2019年人教版A版高三数学(理)高考一轮复习10.4 变量间的相关关系、统计案例教学设计及答案

第四节变量间的相关关系、统计案例变量间的相关关系、统计案例1．变量间的相关关系(1)会作两个有关联变量的据的散点图，会利用点图认识变量间的相关关系．(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系公式建立线性回归方程．2．统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．(1)独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．(2)回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．知识点一回归分析1．变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函关系，另一类是相关关系；与函关系不同，相关关系是一种非确定性关系．(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．2．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．(2)回归方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2，a^＝y－b^x.(3)通过求Q＝∑ni＝1(y i－bx i－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．(4)相关系：当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．易误提醒1．易混淆相关关系与函关系，两者的区别是函关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．回归分析中易误认为样本据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x，y)点，可能所有的样本据点都不在直线上 .3．利用回归方程分析问题时，所得的据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．[自测练习]1．已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为y^＝0.95x＋a^，则a^＝( )A.3.25C．2.2 D．0解析：∵回归直线必过样本点的中心(x，y)，又x＝2，y＝4.5，代入回归方程，得a^＝2.6.答案：B2．(2016·镇江模拟)如图所示，有A，B，C，D，E 5组(x，y)据，去掉________组据后，剩下的4组据具有较强的线性相关关系．解析：由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D.答案：D知识点二独立性检验独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频列联表(称为2×2列联表)为：K2＝(其中n＝a＋b＋c＋da ＋b a＋c b＋d c＋d为样本容量)．易误提醒(1)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表．在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果做出错误的解释．[自测练习]3．下面是2×2列联表：则表中a，bA．94,72 B．52,50C．52,74 D．74,52解析：∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74.答案：C考点一相关关系的判断|1．对四组据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系的比较，正确的是( )A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3解析：易知题中图(1)与图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则r2<r4<0<r3<r1.答案：A2．(2015·高考湖北卷)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关解析：因为y＝－0.1x＋1，x的系为负，故x与y负相关；而y 与z正相关，故x与z负相关．答案：C相关关系的判断的两种方法(1)散点图法．(2)相关系法：利用相关系判定，当|r |越趋近于1相关性越强．考点二 回归分析|(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)据作了初步处，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w∑8i ＝1(x i －x )2∑8i ＝1(w i －w )2∑8i ＝1(x i －x )(y i －y )∑8i ＝1(w i －w )(y i －y )46.6563 6.8 289.8 1.6 1 469108.8表中w i ＝x i ，w ＝8∑8i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明由)(2)根据(1)的判断结果及表中据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u n，v n)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni＝1u i－u v i－v∑ni＝1u i－u2，α^＝v－β^u.[解] (1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量y 关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．由于d^＝∑8i＝1w i－w y i－y∑8 i＝1w i－w2＝108.81.6＝68，c^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x 的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．回归直线方程的求法(1)利用公式，求出回归系b^，a^.(2)待定系法：利用回归直线过样本点中心求系．1．(2016·银川一中模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照据.x 345 6y 2.534 4.5(1)y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^.(2)已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)由对照据，计算得∑4i＝1x1y1＝66.5，∑4i＝1x21＝32＋42＋52＋62＝86，x＝4.5，y＝3.5，b^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a^＝y－b^x＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所求的回归方程为y^＝0.7x＋0.35.(2)x＝100，y^＝100×0.7＋0.35＝70.35，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．考点三独立性检验|(2016·邯郸模拟)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表．平均每天喝500 mL以上为常喝，体重超过50 kg为肥胖.已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为4 15 .(1)请将上面的列联表补充完整．(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的由．(3)设常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考据：参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a＋b ＋c ＋d .[解] (1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，x ＋230＝415，解得x ＝6.常喝 不常喝 合计 肥胖 6 2 8 不肥胖 4 18 22 合计102030(2)由已知据可求得K 2＝210×20×8×22≈8.523>7.879.因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．(3)设常喝碳酸饮料的肥胖男生为A ，B ，C ，D ，女生为E ，F ，任取两人的取法有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种．其中一男一女的取法有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ，DE ，DF ，共8种．故抽出一男一女的概率是P ＝815.解独立性检验的应用问题的关注点(1)两个明确： ①明确两类主体； ②明确研究的两个问题． (2)两个关键：①准确画出2×2列联表；②准确解K 2.提醒：准确计算K 2的值是正确判断的前提．2．通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：男 女总计走天桥 40 20 60 走斑马线 20 3050总计60 50 110K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋d .附表：P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828A ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”解析：K 2＝－260×50×60×50≈7.8.P (K 2≥6.635)＝0.01＝1－99%，∴有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”，故选A.答案：A12.独立性检验与概率交汇综合问题的答题模板【典例】 (12分)(2016·保定调研)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到据如下表：(1)有关？(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．下面的临界值表供参考：(参考公式：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n＝a ＋b ＋c ＋d )[规范解答] (1)由公式K 2＝－230×25×25×30≈11.978>7.879，(3分)所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．(6分)(2)设所抽样本中有m 个男生，则630＝m20，得m ＝4，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作B 1，B 2，B 3，B 4，G 1，G 2.从中任选2人的基本事件有(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，B 4)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(B 4，G 1)，(B 4，G 2)，(G 1，G 2)，共15个，(9分)其中恰有1个男生和1个女生的事件有(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(B 4，G 1)，(B 4，G 2)，共8个．(11分)所以恰有1个男生和1个女生的概率为815.(12分)[模板形成]分析2×2列联表据↓利用K 2公式计算K 2值↓对分类变量的相关性作出判断↓求相应事件的概率↓反思解题过程，注意规范[跟踪练习] 某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计据见下表所示：(1)概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明由．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d；其中n ＝a ＋b ＋c＋d .解：(1)概率是2250＝1125；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是2050＝25.(2)因为K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝－225×25×22×28≈11.688>10.828，所以大约有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．A 组 考点能力演练1．根据如下样本据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( )A.a ^>0，b >0B.a >0，b <0C.a ^<0，b ^>0D.a ^<0，b ^<0解析：把样本据中的x ，y 分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy 中作出散点图(图略)，由图可知b ^<0，a ^>0.故选B.答案：B2．已知变量x与y正相关，且由观测据算得样本平均x＝3，y ＝3.5，则由该观测据算得的线性回归方程可能为( )A.y^＝0.4x＋2.3B.y^＝2x－2.4C.y^＝－2x＋9.5D.y^＝－0.3x＋4.4解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.且直线必过点(3,3.5)，代入A，B得A正确．答案：A3．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附表及公式K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.a＋b c＋d a＋c b＋d则下面的正确结论是( )A．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”解析：由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则a ＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100，计算得K2的观测值k0＝－255×45×75×25≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选A.答案：A4．根据如下样本据：得到的回归方程为y＝b x＋a.若样本点的中心为(5，0.9)，则当x每增加1个单位时，y就( )A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加7.9个单位D．减少7.9个单位解析：依题意得，a＋b－25＝0.9，故a^＋b^＝6.5①；又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5b^＋a^②，联立①②，解得b^＝－1.4，a^＝7.9，则y^＝－1.4x＋7.9，可知当x每增加1个单位时，y就减少1.4个单位，故选B.答案：B5．已知x 与y 之间的几组据如下表：假设根据上表据所得线性回归直线方程为y ＝b ^x ＋a ^，若某同学根据上表中的前两组据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′解析：由两组据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的据，可求得b ^＝∑6i ＝1x i y i －6x ·y ∑6i ＝1x 2i －6x 2＝58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13，所以b ^<b ′，a ^>a ′.答案：C6．(2016·忻州联考)已知x ，y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ^＝1.46x ＋a ^，则实a ^的值为________．解析：x ＝2＋3＋4＋54＝3.5，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5，回归方程必过样本的中心点(x ，y )．把(3.5,4.5)代入回归方程，计算得a ^＝－0.61.答案：－0.617．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：性别有关(请用百分表示).解析：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝－225×25×30×20≈8.333>7.879.答案：0.5%8．已知下表所示据的回归直线方程为y ^＝4x ＋242，则实a ＝________.解析：回归直线y ＝4x ＋242必过样本点的中心点(x ，y )，而x＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝251＋254＋257＋a ＋2665＝1 028＋a 5，∴1 028＋a5＝4×4＋242，解得a ＝262. 答案：2629．(2015·东北三校联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指．(说明：图中饮食指低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上据完成下列2×2列联表：(2)出简要分析．解：(1)2×2列联表如下：(2)因为K 2＝12×18×20×10＝10>6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关． 10．(2015·高考重庆卷)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t 的回归方程y ＝b t ＋a ；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中， b ^＝∑ni ＝1t i y i －n t y ∑n i ＝1t 2i －n t 2，a ^＝y －b ^t .解：(1)列表计算如下这里n ＝5，t ＝1n ∑n i ＝1t i ＝155＝3，y ＝1n ∑n i ＝1y i ＝365＝7.2.又l tt ＝∑ni ＝1t 2i －n t 2＝55－5×32＝10，l ty ＝∑ni ＝1t i y i －n t y ＝120－5×3×7.2＝12，从而b ^＝l ty l tt ＝1210＝1.2，a ^＝y －b ^t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：∵x ＝10.0，y ＝8.0，b ^＝0.76，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴回归方程为y ^＝0.76x ＋0.4，把x ＝15代入上式得，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选B.答案：B2．(2015·高考北京卷)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，(1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；(2)在语文和学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．解析：(1)由题图分析乙的语文成绩名次略比甲的语文成绩名次靠前，但总成绩名次靠后，所以甲、乙两人中语文成绩名次比总成绩靠前的是乙；(2)丙同学的学成绩名次位于中间稍微靠后，而总成绩名次相对靠后，所以丙同学的语文成绩名次比较靠后，所以丙同学的成绩名次靠前的科目是学．答案：乙学。