选修4-4-第1节几何证明选讲配套资料教师用书+教案

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高考数学总复习：选修4 1《几何证明选讲》1

逻辑不严密：在证明过程中逻辑链条可能不严密导致结论不成立或出现漏洞。
忽视隐含条件：在几何问题中有时会存在一些隐含条件如果忽视这些条件可能会导致证明过程出错。
图形绘制错误：在解题过程中如果图形绘制不准确可能会导致证明过程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从已知条件出发按照严格的逻辑规则推出结论的思维方式。
归纳推理：从大量具体事例中概括出一般原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。反证法：通过否定结论来证明结论的方法。演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解计算机科学：算法设计和数据结构的基础经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导得出结论
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确定思路：根据题意和已知条件选择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
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几何证明在经济学中的应用：在金融、统计学、市场分析等领域中几何证明可以用来证明经济理论和模型的正确性以及解释

选修4-4-1几何证明选讲

2
ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－2＝0 x2＋y2－2x－2y－2＝0 (x－1)2＋(y－1)2＝4
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
x2＋y2－2x－2y－2＝0 (2) 2 2 x ＋y ＝4 ②
解
①
②－①得 2x＋2y＝2 即 x＋y＝1 ρcosθ＋ρsinθ＝1
π θ ＋ 2ρsin 4＝1 π 2 ρsin θ＋4 ＝ 2 .
【跟踪训练】
π 2．已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ＝2，ρ －2 2ρcosθ－4＝2.
2
(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；
解 (1)ρ＝2 即 ρ2＝4，x2＋y2＝4

π ρ2－2 2ρcosθ－4＝2 2 2 ρ －2 2ρ cosθ＋ 2 sinθ＝2 2
(2)极坐标
一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数．
(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与 (ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)θ∈R，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数 θ)表示的点也是唯一确定的． 2．极坐标与直角坐标的互化设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：种表示．表示；同时，极坐标(ρ，如果规定 ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 (ρ，θ)
ρ ＝x ＋y ， x＝ρcosθ， y ρ sin θ y ＝； tan θ ＝ xx≠0.
222来自典例2解＝r.
(1)化圆的直角坐标方程 x2＋y2＝r2(r>0)为极坐标方程；

一轮复习精品讲义：选修4-1-几何证明选讲资料

选修4－1 几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质考点一平行线分线段成比例定理的应用1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．[提醒] 在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误．[题组练透]1.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点，∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.2．如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MHAH ， ∴x 4＝3－32x3＝2－x 2，解得x ＝43.3.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EFBC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝ACAC ＝1.[类题通法]对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，从而解决问题．解题时要充分利用中点来作辅助线，建立三角形的中位线或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理．考点二相似三角形的判定及性质[必备知识] 1．相似三角形的判定定理判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．2．相似三角形的性质定理性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．[提醒]在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．[典题例析]如图，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．解：(1)因为DE⊥BC，D是BC的中点，所以EB＝EC，所以∠B ＝∠BCE.又因为AD＝AC，所以∠ADC＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.(2)如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.[类题通法]证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系．有的证明起来比较简单方便，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力．对计算问题则要灵活使用有关定理，掌握相似三角形的性质定理．[演练冲关](2015·浙江模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3，CD ＝4.过AC 与BD 的交点O 作EF ∥AB ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，求EF 的长．解：因为AB ∥CD ，EF ∥AB ，所以△EDO ∽△ADB ，因此有EO AB ＝OD BD ，又AB ＝3，CD ＝4，不妨设DO ＝4m ，OB ＝3m ，EO AB ＝OD BD ＝47，因此可得EO＝127，则EF＝247.考点三射影定理的应用[必备知识]射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．[提醒]射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[典题例析]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，试证明：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.证明：(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴S△ABC＝12AB·AC＝12BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.[类题通法]1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．[演练冲关]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，若AB∶AC＝2∶1，求AD∶BC.解：设AC＝k，则AB＝2k，BC＝5k，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AC2＝CD·BC，∴k2＝CD·5k，∴CD＝55k，又BD＝BC－CD＝455k，∴AD2＝CD·BD＝55k·455k＝45k2，∴AD＝255k，∴AD∶BC＝2∶5.1．如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，求S△CDE.解：∵EC∥AD，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD .∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，得S △CDE＝ 3.2．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值．解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2，CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.3．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC 的值．解析：∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AE AE ＋CN. ∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE2AE ＋BC.∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6，∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4．已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：(1)△BPE ∽△CPF; (2)△EFP ∽△BCP .证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ， ∴∠BFC ＝∠CEB . 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△BPE ∽△CPF .(2)由(1)得△BPE ∽△CPF ， ∴EP BP ＝FP CP .又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .5.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N .在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ， ∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ，∴AE AF ＝DE DN .又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF ，即AE ·BF ＝2DE ·AF .6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF 有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AMAF . 对△MBN 有AB AM ＝BDDN ，因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC 有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .7.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ；(2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23.又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°得∠EFC ＝90°，故EF ⊥BC . (2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF ， ∴△ADE ∽△FBE ，所以∠ADE ＝∠EBC .8．如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF ∥AD ，假设EF 做上下平行移动．(1)若AE EB ＝12，求证：3EF ＝BC ＋2AD ；(2)请你探究一般结论，即若AE EB ＝mn ，那么你可以得到什么结论？解：过点A 作AH ∥CD 分别交EF ，BC 于点G ，H .(1)证明：因为AE EB ＝12，所以AE AB ＝13.又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ＝13，即3EG ＝BH .又EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝EF ，从而EF ＝13(BC －HC )＋AD ，所以EF ＝13BC ＋23AD ，即3EF ＝BC ＋2AD .(2)因为AE EB ＝m n ，所以AE AB ＝m n ＋m. 又EG ∥BH ，所以EG BH ＝AE AB ，即EG ＝m m ＋nBH . 所以EF ＝EG ＋GF ＝EG ＋AD ＝m m ＋n(BC －AD )＋AD ，所以EF ＝m m ＋n BC ＋n m ＋nAD ，即(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD .第二节直线与圆的位置关系考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题 [必备知识]1．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．3．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．圆的切线的性质及判定定理性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．[提醒]圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题．[题组练透]1.(2015·湖北黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD.解：因为AC为圆的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE 是圆O 的直径，则∠BAE ＝90°，所以△ADF 是等腰直角三角形．所以∠ADF ＝∠AFD ＝45°.2.如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC .过点A作圆的切线与CB 的延长线交于点E .若AB ＝AD ＝5，BE＝4，求弦BD 的长．解：因为在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC ，所以AD ＝BC ，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠ABE ＝∠BCD .所以∠BAD ＋∠ABE ＝180°.又因为AE 为圆的切线，所以AE 2＝BE ·EC ＝4×9＝36，故AE ＝6.在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠ABE ＝AB 2＋BE 2－AE 22AB ·BE＝18， cos ∠BAD ＝cos(180°－∠ABE )＝－cos ∠ABE ＝－18，在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝2254，所以BD ＝152.3．(2014·江苏高考)如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB ＝∠D .证明：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.[类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二圆内接四边形的性质及判定[必备知识] 圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1：圆的内接四边形的对角互补．性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．[提醒]利用其性质或判定定理解决四点共圆问题时，要弄清四边形的外角和它的内对角的位置．注意圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及与垂径定理的联系与应用．[典题例析](2015·开封模拟)如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长．解：(1)证明：连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE.∴C，D，E，F四点共圆．(2)∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD.∵GH是⊙O的切线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.又GH＝6，GE＝4，∴GF＝9.∴EF＝GF－GE＝9－4＝5.[类题通法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．(5)若AB ，CD 两线段相交于点P ，且P A ·PB ＝PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆．(6)若AB ，CD 两线段延长后相交于点P ，且P A ·PB ＝PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆．(7)若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆．[演练冲关](2015·银川模拟)如图，在正△ABC 中，点D ，E分别在边AC ，AB 上，且AD ＝13AC ，AE ＝23AB ，BD ，CE 相交于点F .(1)求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；(2)若正△ABC 的边长为2，求A ，E ，F ，D 所在圆的半径．解：(1)证明：∵AE ＝23AB ，∴BE ＝13AB .∵在正△ABC 中，AD ＝13AC ，∴AD ＝BE ，又∵AB ＝BC ，∠BAD ＝∠CBE ，∴△BAD ≌△CBE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADF ＋∠AEF ＝π，所以A ，E ，F ，D 四点共圆．(2)如图，取AE 的中点G ，连接GD ，则AG ＝CE ＝12AE .∵AE ＝23AB ，∴AG ＝GE ＝13AB ＝23，∵AD ＝13AC ＝23，∠DAE ＝60°，∴△AGD 为正三角形，∴GD ＝AG ＝AD ＝23，即GA ＝GE ＝GD ＝23，所以点G 是△AED 外接圆的圆心，且圆G 的半径为23.由于A ，E ，F ，D 四点共圆，即A ，E ，F ，D 四点共圆G ，其半径为23.考点三与圆有关的比例线段 [必备知识]1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．3．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．4．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．[提醒] 相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用．[典题例析](2014·新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.证明：(1)连接AB，AC.由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC＝∠BAD，从而 BE＝ EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.因为P A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[类题通法]以圆为载体与三角形、四边形相结合的综合性题目，往往要综合运用多个定理以及添加相应的辅助线才能解决，在解题时要注意总结一些添加辅助线的技巧．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理．[演练冲关](2015·大同调研)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于D ，DE ⊥AC 交AC 延长线于点E ，OE 交AD 于点F .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AC AB ＝35，求AF DF 的值．解：(1)证明：连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD .∵∠BAC 的平分线是AD ，∴∠OAD ＝∠DAC ，∴∠DAC ＝∠ODA ，可得OD ∥AE .又∵DE ⊥AE ，∴DE ⊥OD .∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．(2)连接BC ，DB ，过D 作DH ⊥AB 于H ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，Rt △ABC 中，cos ∠CAB ＝AC AB ＝35∵OD ∥AE ，∴∠DOH ＝∠CAB ，∴cos ∠DOH ＝cos ∠CAB ＝35.∵Rt △HOD 中，cos ∠DOH ＝OH OD ，∴OH OD ＝35，设OD ＝5x ，则AB ＝10x ，OH ＝3x ，∴Rt △HOD 中，DH ＝OD 2－OH 2＝4x ，AH ＝AO ＋OH ＝8x ，Rt △HAD 中，AD 2＝AH 2＋DH 2＝80x 2.∵∠BAD ＝∠DAE ，∠AED ＝∠ADB ＝90°，∴△ADE ∽△ABD ，可得AD AE ＝AB AD ，∴AD 2＝AE ·AB ＝AE ·10x .而AD 2＝80x 2，∴AE ＝8x又∵OD ∥AE ，∴△AEF ∽△DOF ，可得AF DF ＝AE DO ＝85.1．(2014·重庆高考改编)过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 分别交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，求AB 的长．解：如图所示，由切割线定理得P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CP A ，故△APB ∽△CP A ，则AB CA ＝AP CP ，即AB 8＝63＋9，解得AB ＝4.2.(2015·广州综合测试)如图，PC是圆O的切线，切点为点C，直线P A与圆O交于A，B两点，∠APC的角平分线交弦CA，CB于D，E两点，已知PC＝3，PB＝2，求PEPD的值．解：由切割线定理可得PC2＝P A·PB⇒P A＝PC2PB＝322＝92，由于PC切圆O于点C，由弦切角定理可知∠PCB＝∠P AD，由于PD是∠APC的角平分线，则∠CPE＝∠APD，所以△PCE ∽△P AD，所以PEPD＝PCP A＝392＝3×29＝23.3.如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.(1)求证：BE·DE＋AC·CE＝CE2.(2)若D是BE的中点，求证E，F，C，B四点共圆．证明：(1)由割线定理得EA·EC＝DE·BE，∴BE·DE＋AC·CE＝EA·CE＋AC·CE＝CE2，∴BE·DE＋AC·CE＝CE2.(2)如图，连接CB，CD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ECB＝90°，∴CD＝12EB.∵EF⊥BF，∴FD＝12BE.∴E，F，C，B四点与点D等距离．∴E，F，C，B四点共圆．4．(2015·忻州模拟)如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接EC ，CD .(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．解：(1)证明：如图，连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB .∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．(2)由弦切角定理得∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ，∴△BCD ∽△BEC ，∴BC BE ＝BD BC ＝ CD EC .∵tan ∠CED ＝CD EC ＝12，∴BC BE ＝ BD BC ＝CD EC ＝12，设BD ＝x ，则BC ＝2x ，∴BC 2＝BD ·BE ，即(2x )2＝x (x ＋6)， ∴BD ＝2，∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5.5．(2014·辽宁高考)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA＝∠PF A.由于AF⊥EP，所以∠PF A＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.6．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E;(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD .所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE .又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E .由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形．7．(2015·洛阳模拟)在圆内接四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，过点A 作圆的切线交CB 的延长线于点F ，若AB ＝AD ，AD ∥FC ，AF ＝18，BC ＝15，求AE 的长．解：∵AF 是圆的切线，且AF ＝18，BC ＝15，∴由切割线定理知AF 2＝FB ·FC ，即182＝FB ·(FB ＋15)，解得FB ＝12.∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB .又∵AF 是圆的切线，∴∠F AB ＝∠ADB .则∠F AB ＝∠ABD ，∴AF ∥BD ，又∵AD ∥FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形，∴AD ＝FB ＝12.又∠ACF ＝∠ADB ＝∠F ，∴AC ＝AF ＝18.∵AD ∥FC ，∴AE 18－AE＝AD BC ，解得AE ＝8. 8.(2015·山西模拟)如图所示，P A 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，P A ＝10，PB ＝5，∠BAC 的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .(1)求证：AB AC ＝P A PC ；(2)求AD ·AE 的值．解：(1)证明：∵P A 为圆O 的切线，∴∠P AB ＝∠ACP ，又∠P 为公共角，∴△P AB ∽△PCA ，∴AB AC ＝P A PC .(2)∵P A 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线，∴P A 2＝PB ·PC ，∴PC ＝20，BC ＝15，又∵∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225，又由(1)知AB AC ＝P A PC ＝12，∴AC ＝65，AB ＝35，连接EC ，则∠CAE ＝∠EAB ，∴△ACE ∽△ADB ，AB AE ＝AD AC ，∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝35×65＝90.。

高考数学一轮复习教学案：选修4-1几何证明选讲

2．平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的 ________成比例．
推论平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延长线 )所得的 ________成比例．
3．相似三角形的判定及性质
(1)相似三角形的判定定义 ______ 相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
相似三角形对应边的
比值叫做相似比 (或相似系数 )．预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边
(或两边的延长线 )相交，所构成的三角
形与原三角形相似．判定定理 1 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 ______
对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．判定定理 2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应
(1)B， C， D， E 四点共圆； (2)AB·AD＝ AC·AE.
一、平行线分线段成比例定理的应用
【例 1】如图，在△ ABC 中， D 为 BC 中点， E 在 CA 上且 AE ＝2CE， AD ， BE 相交
于点
F
，求
AF FD
，
BF FE.
方法提炼 1．在解答与比例问题有关的题目时，可通过构造平行线，结合平行线分线段成比例定理去证明． 2．作平行线的方法： (1) 利用中点作出中位线可得平行关系； (2)利用已知线段的比例关系，作相关线段的平行线．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果．提醒：对于乘积式，有时需要转化为比例式，再借助于上述方法去解决．请做演练巩固提升 3 二、射影定理的应用【例 2】如图，圆 O 的直径 AB＝ 10，弦 DE ⊥ AB，垂足为点 H ，且 AH＜ BH ，DH ＝ 4.

高中数学选修4-1《几何证明选讲》全套教案(55页)(经典)

高中数学选修 4-1 全套教案
一平行线分线段成比例定理
教学目的： 1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。教学过程：（一）旧知识的复习利用投影仪提出下列各题使学生解答。 1．求出下列各式中的 x：y。
（二）新知识的教学
1．提出问题，使学生思考。
在已学过的定理中，有没有包含过三角形一边的中点
与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答
不出，那么利用图 1（若 E 是 AB 中点，EF//BC，交 AC 于 F 点，
则 AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出 AE AF 1 ， EB FC 1
已知：如图 6,AB=3,BC=5,DB=4.5，求 BF。
已知：如图 7,AB=3,BC=5,DF=10，求 DE。已知：如图 8,AB=a，,BC=b，DF=c，求 EF。 5、例 2 讲解：(略）分析：已知是给出了"上：下"的比的形式，而结论是求"上：全"，故考虑运用合
比性质。三、小结：1、平行线分线段成比例定理的证明可通过平行线等分线段定理来证明，平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； 2、在运用定理解题时，一定要注意“对应线段”，在确定左、右时，可以线段的第一个端点来定左、右四、作业
三条平行线 l1// l2 // l3 在直线 k1 、 k2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1B2 、 B2 B3 ，如果

普通高中课程标准实验教科书数学选修4-1几何证明选讲简介.

1．把握教学要求，控制教学难度 • 主要目的是通过证明一些反映圆与直线关系的重要定理，以及对圆锥曲线性质的探索，提高学生空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力，并不是要对几何证明进行全面的复习和提高，因此，教学中一定要注意控制难度，不在几何难题上做文章。
2．加强“过程性”，使数学思想方法的学习和数学能力培养落在实处注意根据教科书安排的学习线索，使学生有机会经历定理的发现过程和证明过程，并要适时地引导学生总结和概括相应的思想方法。特别要注意在“研究什么问题”和“如何研究这些问题”上多做引导。一定要避免为了让学生多做几个几何证明题而忽视定理的发现过程的做法。
3．加强推理能力的培养
• 推理包含逻辑推理与合情推理，措施： • 加强几何定理的产生过程，使合情推理的成分得到有效渗透，在得到几何定理的猜想中训练合情推理能力； • 给出证明几何定理的严格的逻辑推理过程示范，让学生有学习和模仿的范例； • 及时总结和概括推理的思想方法，如分析法、综合法、反证法、同一法等，以及分类思想、化归思想、猜想与证明、从特殊到一般等等。
第二讲以“圆周角定理”和“圆的切线概念”为起点，采用从特殊到一般的思想方法，得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其证明，圆的切线的性质和判定的有关定理；第三讲以“平行射影”为起点，充分利用图形直观，对圆锥曲线的性质进行讨论，用综合几何的方法认识圆锥曲线，这是以往教材中没有涉及的内容。
特点： • 知识的发生是在类比“任意三角形都有外接圆”而提出的，做到了自然而水到渠成； • 从性质到判定，因有较多的条件可用，易于发现四边形内接于圆时的特征，方向性好； • 性质定理的考察中，运用了从特殊到一般的思路； • 判定定理的证明要同时用到分类讨论和反证法，教科书采取启发式讲授法，先讲证明，再归纳总结思想方法； • 让学生独立证明判定定理的推论。

几何证明选讲(选修4-1)

[回访名题] (2014· 云南统检)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点 A，且 AC＝AB，CO 与⊙O 相交于点 P，CO 的延长线与⊙O 相交于点 F，BP 的延长线与 AC 相交于点 E.
AP FA (1)求证：＝； PC AB (2)设 AB＝2，求 tan ∠CPE 的值．
(2)∵C，D，E，F 四点共圆， ∴GE· GF＝GC· GD. ∵GH 是圆 O 的切线，∴GH2＝GC· GD，
∴GH2＝GE· GF，又 GH＝8，GE＝4，∴GF＝16， ∴EF＝GF－GE＝12.
相交弦定理、切割线定理及其推论的应用非常广泛、常见 (1)找过渡乘积式证明等积式成立． (2)为三角形相似提供对应边成比例的条件． (3)利用等积式来证明有关线段相等．
∵PF＝AB＝AC＝2， ∴CP· (CP＋2)＝4，即 CP2＋2CP－4＝0. 解得 CP＝－1± 5. ∵CP>0，∴CP＝ 5－1. 根据已知，得△FAP 是以 FP 为斜边的直角三角形． AP FA AP PC 由(1)知，PC＝AB，AB＝2.∴ FA ＝AB . 5－1 AP PC ∴tan ∠F＝ FA ＝AB ＝ 2 . ∵在⊙O 中，直径 AB 与直径 FP 相交于点 O，
3．(2014· 新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为 PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：
(1)BE＝EC； (2)AD· DE＝2PB2.
证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠ PDA.
AE 1 AE (2)在平行四边形 ABCD 中，因为 EB＝2AE，所以＝＝， AB 3 CD S△CDF CD CD 故 AE ＝3.因为 AE∥CD，所以△AEF∽△CDF，所以＝ AE S△AEF

新课标人教A版数学选讲4-1几何证明选讲二

几何证明选讲教学设计考试要求1、了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理；2、理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；3、掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．教材分析这是新课程选修课程的一个新的内容，本专题的内容包括相似三角形的进一步认识、圆的进一步认识．平行线等分线段定理是在“一组平行线”只取三条这种最简单的情况下证明的，证明的方法是借助梯形常用的辅助线把梯形分成平行四边形和三角形，用平行四边形和三角形的知识进行证明．平行截割定理是平行线等分线段定理的一般情形，是研究相似形最重要和最基本的理论，其证明体现了化归的思想，把它应用在三角形上就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础．圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，将圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时，就得到弦切角，圆周角定理和弦切角定理的证明都体现了分类讨论的思想，体现了从特殊到一般的思维过程．相交弦定理、割线定理、切割线定理合称“圆幂定理”，在有关的计算和证明中起着重要的作用．本讲的内容在初中已经通过观察、实验和操作的方法初步了解，这里不仅是对初中知识的深化，更侧重于逻辑推理与抽象思维．在几何证明的过程中，不仅包含了逻辑演绎的程序，还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程，因此本章是考查推理能力和逻辑思维能力的好资料，在平时的训练中要熟悉基本图形和基本结论，善于归纳总结，提高运用几何方法解决问题的能力．第一讲平行线等分线段定理和平行截割定理教学目标知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理.过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。

情感态度价值观：基本数学思想是比例及其性质的应用，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

选修4-1几何证明选讲

分析: 分别在△ABC及△ADC中利用平行线分线段成比例定理的推论
A
证明在 AB 中 , CDE,/A /B B A CC F
ADAE D
E
在 AD 中 , CEF/,A A /CD F D A AC EB
C
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项
a
14
例4：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
BC EF AC DF
合比
? ABBC AC DE EF DF
BC AC EF DF
AB DE AC DF
a
9
平行线等分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
a
10
推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
l l
A
l1
l
l
E
D l1
预备定理得:
△ADE∽△ABC
A
∵∠ADE=∠B,∠B=∠B
∴∠ADE=∠B
B
C A
∵∠A=∠A, AD=AB ∴△ADE≌△ABC
∴△ABC∽△ABC a
D
E
B
C
24
判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三
角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.
简述:两边对应成比例且夹a 角相等,两三角形相似25
B
C
符号语言：
∵在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
a
5
例1:D、E 分别是△ABC中AB边和AC

几何证明选讲教学指导新课标选修4-1

几何证明选讲教学指导在全省高中数学选修模块教学研讨会上对选修系列4教学指导研讨的发言吴公强按照我省及宁夏回族自治区高中数学选修４专题系列选课方案，及０７年高考说明的要求，我省统一选学４－１几何证明选讲４－２矩阵与变换４－４坐标系与参数方程４－５不等式选讲四门课程，以下我代表中心组就这四门课程的定位、教学目标、教学法及复习迎考建议，借这个机会分专题同同志们一起进行研讨．关于选修4-1专题：几何证明选讲的教学研究一、学习本课程已有的相关知识准备（一）初中具体目标1．图形的认识(1)点、线、面通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的）。

（2）角①通过丰富的实例，进一步认识角。

②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换算。

③了解角平分线及其性质【1】角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上。

（3）相交线与平行线①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。

②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。

③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

④了解线段垂直平分线及其性质【1】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。

⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。

（4）三角形①了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。

②探索并掌握三角形中位线的性质。

③了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。

五与圆有关的比例线段-人教A版选修4-1几何证明选讲教案

五与圆有关的比例线段-人教A版选修4-1 几何证明选
讲教案
教案目标
1.能够理解圆的定义、性质；
2.能够根据给定条件证明圆的性质；
3.能够运用圆的性质解决相关问题。

教学重点
1.圆的定义和性质；
2.线段比例的性质。

教学难点
1.如何证明圆内接角等于该角对应的弧的一半。

教学方法
1.自主探究法；
2.案例分析法。

教学过程
1. 引入
教师用白板或PPT展示一张圆形图片，让学生自主分析，如何定义圆、圆的性质等。

2. 自主探究
学生自主尝试解决以下问题：
给定圆O，∠ACB 为其内接角，弧AB 对应的圆心角为α，弧ACB 对应的圆心角为β，求证：∠ACB 等于弧AB 的一半，即∠ACB = 0.5α。

学生可自行思考、讨论、尝试证明此结论。

3. 全班讨论
教师对学生的证明进行点评、总结，让学生一起讨论解决其他类似问题的证明方法。

4. 案例分析
例：点P、Q 在圆内，分别交弧AB、AC 和弦 BC 于点M、N。

若 BM：AM = 7：5，CN：AN = 3：2，求证：PQ 与 BC 平行。

教师和学生一起探究如何使用线段比例的性质来证明此结论，并讨论如何解决类似问题。

5. 课后拓展
让学生自主寻找与圆有关的证明题目，并在下节课适当的时间讨论。

课堂小结
教师对上节课讲解的圆的定义和性质进行复习，并总结线段比例的性质的应用方法。

课堂作业
1.完成课本练习题；
2.寻找一些与圆有关的证明题目，并尝试解决。

选修4 1 几何证明选讲复习教案

选修4 1 几何证明选讲复习教案选修4-1几何证明选讲复习教案第一节相似三角形的判定及相关性质考纲下载1.理解平行线切割定理2．会证明并应用直角三角形射影定理．1.平行线切割定理（1）平行线平分定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：一条穿过三角形一边中点并平行于另一边的直线必须将第三边等分推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线切割两条直线，相应的线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定定理（1）判断定理1：两个角相等，两个三角形相似(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．(3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．3.相似三角形的性质定理（1）性质定理：相似三角形的对应高度比、对应中线比、对应角平分线比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4.直角三角形相似性判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．(2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5.直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．平行线切割定理的应用[实例1 ]（从2022广东高考）摘录在图中。

在平行四边形ABCD中，点E是AB和EB＝2AE，区域Ac和De。

△ CDF与点F相交△aef的面积△ CDF区域？光盘2.ab？二[听前试做]由cd∥ae，得△cdf∽△aef，于是＝＝＝9.△ AEF区域？是吗？？ae？方法规律平行线切割定理的作用平行线截割定理一方面可以判定线段成比例；另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比．如图所示，在梯形ABCD中，ab‖CD，ab=4，CD=2，e和F分别是AD和BC上的点，EF=3，EF‖ab，计算梯形EFF和梯形efcd的面积比1解决方案：从CD=2，ab=4，EF=3，EF=（CD+ab），所以EF是梯形ABCD的中线，2十一则梯形abfe与梯形efcd有相同的高，设为h，则s梯形abfe∶s梯形efcd＝(3＋4)h∶(2＋3)h22＝7∶5.考点二【示例2】（2022沈阳模拟）如图所示，AB是⊙ o、直线CD和⊙ o与e相切，ad 与D垂直，BC与C垂直，EF与AB和F垂直，连接AE和be相似三角形的判定与性质证据：（1）∠ 二月=∠ 行政首长协调会；（2） ef2＝adbc。

北师大版数学选修44 第一章教师用书

【综合评价】通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标(有序数组)、曲线与方程建立了联系，实现了数形结合，这些数所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标系下的方程也有不同形式．因此我们研究几何图形时可以根据需要选择不同的坐标系．本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和球坐标系，其中极坐标系是重点内容，同学们要认真领会极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义.【学习目标】1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用.2.通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.【学习计划】1.坐标系(1)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(2)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论. 2.平面直角坐标系的作用平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合. 3.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 【思维导图】【知能要点】1.回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用.2.了解建立坐标系的方法和原则.3.坐标伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.题型一平面直角坐标系坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起过划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.【例1】如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程.分析本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝2|PN|，即|PM|2＝2|PN|2，结合图形由勾股定理转化为|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12).设P(x，y)，由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0).由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0).【反思感悟】本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求动点P满足的条件.1.一种作图工具如图①所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN 通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图②所示的平面直角坐标系. 试求曲线C 的方程.解设点D (t ，0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON→|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎨⎧（x 0－t ）2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎨⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0. 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2.代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.【例2】如图所示，四边形ABCD 的四个顶点坐标分别为 A (－1，3)，B (－3，－2)，C (4，－2)，D (3，4)，求四边形ABCD 的面积.分析本例是帮助同学们进一步了解点的坐标.点的坐标还可以表示点到坐标轴的距离(点A (a ，b )到x 轴的距离为|b |，到y 轴的距离为|a |)，从而得出某些我们需要的线段的长度.将四边形ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，其中BE 的长度等于B 到y 轴的距离减去A 到y 轴的距离，AE 的长度为A 到x 轴的距离加上B 到x 轴的距离，依此类推可以求出DF ，CF ，EF 的长度，从而求出四边形ABCD 的面积.解作AE ⊥BC ，DF ⊥BC .垂足分别为E 、F .S △ABE ＝12·BE ·AE ＝2×52＝5；S △CDF ＝CF ·DF 2＝1×62＝3；S 梯形AEFD ＝（AE ＋DF ）·EF2＝（5＋6）×42＝22，所以四边形ABCD 的面积为5＋22＋3＝30.【反思感悟】本例是坐标系在几何图形中的应用，在求面积时要尽量利用图形中的垂直关系，将原图形分割求得面积.2.一直角梯形的上、下底边分别为12和15，两腰分别为33和6，选择适当的坐标系，表示各顶点坐标及较短对角线的长.解如图所示，以D 为原点，CD 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，33)，B (12，33)，C (15，0)，D (0，0)， |BD |＝319.题型二坐标伸缩变换平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标的伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系理解.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换，展示了坐标法思想.在伸缩变换下，直线仍然变为直线，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，而椭圆可以变为圆，圆可以变为椭圆.【例3】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形.(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.分析根据变换公式，分清新旧坐标即可.解(1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.将其代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0.经过伸缩变换后，直线仍然是直线. (2)将⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆.【反思感悟】伸缩变换要分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用x ′，y ′表示.3.伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程.解设P (x ，y )为曲线C 上任意一点.把⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y 代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1.故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1. 【例4】求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.分析求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆.解设变换为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，可将其代入第二个方程，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.与4x 2＋9y 2＝36比较，将其变为436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，μ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.【反思感悟】对于图形的伸缩变换问题，只要搞清新旧坐标，区别x ，y 和x ′，y ′，比较公式中的系数即可.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足图像变化的伸缩变换. 解 x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为 (x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②两式得x ′－2＝x －42，y ′＝3y .故所求伸缩变换为：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y.1.已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程. 解 (代入法)设A (a ，0)，B (0，b )，M (x ，y )， ∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.①M 分AB －的比为12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12b1＋12＝13b .⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式，化简为x 216＋y 24＝1.2.已知B 村位于A 村的正西方向1公里处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m .但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？解解决这一问题的关键，在于确定遗址W 与地下管线m 的相对位置，如图所示，以A 为原点，正东方向和正北方向分别为x 轴和y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (－1 000，0).由W 位于A 的西北方向及|AW |＝400，得W (－2002，2002)，由直线m 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m 的方程是x －3y ＋1 000＝0.于是，点W 到直线m 的距离为|－2002－3·2002＋1 000|2＝100(5－2－6)≈113.6>100，所以，埋设地下管线m 的计划可以不修改.3.阐述由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换. 解 y ＝tan x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan 2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan 2x . 设y ′＝3tan 2x ′，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.将其代入y ′＝3tan 2x ′得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .[P 2思考交流]1.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2，3)，5为半径的圆的方程是什么？答 (x －2)2＋(y －3)2＝25.2.在平面直角坐标系中，以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的方程是什么？答 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2. [P 5思考交流]我国1990年至2019年的国内生产总值如表1－2(单位：亿元)表1—2特点.答统计图从表中统计数据可看到，我国的生产总值年年增长，1994～2019年增长较快，2019～2019年放慢了增长速度，2019年之后又以较快的速度增长. [P 6思考交流]1.观察例3(2)中y ＝sin x 的图像与(1)中y ＝2sin 3x 的图像，讨论它们的关系？答 y ＝sin x 的图像和y ＝2sin 3x 的图像可以通过伸缩变换相互得到： y ＝sin x 的图像――————————————→纵坐标不变横坐标缩短为原来的13得y ＝sin 3x 的图像―——————————―→横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍得y ＝2sin 3x 的图像. y ＝2sin 3x 的图像横坐标不变纵坐标缩短为原来的12得y ＝sin 3x 的图像.纵坐标不变横坐标伸长为原来的3倍得y ＝sin x 的图像 2.试将上述讨论引申为坐标轴单位长度任意伸缩的情况.答设函数y ＝f (x )与函数y ＝μf (ωx )(其中ω＞0，μ＞0)图像之间的关系为： y ＝μf (ωx )的图像.它们的图像可以通过伸缩变换相互得到. 【规律方法总结】1.建立平面直角坐标系，可以利用未知点满足条件的坐标形式，求点的轨迹方程.2.利用平面直角坐标系，可以将平面图形坐标化，进行证明或计算.3.在伸缩变换中，要分清新旧坐标，然后代入公式比较系数即可.4.在伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0）的作用下，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆，椭圆可以变成圆，我们可以把圆作为椭圆的特例.一、选择题1.▱ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D 的坐标是( ) A.(9，－1) B.(－3，1) C.(1，3)D.(2，2)解析由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标.设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧k AB ＝k DC，k AD ＝k BC，即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.，故D (1，3). 答案 C2.要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π12个单位 C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B. 答案 B3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋4y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A.25x 2＋36y 2＝1 B.9x 2＋100y 2＝1 C.10x ＋24y ＝1D.225x 2＋89y 2＝1解析将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 代入x ′2＋4y ′2＝1，得25x 2＋36y 2＝1，为所求曲线C 的方程. 答案 A4.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线解析设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，(λ，μ不为零).⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1μy ′－b 2＝r 2， 1λ2(x ′－λa )2＋1μ2(y ′－μb )2＝r 2， ∴（x ′－λa ）2（λr ）2＋（y ′－μb ）2（μr ）2＝1.此方程不可能是双曲线.答案 D 二、填空题5.△ABC 中，B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为__________.解析 ∵△ABC 的周长为10， ∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6>4.∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两端点，且2a ＝6，2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5. ∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1 (y ≠0).答案 x 29＋y 25＝1 (y ≠0)6.在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后的图形所对应的方程是____________. 解析代入公式，比较可得x ′24＋y ′29＝1. 答案 x ′24＋y ′29＝17.y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后曲线方程变为________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x 中得：13y ′＝cos 12x ′，即：y ′＝3cos 12x ′. 答案 y ′＝3cos 12x ′8.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为________h.解析以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40，0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2. 求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)，故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h. 答案 1三、解答题9.已知▱ABCD ，求证：|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).证明法一坐标法以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2， |AC |2＝b 2＋c 2， |BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )， |AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ， ∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).法二向量法在▱ABCD 中，AC→＝AB →＋AD →，两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →，同理得BD →2＝|BD →|2＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC →，以上两式相加，得|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB →＋BA →) ＝2(|AB→|2＋|AD →|2)，即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).10.通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换.解先通过平移变换⎩⎨⎧x ′＝x －1，y ′＝x ＋2把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为椭圆x ′29＋y ′24＝1.再通过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝x ′3，y ″＝y ′2把椭圆x ′29＋y ′24＝1变为单位圆x ″2＋y ″2＝1.由上述两种变换合成的变换是⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝13（x －1），y ″＝12（y ＋2）.习题1－1 (第7页)A 组1.由两点式写直线的方程为35x ＋36y －41＝0.2.直线x 6＋y4＝－2与x 轴、y 轴的交点坐标以及直线的斜率分别为(－12，0)、(0，－8)、－23.3.解 △ABC 是以∠A 为直角的直角三角形，且AB 平行于x 轴，AC 平行于y 轴. ∴∠A 的平分线的斜率为1，所在直线方程为x －y ＋1＝0. BC 所在直线的方程为4x ＋3y －29＝0，解⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，4x ＋3y －29＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝267，y ＝337.∠A 的平分线的长为1227.4.解法一由两点式写出直线AB 的方程为3x ＋y －6＝0. 将点C (4，－6)代入方程3×4＋(－6)－6＝0，点C 在直线AB 上， ∴A 、B 、C 在同一条直线上. 法二 ∵k AB ＝－3，k BC ＝－3 ∴A 、B 、C 三点在同一条直线上.5.解与x 轴交点令y ＝0，2x －10＝0，x ＝5，与y 轴交点令x ＝0，－5y －10＝0，y ＝－2， S △＝12×5×2＝5.6.证明如图：矩形OABC .设OA ＝a ，OC ＝b ，以O 为原点建立如图所示的直角坐标系.则O 、A 、B 、C 的坐标分别为(0，0)，(a ，0)，(a ，b )，(0，b )|OB |＝a 2＋b 2，|AC |＝b 2＋（－a ）2＝a 2＋b 2， ∴|OB |＝|AC |. 结论得证.7.解 (1)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2代入C 、D 两点得⎩⎨⎧（－1－a ）2＋1＝r 2，（1－a ）2＋9＝r 2，解得a ＝2，r ＝10， ∴方程为(x －2)2＋y 2＝10 (2)设圆心为(0，b )m 则5＝|b －6|，b ＝1或11，∴方程为x 2＋(y －1)2＝25或x 2＋(y －11)2＝25. (3)设方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， ∵过A 、B 两点，圆心在2x －y ＝3上，∴⎩⎨⎧（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，r ＝10. ∴方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. (4)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意可得⎩⎨⎧（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，b ＝2a ，r ＝|2a －b ＋5|1＋4，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b＝85，r ＝5，∴圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝5，图略.8.解以底边中点为原点，底边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设△ABC ，底边BC ＝8，高为AD ＝5，则B (－4，0)，C (4，0)，D (0，0)，A (0，5)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2则⎩⎨⎧（－4－a ）2＋b 2＝r 2，（4－a ）2＋b 2＝r 2，a 2＋（5－b ）2＝r 2，得a ＝0，b ＝910，r 2＝412100， ∴圆方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9102＝1 681100.9.解 |A 1F 1|＋|A 2F 1|＝2＋14＝16＝2a ，a ＝8， F 1(－6，0)，F 2(6，0)，c ＝6，∴b 2＝28. ∴椭圆标准方程为x 264＋y 228＝1. 10.解 (1)由题意知a 2＝8，b 2＝5，椭圆方程为x 28＋y 25＝1. (2)由题意知a ＝3b当焦点在x 轴上时a ＝3，b ＝1，椭圆方程：x 29＋y 21＝1；当焦点在y 轴上时b ＝3，a ＝9，椭圆方程：x 29＋y 281＝1. (3)由题意知c ＝23，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，P (5，－6)在椭圆上. ∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6b 2＝1，a 2－b 2＝12，解得a 2＝20，b 2＝8， ∴椭圆方程为x 220＋y 28＝1.11.略B 组1.证明 ∵圆直径的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，半径为（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）22∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 1＋y 222＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24，x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）42＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24，x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24－（x 1－x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）24－（y 1－y 2）24＝0， x 2－x (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 2－y (y 1＋y 2)＋y 1y 2＝0， (x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，∴圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 2.解由⎩⎨⎧（x －3）2＋（y －5）2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋（y －5）2＝1得x －54＝0，∴直线方程为x －54＝0.3.解以地球球心与距地最近点所在直线为x 轴，以最近点与最远点的中点为原点建立平面直角坐标系.则2a ＝6 636＋8 196＝14 832，a ＝7 416，a 2＝54 997 056， c ＝8 196－7 416＝780，∴b 2＝54 388 656.∴椭圆方程为x 254 997 056＋y 254 388 656＝1.§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念2.2 点的极坐标与直角坐标的互化1.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：如图在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系. (2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ). 当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值. 2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位. (2)互化公式：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）. 【思维导图】【知能要点】 1.极坐标系的四要素. 2.点的极坐标的写法. 3.极坐标和直角坐标的互化.题型一极坐标系的概念与点的极坐标1.极坐标系的概念极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③单位长度；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置. 2.点的极坐标每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置.其中，ρ是点M 的极径，θ是点M 的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋2k π) (k ∈Z )，另一类为(－ρ，θ＋2k π＋π) (k ∈Z ).在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时，就与极点重合，此时θ不确定.给定点的极坐标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点.但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式.由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系.这是极坐标与直角坐标的不同之处.如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系.【例1】写出图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π). 解对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E (9，0)，F (3，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π2. 【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了.(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.1.写出下列各点的极坐标.解 A (4，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，1312π，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，53π. 【例2】在极坐标系中，作出下列各点：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B (6，－120°)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π4，E (4，0)，F (2.5，180°). 解各点描点如图所示.【反思感悟】知道点的极坐标(ρ，θ)，我们可以先根据极角θ确定方向(射线)，然后根据ρ来确定距离，进而描出(ρ，θ)的对应点.2.在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3所在的位置. 解由图可得点A ，B ，C 的极坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π4.点D ，E ，F 的位置如上图所示.【例3】在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标可能是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4C.(23，π)D.(3，π)解析如图所示，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点.又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，|OC |＝23，∠AOC ＝π2，C对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2＝－π4，即C 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4. 答案 B【反思感悟】在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的，数形结合. 3.点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6解析当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找.描点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边.又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6. 直线θ＝π2，就是由极角为π2的那些点的集合.故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选择支没有这样的坐标.又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.答案 B题型二两点间的距离公式一般地，设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，由余弦定理可得到两点间的距离公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.【例4】已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积.解求两点间的距离可用如下公式： |AB |＝4＋16－2×2×4×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝12×2×4＝4.【反思感悟】求两点间距离可以直接套用公式，求三角形面积时可以结合公式S ＝12·ab sin θ考虑.4.若△ABC 的三个顶点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，判定△ABC 的形状. 解 AB ＝25＋64－2×8×5cos 5π3＝49＝7，BC ＝9＋64－2×8×3×cos π3＝7， AC ＝25＋9－2·3·5cos 4π3＝7，∴△ABC 为等边三角形.题型三极坐标与直角坐标的互化我们把极轴与平面直角坐标系xOy 的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，设P (x ，y )是平面上的任一点，如图所示，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.①从①可得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0） ② ①与②是平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)之间的换算公式.【例5】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点N 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标. 解 (1)x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－52. ∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－523，－52. (2)ρ＝（－3）2＋（－1）2＝2，tan θ＝－1－3＝33. 又∵点N 在第三象限，ρ>0.∴最小正角θ＝76π. 故点N 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76π. 【反思感悟】把极坐标化成直角坐标，直接代入公式即可；把直角坐标化为极坐标，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一般只要取θ∈[0，2π)，ρ>0即可.5.若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. (1)已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标.(ρ＞0，0≤θ＜2π)解 (1)x ＝4cos 5π3＝2，y ＝4sin 5π3＝－2 3. ∴直角坐标为(2，－23).(2)ρ1＝4＋4＝22，sin θ1＝－222＝－22，cos θ1＝222＝22，∴θ1＝7π4，∴(2，－2)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，ρ2＝15，sin θ2＝－1，cos θ2＝0，∴θ2＝3π2，∴(0，－15)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，3π21.在极轴上与点⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点的坐标是________.解析设所求点的坐标为(ρ，0)，则 ρ2＋（42）2－2×42ρcos π4＝5.即ρ2－8ρ＋7＝0，解得ρ＝1或ρ＝7.∴所求点的坐标为(1，0)或(7，0). 答案 (1，0)或(7，0)2.在直角坐标系中，已知点A (－3，33)，B (33，3). 将A 、B 两点的直角坐标化为极坐标.解直接根据互化公式，可得A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23π， B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π6.3.某大学校园的部分平面示意图如图所示.用点O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0))解以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示.由|OB |＝600 m ，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝90°，得|AB |＝300 m ，|OA |＝3003m ，同样求得|OD |＝2|OF |＝3002，所以各点的极坐标分别为O (0，0)，A (3003，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，E (300，π)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1502，3π4.4.已知点Q (ρ，θ)，分别按下列条件求出点P 的极坐标. (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点.解 (1)由于P 、Q 关于极点对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z ).所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z ). (2)由P 、Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z )，所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z ). [P 10练习]在极坐标中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)有什么关系？答关于极轴对称.设M 点坐标为(ρ，θ)，为直观，以极点为原点，以x 轴的正方向与极轴建立直角坐标系，不难看出与M 点关于y 轴对称的点M 1的坐标为(ρ，π－θ)M 1关于极点对称的点M 2的坐标为(－ρ，π－θ) 则M 2与M 关于极轴对称，如图所示. 【规律方法总结】1.建立极坐标系可以确定点的位置和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面内的点和极坐标一一对应.2.利用极坐标可以刻画点的位置，有时比直角坐标方便，在台风预报、测量、航空、航海中主要采用这种方法.3.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并且取相同的长度单位，平面内一点的直角坐标和极坐标可以进行互化. 一、选择题1.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4解析直接利用极坐标与直角坐标的互化公式. 答案 B2.已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于( ) A.32＋62B.32－62 C.36＋322D.36－322解析极坐标系中两点A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)的距离|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.答案 C3.在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( ) A.M 和N B.M 和G C.M 和HD.N 和H解析把极坐标写成最简形式M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，0，故M 、N 是相互重合的点. 答案 A4.在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3，则线段AB 中点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5π12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，5π12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π3 解析由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2π3知，∠AOB ＝π2，于是△AOB 为等腰直角三角形，所以|AB |＝22×2＝1，设线段AB 的中点为C ，则|OC |＝12，极径OC 与极轴所成的角为5π12，所以线段AB 中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5π12.答案 A5.一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P 1(－5，109°)，P 2(4，49°)，则这个三角形P 1OP 2的面积为( ) A.5 3B.10 3C.52 3D.10解析点P 1的坐标可写为(5，－71°)，则∠P 1OP 2＝120°，S △P 1OP 2＝12×4×5sin 120°＝5 3. 答案 A 二、填空题6.在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________.解析利用极坐标系中两点间距离公式. 答案57.在极坐标系中，点P (ρ，θ)与Q (－ρ，π－θ)的位置关系是________. 解析 Q 的极坐标可写成(ρ，－θ)，故与P (ρ，θ)关于极轴对称. 答案关于极轴对称8.直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________.解析 A 、B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32， k ＝－1，倾斜角为3π4，故直线与极轴的夹角为π4. 答案 π49.极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则(1)点A 关于极轴对称的点是________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________.(规定ρ>0，θ∈[0，2π)) 解析如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化.另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6三、解答题 10.在极坐标系中，(1)求A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π36，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43π36两点间的距离； (2)已知点P 的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R ，求满足上述条件的点P 的位置.解 (1)A ，B 在过极点且与极轴成7π36的直线上，它们位于极点的两侧， ∴|AB |＝5＋12＝17.(2)由于点P 的极径恒为ρ＝1，且θ∈R ，因此，点P 在以1为半径，极点为圆心的圆上.11.设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标.解如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列两种情形：(1)当θ＝30°时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝150°时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝210°时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝330°时，ρ＝30(万千米).彗星此时的极坐标有四种情形：⎝ ⎛⎭⎪⎫30，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫30，5π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫30，7π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫30，11π6.12.在极坐标系中，已知三点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，－π4，R (6，2π). (1)将P 、Q 、R 三点的极坐标化为直角坐标； (2)求△PQR 的面积.。

学习总结报告-苏教版选修4-1几何证明选讲教案

学习总结报告-苏教版选修4-1 几何证明选讲教案一、教学目标本节课的教学目标有：1.理解几何证明的方法和步骤2.掌握几何证明中需要使用的基本公理和定理3.学会运用几何证明方法解决实际问题通过本节课的学习，学生能够掌握准确、严谨的证明方法，以及更深入地理解和应用几何知识。

二、教学重难点本节课的教学重点和难点是：1.理解几何证明的过程和方法，掌握其中的细节和要点2.学习如何使用基本公理和定理进行推导3.解决部分难题，培养学生的思维能力和逻辑推理能力三、教学方法本节课的教学方法主要是以讲授为主、以问题为导向，注重启发式教学，引导学生探究和思考。

四、教学步骤4.1 导入通过概括和回顾上节课的内容，简要介绍本节课要讲解的内容和教学重点。

4.2 讲解首先，讲解几何证明的基本概念、方法和步骤，以及需要使用的基本公理和定理。

然后，以典型的几何问题为例，详细讲解证明的具体过程和注意事项，引导学生理解和掌握几何证明的方法和技巧。

4.3 实例演练通过实例演练，让学生亲自操作和尝试，巩固所学知识，提高解题能力。

教师可以设计多种不同难度和形式的实例，让学生逐步领悟证明的相关技巧和方法。

4.4 拓展练习通过一些挑战性的练习题，帮助学生深入掌握证明的过程和方法，并进一步提高思维能力和逻辑推理能力。

同时，积极鼓励学生自主思考和交流，从中发现和解决自己的问题，提高自学能力和团队协作能力。

4.5 总结回顾通过总结回顾本节课的整个教学过程，强化对所学知识的理解和掌握，加深印象，并帮助学生发现不足和问题，为下次课的学习和提高做好准备。

五、教学体会在教学实践过程中，我们发现通过严谨的证明方法和引导式教学，学生的学习效果显著提高，思维能力和逻辑推理能力也有大幅度的提升。

同时，我们也需要注意不同学生的学习需要和进度，及时进行差异化教学，以提高教学效果。

六、参考文献•高数几何证明方法，鲍嘉隆，清华大学出版社，2015年•初中数学教材，苏教版，人民教育出版社，2014年。