江苏省常州市2020届高三上学期期末学业水平监测数学试题(含解析)

常州市教育学会学业水平监测
高三数学 2020.1
一、填空题：
1、已知集合{}{}
21,0,1,|0A B x x =-=>，则A ∩B ＝ 答案：｛－1，1｝
解析：B ＝｛x ｜x ＜0或x ＞0｝，所以，A ∩B ＝｛－1，1｝ 2、若复数z 满足1,z i i ⋅=-则z 的实部为 答案：－1 解析：1(1)11
i i i
z i i --=
==---，所以，实部为－1。

3、右图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是
答案.10
解析：第1步：S ＝1，i ＝3；第2步：S ＝1＋32＝10，i ＝4＞3，退出循环，输出S ＝10。

4、函数21x y =-的定义域是 答案：［0，＋∞）
解析：由二次根式的意义，有：210x
-≥， 即0
212x
≥=，所以，0x ≥
5、已知一组数据17,18,19,20,21，则该组数据的方差是 答案：2
解析：平均数为：19，
方差为：2
1
(41014)5
s =
++++＝2 6、某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是 答案：
710
解析：该同学“选到文科类选修课程”的可能有：112
232C C C +＝7，
任选2门课程，所有可能为：2
5C ＝10，
所以，所求概率为：
710 7、已知函数23
1
,0,
1(),0,
x x f x x x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩ 则((8))f f =
答案：－1
5
解析：(8)f ＝2233
3
8(2)-=-＝－4，
((8))(4)f f f =-＝－1
5
8、函数3sin(2),[0,]3
y x x π
π=+∈取得最大值时自变量x 的值为
答案：
12
π 解析：因为0x π≤≤， 所以，723
3
3x π
π
π≤+≤
，则1sin(2)13
x π
-≤+≤， 当23
2
x π
π
+
=
，即x =
12
π
时，函数y 取得最大值。

9、等比数列{}n a 中，若12341,4,2,a a a a =成等差数列，则17a a = 答案：64
解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，
2344,2,a a a 成等差数列，
所以，32444a a a =+，即
2344q q q =+，解得：q ＝2，
所以，6
171a a a q =＝64
10、已知
cos 22cos παα
⎛⎫- ⎪⎝⎭=，则tan 2α=
答案：－22
解析：
cos 2cos παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin 2cos αα
=，即tan α＝2
2
2tan tan 21tan α
αα
=
-＝－22 11、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为A,过A 做x 轴的垂
线与C 的一条渐近线交于点B,若2OB a =，则C 的离心率为 答案：2
解析：显然OA ＝a ， 双曲线的渐近线为b y x a =±
，不妨设过A 做x 轴的垂线与b
y x a
=交于B ， 则B 点坐标为（a ，b ），即AB ＝b ， 在直角三角形OAB 中，OB 2＝OA 2＋AB 2， 即4a 2＝a 2＋b 2，解得：3b a =，
所以，离心率为：2
21c b e a a
==+＝
2
12、已知函数()lg(2),f x x =-互不相等的实数,a b 满足()()f a f b =，则4a b +的最小值为 答案：14
解析：如下图，由()()f a f b =，－lg(2)a -＝lg(2)b -， 即lg(2)(2)a b --＝0， 所以，(2)(2)1a b --=，
4a b +＝(2)4(2)102(2)4(2)10a b a b -+-+≥-⨯-+＝14，
当5
4,2
a b ==
时取等号。

13、在平面直角坐标系xOy 中，圆2
2
2
:22210C x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点（0,1）的距离为2，则实数a 的取值范围是
答案：117117,01,22⎡⎤
⎡⎤
-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
解析：设点P （x ，y ），
点P 到点（0,1）的距离为2，所以，点P 的轨迹为2
2
(1)x y +-＝4， 又点P 在圆2
2
:()()1C x a y a -+-=上， 所以，221(1)3a a ≤
+-≤，解得：
a ∈117117,01,22⎡⎤
⎡⎤
-+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦
14、在ABC ∆中，,3
A π
∠=
点D 满足2
3
AD AC =
，且对任意,x R xAC AB AD AB ∈+≥-恒成立，则cos ABC ∠=
答案：
解析：
二、解答题：
15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知31,cos 3
a B ==。

（1） 若3
A π
=，求sin C 的值；
（2） 若2b =
，求c 的值.
16、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP AD =，点,M N 分别是线段,PD AC 的中点。

求证：
（1）//MN 平面PBC ； （2）.PC AM ⊥
17、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，
椭圆右顶点为A ，点2F 在圆2
2
(2)1x y -+=上。

（1） 求椭圆C 的标准方程；
（2） 点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知
13
2
AM AN =-
，求直线1F M 的斜率。

18、请你设计一个包装盒，ABCD 是边长为102cm 的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得,,,A B C D 四个点重合于图2中的点P ，正好形成一个
正四棱锥形状的包装盒（图2所示），设正四棱锥P-EFGH 的底面边长为 x （cm ）.
(1) 若要求包装盒侧面积S 不小于752cm ，求x 的取值范围；
(2) 若要求包装盒容积3
()V cm 最大，试问x 应取何值?并求出此时包装盒的容积。

19、已知函数22
()(2)ln 1().2
a f x ax x x x a R =++
+∈ （1） 若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间； （2） 若函数()f x 在区间（1，e ）上有零点，求实数a 的取值范围。

20、设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{}n A ，{}n B 满足：存在正数L,当n m ≤时，都有n n A B L -≤，则称数列{}n A ，{}n B 是“(,)m L 接近的”。

已知无穷数列{}n a 满足32841a a ==，无穷数列{}n b 的前n 项和为1,1n S b =，且
11()1
,*.2
n n n n n S b b n N b b ++-=∈
（1） 求数列{}n a 的通项公式；
（2） 求证：对任意正整数m,数列{}n a ，{}
21n a +是“(,1)m 接近的”
； （3） 给定正整数m(m ≥5),数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，{}2n b k +（其中k R ∈）是“(,)m L 接近的”
，求L 的最小值，并求出此时的k(均用m 表示)。

（参考数据ln 20.69≈）
附加题
21-1．已知点(,)a b 在矩阵1324A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到点（4,6）. （1）写出矩阵A 的逆矩阵； （2）求a+b 的值。

21-2.求圆心在极轴上，且过极点与点(23,
)6
P π
的圆的极坐标方程。

22.批量较大的一批产品中有30％的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X 表示这3个样品中的优等品的个数.
（1）求取出的3个样品中有优等品的概率； （2）求随机变量X 的概率分布及数学期望E(X).
23.设集合
{}1,2,A ={}1110|333,,0,1,2,
,n n n n n i A t t a a a a a A i n --==⋅+⋅+
+⋅+∈=,*.n N ∈
(1)求1A 中的所有元素的和，并写出集合n A 中元素的个数；（2）求证：能将集合n A (2,*)n n N ≥∈分成两个没有公共元素的子集{}12,,
,s s B b b b =和{}12,,,,,*l l C c c c s l N =∈，使得
22222
1212
s l b b b c c c ++
+=+++成立.。