浙江高考数学试题及其官方答案

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2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)(附答案详解)

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x⩾1} , B= {x|−1<x<2}，则A∩B=()A. B. C. D.2.已知a∈R，(1+ai) i =3+i(i为虚数单位)，则a=()A. B. C. D.3.已知非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗，则“a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗”是“a⃗=b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.某几何体的三视图如图所示(单位：厘米)，则该几何体的体积是(单位：cm3)()A.B.C.D.5.若实数x , y满足约束条件{x+1≥0x−y≤02x+3y−1≤0，则z=x−12y最小值是()A. B. C. D.6.已知正方体，，分别是，，，的中点，则()A. 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线与直线相交，直线平面D. 直线与异面，直线平面7.已知函数，则为右图的函数可能是()A.B. y =f(x)−g(x)−14 C.D.8. 已知，，是三个锐角，则，，中，大于的数至多有( )A. 个B. 个C. 个D. 个9. 已知 a , b ∈ R , a b >0，若函数f(x)=ax 2+b (x ∈R)，且f(s −t)，f(s)，f(s +t)成等比数列，则平面上点(s , t)的轨迹是( )A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线10. 已知数列满足，，记数列的前和项，则( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S 1，小正方形的面积为S 2，则S1S 2= ．12. 已知，函数；若，则_________． 13. 已知多项式，则__________；__________．14. 在中，，，是的中点，，则__________；__________．15.袋中有4个红球，个黄球，个绿球，现从中任取两个球，记取出的红球数为；若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则_________，_________．16.已知椭圆，焦点，；过的直线和圆相切，并与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是_________，椭圆的离心率是__________．17.已知平面向量，，满足，，，，记平面向量在，方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为，则的最小值的等于__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R).(1)求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值．19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．1证明：；2求直线与平面所成角的正弦值．20.已知数列a n的前n项和为S n，a1=−9，且4S n+1=3S n−9(n∈N∗).4(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列{b n}满足3b n+(n−4)a n=0(n∈N∗)，记{b n}的前项和为T n，若T n≤λb n对任意n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．21.如图，已知F是抛物线y2=2px (p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2．(1)求抛物线方程；(2)设过点F的直线交抛物线于A , B两点，若斜率为2的直线l与直线MA , MB , AB , x轴依次交于点P , Q , R , N，且满足|RN|2=|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围．22.设a , b为实数，且a>1，函数f(x)=a x−b x+e2(x∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当a=e时，证明：对任意b>e4，函数f(x)有两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，且满足x2>blnb2e2x1+e2b．答案和解析1.【答案】D【知识点】相等关系与不等关系、交集及其运算【解析】【解析】由题意可知，A∩B= { x | 1⩽x<2 }，故选D．2.【答案】C【知识点】复数的概念、复数的四则运算、复数相等的充要条件【解析】【解析】∵(1+ai) i = −a+i = 3+i，∴a=−3.故选：C．3.【答案】B【知识点】推理、必要条件、充分条件与充要条件的判断、向量的数量积【解析】【解析】∵a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗，∴(a⃗−b⃗ )⋅c⃗=0，即(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，但a⃗≠b⃗ 不一定成立，故充分性不满足，若a⃗=b⃗ ，则a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗必成立，故必要性满足，所以是必要不充分条件．故选：B．4.【答案】A【知识点】几何体的侧面积、表面积、体积问题、数学模型与数学探究活动、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间几何体的三视图【解析】【解析】由三视图可得，直观图如图所示，四棱柱A B C D−A1B1C1D1，由俯视图可知，底面A B C D为等腰梯形，将四棱柱补形成棱长为2的长方体，则BE=√22，所以V=12×(√2+2√2)×√22⋅1=32．故选：A．5.【答案】B【知识点】数学思想和方法、范围与最值问题、二元一次不等式（组）与平面区域【解析】【解析】由题意可知，可行域如图所示，令直线l：y=2x−2z，当直线l过点A(−1 ,1)时，z有最小值−32．故选：B．6.【答案】A【知识点】空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间中的位置关系【解析】【解析】连接AD 1，则AD 1与A 1D 交于M ，AD 1⊥AD 1，在正方体中，∵A B ⊥平面ADD 1A 1，∴A B ⊥A 1D ， ∴AD 1⊥平面ABD 1， ∴A 1D ⊥D 1 B ， ∵M 为AD 1中点， N 为D 1 B 中点， ∴M N//A B ，∴M N//平面A B C D ．故选：A ．7.【答案】D【知识点】函数的图象、函数的奇偶性、复合函数的单调性、数学模型与数学探究活动【解析】【解析】易知函数图像表示的是奇函数，y =f(x)+g(x)−14=x 2+sinx 与y =f(x)−g(x)−14=x 2−sinx 均为非奇非偶函数，排除A 和B ，对于C ，y =f(x)g(x)=(x 2+14) sinx 在[0， π2]上单调，与题意不符．故选：D ．8.【答案】C【知识点】推理、运用反证法证明、三角恒等变换【解析】【解析】假设sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα均大于12，即sinαcosβ>12，sinβcosγ>12，sinγcosα>12，则(sinαcosβ)⋅(sinβcosγ)⋅(sinγcosα)>18，而另一方面，(sinαcosβ)(sinβcosγ)(sinγcosα)=(sinαcosα)(sinβcosβ)(sinγcosγ)，化简得，12sin2α⋅12sin2β⋅12sin2γ=18sin2α⋅sin2β⋅sin2γ≤18，故sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不可能均大于12，取β=π4，α=π3，γ=π6，得到sinαcosβ=√64>12，且sinβcosγ=√64>12，∴大于12的数至多有2个．故选：C．9.【答案】C【知识点】数学思想和方法、圆锥曲线中的对称性问题、直线方程的综合应用、双曲线的概念及标准方程【解析】【解析】∵f(s−t)，f(s)，f(s+t)成等比数列，∴f2(s)=f(s−t)⋅f(s+t)⇒[a(s−t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2，⇒a2(s2−t2)2+a b(2s2+2t2)+b2=a2s4+2abs2+b2，⇒a2(s4−2s2t2+t4)+2abs2+2abt2+b2=a2s4+2abs2+b2，∴a2t4−2a2s2t2+2abt2=0⇒at4−2as2t2+2bt2=0⇒t2(at2−2as2+2b)= 0，当t=0时，(s , t)的轨迹是直线，当at2−2as2+2b=0时，2s2−t2=2ba>0，即s2ba−t2a=1，此时(s , t)的轨迹是双曲线．故选：C．10.【答案】A【知识点】运用放缩法证明不等式、数列的递推关系、数列的求和【解析】【解析】∵a n+1=n1+√a ⇒a n+1+a n+1√a n =a n ，∴a n+1=n n+1√a ，∵√a n >12(√a n +√a n+1)， ∴a n+1<n n+112(√a +√a )=2(√a n −√a n+1)，∴S 100<1+2(√a 1−√a 2+√a 2−√a 3+⋯+√a 99−√a 100)=1+2(1−√a 100)<3，易知：n ⩾2时，a n ≤12，先证明：n ⩾2时，√a n <712(√a n +√a n+1)⇔5√a n <7√a n+1⇔25 a n <49 a n+1，即：25a n <49⋅n1+√a ⇔√a n <2425(n ⩾2)成立，当n ⩾2，a n+1>n n+1712(√a +√a )=127(√a n −√a n+1)，由a n+1=n 1+√a ⇒1an+1=1+√a n a n=1a n+√1a n ⇒1a n+1−1a n =√1a n≥1，则1a 2−1a 1>1 , 1a 3−1a 2>1 , ⋯ , 1a100−1a 99>1 ⇒1a 10>100，即a 100<1100， ∴S 100>1+12+127(√a 2−√a 3+√a 3−√a 4+⋯+√a 99−√a 100)=1+12+6√27−127√a 100≥32+6√27−635>52，综上：52<S 100<3．故选：A ．11.【答案】25．【知识点】数学思想和方法、数学模型与数学探究活动【解析】【解析】由题意可知，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，则S 1S 2=251= 25．故答案为：25．12.【答案】2.【知识点】函数的解析式、复合函数、分段函数【解析】【解析】f(√6)=(√6)2−4=2，f(2)=|2−3|+a =3，解得a =2．故答案为：2．13.【答案】5；10．【知识点】数学思想和方法、二项展开式的特定项与特定项的系数【解析】【解析】a 1 x 3=C 30x 3(−1)0+C 41x 3=5x 3，则a 1=5； a 2 x 2=C 31x 2(−1)1+C 42x 2=3x 2，则a 2=3； a 3 x =C 32x 1(−1)2+C 43x =7x ，则a 3=7； a 4=C 33x 0(−1)3+C 44=0；a 2+a 3+a 4=3+7+0=10．故答案为：5；10．14.【答案】2√13；2√3913．【知识点】解三角形、数学模型与数学探究活动、余弦定理【解析】【解析】因为= 60∘ ，AB =2 ，AM =2√3 ，所以BM =4 ，所以BC =8 ，AC = √AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB = 2√13 ， cos∠MAC =AC 2+AM 2−CM 22⋅AC⋅AM = 2√3913。

2021年浙江省高考数学(含解析版)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：
B
解析：
若 c a 且 c b ，则 a c b c 0 ，但 a 不一定等于 b ，故充分性不成立，
若 a b ，则 a c b c ，必要性成立，故为必要不充分条件.
故选 B.
， E( )
.
6
3
答案：
1 8 9
解析：
P(
2)
C42 C2
mn4
6 C2
mn4
1 6
C
2 mn
4
36
，所以 m n 4 9 ，
P(一红一黄)
C41 Cm1 C2
mn4
4m 36
m 9
1 3
m
3
，所以 n
2 ，则 m n
1，
P(
2)
1 6
，
P(
1)
C41 C51 C92
45 36
13.已知多项式 (x 1)3 (x 1)4 x4 a1x3 a2 x a3x a4 ，则 a1
； a2 a3 a4
.
答案：
5 10
解析：
根据二项式通项公式： a1x3 C30 x3 (1)0 C41x311 5x3 ，故 a1 5 ；
同理， a2 x2 C31x2 (1)1 C42 x212 3x2 6x2 3x2 a2 3 ，
a
，故 e
5
.
5
解析二：不妨假设 c 2 ， sin PF1F2
sin HF1M
HM F1M
2 ， HM 3
c 2
2
2
，
F1M

2022年浙江省高考数学试题及答案

2022年浙江省高考数学试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设集合A={x|0<x<1}，B={x|x^2<4}，则A∩B=（）A. {x|0<x<2}B. {x|0<x<1}C. {x|2<x<0}D. {x|2<x<2}2. 若函数f(x)=x^33x+1在区间（1，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. a>1B. a<1C. a≥1D. a≤13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=20，a2+a4=26，则数列{an}的公差d=（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=60°，则三角形ABC的面积是（）A. 2√3B. 4√3C. 6√3D. 8√35. 已知圆C：x^2+y^2=4，直线l：y=kx+2与圆C相交于A、B两点，若AB=2√2，则实数k的值是（）A. 1B. 1C. ±1D. 06. 已知函数f(x)=log2(x+1)，则f(x)的值域是（）A. (∞，0)B. (0，+∞)C. (∞，+∞)D. (0，+∞)7. 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，高为h，则该三棱柱的体积V是（）A. V=√3/4a^2hB. V=√3/2a^2hC. V=a^2hD. V=√3a^2h8. 若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 以原点为中心，半径为1的圆B. 以原点为中心，半径为2的圆C. 以点（1，0）为中心，半径为1的圆D. 以点（1，0）为中心，半径为1的圆9. 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则数列{an}的前5项和S5=（）A. 31B. 32C. 33D. 3410. 已知函数f(x)=x^2+ax+b（a，b∈R），若f(x)在区间（1，1）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a>2B. a<2C. a≥2D. a≤2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若函数f(x)=x^33x+1在区间（1，1）上单调递减，则实数a的取值范围是_________。

数学●浙江卷丨2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷及答案

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h=+其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

2020年高考数学浙江卷(附答案与解析)

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学分别表示台体的上、下底面积，h 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|14}x P x =＜＜，{}23Q x =＜＜，则P Q （）A .{|12}x x ＜≤B .{|23}x x ＜＜C .{|34}x x ≤＜D .{|14}x x ＜＜ 2.已知a ∈R ，若()–12i a a +-(i 为虚数单位)是实数，则a =（）A .1B .–1C .2D .–23.若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+⎧⎨+-⎩≤≥，则2z x y =+的取值范围是（）A .(,4]-∞B .[4,)+∞C .[5,)+∞D .(,)-∞+∞4.函数cos sin y x x x =+(,)-∞+∞区间[–π,]π+的图象大致为（）ABCD5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A .73B.143C .3D .66.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差0d ≠，11a d≤．记12b S =，1222–n n n S S ++=，n *∈N ，下列等式不可能成立的是（）A .4262a a a =+B .4262b b b =+-------------在------------------此------------------卷------------------上------------------答------------------题--------------------无------------------效---------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷第3页（共18页）数学试卷第4页（共18页）C .2428a a a =D .2428b b b = 8.已知点()0,0O ，()–20A ,，()20B ，．设点P 满足–2PA PB =，且P 为函数y =图像上的点，则OP =（）ABCD9.已知a ，b ∈R 且0ab ≠，若()()()–––20x a x b x a b -≥在0x ≥上恒成立，则（）A .0a ＜B .0a ＞C .0b ＜D .0b ＞10.设集合S ，T ，*S ⊆N ，*T ⊆N ，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈ ②对于任意x ，y T ∈，若x y ＜，则yS x∈；下列命题正确的是（）A .若S 有4个元素，则S T 有7个元素B .若S 有4个元素，则S T 有6个元素C .若S 有3个元素，则S T 有4个元素D .若S 有3个元素，则ST 有5个元素非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分. 11.我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈的前3项和是________．12.设()2345123455612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ________；123a a a ++=________．13.已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______．14.已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．15.设直线:(0)l y kx b k =+＞，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b =______．16.盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．17.设1e ，2e 为单位向量，满足12|22|e e -≤，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A ==．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos cos cos A B C ++的取值范围．19.如图，三棱台—ABC DEF 中，面ACFD ⊥面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=︒，2DC BC =.（I ）证明：EF DB ⊥；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）20.已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中，1111a b c ===，112,()nn n n n n n b c a a c c n b +++=-=⋅∈*N ．（Ⅰ）若数列{}n b 为等比数列，且公比0q ＞，且1236b b b +=，求q 与n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且公差0d ＞，证明：*1211()n c c c n N d++++∈＜．21.如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线()22:20C y px p =＞，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．22.已知12a ＜≤，函数()e x f x x a =--，其中 2.71828e =为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在()0+∞，上有唯一零点；（Ⅱ）记0x 为函数()y f x =在()0+∞,上的零点，证明：（i0x ；（ii ）()()()00e e 11x x f a a --≥．-------------在------------------此-------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学答案解析一、选择题 1.【答案】B 【解析】()()()1,42,32,3P Q ==故选：B【考点】交集概念【考查能力】基本分析求解 2.【答案】C【解析】因为()()12i a a -+-为实数，所以20a -=，2a =∴ 故选：C【考点】复数概念【考查能力】基本分析求解 3.【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B .4.【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且πx =时，πcos πsin ππ0y =+=-＜，据此可知选项B 错误. 故选：A . 5.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为： 11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A【考点】根据三视图计算几何体的体积 6.【答案】B【解析】依题意m ，n ，l 是空间不过同一点的三条直线，当m ，n ，l 在同一平面时，可能m n l ∥∥，故不能得出m ，n ，l 两两相交. 当m ，n ，l 两两相交时，设mn A =，m l B =，n l C =，根据公理2可知m ，n确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以m ，n ，l 在同一平面.综上所述，“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B【考点】充分，必要条件的判断 7.【答案】D.数学试卷第9页（共18页）数学试卷第10页（共18页）【解析】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+，234b a a =+∴，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+．()47822b a a =+∴，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177+=+，41288+=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d ＞时，1a d ≤，()113220d a d d a -=+-∴＞即24280b b b -＞；当0d ＜时，1a d ≥，()113220d a d d a -=+-∴＜即24280b b b -＞，所以24280b b b -＞，D 不正确．故选：D .【考点】等差数列的性质应用 8.【答案】D【解析】因为||||24PA PB -=＜，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2c =，1a =可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=＞，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨-⎪==⎩＞，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D .【考点】双曲线的定义的应用，二次曲线的位置关系的应用【考查能力】数学运算 9.【答案】C【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点1x a =，2x b =，32x a b =+当0a ＞时，则23x x ＜，10x ＞，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b ＜，即b a =-，且0b ＜，所以0b ＜；当0a ＜时，则23x x ＞，10x ＜，要使()0f x ≥，必有0b ＜. 综上一定有0b ＜. 故选：C【考点】三次函数在给定区间上恒成立问题【考查能力】分类讨论思想10.【答案】A【解析】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8S =，则..，此时{}2,4,8,16,32ST =，包含5个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128ST =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p ＜＜＜，1234,,,p p p p ∈*N ，则1224p p p p ＜，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈，同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21pS p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p ＜，故322pp p =即232p p =，又444231p p p p p ＞＞＞，故442232p pp p p ==，所以342p p =，故{}232221,,,S p p p =，此时52p T ∈，2p T ∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p ＜＜，故321p p p =，211pp p =，即331p p =，221p p =，又44441231p p p p p p p ＞＞＞＞，故441331p pp p p ==，所以441p p =，故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈，则31q S p ∈，故131i qp p =，1,2,3,4i =，故31i q p +=，1,2,3,4i =，数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}2345671111111,,,,,,S T p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .【考点】“新定义”主要是指即时定义新概念，新公式，新定理，新法则，新运算五种【考查能力】基础数学知识二、填空题 11.【答案】10 【解析】因为()12n n n a +=，所以11a =，23a =，36a =．即312313610S a a a =++=++=．故答案为：10.【考点】利用数列的通项公式写出数列中的项并求和 12.【答案】80 122【解析】()512x +的通项为()15522rr r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；113355135555222122a a a C C C ++=++=. 故答案为：80；122【考点】利用二项式定理求指定项的系数问题【考查能力】数学运算13.【答案】35-13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， πtan 1211tan()41tan 123θθθ---===++，1故答案为：35-；13【考点】二倍角余弦公式以及弦化切，两角差正切公式【考查能力】基本分析求解 14.【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则 π2π12π2π2r l r l ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1r =，2l =. 故答案为：1【考点】圆锥侧面展开图有关计算 15.【答案】3【解析】由题意，1C ，2C1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得3k =，b =-. ；【考点】直线与圆的位置关系【考查能力】数学运算 16.【答案】131【解析】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.故答案为：13；1.【考点】古典概型概率，互斥事件概率加法公式，数学期望【考查能力】基本分析求解数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）17.【答案】2829【解析】12|2|2e e -∵≤124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ⋅∴≥，222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a b θ+⋅+⋅⋅===+⋅+⋅+⋅⋅∴12424228(1)(1)3332953534e e =--=+⋅+⨯≥.故答案为：2829.【考点】利用模求向量数量积，利用向量数量积求向量夹角，利用函数单调性求最值【考查能力】综合分析求解三、解答题18.【答案】（Ⅰ）π3B=（Ⅱ）32⎤⎥⎝⎦【解析】（Ⅰ）由2sin b A 结合正弦定理可得：2sin sin B A A =，sin B =∴ ABC △为锐角三角形，故π3B =. （Ⅱ）结合（Ⅰ）的结论有：12πcos cos cos cos cos 23A B C A A ⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 6π2A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由20π32π02A A π⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＜＜＜＜可得：ππ62A ＜＜，ππ2π363A +＜＜，则πsin 3A ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，π13sin 232A ⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【考点】解三角形19.【答案】（Ⅰ）证明见解析【解析】（Ⅰ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ．∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC ⋂平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ， ∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥．45ACB ACD ∠=∠=︒∵，2CD BC CH ==⇒=∴．在CBH △中，22222cos45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，BH BC ⊥∴．由棱台的定义可知，EF BC ∥，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BHDH H =，EF ⊥∴平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，EF DB ⊥∴．（Ⅱ）因为DF CH ∥，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角．作HG BD ⊥于G ，连接CG，由（I ）可知，BC ⊥平面BHD ，因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD⋂平面BHD BD =，HG ⊂平面BHD，HG ⊥∴平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角．在Rt HGC △中，设BC a =，则CH，BH DHHG BD ⋅==， sin HG HCG CH ∠===∴ 故DF 与平面DBC ．【考点】空间点，线，面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法数学试卷第15页（共18页）数学试卷第16页（共18页）【考查能力】直观想象能力和数学运算20.【答案】（Ⅰ）12q =，1423n n a -+=.（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）依题意11b =，223,b q b q ==，而1236b b b +=，即216q q +=，由于0q ＞，所以解得12q =，所以112n n b -=. 所以2112n n b ++=，故11112412n n n n n c c c -++=⋅=⋅，所以数列{}n c 是首项为1，公比为4的等比数列，所以14n n c -=.所以114n n n n a a c -+==-（2,n n ∈*N ≥）.所以121421443n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=. （Ⅱ）依题意设()111n b n d dn d =+-=+-，由于12n n n n c bc b ++=，所以111n n n n c b c b --+=()2,n n ∈*N ≥，故131232211112211143n n n n n n n n n n n c c c b b bc b b c c c c c c c b b b b b ------+-=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ 121111111111n n n n n n b b d b b d b b d b b +++⎛⎫⎛⎫+⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以121223*********n nn c c c d b b b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111n d b +⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于0d ＞，11b =，所以10n b +＞，所以1111111n d b d +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜.即1211n c c c d++++＜，n ∈*N . 【考点】累加法，累乘法求数列的通项公式，裂项求和法21.【答案】（Ⅰ）1,032⎛⎫⎪⎝⎭（Ⅱ）40【解析】（Ⅰ）当116p =时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1,032⎛⎫⎪⎝⎭；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，:I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 12222m y y λλ-+=+∴，022m y λλ-=+，00222mx y m λλ=+=+，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ+=∴，2101022x x y m y m p m λλλ+=+++=+∴，2122222mx p m λλ=+-+∴. 由222214222x y x px y px +=⇒+==⎧⎪⎨⎪⎩，即2420x px +-= 12x p ⇒==-+222221822228162p p p m p p pλλλλλ+⇒-++⋅=+++≥，18p ，21160p ≤，p ≤，所以，p ，此时A . 法2：设直线():0,0l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m x m +=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）所以当m =，t =时，p.【考点】直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值【考查能力】数学运算22.【答案】（Ⅰ）()1x f x e '=-∵，0x ∵＞，1x e ∴＞，()0f x '∴＞，()f x ∴在()0,+∞上单调递增，12a ∵＜≤，22(2)240f e a e =---∴≥＞，(0)10f a =-＜；所以由零点存在定理得()f x 在()0,+∞上有唯一零点；（Ⅱ）（i ）0()0f x =∵，000x e x a --=∴，()0020000121x xx e x x e x ⇔----≤≤，令()()2102xg x e x x x =---＜＜，()()21022xx h x e x x =---＜＜一方面：()()11x h x e x h x '=--=，()110x h x e '=-＞，()()00h x h ''=∴＞，()h x ∴在()0,2单调递增，()()00h x h =∴＞，2102xx e x ---∴＞，22(1)x e x x --＞；另一方面：12a ∵＜≤，11a -∴≤；所以当01x ≥0x 成立，因此只需证明当01x ＜＜时2()10x g x e x x =---≤，因为()()112x g x e x g x '=--=，()120ln 2x g x e x '=-=⇒= 当(0,ln 2)x ∈时，()10g x '＜，当(ln 2,1)x ∈时，()10g x '＞，所以()()()max{0,1}g x g g '''＜，()00g '=∵，()130g e '=-＜，()0g x '∴＜()g x ∴在()0,1单调递减，()()00g x g =∴＜，21x e x x --∴＜，综上，()002000121xxe x x e x ----∴≤≤，0x （ii ）0000000()()()[(1)(2)]xa a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+-∵＞0x0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e =--=--+-∴≥，因为12a ＜≤，所以a e e ＞，()21a a -≥，()()()()011212a t x e a a e --+--∴≥，只需证明()()()221211a a e e a ----≥，即只需证明224(2)(1)(1)a e e a ---≥，令()()()()224211a s a e e a =----，()12a ＜≤，则()()()()()228218210aas a e e e e e e '=------≥＞，()()()21420s a s e =-+∴＞＞，即()()()224211ae e a ---≥成立，因此()()()0x 0e e 11xf a a --≥.【考点】利用导数研究函数零点，利用导数证明不等式【考查能力】综合分析论证与求解。

2022年浙江省高考数学试题及答案

A. 20B. 18C. 13D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中画出可行域,平移动直线后可求最大值.
【详解】不等式组对应得可行域如图所示:
当动直线过時有最大值.
由可得 ,故 ,
故 ,
故选:B.
4. 设 ,则“ ”昰“ ”得()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
18. 在中,角A,B,C所对得边分别为a,b,c．已知．
(1)求得值;
(2)若 ,求得面积．
19. 如图,已知和都昰直角梯形, , , , , , ,二面角得平面角为．设M,N分别为得中点．
(1)证明: ;
(2)求直线与平面所成角得正弦值．
20. 已知等差数列首项 ,公差．记得前n项和为．
故选:D.
7. 已知 ,则 ()
A.25B.5C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数式与对数式互化,幂得运算性质以及对数得运算性质即可解出．
【详解】因为 , ,即 ,所以．
故选:C.
8. 如图,已知正三棱柱 ,E,F分别昰棱上得点．记与所成得角为 , 与平面所成得角为 ,二面角得平面角为 ,则()
16. 已知双曲线左焦点为F,过F且斜率为得直线交双曲线于点 ,交双曲线得渐近线于点且．若 ,则双曲线得离心率昰_________．
17. 设点P在单位圆得内接正八边形得边上,则得取值范围昰_______．
三、解答题:本大题共5小题,共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
故选:C．
6. 为了得到函数得图象,只要把函数图象上所有得点()

浙江高中数学试题及答案

浙江高中数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为偶函数的是：A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = sin(x)答案：A2. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a和向量b的点积为：A. 5B. -1C. 4D. -5答案：B3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 圆x^2 + y^2 = 9的半径是：A. 3B. 6C. 9D. 18答案：A5. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C6. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为a和b，则ab的值为：A. 1B. 2C. 3D. 6答案：C7. 函数y = ln(x)的导数是：A. 1/xB. xC. ln(x)D. -1/x答案：A8. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C9. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则a5的值为：A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A10. 抛物线y = x^2 - 4x + 5的顶点坐标是：A. (2, 1)B. (-2, 1)C. (2, -1)D. (-2, -1)答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 已知三角形ABC中，角A = 60°，边a = 8，边b = 10，则边c的长度为______。

答案：6√32. 函数f(x) = x^2 - 6x + 9的最小值为______。

答案：03. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是______。

答案：x^2 + y^2 = 254. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标为______。

答案：(1, 0)5. 等比数列{an}的首项a1 = 3，公比q = 2，则a4的值为______。

2024年浙江省高考数学试卷(新高考Ⅰ)

2024年浙江省高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．(★)(5分)全集U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，3}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{2}B．{3}C．{1，4}D．{1，2，3，4}2．(★)(5分)复数的值是()A．1B．-1C．i D．-i3．(★)(5分)已知向量=(1，2)，=(x,4)，若向量⊥，则x=()A．2B．-2C．8D．-84．(★)(5分)设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A．B．C．D．5．(★)(5分)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．2B．4C．8D．166．(★)(5分)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为()A．20B．25C．30D．357．(★)(5分)函数f(x)=-()x的零点个数为()A．0B．1C．2D．38．(★)(5分)“lgx,lgy,lgz成等差数列”是“y2=xz”成立的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．(★)(5分)过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F1是另一焦点，若∠PF1Q=，则双曲线的离心率e等于() A．B．C．D．10．(★)(5分)规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=ab+a+b2(a,b为正实数)，若1⊗k=3，则k=()A．-2B．1C．-2或1D．2二、填空（本大题11-14题为必做题，15题为选做从（A）（B）（C）中任选一题作答，若多做按所做的第一题评分，满分20分）11．(★★)(5分)21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，24×1×3×5×7=5×6×7×8，…依此类推，第n个等式为2n×1×3×…(2n-1)=(n+1)•…(2n-1)•2n．12．(★★★)(5分)对于任意实数x,不等式ax2-2x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是(-，0]．13．(★★)(5分)已知命题P：不等式＜0的解集为{x|0＜x＜1}；命题q：在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p真q假；②“p∧q”为真；③“p∨q”为真；④p假q真其中正确结论的序号是①③．(请把正确结论的序号都填上)14．(★★★)(5分)已知均为单位向量，且它们的夹角为60°，当取最小值时，λ=．选做题15．(★★)(5分)(选修4-4：坐标系与参数方程)直线l的极坐标方程为C：ρcos(θ-)=3，圆C：(θ为参数)上的点到直线l的距离值为d,则d的最大值为3+1．16．(★★)(选做题)(几何证明选讲选做题)如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD=2，则∠C的大小为30°．17．(★★)不等式|2x-1|＜3的解集为{x|-1＜x＜2}．三、解答题（本大题共6小题，满分共65分）18．(★★★)(12分)设三角形ABC的内角A，B，C，的对边分别为a,b,c,，sinA=4sinB．(1)求b边的长；(2)求角C的大小．19．(★★★)(12分)甲、乙二名射击运动员参加2011年广州举行亚运会的预选赛，他们分别射击了4次，成绩如下表(单位：环)(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；(2)现要从中选派一人参加决赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适？请说明理由．20．(★★★)(12分)在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=b1=1，b4=8，{a n}的前10项和S10=55．(Ⅰ)求a n和b n；(Ⅱ)已知c n=a n+b n求c n的前n项之和T n．21．(★★★★)(12分)如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求直线CE与平面ADE所成角的正弦值．22．(★★★★)(13分)如图，在△ABC中，，以B、C 为焦点的椭圆恰好过AC的中点P．(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右顶点A1作直线l与圆E：(x-1)2+y2=2相交于M、N两点，试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．23．(★★★★)(14分)已知函数f(x)=x3-3ax+b在x=1处有极小值2．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若函数在[0，2]只有一个零点，求m的取值范围．。

2020年浙江省高考数学试卷试题+答案详解

12.设，则a5=________；a1+a2+a3=________．
13.已知，则 ________； ______．
14.已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______．
15.设直线，圆，，若直线与，都相切，则 _______；b=______．
16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则 _______； ______．
21【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当时，的方程为，
故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）设，
由，得
∴ ，
由在抛物线上，∴ ，整理得
又，消元得，即
∴ ，∴ ，
∴ .
由消元得 ,即
∴
∴ ，
∴ ，，，
∴ 的最大值为，此时 .
法2：设直线， .
将直线的方程代入椭圆得，
∴点的纵坐标为 .
，解得 .故答案为 .
15【答案】(1) (2) .
【解析】由题意，到直线的距离等于半径，即，，
∴ ，∴ （舍）或者，
解得 .故答案为 .
16【答案】(1). (2).
【解析】∵ 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
∴ ，随机变量，
，，
∴ .故答案为 .
17【答案】
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
在中，设，则，，
∴ ．故与平面所成角的正弦值为．
20【答案】（I）；（II）证明见解析.
【解析】（I）依题意，
而，即，
由于，解得，∴ .

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)(附答案详解)

2020学年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学及答案解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则C U A=( )A.∅B.{1，3}C.{2，4，5}D.{1，2，3，4，5}解析：根据补集的定义，C U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件.C U A={2，4，5}.答案：C2.双曲线221 3xy-=的焦点坐标是( )A.(-2，0)，(2，0)B.(-2，0)，(2，0)C.(0，-2)，(0，2)D.(0，-2)，(0，2)解析：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，由此可得c=22a b+=2，∴该双曲线的焦点坐标为(±2，0)答案：B3.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )A.2B.4C.6D.8解析：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱.如图所示：故该几何体的体积为：V=()112222+⋅⋅=6.答案：C4.复数21i-(i为虚数单位)的共轭复数是( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i解析：化简可得()()()2121111iz ii i i+===+--+，∴z的共轭复数z=1-i.答案：B5.函数y=2|x|sin2x的图象可能是( ) A.B.C.D.解析：根据函数的解析式y=2|x|sin2x ，得到：函数的图象为奇函数，故排除A 和B.当x=2π时，函数的值也为0，故排除C.答案：D6.已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：∵m ⊄α，n ⊂α，∴当m ∥n 时，m ∥α成立，即充分性成立，当m ∥α时，m ∥n 不一定成立，即必要性不成立，则“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件. 答案：A7.设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0，1)内增大时，( ) A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小解析：设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是E(ξ)=1110122222p p p -⨯+⨯+⨯=+；方差是D(ξ)=2222211111111012222222422p p p p p p p p ---⨯+--⨯+--⨯=-++=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎭⎝，∴p ∈(0，12)时，D(ξ)单调递增； p ∈(12，1)时，D(ξ)单调递减；∴D(ξ)先增大后减小. 答案：D8.已知四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点).设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S-AB-C 的平面角为θ3，则( )A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1解析：∵由题意可知S 在底面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心.过E 作EF ∥BC ，交CD 于F ，过底面ABCD 的中心O 作ON ⊥EF 交EF 于N ，连接SN ，取CD 中点M ，连接SM ，OM ，OE ，则EN=OM ，则θ1=∠SEN ，θ2=∠SEO ，θ3=∠SMO. 显然，θ1，θ2，θ3均为锐角.∵13tan tan SN SN SONE OM OM θθ===，，SN ≥SO ，∴θ1≥θ3，又32sin sin SO SOSM SE θθ==，，SE ≥SM ，∴θ3≥θ2.答案：D9.已知a b e ，，是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是( )3323解析：由2430b e b -⋅+=，得()()3b e b e -⋅-=0，∴()()3b e b e -⊥-，如图，不妨设e =(1，0)，则b 的终点在以(2，0)为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a 与e 的夹角为3π，则a 的终点在不含端点O 的两条射线y=3x(x ＞0)上.不妨以3为例，则a b-的最小值是(2，0)3x=y=0的距离减1.231=3131-+.答案：A10.已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)，若a 1＞1，则( ) A.a 1＜a 3，a 2＜a 4 B.a 1＞a 3，a 2＜a 4 C.a 1＜a 3，a 2＞a 4 D.a 1＞a 3，a 2＞a 4解析：a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a 1＞1，设公比为q ，当q ＞0时，a 1+a 2+a 3+a 4＞a 1+a 2+a 3，a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)，不成立，即：a 1＞a 3，a 2＞a 4，a 1＜a 3，a 2＜a 4，不成立，排除A 、D.当q=-1时，a 1+a 2+a 3+a 4=0，ln(a 1+a 2+a 3)＞0，等式不成立，所以q ≠-1；当q ＜-1时，a 1+a 2+a 3+a 4＜0，ln(a 1+a 2+a 3)＞0，a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)不成立，当q ∈(-1，0)时，a 1＞a 3＞0，a 2＜a 4＜0，并且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)，能够成立，答案：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江2023数学高考卷

浙江2023数学高考卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=2x²3x+1在区间（a，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A. a≥1B. a≤1C. a≥0D. a≤03. 已知向量a=(2，3)，向量b=(1，2)，则向量a与向量b的夹角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模长为（）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定5. 在等差数列{an}中，已知a1=1，a10=37，则公差d为（）A. 4B. 3C. 2D. 1二、判断题（每题1分，共5分）1. 若两个平面垂直，则它们的法向量互相垂直。

（）2. 对数函数的定义域为全体实数。

（）3. 若矩阵A与矩阵B相似，则它们的特征值相同。

（）4. 任何两个实数的和都是实数。

（）5. 在等差数列中，若公差为0，则数列中的所有项相等。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(1)=______。

2. 若向量a=(3，4)，则向量a的模长|a|=______。

3. 在直角坐标系中，点A(2，3)关于原点的对称点坐标为______。

4. 已知等差数列{an}的公差为2，且a3=8，则a5=______。

5. 若复数z=3+4i，则z的共轭复数z的实部为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述平面几何中平行线的性质。

2. 求解一元二次方程x²5x+6=0。

3. 计算行列式D=|1 2 3|。

4. 举例说明等比数列的定义及其通项公式。

5. 简述概率的基本性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x²4x+3，求函数的最小值。

2022年高考真题—数学(浙江卷)【含答案及解析】

年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（浙江卷）数学参考公式：如果事件A ，B 互斥，则柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+V Sh=如果事件A ，B 相互独立，则其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B =×锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次13V Sh=独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n -=-=L 球的表面积公式台体的体积公式24S R p=()1213V S S h =++球的体积公式其中12,S S 表示台体的上、下底面积，343V R p =h 表示台体的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B È=（）A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}2.已知,,3i (i)i a b a b Î+=+R （i 为虚数单位），则（）A.1,3a b ==- B.1,3a b =-= C.1,3a b =-=- D.1,3a b ==3.若实数x ，y 满足约束条件20,270,20,x x y x y -³ìï+-£íï--£î则34z x y =+的最大值是（）A 20B. 18C. 13D. 64.设x ÎR ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）.A.22πB.8πC.22π3D.16π36.为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x æö=+ç÷èø图象上所有的点（）A.向左平移π5个单位长度 B.向右平移π5个单位长度C.向左平移π15个单位长度 D.向右平移π15个单位长度7.已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A.25B.5C.259 D.538.如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA -=，E ，F 分别是棱11,BC A C 上的点．记EF 与1AA 所成的角为a ，EF 与平面ABC 所成的角为b ，二面角F BC A --的平面角为g ，则（）A.a b g££ B.b a g ££ C.b g a££ D.a g b££9.已知,a b ÎR ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x Î-+---³R ，则（）A.1,3a b £³ B.1,3a b ££ C.1,3a b ³³ D.1,3a b ³£10.已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-ÎN ，则（）A.100521002a <<B.100510032a << C.100731002a <<D.100710042a <<非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分．11.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S =，其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2a b c ===，则该三角形的面积S =___________．12已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =__________，12345a a a a a ++++=___________．13.若3sin sin 2pa b a b -=+=，则sin a =__________，cos 2b =_________．14.已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ì-+£ï=í+->ïî则12f f æöæö=ç÷ç÷èøèø________；若当[,]x a b Î时，1()3f x ££，则b a -的最大值是_________．15.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为x ，则(2)P x ==__________，()E x =_________．16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．17.设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A L 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++u u u r u u L u r u u u r 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ==．（1）求sin A 的值；（2）若11b =，求ABC V 面积．.的19.如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE Ð=Ð=°，二面角F DC B --的平面角为60°．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．（1）证明：FN AD ^；（2）求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．20.已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *ÎN ．（1）若423260S a a -+=，求n S ；（2）若对于每个n *ÎN ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．21.如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q æöç÷èø在线段AB上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．（1）求点P 到椭圆上点距离的最大值；（2）求||CD 的最小值．22.设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知,a b ÎR ，曲线()y f x =上不同三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a æö<-<-ç÷èø；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea a x x a --+<+<-．（注：e 2.71828=L是自然对数的底数）的的答案及解析选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B È=（）A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}【答案】D 【解析】【分析】利用并集的定义可得正确的选项.【详解】{}1,2,4,6A B =U ，故选：D.2.已知,,3i (i)i a b a b Î+=+R （i 为虚数单位），则（）A.1,3a b ==- B.1,3a b =-= C.1,3a b =-=- D.1,3a b ==【答案】B 【解析】【分析】利用复数相等的条件可求,a b .【详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.3.若实数x ，y 满足约束条件20,270,20,x x y x y -³ìï+-£íï--£î则34z x y =+的最大值是（）A. 20B. 18C. 13D. 6【答案】B 【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线34z x y =+后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线340x y z +-=过A 时z 有最大值.由2270x x y =ìí+-=î可得23x y =ìí=î，故()2,3A ，故max 324318z =´+´=，故选：B.4.设x ÎR ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ÎR ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件.故选：A.5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A.22πB.8πC.22π3D.16π3【答案】C 【解析】【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为1cm ，圆台的下底面半径为2cm ，所以该几何体的体积(322214122ππ1π122π2π12333V =´´+´´+´´´+´+=3cm ．故选：C ．6.为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x æö=+ç÷èø图象上所有的点（）A. 向左平移π5个单位长度 B.向右平移π5个单位长度C. 向左平移π15个单位长度 D. 向右平移π15个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin 32sin 3155y x x éùæö==-+ç÷êúèøëû，所以把函数π2sin 35y x æö=+ç÷èø图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin 3y x =的图象．故选：D.7.已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A. 25B. 5C.259D.53【答案】C 【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a aa bb b -====．故选：C.8.如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA -=，E ，F 分别是棱11,BC A C 上的点．记EF 与1AA 所成的角为a ，EF 与平面ABC 所成的角为b ，二面角F BC A --的平面角为g ，则（）A.a b g££ B.b a g ££ C.b g a££ D.a g b££【答案】A 【解析】【分析】先用几何法表示出a b g ，，，再根据边长关系即可比较大小．【详解】如图所示，过点F 作FP AC ^于P ，过P 作PM BC ^于M ，连接PE ，则EFP a =Ð，FEP b =Ð，FMP g =，tan 1PE PE FP AB a ==£，tan 1FP AB PE PE b ==³，tan tan FP FPPM PEg b =³=，所以a b g ££，故选：A ．9.已知,a b ÎR ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x Î-+---³R ，则（）A 1,3a b £³ B.1,3a b ££ C.1,3a b ³³ D.1,3a b ³£【答案】D 【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -³---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ÎR ，有|||25||4|a x b x x -³---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ì-£ïïï=---=-<<íï-³ïïî，即()f x 的图象恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：.由图可知，3a ³，13b ££，或13a £<，3143b a££-£，故选：D ．10.已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-ÎN ，则（）A.100521002a <<B.100510032a << C.100731002a <<D.100710042a <<【答案】B 【解析】【分析】先通过递推关系式确定{}n a 除去1a ，其他项都在()0,1范围内，再利用递推公式变形得到1111133n n n a a a +-=>-，累加可求出11(2)3n n a >+，得出1001003a <，再利用11111111333132n n n a a a n n +æö-=<=+ç÷-+èø-+，累加可求出()111111113323n n a n æö-<-++++ç÷èøL ，再次放缩可得出10051002a >．【详解】∵11a =，易得()220,13a =Î，依次类推可得()0,1n aÎ由题意，1113n n n a a a +æö=-ç÷èø，即()1131133n n n n n a a a a a +==+--，∴1111133n n n a a a +-=>-，即211113a a ->，321113a a ->，431113a a ->，…，1111,(2)3n n n a a -->³，累加可得()11113n n a ->-，即11(2),(2)3n n n a >+³，∴()3,22n a n n <³+，即100134a <，100100100334a <<,又11111111,(2)333132n n n n a a a n n +æö-=<=+³ç÷-+èø-+，∴211111132a a æö-=+ç÷èø，321111133a a æö-<+ç÷èø，431111134a a æö-<+ç÷èø，…，111111,(3)3n n n a a n -æö-<+³ç÷èø，累加可得()11111111,(3)3323n n n a n æö-<-++++³ç÷èøL ，∴10011111111133334943932399326a æöæö-<++++<+´+´<ç÷ç÷èøèøL ，即100140a <，∴100140a >，即10051002a >；综上：100510032a <<．故选：B ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分．11.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S =，其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2a b c ===，则该三角形的面积S =___________．【答案】4.【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为S =，所以4S ==．故答案为：4.12.已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =__________，12345a a a a a ++++=___________．【答案】①.8②.2-【解析】【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令0x =求出0a ，再令1x =即可得出答案．【详解】含2x 项为：()()3232222244C 12C 14128x x x x x x ×××-+×××-=-+=，故28a =；令0x =，即02a =，令1x =，即0123450a a a a a a =+++++，∴123452a a a a a ++++=-，故答案为：8；2-．13.若3sin sin 2pa b a b -=+=，则sin a =__________，cos 2b =_________．【答案】①.10②.45【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到a 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出a ，接下来再求b ．【详解】2pa b +=，∴sin cos b a =，即3sin cos a a -=的sin cos1010a aö-=÷÷øsin10q=，cos10q=，()a q-=，∴22k k Zpa q p-=+Î，，即22kpa q p=++，∴sin sin2cos210kpa q p qæö=++==ç÷èø，则224cos22cos12sin15b b a=-=-=．故答案为：10；45．14.已知函数()22,1,11,1,x xf xx xxì-+£ï=í+->ïî则12f fæöæö=ç÷ç÷èøèø________；若当[,]x a bÎ时，1()3f x££，则b a-的最大值是_________．【答案】①.3728②.3【解析】【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.【详解】由已知2117()2224fæö=-+=ç÷èø，77437()144728f=+-=，所以137()228f féù=êúëû，当1x£时，由1()3f x££可得2123x£-+£，所以11x-££，当1x>时，由1()3f x££可得1113xx£+-£，所以12x<£1()3f x££等价于12x-££+，所以[,][1,2a bÍ-+，所以b a-的最大值为3.故答案为：3728，315.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为x，则(2)P x==__________，()E x=_________．【答案】①.1635，②.127##517【解析】【分析】利用古典概型概率公式求(2)P x =，由条件求x 分布列，再由期望公式求其期望.【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有37C 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有112424C C C +种，所以11242437C C C 16(2)C 35P x +===，由已知可得x 的取值有1，2，3，4，2637C 15(1)C 35P x ===，16(2)35P x ==，，()()233377C 31134C 35C 35P P x x ======，所以15163112()1234353535357E x =´+´+´+´=,故答案为：1635，127.16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【答案】4【解析】【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4b a 的直线:()4b AB y x c a=+，渐近线2:bl y x a =，联立()4b y x c ab y xa ì=+ïïíï=ïî，得,33c bc B a æöç÷èø，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a æö-ç÷èø而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e 4=.故答案为：4．17.设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A L 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++u u u r u u L u r u u u r 的取值范围是_______．【答案】[12+【解析】【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设(,)P x y ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到()2222212888PA PA PA x y +++=++u u u r u u u r u u u r L ，然后利用cos 22.5||1OP ££o 即可解出．【详解】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A æöææ-----ç÷ççç÷ç÷ç÷èøèøèø,822A æö-ç÷ç÷èø，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++u u u r u u u r u u u r L ，因为cos 22.5||1OP ££o，所以221cos 4512x y +£+£o ，故222128PA PA PA +++u u u r u u u r u u u r L 的取值范围是[12+.故答案为：[12+．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ==．（1）求sin A 的值；（2）若11b =，求ABC V 的面积．【答案】（1；（2）22．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．【小问1详解】由于3cos 5C =，0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin sin 45A C ==．【小问2详解】因为4a =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====，即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =，所以ABC V 的面积114sin 51122225S ab C ==´´´=．19.如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE Ð=Ð=°，二面角F DC B --的平面角为60°．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．（1）证明：FN AD ^；（2）求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）14．【解析】【分析】（1）过点E 、D 分别做直线DC 、AB 的垂线EG 、DH 并分别交于点G 、H ，由平面知识易得FC BC =，再根据二面角的定义可知，60BCF Ð=o ，由此可知，FN BC ^，FN CD ^，从而可证得FN ^平面ABCD ，即得FN AD ^；（2）由（1）可知FN ^平面ABCD ，过点N 做AB 平行线NK ，所以可以以点N 为原点，NK ，NB 、NF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系N xyz -，求出平面ADE 的一个法向量，以及BM uuu u r，即可利用线面角的向量公式解出．【小问1详解】过点E 、D 分别做直线DC 、AB 的垂线EG 、DH 并分别交于点交于点G 、H ．∵四边形ABCD 和EFCD 都是直角梯形，//,//,5,3,1AB DC CD EF AB DC EF ===，60BAD CDE Ð=Ð=°，由平面几何知识易知，2,90DG AH EFC DCF DCB ABC ==Ð=Ð=Ð=Ð=°，则四边形EFCG 和四边形DCBH 是矩形，∴在Rt EGD V 和Rt DHA V ，EG DH ==∵,DC CF DC CB ^^，且CF CB C Ç=，∴DC ^平面,BCF BCF Ð是二面角F DC B --的平面角，则60BCF Ð=o ，∴BCF △是正三角形，由DC Ì平面ABCD ，得平面ABCD ^平面BCF ，∵N 是BC 的中点，\FN BC ^，又DC ^平面BCF ，FN Ì平面BCF ，可得FN CD ^，而BC CD C Ç=，∴FN ^平面ABCD ，而AD Ì平面ABCD FN AD \^．【小问2详解】因为FN ^平面ABCD ，过点N 做AB 平行线NK ，所以以点N 为原点，NK ，NB 、NF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系N xyz -，设(3,(1,0,3)A B D E，则33,,22M æöç÷ç÷èø，33,,,(2,(22BM AD DE æö\=-=--=-ç÷ç÷èøu u u u r u u ur u u u r 设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z =r由00n AD n DE ì×=í×=îu u u v r u u u v r，得20230x x z ì--=ïí-++=ïî，取n =-r ，设直线BM 与平面ADE 所成角为q ，∴||sin cos ,14|||n BM n BM n BM q ×=áñ====×u uu u r r u uu u r r uu u u r r ．20.已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *ÎN ．（1）若423260S a a -+=，求n S ；（2）若对于每个n *ÎN ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 取值范围．【答案】（1）235(N )2n n nS n *-=Î（2）12d <£【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n 项和公式化简条件，求出d ，再求n S；的(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d 的范围.【小问1详解】因为42312601S a a a -+==-，，所以()()46211260d d d -+--+-++=，所以230d d -=，又1d >，所以3d =，所以34n a n =-，所以()213522n na a n n n S +-==，【小问2详解】因为n n a c +，14n n a c ++，215n n a c ++成等比数列，所以()()()212415n n n n n n a c a c a c +++=++，()()()2141115n n n nd c nd d c nd d c -+=-+-+-+++，22(1488)0n n c d nd c d +-++=，由已知方程22(1488)0n n c d nd c d +-++=的判别式大于等于0，所以()22148840d nd d D =-+-³，所以()()168812880d nd d nd -+-+³对于任意的n *ÎN 恒成立，所以()()212320n d n d ----³éùéùëûëû对于任意的n *ÎN 恒成立，当1n =时，()()()()21232120n d n d d d ----=++³éùéùëûëû，当2n =时，由()()2214320d d d d ----³，可得2£d 当3n ³时，()()21232(3)(25)0n d n d n n ---->--³éùéùëûëû，又1d >所以12d <£21.如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q æöç÷èø在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．（1）求点P 到椭圆上点的距离的最大值；（2）求||CD 的最小值．【答案】（1）11；（2）5．【解析】【分析】（1）设,sin )Q q q 是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出2||PQ ，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线1:2AB y kx =+与椭圆方程联立可得1212,x x x x +，再将直线132y x =-+方程与PA PB 、的方程分别联立，可解得点,C D 的坐标，再根据两点间的距离公式求出CD ，最后代入化简可得231CD k =×+，由柯西不等式即可求出最小值．【小问1详解】设,sin )Q q q 是椭圆上任意一点,(0,1)P ,则222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PQ q q q q q æö=+-=--=-+£ø+ç÷è，当且仅当1sin 11q =-时取等号，故||PQ 的最大值是11.【小问2详解】设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx æö++-=ç÷èø,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ì+=-ï+ïïíï=-æöï+ç÷ïèøî，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则||CD ====231555k =×=³=+，当且仅当316k =时取等号，故CD的最小值为5.【点睛】本题主要考查最值计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．22.设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知,a b ÎR ，曲线()y f x =上不同三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a æö<-<-ç÷èø；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea a x x a --+<+<-．（注：e 2.71828=L 是自然对数的底数）【答案】（1）()f x 的减区间为e 02æöç÷èø,，增区间为e ,2æö+¥ç÷èø.的的（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）31x k x =，1eam =<，则题设不等式可转化为()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，结合零点满足的方程进一步转化为()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+，利用导数可证该不等式成立.【小问1详解】()22e 12e 22xf x x x x -¢=-+=，当e 02x <<，()0f x ¢<；当e2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02æöç÷èø,，()f x 的增区间为e ,2æö+¥ç÷èø.【小问2详解】（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a ¢-=-，故方程()()()f x b f x x a ¢-=-有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x æö----+=ç÷èø，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x æö=----+ç÷èø，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x xæö¢=-+-+--+ç÷èø()()31e x x a x=---，当0e x <<或x a >时，()0g x ¢<；当e x a <<时，()0g x ¢>，故()g x 在()()0,e ,,a +¥上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0>g a ，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b æö----+<ç÷èø且()21e e ln 022a a a b a a a æö----+>ç÷èø，整理得到：12e a b <+且()eln 2b a f a a>+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a aæöæö---<+-+-+=--ç÷ç÷èøèø，设()3e ln 22u a a a =--，则()2e-202au a a ¢=<，故()u a 为()e,+¥上的减函数，故()3eln e 022eu a <--=，故()1012e a b f a æö<-<-ç÷èø.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +¥上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b æö----+>ç÷èø且()21e e ln 022a a a b a a a æö----+<ç÷èø，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+，设e t x =，()0,1e a m =Î，则方程2e e 1ln 02a ax b x x+-+-+=即为：2e ln 0e 2e a a t t t b +-+++=即为()21ln 02mm t t t b -++++=，记123123e e e,,,t t t x x x ===则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22122e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-，即证13e 2e e 26e 6e a a t t a --+<+<-，即证：13132166m mt t m --<+<-，即证：131********m m t t t t m --æöæö+-+-+<ç÷ç÷èøèø，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02mm t t t b -++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=，故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-´-，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--´<-+，即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证：()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-，记()()1ln ,11k k k k k j +=>-，则()()2112ln 01k k k k k j æö¢=-->ç÷èø-，设()12ln u k k k k =--，则()2122210u k k k k k¢=+->-=即()0k j ¢>，故()k j 在()1,+¥上为增函数，故()()k m j j >，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m w ---+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m w ---+-+¢=>>++，所以()m w 在()0,1为增函数，故()()10m w w <=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m mm m m m --+++>-，故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.。

(版)高考数学浙江卷(附答案)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕数学本试题卷分选择题和非选择题两局部。

全卷共4页，选择题局部1至2页；非选择题局部3至4页。

总分值150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“考前须知〞的要求，在答题纸相应的位置上标准作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：假设事件A，B互斥，那么P(A B)P(A)P(B)柱体的体积公式V Sh假设事件A，B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B)其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高假设事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次锥体的体积公式V 1Sh独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率3其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高kk nkP n(k)C n p(1p)(k0,1,2,L,n)球的外表积公式台体的体积公式V 1S1S2S2)h S4R2 (S13球的体积公式其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示4 V 3台体的高3R其中R表示球的半径选择题局部〔共40分〕一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．全集U1,0,1,2,3，集合A0,1,2，B1,0,1，那么(eA)IB=UA．1B．0,1 C．1,2,3D．1,0,1,32．渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是2A．B．1 2C．2D．2x3y403．假设实数x，y满足约束条件3x y40，那么z=3x+2y的最大值是x y0A．1B．1C．10D．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，那么积不容异〞称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．假设某柱体的三视图如下图〔单位：cm〕，那么该柱体的体积〔单位：cm3〕是A．158B．162C．182D．3245．假设a>0，b>0，那么“a+b≤4〞是“ab≤4〞的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数y=1x，y=log a(x+1)(a>0，且a≠1)的图象可能是a27．设0＜a ＜1，那么随机变量 X 的分布列是那么当a 在〔0,1〕内增大时，A ．D 〔X 〕增大C ．D 〔X 〕先增大后减小B ．D 〔X 〕减小D ．D 〔X 〕先减小后增大8．设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点〔不含端点〕．记直线AC 所成的角为 α，直线PB 与平面ABC 所成的角为 β，二面角P –AC –B 的平面角为 γ，那么A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<βPB 与直线x,x 0．假设函数yf(x)axb 恰有3个零点，那么9．a,bR ，函数f(x)1x 3 1(a1)x2ax,x032A ．a<–1，b<0B ．a<–1，b>0C ．a>–1，b<0D ．a>–1，b>010 ．设 a b {a n } 满足 a 1=a ， a n+1=a n 2+b，nN ，那么，∈R ，数列1时，a 10B1 时，a 10A ．当b=2>10 ．当b=4 >10 C ．当b=–2时，a 10>10D ．当 b=–4a 10>10时，非选择题局部〔共110分〕二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2021年浙江省高考数学(含解析版)

2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学一、选择题1.设集合{|1}A x x =≥，{|12}B x x =-<<，则A B ⋂=（） A.{|1}x x >- B.{|1}x x ≥ C.{|11}x x -<< D.{|12}x x ≤< 答案： D 解析：易知{|12}A B x x ⋂=≤<.故选D2.已知a R ∈，(1)3ai i i +=+（i 为虚数单位），则a =（） A.1- B.1 C.3- D.3 答案： C 解析：(1)33ai i i a i a +=-=+⇒=-.故选择：C.3.已知非零向量a ，b ，c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案： B 解析：若c a ⊥且c b ⊥，则0a c b c ⋅=⋅=，但a 不一定等于b ，故充分性不成立，若a b =，则a c b c ⋅=⋅，必要性成立，故为必要不充分条件. 故选B.4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A.32B.3C.2D.答案： A 解析：易知原图为一个等腰梯形为底面的四棱柱ABCD A B C D ''''-，作C E A D '''⊥，则根据三视图可知1C D ''=，而C ED ''∆为等腰直角三角形，所以D E C E ''==，再根据三视图可知B C ''=A D ''=故113()1222ABCD A B C D V B C A D C E BB ''''-''''''=+⋅⋅=⨯=. 故选A.5.若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则12z x y =-的最小值是（）A.2-B.32-C.12-D.110答案： B 解析：画出可行域，如图所示：令直线l ：22y x z =-，易知当l 过点(1,1)-时，z 最小，即为min 13122z =--=-. 故选B.6.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）A.直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB.直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN⊥平面11BDD BC.直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD.直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B答案： A 解析：连接1AD ，易证M 在1AD 上，在正方形11ADD A 中，11AD A D ⊥，∵AB ⊥面11ADD A ，1A D ⊂面11ADD A ，∴1AB A D ⊥，∵1AB AD A ⋂=，∴11A D ⊥面1D AB ，1D B ⊂面1D AB ，∴11A D D B ⊥.在正方形11AA D D 中，∵1D M MA =，1D N NB =，∴//MN AB ，又∵MN ⊄面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴//MN 面ABCD .取1AA 中点E ，连接NE ，易证1EB ED =，ED EB =，且N 为1BD ，1B D 的中点，故NE ⊥面11BDD B ，MN 与NE 相交，故MN 与11BDD B 不垂直.7.已知函数21()4f x x =+，()sin g x x =，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+-B.1()()4y f x g x =-- C.()()y f x g x =D.()()g x y f x =答案： D 解析：21()4f x x =+为偶函数，()sin g x x =为奇函数，图中函数为奇函数，1()()4y f x g x =+-与1()()4y f x g x =--均不是奇函数，故排除A ，B 项；21()()()sin 4y f x g x x x =⋅=+⋅，2'1[()()]2sin +(x +)cosx 4y f x g x x x '=⋅=⋅，则[()()]044f g ππ'⋅>，与图不符，故排除C项；故选D.8.已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin cos αβ，sin cos βγ，sin cos γα三个值中，大于12的个数的最大值是（） A.0 B.1 C.2 D.3 答案： C 解析：22sin cos 0sin cos 2αβαβ+<≤，当且仅当sin cos αβ=时取“=”，同理sin cos βγ，sin cos γα有类似性质，三式相加得30sin cos sin cos sin cos 2αββγγα<++≤，所以，不可能三个式子都大于12，另一方面，取30α=︒，60β=︒，45γ=︒，则1sin cos 2242βγ==>，1sin cos 2242γα=⨯=>，所以，可以有两个式子大于12，故大于12的个数的最大值是2. 9.已知,a b R ∈，0ab >，函数2()()f x ax b x R =+∈，若()f s t -，()f s ，()f s t +成等比数列，则平面上点(,)s t 的轨迹是（） A.直线和圆 B.直线和椭圆 C.直线和双曲线 D.直线和抛物线答案： C 解析：由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即2222[()][()]()a s t b a s t b as b -+++=+，即222222(2)(2)()as at ast b as at ast b as b +-++++=+，即2222()(2)as at b ast ++-22()0as b -+=，即222222(22)40as at b at a s t ++-=，即222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0t =，所以2212s t b b a a-=为双曲线，0t =为直线.10.已知数列{}n a 满足11a =，1)n a n N *+=∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A.100132S << B.10034S << C.100942S <<D.100952S << 答案： A 解析：设()0)f x x =>，1()f x +'=()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，现用数学归纳法证明3n ≥时，6(1)(2)n a n n <++，∵11a =，212a =，312a =-，当3n =时，36120a =-<，不等式成立，假设n k =时，不等式成立，则6(1)(2)k a k k <++成立，则当1n k =+时，16k a +=<要证16(2)(3)k a k k +<++66(2)(3)k k <++，则需证：311k k +<+21k <+，则需证：246(1)(1)(2)k k k <+++，则需证：1k <，而显然成立，∴16(2)(3)k a k k +<++成立，∴3n ≥时，6(1)(2)n a n n <++，即116()(3)12n a n n n <-≥++，∴1001210011116()245S a a a =+++<++-++1136616()331011022410217-=+-=-<，又1001232S a a >+=，满足100132S <<.二、填空题11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，则12S S = .答案：25解析：1k <2125S ==，21254(34)12S =-⨯⨯⨯=，所以1225251S S ==.12.已知a R ∈，函数24,2()|3|,2x x f x x a x ⎧->=⎨-+≤⎩，若(3f f =，则a = .答案：2解析：242(2)3f f =-=⇒=，即|23|32a a -+=⇒=.13.已知多项式34431234(1)(1)x x x a x a x a x a 2-++=++++，则1a = ；234a a a ++= .答案：5 10解析：根据二项式通项公式：30301313134(1)15a x C x C x x =-+=，故15a =；同理，21212222222342(1)13633a x C x C x x x x a =-+=-+=⇒=，2123133343(1)13477a x C x C x x x x a =-+=+=⇒=，303404434(1)10a C x C x =-+=，所以23410a a a ++=.14.在ABC ∆中，60B ∠=︒，2AB =，M 是BC的中点，AM =AC = ；cos MAC ∠= .答案：13解析：（1）2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅，即21124222BM BM =+-⋅⋅. 所以22804BM BM BM --=⇒=，所以8BC =，所以22212cos 4642286816522AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=-=，故AC =（2）由余弦定理得222cos 2AC AM MC MAC AM AC+-∠=⋅===15.袋中有4个红球，m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -= ，()E ξ= .答案：189解析：2244224461(2)366m n m n m n C P C C C ξ++++++====⇒=，所以49m n ++=， 1142441()33693m m n C C m m P m C ++⋅====⇒=一红一黄，所以2n =，则1m n -=， 1(2)6P ξ==，114529455(1)369C C P C ξ⋅⨯====，2529105(0)3618C P C ξ====， ∴155158()2106918399E ξ=⨯+⨯+⨯=+=.16.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c （0c >）.若过1F 的直线和圆2221()2x c y c -+=相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是；椭圆的离心率是_________.答案：5解析：解析一：如图所示，132F A c =，122F F c =，1F B =，AB c =.（1）121tan 5AB k PF F BF =∠===. （2）方法一：112~F AB F PF ∆∆，所以222c e b c a=⇒=方法二：利用（1方法三：122PF PF a +=，所以122sin 322b c a PF F c b a a∠==-，故e =解析二：不妨假设2c =，12112sin sin 3HM PF F HF M F M ∠=∠==，222c HM =⋅=，1332F M c ==，12tan PF F ∠==5k =，则22212PF b k PF F F a=⇒=，1224F F c ==，224804a k a a a -==--=⇒===所以5c e a ===.17.已知平面向量a ，b ，(0)c c ≠满足1a =，2b =，0a b ⋅=，()0a b c -⋅=，记平面向量d 在a ，b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值是 . 答案：25解析：可令(1,0)a =，(0,2)b =，(,)c m n =，(0)n >因为()0a b c -⋅=，故20m n -=，故(2,)c n n =，因为d 在a ，b 方向（即x 轴和y 轴正方向）的投影分别为x ，y ，故可设(,)d x y =，因为d a -在c方向上的投影为()2d a cx z c -⋅==，故22x y+-=，故22222(2)2415x y x y z ++=++≥=，当且仅当24122x y x y⎧==⎪⎨⎪+=⎩，即25155x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩时取等号，故填25.18.记函数()sin cos ()f x x x x R =+∈.（1）求函数2[()]2y f x π=+的最小正周期；（2）求函数()()4y f x f x π=-在[0,]2π上的最大值. 答案：见解析解析：（1）()sin cos )4f x x x x π=+=+，222333[()])]2sin ()1cos(2)1sin 22442y f x x x x x ππππ=+=+=+=-+=-，所以222T πππω===.（2）()())44y f x f x x x ππ=-=+22sin()sin 2sin (cos )cos 422x x x x x x x x π=+=⋅+=1cos 2222sin(2)2222242x x x x x π-=+=-+=-+，令24x t π-=，[0,]2x π∈，所以3[,]44t ππ∈-，所以sin [t ∈，故[0,1y ∈，所以函数()()4y f x f x π=-在[0,]2π上的最大值为12+. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1AB =，4BC =，PA =，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD DC ⊥，PM MD ⊥.（1）证明：AB PM ⊥.（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.答案：见解析解析：（1）证明：在DCM ∆中，1DC =，2CM =，60DCM ∠=︒，∴DCM ∆为直角三角形，90MDC ∠=︒，即DM DC ⊥，由题意DC PD ⊥且PD DM D ⋂=，PD ，DM ⊂面PDM ，∴DC ⊥面PDM ，又//AB DC ，∴AB ⊥面PDM ，∵PM ⊂面PDM ，∴AB PM ⊥.（2）由PM MD ⊥，PM AB ⊥得PM ⊥面ABCD ，∴PM MA ⊥，MA ==PM ===，取AD 中点E ，连接ME ，则ME ，DM ，PM 两两垂直，以M 为坐标原点，分别以MD 、ME 、MP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则(A，P，D ，(0,0,0)M，1,0)C -，又N 为PC 中点，所以1(22N -，335(22AN =-，由（1）得CD ⊥面PDM ，所以面PDM 的法向量(0,1,0)n =，从而直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值为5||sin 6||||27AN n AN n θ⋅===.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且*1439()n n S S n N +=-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.答案：见解析解析：（1）由1439n n S S +=-①，得1439(2)n n S S n -=-≥②，①-②得143n n a a +=，即134n n a a +=，所以{}n a 是以94-为首项，34为公比的等比数列，故1933()3()444n n n a -=-=-. （2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-，从而 2343333332()1()0()(4)()44444n n T n =-⨯-⨯-⨯+⨯++-⋅③，故 23413333333()2()1()(5)()(4)()444444n n n T n n +=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅④，③-④得 234113333333()()()()(4)()4444444n n n T n +=-⨯+++++--⋅ 1111193[1()9399333164(4)()4()(4)()()344444441]4n n n n n n n n -++++-=-+--=-+---⋅=-⋅-，所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n n n n λ+-⋅≤-恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式成立，4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤，4n >时，312344n n n λ≥-=--+-，得3λ≥-，所以31λ-≤≤.21.如图，已知F 是抛物线22(0)ypx p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且||2MF =. （1）求抛物线的方程.（2）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足2||||||RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的取值范围.答案：见解析解析：（1）||2MF p ==，故抛物线的方程为24y x =.（2）(1,0)F ，(1,0)M -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，显然直线AB 斜率不为0，故可设:1AB x my =+，因为R ，N 不重合，故l 不过点(1,0)F ，故可设:2(2)l y x n n =+≠-，联立直线AB 与抛物线方程可得2244401y x y my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩，故由韦达定理可知121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，故2222121212()2168y y y y y y m +=+-=+，直线AM 的方程为1111()1y y x x y x =-++，联立直线AM 和l 可得1111111(1)(2)(,)2222n x y n y P y x y x +------，同理可得 2222222(1)(2)(,)2222n x y n y Q y x y x +------，故 2212212221122112(2)4(2)|||||(22)(22)(24)(2)|4P Q n y y n y y y y y x y x y y y y --==--------()()2222222121212121216(2)(2)||4286)4(143n n y y y y y y y y y y m --==-+++++++22222(2)()|243|1RP Q n n y y y m m +-===-+，联立直线AB 和l 解得212R n y m +=-，因为2||||||RN PN QN =⋅，故，故22222(2)432431(2)(21)21(21)4n m n m m m -+==++≥+---，解得(,2)(2,14[14)n ∈-∞-⋃--⋃++∞，故(,7[7(1,)2n -∈-∞--⋃-⋃+∞，直线l 在x 轴上截距的取值范围为(,7[7(1,)-∞--⋃-⋃+∞.22．已知函数2()(1,)x f x a bx e a x R =-+>∈．（1）讨论()y f x =的单调性；（2）若对于任意实数22b e >，()f x 均有两个不同零点，求实数a 的取值范围；（3）若a e =，证明：对于任意实数4b e >，()f x 有两个零点1x ，2x （12x x <），且2212ln 2b b e x x e b>+．答案：见解析解析：（1）由()ln x f x a a b '=-，若0b ≤，有()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；若0b >，则()f x 在(,log )ln a b a -∞单调递减，在(log ,)ln a b a+∞单调递增；（2）当22b e >，()f x 均有两个不同零点，由（1）可知2min ()(log )log 0ln ln ln a a b b b f x f b e a a a==-+<，记ln b m a =，即有2ln 0m m m e -+<，即21ln 0e m m-+<，记2()1ln e g x x x=-+，易知()g x 单调递减，又有2()0g e =，则由()0g m <，可知2m e >，所以有2ln b a e <恒成立，则有ln 2a ≤，可得21a e <≤；（3）当a e =时，4b e >，由（1）有2min ()(ln )ln 0f x f b b b b e ==-+<，又有22()0e b e f e b =>，22()0b f b e b e =-+>，其中2ln e b b b <<，所以可知()f x 有两个不同的零点，又22222()0e b e f e e b =-<，则有22121e e x b b <<<，所以2112ln ln 2b b e x b x e b+<+，而122111(ln )(ln )0x f b x b e b x e e bx +=--+<-<，所以21ln x x b >+，则有22112ln ln 2b b e x b x x e b >+>+，不等式得证．。

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