第二章 行列式

i=1 r-1
( 1) i 1+s1 a is detAri, js。
i=r+1
n
其中，Ari, js 表示元素a is 在Arj中的余子矩阵，就是从A中去掉r, i两行 及j, s两列所得的矩阵。同样，当s j n时 det Arj (-1) a is detAri, js
i+s i=1 r-1
( -1) i+s-1 a is detAri, js。
i=r+1
n
于是(2.10)式右端等于 (-1)i+s-1 (-1) r+ j a rja is detAri, js (-1)i+s (-1) r+ j a rja is detAri, js (-1)i+s (-1) r+ j a rja is detAri, js
a11 a12 b1 a12 设记号： a11a22 a21a12， b1a22 b2 a12， a21 a22 b2 a22 a11 b1 a21 b2 a11b2 a21b1
2.1 行列式的定义
a11 x1 a12 x2 b1 这时，方程组 的解为 a21 x1 a22 x2 b2 b1a22 b2 a12 a11b1 a21b2 x1 , x2 a11a22 a21a12 a11a22 a21a12 可改用行列式表示： b1 a12 a11 b1 b2 a22 x1 , a11 a12 a21 a22 a21 b2 x2 a11 a12 a21 a22
2 ( 5) ( 2) ( 23) ( 1) 3
59
2.1 行列式的定义
a11 a31
a12 a22 a32 a23 a33
a13 a23 a33 a21 a31 a22 a32
例2.3 计算一般的3阶行列式 D a21 D a11 A11 a12 A12 a13 A13 a11 ( 1)
a n 2 a nj
※ aij的余子式: Aij的行列式 det Aij ※ aij 代数余子式: Αij=(-1)i j det Aij
2.1 行列式的定义
2 0 4 1 4 0 ， 其a 的余子矩阵A 4 例如：设矩阵A 11 11 3 2 3 1 4 0 4 11 a11的余子式 4, a11的代数余子式 A 11 ( 1) 3 1 3 1 a12的余子矩阵A12 2 1 0 a12的余子式 1, 2 1 0 1 a12的代数余子式 A 12 ( 1)
第二章 行列式
第一节 行列式的定义
第二节 行列式的性质及其计算 第三节 矩阵的秩 第四节 克莱姆法则
2.1 行列式的定义
行列式可用来表示面积、体积等几何量，是线性代数中的 重要概念，也是微积分和其他数学分支中的重要工具。 2.1.1 二阶行列式 例 2.1 在xOy平面上有一个平行四边 形OACB，它的两条邻边是向量 OA=(a1 ,b1 )， OB=(a 2 ,b2 )，求其面积。 解 设点A,B,C在Ox轴上的投影分别 是A ,B ,C ，又在CC 上取CC =AA ,则 AA C C和OA C B都是平行四边形， 而且A C =OB =a 2。 所以, SOA CB =a1b2 , S AA C C =a 2 b1。Δ OAA 和Δ BCC 全等，所以 SOACB =SOA CB +SBCC -SOAA -SAACC =a1b2 -a 2 b1 在一般情况下，可证明SOACB =|a1b2 -a 2 b1| a1 b1 定义 =a1b2 -a 2 b1 ,称左边的表达式为二阶行列式。 a 2 b2
11
a22 a32
a23 a33
a12 ( 1)
1 2
a21 a31
a13 ( 1)
1 3
a11a22 a33 a11a23a32 a12 a21a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 可用对角线规则直接展开这个行列式： D=a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a11a23a32 a12 a21a33 a13a22 a31 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
j1 i r 1 n r 1 j1 i 1 s 1 n s 1 r 1
js 1 i 1 n n
js 1 i r 1

(-1)i+s-1 (-1) r+ j a rja is detAri, js
j 1 n
a1 j ( 1)1 j det A1 j
j 1 n
n
或
d et A a11 A11 a21 A21 an1 An1 ai1 Ai1 =
i 1 n
ai1 ( 1)i 1 det Ai1
i 1
上两式分别称为行列式按第一行或第一列的展开式。 上两式也给出了计算n阶行列式的逐步降阶法：将n阶 行列式先化为n-1阶，再化为n-2阶， ，最后可求出其值。
2.1 行列式的定义
2 x1 3 x2 1 例 求方程组 的解。 3 x1 2 x2 0 解：代入行列式表示的方程的求根公式，有 1 3 0 2 1 ( 2) 0 3 2 2 x1 , 2 3 2 ( 2) 3 3 13 13 3 －2 2 1 3 0 2 0 3 1 3 x2 2 3 13 13 3 －2
记为 : a11 det A a21 an1 注意： 1） 矩阵A是n n的数表，而行列式 det A是一个数； 2) 矩阵可以有：行数m 列数n； 只有方阵才有行列式：行数=列数的矩阵有对应的行列式； 行数 列数的矩阵没有行列式； 3) 矩阵用括号 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
2.1 行列式的定义
2 2 1 例 2.4 计算 D 3 4 0 1 5 1
解 D a11 A11 a12 A12 a13 A13 2 ( 1)
11
0 1
5 -1
( 2)( 1)
1 2
3 4
5 -1
( 1)( 1)
13
3 4
0 1
2 0 ( 1) 5 1 ( 2) 3 ( 1) 5 4 ( 1) 3 1 0 4
任意一个n阶矩阵A aij）n，将它对应一个数，称为A的行列式， （ n
，行列式用竖线|
|。
2.1 行列式的定义
与一个任意的n阶矩阵A = (a ij )相关的三个概念：
※ aij的余子矩阵Aij ：矩阵A去掉第i行和第j列后的矩阵，即
a11 a 21 Aij ai1 a n1 a12 ai 2 a1 j aij a22 a2 j a1n a2 n ain ann
2.1 行列式的定义
３阶行列式 展开的对角线规 则也可表示为：
2 2 3 例 计算D = 3 1 2 5 4 1 2 11 2 2 5 3 4 3 2 4 2 2 3 1 3 1 5 21
2.1 行列式的定义
a11 0 0 a a22 0 21 例 求下三角矩阵A 的行列式 a n1 an 2 ann a11 0 0 a21 a22 0 det A a11 A11 0 A12 0 A1n a11 A11 an1 an 2 ann a22 0 0 a33 0 0 a a33 0 a a44 0 a11 32 a11a22 43 a11a22 ann an 2 an 3 ann an 3 an 4 ann 特别地，对于对角矩阵，有 a11 0 a22 a11a22 ann 0 ann
arj ( 1)
j=1
n
r j
det Arj ais ( 1) i s det Ais
i=1
n
(2.10)
用数学归纳法，对二阶矩阵容易验证(2.10)式两端都等于 其行列式的值。假设(2.10)式对n-1阶矩阵成立(n 3)，即n-1 阶矩阵的行列式可按它的任意一行或一列的展开式计算，现在 要证明(2.10)式对n阶行列式成立。 取n阶矩阵A=(aij )在(2.10)式中左端的第s项和右端的第r 项都是( 1) r s a rs det Ars。考虑左端的第j项(j s)，由归纳假设， 可以把行列式 det Arj按原来的第s列展开(当j s时，它是Arj的第 s 1列)。当1 j s时 det Arj ( 1) i+s1 a is detAri, js
2.2 行列式的性质及其计算 定理 2.1 设A是n阶矩阵，则行列式可按任意一行(第r行) 展开,即 det A a rj Arj a rj ( 1) r j det Arj (1 r n) (2.8)
j1 j1 n n
行列式也可按任意列(第s列)展开 : det A a is Ais a is ( 1) i s det Ais (1 s n) (2.9)
2.1 行列式的定义
a11 一般地，2阶矩阵A a21 对应的2阶行列式 a11 a21 a12 a22
a12 , a22 是一个数，
其值为代数和a11a22 a21a12。 n元一次方程组的解也可用行列式表示， 需引入n阶行列式的概念。
2.1 行列式的定义 2.1.2 n阶行列式的定义
1 2
0 1 0 1 4
1
0
2 1
1
2 0 a33的余子矩阵A33 1 4 2 0 2 0 3 3 a33的余子式 8, a33的代数余子式 A 33 ( 1) 8 1 4 1 4
2.1 行列式的定义
定义2.1 (行列式的递归定义) 1阶矩阵A a11 的行列式定义为数a11 det (a11 ) a11 设已定义了n 1阶行列式。n阶(n 2)矩阵A的行列式 定义为 det A a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j =
i 1 i 1 n n
行列式可按其任一行(或任一列)展开，即行列式等 于它的任一行(或任一列)各元素与它的代数余子式的乘 积之和。 计算行列式时，选较多0元素的行(列)展开，计算较方便。
证 当r = 1时， 式就是行列式的定义。因此为了证明(2.8)式和 (2.8) (2.9)式，只需证明它们的右端相等，即行列式按任意一行或任 意一列展开的结果都相同。即当1 r n,1 s n,有


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2.1 行列式的定义
例2.2 设有二元一次线性方程组 a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2 可用消元法求其解。当a11a22 a21a12 0 时，该方程组有唯一解 b1a22 b2 a12 a11b1 a21b2 x1 , x2 a11a22 a21a12 a11a22 a21a12 该公式不好记。