛在B 岛的北偏西
方向，从
C 岛看A 、B 两岛的视角
是多少度？
四、 小结：
谈一谈这节课的收获。
五、布置作业：
课本P16习题11.2.1第1，3，4，5题。
六、板书设计：
11.2.1三角形的内角
例2：
七：教学后记：。
11.2.1_三角形的内角
三种语言
☞
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. B 0-∠A. ∠B+∠C=180 ∠A+∠C=1800-∠B.
A
C
这里的结论,以后可以直接运用.
（5）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少 为 .
伟人之所以伟大，是因为他与别人共处 逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现 自己的目标。
三角形的内角 三角形两边的夹角叫做三角形的内角
思考与探索
如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?
30+60+90=180
45+45+90=180
想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗?
三角Байду номын сангаас的三个内角和是多少?
你有什么办法可以验证呢?
方法一： 把三个角拼在一起试试看
三角形的内角和是180度。
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
蒲河九年制学校九
八年级
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄 弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，
它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样
大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我 们这个家就再也围不起来了„„”“为什么？” 老二很 纳闷. 同学们，你们知道其中的道理吗？
证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1,(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°, ∴∠A+∠B+∠ACB=180°.