组合数学复习总结(2008)
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(n=3,4,…) (n=2,3,…)
容斥原理应用于排列计数
禁位排列应用
绝对禁止位置排列
相对禁止位置排列
Qn
n!
n1 k 1
(1)k
n
k1(n
k
)!
第7章 递推关系和生成函数
主要内容（重点递推关系求解） 递推关系：
特殊问题递推关系 线性齐次递推关系求解：特征多项式方法 非齐次递推关系求解。
第2章 鸽巢原理及应用(续)
用于证明某种排列的存在性，不用于构造 排列和计数。
运用鸽巢原理通常需要将问题转化。
第3章 排列与组合
主要内容
两个基本计数原理：加法原理、乘法原理 集合排列和组合 多重集的排列（重点掌握） 多重集的组合（重点掌握）
3.2 集合的排列
难点 循环排列:
等
6.1 容斥原理
集合S不具有性质P1,P2,…,Pm的物体的个数：
| A1 A2 Am |＝|S||Ai|+|Ai Aj|
|Ai Aj Ak |+…+ (1)m|A1A2…Am|
容斥原理在多重集组合计数应用
求多重集的r-组合数的一般方法
利用容斥原理归为求无限重数元素的多重集计 数问题。
n
k1
n k
11
牛顿二项式：
(x
y)
k 0
k
x
k
y
k
1
(1 x)k
百度文库
n0
n
k n
1xn
第6章 容斥原理及应用
主要内容
容斥原理：集合交、并的计数 容斥原理的应用 （1）多重集组合计数 （2）特殊问题排列计数：错位排列、禁位排列
一些重要例子
棋盘覆盖问题
第2章 鸽巢原理及应用
鸽巢原理简单形式
如果n＋1个物体被放进n个盒子，那么至少有一 个盒子包含两个或者更多的物体。
鸽巢原理加强形式
若将q1+q2++qn–n+1个物体被放进n个盒子内， 那么，或者第一个盒子至少含有个q1物体，或 者第二个盒子至少含有个q2物体，，或者第n 个盒子至少含有个qn物体
第4章：生成排列和组合
主要算法相关问题 排列生成算法
递归方法 邻位替换 逆序生成算法
第4章：生成排列和组合（续）
生成组合算法
－字典序 －组合压缩序 －反射Gray序
生成r-组合算法
字典序r-组合生成算法
第5章 二项式系数
PASCAL公式：
n k
把元素排成首尾相连的一个圈，只考虑元素间的相 对顺序的排列。
n个元素集合的循环r排列个数为：
P(n, r) n! r r(n r)!
特别地，n元素的循环排列个数=(n1)!
3.4 多重集的排列
无限重元素的排列计数：令S是多重集，它有k
个不同的元素，每个元素都有无限重复次数，那
组合数学
复习总结
内容
1. 课程知识结构 2. 各章知识点
知识结构
计数技巧
什么是组合数学
排列与组合
鸽巢原理
二项式系数
生成排列和组合
排列存在性
容斥原理及应用
二分图的匹配
递推关系和生成函数
构造算法
各章要求和重点
第1章 什么是组合数学
组合数学的研究内容
组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析 和优化等问题的学科。
r r
k
-
1
=
rk k -1
-1
S的r-组合个数等于方程x1+x2+…+xk=r的非 负整数解的个数。
3.5 多重集组合（续）
多重集S={n1a1, n2a2, …, nkak}，n=
n1+n2+…+nk ，求S的r-组合数，其中0rn。
容斥原理方法 生成函数方法
将计数问题转化为较为简单的集合的交（或者 并）；
应用容斥原理求出这些集合的交（或并）。
容斥原理应用于排列计数
错位排列计数：
Dn=n!
(1
1 1!
1 2!
1 3!
(1)n
1) n!
Dn满足如下递推关系: (1) Dn=(n1)( Dn2+Dn1), (2) Dn=nDn1+(1)n
么，S的r-排列个数为kr。 多重集的（全）排列计数：令S是多重集，它
有k个不同的元素，每个元素的重复数分别为n1， n2，…，nk，那么，S的排列数等于
n! n1!n2! nk !
3.4 多重集的排列（续）
任意重数的多重集排列计数：应用指数生 成函数计数。
3.5 多重集组合
无限重数多重集组合：令S是多重集，它有 k个不同的元素，每个元素都有无限重复次 数，那么，S的r-组合个数为
生成函数
生成函数
利用生成函数求解递推关系 特殊序列的生成函数 利用生成函数计数：如多重集组合和排列。
第九章
二分图、匹配的概念 最大匹配、覆盖的概念 最大匹配搜索算法
考试安排
命题范围：主要1－7，9章。 考试方式：闭卷 题型组成
填空题 计算题 证明题
(n=3,4,…) (n=2,3,…)
容斥原理应用于排列计数
禁位排列应用
绝对禁止位置排列
相对禁止位置排列
Qn
n!
n1 k 1
(1)k
n
k1(n
k
)!
第7章 递推关系和生成函数
主要内容（重点递推关系求解） 递推关系：
特殊问题递推关系 线性齐次递推关系求解：特征多项式方法 非齐次递推关系求解。
第2章 鸽巢原理及应用(续)
用于证明某种排列的存在性，不用于构造 排列和计数。
运用鸽巢原理通常需要将问题转化。
第3章 排列与组合
主要内容
两个基本计数原理：加法原理、乘法原理 集合排列和组合 多重集的排列（重点掌握） 多重集的组合（重点掌握）
3.2 集合的排列
难点 循环排列:
等
6.1 容斥原理
集合S不具有性质P1,P2,…,Pm的物体的个数：
| A1 A2 Am |＝|S||Ai|+|Ai Aj|
|Ai Aj Ak |+…+ (1)m|A1A2…Am|
容斥原理在多重集组合计数应用
求多重集的r-组合数的一般方法
利用容斥原理归为求无限重数元素的多重集计 数问题。
n
k1
n k
11
牛顿二项式：
(x
y)
k 0
k
x
k
y
k
1
(1 x)k
百度文库
n0
n
k n
1xn
第6章 容斥原理及应用
主要内容
容斥原理：集合交、并的计数 容斥原理的应用 （1）多重集组合计数 （2）特殊问题排列计数：错位排列、禁位排列
一些重要例子
棋盘覆盖问题
第2章 鸽巢原理及应用
鸽巢原理简单形式
如果n＋1个物体被放进n个盒子，那么至少有一 个盒子包含两个或者更多的物体。
鸽巢原理加强形式
若将q1+q2++qn–n+1个物体被放进n个盒子内， 那么，或者第一个盒子至少含有个q1物体，或 者第二个盒子至少含有个q2物体，，或者第n 个盒子至少含有个qn物体
第4章：生成排列和组合
主要算法相关问题 排列生成算法
递归方法 邻位替换 逆序生成算法
第4章：生成排列和组合（续）
生成组合算法
－字典序 －组合压缩序 －反射Gray序
生成r-组合算法
字典序r-组合生成算法
第5章 二项式系数
PASCAL公式：
n k
把元素排成首尾相连的一个圈，只考虑元素间的相 对顺序的排列。
n个元素集合的循环r排列个数为：
P(n, r) n! r r(n r)!
特别地，n元素的循环排列个数=(n1)!
3.4 多重集的排列
无限重元素的排列计数：令S是多重集，它有k
个不同的元素，每个元素都有无限重复次数，那
组合数学
复习总结
内容
1. 课程知识结构 2. 各章知识点
知识结构
计数技巧
什么是组合数学
排列与组合
鸽巢原理
二项式系数
生成排列和组合
排列存在性
容斥原理及应用
二分图的匹配
递推关系和生成函数
构造算法
各章要求和重点
第1章 什么是组合数学
组合数学的研究内容
组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析 和优化等问题的学科。
r r
k
-
1
=
rk k -1
-1
S的r-组合个数等于方程x1+x2+…+xk=r的非 负整数解的个数。
3.5 多重集组合（续）
多重集S={n1a1, n2a2, …, nkak}，n=
n1+n2+…+nk ，求S的r-组合数，其中0rn。
容斥原理方法 生成函数方法
将计数问题转化为较为简单的集合的交（或者 并）；
应用容斥原理求出这些集合的交（或并）。
容斥原理应用于排列计数
错位排列计数：
Dn=n!
(1
1 1!
1 2!
1 3!
(1)n
1) n!
Dn满足如下递推关系: (1) Dn=(n1)( Dn2+Dn1), (2) Dn=nDn1+(1)n
么，S的r-排列个数为kr。 多重集的（全）排列计数：令S是多重集，它
有k个不同的元素，每个元素的重复数分别为n1， n2，…，nk，那么，S的排列数等于
n! n1!n2! nk !
3.4 多重集的排列（续）
任意重数的多重集排列计数：应用指数生 成函数计数。
3.5 多重集组合
无限重数多重集组合：令S是多重集，它有 k个不同的元素，每个元素都有无限重复次 数，那么，S的r-组合个数为
生成函数
生成函数
利用生成函数求解递推关系 特殊序列的生成函数 利用生成函数计数：如多重集组合和排列。
第九章
二分图、匹配的概念 最大匹配、覆盖的概念 最大匹配搜索算法
考试安排
命题范围：主要1－7，9章。 考试方式：闭卷 题型组成
填空题 计算题 证明题