2015年秋北师大版数学选修2-2课件 第4章 定积分 §1
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北师版数学选修2-2讲义：第4章 §1 1.1 定积分的背景——面积和路程问题+1.2 定积分
§1定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分1．了解定积分的实际背景及定积分的概念．2．理解定积分的几何意义及性质．(难点)3．能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)[基础·初探]教材整理1曲边梯形的面积阅读教材P75～P78“练习2”以上部分，完成下列问题．1．曲边梯形的概念由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图4-1-1所示)．图4-1-12．求曲边梯形面积的步骤①分割，②近似替代，③求和，④逼近．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1，1]n 等分，则每个小区间的长度为__________．【解析】 每个小区间长度为1－（－1）n＝2n . 【答案】 2n教材整理2 定积分阅读教材P 78“练习2”以下至P 80“练习”以上部分，完成下列问题．1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .第i 个小区间为[x i －1，x i ]，设其长度为Δx i ，在这个小区间上取一点ξi ，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋f (ξ2)Δx 2＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋f (ζ2)Δx 2＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，我们就称A 是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )dx ，即⎠⎛a b f (x )dx ＝A ．其中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．2．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，x 轴和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质(1)⎠⎛ab 1dx ＝b －a ； (2)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛a b f (x )dx (k 为常数)； (3)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]dx ＝⎠⎛a b f (x )dx ±⎠⎛a b g (x )dx ； (4)⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛c b f (x )dx (其中a <c <b )．。
高中数学复习课件-北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
如果 Dx 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f (x) 在区
间[a,b] 上的定积分。记为： S =
b
f (x)dx
a
定积分的定义：
即
b a
f
( x)dx
=
lim
n
n i=1
b-a n
f
(xi )
定积分的相关名称：
———叫做积分号，
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
f
(xi
)
b
n
a
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
b a
f
(x)dx，即 b b aa
ff
n
((xx))ddxx==limlim n 0 i=1i
n
f
=1
b(x-ni)aDxfi。(xi
)
定积分的概念
一般地，设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，用分点
(3)取极限:，所求曲边梯形的
面积S为
n
S
= lim n i=1
f (xi )Dx
Oa
xi xi xi+1
b
x
Dx
（一）、定积分的定义
北师大版数学【选修2-2】《定积分的概念》ppt课件
������ ������
������ (������)������������,即
积分号 上限
������ ������ (������)������������ ������
= ������.其中 叫作
下限
. .
,������叫作积分的 ,������(������)叫作
,������叫作积分的 .
第四章 定积分
.. 导. 学 固思
知识点
新课程标准的要求 层次要求 领域目标要求 通过定积分概念的 形成过程,理解现实中的 抽象概况,体会数学中的
定积分的概念与 了解定积分的实际背景,基本思想 计算 微积分基本定理 及应用 定积分的实际意 及概念 了解微积分基本定理的含义
化曲为直,化复杂为简单
初步涉及定积分的应用 的处理问题的方法
5.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分.
6.了解定积分的几何意义及性质.
.. 导. 学 固思
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“ 直边图形”的面积,在物理中,我们知道了匀速直线运动的 时间、速度与路程的关系等.在数学和物理中,我们经常会 遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面积、
������ ������
������ (������)������������
(������为常数);
������ [ ������1 (������) ������
± ������2 (������)]������������ =
������ ������
������1 (������)������������ ±
1
把区间[1,3]等分n份,所得n个小区间的长度均为(
A.
1 ������
������ (������)������������,即
积分号 上限
������ ������ (������)������������ ������
= ������.其中 叫作
下限
. .
,������叫作积分的 ,������(������)叫作
,������叫作积分的 .
第四章 定积分
.. 导. 学 固思
知识点
新课程标准的要求 层次要求 领域目标要求 通过定积分概念的 形成过程,理解现实中的 抽象概况,体会数学中的
定积分的概念与 了解定积分的实际背景,基本思想 计算 微积分基本定理 及应用 定积分的实际意 及概念 了解微积分基本定理的含义
化曲为直,化复杂为简单
初步涉及定积分的应用 的处理问题的方法
5.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分.
6.了解定积分的几何意义及性质.
.. 导. 学 固思
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“ 直边图形”的面积,在物理中,我们知道了匀速直线运动的 时间、速度与路程的关系等.在数学和物理中,我们经常会 遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面积、
������ ������
������ (������)������������
(������为常数);
������ [ ������1 (������) ������
± ������2 (������)]������������ =
������ ������
������1 (������)������������ ±
1
把区间[1,3]等分n份,所得n个小区间的长度均为(
A.
1 ������
最新北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用二定积分在物理中的应用课件ppt课件
10.04.2021
3.A、B 两站相距 7.2km ，一辆电车从 A 站开往 B 站，电车 开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直 线运动加速度为 1.2(m s2 ) ，到达 C 点速度达 24 m s ，从 C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做匀 速直线运动)，经过 t2 s 后，速度为 (24 1.2t2 ) m s ，在 B 点恰好停车，试求：⑴A、C 间的距离；⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
(2)240 (m)
(2) B、D间的距离;
(3)20+20+280=320(s)
(3)电10.0车4.20从21 A站到B站所需的时间.
能力练习: 4. A、B 两站相距 7.2km ，一辆电车从 A 站开往 B 站，电 车开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速 直线运动加速度为 1.2(m s2 ) ，到达 C 点速度达 24 m s ，从 C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做 匀速直线运动)，经过 t2 s 后，速度为 (24 1.2t2 ) m s ，在 B 点恰好停车，试求： ⑴A、C 间的距离； ⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
b点，则变力F(x) 所做的功为:
10.04.2021
W＝
b
F(x)dx
a
2、物体 A 以速度 v 3t 2 1在一直线上运动， 在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B 在
物体 A 的正前方 5m 处以 v 10t 的速度与 A 同 向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体 A
的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速
3.A、B 两站相距 7.2km ，一辆电车从 A 站开往 B 站，电车 开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直 线运动加速度为 1.2(m s2 ) ，到达 C 点速度达 24 m s ，从 C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做匀 速直线运动)，经过 t2 s 后，速度为 (24 1.2t2 ) m s ，在 B 点恰好停车，试求：⑴A、C 间的距离；⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
(2)240 (m)
(2) B、D间的距离;
(3)20+20+280=320(s)
(3)电10.0车4.20从21 A站到B站所需的时间.
能力练习: 4. A、B 两站相距 7.2km ，一辆电车从 A 站开往 B 站，电 车开出 t1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速 直线运动加速度为 1.2(m s2 ) ，到达 C 点速度达 24 m s ，从 C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做 匀速直线运动)，经过 t2 s 后，速度为 (24 1.2t2 ) m s ，在 B 点恰好停车，试求： ⑴A、C 间的距离； ⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
b点，则变力F(x) 所做的功为:
10.04.2021
W＝
b
F(x)dx
a
2、物体 A 以速度 v 3t 2 1在一直线上运动， 在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B 在
物体 A 的正前方 5m 处以 v 10t 的速度与 A 同 向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体 A
的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速
2015年秋北师大版数学选修2-2课件 第4章 定积分 章末归纳总结4
a a
b c b (3) f ( x )d x ＝ f(x)dx≥0. f(x)dx＋
a a c
第四章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修2-2
b (4)若在区间[ a，b] 上，f(x)≥0，则 f(x)dx≥0.
a a a
②定义中区间的分法和取法都是任意的．
第四章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修2-2
(2)定积分概念的引申 定积分的几何意义：
b ①f(x)>0， f(x)dx＝A>0，表示曲边梯形在 x 轴上方．
a
b ②f(x)<0， f(x)dx＝A<0，表示曲边梯形在 x 轴下方．
a
b b 推论 1： 若在区间[ a， b] 上， f(x)≤g(x)， 则 f ( x )d x ≤ g(x)dx.
a a
b b 推论 2：| f ( x )d x | ≤ |f(x)|dx.
a a
第四章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修2-2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修2-2
3．定积分的性质 由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：
b b b (1) f ( x )d x ± [ f (x)± g(x)] dx＝ g(x)dx；
a
a
a
b b (2) f(x)dx(k 为常数)； kf(x)dx＝k
2 b 2 b V＝ f (x)dx. πf (x)dx＝π
b c b (3) f ( x )d x ＝ f(x)dx≥0. f(x)dx＋
a a c
第四章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修2-2
b (4)若在区间[ a，b] 上，f(x)≥0，则 f(x)dx≥0.
a a a
②定义中区间的分法和取法都是任意的．
第四章
章末归纳总结
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(2)定积分概念的引申 定积分的几何意义：
b ①f(x)>0， f(x)dx＝A>0，表示曲边梯形在 x 轴上方．
a
b ②f(x)<0， f(x)dx＝A<0，表示曲边梯形在 x 轴下方．
a
b b 推论 1： 若在区间[ a， b] 上， f(x)≤g(x)， 则 f ( x )d x ≤ g(x)dx.
a a
b b 推论 2：| f ( x )d x | ≤ |f(x)|dx.
a a
第四章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修2-2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修2-2
3．定积分的性质 由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：
b b b (1) f ( x )d x ± [ f (x)± g(x)] dx＝ g(x)dx；
a
a
a
b b (2) f(x)dx(k 为常数)； kf(x)dx＝k
2 b 2 b V＝ f (x)dx. πf (x)dx＝π
北师大数学选修2-2配套课件：第四章 定积分 §1
• 1．定积分
• 一般地，给定一个在区间[a， b]上的函数y＝f(x)，其图像如 图所示．
• 将区间[a，b]分成n份，分点为
：第i个小区间[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)
• a＝x <x <x <…<x <x ＝b. 在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋
b
f(x)dx
b
f(x)dx
与s同时趋a 于________a __________，我们称
A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上
•的定积分，记作___________，即A＝ __________.其中积分号是∫，积分的下限是
2．定积分的意义 (1)当 f(x)≥0 时，b f(x)dx 表示的是__y_＝__f_(x_)_的__图__像__与__直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_和__x_轴___
第四章 定积分
• 本章知识概述：本章的主要内容是定积分 的概念，计算和简单应用．
• 教科书通过曲边梯形面积问题，变速直线 运动物体的路程问题，变力做功等问题， 充分演示了定积分概念产生的背景以及定 积分概念形成过程中的思路．微积分基本 定理为我们处理积分的计算问题提供了有 力工具，教科书主要介绍了求简单图形的 面积和求简单旋转体的体积．
• 通过对不同背景下的问题中蕴涵的统一的 数学内容过程的揭示，认识到数学与生活
§1 定积分的概念
1 自主预习
学
案
2 互动探究
学
案
3 课时作业
学
案
自主预习学案
• 研究函数，从量的方面研究事物运动 变化是微积分的基
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
2
练习：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所 围成的图形面积
x + 3 dx - x
3 3 0 0
2
- x + 3 dx
-x
3 0
2
+ 3x dx
14
（四）、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取逼近 化整为零
S S 1 S 2 f ( x )dx g ( x )dx
a a b b
S1 y f ( x ) d x g( )
a
b
S2
b
g ( x ) dx
a
O
a a
b x
10
性质1.
（三）、定积分的基本性质
b b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
b
(x )d x f f (x x f c f )d x x(x 。 a f(xf )d x (x )da)dx(x)dfx(x(xa)df。 )d x c a
a a c
b
c
c
b
b b
北师大版高中数学选修2-2：第四章 定积分 复习课件
则称������(������), ������(������)为区间[−1,1]上的一组正交函数. 给出三组函数:
①f(x)=sin
1 2
������,
������(������)
=
cosBiblioteka 1 2������;②������(������)
=
������
+
1, ������(������)
=
������
第四章 定积分 复习课件
定积分的背景——面积和路程问题 定积分的概念
定积分 微积分基本定理 定积分的简单应用 平面图形的面积
简单几何体的体积
专题一 专题二 专题三
专题一：定积分的概念。 用分割、近似代替、求和、取极限来求曲边梯形的面积
和变速运动物体在某段时间内的路程体现了无限细分和无穷累 积的思维方法。
4(2015·湖南高考)
2 0
(������ − 1)d������ = ______.
解析：
2 0
(������ − 1)d������ =
1 2
������
2-������
2
= 0.
0
答案：0
1 2 3 4 567 8
5(2015·天津高考)曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积
������=1
2(������-1) ������
3
·���2���
=
������
∑
������=1
���2���44·(i-1)3=
16 ������4
×
[03
+
13
+
⋯+(n-1)3]=
2015年秋北师大版数学选修2-2课件 第4章 定积分 §2
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
(3)当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲
边梯形的面积时，定积分的值为0(如图(5)所示)，且等于位于x
轴上方的曲边梯形的面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形的面 积．
第四章
§2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
为常数．
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
b (3)利用微积分基本定理求定积分 f(x)dx 的关键是找出使
a
F′(x)＝f(x)的函数 F(x)．通常，我们可以运用基本初等函数的 求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出 F(x)． (4)求导运算与求原函数运算互为逆运算．
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
4
课 时 作 业
第四章
§2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
课前自主预习
第四章
§2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
1.通过实例，直观了解微积分基本定理的含义及意义． 2．会用微积分基本定理求函数的定积分．
a
满足 F′(x)＝f(x)的函数 F(x)．只要我们求出 f(x)的一个原函数 F(x) ， 在 区 间 两 端 点 处 的 函 数 值 之 差 F(b) － F(a) 就 是 b f(x)dx a _____________ 的值.
第四章
§2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
(3)当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲
边梯形的面积时，定积分的值为0(如图(5)所示)，且等于位于x
轴上方的曲边梯形的面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形的面 积．
第四章
§2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
为常数．
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
b (3)利用微积分基本定理求定积分 f(x)dx 的关键是找出使
a
F′(x)＝f(x)的函数 F(x)．通常，我们可以运用基本初等函数的 求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出 F(x)． (4)求导运算与求原函数运算互为逆运算．
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
4
课 时 作 业
第四章
§2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
课前自主预习
第四章
§2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
1.通过实例，直观了解微积分基本定理的含义及意义． 2．会用微积分基本定理求函数的定积分．
a
满足 F′(x)＝f(x)的函数 F(x)．只要我们求出 f(x)的一个原函数 F(x) ， 在 区 间 两 端 点 处 的 函 数 值 之 差 F(b) － F(a) 就 是 b f(x)dx a _____________ 的值.
第四章
§2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
高中数学复习课件-北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》微积分基本定理
i 1 n
lim n
i 1
y'
t i 1
t
yb
b
vt dt a
b
y't dt
yat yb ya a
y yt
二、微积分基本定理
如果f x是区间a,b上的连续函数,
并且F ' x f x ,则 牛顿—莱布尼兹公式
b
a
f
x dx
F
b
F
a
或 b a
f
x dx
sin x a x
ln a
ex
1 x ln a
1 x
新知：基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x)
c
xn
sin x cos x a x e x
1 x
e 一个原
函数F(x)
cx
1 xn1 cos x n1
sin x
ax ln a
x ln | x |
例1
计
算下列
定
积分:
1
2
1
1dx x
;
2
3 2x 1
cosπ cos0 2;
2π sinxdx cos x|2ππ π
cos2π cosπ 2;
2π
0
sin
xdx
cos
x
|02π
cos2π cos0 0.
问题：通过计算下列定积分，进一步说明其定
积分的几何意义。通过计算结果能发现什么结 论？试利用曲边梯形的面积表示发现的结论．
探 如图：一个S 作y变b速 直y线运a动的物体的运动规律是y yt ,
究
新
由设vt导这表数个示的物S吗概体SS？念在i 可时Sv1知间ti1，段aS,它2在tb内任y的意't位时 i1S移刻i t为的 tS，速b你度naS能为yn'vt分it1 别
4.1定积分的概念课件1(北师大选修2-2)
O 12 nn
y x2
k n
nx
n
y x2
k n
nx
n
13
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分割 ⑵近似代替 （3）求面积的和
把这些矩形面积相加
y （4）取极限 n
作为整个曲边形面积S
的近似值。 有理由相信，分
点越来越密时，即分 割越来越细时，矩形 面积和的极限即为曲 边形的面积。
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
6
形如 y
的何
面求
积曲
边
梯
A1
Oa
y = f(x)
A2
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
7
形如 的何 面求 积曲
边 梯
y
A1
A2
Oa
y = f(x)
A3
A4
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
n
区间高：h=
f
i
1 n
小矩形面积：△S=
f
i1 n
1 n
11
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。
解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：理解求曲边图形面积 的过程：分割、以直代曲、逼近，感受 在其过程中渗透的思想方法。
优课系列高中数学北师大版选修22 4.1定积分的概念 课件(15张)
变速运动路程： S t2 v (t )dt t1
变力做功：
b
W F(x)dx a
例1 利 用 定 积 分的 几 何 意 义 计 算 下 列 积 分 .
(1) 1 xdx ; 0
(2) 1 1 x 2 dx . 0
解 (1 ) 1 x d x ， 0
表 示 由 x 0 , x 1 , y x 及 x 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 .
（2） a bk(fx)d xka bf(x)dx
（3） （4）
b
b
b
a [f1 (x ) f2 (x )] d x af1 (x )d x af2 (x )d x
b
c
b
a f(x)dxa f(x)dxc f(x)dx
其中，acb. 积分区间的可加性
课堂练习 课 本 P 8 0练 习 第 1 、 2 、 3 题
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
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第四章
§1
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b－a 2b－a (2)计算：过剩估计值 S1＝[f(a＋ n )＋f(a＋ n )＋„ nb－a 1 ＋f(a＋ n )]×n； b－a 2b－a 不足估计值 S2＝[f(a)＋f(a＋ n )＋f(a＋ n )＋„＋f(a n－1b－a 1 ＋ )]×n. n (3)近似代替：无论用 S1 还是用 S2 表示 S，误差都不会不超 过 S1－S2.
b k f(x)dx b b b － a (1) ＝ _______ ； (2) (k 为常 1dx kf(x)dx＝_______________ a
a a
数)；
ห้องสมุดไป่ตู้
b f(x)dx± g(x)dx b (3) [ f ( x )± g ( x )] d x ＝ ____________________ ； a a
定积分
一般地，给定一个在区间[ a，b] 上的函 数 y＝f(x)，其图像如图所示． 将区间[ a，b] 分成 n 份，分点为： a＝x0<x1<x2<„<xn－1<xn＝b. 第 i 个小区间[ xi －1，xi ] ，设其长度为 Δxi，在这个小区间上 取一点 ξi，使 f(ξi)在区间[ xi －1，xi ] 上的值最大，设 S＝f(ξ1)Δx1 ＋f(ξ2)Δx2＋„＋f(ξi)Δxi＋„＋f(ξn)Δxn.
问题，变力做功等问题，充分演示了定积分概念产生的背景以
及定积分概念形成过程中的思路．微积分基本定理为我们处理 积分的计算问题提供了有力工具，教科书主要介绍了求简单图
形的面积和求简单旋转体的体积．
第四章
定积分
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通过对不同背景下的问题中蕴涵的统一的数学内容过程的 揭示，认识到数学与生活的联系，通过微积分基本定理揭示出
某一个固定的常数 A 的差也趋于 0，此时，S 与 s 同时趋于 __________________ ，我
们 称 A 是 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [ a ， b] 上 的 定 积 分 ， 记 作 b b f ( x )d x f(x)dx a a _____________ ，即 A＝___________. 其中积分号是∫，积分的 下限是 a，积分的上限是 b，f(x)叫作被积函数.
b (2)当 f(x)表示速度关于时间 x 的函数时， f(x)dx 表示的是 a
运动物体从 x＝a到x＝b时所走过的路程 ___________________________________.
第四章
§1
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定积分的性质
第四章 §1
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2．求定积分时，要灵活地运用定积分的性质和几何意义， 这也是数形结合思想的体现． 3． 用定积分解决实际问题时， 先将实际问题化归为数学问 题，再用“以直代曲”的思想方法解题． 4．对定积分及性质的理解：
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第四章
定积分
第四章
定积分
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本章知识概述 本章的主要内容是定积分的概念，计算和简单应用． 教科书通过曲边梯形面积问题，变速直线运动物体的路程
第四章
§1
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定积分的意义
y＝_____________________ f(x)的图像与直线x＝a， b (1)当 f(x)≥0 时， f ( x )d x 表示的是
a
x＝b和x轴所围曲边梯形的面积． ____________________________________
第四章 §1
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在这个小区间上取一点 ξi，使 f(ξi)在区间[ xi －1，xi ] 上的值最 小，设 s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋„＋f(ξi)Δxi＋„＋f(ξn)Δxn. 如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0，那么 S 与 s
2 ．理解并体会“以直代曲”的数学思想，会求较简单的 曲边梯形的面积． 3 ．掌握定积分的概念和简单性质，理解定积分的几何意 义．
4 ．能够利用定积分的定义对一些简单的定积分进行计
算． 本节重点：定积分的概念及性质． 本节难点：以直代曲的思想.
第四章 §1
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b
a
b c b (4) f ( x )d x ＝ f(x)dx＋ f(x)dx.
a a c
第四章
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1.求曲边梯形面积的步骤 设由曲线 y＝f(x)，直线 x＝a，直线 x＝b(a<b)及 x 轴围成 的曲边梯形的面积为 S.其求解步骤是： (1)分割：将区间[ a，b] n 等分．
的两类完全不同的问题间的互逆关系，展示了数学的神奇魅
力． 本章学习的重点是定积分的几何意义、微积分基本定理及
定积分的应用，难点是对定积分的定义、思想方法的认识.
第四章
定积分
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
第四章
§1 定积分的概念
第四章
§1
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1
课前自主预习
2
课堂典例探究
4
课 时 作 业
第四章
§1
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课前自主预习
第四章
§1
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1.通过实例，如求曲边梯形的面积、变力做功、变速直线
运动的路程和位移等，理解定积分的实际背景．