全国各地高三数学高考模拟试卷(新课标)分章精编---圆锥曲线解答题二

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高三数学各地模拟考试专题精选圆锥曲线

圆锥曲线1、（2009江西八校4月联考）F 1、F 2是)0(12222>>=+b a by a x 左、右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A 、B ，且02=⋅AF ，||||2AF =，则椭圆离心率为（）A ．22B ．23C ．36-D ．26- C2、（2009吉安市一模）若方程14422=+--k y k x 表示双曲线，则它的焦点坐标为 A ．)0,2(),0,2(k k -B ．)2,0(),2,0(k k -C ．)0,||2(),0,||2(k k -D ．由k 决定D3、（2009九江市二模）椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ，若四边形12PQF F 为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．1(0,)2) B ．(0,2) C ．1(,1)2 D ．(2C4、（2009上高二中第十次月考）抛物线x y 5362=的准线与双曲线)0(19222>=-b b y x 的左准线重合，则此双曲线的渐近线方程是（） A ．x y 43±= B ．x y 34±= C ．x y 35±= D ．x y 53±= B5、（2009江西师大附中等五所重点名校4月联考）如图，直线MN 与双曲线2222:1x y C a b-=的左右两支分别交于M 、N 两点，与双曲线C 的右准线相交于P 点，F 为右焦点，若|FM|=2|FN|，又()NP PM R λλ=∈，则实数λ的取值为（） A ．12B ．1C ．2D ．13A二、解答题1、（2009吉安市一模）已知椭圆)1(1:22221>>=+b a bx a y C 与抛物线:2C )0(22>=p py x 的交点分别为B A ，，如图所示，(1)若2C 的焦点恰好是1C 的上焦点F ，且；AB 过点F ，求1C 的离心率；(2)设41=p 且抛物线2C 在A 点处的切线l 与y 轴的交点为)2,0(-D ，求22b a +的最小值和此时椭圆的方程。

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即， 2分由，∴椭圆：. 4分（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分得：，∴. 6分得：，∴， 7分∴. 9分．设，，令，得．又，∴在单调递增，在单调递减. 11分∴当时，，即的最大值为. 13分法二：依题意射线的斜率存在，设，设 5分得：，∴. 6分= 9分.设，则.当且仅当即.法三：设点，，6分= . 7分又，设与联立得： . 9分令. 11分又点在第一象限，∴当时，取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.【考点】抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；（2）设圆M的半径为,连结，显然有根据椭圆的标准方程知,所以，从而找到符合条件的定圆.解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二：设，因为圆过原点，所以所以，所以，所以点于是点的坐标为或，易求圆的半径所以圆的方程为或 6分（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为 8分探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．（13分）【考点】1、椭圆的定义与标准方程；2、圆的定义与标准方程.5.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故对称中心的点坐标为（）；由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.【考点】双曲线的几何性质，直线方程，两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．8.已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。

圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编

圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C ：x 2+y 2=16(y >0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y )，由题意，根据中点的坐标表示可得P (x ,2y )，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y )，则P (x ,y 0),P (x ,0)，因为M 为PP 的中点，所以y 0=2y ，即P (x ,2y )，又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上，所以x 2+4y 2=16(y >0)，即x 216+y 24=1(y >0)，即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选：A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ，点P -6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ，则F 1F 2 =2c =8，PF 1 =62+4+4 2=10，PF 2 =62+4-4 2=6，则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4，则e =2c 2a =84=2.故选：C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF 2 =m ，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，∠F 1PF 2=90°，设PF 2 =m ，∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2，由k PF 2=tan θ1=2，求得sin θ1=25，因为∠F 1PF 2=90°，所以k PF 1⋅k PF 2=-1，求得k PF 1=-12，即tan θ2=12，sin θ2=15，由正弦定理可得：PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5，则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ，由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22，则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10，由双曲线第一定义可得：PF 1 -PF 2 =2a =22，a =2,b =c 2-a 2=8，所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选：C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4，则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点P x,y，则x>-2且x-22+y2×x-a=4，因为曲线过坐标原点，故0-22+02×0-a=4，解得a=-2，故A正确.对于B：又曲线方程为x-22+y2×x+2=4，而x>-2，故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时，22-22×22+2=8-4=4，故22,0在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0，故此时y2>1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点x0,y0在曲线上时，由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与⊙A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证k PA k AB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PB=PF，于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标y P=4，由y2P=4x P，得到x P=4，故P(4,4)，此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15，B选项正确；C选项，当PB=2时，xP=1，此时y2P=4x P=4，故P(1,2)或P(1,-2)，当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-20-1=-2，k AB=4-20-(-1)=2，不满足k PA k AB=-1；当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-(-2)0-1=-6，k AB=4-(-2)0-(-1)=6，不满足k PA k AB=-1；于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB=PF，这里F(1,0)，于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题，A(0,4),F(1,0)，AF中点12,2，AF中垂线的斜率为-1kAF =14，于是AF的中垂线方程为：y=2x+158，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，Δ=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PA=PF，D选项正确.方法二：(设点直接求解)设Pt24,t，由PB⊥l可得B-1,t，又A(0,4)，又PA=PB，根据两点间的距离公式，t416+(t-4)2=t24+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ，即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，故AB =2b 2a =10，AF 2 =b 2a=5，又AF 1 -AF 2 =2a ，得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13，解得a =4，代入b 2a=5得b 2=20，故c 2=a 2+b 2=36,，即c =6，所以e =c a =64=32.故答案为：327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ，则焦点坐标为．【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ，所以其焦点坐标为4,0 .故答案为：4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1，则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1，解得y =±52，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ，联立x 24-y 2=1y =k x -3 ，化简并整理得：1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0，由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0，解得k =±12或无解，即k =±12，经检验，符合题意.故答案为：±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ，故p2=1即p =2，由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0，故x =4或x =-6(舍)，故A 4,±4 ，故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0，故原点到直线AF 的距离为d =45=45，故答案为：4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1，设点P x 0,y 0 ，由题意得x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程y 2=4x ，得y 20=32，解得y 0=±42，则点P 到x 轴的距离为42．故答案为：42．11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程，解出即可；(2)方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设B x 0,y 0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线y =kx +3，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设PB :y -32=k (x -3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12，所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一：k AP=3-320-3=-12，则直线AP的方程为y=-12x+3，即x+2y-6=0，AP=0-32+3-3 22=352，由(1)知C:x212+y29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B 23cos θ,3sin θ ，其中θ∈0,2π ，则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255，联立cos 2θ+sin 2θ=1，解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1，即B 0,-3 或-3,-32，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B 0,-3 ，S △PAB =12×6×3=9，符合题意，此时k l =32，直线l 的方程为y =32x -3，即3x -2y -6=0，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0，且k ≠-12，则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2，则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9，解的k =12或k =32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3，y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9，故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时，过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32，与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5，所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ，该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ，从而x 2=3，y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ，与x 2-y 2=9联立，得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0，由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点，故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理，另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2，相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW =c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，点M 1,32 在C 上，且MF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ ⊥y 轴．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线方程和椭圆方程，用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ，结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0，故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ，由题设有c =1且b 2a =32，故a 2-1a =32，故a =2，故b =3，故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在，设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0，故-12<k <12，又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2，而N 52,0 ，故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ，故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5，所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0，故y 1=y Q ，即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ，B ，C 0,1 ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2，进一步得a ，由此即可得解；(2)说明直线AB 斜率存在，设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立椭圆方程，由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，令x =0，即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)显然直线AB 斜率存在，否则B ,D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t ，化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC=12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t-3≤t ≤32 ，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2，过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时，求b 的值．(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若A 1R ⋅A 2P=1，求b 的取值范围．【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2，则c =2，b =22-1=3．(2)当b =263时，双曲线Γ:x 2-y 283=1，其中M -2,0 ，A 21,0 ，因为△MA 2P 为等腰三角形，则①当以MA 2为底时，显然点P 在直线x =-12上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以A 2P 为底时，MP =MA 2 =3，设P x ,y ，则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ，矛盾，舍去)；③当以MP 为底时，A 2P =MA 2 =3，设P x 0,y 0 ，其中x 0>0,y 0>0，则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1，解得x 0=2y 0=22，即P 2,22 ．综上所述：P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 ，当直线l 的斜率为0时，此时A 1R ⋅A 2P=0，不合题意，则k l ≠0，则设直线l :x =my -2，设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 ，联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0，显然二次项系数b 2m 2-1≠0，其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0，y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①，y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②，A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ，则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1，因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上，则x 1=my 1-2，x 2=my 2-2，即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1，即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0，将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0，即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0，解得b 2≤103，又因为b >0，则0<b 2≤103，综上知，b 2∈0,3 ∪3,103 ，∴b ∈0,3 ∪3,303．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设l :x =my -2，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22，则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数a ，再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴，则离心率e =a 2-3a =22，得a 2=6，此时焦距2c =26-3=23，若椭圆的焦点在y 轴，则离心率e =3-a 23=22，得a 2=32，此时焦距2c =23-32=6，所以该椭圆的焦距为23或6.故选：D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)，圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4，O 2:x 2+(y -1)2=1，所以两圆方程相减可得y =2x ，由题意知C 的一条渐近线为y =2x ，即ba =2，双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5．故选：C ．3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ，则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1，2D.102,10【答案】A【详解】依题意，双曲线E :3mx 2-my 2=3化为：y 2-3m -x 2-1m=1，则-3m +-1m =22，解得m =-1，双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选：A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ，N ，则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y )，根据线段MN 的中点为P ，则CP ⊥MN ，即CP ⊥AP ，所以CP ⋅AP =0，又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4)，所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0，即x 2+y 2=25，所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C 内的一部分，故选：D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ，点B -1,0 ，动点M 满足直线AM ，BM 的斜率之积为4，则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ，B -1,0 ，根据直线AM 与BM 的斜率之积为4．整理得y x +1⋅y x -1=4，化简得：x 2-y 24=1(x ≠±1)．故选：D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2，点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点，则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ，使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4，可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4，整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，由x 用-x 代换，方程没变，可知曲线C 关于y 轴对称，由y 用-y 代换，方程没变，可知曲线C 关于x 轴对称，由x 用-x 代换，y 用-y 同时代换，方程没变，可知曲线C 关于原点对称，图象如图所示：所以①不正确，②正确；③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x，可得x 4=0，即x =0，所以y =0，所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0)，所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程，即原点O 在曲线C 上，则OF 1 =OF 2 ，即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时，满足PF 1 =PF 2 ，所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R ，S 两点，则下列命题正确的是()A.存在直线l ，使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时，|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ，使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ，则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解：对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y =kx +t ，与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1，得：b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0，其中b 2-a 2k 2≠0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，由根与系数关系得：x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2，所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，将直线l :y =kx +t ，与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak，将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ，所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合．所以，对任意的直线l ，都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |，故B 项不正确；对于C 项：因为|OB |为定值，当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时，S △ORB 趋向于无穷，所以S △ORB 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线y =bax ，解得Sa 22b +a ,ab2b +a，联立直线l 与渐近线y =-b a x ，解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知，BR =3BS ，3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ，解得b =2a ，所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3，故D 项正确．故选：D ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a ,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点，焦距为82，点P 在双曲线C 上，OP =OF 2 ，且△POF 2的面积为8，则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8，所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ，所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ，PF 2 =n ，所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2，所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2，所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16，又b >0，所以b =4.焦距为2c =82，所以c =42，则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16，所以a =4，则离心率e =424=2.故选：C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，点O 为坐标原点，且S △AOF =2S △BOF ，则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图：设直线倾斜角为α，抛物线的准线l ：x =-1作AM ⊥l 于M ，根据抛物线的定义，AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α，所以|AF |=21-cos α，类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |，得cos α=13，故k =tan α=22.故选：A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点，若点P (1,2)在C 上，则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意，2=a ×12，解得a =2，所以C :x 2=y 2的准线为y =-18，所以|PF |=2+18=178，故选:D ．11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过抛物线上点P 作准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示：设 M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且PF =PQ ，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°，因为FM ⎳PQ ，所以∠QFM =30°，而在Rt△QMF中，QF=FMcos30°=232=433，所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选：A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0，B2,0，C1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A，设M x,y，因为A-2,0，B2,0，所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34，化简得x24+y23=1x≠±2，故A错误；对于选项B，因为x24+y23=1x≠±2，则a=2，b=3，则c=a2-b2=1，所以C1,0为椭圆的右焦点，则MCmin=a-c=2-1=1，故B正确；对于选项C，设PQ的方程 x=my+1，代入椭圆方程，得3m2+4y2+6my-9=0，设P x1,y1,Q x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，Δ=36m2+363m2+4>0，所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4，令m2+1=t≥1，则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t，令g t =3t+1tt≥1，则S△OPQ=6g t，t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0，g t 在1,+∞为增函数，g t ≥g1 =4，g t min=4，所以S△OPQmax=64=32，当且仅当t=1时即m=0等号成立，故C正确；对于选项D，因为Rx1+x22,y1+y22，x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4，y1+y22=-3m3m2+4，所以R43m2+4,-3m3m2+4，则x R=43m2+4，设D x D ,0 ，则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1，则x D =13m 2+4，所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后，分别经过点C 和D ，其中AF 2 ,BF 2共线，则()A.若直线AB 的斜率k 存在，则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时，△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时，cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示，过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2，则l 1,l 2的斜率分别为62和-62，对于A 中，由图可知，当点A ,B 均在E 的右支时，k <-62或k >62，所以A 正确；对于B 中，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6，所以B 正确；对于C 中，由AB ⋅AD =AB 2，得AB ⋅AD -AB =0，即AB ⋅BD=0，所以AB ⊥BD ，设BF 1 =n ，则BF 2 =n -2a =n -4，因为∠ABD =π2，所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40，整理得n 2-4n -12=0，解得n =6或n =-2(舍去)，所以BF 1 =6，BF 2 =2，所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6，所以C 错误；对于D 项，在直角△F 1BF 2中，cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010，所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010，所以D 正确．故选：ABD ．14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点，且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1)，则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1，由条件，点P 应在双曲线C 的右支上，设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M ､N ､A ，则由题A 3,0 ，且PM =PN ,F 1M =F 1A ，F 2N =F 2A ，又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3，A 选项正确；由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ，连接IF 1、IF 2、IA ，则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18，所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663，B 选项错误；同理，tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43，∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125，∴⇒tan∠F 1PF 22=32，所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323，又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2，故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643，∴△PF 1F 2的周长为643，C 选项正确；由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213，由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512，D 选项正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(t ,1)时，|PF |=2，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，下列结论正确的是()A.抛物线的方程为：x 2=8yB.抛物线的准线方程为：y =-1。

高三数学试卷模拟题及答案

高三数学试卷模拟题及答案
第一部分：选择题
1.下列函数中，是奇函数的是（） A. y=x3+x B. y=2x2−3x C.
y=2x+x D. y=x2−x
答案：A
2.在等差数列 $2, 5, 8, \\ldots$ 中，第n项为a n，则a10=（） A. 19
B. 20
C. 21
D. 22
答案：D
3.若 $\\log_2 a = 3$，$\\log_5 b = 2$，则 $\\log_{10}(a^2b)=$ （） A.
12 B. 15 C. 18 D. 24
答案：A
4.已知P是(−1,3)点到直线2x−y+1=0的距离，Q是(−2,1)点到
直线x−3y+1=0的距离，则P:Q=（） A. 2:1 B. 1:2 C. 3:1 D. 1:3
答案：B
5.函数 $f(x)=\\frac{x}{x-3}$，则f(f(x))的定义域是（） A. x eq3 B.
x eq0 C. x eq3且x eq0 D. 全体实数
答案：A
第二部分：解答题
1.已知函数 $f(x)=\\log_ax$，a eq1，求证：
$f(x)+f\\left(\\frac{1}{x}\\right)=0$ 成立的充分必要条件是a=1或a=−1。

（证明过程略）
2.某数列的前n项和S n满足关系式S n=2n2+n，求该数列的通项公
式。

（解答过程略）
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点(1,2)，且对称轴为直线
x=2，求a,b,c的值。

（解答过程略）
以上为高三数学试卷模拟题及答案，同学们可以仔细查阅，认真思考，争取取
得好成绩。

高考数学模拟题汇编《圆锥曲线》专项练习题-带答案

高考数学模拟题汇编《圆锥曲线》专项练习题-带答案一单选题1．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知点F 是双曲线2219y x -=的左焦点点P 是双曲线上在第一象限内的一点点Q 是双曲线渐近线上的动点则PF PQ +的最小值为（） A ．8B ．5C ．3D ．22．（23-24高三上·辽宁大连·期末）已知曲线“()()22:log 2024log 20241a b C x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分非必要条件是（） A ．0a b << B ．1a b << C ．32a b << D ．1b a <<3．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知双曲线22:124x y C -=的左右焦点分别为1F 2F .过2F 作其中一条渐近线的垂线垂足为P 则1PF =（） A 3B ．3C ．2D ．44．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）圆锥曲线的发现与研究起源于古希腊阿波罗尼奥斯（前262-前190）的《圆锥曲线论》全书8篇共487个命题. 16世纪天文学和物理学揭示了圆锥曲线是自然界物体运动的普遍性形式. 17 18世纪随着射影几何学和解析几何学的创立发展 18世纪40年代瑞士数学家欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述. 现有圆锥PO '顶点为P 底面圆心为O ' 母线与底面直径的长度相同. 点A 在侧面上点B 在底面圆周上 MN 为底面直径二面角A MN B --为30. 已知平面AMN 与圆锥PO '侧面的交线是某椭圆的一部分则该椭圆的离心率为（） A ．22B 3C ．12D 5二多选题5．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）直线3x ty =+过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点且与C 交于M N 两点则（） A ．3p =B ．6pC ．MN 的最小值为6D ．MN 的最小值为126．（23-24高三上·辽宁大连·期末）已知椭圆22:143x y E +=左焦点F 左顶点C 经过F 的直线l 交椭圆于,A B 两点（点A 在第一象限）则下列说法正确的是（）A ．若2AF FB = 则l 的斜率6k =B ．4AF BF +的最小值为274C ．以AF 为直径的圆与圆224x y +=相切D ．若直线,AC BC 的斜率为12,k k 则1294k k ⋅=-7．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知点A B 在双曲线C ：221x y -=上点()00,M x y 是线段AB 的中点则（）A ．当22001x y ->时点A B 在双曲线的同一支上B ．当22000x y -<时点A B 分别在双曲线的两支上C ．存在点A B 使得22000x y -=成立D ．存在点A B 使得220001x y <-<成立三填空题8．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知F 为拋物线21:4C y x =的焦点过点F 的直线l 与拋物线C 交于不同的两点A B 拋物线在点,A B 处的切线分别为1l 和2l 若1l 和2l 交于点P 则225||PF AB +的最小值为 .9．（23-24高三上·辽宁大连·期末）如图所示在圆锥内放入两个球12,O O 它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切切点圆分别为12,C C .这两个球都与平面α相切切点分别为12,F F 丹德林（G .Dandelin ）利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆 12,F F 为此椭圆的两个焦点这两个球也称为G .Dandelin 双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为3012,C C 的半径分别为2 5 点M 为2C 上的一个定点点P 为椭圆上的一个动点则从点P 沿圆锥表面到达M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是 .10．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）点A 在圆()2232x y -+=上点B 在抛物线24y x =上则线段AB 长度的最小值为 . 四解答题11．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>经过31,,(2,0)2D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点.作斜率为12的直线与椭圆G 交于,A B 两点（A 点在B 的左侧）且点D 在直线l 上方. (1)求椭圆G 的标准方程(2)证明：DAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.12．（23-24高三上·辽宁大连·期末）已知抛物线2:2(0)G x py p =>经过点()2,1 经过点()0,2的直线l 与抛物线G 交,A B 两点过,A B 两点作抛物线G 的切线相交于点P Q 为线段AB （,A B 两点除外）上一动点直线PQ 与抛物线G 交,C D 两点.(1)若PAB 的的面积为123 求直线l 方程(2)求证：PC PD CQDQ=.13．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 2F 过点1F 作x 轴的垂线并与C 交于A B 两点过点2F 作一条斜率存在且不为0的直线与C 交于M N 两点||3AB = 1F MN △的周长为8.(1)求C 的方程.(2)记1A 2A 分别为C 的左右顶点直线1A M 与直线AB 相交于点P 直线2A N 与直线AB 相交于点Q 12PA A △和12QA A △的面积分别为1S 2S 试问12S S 是否为定值？若是求出该定值若不是请说明理由.14．（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系xOy 内已知定点()2,0F 定直线3:2l x = 动点P 到点F 和直线l 的距离的比值为233记动点P 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程．(2)以曲线E 上一动点M 为切点作E 的切线l ' 若直线l '与直线l 交于点N 试探究以线段MN 为直径的圆是否过x 轴上的定点．若过定点．求出该定点坐标若不过请说明理由．15．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中已知点()12,0F - ()22,0F 点P 满足1226PF PF +=. 记P 的轨迹为C . (1)求C 的方程 (2)已知点()3,1A 设点M N 在C 上且直线MN 不与x 轴垂直记1k 2k 分别为直线AM AN 的斜率.（ⅰ）对于给定的数值λ（R λ∈且13λ≠）若12k k λ= 证明：直线MN 经过定点（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q 求点Q 的轨迹方程.参考答案：1．B【分析】设右焦点为G 根据双曲线的定义可得2PF PQ PG PQ +=++ 再根据三角形性质结合点到线的距离求解即可. 【详解】设右焦点为()10,0G又由对称性不妨设Q 在渐近线30x y -=上.根据双曲线的定义可得22PF PQ PG PQ GQ +=++≥+ 当且仅当,,P G Q 三点共线时取等号.又当GQ 与渐近线垂直时取最小值为22310331GQ ==+ 故PF PQ +最小值为5.故选：B 2．C【分析】若()()22:log 2024log 20241a b C x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆得出对应a b 关系结合充分条件与必要条件的性质即可得.【详解】若()()22:log 2024log 20241a b C x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆则有log 20240log 20240log 2024log 2024a b a b >⎧⎪>⎨⎪>⎩ 即11a b a b>⎧⎪>⎨⎪<⎩ 即1a b << 故A D 选项为既不充分也不必要条件 B 选项为充要条件 C 选项为充分非必要条件故C 选项符合要求. 故选：C. 3．B 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为0ay bx ±= 其中2,2a b == 所以()2,0F c 到0ay bx ±=的距离为22bc b a b=+ 因此2PF b =2OF c = 22PF b == 则()()2222OP F O PF a =-=由222222112212||||022OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅得()22221212||2(26)16PF PF OP OF +=+=⨯+= 解得123PF =.故选：B4．B【分析】根据条件确定椭圆的长轴长和椭圆上一点求出b 再求c 可得椭圆的离心率.【详解】如图：（图一）为空间几何体的直观图（图二）为平面POB 截空间几何体的剖面图（图三）为以椭圆长轴所在直线为x 轴长轴中垂线为y 轴的平面图形.易得(图二)中线段AD 的长为椭圆长轴长不妨设圆锥底面半径为2 则4PB =由题意可知PBE △为正三角形 30AOB ︒∠= 60PBO ︒∠=所以PB AD ⊥ 所以1,3AB AO == 所以3AP = 所以332AD a == 所以在（图三）中32N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 将32N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入22221x y a b +=中解得32b = 所以222793422c a b =-- 所以332e 33c a ===. 故选：B 5．BD【分析】先根据题意及直线3x ty =+过定点(3,0)即可判断A B 再根据抛物线的性质知直线垂直于x 轴MN 取得最小值进而即可判断C D ．【详解】对于A B 由直线3x ty =+与x 轴的交点坐标为(3,0) 则32p 即6p 故A 错误 B 正确对于C D 当直线垂直于x 轴即0=t 时 MN 取得最小值且最小值为212p =．故C 错误 D 正确．故选：BD ． 6．BCD【分析】对于A 联立直线l 的方程与椭圆方程结合韦达定理以及2AF FB =即可验算对于B 由弦长公式韦达定理可得1111AF BF +为定值结合基本不等式之“乘1法”即可判断对于C 结合椭圆定义以及两点间距离公式即可判断C 对于D 由韦达定理以及斜率公式即可判断 D.【详解】易知：()()121,0,1,0F F - 对于A 若112AF F B = 显然直线1l 的斜率存在且大于0设直线()()11122:1,,,,l x my A x y B x y =- 联立椭圆方程221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简整理得()2234690m y my +--= 显然12122269Δ0,,,3434m y y y y m m ->+==++ 又()()1111221,,1,AF x y F B x y =---=+ 故122y y =-由122122126349342m y y m y y m y y ⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪=-⎪⎪⎩解得245m = 又0k > 故5k = A 错误对于B 由点A 在x 轴的上方显然120,0y y ><又2211121,1AF m y BF m y =+=-+2122211121211111AF BF m y m y m y y +=+⋅+⋅+⋅⋅()()()2221122221221214434391134m y y y y m m m y y m +⎡⎤-+-⋅⎣⎦+===++⋅⋅+ 故()111111311444AF BF AF BF AF BF ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭11111111443327552444BF AF BF AF AF BF AF BF ⎛⎛⎫ =++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝当且仅当11114BF AF AF BF = 即112AF BF =时取等 B 正确对于C 设()11,A x y 1AF 的中点为P 则111,22x y P -⎛⎫⎪⎝⎭又()221211442x AF y OP -=+=由椭圆定义知：21||||222AF AF += 即1||||22AF OP =-又224x y +=的圆心为(0,0)O 半径为2 故以1AF （AF ）为直径的圆与圆224x y +=相切 C 正确对于D 2121212122222698124,,,34343434m m y y y y x x x x m m m m ---++==+==++++ ()()()212122*********934124822244243434AC BCy y y y m k k m x x x x x x m m -+⋅====--+-++++++⋅+++ D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：判断B 选项的关键是首先得出1111AF BF +为定值判断C 选项的关键是结合椭圆定义以及圆相切的条件从而即可顺利得解. 7．ABC【分析】分类谈论对直线AB 是否存在斜率的时候讨论弦的中点问题.【详解】若直线AB 不存在斜率设直线方程为：0x x = 代入221x y -=得：2201y x =-当01x >或01x <-时 ()0,0M x 是弦AB 的中线此时A B 关于x 轴对称且在双曲线的同一支上22001x y ->若直线AB 存在斜率设直线方程：()00y y k x x -=-⇒()00y kx y kx =+-代入221x y -=得：()220010x kx y kx ⎡⎤-+--=⎣⎦整理得：()()()22200001210k x k y kx x y kx ------=. 因为直线AB 与双曲线有两个不同的交点所以：210k -≠且()()()222000024110k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=----+>⎣⎦⎣⎦所以：22220000120k k x kx y y --+-<设()11,A x y ()22,B x y 则()0012221k y kx x x k -+=-由1202x x x +=⇒()0002221k y kx x k -=-⇒00x k y = 所以： 222200000000001?2?·0x x x x x y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒()()2222000010x y x y ⎡⎤--->⎣⎦ ⇒2200x y -<或22001x y ->.故D 不成立又()2012211y kx x x k -+=-()22000220y x y x y-+=-当22000x y -<时 120x x < A B 两点分别在双曲线的两支上当22001x y ->时 120x x > A B 两点在双曲线的同一支上.故AB 成立当000x y ==时 ()1,0A - ()1,0B 可使命题成立故C 正确. 故选：ABC 8．10 【分析】设直线AB 方程为1y kx =+ ()()1122,,,A x y B x y 联立抛物线方程得出韦达定理再利用导数的几何意义求解,AP BP 方程联立,AP BP 可得()2,1P k - 再代入225||PF AB+根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】2:4C x y =的焦点为()0,1 设直线AB 方程为1y kx =+ ()()1122,,,A x y B x y .联立直线与抛物线方程有2440x kx --= 则()212122444AB y y k x x k =++=++=+.又214y x =求导可得12y x '= 故直线AP 方程为()11112y y x x x -=-.又21114y x =故21111:24AP y x x x =- 同理22211:24BP y x x x =-.联立21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得()()2212121124x x x x x -=- 解得122x x x += 代入可得1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭代入韦达定理可得()2,1P k - 故244PF k +故()22222252525||44244104444PF k kAB k k +=++≥+⨯=++ 当且仅当22254444k k +=+ 即12k =±时取等号.故答案为：10 【点睛】方法点睛：如图假设抛物线方程为22(0)x py p => 过抛物线准线2p y =-上一点00(,)P x y 向抛物线引两条切线切点分别记为,A B 其坐标为1122(,),(,)x y x y . 则以点P 和两切点,A B 围成的三角形PAB 中有如下的常见结论:结论1.直线AB 过抛物线的焦点F . 结论2.直线AB 的方程为0002()2y yx x pp y y +==+. 结论 3.过F 的直线与抛物线交于,A B 两点以,A B 分别为切点做两条切线则这两条切线的交点00(,)P x y 的轨迹即为抛物线的准线. 结论4.PF AB ⊥. 结论5.AP PB ⊥.结论6.直线AB 的中点为M 则PM 平行于抛物线的对称轴. 结论7.2PF AF BF =⋅.9．6【分析】在椭圆上任取一点P 连接VP 交球1O 于Q 交球2O 2C 于点R 根据111O PF O PQ ≌可知1PF PQ = 则1PF d PQ d PQ PR QR +=+≥+= 由此可求得最小值.【详解】解：在椭圆上任取一点P 连接VP 交球1O 于点Q 交球2O 于点R连接111112,,,,O Q O F PO PF O R 在11ΔO PF 与1ΔO PQ 中有： 111O Q O F = （1r 为圆1C 的半径 2r 为圆2C 的半径）11190O QP O F P ∠=∠=1O P 为公共边所以111O PF O PQ ≅ 所以1PF PQ =设点P 沿圆锥表面到达M 的路线长为d 则1PF d PQ d PQ PR QR +=+≥+= 当且仅当P 为直线VM 与椭圆交点时取等号 125261sin302r r QR --=== 所以最小值为6. 故答案为：6.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是证明111O PF O PQ ≅得出 1=PF PQ 从而1PF d PQ d PQ PR QR +=+≥+= 转化为 ,,V P M 三点共线时求QR .102【分析】先求出圆心和半径再由两点间距离公式和配方法求出即可. 【详解】圆()2232x y -+=的圆心()3,0C 2r =设(,2,0B m m m ≥ 则()()()222min 3221822AB BC r m mm =-=-+=-+211．(1)22143x y +=(2)解析见详解【分析】（1）根据E 点坐标可知2a = 再将D 点坐标代入椭圆方程可求b 的值从而得到椭圆的标准方程.（2）分析出AD BD k k =- 得到ADB ∠的平分线就是过D 点且与x 轴垂直的直线也就是所求三角形内切圆圆心所在的直线.【详解】（1）因为椭圆焦点在x 轴上且过点()2,0E 所以2a = 有椭圆过点31,2D ⎛⎫⎪⎝⎭所以219144b+=⇒23b =.故椭圆G ：22143x y +=. （2）如图：设直线AB 的方程为12y x t =+ 联立方程组：2212143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y 得： 22134122x x t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭整理得：2230x tx t ++-=.由0∆>得：()22430t t -->⇒24t <.设()11,A x y ()22,B x y 则：12x x t +=- 212·3x x t =-. 又111111313231222·1121ADy x t x t kx x x -+-+-===--- 22231·21BD x t k x +-=-. 因为：AD BD k k +=1212232311··2121x t x t x x +-+-+--()()()()()()1221122312311·211x t x x t x x x +--++--=--()()()()()1212122242231·211x x t x x t x x +-+--=--()()()()2123223011t t t t x x -----==-- 所以：ADB ∠的角平分线为：1x =. 故DAB 的内切圆圆心一定在直线1x =上.【点睛】关键点点睛：把问题转化为证明0AD BD k k += 从而得到ADB ∠的角平分线是定直线进而说明DAB 的内切圆圆心在直线上.这个转化是关键.12．(1)2y x =±+ (2)证明见解析【分析】（1）由题意设直线AB 方程为2y kx =+ 将该直线的方程与抛物线的方程联立列出韦达定理得弦长AB 利用导数求得切线AP 与BP 的方程得出P 点坐标计算点P 到直线AB 距离d 由11232PAB S AB d =⨯=△k 的值可得解（2）方法一：设()()()003344,,,,,Q x y C x y D x y 设(),,1,1PC CQ PD DQ λμλμ==≠-≠- 可得33,x y 的表达式代入抛物线方程化简结合点()00,Q x y 在直线AB 上求得0λμ+= 即可证得结论.方法二：设()()()3344,,,,,Q Q Q x y C x y D x y 设直线PQ 方程为()()22,y m x k m k +=-≠ 与抛物线方程联立方程组根据根与系数的关系结合||,||,||,||PC DQ PD CQ 的表达式计算可证得出结论．【详解】（1）已知抛物线2:2(0)G x py p =>经过点()2,1 所以抛物线2:4G x y = 设()()1122,,,A x y B x y 由题意可知直线AB 斜率存在设直线AB 方程为2y kx =+联立方程组242x yy kx ⎧=⎨=+⎩ 可得2480x kx --= 所以21212Δ16320,4,8k x x k x x =+>+==-所以弦长22212111632AB k x k k +-=++ 12y x '=所以切线AP 方程：()11112y y x x x -=- 即2111124y x x x =-①同理可得切线BP 方程：2221124y x x x =-② 联立①和②方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：122,22x x x k y +===- 所以()2,2P k - 又因为点P 到直线AB 距离22421k d k+=+所以()232222242111163242123221PABk S AB d k k k k +=⨯=++⨯=+=+△可得21k = 即1k =± 所以直线AB 方程为2y x =±+.（2）方法一：设()()()003344,,,,,Q x y C x y D x y 设(),,1,1PC CQ PD DQ λμλμ==≠-≠-所以()()3303032,2,x k y x x y y λ-+=-- 所以03032121k x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩代入抛物线方程得：()()()2002412k x y λλλ+=+-+化简得()()22200004448480,x y kx y k λλ-+-+++= 同理()()22200004448480x y kx y k μμ-+-+++=即,λμ是方程()()22200004448480x y x kx y x k -+-+++=的两根因为点()00,Q x y 在直线AB 上即004480kx y -+=所以方程化为()222004480x y x k -++= 可得0λμ+=即PC PD CQDQ=成立.方法二：设()()()3344,,,,,Q Q Q x y C x y D x y由题意知直线PQ 的斜率存在设直线PQ 方程为：()()22,y m x k m k +=-≠联立方程组()2422x yy m x k ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩ 可得24880x mx km -++= ()23434Δ164880,4,88m km x x m x x km =-+>+==+因为22341,1Q PC m k x DQ m x +-=+- 22431,1Q PD m k x CQ m x +-=+-因为()()()()344320,20Q Q k x x x k x x x -->--> 所以||||||||PC DQ PD CQ -222234431111Q Q m k x m x m k x m x =+-+-+-+-()()()23434341422Q m k x x x k x x x x ⎡⎤=+---++⎣⎦()()()()221448164124Q Q m k m x km m k m x km ⎡⎤⎡⎤=+-++=+-++⎣⎦⎣⎦③由两条直线联立：()222y m x k y kx ⎧+=-⎨=+⎩可得24Q km x k m +=-+ 代入③可知()()22441240km PC DQ PD CQ m k m km k m +⎡⎤-=+-++=⎢⎥-+⎣⎦即PC PD CQDQ=成立.13．(1)22143x y +=(2)12S S 是定值定值为19【分析】（1）根据通径以及焦点三角形的周长即可联立求解,,a b c（2）联立直线与椭圆方程根据直线方程可得,P Q 坐标即可由三角形的面积公式化简求解. 【详解】（1）将x c =-代入2222:1(0)x y C a b a b +=>>可得2b y a=± 所以223,48,b aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得2a = 3b = 故C 的方程为22143x y += （2）12S S 为定值定值为19.理由如下：依题可设直线MN 的方程为(1)y k x =- ()11,M x y ()22,N x y联立方程组221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得()22223484120k x k x k +-+-= 则2122834k x x k +=+ 212241234k x x k -=+. 易知1(2,0)A - 2(2,0)A 直线AB 的方程为=1x - 则直线1A M 的方程为()1122y y x x =++ 令=1x - 得()1111122P k x y y x x -==++ 同理可得()222231322Q k x y y x x ---==--.()()()()()()1112111212212112122212122211312322312k x x x x PF S x x x x S QF x x x x x x k x x -+----+====-+-+----()()2121212121212112462111341218323239334k x x x x x x k k x x x x x x k ---+-++===-++---+. 故12S S 为定值且该定值为19.14．(1)2213x y -=(2)定点(2,0)T 理由见解析【分析】（1）设点(,)P x y 是所求轨迹E 上的任意一点根据题意列出方程即可求解（2）设l '的方程为y mx n =+ 联立方程组根据Δ0= 求得22130n m +-= 得到3mx n=- 求得31(,)m M n n -- 再联立两直线求得33(,)22N m n + 设(,0)T t 结合0TM TN ⋅=恒成立化简得到(2)(26)0t nt n m -++=恒成立求得t 的值即可求解.【详解】（1）解：设点(,)P x y 是所求轨迹E 上的任意一点因为定点()2,0F 定直线l ：32x =动点P 到点F 和直线l 2322(2)2332x y x -+=- 化简得2213x y -=所以曲线E 的方程为2213x y -=.（2）解：因为直线l '与l 相交所以l '的斜率存在可设l '的方程为y mx n =+ 联立方程组2213y mx n x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 整理得222(13)6330m x mnx n ----=则222(6)4(13)(33)0mn m n ∆=-----= 可得22130n m +-=即2213m n -=-且2213n m += 所以222690n x mnx m ---= 即2(3)0nx m += 所以3m x n =-则222331m n m y mx n n n n n-=+=-+==- 所以31(,)m M n n --联立方程组32y mx nx =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得32y m n =+ 即33(,)22N m n + 假设以线段MN 为直径的圆过x 轴上一定点设为(,0)T t 则TM TN ⊥ 所以0TM TN ⋅=恒成立即3133,,022m t t m n n n ⎛⎫⎛⎫---⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得3313()()()()022m t t m n n n ---+-+= 即2933310222m m m t t t n n n-+-+--= 整理得29632320m mt nt nt m n -+-+--=即22326120nt nt n mt m --+-= 即(2)(26)0t nt n m -++=恒成立要使得(2)(26)0t nt n m -++=恒成立则2t = 所以恒过定点(2,0)T 即以线段MN 为直径的圆过x 轴上一定点(2,0)T .【点睛】方法总结：解答圆锥曲线的定点定值问题的策略：1 参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量即确定题目中核心变量（通常为变量k ） ②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系得到关于k 与,x y 的等式再研究变化量与参数何时没有关系得出定点的坐标2 由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点再证明该定点与变量无关. 15．(1)22162x y +=(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）3y =（除去点(3,1)-）【分析】（1）根据椭圆的定义写出点P 的轨迹方程（2）设直线MN 的方程与椭圆方程联立得2631M N km x x k +=-+ 223631M N m x x k -=+ 用k 表示m 可得直线所过定点消去定点中的参数得Q 点的轨迹方程.【详解】（1）因为121226PF PF F F +=>所以P 的轨迹是以1F 2F 为焦点的椭圆设方程为22221x ya b+=(0)a b >>则226a = 2c = 222a c b -= 所以26a = 22b = C 的方程为22162x y +=.（2）设直线MN 的方程为：y kx m =+ 31k m +≠点M N 满足22162x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩即M x N x 满足222(31)6360k x kmx m +++-= 则2222364(31)(36)0k m k m -+-> 且2631M N km x x k +=-+ 223631M N m x x k -=+. （ⅰ3133(3)(3)3(31)N M N M M N M N k m x x x x k m -+==----++所以12313(31)k m k k k m λ-+==++ 得31(31)31m k λλ+=-+- 直线MN 的方程为：313131(31)(3)313131y kx k k x λλλλλλ+++=-+=---- 所以直线过定点3131(3)3131λλλλ++---. （ⅱ）由313313131Q Q x y λλλλ+⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩得3Q Q y x =（其中3Q x ≠ 所以点Q 的轨迹方程为直线3y x =（除去点(3,1)-）. 【点睛】关键点睛：设直线MN 的方程为：y kx m =+ 因为要证明过定点所以需要建立m 和k 之间的关系式在方程中消去一个可得直线所过定点.。

高三数学圆锥曲线试题答案及解析

高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【答案】D【解析】以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得：是的中点，利用中点坐标公式，得,在双曲线上，所以代入双曲线方程得：,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质；2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.（Ⅰ）求动点轨迹的方程；（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得．故曲线的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得． 7分设，，，．从而．11分当直线的斜率不存在时，得，得．综上，恒有． 12分【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，又圆与轴相切，故点的坐标为，不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义得到，再得到方程；（Ⅱ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算的值.试题解析：（Ⅰ）由题根据抛物线定义，所以，所以为所求． 2分（Ⅱ）设则，同理 4分设AC所在直线方程为，联立得所以， 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得， 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果.试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为， 2分设，所以的取值范围是 4分（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），（5分）代入得：即 7分同理 9分所以（10分）【考点】极坐标、参数方程，换元法应用.10.已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．【答案】B【解析】设、，所以、．所以．故选B．【考点】两点之间的距离点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。

圆锥曲线解答题(浙江省2021届高考模拟试题汇编(二模))(试题)

(浙江省2021届高考模拟试题汇编(二模))圆锥曲线解答题一、解答题1.(浙江省绍兴市2021届高三下学期4月适应性考试数学试题)已知抛物线C. : A-2=4y 和椭圆q：§+§ = i如图，经过抛物线G焦点r的直线，分别交抛物线q和椭圆G于A, B, C, O四点，抛物线G在点A, 〃处的切线交于点P.(1)求点P的纵坐标；(2)设汩为线段A8的中点，PM交0于点Q, BQ交"于点「记△TCEUQBP的面积分别为(i)求证：。

为线段PM的中点;C 8(ii)若裳=〒求直线，的方程.10.(浙江省台州市高三下学期4月二模数学试题)已知点F为椭圆C：y + r=)的左焦点，记点P到直线/：x = -2的距离为d,且号PFI.(I )求动点〃的轨迹方程；(I I )过点户作椭圆C的两条切线必，PB,设切点分别为AW)/。

"况)，连接AFBF.t(i)求证：直线必方程为工/ + 2凹)，-2 = ()；(ii)求证：AFLFB.11.（浙江省杭州市高三下学期4月二模数学试题）如图,已知抛物线C,:x2 = y在点A 处的切线/与椭圆C2：y+}'2=1相交，过点A作/的垂线交抛物线C于另一点们直线OB（。

为直角坐标原点）与/相交于点。

，记人3，）。

、心,无），且-',>0.(2)的取值范围.12.（浙江省嘉兴市平湖市高三下学期4月模拟测试数学试题）已知直线l:y = kx+rn(k <0)与椭圆y21交于A, B两点，且线段AB的中点P恰好在抛物线 C 2 :y 2 =-^-x±. ok（2）若过点户的直线/'与抛物线G 的另一交点为。

，且/_L/，，求面积的取值范围.（1）若抛物线G 的焦点坐标为（£o ）,就的值;13.（浙江省温州市高三下学期3月适应性测试数学试题）如图,过点F（1，O）和点顼4,0）的两条平行线4和12分别交抛物线r = 4X于A, 3和C,。

全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编---圆锥曲线解答题(二)

全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编《圆锥曲线》（二）71.记平面内动点M 到两条相交于原点O 的直线12l ,l 的距离分别为12,,d d 研究满足下列条件下动点M 的轨迹方程C ．（1）已知直线12l ,l 的方程为：y =，（a ）若22126d d +=，指出方程C 所表示曲线的形状；（b ）若124d d +=，求方程C 所表示的曲线所围成区域的面积；（c ）若1212d d =，研究方程C 所表示曲线的性质，写出3个结论．（2）若222122d d d +=，试用a,b 表示常数d 及直线12l ,l 的方程，使得动点M 的轨迹方程C 恰为椭圆的标准方程12222=+by a x （0>>b a ）．【解】（1）（a ）2229x y +=（b ）y y -+= 方程C 所表示的曲线所围成区域为正方形面积为（c ）22236x y -=，范围：6,x y ≤≤对称性：关于,x y 和原点对称；渐近线为：y = （2）设直线12l ,l 的方程为：bxy a=±（0>>b a ），则由222122d d d +=得，222222211()x y d a b a b+=+令d =12222=+b y a x （0>>b a ）．72.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2y x b =+并且直线是抛物线x y 42=的一条切线。

（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点)31,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（I ）由0)42(:4222=+-+⎩⎨⎧=+=b x b x y xy bx y 得消去因直线x y b x y 42=+=与抛物线相切04)42(22=--=∆∴b b 1=∴b2222221,,2c a b e a b c a a a -===+∴=∴=故所求椭圆方程为.1222=+y x （II ）当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：222)34()31(=++y x当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：122=+y x ,由⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=++101)34()31(22222y x y x y x 解得即两圆相切于点（0，1）因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T （0，1）就是所求的点，证明如下。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学分项汇编专题09 圆锥曲线含解析文

高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学分项汇编专题09 圆锥曲线（含解析）文1. 【高考北京文第3题】“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 【高考北京文第7题】双曲线x2－2y m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )．A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞23.【高考北京文第8题】4. 【高考北京文第4题】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F ≤2，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．102⎛⎤⎥⎝⎦，Ｂ．202⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．212⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，5. 【高考北京文第9题】抛物线y2=4x 的准线方程是；焦点坐标是．6. 【高考北京文第9题】若抛物线y2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝__________；准线方程为__________．7. 【高考北京文第13题】椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =；12F PF ∠的大小为.8. 【高考北京文第13题】已知双曲线22221x ya b-=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y+=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．9. 【高考北京文第10题】设双曲线C的两个焦点为()2,0-，()2,0，一个顶点式()1,0，则C的方程为.考点：本小题主要考查双曲线的方程的求解、,,a b c的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.10. 【高考北京文第10题】已知双曲线2221(0)yx bb-=>的一条渐近线的方程为2y x=，则b=.11.【高考北京文第20题】（本小题共14分）如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．（I）分别用不等式组表示W1和W2；（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．12【高考北京文第19题】椭圆C:12222=+by a x (a>b>0)的两个焦点为F1、F2,点P 在椭圆C 上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=34,|PF2|=314. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 过圆x2+y2+4x2y=0的圆心M,交椭圆C 于A 、B 两点,且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程.13.【高考北京文第19题】（本小题共14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．14.【高考北京文第19题】（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yG a ba b+=>>的离心率为63，右焦点为(22,0)。

【试卷】高三圆锥曲线专题测试题及答案

高三圆锥曲线专题测试题一、选择题1．椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为（）Ａ．Ｃ． 2．椭圆2214x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =（）Ｃ．72Ｄ．43．双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（）Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ．Ｄ．与m 有关4．焦点为(06)，且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2212412y x -= Ｃ．2212412x y -=Ｄ．2211224y x -=5．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（）Ａ．24y x = Ｂ．28y x = Ｃ．24y x =- Ｄ．28y x =- 6．焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（）Ａ．216y x = 或212x y=- Ｂ．216y x=或216x y= Ｃ．216y x=或212x y =Ｄ．212y x =-或216x y =7．椭圆22213x y m m+=-的一个焦点为(01)，，则m 等于（）Ａ．1 Ｂ．2-或1 Ｄ．538．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（）Ａ．14Ｂ．129．以双曲线22312x y -+=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（）Ａ．2211612x y +=Ｂ．221164x y += Ｃ．2211216x y +=Ｄ．221416x y +=10．经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（）Ｃ．Ｄ．11．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（）Ａ．(02)，Ｂ．(02)-，Ｃ．(20)，Ｄ．(40)，12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（）Ａ．16 Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6 三、填空题13．已知椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则12PF PF =·．14．已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率为． 15．圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是．16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为．三、解答题17．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个1，求椭圆的方程．18．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，椭圆与直线280x y ++=相交于点P Q ，，且10PQ =，求椭圆的方程．19．如图1，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左顶点为B F ，为右焦点，离心率22e =，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C D ，两点，作平行四边形OCED ，求证：E 在此椭圆上．与椭圆的20．已知双曲线与椭圆2212736x y +=有相同的焦点且一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．21．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x y a b -=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为362⎛⎫⎪⎝⎭，．求抛物线与双曲线的方程．22．某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图2所示，某卡车载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4m，此车能否通过此隧道？请说明理由．高三第一轮复习圆锥曲线专题测试题一、填空题（共14小题，每题5分，计70分）1．称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为．2．中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，其离心率是．3．已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为 ____________4．抛物线的焦点坐标为 ____________5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 ____________6.椭圆的焦点、，为椭圆上的一点，已知，则△的面积为 ____________7．已知抛物线，一定点A（3，1），F是抛物线的焦点，点P是抛物线上一点，|AP|+|PF|的最小值____________。

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(解析版)-2024届新高考数学大题精选30题

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(精选30题)1(2024·山东·二模)已知椭圆的焦点分别是F 13,0 ,F 2-3,0 ，点M 在椭圆上，且MF 1 +MF 2 =4．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y =kx +2与椭圆交于A ,B 两点，且OA ⊥OB ，求实数k 的值．【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)62或-62．【分析】(1)根据所给条件求出a ,b ，即可得出椭圆标准方程；(2)联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OA ⊥OB ，列出方程求k 即可.【详解】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)．由题意可知c =32a =4a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =1,c =3,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，如图，联立方程y =kx +2x 24+y 2=1，消去y ，得1+4k 2 x 2+82kx +4=0，则x 1+x 2=-82k 1+4k 2,x 1x 2=41+4k2，从而y 1y 2=kx 1+2 kx 2+2 =k 2x 1x 2+2k x 1+x 2 +2=2-4k 21+4k 2，因为OA ⊥OB ,OA ⋅OB=0，即x 1x 2+y 1y 2=0，所以41+4k 2+2-4k 21+4k 2=6-4k 21+4k 2=0，解得k =62或-62，经验证知Δ>0，所以k 的值为62或-62．2(2024·江苏南通·模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C :x 2a 2+y2b2=1a >b >0 的离心率为32，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 2作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，且△AF 1F 2的周长是4+23.(1)求椭圆C 的方程；(2)当AB =32DE 时，求△ODE 的面积.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)223【分析】(1)由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出a ,b ，得椭圆C 的方程；(2)设直线l 1，l 2的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和AB =32DE 求出DE 和l 2的方程，再求出O 到直线l 2的距离，可求△ODE 的面积.【详解】(1)由题意知，2a +2c =4+23c a =32b 2=a 2-c 2 ，解得a =2,b =1,c=3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)若直线l 1的斜率不存在，则直线l 2的斜率为0，不满足AB =32DE ，直线l 1的的斜率为0，则A ,F 1,F 2三点共线，不合题意，所以直线l 1的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为x =my +3，由x =my +3x24+y 2=1，消去x 得m 24+1 y 2+3m 2y -14=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-3m2m 24+1，y 1y 2=-14m 24+1，∴AB =1+m 2y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+m 2⋅4m 2+1m 2+4=4m 2+1 m 2+4.同理可得DE =41m2+11m 2+4=4m 2+1 1+4m 2.，由AB =32DE ，得4m 2+1 m 2+4=32⋅4m 2+1 1+4m 2，解得m 2=2，则DE =43，∴直线l 2的方程为y =±2x -3 ，∴坐标原点O 到直线l 2的距离为d =63=2，S △ODE =12×43×2=223.即△ODE 的面积的面积为223.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3(2024·河北邯郸·二模)已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过M 2,0 ,N 1,-32 两点．(1)求C 的方程．(2)A ,B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x24+y2=1(2)存在，3个【分析】(1)设椭圆C的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，根据条件得到4m=1m+34n=1，即可求出结果；(2)设直线DA为y=kx+1，直线DB为y=-1kx+1，当k=1时，由椭圆的对称性知满足题意；当k2≠1时，联立直线与椭圆方程，求出A,B的坐标，进而求出AB中垂线方程，根据条件中垂线直经过点D(0,1)，从而将问题转化成方程k4-7k2+1=0解的个数，即可解决问题.【详解】(1)由题设椭圆C的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，因为椭圆过M2,0,N1,-3 2两点，所以4m=1m+34n=1，得到m=14,n=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)由(1)知D(0,1)，易知直线DA,DB的斜率均存在且不为0，不妨设k DA=k(k>0)，k DB=-1k，直线DA为y=kx+1，直线DB为y=-1kx+1，由椭圆的对称性知，当k=1时，显然有DA=DB，满足题意，当k2≠1时，由y=kx+1x24+y2=1，消y得到14+k2x2+2kx=0，所以x A=-8k1+4k2，y A=-8k21+4k2+1=1-4k21+4k2，即A-8k1+4k2,1-4k21+4k2，同理可得B8kk2+4,k2-4k2+4，所以k AB=k2-4k2+4-1-4k21+4k28kk2+4+8k1+4k2=(k2-4)1+4k2-(k2+4)(1-4k2)8k(1+4k2+k2+4)=k2-15k，设AB中点坐标为(x0,y0)，则x0=-8k1+4k2+8kk2+42=12k(k2-1)(k2+4)(1+4k2)，y0=1-4k21+4k2+k2-4k2+42=-15k2(k2+4)(1+4k2)，所以AB中垂线方程为y+15k2(k2+4)(1+4k2)=-5kk2-1x-12k(k2-1)(k2+4)(1+4k2)，要使△ADB为AB为底边的等腰直角三角形，则直AB中垂线方程过点(0,1)，所以1+15k2(k2+4)(1+4k2)=-5kk2-10-12k(k2-1)(k2+4)(1+4k2)，整理得到k4-7k2+1=0，令t=k2，则t2-7t+1=0，Δ=49-4>0，所以t有两根t1,t2，且t1+t2=7>0,t1t2=1>0，即t2-7t+1=0有两个正根，故有2个不同的k2值，满足k4-7k2+1=0，所以由椭圆的对称性知，当k2≠1时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D为顶点，AB为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第(2)问，通过设出直线DA 为y =kx +1，直线DB 为y =-1kx +1，联立椭圆方程求出A ,B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点D (0,1)，再转化成关于k 的方程的解的问题.4(2024·广东广州·模拟预测)已知椭圆C :x 28+y 2b2=1(0<b <22)，右顶点为E ，上､下顶点分别为B 1,B 2,G 是EB 1的中点，且EB 1 ⋅GB 2=1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点D -4,0 的直线l 交椭圆C 于点M ,N ，点A -2,-1 ，直线MA ,NA 分别交直线x =-4于点P ,Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.【答案】(1)x 28+y 22=1(2)证明见解析【分析】(1)通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；(2)设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点P ,Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】(1)由题可得a 2=8,∵E a ,0 ，B 10,b ,B 20,-b ，∴EB 1的中点为G a 2,b2，∵EB 1 ⋅GB 2 =(-a ,b )⋅-a 2,-3b 2 =a 22-3b 22=1,∴b 2=2,故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1；(2)依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k x +4 ，由y =k x +4x 28+y 22=1消去y 并化简得1+4k 2 x 2+32k 2x +64k 2-8=0，由Δ=1024k 4-41+4k 2 64k 2-8 >0，得k 2<14,-12<k <12.设M x M ,y M ,N x N ,y N ，则x M +x N =-32k 21+4k 2,x M x N =64k 2-81+4k 2，依题意可知直线MA ,NA 的斜率存在，直线MA 的方程为y +1=y M +1x M +2x +2 ，令x =-4，得y P =-2y M -x M -4x M +2=-2k x M +4 -x M -4x M +2=-2k -1 x M -8k -4x M +2=-2k -1 x M +2 -4k -2x M +2=-2k -1-4k +2x M +2，同理可求得y Q =-2k -1-4k +2x N +2，∴y P +y Q =-4k -2-4k +2x M +2-4k +2x N +2=-4k -2-4k +2 1x M +2+1x N +2=-4k -2-4k +2 ⋅x M +x N +4x M x N +2x M +x N +4=-4k -2-4k +2 ⋅-32k 21+4k 2+464k 2-81+4k 2+2-32k 21+4k2+4=-4k -2+(4k +2)=0，∴线段PQ 的中点为定点-4,0 .【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5(2024·辽宁·二模)平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点A ,B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且OP =23OA +33OB，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点E 4,1 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点M ,N 时，在线段MN 上取点Q ，满足|EM |⋅|QN|=|QM |⋅|EN|．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)点Q 在定直线上，定直线方程为3x +y -3=0【分析】(1)设点P ,A ,B 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得x 0=32x y 0=3y，结合正方形面积得Γ的方程；(2)设l :y =kx +1-4k ，Q ,M ,N 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得M ,N 横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得x 0-x 1x 2-x 0=4-x 14-x 2，化简得x 0=2+4k3+k，代入直线方程即可y 0，从而求出定直线方程.【详解】(1)设P x ,y ,A x 0,0 ,B 0,y 0 ，由OP =23OA +33OB =23(x 0,0)+33(0,y 0)=23x 0,33y 0 ，得x =23x 0y =33y 0，所以x 0=32x y 0=3y，因为正方形ABCD 的面积为AB 2=9，即x 20+y 20=9，所以32x 2+(3y )2=9，整理可得x 24+y 23=1，因此C 的轨迹方程为x 24+y 23=1．(2)依题意，直线l 存在斜率，设l ：y -1=k (x -4)，即y =kx +1-4k ，设点Q x 0,y 0 ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 x 1<x 0<x 2 ，由y =kx +1-4k3x 2+4y 2=12，消y 得3x 2+4(kx +1-4k )2=12，即(3+4k 2)x 2+8k (1-4k )x +4(1-4k )2-12=0，由Δ=64k 21-4k 2-163+4k 2 1-4k 2-3=161-4k 24k 2-3+4k 2 +483+4k 2 =483+4k 2 -1-4k 2 =48-12k 2+8k +2 =96-6k 2+4k +1 >0，可以得到2-106<k <2+106，所以k ≠-3，可得x 1+x 2=-8k (1-4k )3+4k 2，x 1x 2=4(1-4k )2-123+4k 2，由|EM |⋅|QN |=|QM |⋅|EN |，得|QM ||QN |=|EM||EN |，所以x 0-x 1x 2-x 0=4-x 14-x 2，可得x 0=4(x 1+x 2)-2x 1x 28-(x 1+x 2)=4-8k (1-4k )3+4k 2 -24(1-4k )2-123+4k 28--8k (1-4k )3+4k 2=-32k 1-4k -81-4k 2+2424+32k 2+8k -24k 2=-32k +128k 2-128k 2+64k -8+2424+8k =16+32k 24+8k =2+4k 3+k，所以y 0=kx 0+1-4k =2k +4k 23+k +1-4k 3+k 3+k =3-9k3+k，因为3x 0+y 0=6+12k 3+k +3-9k3+k=3，所以点Q 在定直线上，定直线方程为3x +y -3=0．6(2024·福建厦门·三模)在直角坐标系xOy 中，已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M ,N 两点，且当l 的斜率为1时，MN =8．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q (异于原点)，线段MN 的中点为R ，若QR ≤3，求△MNQ 面积的取值范围．【答案】(1)y 2=4x ；(2)2,63 .【分析】(1)先设l 的方程为x =my +p2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；(2)先设出R 2m 2+1,2m ，进而可求P ,Q 的坐标，可得直线QR ⎳x 轴，求出QR 的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】(1)不妨先设l 的方程为x =my +p2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，代入y 2=2px ，可得y 2-2mpy -p 2=0，所以y 1+y 2=2mp ，y 1y 2=-p 2，则MN =x 1+x 2+p =m y 1+y 2 +2p =2m 2p +2p ，由题意可知当斜率为1时，m =1，又MN =8，即2p +2p =8，解得p =2，所以C 的方程为y 2=4x ；(2)由(1)知p =2，直线l 的方程为x =my +1，抛物线方程y 2=4x ，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4所以R 的纵坐标y R =y 1+y 22=2m ，将R 的纵坐标2m 代入x =my +1，得x =2m 2+1，所以R 的坐标2m 2+1,2m ，易知抛物线的准线为x =-1,又因为l 与C 的准线交于点P ，所以P 的坐标-1,-2m ，则直线OP 的方程为x =m2y ，把x =m2y 代入y 2=4x ，得y 2=2my ，即y =2m 或y =0，因为点Q 异于原点，从而Q 的纵坐标为2m ，把y =2m 代入x =m 2y ，得x =m2y =m 2，所以Q m 2,2m ，因为R 的坐标2m 2+1,2m ，所以R ，Q 的纵坐标相同，所以直线QR ⎳x 轴，且QR =2m 2+1-m 2 =m 2+1 ，所以△MNQ 面积S △MNQ =S △MRQ +S △NRQ =12QR y 1-y 2 ，因为y 1-y 2 2=y 1+y 2 2-4y 1y 2=16m 2+16，所以y 1-y 2 =16m 2+16=4m 2+1，所以S △MNQ =12m 2+1 ×4m 2+1=2m 2+1 32=2QR 32，因为点Q 异于原点，所以m ≠0，所以m 2+1 >0，因为QR ≤3，所以1<QR ≤3，所以2<2QR 32≤63，即△MNQ 面积的取值范围为2,63 .7(2024·浙江丽水·二模)已知抛物线E :y 2=4x ，点A ,B ,C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方(B 在C 左侧)，A ,C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值(O 为坐标原点)；(2)若点Q 的横坐标为-1，且MB ⋅MC =89，求△AQB 的内切圆的方程.【答案】(1)1(2)x -19 2+y 2=49【分析】(1)根据已知条件作出图形，设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；(2)根据(1)的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB 的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】(1)设直线AB 的方程为x =my +t m >0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则C x 1,-y 1 ,M t ,0 ，由x =my +ty 2=4x，消去x ，得y 2-4my -4t =0，Δ=16m 2+t >0⇒m 2+t >0，所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4t ，直线BC 的方程为y +y 1=y 2+y 1x 2-x 1x -x 1 ，化简得y =4xy 2-y 1-y 1y 2y 2-y 1，令y =0，得x Q =y 1y 24=-t ，所以Q -t ,0因此OM OQ =t-t =1.(2)因为点Q 的横坐标为-1，由(1)可知，Q -1,0 ,M 1,0 ，设QA 交抛物线于D ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 1,-y 1 ,D x 4,y 4 ，如图所示又由(1)知，y 1y 2=-4，同理可得y 1y 4=4，得y 4=-y 2，又x 1+x 2=my 1+1+my 2+1=m y 1+y 2 +2=4m 2+2，x 1x 2=y 214⋅y 224=y 1y 2 216=1，又MB =x 2-1,y 2 ,MC=x 1-1,-y 1 ，则MB ⋅MC=x 2-1 x 1-1 -y 1y 2=x 1x 2-x 1+x 2 +1+4=4-4m 2，故4-4m 2=89,结合m >0，得m =73.所以直线AB 的方程为3x -7y -3=0,又y 1-y 2=y 1+y 2 2-4y 1y 2=16m 2+16=163，则k AD =y 1-y 4x 1-x 4=y 1-y 4x 1-x 4=y 1-y 4y 214-y 224=4y 1+y 4=4y 1-y 2=34，所以直线AD 的方程为3x -4y +3=0，设圆心T (s ,0)(-1<s <1),因为QM 为∠AQB 的平分线，故点T 到直线AB 和直线AD 的距离相等，所以3s +3 5=3s -3 4，因为-1<s <1，解得s =19，故圆T 的半径r =3s +35=23，因此圆T 的方程为x -19 2+y 2=49.8(2024·江苏苏州·模拟预测)已知点A (1,0)，B (0,1)，C (1,1)和动点P (x ,y )满足y 2是PA ⋅PB ，PA⋅PC的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线C 1按向量a =-34,116平移后得到曲线C 2，曲线C 2上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点Q (0,b )，如果∠MON (O 为坐标原点)为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在(2)的条件下，如果b =2时，曲线C 2在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【答案】(1)y =x 2-32x +12；(2)b <0或b >1；(3)证明见解析.【分析】(1)根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；(2)根据题意，由平移公式可得曲线C 2的方程，然后与直线MN 的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；(3)根据题意，求导可得在点M ,N 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】(1)由题意可得PA =(1-x ,-y )，PB =(-x ,1-y )，PC=(1-x ,1-y )，则PA ⋅PB=(1-x )⋅(-x )+(-y )⋅(1-y )=x 2+y 2-x -y ，PA ⋅PC=(1-x )⋅(1-x )+(-y )⋅(1-y )=x 2+y 2-2x -y +1，又∵y 2是PA ⋅PB ，PA ⋅PC 的等差中项，∴x 2+y 2-x -y +x 2+y 2-2x -y +1 =2y 2，整理得点P (x ,y )的轨迹方程为y =x 2-32x +12．(2)由(1)知C 1:y =x 2-32x +12，又∵a =-34,116 ，∴平移公式为x =x -34y =y +116 即x =x +34y =y -116，代入曲线C 1的方程得到曲线C 2的方程为：y -116=x +342-32x +34 +12，即y =x 2．曲线C 2的方程为y =x 2．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y =kx +b ，由y =x 2y =kx +b消去y 得x 2-kx -b =0，令M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 x 1≠x 2 ，则x 1+x 2=kx 1x 2=-b ，∴OM =x 1,y 1 =x 1,x 21 ，ON =x 2,y 2 =x 2,x 22 ，又∵∠MON 为锐角，∴cos ∠MON =OM ⋅ON |OM |⋅|ON |>0，即x 1x 2+x 21x 22|OM |⋅|ON |>0，∴x 1x 2+x 21x 22>0，又x 1x 2=-b ，∴-b +(-b )2>0，得b <0或b >1．(3)当b =2时，由(2)可得x 1+x 2=kx 1x 2=-b =-2，对y =x 2求导可得y =2x ，∴抛物线C 2在点，∴M =x 1,x 21 ，N x 2,x 22 处的切线的斜率分别为k M =2x 1，k N =2x 2，∴在点M ，N 处的切线方程分别为l M :y -x 21=2x 1x -x 1 ，l N :y -x 22=2x 2x -x 2 ，由y -x 21=2x 1x -x 1y -x 22=2x 2x -x 2x 1≠x 2，解得交点R 的坐标(x ,y )．满足x =x 1+x 22y =x 1⋅x2即x =k2y =-2，∴R 点在定直线y =-2上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9(2024·江苏南通·二模)已知双曲线E 的渐近线为y =±33x ，左顶点为A -3,0 .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线l :x =t 交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.【答案】(1)x 23-y 2=1(2)①34,0 ；②S >27π16且S ≠7π4【分析】(1)根据渐近线方程及顶点求出a ,b 得双曲线方程；(2)①设D t ,0 ，由四点共圆可得k AG ⋅k OH =1，根据斜率公式转化为B ,C 点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t ；②求出G 点坐标得出OG ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】(1)因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)，从而渐近线方程为：y =±b a x ，由题条件知：b a =33.因为双曲线的左顶点为A -3,0 ，所以a =3，b =1，所以双曲线的方程为：x 23-y 2=1.(2)如图，①D t ,0 ，设直线BC 的方程为：my =x -t ，将x =my +t 代入方程：x 2-3y 2-3=0，得m 2-3 y 2+2mty +t 2-3=0，当m 2-3≠0且Δ=12t 2+m 2-3 >0时，设B x 1,y 1 ，C x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2mt m 2-3，y 1y 2=t 2-3m 2-3.设直线AG 的倾斜角为α，不妨设0<α<π2，则∠AGH =π2-α，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：∠HOD =∠AGH ，所以直线OH 的倾斜角为π2-α，k AG ⋅k OH =tan α⋅tan π2-α =sin αcos α×sin π2-α cos π2-α=1.直线AC 的方程为：y =y 2x 2+3x +3 ，令x =t ，则y =y 2t +3 x 2+3，从而H t ,y 2t +3x 2+3，所以k OH =y 2t +3 t x 2+3 ，又k AG =k AB =y 1x 1+3，得：y 1x 1+3×y 2t +3 t x 2+3=1⇒t +3 y 1y 2=t x 1+3 x 2+3 ，又x 1=my 1+t ，x 2=my 2+t 代入上式得：t +3 y 1y 2=t my 1+t +3 my 2+t +3 ，⇒t +3 y 1y 2=t m 2y 1y 2+m t +3 y 1+y 2 +t +3 2 ，⇒t +3 ⋅t 2-3m 2-3=t m 2⋅t 2-3m 2-3+m t +3 ⋅-2mt m 2-3+t +3 2，化简得：4t 2+33t -3=0，解得：t =-3(舍)或t =34.故点D 的坐标为34,0.②直线AG 的方程为y =tan α⋅x +3 ，由①知：t =34，所以G 34,534tan α .直线OH 方程；y =1tan αx ，所以H 34,34tan α，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan α>0时，534tan α>34tan α；若G ，H 在x 轴下方时，即tan α<0时，534tan α<34tan α，所以tan α>55或tan α<-55.又直线AG 与渐近线不平行，所以tan α≠±33.所以0<α<π，tan α>55或tan α<55且tan α≠±33.因为OG =34 2+53tan α4 2=1431+25tan 2α ，设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2R =OG sin α=1431+25tan 2α sin α，所以R 2=364×1+25⋅tan 2α sin 2α=164×1+25tan 2α sin 2α+cos 2α sin 2α=364×1+25tan 2α 1+tan 2α tan 2α=36425tan 2α+1tan 2α+26≥364225tan 2α⋅1tan 2α+26=2716，当且仅当25tan 2α=1tan 2α即tan α=±55时，上述不等式取等号，tan α>55或tan α<-55且tan α≠±33.所以R 2>2716且R 2≠74，从而S >27π16且S ≠7π4.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出k AG ⋅k OH =tan α⋅tan π2-α =sin αcos α×sin π2-α cos π2-α=1这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10(2024·江苏南京·二模)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)有公共的焦点F ，且p =4b ．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足λ1|OP |+1|OQ |=1|AF |-1|BF |，求λ的取值范围．【答案】(1)y =±33x (2)0,12【分析】(1)由两曲线有公共的焦点F ，且p =4b ，得c =2b ，a =3b ，可求渐近线方程；(2)通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出1|OP |+1|OQ |和1|AF |-1|BF |，由λ1OP +1OQ=1AF -1BF求λ的取值范围．【详解】(1)抛物线C :y 2=2px (p >0)与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有p2=c ，又p =4b ，则c =2b .由a 2+b 2=c 2，得a =3b ，所以E 的渐近线的方程为y =±33x (2)设l :x =my +c ，P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有m 2<3，由x =my +c y =±33x，解得y 1=c 3-m ，y 2=c -3-m，1OP +1OQ =12y 1 +12y 2=3-m +-3-m 2c =3-m --3-m 2c =3c .设A x 3,y 3 ,B x 4,y 4 ，由x =my +cy 2=2px，消去x 得y 2-2pmx -p 2=0，则有y 3+y 4=2pm ,y 3y 4=-p 2，1AF-1BF=11+m 2y 3 -11+m 2y 4=11+m 2⋅y 3 -y 4 y 3 y 4=11+m 2⋅y 3+y 4 y 3y 4 =11+m 2⋅2pm p 2=2p ⋅m 2m 2+1，由λ1OP +1OQ=1AF -1BF，p 2=c ，有λ⋅3c =2p⋅m 2m 2+1，即3λ=m 2m 2+1，由m 2<3，有3λ∈0,32 ，所以λ∈0,12 .【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11(2024·重庆·三模)已知F2,0，曲线C上任意一点到点F的距离是到直线x=12的距离的两倍.(1)求曲线C的方程；(2)已知曲线C的左顶点为A，直线l过点F且与曲线C在第一、四象限分别交于M，N两点，直线AM、AN分别与直线x=12交于P，H两点，Q为PH的中点.(i)证明：QF⊥MN；(ii)记△PMQ，△HNQ，△MNQ的面积分别为S1，S2，S3，则S1+S2S3是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)x2-y23=1(2)(i)证明见解析；(ii)是，12【分析】(1)设曲线C上任意一点坐标为x,y，利用坐标可得曲线C的方程；(2)(i)设直线MN：x=my+2，M x1,y1，N x2,y2，联立方程组可得y1+y2=-12m3m2-1，y1y2=93m2-1，求得直线AM：y=y1x1+1x+1，求得P，H，进而可得Q的坐标，求得FQ的坐标，直线MN的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii)法一：利用(i)可求得MN=61+m21-3m2；QF=31+m22，进而可得S3=12MN⋅QF=91+m2 3 221-3m2 ，进而求得S1+S2=14PH⋅x1+x2-1，代入运算可求得S1+S2=91+m23241-3m2，可求结论.法二：(利用双曲线的第二定义)由(1)知，MF=2x1-1 2，同理NF =2x2-12，计算可得S1+S2=1 8PH⋅MN，又S3=12MN⋅QF，S1+S2S3=14PHQF，进而计算可得结论成立.【详解】(1)设曲线C上任意一点坐标为x,y，则由题意可知：x-22+y2=4x-1 22⇒x2-4x+4+y2=4x2-4x+1⇒x2-y23=1，故曲线C的方程为x2-y23=1.(2)(i )设直线MN ：x =my +2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，其中-33<m <33且x 1>1，x 2>1x =my +23x 2-y 2-3=0⇒3m 2-1 y 2+12my +9=0 ，故y 1+y 2=-12m 3m 2-1，y 1y 2=93m 2-1；直线AM ：y =y 1x 1+1x +1 ，当x =12时，y =3y 12x 1+1 ，故P 12,3y 12x 1+1，同理H 12,3y 22x 2+1，Q 为PH 中点，故y Q =12⋅32y 1x 1+1+y 2x 2+1=34⋅y 1x 2+1 +y 2x 1+1x 1+1 x 2+1；x 1+1 x 2+1 =my 1+3 my 2+3 =m2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=9m 2-36m 2+93m 2-13m 2-1=-93m 2-1；(*)y 1x 2+1 +y 2x 1+1 =y 1my 2+3 +y 2my 1+3 =2my 1y 2+3y 1+y 2 =18m -36m 3m 2-1=-18m3m 2-1；故y Q =34⋅18m 9=3m 2，即Q 12,3m 2，则FQ =-32,3m2 ，直线MN 的方向向量a =m ,1 ，a ⋅FQ =-3m 2+3m2=0，故QF ⊥MN .(ii )法一：y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=144m 2-363m 2-1 3m 2-12=61+m 21-3m 2；(**)故MN =1+m 2y 1-y 2 =61+m 2 1-3m 2；QF =2-122+0-3m 2 2=31+m 22，又QF ⊥MN ，故S 3=12MN ⋅QF =91+m 2 3221-3m 2.S 1+S 2=12PQ ⋅x 1-12 +12HQ ⋅x 2-12 =14PH ⋅x 1+x 2-1 ；x 1+x 2-1=m y 1+y 2 +3=-12m 2+9m 2-33m 2-1=31+m 2 1-3m 2；PH =3y 12x 1+1 -3y 22x 2+1 =32y 1x 2+1 -y 2x 1+1x 1+1 x 2+1，=32y 1my 2+3 -y 2my 1+3 x 1+1 x 2+1=92y 1-y 2x 1+1 x 2+1，由(*)知x 1+1 x 2+1 =91-3m 2，由(**)知y 1-y 2 =61+m 21-3m 2，故PH =92⋅61+m 21-3m 2⋅1-3m 29=31+m 2，故S 1+S 2=14⋅31+m 2⋅31+m 21-3m 2=91+m 2 3241-3m 2，则S 1+S 2S 3=12.法二：(利用双曲线的第二定义)由(1)知，MF =2x 1-12 ，同理NF =2x 2-12，故S 1+S 2=14PH x 1+x 2-1 =18PH ⋅MF +NF =18PH ⋅MN ，又S 3=12MN ⋅QF ，故S 1+S 2S 3=14PHQF ，又y P y H =94y 1y 2x 1+1 x 2+1，且由(*)知y P y H =9493m 2-1-93m 2-1=94，记直线PH 与x 轴相交于点K ，由y P y H =94可得PK ⋅HK =FK 2，即PK FK =FK HK，即△PKF ∽△PFH ，故PF ⊥HF ；又Q 为PH 的中点，故QF =12PH ，即S 1+S 2S 3=14PH QF =12.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ>0(有些题可不考虑).第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．有些运算量大，转化是关徤，运算求解能力也是考查点之一.12(2024·河北·二模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =22．(1)若椭圆E 过点2,2 ，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线l 1，l 2均过点P p n ,0 0<p n <a ,n ∈N * 且互相垂直，直线l 1交椭圆E 于A ,B 两点，直线l 2交椭圆E 于C ,D 两点，M ,N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点Q t n ,0 ，设p n =13n .(ⅰ)求t n ；(ⅱ)记a n =PQ ，求数列1a n的前n 项和S n ．【答案】(1)x 28+y 24=1(2)(ⅰ)t n =23n +1；(ⅱ)S n =92(3n -1).【分析】(1)根据椭圆的离心率得到a ,b 之间的关系，再结合椭圆过点2,2 ，求出b 2的值，从而得到椭圆的方程.(2)(ⅰ)利用根与系数的关系及中点坐标公式求得点M ,N 的坐标，再根据M ,N ,Q 三点共线得t n ,p n 之间的关系；(ⅱ)求得a n ，并利用等比数列的前n 项和公式求得S n .【详解】(1)因为e =c a =22，a 2=b 2+c 2，所以a 2=2b 2，所以椭圆E 的方程为x 22b 2+y 2b2=1，因为椭圆E 过点2,2 ，所以42b 2+2b 2=1，解得b 2=4，所以椭圆E 的方程为x28+y 24=1.(2)(ⅰ)当直线l 1,l 2中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线MN 与x 轴重合，不符合题意.故直线l 1,l 2的斜率均存在且不为0.设直线l 1的方程为y =k (x -p n )(k ≠0)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ),N (x N ,y N ),联立方程x 22b 2+y 2b 2=1y =k (x -p n) ，消去y 并整理得(1+2k 2)x 2-4k 2p nx +2k 2p 2n-2b 2=0，因为直线与椭圆相交于两个不同的交点，所以Δ>0，根据韦达定理得，x 1+x 2=4p n k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2p 2n -2b21+2k 2，则x M =2p n k 21+2k 2yM=-p n k 1+2k 2，同理可得x N =2p n k 2+2y N=p n k k 2+2，因为M ,N ,Q 三点共线，所以y N (x N -x M )=(y N -y M )(x N -t n )，易知y N -y M ≠0，则t n =x M y N -x N y My N -y M =2p n k 21+2k 2⋅p n k k 2+2-2p n k 2+2⋅-p n k1+2k 2p n k k 2+2--p n k1+2k 2=2p n3，因为p n =13n ，所以t n =23n +1.(ⅱ)结合(ⅰ)可知a n =|PQ |=|p n -t n |=13n -23n +1=13n +1，所以1a n=3n +1，所以数列1a n 是首项为9，公比为3的等比数列，所以数列1a n 的前n 项和S n =9(1-3n )1-3=92(3n-1).【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆相交以及等比数列求和的问题.其中关键点是联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和M ,N ,Q 三点共线，求出点Q 的坐标，从而得到t n .13(2024·辽宁沈阳·二模)以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为6和3，P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点B ,PP ⊥x 轴于P ,BB ⊥PP 于B ,B 点的轨迹为Ω．(1)求B 点轨迹Ω的方程；(2)点A 2,1 ，若点M 、N 在Ω上，且直线AM 、AN 的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求∠AOG 的余弦值．【答案】(1)x 26+y 23=1(2)-31010【分析】(1)设B (x ,y ),∠POP =θ，根据条件得到x =OP cos θ=6cos θy =OB sin θ=3sin θ，消元即可求出结果；(2)法一：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，联立直线MN 与椭圆方程得到1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，由韦达定理得x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2，根据题设得到直线MN 的方程为y =-12x +m ，再利用点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 在椭圆上，得到k OG =1，从而有OG 与y 轴负平轴所形成的夹角为α=π4，再求出OA 与x 正半轴所形成的夹角，即可解决问题；法二：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线AM 的方程为y =k (x -2)+1，直接求出M ,N ，再根据条件求出k MN =-12，后面同法一；法三：建立新的坐标系，在新的坐标系中，得椭圆的方程为(x -2)26+(y -1)23=1，及直线MN 的方程为mx +ny =1，联立直线与椭圆，再结合条件得到n =2m ，从而有k MN =-12，后面同法一；法四：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，联立椭圆方程得1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-2=0，进而得到1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-2=1+2k 2 x -x 1 x -x 2 ，通过令x =2，得到41+2k 2 +8km +2m 2-2=1+2k 22-x 1 2-x 2 ，令x =1-m k ，得到(m -1)2k21+2k 2+4km 1-m k +2m 2-2=1+2k 2 1-m k -x 1 1-m k -x 2 ，从而有4k 2+2km +m -1=0，下面同方法一.【详解】(1)设B (x ,y ),∠POP =θ，则x =OP cos θ=6cos θy =OB sin θ=3sin θ，消去θ得x 26+y 23=1，所以B点轨迹Ω的方程为x 26+y 23=1.(2)方法一：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，y =kx +mx 26+y 23=1 ，消去y 得1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，Δ=(4km )2-41+2k 2 2m 2-6 =48k 2-8m 2+24>0，即m 2<6k 2+3由韦达定理知x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2，k AM ⋅k AN =y 1-1x 1-2⋅y 2-1x 2-2=kx 1+m -1x 1-2⋅kx 2+m -1x 2-2=k 2x 1x 2+k (m -1)x 1+x 2 +(m -1)2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=12，所以(2m 2-6)k 21+2k 2+-4k 2m (m -1)1+2k2+(m -1)22m 2-61+2k 2+8km1+2k 2+4=12，整理得4k 2+2km +m -1=0，即4k 2-1 +m (2k +1)=(2k +1)(2k -1+m )=0，当2k +1=0时，直线MN 的方程为y =-12x +m当2k -1+m =0时，直线MN 的方程为y =k (x -2)+1，恒过A (2,1)点，不合题意设G x G ,y G ，将M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，将M 、N 两点代入到椭圆得x 216+y 213=1x 226+y 223=1，两式相减得x 21-x 226+y 21-y 223=0，即y 1-y 2 y 1+y 2 x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 22-0 x 1-x 2 x 1+x 22-0=-36，所以k MN ⋅k OG =-12，故k OG =1，设OG 与y 轴负平轴所形成的夹角为α，因为k OG =1，所以α=π4，设OA 与x 正半轴所形成的夹角为β，因为A (2,1)，所以sin β=55,cos β=255，cos ∠AOG =cos π2+α+β =-sin (α+β)=-(sin αcos β+cos αsin β)=-31010.方法二：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线AM 的方程为y =k (x -2)+1y =k (x -2)+1x 26+y 23=1消去y 可得：1+2k 2 x 2-8k 2-4k x +8k 2-8k -4=0从而x A ⋅x 1=8k 2-8k -41+2k 2，故x 1=4k 2-4k -21+2k2，将x 1代入直线AM 的方程可得y 1=-4k 2-4k 1+2k 2+1，所以M 4k 2-4k -21+2k 2,-4k 2-4k1+2k 2+1，又k AM ⋅k AN =12，将式点M 中的k 换成12k 得到N 2-4k -4k 21+2k 2,-2-4k1+2k 2+1，k MN =y 2-y 1x 2-x 1=-12，下面同方法一方法三：以A (2,1)为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程(x -2)26+(y -1)23=1，在新坐标系下设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为mx +ny =1将椭圆方程变形可得：x 2+4x +2y 2+4y =0将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得x 2+4x (mx +ny )+2y 2+4y (mx +ny )=0，整理得(4n +2)y 2+(4n +4m )xy +(1+4m )x 2=0即：(4n +2)y x 2+(4n +4m )yx +(1+4m )=0，所以k AM ⋅k AN =y 1x 1⋅y 2x 2=1+4m 4n +2=12，故n =2m ，直线MN 的方程为mx +2my =1,k MN =-12，下面同方法一方法四：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +my =kx +mx 26+y 23=1 消去y 可得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-2=0因为x 1,x 2是上述一元二次方程的两个根，所以1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-2=1+2k 2x -x 1 x -x 2 ①又k AM ⋅k AN =y 1-1x 1-2⋅y 2-1x 2-2=12整理得：x 1-2 x 2-2 -2y 1-1 y 2-1=x 1-2 x 2-2 -2k 2x 1+m -1k x 2m -1k=0在①式中令x =2得：41+2k 2 +8km +2m 2-2=1+2k 2 2-x 1 2-x 2 ②令x =1-m k 得：(m -1)2k 21+2k 2 +4km 1-m k +2m 2-2=1+2k 2 1-m k -x 1 1-m k -x 2 ③②+③×-2k 2 可得：整理得4k 2+2km +m -1=0，下面同方法一【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第(2)问，通过设出直线MN 的方程为y =kx +m ，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立直线MN 与椭圆方程得到1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，由韦达定理得x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k2，根据题设得到直线MN 的方程为y =-12x +m ，再利用点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 在椭圆上，得到k OG =1，从而将问题转化成cos ∠AOG =cos π2+α+β 解决，其中α为OG 与y 轴负平轴所形成的夹角，β为OA 与x 正半轴所形成的夹角.14(2024·广东佛山·二模)两条动直线y =k 1x 和y =k 2x 分别与抛物线C :y 2=2px p >0 相交于不同于原点的A ，B 两点，当△OAB 的垂心恰是C 的焦点时，AB =45.(1)求p ；(2)若k 1k 2=-4，弦AB 中点为P ，点M -2,0 关于直线AB 的对称点N 在抛物线C 上，求△PMN 的面积.【答案】(1)p =2；(2)62.【分析】(1)利用垂直关系，结合斜率坐标公式，列式计算即得.(2)求出P 的轨迹方程，分k 1=-k 2和k 1≠-k 2两种情况讨论，求出直线AB 过定点F (1,0)，再求出N 点坐标，即可求出三角形面积.【详解】(1)由△OAB 的垂心恰是C 的焦点，由抛物线对称性得|OA |=|OB |，AF ⊥OB ，而AB=45，不妨设A 10p ,25 ,B 10p ,-25，而焦点F p 2,0 ，则2510p -p 2⋅-2510p=-1，解得p =2，所以p =2.(2)由(1)知，y 2=4x ，由y =k 1x y 2=4x，解得A 4k 21,4k 1 ，同理B 4k 22,4k 2 ，则P 2k 21+2k 22,2k 1+2k 2，而2k 1+2k 22=4k 21+4k 22+8k 1k 2=22k 21+2k 22-2，因此所以P 的轨迹方程为y 2=2x -2，当k 1=-k 2时，不妨设k 1=2，k 2=-2，此时A (1,2),B (1,-2)，直线AB 过点(1,0)，当k 1≠-k 2时，直线AB 的斜率为4k 1-4k24k 21-4k 22=k 1k 2k 1+k 2=-4k 1+k 2，AB 的方程为y -4k 1=-4k 1+k 2x -4k 21，整理得y =-4k 1+k 2(x -1)，直线AB 过点(1,0)，因此直线AB 过定点F (1,0)，由|FN |=|FM |可得x N +1=3，解得x N =2，于是N (2,-22)或N (2,22)，当N (2,-22)时，MN 的中点为(0,-2)，直线MN 的斜率为-22，此时直线AB 的方程为y =2x -2，由y =2x -2y 2=2x -2 解得P (2,2)或P (1,0)，当P 1,0 时，直线AB 为x =1，不符合题意，舍去，则P 2,2 ，MN =26，△PMN 边MN 上的高h =23，因此△PMN 的面积S △PMN =62，当N (2,22)时，由对称性，同理可得S △PMN =62，所以△PMN 的面积为6 2.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点x 0,y 0 ，常利用直线的点斜式方程y -y 0=k x -x 0 或截距式y =kx +b 来证明.15(2024·广东深圳·二模)设抛物线C ：x 2=2py (p >0)，直线l ：y =kx +2交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线y =-2于点M ．对任意k ∈R ，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．(1)求C 的方程；(2)若直线l ⎳l ，且l 与C 相切于点N ，证明：△AMN 的面积不小于22．【答案】(1)x 2=4y ；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意，分k =0与k ≠0代入计算，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，再由等差中项的定义列出方程，即可得到结果；(2)方法一：联立直线l 与抛物线的方程，表示出AB 中点E 的坐标，再由点M ，N ，E 三点共线可得△AMN面积为△ABM 面积的14，结合三角形的面积公式代入计算，即可证明；方法二：联立直线l 与抛物线的方程，再由Δ=0，得n =-k 2，点N 2k ,k 2 ，即可得到直线MN 与x 轴垂直，再由三角形的面积公式代入计算，即可证明.【详解】(1)设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由题可知，当k =0时，显然有k AM +k BM =0；当k ≠0时，直线OM 的方程为y =-1kx ，点M 2k ,-2 ．联立直线AB 与C 的方程得x 2-2pkx -4p =0，Δ=4p 2k 2+16p >0，所以x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=-4p ，因为直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列，所以y 1+2x 1-2k +y 2+2x 2-2k=2k ．即kx1+4x1-2k+kx2+4x2-2k=2k，kx1+4x2-2k+kx2+4x1-2kx1-2kx2-2k=2k，化简得2k2+2x1+x2-4k=0．将x1+x2=2pk代入上式得2k2+22pk-4k=0，则p=2，所以曲线C的方程为x2=4y．(2)(法一)设直线l ：y=kx+n，联立C的方程，得x2-4kx-4n=0．由Δ=0，得n=-k2，点N2k,k2，设AB的中点为E，因为x1+x22=2k，y1+y22=k x1+x2+42=2k2+2，则点E2k,2k2+2．因为2k2+2-22=k2，所以点M，N，E三点共线，且点N为ME的中点，所以△AMN面积为△ABM面积的1 4．记△AMN的面积为S，点M2k,-2到直线AB：kx-y+2=0的距离d=2k2+4k2+1，所以S=18AB×d=181+k2×x1+x22-4x1x2×2k2+4k2+1=k2+232≥22，当k=0时，等号成立．所以命题得证．(法二)设直线l ：y=kx+n，联立C的方程，得x2-4kx-4n=0．由Δ=0，得n=-k2，点N2k,k2．所以直线MN与x轴垂直．记△AMN的面积为S，所以S=12×MN×x1-x22=14×MN ×x1+x22-4x1x2=12×k2+2×4k2-4×-8=k2+2 32≥22．当k=0时，等号成立．所以命题得证．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键采用设线法，联立抛物线方程，根据相切求出N2k,k2，再得出E2k,2k2+2，最后计算出面积表达式求出其最值即可.16(2024·湖南·一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(b>a>1)的渐近线方程为y=±2x，C的半焦距。

高中数学圆锥曲线测试题

圆锥曲线测试题姓名_______________一、选择题（4⨯10分）（）1．双曲线2214x y -=的实轴长为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．12 （）2．抛物线22y x =的准线方程为A ．14y =-B ．18y =-C ．12x =D ．14x =-（）3y 轴上．若焦距为4，则m 等于 A ．4 B ．5 C ．7 D ．8（）4A ．2B ．4C D（）5有相同的焦点，则a 的值为C.4D.10（）6．若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则实数a 等于A.2 C.32D.1（）7 A.长轴长相等 B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等（）8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点,A B 在C 上且关于x 轴对称，点,M N分别为,AF BF 的中点，且AN BM ⊥，则A BC D（）9．且双曲线的一ABCD （）10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为B.3 二、填空题（5⨯4分）11的离心率2=e ，则=m ________. 12．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是____________.13．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离为4，则该点P 到抛物线的焦点的距离为_____________14．已知椭圆C 斜率为1的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，则直线l 的方程为___________.三、解答题（10⨯4分）15．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程。

16．如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上，（1）求抛物线C的标准方程（2）求过点F且与直线OA垂直的直线的方程17．已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的一个顶点为(2,0)A，离心率为2.直线(1y k x=-）与椭圆C交于不同的两点M,N.（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为3时，求k的值.18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一个焦点为)F ，实轴长为2，经过点()2,1M 作直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且M 为AB 的中点．（1）求双曲线C 的方程；（2）求直线l 的方程．。

全国名校2024届高三年级专项(圆锥曲线小题)练习卷(附答案)

全国名校2024届高三年级专项（圆锥曲线小题）练习卷一、单选题4条二、多选题PF上的切点为的内切圆在边1)的左右焦点，O为坐标原点，以FO 在第二象限），射线1F A与双曲线的另一条渐近，则双曲线的离心率为．参考答案离心率为5的双曲线2C以A，∵,C D 分别是线段AB 的两个三等分点，∴()1,0C x -，10,2y D ⎛⎫⎪⎝⎭y易知△PEH ≅△2PEF ，即112OE F H a ==，故可得cos cos F OE FOE ∠=-∠【名师点评】关键点名师点评：解决本题关键是利用双曲线的定义以及三角形内切圆的相关性质，结合图形详细分析得出相应关系，运算整理17．BCD【详细分析】由C在准线上，OC=点纵坐标，由此得直线AB方程，从而求得由双曲线方程和圆D 方程可知，3,4,5a b c ===，所以左焦点为0()5,D -，右焦点2(5,0)F ；对于A ，由于P 在双曲线左支上，根据焦半径公式可知对于B ，由过点M 的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，设直线斜率为k ，则直线l 的方程为2(1)y k x -=-，所以||3PF PF PF ''+==由余弦定理可得2(2)|c PF =11.23．AC【详细分析】对于A ，利用椭圆与=y kx 得到8AF BF +=；对于B ，利用A 中的结论及基本不等式.对于B ，()1418AF BF AF BF ⎛+=+ ⎝419BF AF ⎛⎫25．32【详细分析】由抛物线与圆的对称性可得由抛物线的定义求得2 d=26．4【详细分析】先由AB AD ⊥，CB CD ⊥判断出表示出圆的方程，将()0,b 代入椭圆及圆的方程，可求出【答案详解】由题意得()0,A b ，(0,C -【名师点评】关键点名师点评：由此得到A，B，C，27．328．2【详细分析】由题干条件得到1F 1OB OF c ==，由焦点到渐近线距离及勾股定理得到故答案为：2。

高三数学新课标模拟卷2

高三数学新课标模拟卷2一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=2x^2+3x+1，则f(-1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数y=x^3-6x^2+9x+1的极值点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(1, 2)，则向量a与向量b的夹角为：A. 90°B. 45°C. 60°D. 30°5. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则该数列的第10项a10为：A. 27B. 28C. 29D. 306. 已知函数f(x)=x^2-4x+5，若f(x)=0，则x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知椭圆的方程为x^2/9 + y^2/4 = 1，那么该椭圆的焦点坐标为：A. (±3, 0)B. (0, ±3)C. (±2, 0)D. (0, ±2)8. 已知双曲线的方程为x^2/16 - y^2/9 = 1，那么该双曲线的渐近线方程为：A. y=±3/4xB. y=±4/3xC. y=±3x/4D. y=±4x/39. 已知直线y=2x+1与圆x^2+y^2=4相交，那么交点的个数为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知函数f(x)=ln(x+1)，若f(x)>0，则x的取值范围为：A. (-1, 0)B. (0, 1)C. (-∞, -1)D. (-1, +∞)二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=________。

12. 已知函数y=x^2-6x+8，求该函数的对称轴方程为________。

高三数学圆锥曲线解答题专练试卷

高三数学圆锥曲线解答题专练试卷一、解答题1．已知点(),P x y 4=，求点P 的轨迹C 的方程.2．已知点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:60l x +=的距离小2，求点M 的轨迹方程．3．求焦点在x 轴上，且经过点(4,2)P 与Q 的双曲线的标准方程．4．已知双曲线22221(0,0)x y C a b a b -=>>：与22124x y -=有相同的渐近线，且经过点M .(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2216x y +=上，求实数m 的值.5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点为1F ，2F .离心率e =，连接C 的四个顶点所得的四边形的面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)设()A m ，()B n 且120AF BF ⋅=，求AB 的最小值.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设()00,P x y 是椭圆C 上第一象限的点，直线l 过P 且与椭圆C 有且仅有一个公共点. ①求直线l 的方程（用0x ，0y 表示）；①设O 为坐标原点，直线l 分别与x 轴，y 轴相交于点M ，N ，求MON △面积的最小值.7．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，椭圆上一点M 满足12MF MF =且122MF MF ⋅=.(1)求椭圆E 的方程；(2)过2F 作两条相互垂直的直线12,l l 分别交E 于A B C D 、、、，求四边形ACBD 面积S 的最大值.8．已知双曲线C 1：2211612x y -=，抛物线C 2：22y px =（0p >），F 为C 2的焦点，过F 垂直于x 轴的直线l 被抛物线C 2截得的弦长等于双曲线C 1的实轴长． (1)求抛物线C 2的方程；(2)过焦点F 作互相垂直的两条直线，与抛物线C 2分别相交于点A 、B 和C 、D ，点P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，求①FPQ 面积的最小值．9．过点(0,2)A 作圆221x y +=的切线，两条切线分别与x 轴交于12,F F （12F F 在的左边），以12,F F 为焦点的椭圆C 经过点A .(1)求椭圆C 的方程；(2)若经过点()3,0的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，当1F MN △的面积取得最大值时，求直线l 的方程.10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点;,F A B 是该抛物线不重合的两个动点，O 为坐标原点，当A 点的横坐标为5时，2cos 3OFA ∠=-.(1)求抛物线的方程；(2)以AB 为直径的圆经过原点，则直线AB 过定点P ，求点P 的坐标.11．已知抛物线22y px =的焦点为F ，点O 为坐标原点，一条直线过定点()4,0M 与抛物线相交于A 、B 两点，且OA OB ⊥. (1)求抛物线方程；(2)连接AF ，BF 并延长交抛物线于C 、D 两点，求证：直线CD 过定点.12．已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F (4,P -，点()3M m ，在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)求证：12·0MF MF =13．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()0,2P x 在抛物线C 上，且||2PF =． (1)求抛物线C 的方程；(2)设Q 是抛物线C 上异于原点的一点，过点Q 作圆22:(4)8M x y -+=的两条切线与抛物线C 分别交于异于Q 点的A ，B 两点，若切线互相垂直，求QAB 的面积．参考答案：1．22143x y +=.【详解】()P x y ，42>，①点P 的轨迹是以()1,0-，()1,0为焦点，长轴长为4的椭圆，1c ∴=，2,a b == ①所求点P 的轨迹C 的方程为22143x y +=.2．216y x =【详解】由题意知动点M 到(4,0)的距离比它到直线:6l x =-的距离小2，即动点M 到(4,0)的距离与它到直线4x =-的距离相等，由抛物线定义可知动点M 的轨迹为以(4,0)为焦点的抛物线，则点M 的轨迹方程为216y x =.3．22184x y -=【详解】设双曲线方程为：22221x y a b -=，将点(4,2)P与Q 代入得：222216412481a b ab ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：2284a b ⎧=⎨=⎩，故双曲线的标准方程为：22184x y -=. 4．(1)2212yx -=(2) 【解析】(1)由题意，设双曲线的方程为22(0)24x yλλ-=≠，又因为双曲线过点M ，221242λ=-=，所以双曲线C 的方程为：2212y x -=(2)由y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩22120，消去y 整理，得22220x mx m ---=，设()()1122,,,A x y B x y ，则因为直线与双曲线交于不同的两点，所以()()m m m ∆=----=+>222242880，解得R m ∈.,x x m x x m +=⋅=--2121222，所以12124y y x m x m m +=+++=则AB 中点坐标为(,2)m m ，代入圆2216x y +=，得2516m =，解得m =.实数m 的值为5．(1)22142x y +=(2)【解析】(1)依题意2221222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩2,a b c ===C 的方程为22142x y +=. (2)由（1）得())12,F F ，由于()A m ，()B n 且120AF BF ⋅=，所以()()60,6m n mn mn --⋅-=+==-，则,m n 异号且非零，AB =当且仅当m n =,m n 异号时等号成立. 6．(1)2212x y +=；(2)0012x x y y +=.【解析】(1)，则22222221112c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2221a b ==，，所以椭圆的标准方程为2212x y +=；(2)①因为00(,)P x y 是椭圆在第一象限的点，所以220012x y +=，即2200220x y +-=(0000x y >>，)，设直线l 方程为00()y y k x x -=-，则0022()12y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得222200000(21)4()(21)40k x k y kx x k x kx y ++-+--=，则()()()222200000Δ44212140k y kx k k x kx y ⎡⎤⎡⎤=--+--=⎣⎦⎣⎦，整理，得2220000440y k x y k x ++=，即200(2)0y k x +=，则0020y k x +=，解得002x k y -=，所以直线l 方程为0000()2x y y x x y -=--，即0012x xy y +=； ①令0x =，得01y y =，令0y =，得02x x =，即0021(,0)(0,)M N x y ，，由2200220x y +-=(0000x y >>，)，得22000022x y y =+≥，当且仅当00x =即001x y ==、时等号成立，所以002x y≤001x y ≥000011212MONS y x x y ==≥(P ，故当点P的坐标为，MON△. 7．(1)22143x y +=(2)6【解析】(1)解：①12MF MF =，①可设()0,M b ，①122MF MF ⋅=，①212b -=，即23b =， ①1c =，①24a =，①22143x y +=；(2)解：①当1l 或2l 垂直坐标轴时，易得4,3AB CD ==，①6S =，①12,l l 均不垂直坐标轴时，设1:1l x ky =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立221143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 整理得()2234690k y ky ++-=，由韦达定理有122631k y y k -+=+，122934y y k -=+，①()()()()()22222121212212111434k AB ky y ky y y y k +⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+，同理可设21:1l x y k =-+，()()3344,,,C D x y y x ，①()()2234221211134k CD y y k k +⎛⎫=+-= ⎪+⎝⎭， ①()()()22222422272172112122512121k k S AB CD k k k k ++=⋅==++++22221172726611121121k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=<=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上：S 的最大值为6. 8．(1)28y x =；(2)16.【解析】(1)由题意，双曲线实轴长28a =，直线l 方程为2p x =，由222p x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩，得y p =，则过F 垂直于x 轴的直线l 被抛物线C 2的弦长为2p ，所以28p =，故抛物线2C 的方程为28y x =.(2)因为(2,0)F ，若直线AB 、CD 分别与两坐标轴垂直，则其中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意；所以，直线AB ，CD 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠，则直线AB 的方程为(2)y k x =-联立()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得28160ky y k --=，则2Δ61640k =+>，设1122,(,)(,)A x y B x y ，则128y y k+=．设(,)P P P x y ，则1242P y y y k +==，则2422,P P y x k k =+=+即244(2,)P k k+，同理得2(42,4)Q k k +-，故2224222||(422)(4)16164(1)QF k k k k k k =+-+-=+=+，2422161641||k PF k k k+=+=，又PF QF ⊥，所以2118(1)||||22||FPQkS PF QFk+=⋅=⨯==18(||)816,||kk⨯+≥⨯当且仅当1||||kk=，即1k=±时等号成立，故①FPQ面积的最小值为16．9．(1)22142x y+=(2)3x=+【解析】(1)解：设圆的切线方程为：y kx=1d==，解得1k=±，所以圆的切线方程为y x=±0y=，得x=())12,F F，设椭圆方程为22221x ya b+=，因为椭圆过点A，所以b=2a，所以椭圆方程为：22142x y+=；(2)设直线l的方程为3x my=+，与椭圆方程联立223142x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得：()222650m y my+++=，因为直线l与椭圆C交于,M N两点，所以()2223620216400m m m∆=-+=->，解得m>m<设()()1122,,,M x y N x y，则12122265,22mx x x xm m+=-⋅=++，所以12MN y=-=点()1F的直线l的距离为d=，所以(12311222F MNS MN dm=⋅==+令0t>，则()221104m t=+，所以(124318F MNtSt=+(4318tt=+，因为18tt+≥18tt=，即t=m=所以直线l的方程是3x=+.10．(1)24y x=(2)P（4,0）【解析】(1)由题意可知：||522Ap pAF x=+=+，而2cos3OFA∠=-，故2cos3AFx∠=，所以cos 25||px AF AF +∠= ，即2+(5)2253p p =+，解得2p = ，故抛物线方程为：24y x = ；(2)设221212(,),(,)44y y A y B y ，120y y ≠ ，不妨假设120y y +≠ ，因为以AB 为直径的圆经过原点，故0OA OB ⋅= ,即221212(,)(,)044y y y y ⋅= ，即221212()016y y y y ⋅+=，则1216y y =-，直线AB 的方程为：121112()y y y y x x x x --=-- ，即212112212()444y y y y y x y y --=--，即2112124y y y x y y y y =+++，而1216y y =-，故1212124164(4)y x x y y y y y y -=+=-+++，即直线AB 过定点(4,0); 当120y y +=时，A ，B 两点关于x 轴对称，此时AOB 为等腰直角三角形，则211||4y y = ，解得14y =± ，此时直线AB 的方程为4x = ，也过定点（4,0），综合上述，以AB 为直径的圆经过原点，则直线AB 过定点P （4,0）. 11．(1)24y x =(2)证明见解析【解析】(1)解：设直线AB 的方程为4x my =+，它与抛物线的两个交点为()11,A x y 和()22,B x y ，联立直线与抛物线方程242x my y px =+⎧⎨=⎩，消去x 得：2280y pmy p --=，①122y y pm +=，① 128y y p =-，①①OA OB ⊥，①1OA OB k k =-，即12120x x y y +=，①()21212204y yy y p+=，1680p -=，①2p =，所以抛物线方程为24y x =.(2)解：设点A ，B ，C ，D 的纵坐标依次为1y ，2y ，3y ，4y ，设直线AF 的方程为1x ny =+，联立方程214x ny y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440y ny --=，①134y y =-，同理424y y =-，由（1）中①可知：1216y y =-，①341y y =-，设直线CD 方程为x ky t =+，联立方程24x ky ty x =+⎧⎨=⎩，消去x得：2440y ky t --=，则有3441y t y =-=-，即14t =，因此直线CD 过点1,04⎛⎫⎪⎝⎭. 12．(1)22166x y -=.(2)证明见解析.【解析】(1)因为离心率e =()220x y λλ-=≠.因为双曲线过点(4,P -,所以1610λ-=,即6λ=，所以双曲线方程为22166x y -=(2)由(1)可知,双曲线中a b ==c ==()1F -、()2F . 因为()3M m ，，所以12MF MF k k ==1223MF MF m k k ==-. 因为点()3,M m 在双曲线22166x y -=上，所以223166m -=，所以23m =，故12213MF MF m k k =-=-，所以12MF MF ⊥，所以12·0MF MF =.即证. 13．(1)24y x =(2)48【解析】(1)解：点()0,2P x 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，∴02x p=，又 ||2PF =，∴022p x +=.将02x p =代入022px +=，得到222p p +=解得2p =.所以，抛物线的方程为24y x =.(2)设,QA QB 与圆22:(4)8M x y -+=分别相切点C ，D 两点，则QC QD =，又因为QA QB ⊥，所以四边形QCMD 为正方形，4==QM，所以点Q 在以(4,0)M 为圆心，4为半径的圆上，即点Q 坐标满足22(4)16x y -+=.联立方程()2224416y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，可得2(4)416-+=x x ，化简为240x x -=，解得4x =或0x =. 因为Q 点异于原点，且在24y x =上，并且2:4C y x =与22:(4)8M x y -+=关于x 轴对称，不妨取点()4,4Q .设过点Q 与圆22:(4)8M x y -+=相切的直线为(4)4y k x =-+则圆心M 到直线的距离为半径1k =±，不妨取1=QA k ，则1QB k =-，直线QA 得方程为：y x =，直线QB 得方程为：8y x =-+联立24y x y x ⎧=⎨=⎩，即24x x =，得0x =（4x =对应Q 点），则0y x ==，所以()0,0A ，联立248y x y x ⎧=⎨=-+⎩，即2(8)4-+=x x ，得220640x x -+=，可得16x =（4x =对应Q 点），则8y =-，所以()16,8B -. 取QB 与x 轴的交点为(8,0)N ，则1122△△△=+=⋅⋅+⋅⋅Q QAB QAN A B BN S S S y AN y AN =第 11页 ()()11··8484822B Q AN y y +=⨯⨯+=，即QAB 的面积为48.。

高考高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品专题圆锥曲线含解析_1

一、选择题1．【2018衡水金卷高三联考】抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】B2．【2018衡水金卷高三联考】已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得，，则，即.所以双曲线的渐近线方程为，即.故选A.3．【2018湖南永州一模】双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在双曲线中，，由，得，故，故双曲线的渐近线方程为，故选C.4．【2018河南中原名校质检二】直线与椭圆（）相交于两点，，线段的中点为，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A5．【2018江西赣州红色七校联考】已知圆C：（a<0）的圆心在直线上，且圆C上的点到直线的距离的最大值为，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】圆的方程为，圆心为①，圆C上的点到直线的距离的最大值为②由①②得，a<0，故得，=3．点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用.6．【2018吉林百校联盟九月联考】已知双曲线C ： 22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ，直线l 过点1F 且与双曲线C 的一条渐进线垂直，直线l 与两条渐进线分别交于M ， N 两点，若112NF MF =，则双曲线C 的渐进线方程为（）A. 33y x =±B. 3y x =±C. 22y x =± D. 2y x =± 【答案】B【解析】∵112NF MF =，∴M 为1NF 的中点，又∵1OM N F ⊥，∴1NOM FOM ∠∠=，又∵12ON FOM F ∠∠=，∴2ON 60F ∠=︒，∴双曲线C 的渐进线的斜率为k tan60=︒=3，即双曲线C 的渐进线方程为3y x =±. 故选：B7．【2018广东珠海市高三摸底】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（） A.52B. 5C.312+ D. 31+【答案】B8．【2018超级全能王全国联考】已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点， P是y 轴正半轴上一点，以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M （O 为坐标原点）.若点,,P M F 三点共线，且MFO ∆的面积是PMO ∆的面积的3倍，则双曲线C 的离心率为（） A.6 B. 5 C. 3 D. 2【答案】D 【解析】由题意可得，,:1:3OM PF PM MF ⊥=,2211,,,,,33OF c OM a MF b MP b a b =====即，选D.9．【2018吉林长春市一模】已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，自点作的平分线的垂线，垂足为，则（）A. 1B. 2C. 4D. 【答案】A10．【2018吉林长春市一模】已知圆的圆心坐标为，则（）A. 8B. 16C. 12D. 13 【答案】D【解析】由圆的标准方程可知圆心为，即. 故选D.11．【2018广东广州海珠区一模】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2231x y +-=相切，则双曲线的离心率为（）A. 2B.3 C. 2 D. 3【答案】D【解析】∵双曲线22221x y a b-= (a >0,b >0)的渐近线为bx ±ay =0，依题意,直线bx ±ay =0与圆()2231x y +-=相切，设圆心(0,3)到直线bx ±ay =0的距离为d ，则d =223a a b +=1,所以822,a b = 22229c a b a =+=∴双曲线离心率e =c a=3. 故选：D.12．【2018安徽合肥是高三调研】下列双曲线中，渐近线方程不是34y x =±的是（） A.22114481x y -= B. 2211832y x -= C. 221916y x -= D. 22143x y -= 【答案】D二、填空题13．【2018河南中原名校质检二】直线与抛物线交于两不同点，.其中，，若，则直线恒过点的坐标是__________．【答案】【解析】设直线为则得,,直线为，恒过故答案为点睛：直线与抛物线联立，要考虑直线的斜率存在与不存在，如果斜率不存在满足题意，直线可设成横截式.14．【2018湖南两市九月调研】已知圆()221:24C x y +-=，抛物线221:2(0),C y px p C =>与2C 相交于,A B 两点， 855AB =，则抛物线2C 的方程为__________．【答案】2325y x =【解析】由题意得，圆1C 与抛物线2C 的其中一个交点B 为原点，设(),A x y852552,,cos 555ABAB sin BCA BCA BC =∠==∠=，852516555y AB sin BCA ∴=∠=⨯=， 8558cos 555x AB BCA =∠=⨯=，即点A 的坐标816,55⎛⎫⎪⎝⎭点A 在抛物线2816162,555p p ⎛⎫∴⨯== ⎪⎝⎭即抛物线方程为2325y x =，故答案为2325y x =. 15．【2018辽宁沈阳育才学校一模】已知方程()2221mx m y +-=表示双曲线，则m 的取值范围是______________. 【答案】()(),02,-∞⋃+∞【解析】()2221mx m y +-=表示双曲线()20m m ⇔-< 0m ⇔<或2m >.16．【2018超级全能生全国联考】已知直线y x b =+与圆222x y +=相交于,A B 两点， O 为坐标原点，若1OA OB ⋅=-，则b =__________．【答案】1±17．【2018广东广州市海珠区一模】已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲线2213x y -=A 为抛物线上一点，且3AF =AF 的斜率等于__________．【答案】45【解析】双曲线2213x y -=的右焦点为(2,0),∴抛物线方程为2y =8x ，p =4. ∵|AF |=3,∴A x +2=3,∴A x =1 代入抛物线方程可得y 22A =± ∵点A 在x 轴上方,∴A (1, 22)，∴直线AF 斜率等于2212-=−22 故答案为：−2218．【2018百校联盟高三摸底】已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为25，离心率为32，圆E 的圆心在椭圆C 上，半径为2，直线1y k x =与直线2y k x =为圆E 的两条切线.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问： 12*k k 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.【答案】（1）221205x y +=；（2）14-圆E 的方程为()()22004x x y y -+-=，由直线1y k x =与圆()()2200:4E x x y y -+-=相切，根据点到直线的距离公式可得12,k k 为方程()22200004240x x x y x y --+-=，的两个根，由韦达定理可知： 20122044y k k x -=-，由E 在椭圆上即可求得1214k k =-.（2）因为直线1y k x =与圆()()2200:4E x x y y -+-=相切，∴1002121k x y k -=+整理得： ()222010*******x k x y k y --+-=，同理可得： ()2220200204240x k x y k y --+-=，所以， 12,k k 为方程()22200004240x x x y x y --+-=的两个根∴20 12244yk kx-=-，又∵()00,E x y 在椭圆22:1205x yC +=上，∴2205120xy⎛⎫=-⎪⎝⎭∴221222005142041444xyk kx x⎛⎫--⎪-⎝⎭===---，故12·k k是定值为14-【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、椭圆的几何性质以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.19．【2018衡水金卷高三大联考】已知椭圆：过点，离心率为，直线：与椭圆交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数，使得（其中为坐标原点）成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.则，.由，得.∴.∴.即.∴.即.即，即.故存在实数，使得成立.20．【2018湖南永州市一模】已知动圆与圆相切，且经过点.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知点，若为曲线上的两点，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2），则，，得，①，②又由，得③联立①②③得，（满足）所以直线的方程为21．【2018河南中原名校质检二】已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率是.（1）求椭圆的方程；（2）点，轨迹上的点，满足，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）则由（2）（4）解得，代入（3）式得化简得由（1）解得代入上式右端得解得综上实数的取值范围是.点睛:解析中出现属于问题，由得出，结合韦达定理找到与的关系，再利用建立不等关系即得解.22．【2018江西赣州红色七校联考】已知曲线C上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2（1）求曲线C的方程（2）过点F且斜率为K的直线L交曲线C于A、B两点，交圆F：于M、N两点（A、M两点相邻）若，当时，求K的取值范围【答案】(1)x2=4y,(2)k的取值范围是[﹣，].23．【2018湖南两市九月调研】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率为12.（1）求椭圆E 的方程；（2）设点A F 、分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F 作直线交椭圆于,C D 两点，求四边形OCAD 面积的最大值（O 为坐标原点）.【答案】(1) 22143x y +=；(2) 3OCAD S ≤四边形．【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，结合性质222a b c =+ ，求出a 、b 、c ，即可得结果；（2）设直线CD 的方程为1x ky =+，与椭圆方程22143x y +=联立得：()2234690ky ky ++-=，根据韦达定理及三角形面积公式可得2212134OCAD OCA ODAk S S S k ∆∆+=+=+，利用基本不等式可得结果.24．【2018广西省联考】已知椭圆C：22221(1)x ya ba b+=>>的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为43π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（0k≠）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点1,07D⎛⎫⎪⎝⎭，求k的值．【答案】（1）椭圆C的方程为22143x y+=．（2）1k=±．试题解析：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为43，设右焦点的坐标为(),0c ，依题意知， 222222,{, 4(,3b c a b c c ==++=又1b >，解得2a =， 3b =， 1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为()1y k x =-，将其代入22143x y +=，得()22223484120k x k x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则2122834k x x k +=+， 212241234k x x k -=+，∴()121226234ky y k x x k k-+=+-=+，因为P 为线段AB 的中点，故点P 的坐标为22243,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又直线PD 的斜率为1k-，直线PD 的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2234k x k =+，由点D 的坐标为22,034k k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则221347k k =+，解得1k =±．25．【2018吉林百校联盟九月联考】已知椭圆C ： 222112x y a +=过点()23,3-，点A ， B 是椭圆上异于长轴端点的两个点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ： 8x =，且1AA l ⊥，垂足为1A ， 1BB l ⊥，垂足为1B ，若()3,0D 且1115ABD A B D S S ∆∆=，求AB 中点的轨迹方程．【答案】(1) 12;(2) 点K 的轨迹方程为()224113y x -+=（0x >）.26．【2018广东珠海市高三摸底】已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上， 1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是()3,23- ()2,0-，()4,4-， 22,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求1C ， 2C 的标准方程；（2）是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交于不同的两点,M N 且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2C 的标准方程为22:4C y x = ； 1C 的标准方程为2214x y += ；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（1）设抛物线()22:20C y px p =≠，则有()220y p x x=≠，据此验证四个点即可（Ⅱ）由椭圆的对称性可设2C 的焦点为F （1，0），当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =直线l 交椭圆1C 于点331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·0OM ON ≠，不满足题意当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，并设()()1122,,,M x y N x y 由()221{44y k x x y =-+=，消去y 得， ()()222218410k x k x k +-+-=，于是()22121222418,?1414k k x x x x k k -+==++ 21223·14k y y k-=+ ①，由OM ON ⊥得12120x x y y += ②将①代入②式，得()22222241340141414k k k k k k ----==+++，解得2k =±所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为220x y --=或220x y +-=27．【2018超级全能生全国联考】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点()2,1，其离心率为22. （1）求椭圆E 的方程；（2）直线:l y x m =+与E 相交于,A B 两点，在y 轴上是否存在点C ，使ABC ∆为正三角形，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）3105y x =±（2）把y x m =+代入E 的方程得2234240x mx m ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212424,33m m x x x x -+=-=， ()2860,66m m ∆=->-<<，()2222212121624414246933m m AB k x x x x m -=++-=⋅-⨯=- 设AB 的中点为P ，则1222,,,23333P P P x x m m m m x y m x P +⎛⎫==-=+=∴- ⎪⎝⎭。