【创新设计】2016-2017学年高中数学 第一章 统计案例练习 北师大版选修1-2

【创新设计】2016-2017学年高中数学第一章统计案例练习北师
大版选修1-2
1 回归分析题目击破
一、基本概念
函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
例1 下列变量之间的关系是相关关系的是________．
(1)正方形的边长与面积之间的关系；
(2)水稻产量与施肥量之间的关系；
(3)人的身高与年龄之间的关系；
(4)降雪量与交通事故发生率之间的关系．
分析两变量之间的关系有两种：函数关系和带有随机性的相关关系．
解析(1)是函数关系；(2)不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；(3)既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；(4)降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系．
答案(2)(4)
点评该例主要考查对变量相关关系概念的掌握．
二、线性回归方程
设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在一条直线的附近，这条直线就叫作回归直线．
例2
使用年限x 2345 6
维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.57.0
若由资料知y对x呈线性相关关系，试求：
(1)回归方程y＝a＋bx；
(2)估计使用年限10年时，维修费用是多少？
分析 因为y 对x 呈线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问题．
于是有b ＝90－5×4
2
＝1.23， a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08.
∴回归方程为y ＝1.23x ＋0.08.
(2)当x ＝10时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用10年时维修费用约是12.38万元．
点评 已知y 对x 呈线性相关关系，无须进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验． 三、非线性回归问题
分析非线性回归问题的具体做法是：
(1)若问题中已给出经验公式，这时可以将解释变量进行变换(换元)，将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．
(2)若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图像作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，将问题化为线性回归分析问题来解决． 下面举例说明非线性回归分析问题的解法．
例3 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，表中是这次抽查中所得到的各企业的人均
(1)设y 与x 之间具有近似关系y ≈ax b
(a ，b 为常数)，试根据表中数据估计a 和b 的值； (2)估计企业人均资本为16万元时的人均产值(精确到0.01)．
解 (1)在y ≈ax b
的两边取常用对数，可得lg y ≈lg a ＋b lg x ，设lg y ＝z ，lg a ＝A ，lg
x ＝X ，则z ≈A ＋bX .
由公式(1)可得⎩
⎪⎨
⎪⎧A ＝－0.215 5，
b ＝1.567 7，
由lg a ＝－0.215 5， 得a ≈0.608 8，
即a ，b 的估计值分别为0.608 8和1.567 7. (2)由(1)知y ＝0.608 8x
1.567 7
.
样本数据及回归曲线的图形如图所示．
当x＝16时，y＝0.608 8×161.567 7≈47.01(万元)，故当企业人均资本为16万元时，人均产值约为47.01万元.
2 巧解非线性回归问题
如果题目所给样本点的分布不呈带状分布，即两个变量不呈线性关系，那么，就不能直接利用线性回归方程建立两个变量之间的关系，这时我们可以把散点图和已经学过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出与这些散点拟合最好的函数，然后利用变量置换，把非线性回归方程问题转化为线性回归方程的问题来解决，这是解决此类问题的通法，体现了转化思想．
一、案例分析
温度x/℃2345678
某项指标y 5.790 6.8108.19910.00112.19014.79017.801 试建立某项指标y关于温度x的回归模型，并判断你所建立的回归模型的拟合效果．
分析根据表中的数据画出散点图，再由图设出相应的回归模型．
解
画出散点图如图所示，样本点并没有分布在某个带状区域内，而是分布在某一条二次函数曲线y＝Bx2＋A的周围．
令X＝x2，则变换后的样本点应该分布在y＝bX＋a(b＝B，a＝A)的周围．
X 491625364964
计算得到线性回归方程为y ＝0.199 94X ＋4.999 03.
用x 2
替换X ，得某项指标y 关于温度x 的回归方程y ＝0.199 94x 2
＋4.999 03. 计算得r ≈0.999 997，几乎为1，说明回归模型的拟合效果非常好．
点评 本题是非线性回归分析问题，解决这类问题应该先画出散点图，把它与我们所学过的函数图像相对照，选择一种跟这些样本点拟合的最好的函数，然后采用适当的变量变换转化为线性回归分析问题，使之得以解决． 二、知识拓展
常见的非线性函数转换方法：
(1)幂型函数y ＝ax m
(a 为正数，x ，y 取正值)
解决方案：对y ＝ax m 两边取常用对数，有lg y ＝lg a ＋m lg x ，令u ＝lg y ，v ＝lg x ，则原式可变为u ＝mv ＋lg a ，其中m ，lg a 为常数，该式表示u ，v 的线性函数． (2)指数型函数y ＝c ·a x (a ，c >0，且a ≠1)
解决方案：对y ＝ca x
两边取常用对数，则有lg y ＝lg c ＋x lg a ，令u ＝lg y ，则原式可变为u ＝x lg a ＋lg c ，其中lg a 和lg c 为常数，该式表示u ，x 的线性函数．与幂函数不同的是x 保持不变，用y 的对数lg y 代替了y . (3)反比例函数y ＝k x
(k >0)
解决方案：令u ＝1
x
，则y ＝ku ，该式表示y ，u 的线性函数．
(4)二次函数y ＝ax 2
＋c
解决方案：令u ＝x 2
，则原函数可变为y ＝au ＋c ，该式表示y ，u 的线性函数． (5)对数型函数y ＝c log a x
解决方案：令x ＝a u ，则原函数可变为y ＝cu ，该式表示y ，u 的线性函数.
3 判断两个分类变量的关系
本章的重点是用独立性检验的基本思想对两个分类变量作出明确的判断，下面通过典例剖析如何判断两个分类变量的关系．
例 某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189
对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？
分析 首先由已知条件确定a 、b 、c 、d 、n 的数值，再利用公式求出χ2
的值，最后根据χ2
值分析结果．
解 由题目中表的数据可知：
χ2
＝n ad －bc 2a ＋c a ＋b c ＋d b ＋d
＝－40×
2
94×95×86×103
≈10.759.
因为10.759>6.635，所以有99%的把握说员工“工作积极”与“积极支持企业改革”有关，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．
点评 在列联表中注意事件的对应及有关值的确定，避免混乱；在判断两个分类变量的关系的可靠性时一般利用随机变量来确定；把计算出的χ2
的值与临界值作比较，确定出“A 与
B 有关系”的把握.
4 独立性检验思想的应用
在日常生活中，经常会面临一些需要推断的问题．在对这些问题作出推断时，我们不能仅凭主观臆断作出结论，需要通过试验来收集数据，并依据独立性检验思想做出合理的推断． 所谓独立性检验，就是根据采集样本的数据，利用公式计算χ2
的值，比较与临界值的大小关系来判定事件A 与B 是否有关的问题．其基本步骤如下：
(1)考察需抽样调查的背景问题，确定所涉及的变量是否为二值分类变量； (2)根据样本数据制作列联表；
(3)计算统计量χ2
，并查表分析．当χ2
很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有
充分的证据显示两个变量有关系．
下面举例说明独立性检验思想在解决实际问题中的应用．
例为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，统计结果为：患慢性气管炎共有56人，患慢性气管炎且吸烟的有43人，未患慢性气管炎但吸烟的有162人．根据调查统计结果，分析患慢性气管炎与吸烟在多大程度上有关系？
解
由列联表可以粗略估计出：有吸烟者中，有20.98%的患慢性气管炎；在不吸烟者中，有9.70%的患慢性气管炎．两个比例的值相差较大，所以结论“患慢性气管炎与吸烟有关”成立的可能性较大．
根据列联表中的数据，得到
χ2＝
－2
56×283×205×134
≈7.469>6.635.
所以有99%的把握认为“患慢性气管炎与吸烟有关”．
点评通过计算检验随机变量χ2，可以比较精确地给出这种判断的可靠程度．先收集数据，然后通过一些统计方法对数据进行科学的分析，这是我们用统计方法解决实际问题的基本策略．。