九年级数学下册第2章二次函数1复习课件新版北师大版
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北师大版九年级数学下册 第二章 二次函数 (章末复习)课件(共85张PPT)
－12b＋c＞0，故 414a－12b＋c＞0，即 a－2b＋4c>0 √ 由抛物线的对称轴为直线 x＝－2ba＝－13，知 a＝32b，而当 x＝－1
时，y＝a－b＋c＝32b－b＋c＞0，∴12b＋c＞0，∴b＋2c＞0
章末复习
专题三 求二次函数的表达式
【要点指导】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函数表达式时 常见的有三种形式：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)；顶点式y= a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶点坐标；交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线与x轴交点的横坐标.
章末复习
(2)求出每天的销售利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关 系式, 并求出当销售单价为多少时, 每天的销售利润最大, 并求出 最大销售利润； (3)若该公司要求每天的销售利润不低于4000元, 但每天的总成 本不超过6250元, 则销售单价最低可定为多少？
章末复习
解: (1)y=250-5(x-60), 即y=-5x+550(60≤x≤100). (2)W=(x-50)(-5x+550), 即W=-5x2+800x-27 500(60≤x≤100). 配方, 得W=-5(x-80)2+4500. ∵a=-5, ∴抛物线开口向下, ∴当x=80时, W有最大值, 为4500, 即当销售单价为80元/件时, 每天的销售利润最大, 最大销售利润为 4500元. (3)令W=4000, 则-5(x-80)2+4500=4000, 解得x1=70, x2=90. ∴当W≥4000时, x的取值范围为70≤x≤90. ∵50(-5x+550)≤6250, 解得x≥85, ∴x的取值范围为85≤x≤90, 即销售单价最低可定为85元/件.
时，y＝a－b＋c＝32b－b＋c＞0，∴12b＋c＞0，∴b＋2c＞0
章末复习
专题三 求二次函数的表达式
【要点指导】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函数表达式时 常见的有三种形式：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)；顶点式y= a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶点坐标；交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线与x轴交点的横坐标.
章末复习
(2)求出每天的销售利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关 系式, 并求出当销售单价为多少时, 每天的销售利润最大, 并求出 最大销售利润； (3)若该公司要求每天的销售利润不低于4000元, 但每天的总成 本不超过6250元, 则销售单价最低可定为多少？
章末复习
解: (1)y=250-5(x-60), 即y=-5x+550(60≤x≤100). (2)W=(x-50)(-5x+550), 即W=-5x2+800x-27 500(60≤x≤100). 配方, 得W=-5(x-80)2+4500. ∵a=-5, ∴抛物线开口向下, ∴当x=80时, W有最大值, 为4500, 即当销售单价为80元/件时, 每天的销售利润最大, 最大销售利润为 4500元. (3)令W=4000, 则-5(x-80)2+4500=4000, 解得x1=70, x2=90. ∴当W≥4000时, x的取值范围为70≤x≤90. ∵50(-5x+550)≤6250, 解得x≥85, ∴x的取值范围为85≤x≤90, 即销售单价最低可定为85元/件.
2-1 二次函数(课件)九年级数学下册(北师大版)
(4)y＝x－2＋x；
(5)y＝3(x－2)(x－5)； 解：二次函数有：(2)(5)
(6)y＝x2＋ 1 .
x2
y＝－5x2的二次项系数为5，一次项系数和常数项为0；
y＝3(x－2)(x－5)＝3x2－21x＋30
二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为30.
例题欣赏 ☞
例2. y m 3 xm27.
想一想
探索&交流
问题2：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面 积为 y，则 y 关于x 的关系式为 y=6x2 .
此式表示了正方体表面积y与正方 体棱长x之间的关系，对于x的每一 个值，y都有唯一的一个对应值， 即y是x的函数.
探索&交流
问题3：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面， 投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式 吗？ 设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应 为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
增种的棵树和平均每棵树结的橙子个数是变量.
增种的棵树是自变量,平均每棵树结的橙子个数是因变量.
探索&交流
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？ 这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100＋x)棵树,平均每棵树结(600－5x)个橙子.
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项.
详解 二次函数的特殊形式： 1.只含二次项，即y=ax2(b=0，c=0)； 2.不含一次项，即y=ax2+c(b=0，c≠0)； 3.不含常数项，即y=ax2+bx(b≠0，c=0).
北师大版九年级数学下册第二章二次函数(同步+复习)精品串讲课件
(1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少?
解： (1) y x(20 2 x)
2 x 20 x (o<x<10)
2
(2) y 2 3 20 3 42m
2
【练习】矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是 BC上一点（P不与B重合），M是DB上一 点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积 为y，求 y 与x之间的函数关系。
x＞ 0 y随x的增
x＜ 0 y随x的增
大而增大
y=x2
向上
当x＝0， y最小＝0
大而减小
左减
右增
y轴
（0，0）
y随x的增 y=-x2
向下 当x＝0， y最大＝0 大而增大
y随x的增
大而减小
左增
右减
联系
二者关于x轴对称.
【例2】变式训练，巩固提高
1．在二次函数y=x2的图象上，与点A(-5，25) 对称的点的坐标是（ 5，25 ）． 2．点(x1，y1)、 (x2，y2)在抛物线y= -x2上， 且x1 ＞ x2＞0，则y1_ _y2 . 3．设边长为xcm的正方形的面积为ycm2，y是x的 函数，该函数的图象是下列各图形中（ C ）
2
∴k=1时,y是x的一次函数。
2
(2) 当k - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时 y是x的二次函数
【练习2】 关于x的函数 y (m 1) x 次函数, 求m的值.
解: 由题意可得
m2 m
是二
解得，m 2
m2 m 2 m 1 0
当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
思索归纳 定义中应该注意的几个问题:
解： (1) y x(20 2 x)
2 x 20 x (o<x<10)
2
(2) y 2 3 20 3 42m
2
【练习】矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是 BC上一点（P不与B重合），M是DB上一 点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积 为y，求 y 与x之间的函数关系。
x＞ 0 y随x的增
x＜ 0 y随x的增
大而增大
y=x2
向上
当x＝0， y最小＝0
大而减小
左减
右增
y轴
（0，0）
y随x的增 y=-x2
向下 当x＝0， y最大＝0 大而增大
y随x的增
大而减小
左增
右减
联系
二者关于x轴对称.
【例2】变式训练，巩固提高
1．在二次函数y=x2的图象上，与点A(-5，25) 对称的点的坐标是（ 5，25 ）． 2．点(x1，y1)、 (x2，y2)在抛物线y= -x2上， 且x1 ＞ x2＞0，则y1_ _y2 . 3．设边长为xcm的正方形的面积为ycm2，y是x的 函数，该函数的图象是下列各图形中（ C ）
2
∴k=1时,y是x的一次函数。
2
(2) 当k - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时 y是x的二次函数
【练习2】 关于x的函数 y (m 1) x 次函数, 求m的值.
解: 由题意可得
m2 m
是二
解得，m 2
m2 m 2 m 1 0
当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
思索归纳 定义中应该注意的几个问题:
北师大版 九年级 数学下册 2.1二次函数概念 课件(共20张PPT)
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系为y个,那么请你写出y 与x之间的关系式.
总产量=果树的总数X每棵-5树x²+产10量0x+60000
y=(100+x)(600-5x)=
观察：函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
S=-a²+30a y= -5x²+100x+60000
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
2
即
m 1 n2 1 n 22
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： Y=x(40-2x)
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
解：S=a(60 - a)
2 = -a²+30a .
问题2
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根
据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减 少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.
九年级数学下册 第二章 二次函数 1 二次函数教学课件 (新版)北师大版
2
是函数关系且为二次函数关系.
1.（衢州·中考） 如图，四边形ABCD中，∠BAD= ∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形 ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A. y 2 x2
25
B. y 4 x2
25
A D
C. y 2 x2
5
【答案】选C .
想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总 产量最多？ 【解析】
y=-5(x2-20x)+60 000 =-5(x2-20x+102-102)+60 000 =-5(x-10)2+60 500 ≤60 500
合作探究
y=-5x2+100x+60 000 =-5(x-10)2+60 500
2.等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.
D. y 4 x2
5
BC
x 2.如果函数y= k 2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0_或__3_ .
x 3.如果函数y=(k-3) k 2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k
的值一定是___0___ .
【规律方法】 1.关于x的二次函数表达式y=ax²+bx+c一定是整式，a， b，c为常数,且 a≠0.
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y/个 0 1 2 3 3 4 4 4 4 5 4 4 4 4 9 8 52 7 2 5 8 9 0 9 8 5 2 5 0 50 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0
是函数关系且为二次函数关系.
1.（衢州·中考） 如图，四边形ABCD中，∠BAD= ∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形 ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A. y 2 x2
25
B. y 4 x2
25
A D
C. y 2 x2
5
【答案】选C .
想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总 产量最多？ 【解析】
y=-5(x2-20x)+60 000 =-5(x2-20x+102-102)+60 000 =-5(x-10)2+60 500 ≤60 500
合作探究
y=-5x2+100x+60 000 =-5(x-10)2+60 500
2.等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.
D. y 4 x2
5
BC
x 2.如果函数y= k 2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0_或__3_ .
x 3.如果函数y=(k-3) k 2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k
的值一定是___0___ .
【规律方法】 1.关于x的二次函数表达式y=ax²+bx+c一定是整式，a， b，c为常数,且 a≠0.
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y/个 0 1 2 3 3 4 4 4 4 5 4 4 4 4 9 8 52 7 2 5 8 9 0 9 8 5 2 5 0 50 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0
北师大版九年级数学下册第2章二次函数PPT新课件(1)
一条直线 Байду номын сангаас
双曲线
导入新知
正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正
方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的 每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数， 它们的具体关系可以表示为 y＝6x2.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变 量x的最高次数是2. 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学 习的二次函数．
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等
量关系列出方程或等式． (3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
例3
填空：
V＝14πr2(r＞0) ； 径r(cm)之间的函数关系式是_______________
知3－讲
(1)已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积V(cm3)与底面半 (2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，则面积减少y，
一次项系数和常数项．
知1－讲
例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函 数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1； (3)y＝3a3＋2a2； (2)y＝－5x2； (4)y＝x－2＋x； 1 2 (6)y＝x ＋ 2 . x
(5)y＝3(x－2)(x－5)；
知1－讲
解： (1)y＝7x－1； 自变量的最高次数是1 (2)y＝－5x2； 自变量的最高次数是2 (3)y＝3a3＋2a2；自变量的最高次数是3 (4)y＝x－2＋x； x－2不是整式 (5)y＝3(x－2)(x－5)；
2＋20x(0≤x≤10) y ＝－ x y与x之间的函数关系式是_____________________．
(1)根据圆柱体积公式V＝πr2×h求解； 导引：
(2)有三种思路：如图，①减少的面积y＝ S四边形AEMG＋S四边形GMFD＋S四边形MHCF＝x(10－x) ＋x2＋x(10－x)＝－x2＋20x，②减少的面积y＝ S四边形AEFD＋S四边形GHCD－S四边形GMFD＝10x＋10x－x2＝－x2 ＋20x，③减少的面积y＝S四边形ABCD－S四边形EBHM＝102－(10 －x)2＝－x2＋20x.
北师大版九年级数学下册：2.1 二次函数 课件(共16张PPT)
笛卡尔是伟大数学家。据 说，某一天笛卡尔躺在床上休 息时，看到了天花板上趴着的 苍蝇，他为了用简易的方法表 示出苍蝇的位置而苦苦思索。 那时他产生了用形如围棋盘模
样的横线和纵线来表示位置
的想法，坐标由此诞生。笛
卡尔将坐标引入到数学中，从 而轻易地解决了与图形有关的 许多问题。
1.什么是二次函数？ 2.在实例中确定二 次函数表达式。
亲们，我攒了点私房钱 ， 今天去银行存款。银行一 年定期储蓄的年利率是x, 一年到期后，银行将本金 和利息自动按一年储蓄转 存。我存了1000美元，那 么请同学们写出两年后的
本息和y的表达式。
亲们，快帮帮我吧，我 不会算了。
同学们，在参观我 的庄园的过程中，你 们学到了什么？
我这个庄园，是一个矩形的，它 周长是2000米，它的宽为x,它的面积 为y,你能帮我列出面积和宽的关系式 吗？
让我想 想！！！
我这个庄园有100棵橙子树， 平均每棵树结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高果园产 量，但是如果多种树，那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳 光就会减少。根据经验估计，每 多种一棵树，平均每棵树就会少 结5个橙子。
以上这些函数，我 们就叫它二次函数。
二次函数的一般式
二次函数一般式的 三个ຫໍສະໝຸດ 征：特征一：函数关系式 都是整式 特征二：化简后自变 量的最高次数是2 特征三：二次项系数 不为0.
某超市欲购进一种今年上
市的产品，购进价为20元/件。 为了调查这种产品的销路，该
超市进行了试销售，得知该产 品每天的销售量t(件)与每件的 销售价x(元/件)之间有如下关系： t=-3x+70。请写出该超市销售 这种产品每天的销售利润y(元) 与x之间的函数关系式。
问题呢？
样的横线和纵线来表示位置
的想法，坐标由此诞生。笛
卡尔将坐标引入到数学中，从 而轻易地解决了与图形有关的 许多问题。
1.什么是二次函数？ 2.在实例中确定二 次函数表达式。
亲们，我攒了点私房钱 ， 今天去银行存款。银行一 年定期储蓄的年利率是x, 一年到期后，银行将本金 和利息自动按一年储蓄转 存。我存了1000美元，那 么请同学们写出两年后的
本息和y的表达式。
亲们，快帮帮我吧，我 不会算了。
同学们，在参观我 的庄园的过程中，你 们学到了什么？
我这个庄园，是一个矩形的，它 周长是2000米，它的宽为x,它的面积 为y,你能帮我列出面积和宽的关系式 吗？
让我想 想！！！
我这个庄园有100棵橙子树， 平均每棵树结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高果园产 量，但是如果多种树，那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳 光就会减少。根据经验估计，每 多种一棵树，平均每棵树就会少 结5个橙子。
以上这些函数，我 们就叫它二次函数。
二次函数的一般式
二次函数一般式的 三个ຫໍສະໝຸດ 征：特征一：函数关系式 都是整式 特征二：化简后自变 量的最高次数是2 特征三：二次项系数 不为0.
某超市欲购进一种今年上
市的产品，购进价为20元/件。 为了调查这种产品的销路，该
超市进行了试销售，得知该产 品每天的销售量t(件)与每件的 销售价x(元/件)之间有如下关系： t=-3x+70。请写出该超市销售 这种产品每天的销售利润y(元) 与x之间的函数关系式。
问题呢？
北师大版九年级数学下册课件：第二章 二次函数复习(共35张PPT)
想一想
形状 a决定了抛物线的＿＿＿＿和＿＿＿ 开口方向
a 和 b 对称轴由＿＿＿决定；
y 轴的交点位置； c决定了图象与_____
当a的绝对值相等时,其形状完 全相同,当a的绝对值越大,则开口 越小,反之成立
想一想
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系 ?
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac
有两个交点 有一个交点
有两个不相 等的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
没有交点
3.说说下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
7 5
6
8
小试牛刀
巩固练习1： 2 2 （1）抛物线y=3 x 的开口向上 ,对称轴 是 Y轴 ,顶点坐标是(0,0) , 图象过第 1、2 象限 ； （2）已知（如图）二次函数y = mx 2的 o 图象，则m < 0； .A -1 ； 若图象过 (2,- 4)，则m=
（3)已知y = - nx
思而不学则贻
2.选择
(3)若y=ax2+bx+c(a 0)与x轴交于点A(2,0), C B(4,0),则对称轴是_______ A直线x=2 B直线x=4 C直线x=3 D直线x= -3
(4)若y=ax2+bx+c(a 0)与x轴交于点A(2,m), A B(4,m),则对称轴是_______ A 直线x=3 B 直线x=4 C直线x= -3 D直线x=2
数学九年级下北师大版第二章二次函数复习(一) 课件(12张)
，对称轴是
当x=
时，函数y有最 值是
。当x
时，y随x的
增大而增大；当X
时，y随x的增大而减小。a>0呢？
知识巩固:
（1）、抛物线 y 3x2 的对称轴是
，顶点是
；
抛物线 y 2x2 2 5 的对称轴是
，顶点是
；
抛物线 y 3 (x 2)2 3 的对称轴是
，顶点是
。
2
2
（2）二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，-8）和（-5，-8）
第二章 二次函数（一）
பைடு நூலகம்
知识梳理1:
二次函数概念：
形如
（a
）的形式则称y是x
的二次函数。
巩固：
（1）（2015.甘肃）下列函数中是一次函数的是（ ）
A、y=3x-1
B、 y=ax2+bx+c
C、s = 2t2 - 2t +1
D、
y = x2 + 1 x
（2）当_____时， y m 2 xm22 函数为二次函数。
当函数值y=0时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当 b2 4ac 0 时，图象与x轴交于 A x1 ，0，B x2 ，0 (x1 x2 ) 两点，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程 ax2 bx c 0 的两根．
② 当 0 时，图象与x轴
；
③ 当 0 时，图象与x轴
.
6、抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为
知识梳理2:
二次函数的性质：
（1）顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，当a>0时，抛物线的顶点
有最 点，顶点是
，对称轴是
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[解析] 本题容易考虑不全面，只考虑m＋1＜0，而忽略抛物线是二次函数的 图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.
类型归纳
2 m ＋m＝2， 解：根据题意，得 m＋1<0.
解得 m＝－2.
方法技巧 解答这类问题要明确两点：(1)函数图象是抛物线，所以是二次函 数；(2)抛物线的开口只与二次项系数有关．
随 x 的增大而
减小 ；
减小 ； 当 x>h
增 减性
时， y 的值随 x 的增大而 b 当 x>－ 时， y 的值随 x 2a 增大 增大 的增大而 增大 当 x<－ b 时，y 的值 2a 当 x<h 时，y 的值随 x
a＜ 0
随 x 的增大而 当 x>－
增大；
的增大而
增大
； 当 x>h
b y 的值随 x 的增大而 时， y 的值随 x 时， 2a 减小
九年级下册
第二章 二次函数复习课（1）
知识梳理
1．二次函数的概念 y＝ax2＋bx＋c 一般地，形如 数． [注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时， (a，b，c是常数， a≠0 )的函数，叫做二次函
y＝ax2是特殊的二次函数．
2．二次函数的图象 二次函数的图象是一条 抛物线 ，它是轴对称图形，其对称轴平行于 y 轴．
类型归纳
►
类型四 例4
二次函数的图象和性质的应用 已知抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a ＜ 0) 过 A( － 2,0) ， O(0,0) ， B( － 3 ， y1) ， ) A
C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是(
A．y1＞y2
B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．不能确定
[解析] A 大小关系． 结合图形，找到A、O、B、C四个点的大致位置，容易看出y1与y2的
的增大而
减小
知识梳理
4.二次函数图象的平移 一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减．
数学·新课标（BS）
类型归纳
► 类型一
二次函数的定义应用
例1 已知抛物线y＝(m＋1)xm2＋m的开口向下，求m的值．
(h，k)
直线 x＝h
对称轴
b 直线 x＝－ 2a
知识梳理
当 x＝－ 最 大 (小) 值 a ＜0 a ＞0 b ， 2a
4ac－b2 y 最小值＝ 4a 当 x＝－ b ， 2a
当 x＝h，y
最小值
＝k
4ac－b2 y 最大值＝ 4a
当 x＝h，y
最大值
＝k
知识梳理
当 x<－ a＞ 0 b 时，y 的值 2a 当 x<h 时， y 的值随 x 的增大而
知识梳理 类型归纳
► 类型二 例2
二次函数图象的平移
如果将抛物线y＝x2＋bx＋c沿直角平面坐标向左平移 2个单位，再向上 6 平移3个单位，得到抛物线y＝x2－2x＋1，则b＝________ －6 ，c＝________.
类型归纳
b [ 解析 ] ∵ y＝ x2－ 2x＋ 1 ＝ (x－ 1)2， y＝ x2＋ bx ＋ c＝ x＋ 2 2 ＋
知识梳理
[注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关． 3．二次函数的性质
知识梳理
一般式 y＝ax2 ＋bx＋c
顶点式 y＝a(x－h)2＋ k
开口 方向
a>0 a ＜0
开口向上 开口向下
开口向上 开口向下
顶点坐标
4ac－b2 b －2a， 4a
b2 4c－b ∴y＝ x＋ 2 ＋ 4
2
＝(x－1－2)2－3，即 y＝x2＋bx＋c＝x2
－6x＋9－3＝x2－6x＋6，∴b＝－6，c＝6.
类型归纳
方法技巧 在平移的过程中，抛物线的形状始终保持不变，而抛物线的 形状只与二次项系数有关，所以要求平移后(或前)抛物线的表达 式，只需求出平移后的抛物线的顶点坐标即可． 解这一类题目，需将一般表达式化为顶点式，抓住顶点位置 的改变，根据平移规律进行解答．
1 经验证，抛物线 y＝－ (x－2)2＋1 经过点 C(4，－1)． 2 1 (3)直线 BD 的表达式为：y＝ x－1， 2
类型归纳
1 y ＝－ x－22＋1， 2 解方程组 y＝1x－1， 2 ∴点 P
的坐标为3，
x＝3， 得 1 y＝ . 2
1 2.
1 (4)S△PEB ＝ S△PBC . 2 1 3 S△PBC ＝ ×4× ＝3.过 P， E 分别作 PP′⊥BC， EE′⊥BC， 2 2
1 1 3 1 3 垂足分别为 P′，E′，S△PEB＝ ×2×2＋ ×2＋2×1－ ×3× 2 2 2 2
3 1 ＝ ，∴S△PEB＝ S△PBCຫໍສະໝຸດ 2 24c－b2 ， 4
b2 4c－b y＝ x＋ 2 ＋ 4
2
又抛物线 y＝(x－1)2 是
向左平移 2 个单
位，再向上平移 3 个单位得到的，
类型归纳
b2 4c－b y＝x＋ 2 ＋ 4
2
故
可看作是 y＝(x－1)2 向右平移 2 个单
位，再向下平移 3 个单位得到的．
类型归纳
► 类型三
二次函数与一次函数的综合应用
例3 已知矩形ABCD
中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图X2－1)． (1)写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标； (2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的表 达式； (3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标； (4)△PEB的面积与△PBC的面积具有怎样的关系？证明你的结论．
类型归纳
[解析] 利用矩形的性质可以得到A，B，C，D及AD的中点E的坐标，然后利用顶 点式求出抛物线的表达式．
类型归纳
解：(1)A(0,1)，B(0，－1)，C(4，－1)，D(4,1)，E(2,1)． (2)设抛物线的表达式为：y＝a(x－2)2＋1， ∵抛物线经过点 B(0，－1)， 1 ∴a(0－2)2＋1＝－1，解得 a＝－ . 2 ∴抛物线的表达式为：y＝－ 1 (x－2)2＋1. 2