09_0196_二次修改稿_查重修改稿_带_省略_的均值_风险模型研究_2010

∑ wξ
i
n
i i
， ξ p 的期望为 u ，无风险利率为 rf 。
为使我们的结论具有更广泛的意义， 我们把方差、 下半方差、 绝对偏差、 下半绝对偏差、 VaR 和 CVaR 等统称为风险， 并用 ρ 表示风险函数， 即组合收益率为 ξ p 的风险为：ρ (ξ p ) 。 定义 1 给定收益率的期望为 u ，风险 ρ 最小的组合称为边界组合。所有的边界组合对 应的点( u ， ρ )的集合在 E- ρ 坐标平面上称为组合边界。 定义 2 若某一组合收益率的期望 u 和风险 ρ 满足： ρ 为所有期望为 u 的组合中的最小 风险， u 为所有风险为 ρ 的组合中的最大期望，则称这样的组合为有效组合。所有有效组 合对应的点 (u , ρ ) 的集合在 E- ρ 坐标平面上称为有效边界。 得 k1η1 + k1η 2 + 3 k nη n = a, a 为常数，则η1 ,η 2 ,3 ,η n 是线性相关的，否则是线性无关的； 若存在实数 k0 , k1 , k2 , 3 , k n 使得 η = k0 + k1η1 + k2η 2 + 3 + k nη n ，则称η 可由η1 ,η 2 ,3 ,η n 线 性 表 出 ； η1 ,η 2 ,3 ,η n 的 一 个 部 分 组 ηi1 ,ηi2 , 3 ,ηir 称 为 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 若 设η1 ,η 2 ,3 ,η n 为任意的随机变量组， 类似文[14]， 若存在不全为零的实数 k1 , k2 ,3 k n 使
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资金项目 ： ，广东省哲学社会科学规划项目（09O-19） ，广东高等院校学科建设专项资金项目（育苗工程） ，广东省自然科学基 金项目（8151042001000005） 。 联系电话：13560373627，0285801706。 Email: yaohaixiang@mail.gdufs.edu.cn
t ti r
t = r +1 n
∑
n
wtξ t = ∑ wiξ i
i =1 i
r
+
t = r +1
∑
n
wt (1 − ∑ kti )rf ， 容易验证 ξ1 , ξ 2 ,3ξ r , rf 系数和为 1， 从而 ξ p ∈ Ψ r + f ， 即 Ψn ⊆ Ψr+ f 。
i =1
r
情 形 1. ： 若 对 所 有 t (t = r + 1,3 , n) 都 有 1 −
j =1
ξ r +1
(1 − ∑ k r +1 i )
i =1 r
−∑
j =1
r
kr +1 j (1 − ∑ k r +1 i )
i =1 r +1 i =1 r
ξj ， 令
r +1 i =1
i =1 i =1
r
r
差函数） ，即 ηt 相当于 (1 −
∑k
i =1
r
ti
) 倍无风险资产，由无套利假设有 kt 0 = (1 − ∑ kti )rf 。对
i =1
r
∀ξ p ∈ Ψ n ， 存 在 w1, w2 ,3 , wn ，
n r r r
∑ wi = 1 ， 使 得 ξ p = ∑ wiξi +
∑k
i =1 r i =1
r
ti
=0 , 即
n
∑k
i =1 t ti
ti
=1 ， 则
ξ p = ∑ ( wi +
i =1 r
r
t = r +1
∑
nwenku.baidu.com
wtk ti ) ξi ，注意到 ∑ kti = 1 ，容易验证 ∑ (wi +
i =1 r
r
ξ p ∈ Ψ ，即有 Ψ n ⊆ Ψ r 。另一方面，显然有 Ψ r ⊆ Ψ n 。故此时有 Ψ = Ψ r 。
情形 2 ： 若 (1 −
r
t = r +1 n r
∑ wk
) = 1 , 所以有
∑k
i =1 r i =1
ti
) (t = r + 1,3 , n) 不全为零，不妨设 (1 − ∑ kr +1 i ) ≠ 0 。由于
i =1
ξ r +1 = ∑ kr +1 jξ j + (1 − ∑ kr +1 i )rf ， 则 有 rf =
2
的 定 义 知 ξ r +1 , 3 , ξ n 可 由 ξ1 , ξ 2 ,3ξ r 线 性 表 出 ， 即 ∃kt 0 , kt1 , 3 ktr ∈ R ， 使 得
ξt = kt 0 + ∑ ktiξi (t = r + 1, 3, n) ，令ηt = ξt − ∑ ktiξi = kt 0 ，则 Dηt = 0 （ D (•) 表示方
i i n
n
n
∀w1 , w2 , 3 , wn ∈ R} ，表示由
收益率 η1,η 2, 3 ,η n 组合成的所有可能的收益率空间。记 Ψ := span{ξ1,ξ 2, 3 , ξ n } 表示市场 上有 n 种证券组合成的收益率空间 。 则市场上的 n 种证券的均值-风险模型可表示为如下最 优化问题(M1)： （M1） ⎨
ηi1 ,ηi2 ,3 ,ηir 是线性无关的，且每个ηi (i = 1, 2,3 n) 可由ηi1 ,ηi2 ,3 ,ηir 线性表出。这里要说
明的是关于随机变量的等式均指以概率１成立。 设 span{η1,η 2, 3 ,η n } = {η p | η p =
∑ wiηi , ∑ wi = 1,
n r+ f span{ξi1 , ξi2 ,3ξir } ； 要么有 Ψ = Ψ := span{rf , ξi1 , ξi2 , 3ξir } ， 且此时存在第 r + 1 种证
券 ξ ir +1 ，使得 Ψ n = Ψ r + f = Ψ r +1 := span{ξ i1 , ξ i2 ,3ξ ir , ξ ir +1 } 。 证明：为了表达方便，不妨设 ξ i1 , ξ i2 , 3ξ ir 为 ξ1 , ξ 2 , 3ξ r （ r < n ） 。由极大线性无关组
i =1 n n i =1 r t = r +1 i =1
n
r
+ ∑ wt ( kt 0 + ∑ ktiξ i ) = ∑ wiξ i + ∑ ∑ wt ktiξ i + ∑ wt kt 0 = ∑ ( wi +
t = r +1 i =1 i =1 i =1 t = r +1
t = r +1
∑ w k )ξ
任意收益率分布和奇导协方差矩阵下的均值-风险模型研究*
姚海祥 1, 2，马庆华 2 1. 中山大学岭南学院 广州 510275 2. 广东外语外贸大学信息科学技术学院 广州 510006 摘要： 本文在一般均值－风险模型的框架下， 在无套利假设下研究了奇异协方差矩阵和任意 收益率分布情形下的投资组合问题， 得到了模型有效边界的本质特征， 并给出了极大线性无 关组的确定方法及表示系数的求解方法， 最后根据这些结论提出了有效的、 操作性强的投资 策略。 关键词：均值-风险模型；有效边界；奇异协方差矩阵；极大线性无关组 中图分类号：F224；F830.59 文章标识码：A 1. 引言 1952 年， Markowitz H 用方差度量风险， 建立的均值-方差模型[1]奠定了现代资产组合投 资理论的基础，提出了风险分散化的思想，开创了金融研究由定性分析过渡到定量分析，并 被誉为金融领域的一场革命。 但实践和理论都表明方差并不是有效的风险度量， 之后很多学 者开始使用新的风险度量方法对该理论进行改进和创新。 由于高于均值的超额收益实际上是投资者所喜好的， 但在均值－方差模型中却被当作风 险来处理， 所以一个很自然的想法是用下半方差来该画风险， Markowitz[2]和 Mao[3]等讨论了 [4] 均值－下半方差模型。Konno 和 Yamazaki 则用期望绝对偏差来刻画风险，研究了均值-绝 对偏差模型，该模型后来如同均值-方差模型那样发展为均值-下半绝对偏差模型。 和从偏离均值的角度定义风险所不同的是，Roy[5] 则从控制损失概率的角度来度量风 险，提出了安全第一准则（Safety First）模型，安全第一准则是指极小化投资组合收益小于 给定的 “灾难水平” 事件的概率。 受到安全第一准则思想的启发， 一种称为 VaR (Value at Risk) 的风险度量指标在 90 年代发展起来，已成为金融风险度量的主流模型，著名的 1995 年“巴 塞尔协议”中关于商业银行资金充足率要求就是以 VaR 为基础的。VaR 是指给定置信水平 和目标时段下预期的最大损失（见 Jorion[6]等） 。国内外很多学者对 VaR 进行了研究（见文 [6-8]） 。 但研究表明 VaR 不满足次可加性及凸性， 从而不符合 Artzner 等[9]提出的所谓一致性 风险度量（Coherent Measures of Risk） 。为了克服 VaR 的缺陷，Rockfeller and Uryasev[10]提 出了 CVaR （Conditional Value at Risk））风险度量方法。CVaR 是指损失超过 VaR 的条件 期望。研究表明，CVaR 不仅继成了 VaR 的优点并克服了 VaR 的一些不足，是一致性风险 度量， 而且还是凸风险测度， 容易进行最优化处理， 从而越来越受到学术界和实务界的重视， 很多的学者也对 CVaR 风险度量方法进行了研究（见文[10-12]） 。 以上这些基于各种风险度量技术的投资组合模型可统称为的均值-风险模型。但以往的 研究大多是在非奇异协方差矩阵或资产收益率服从某种特定分布类型 （如正态分布） 假设下 进行的。由于近年来随着各种衍生金融产品的涌现，而且市场上证券数量繁多，可能导致协 方差矩阵是奇异的。文[13]利用矩阵代数的方法得到了传统均值-方差模型在奇异协方差矩 阵下有效边界的表达式；文[14]则类似于线性代数引入了风险资产收益率极大线性无关组等 概念，进一步得到了有效边界更本质的特征；在收益率为正态分布的假设下，文[15]研究了 奇异协方差矩阵时的均值-CVaR 模型。但实证研究表明，绝大多数金融变量的收益率存在 “肥尾”和非对称等非正态分布的特征。所以在任意收益率分布下研究一般的均值-风险型 投资决策问题具有重要的现实意义。 本文在任意风险度量方法和一般均值－风险模型的框架 下， 利用无套利均衡分析的方法研究了奇异协方差矩阵和任意收益率分布情形下的投资决策 问题， 得到了模型有效边界的本质特征， 证明了 n 种资产组合的有效边界相当于其一极大线 性无关组的有效边界或相当于无风险资产与其一极大线性无关组的有效边界， 并给出了极大 线性无关组的确定方法及表示系数的求解方法， 最后根据这些结论提出了有效的、 操作性强 的投资策略。
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关于奇异协方差矩阵时投资组合问题的研究， 以往的文献大多都只考虑某种特定的均值 -风险模型 （如均值-方差模型） 进行研究， 而且除均值-方差模型以外， 其它的均值-风险 （如 均值-VaR,均值-CVaR） 模型往往还要假设收益率服从正态分布。 本文主要创新点在于把所有 资产组合收益率看成一个线性空间，并得到了当协方差矩阵奇异时的这个组合收益率空间 （线性空间）的本质特征（结构） ，而且这些本质特征跟收益率服从的分布和风险度量方法 的选择是没有关系的，也就意味着本文得到的关于奇异协方差矩阵的均值-风险模型的本质 特征能适应于任意收益率分布和任意风险度量方法。 所以和以前的方法相比， 本文的方法具 有更大的一般性和优越性。 2. 有关概念及一般均值-风险模型的建立 设市场上有 n 种证券，它们的收益率为 ξ1,ξ 2, 3 , ξ n ，协方差矩阵为 Σ (并不假设是可逆 的)、期望向量为 R = (r1 , r2 , 3 , rn )′ ，投资组合（比例向量）为 W = ( w1 , w2 , 3 , wn )′ ,总的 组合收益率为 ξ p ，则有 ξ p =
min ρ = ρ (ξ p ) ⎧ ⎪ξ p ∈Ψ n ⎪ ⎩s.t. Eξ p = u
3. 奇异协方差矩阵及任意收益率分布下模型有效边界的本质特征 由文[14]的引理 1 我们马上有如下命题 1。 命题 1： ξ1,ξ 2, 3 , ξ n 任一极大线性无关组的协方差矩阵都是非奇异（即可逆）的。 命题 2： 设 ξ i1 , ξ i2 ,3ξ ir 为 ξ1,ξ 2, 3 , ξ n 的一个极大线性无关组，则要么有 Ψ n = Ψ r :=