多元函数微分学练习题及答案

9、二元函数 z 3( x y) x 3 y 3的极值点是( ). 10、函数u sin x sin y sin z满足
x y z ( x 0, y 0, z 0)的条件极值是
2 ( ).
二、讨论函数 z
x x3
y y3
的连续性，并指出间断点类型.
三、在球面 x2 y2 z2 5R2 (x 0, y 0, z 0)上，求函数
xyz3 3 3R5,故 x2 y2 z6 27R10
令 x2 a, y2 b, z2 c, 又知 x2 y2 z2 5R2
则
abc3
27
a
b
c
5
a
0, b
0, c
0
5
四、1、
z x (ln y) x ln y1 ,
zy
ln x y
x ln y
2、ux
f1
yf
.
2
( yz xyzx ) f3 ,
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,
x2
o, x 2 y 2 0
y2
来自百度文库
0
五、(
f1
f2 )dx
y (z) 1
f x, y, z ln x ln y 3ln z 的最大值，并利用所得结果
证明不等式
abc3 27( a b c)5 (a 0,b 0, c 0). 5
四、求下列函数的一阶偏导数:
1、 z xln y ；
2、u f ( x, xy, xyz), z ( x, y)；
x2 y
3、
f
( x,
y)
x
2
y2
0
x2 y2 0 . x2 y2 0
五、设u f ( x, z),而z( x, y)是由方程z x y (z)所 确的函数,求du .
六、设 z (u, x, y), u xe y,其中 f 具有连续的二阶偏导 数,求 2 z . xy
练习题答案
一、1、C(C 为常数)； 2、（A）1 x 2 y 2 4； 3、 x (1 y)2 y
三. 设Lx, y, z, ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 )
求得此函数定义域内唯一的稳定点R，，R 3R ， 也是所 求函数的最大值点， 所求最大值为f R, R, 3R ln 3 3R5 .
ln x ln y 3ln z ln 3 3R5
一. 填空:
练习题
1、设在区域D上函数 f 存在偏导数，且 fx f y 0
则在D上，f（x, y）（ ）
2 、 二 元 函 数 z ln 4 arcsin 1 的 定 义 域 是
x2 y2
x2 y2
( ).
3、设 f ( xy, x ) ( x y)2,则 f ( x, y) ( ). y
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
y2 )sin
x2
1
y2
,
0, x 2 y 2 0
则在原点(0,0)处 f ( x, y)( ).
x2 y2 0
7、设 z f ( x, v), v v( x, y)其中 f , v 具有二阶连续偏
导数.则 2 z ( ). y 2
8、曲面 xyz a 3 (a 0)的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积 V=( ).
f2 (z) dy. y (z) 1
六、 xe2 y fuu e y fuy xe y f xu f xy e y fu.