第五章微分中值定理及其应用答案

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第五章 微分中值定理及其应用

上册P 178—180 习题解答

1． 设0)(0>'+x f ，0)(0<'-x f .证明0x 是函数)(x f 的极小值点 .

证 0)()(lim )(0000

<--='-

→-x x x f x f x f x x ，⇒在点0x 的某左去心邻域内有

0)

()(0

0<--x x x f x f ， 此时00<-x x ，⇒在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ， 即)()(0x f x f >； 0)()(lim )(0000

>--='+

→+x x x f x f x f x x ，⇒在点0x 的某右去心邻域内有0)

()(0

0>--x x x f x f ，

此时00>-x x ，⇒在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ， 即)()(0x f x f >.

综上 , 在点0x 的某去心邻域内有)()(0x f x f >. 即0x 是函数)(x f 的极小值点 .

2. 举例说明 , Rolle 定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 .

解答: 例如函数 . 21 , 1,

12 , )(2⎩

⎨⎧≤<-≤≤-=x x x x x f )(x f 定义在区间] 2 , 2 [-上 , )(x f 在

点1=x 间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且4) 2(=-f , 而

1) 2 (=f , ≠-) 2(f ) 2 (f . 对区间] 2 , 2 [-上的这个函数)(x f , Rolle 定理的三个条件都

不满足 . 但是 , 0) 0 (='f , 该曲线上点) 0 , 0 (处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 .

⑴ 利用辅助函数

1

)(1)(1)( )(b f b

a f a

x f x

x =ψ.

证明Lagrange 中值定理 .

140

证 易见函数)(x ψ在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 ,且

0 1

)(1)(1)( )(==b f b

a f a

a f a a ψ, 0 1

)(1)(1

)( )(==b f b

a f a

b f b b ψ, 有)()(b a ψψ=. 函数)(x ψ在区间] , [b a 上满足Rolle 定理的三个条件 , 于是由Rolle 定理 , ∈∃ξ) , (b a , 使

0)(='ξψ. 而

)()()()( 1

)

(1)(0)(1

)(x f b a b f a f b f b

a f a

x f x '---='='ψ. 0)()()()()(='---='ξξψf b a b f a f , 即 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ.

⑵ 说明)(x ψ的几何意义 .

解答 |)(|2x ψ表示以点) )( , (a f a 、) )( , (b f b 以及) )( , (x f x 为顶点的三角形的 面积 。

4． 举例说明：

⑴ Lagrange 中值定理的任一个条件不满足时 ，定理的结论就有可能不成立 .

解答 考查函数⎩

⎨

⎧=<≤=. 1 , 0 ,

10 , )(x x x x f )(x f 在) 1 , 0 (内可导 , 仅在点1=x 不连续 .

易见0)0()1(=-f f , 但在) 1 , 0 (内1)(≡'x f , 因此不存在∈ξ) 1 , 0 (, 使0)(='ξf .

又如函数||)(x x g =, ∈x ] 1 , 1 [-. )(x g 在) 1 , 1 (-内点 0=x 处不可微.

0)1()1(=--g g , 不存在∈ξ) 1 , 0 (, 使0)(='ξg .

⑵ Lagrange 中值定理的所有条件都不满足时 ，定理的结论仍然可以成立 .

解答 考查函数 . 51

, 1,

12 , )(2⎩⎨

⎧≤<-≤≤-=x x x x x f 在区间] 5 , 2 [-上)(x f 不满足

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Lagrange 中值定理的任何一个条件 . 但是却有

)25)(0()2()5(+'=--f f f , 因为0)2()5(=--f f , 0)0(='f . 5. 设函数)(x f 定义在区间] , [b a 上 , 且对∈∀21 , x x ] , [b a , 有

22121)( |)()(|x x x f x f -≤-.

证明)(x f 在] , [b a 上恒为常数 .

证 对∈∀x ] , [b a ,

0|||

|)( )()(2

→=-+≤-+h h x h x h x f h x f , ( 0→h ). ⇒ 0)

()(lim

)(0

=-+='→h

x f h x f x f h . 由于0)(≡'x f , ⇒ )(x f 为] , [b a 上的常值函数.

6.

用Lagrange 公式证明不等式: ⑴ || |sin sin |y x y x -≤-; 证 注意到1 |cos |≤x ,有

|| |||cos | |sin sin |y x y x y x -≤-=-ξ. ξ介于x 与y 之间 .

⑵ )()(11

y x nx y x y x ny

n n n n -<-<---, ) , 1 (y x n >>;

证 设n

t t f =)(,)(t f 在区间] , [x y 上满足Lagrange 中值定理的条件, 则∈∃ξ) , (x y , 使 ))(()()(y x f y f x f -'=-ξ. 1

)(-='n nt

t f ↗↗, 易见有 )()()(x f f y f '<'<'ξ; 又

0>-y x . 就有 ))(())(())((y x x f y x f y x y f -'<-'<-'ξ, 即

)()(11

y x nx y x y x ny

n n n n -<-<---, ) , 1 (y x n >>.

⑶

a

a

b a b b a b -<

<-ln , ) 0 (>>a b ; 证 考虑函数x x f ln )(=, )(x f 在区间] , [b a 上满足Lagrange 中值定理的条件 , 则 ∈∃ξ) , (b a , 使))(()()(ln ln ln a b f a f b f a b a b -'=-=-=ξ; 而 x

x f 1

)(=', 在区间) , (b a 内有

a b 111<<ξ, 即a

f b 1)(1<'<ξ, 注意到0>-a b , 就有