常微分方程教学中一种变换与应用

`
:
+
(
i n 习始 卜 ) b
`
“
,
其中
。 `
,
b`
由 ( 2 4 ) 式 决定
.
从而 ( 2 3 ) 的通 解 为
移
一 c e
一
+
.
+
移
.
’ .
方 程 ( 2 2 ) 的通 解 为
梦 =
e (c
”
.
一“
,
.
)产
=
:
。
护
+
c
`
介
一 (
·
尹一
O
不
一
。一
’,I
(。
,
I
( 18 ) t ) 中含 的选 择一 般 取 f (
`
利 用 变换 ( 1 7 )来 求方 程 ( 1 5 ) 的特解 往往 计算 简 捷
,
.
变换 中
的次
数
.
例 解
.
求方 程 ` 作变换
2二 ”
一
。
`二 `
,
+
2二 =
`Zh `
的 特解
.
由 ( 1 7 ) 式可 知原 方 程 化为
+ a
+
0 l c ,
a
一
:一 .
, l ) (
·
`
a
一 1 (梦 +
,
梦) e 时
梦e 时
L
l
[ 梦〕尹
) 梦 .(
一
一 2)
,
二 0
上 式约 去 砂并 改写 为
梦’(
)
+
(界 , +
·
a 一
) 梦一
(
, )
+
a
, 2 + (e若
a Ic
一 lr 二 +
a Z
+
a
… +
一lr +
a
。
( : c
即
一 尸一 1
·
其中
`
·
为 非负 整 数 常 , 一 。 不 同时为零 )
,
·
( ( 22 )
解
微 分方 程
,
=
,
“
b o s 尹c
.
的通 解就 是所 求的 不 定 积 分
作变 换
方程
’e
,
1 ) 化为 方程 (2
“
,
+
a .
二
名
.
e
s o
b劣
( 23 )
( 2 3 ) 有形 如
翻
.
=
(
习
,
a `:
’
一`
)eo s b二 +
`
的特 解
.
+ 1 = O有 三 重 根 人 = 耘 = 抽 = 一 1 (劝 = 护 + 3护+ 3 久
F`
(一 l ) = =
,
。 一`
(一 1 ) =
F
"
(一 1 ) = 0
,
F份
(一 l )护0
作 变换
8 ) 式 可得 由(
梦份
=
t
一 5
( 9)
` 。
9 ) 的 特解 为 易求 (
一
,
; , ; `“
6梦 +
即
即
6
`
’ :
y甘
+
12y
+
8梦 =
`
一 5
( 11 )
用 比较 系 数 法 易 求
( 1 1 ) 的 特 解为
心
13
梦
=
百
心
0
一
丽
13 犷 下少
1 0
、
.
’.
原方 程 的特 解为
,
气r 气
。
一
;
.
或对方 程 ( 1 0 ) 再作 变 换
同样 可得 所 求 特解
:
.
y =
沪 化为
6“
,
沪+
+
)
解
= 好一
原 方 程化 为
从而
梦
’
=
1 门 二 = 一 丁 哪 万 」
’ .
,
二 ù 例 解
·
原方 程 的一个 特 解为
二
·
一户 一
二 "
`
。
.` .
= 一
。
一
.
叫列
。
求方 程
作 变换
二
+ 3 性 + 2 =
: :
’. e 的一 个 特 解
,
,
, ”
~
梦e 一 气
原方 程 化 为
` 一 , =
。 ,
,
=
。
,
,
方 程 ( 1 5 ) 可 化 为 常 系 数 非 齐 线性 方 程 且 它 所 对 应 的
.
久以
一 1) 一 以 一
+
l ) + a 1
_ 1久
久(
:
+
·
“
a + .
+
a
二 0
卜
) …( l
卜
.
+ 2)
( 16 )
}
方程 ( 15)化为
`二
`
一 ~
`
’
_
( 17 )
梦e
-
、 名
全竺 {华 , 。
+
… + … +
a
a
一 1二
`
`
+
a
一
a
一
二
=
0
(l)
二 [ 」
,
加,
+
a l:
`
一` , +
.
一: :
+
二
,
f (` )
( 2)
其中
a ;
,
。 2
,
…
:
,
a
。
t ) 为连 续 函 数 为 常数 f (
作变换
= 梦尹
·
( 3)
`
1
方程
(l
) 化为
L
’[ 砂 」=
+ … +
别 钾 i()
`=
尸一`
’
O
` 组
1
.
,
.
、
气`
一
乙U 少
:
.
所求 的特解 为
二
一兴
` q
` 3 (`
一 : 。)
e
一
例 解
2
求
:
,
“ ` + 3 二 + 3二 +
二
= ( t 一5 ) ’e
的 特解
,
这 道题 与 例
,
1
相 比较 仅仅 是 改变 了 一下 非 齐 次项 作 同 例
犷口
的变 换
二
= 梦e 一 方 程化为
=
(心 一 5 )
、
’
e ,
( 10)
,
,
为使求 解更 简 便 作 变换
_
.
z
一
州 原 方 程 化为
,
,
梦’
十
F , ( l ) ”二 - 气 犷一 梦 十
`
” ,
.
,
,
,
.
” ,
、
,
,
’
Ll , 梦
卞
、 i , y
=
`
一
。
F ( 久) =
F F
`
护+
3护 +
6久 +
3几 + 3
1
( 久) = 3 分 +
( 孟) = 6 孟 +
一`
F .
(r )
`!
这里 `=
0 l
,
,
2
,
…
,
。
.
并假定 尸
(, ) =
(, )
.
4 ) 式 可改 写 成 从而 (
本文于
19 9 1 年 9
月
16
日收到
第 期
车奈龙 常徽分方 程教学 中一 种变换 与应 用
〕
2 )经 变 换 ( 3 ) 可 化为 同样 方程 (
L
2
l
,
,
“ ) 2
(7 )
[ r 〕“
`
.
二 (. )
,
+
。 l
t
t
一 1:
.( 一 1 )
+
`
… +
a
一i
t二 `
+
a
一
二
,
f (` )
,
( 15 )
这里
a :
,
。 2
,
…
,
。
。
t ) 为连 续 函 数 是 常数 f (
t
我 们 已 经 知 道 经 自变 量 变 换 齐 线性 方程 的 特 征 方 程为
对。 ) =
) 式 作 变换 根据 ( 8
第
卷第
`
l
期
月
t
上 海师范大学学 报 自然科学 版
s 加n t
V
,
L O
.
23 N
,
,
o
.
l
年
比 曰,
U
n
lv
.
t u (Na r 目 全七n 。
)
Ma r
1Baidu Nhomakorabea9公4
常微 分 方程 教 学 中一 种 变换 与 应 用
车崇龙
( 数学 系)
提
要
本 丈 通 过 常 徽 分 方 程 教 学 所 引进 的 一 种 变 换 给 出 了 未 用 这 种 变 换 来
{: 砚
典+
0 飞e
, 二 ( 2)
契+
U 下
,
、 (2)
,
一
e一 ,·
(。 ) ’ in
·
e
·
典+
Q
l ~
,
(2)
要+
U
l
,
(2 ), 一
一 久+
2 2
,
万 (劝 =
~
产
久( 久 一
) 1
护 一 2久 +
对 ( 久) =
2久 一 2
2,
典+
Q r
曰
:
驭+
a T
一
,
( 19 )
易 求 ( 1 9 ) 的 特 解为
,
·
+
。 I
:C 二资
.
尸一 2
+
+
一
)梦 +
`
(
r
.
+
a 一,
一 + … +
1
)梦 =
0
一 1 一
` 切一 + :c
, “
,
+
` .
艺 :c (
0
二
尸”
一` 一
、
1
+
… + .a
一`
( = 。 ) , ’7
(4 )
’, .
1 ) 的特 征 方 程 为 方程 (
F ( 久)
矛
+
a 一 ” 一 l
+
… +
1 2 ) 的 特 解为
,
( 一音
:
, ` 一
s o c
。
`
)
:
.
原 方 程 的 一 个 特 解为
解法
构 造方 程
2
一 一合
s (
“
一
.
`
,
二 "
+
二 3
`
十 2劣 ~
` e“ 一 1)
(
13 )
作变 换
二
=
梦。 “ 一 , , `
方 程 ( 1 3 ) 化为
梦"
+
( 2坛 +
1 )犷 +
`
(` 一 l )梦 =
-
=
0
(二 +
l 一 ` ) ( b b `一 : 一
a Z
a a `一 ;
)
`一 1
+ b
Z
(月 +
1, 2,一
,
l 一 ` ) ( a b卜 z
a Z
+
ba
) ( 24 )
+
b
Z
.
a Z
+
bZ
bo =
b
a Z
+
bZ
’ :
方程 ( 2 3 ) 的一 个 特解 为
“
.
=
(
`二
万
a `二
0
卜 )eo b s
(
习
b,
` 一 )s ,
。:
的特 解
.
(其 中 。`
,
b ` , `=
, , , 0 1 2 …
:
为 待定 常数 )
`
=
代入 ( 2 3 ) 可得
a a o
+
bb o
o
l
解得
{
a
a a `
bo 一 ba
0
1 一 `)a
`一 i
+
+
( (
.
+
+ 一
bb` = ba
`
0
a
b`
.
+
` 1 一 `) b _
方程 ( 2 1 ) 的一 个 特 解为
愁
.
目
1
。 一
.
一
(` =
- 万雨二一一一一一一
,
l 一 `)
l
2 …
,
,
.
)
7
十
启
石 气一
“
,
,
、
`
-
.
且少
一一一一几 币 , 一一一 ,
”
.
(. 一 1》
“
(. +
l 一 `)
。
_
`
劣
一
方程
( 2 1 ) 的通 解 为
=
c e
一
+
从而 方 程 ( 2 0 ) 的通 解 为
的通 解 就 是 所 求 的 不 定积 分
作变 换
梦=
,
.
2 ) 0 化为 尹 方程 (
“ ,
+
a “
二
二
“
( 21)
方程 ( 2 1 ) 有 形 如
“
.
=
0 a
二
’
+
l 砂一 1 + a
… +
a .
一 1名
a + .
的特 解
.
( 其中
a 。
,
。 ;
,
…
,
。
.
是 待 定 常数 )
代入
( 21)可得
a a o
( 14 )
易求方程 (
1 4 ) 的 特解 为
~
1
l +
`
梦 =
万 二甲 了
2
方 程 ( 1 3 ) 的 特 解为
1 + ` e ( l )` 卜 2 :
.
原方 程 的 特 解 为
例
`
求 方 程 一+ 作变 换
二
2一 十
` ,
的一 个 特解 一争
:
一
R 。牙 一
一 合
(· , n ` 一
。
s o
`
b· d一
,
介
·
’e
S
n b· d · i
的积 分 利 用 常规 的 方 法
,
来求 是十 分 萦 琐 的 下 面先 将积 分化 为 常 微 分方 程 然 后 利用 变换 来 求方程 的 一 个 特解 · · · 例 ? 求 一 d ( 其 中 〔 N 常数 ` 。 ,
介
,
解
微 分方 程
’,
=
劣
“
产
(2 0)
a l
a
一
l久
+
a。
=
0
( 5)
了
. 。
( ) F `
( )=
护
.
` (. 一 l ) … (月 一 坛 + l ) r一 +
(
一 1) (一
,
2 ) … ( 招 一 ` ) 尹 一 `一 1 +
… + 日 `
(6 )
:
c
:一
`
·
,
一 +
`0 )
`
a I
c : 二犷`
尸
·
尸 一 `一
十 … +
a .
乙
,
、 `
一
二
土少
( . 一 l ) … (月 +
.
:
·
介 一
·
,
d
二 生 尹 +
a
·
。·
(一 女 弋气
i
.
(月 一 l ) … (皿 +
a` + l
—
不r 一 奋
1 一 `)
。
-
_
`
.
一-
-
劣
-
一
e
`
1 一 ` )二
一 +
t
第 期
车奈龙 常徽分方程教拳中一种变换与应用
:
例
。
求
介
=
,
·
尹
y’
b · s Od
价 即
一
2 一
了
一
2 l 一
’.
原方 程 的一 个 特解 为
忿
’
.
In 亡 1 “ 气 1 犷 一 下, ,
、
。
,
`
`
上 海师范大学学 报 自然科 学版
, `
年
=
4
.
二“ 气 m 必一 1 少
`
求 积分 中 的 应 用 在 不 定 积 分 中 出现 诸 如
, ,
介
,
·
’e
·
d一
介
·
’ e
S O c
1 2矿 +
彻 =
`
一 5
值 得 注 意 的 是 利用 变换 求 特解 要 比直 接运 用 比较 系 数法 求 解要 方 便得 多 次 项 是高 次 多项 式 与指 数 函 数 的 乘积
,
.
.
尤其 对 非齐
、
对 于 非齐 次 项 是 多 项式 正 弦 函 数 ( 余弦 函 数 ) 指数 函
, ,
、
数 的 某种乘 积 的 组 合 同样 可 以 考虑 利 用 变 换 求解 对 于 不能 运用 比 较 系 数 法 求 解 的 类 型 有
上海 师范 大学 学 报 ( 自然 科学版 )
年
时 利 用 变 换 求 解 也 能 使 运 算 简 便 以下 举
,
3
个 例子进 行 说 明
.
例 解
3
求 方程 解法
二
二 ’I
+
3二 `
+ 2 ~
二
e 一
乞o s
`
的特 解
1
作 变换
= ,
e 一`
原 方程 化 为
梦"
+
` 梦 =
o c
s`
( 12)
易 求方 程 (
, ,
.
求 常 系数 柞 齐 践 性 方 租 与 作 齐 欧 拉 方 程 的 特 解 以 及 对 求 积 分 的 应 用
关链 词
变换
,
特解
0 17 5
,
.
积分
1
中图 法 分 类 号
i
变
招
换 阶常 系 数 线性 微 分 方 程 的 一 般形 式为
石 乙
二
二 [ ]二 :
:
。 ,
+
a l二 加 一 , ,
矿
一 `
J e
,
“
一 一“
” `
第
期
1
车崇龙 常徽分方 程 教 学 中一 种变换与应用
, 一
介
=
’. e
d` 一
`
:
.
原方 程 的一 个 特 解为
二
.
e一”
.
’.e
.
7 ) 式与 ( 8 ) 式还 可 以 用 于 构造 新 的微 分方 程 顺便 提 一下 前 面 导 出的 (
,
3
求 非齐 欧 拉 方程 的 特 解 非 齐 欧 拉方 程 的 一 般形 式为
刀
F
。)
(r )
,的 =
e一
叮 (O
(8 )
求方程 ( 幻 的 特 解
2 ) 的 特解 如 何选 择 变 换 中 的 , 是 关 键 的 一 步 利 用 求 ( 8 ) 式 的 特 解 来获 得方 程 (
,
.
下面举
例进 行说 明 例 解
’.
。
.
i
求
’.,
F
:
:
,
+ 3:
F
”
+ 七 +
`
:
= ( t 一 5 )。 一
从 而可 得
{
,
.
1
a`
(
一 落) +
a a `+
,
二 0
` =
0 1 2 …
,
,
,
,
.
一 l
·
`
}
t
:
。
=
丁
( . 一 `) a , ` = = 一 一一 万一 。
`
“ `+ `
0 1 2 …
, ,
,
,
.
一 1
.
l
0 a
=
l = 一 7 丁 a
,
~
,
`
“
’
价 .
` ( 一 l ) . 伽 一 1 ) 一 (. +