机会约束和无风险贷款下的均值-VaR投资组合模型
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Ｅ
２ 无风险贷款下的均值 一 ａ ． ２ ｖＲ投资组合模型的有 效边 沿
ｏ
差矩阵 ， 三为正定矩阵 。 ＝Ｘ＿ 且 Ｔ 表示 ， ． Ｘ 种风险 资产的方羞 ，
Ｌ ． 一
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Ｚ ． ａ一、 几＾ 『
投资可行集 ＝ × ∑ －＝ｌ 其中ｘ＝ ， ）表 Ｉ∈ Ｒ： ｔ， …
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南 Ｉ 科 技 ２ｏ 年第１期 １ １ ． ： ｏ７ ｏ
知 识 经 济
机 会 约 束 和 无风 险贷 款 下 的 均值一 ａ ＶＲ投 资 组 合 模 型
李 莉 陈 莲 花 夏 苏 林
（ 北煤炭 师范学院 ） 淮
摘 要 在投资组合 回报率服从正态分布的前提 下，建立 了允许无风险 贷款下具有投 资机 会约束的均值 ～ ａ Ｖ Ｒ投 资组合模型
假 设Ｆ 点在Ｇ 点的上方 ，过Ａ 点作一 条与 ＡＢ平行 的直 线与Ｅ 轴
交于ｃ ： 点 （ ）当机会约束线 与Ｅ １ 轴的交点Ｍ点位于Ｃ 以下时（ 点 此处只讨 沦 Ｋ。 Ｋ０ ～ ＜ ｕ＜ 时 的情况 ） ，如图 １ 示： 所
由参考文献 【可 得 ．机会约束 和无风险 贷款下的均值一 资组 ７ 】 投
１ 模型的建立
专 ： 秒
Ｏ
当允许无风险贷款时 ，假设存在一种 无风 险资产与ｎ 种风险 资 产 ， 为借入无风 险证券＜ 贷款 ） 的利率 。ｎ 种风险证券 的投 资嘲报 率为随机变量 ｆ ． ： ） ．ｆ服 从正态分布 Ｎ（ ，） ＝（ ｆ ． … ｐ ∑ ，其 中
不同的机会 约束下均值一 ａ 模 型进行了研 究。本文 在上述文 献的 ＶＲ
为无风险 贷款下的均值一ｔｒ 资 ａ投 组合 的有效边界 ，因此无 险贷款 ｂ ｃ Ｌ 下的均值一ＶＲ ａ 投资组合有效边界 为曲线Ａ Ｂ Ｑ 与半平 面
日‘ 】 ＶＳｔ ａ ， Ｉ 相 交的
。
．
基础上研究 了无风 险贷款 的机会约束下 的均值 — ａ 投资组合 ，得 ＶＲ 出了模 型的有效边界 ，并指 出了最优解的位置。
＝ ．
． … …
曲线部分 点Ａ 是全局最小点 ，
图ｌ ： 是ｂ （ 图１ 的具体 注 情彤．其 余情彤类 蜘
１ 中的直线ＭＮ 为机会约束线 ，Ｐ 点为有效边 界Ａ Ｂ Ｑ 与机会约束线 ＭＮ 的交点。 ，， ， Ｇ Ｆ Ｄ点的坐标分别为
ｎ ， ｒ
）．∑ ） ，Ｉ ｆ ｓ 为 ｎ ＝（ ｓ． ｎ 』 种风险 资产的协 方
， 日， Ｉ 】
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无风 险贷款下 的均值一 ＶＲ投 ａ 资组 合有效边 界如图 Ｉ 所示 ，Ａ Ｂ Ｑ
献【 和【 在文献 【 的基 础上引入无风 险借贷 ，对借贷 利率相同 与 ６ ７ 】 】 ５ 】
Ｆ 去 ＋ ｝ ＝ 去
２ 模型求解
２１ 解的 存 在 性 和 唯 一 性 ．
Ａ ８ 一个 交点Ｐ Ｑ有 ．交 点 Ｐ Ｑ 段 上 ，模 型 ＜ 的 有效 边 界 为 在 Ｂ Ｍ）
时 ， 机 会 约束 线ＭＮ 与有 效边 界
引理 ｌ
甩‘ ＝ ｔ 卜 日‘ 为凸函数 ．且在 ‘ 】ｚ ‘ ａ 】 的任一闭
示 ｎ种风 险资产的 权重向量 ． ‘． ＋ ０是 以利率 贷款的 比例 ， 罡 表示负实数集 ．收益率 ‘＝ ‘ 。 ｆ
合模型为：
ａ ｎＶ Ｒ＝ｚａ ｒ卜 日 ‘１ ｒｉ ａ ｉ， ，
２３ 无风险贷款的基于机会 约束下的均值一ｖ－ 资组合的最 ． ： Ｒ投
优 解
＋。 ．
（ 当０ 天 的斜 率 ，其 余类
（ ） 肘
－Ｒ ： ｝ ｛＇ ， ｘｘ ＥＲ
似） 机会约束线ＭＮ ， 与有效边 界Ａ Ｂ Ｑ 没有交点 ．模型ｆ 的有效边 Ｍ） 界为Ａ Ｂ 其最优解为Ａ Ｑ 且 点。 （ ）当 Ｋ － ｂ ＾ ＜ Ａ Ｐ Ｑ ，且其最优解为Ａ 点。 （ ）当 肼 ＜ ｃ 口 且 其最优解为Ａ 点。 （ ）当 ｄ ＜‰ ≤ ｆ 过Ｍ点 与曲线 Ａ 的切线斜率） ， 机 Ｑ 时 时 ， 机会 约 束线 ＭＮ 与有效 边界
型的有效边沿为 ：
乙
Ｚ
—
失） 。机会 约柬是 ｆＣ ａ ｅ￣Ｃ ｏｅ根据现实生活 中投 资者往往要 ｌ ｈｍ ｓｌ ｏｐｒ ｔ ｌ 求在一定的置信水平下 ，实际收益要大于一个预先确定 的收益 Ｉ标 ｊ 的情况提出的机会约束的投资组合问题
文 献【 研 究的是均值一 ａ 投资组合问题 ； 献【 在文献【】 ３ 】 ＶＲ 文 ４ 】 ３的 基础上研究了Ｖ Ｒ ａ 约柬和无风险贷款下的投资组合问题 ；文献【】 ５在 文献 【 的基础上对于机会 约束下的均值一 氓 模型进行 了研究 ；文 ４ 】 Ｖ
Ａ Ｂ Ｑ 有一个 交点Ｐ ，交点Ｐ Ｑ 在Ａ 段上 ， 型＜ 的有效边 界为Ａ ， 模 Ｍ） Ｐ
凸子集上存 在唯一的最小值 。 引理２ Ｆ 是 ’ 上的闭 凸子集 。
定理 当 ， 非空时 ，模型 （ 存在惟一最优解 。 肘）
会约束 线ＭＮ 与有效边界Ａ Ｂ Ｑ 有两 个交点 ，交点 、 都在Ａ 段 Ｑ 上 ， 型（ 的有效边界为 模 Ｍ） （ ）当 ｅ ＜ ‰ ，且其最优解为 点。 时 ， 机会约束 线ＭＮ 与有效边 界Ａ Ｂ Ｑ 无交
讨论 了模型最优 解的存 在唯 一性 ，并指 出了最优解的位置 关键词 无风险 贷款 机 会约束 Ｖａ 最优解 Ｒ
Ｖ ＲＶ ｌ ａ ｉ ） 称为风 险价值 ，最早产 生于１０ 年 ，是 给 ａ （ａ ｅｔ ｓ 也 ｕ Ｒｋ ０４
定的 置信 水平和 目标 时段 下 预期 的最大 损失 （ 最坏情 况 下的 损 或
２ 无风险贷款下的均值 一 ａ ． ２ ｖＲ投资组合模型的有 效边 沿
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差矩阵 ， 三为正定矩阵 。 ＝Ｘ＿ 且 Ｔ 表示 ， ． Ｘ 种风险 资产的方羞 ，
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知 识 经 济
机 会 约 束 和 无风 险贷 款 下 的 均值一 ａ ＶＲ投 资 组 合 模 型
李 莉 陈 莲 花 夏 苏 林
（ 北煤炭 师范学院 ） 淮
摘 要 在投资组合 回报率服从正态分布的前提 下，建立 了允许无风险 贷款下具有投 资机 会约束的均值 ～ ａ Ｖ Ｒ投 资组合模型
假 设Ｆ 点在Ｇ 点的上方 ，过Ａ 点作一 条与 ＡＢ平行 的直 线与Ｅ 轴
交于ｃ ： 点 （ ）当机会约束线 与Ｅ １ 轴的交点Ｍ点位于Ｃ 以下时（ 点 此处只讨 沦 Ｋ。 Ｋ０ ～ ＜ ｕ＜ 时 的情况 ） ，如图 １ 示： 所
由参考文献 【可 得 ．机会约束 和无风险 贷款下的均值一 资组 ７ 】 投
１ 模型的建立
专 ： 秒
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当允许无风险贷款时 ，假设存在一种 无风 险资产与ｎ 种风险 资 产 ， 为借入无风 险证券＜ 贷款 ） 的利率 。ｎ 种风险证券 的投 资嘲报 率为随机变量 ｆ ． ： ） ．ｆ服 从正态分布 Ｎ（ ，） ＝（ ｆ ． … ｐ ∑ ，其 中
不同的机会 约束下均值一 ａ 模 型进行了研 究。本文 在上述文 献的 ＶＲ
为无风险 贷款下的均值一ｔｒ 资 ａ投 组合 的有效边界 ，因此无 险贷款 ｂ ｃ Ｌ 下的均值一ＶＲ ａ 投资组合有效边界 为曲线Ａ Ｂ Ｑ 与半平 面
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基础上研究 了无风 险贷款 的机会约束下 的均值 — ａ 投资组合 ，得 ＶＲ 出了模 型的有效边界 ，并指 出了最优解的位置。
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曲线部分 点Ａ 是全局最小点 ，
图ｌ ： 是ｂ （ 图１ 的具体 注 情彤．其 余情彤类 蜘
１ 中的直线ＭＮ 为机会约束线 ，Ｐ 点为有效边 界Ａ Ｂ Ｑ 与机会约束线 ＭＮ 的交点。 ，， ， Ｇ Ｆ Ｄ点的坐标分别为
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２ 模型求解
２１ 解的 存 在 性 和 唯 一 性 ．
Ａ ８ 一个 交点Ｐ Ｑ有 ．交 点 Ｐ Ｑ 段 上 ，模 型 ＜ 的 有效 边 界 为 在 Ｂ Ｍ）
时 ， 机 会 约束 线ＭＮ 与有 效边 界
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甩‘ ＝ ｔ 卜 日‘ 为凸函数 ．且在 ‘ 】ｚ ‘ ａ 】 的任一闭
示 ｎ种风 险资产的 权重向量 ． ‘． ＋ ０是 以利率 贷款的 比例 ， 罡 表示负实数集 ．收益率 ‘＝ ‘ 。 ｆ
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ａ ｎＶ Ｒ＝ｚａ ｒ卜 日 ‘１ ｒｉ ａ ｉ， ，
２３ 无风险贷款的基于机会 约束下的均值一ｖ－ 资组合的最 ． ： Ｒ投
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（ 当０ 天 的斜 率 ，其 余类
（ ） 肘
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似） 机会约束线ＭＮ ， 与有效边 界Ａ Ｂ Ｑ 没有交点 ．模型ｆ 的有效边 Ｍ） 界为Ａ Ｂ 其最优解为Ａ Ｑ 且 点。 （ ）当 Ｋ － ｂ ＾ ＜ Ａ Ｐ Ｑ ，且其最优解为Ａ 点。 （ ）当 肼 ＜ ｃ 口 且 其最优解为Ａ 点。 （ ）当 ｄ ＜‰ ≤ ｆ 过Ｍ点 与曲线 Ａ 的切线斜率） ， 机 Ｑ 时 时 ， 机会 约 束线 ＭＮ 与有效 边界
型的有效边沿为 ：
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文 献【 研 究的是均值一 ａ 投资组合问题 ； 献【 在文献【】 ３ 】 ＶＲ 文 ４ 】 ３的 基础上研究了Ｖ Ｒ ａ 约柬和无风险贷款下的投资组合问题 ；文献【】 ５在 文献 【 的基础上对于机会 约束下的均值一 氓 模型进行 了研究 ；文 ４ 】 Ｖ
Ａ Ｂ Ｑ 有一个 交点Ｐ ，交点Ｐ Ｑ 在Ａ 段上 ， 型＜ 的有效边 界为Ａ ， 模 Ｍ） Ｐ
凸子集上存 在唯一的最小值 。 引理２ Ｆ 是 ’ 上的闭 凸子集 。
定理 当 ， 非空时 ，模型 （ 存在惟一最优解 。 肘）
会约束 线ＭＮ 与有效边界Ａ Ｂ Ｑ 有两 个交点 ，交点 、 都在Ａ 段 Ｑ 上 ， 型（ 的有效边界为 模 Ｍ） （ ）当 ｅ ＜ ‰ ，且其最优解为 点。 时 ， 机会约束 线ＭＮ 与有效边 界Ａ Ｂ Ｑ 无交
讨论 了模型最优 解的存 在唯 一性 ，并指 出了最优解的位置 关键词 无风险 贷款 机 会约束 Ｖａ 最优解 Ｒ
Ｖ ＲＶ ｌ ａ ｉ ） 称为风 险价值 ，最早产 生于１０ 年 ，是 给 ａ （ａ ｅｔ ｓ 也 ｕ Ｒｋ ０４
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