数理方程03

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数理方程习题答案

数理方程习题答案数理方程习题答案数理方程是数学中一门重要的学科，它研究的是各种各样的方程。

在学习数理方程的过程中，习题是不可或缺的一部分。

通过解习题，我们可以加深对数理方程的理解，掌握解题的方法和技巧。

在这篇文章中，我将为大家提供一些数理方程习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 求解方程：2x + 5 = 17。

解：将方程化简，得到2x = 17 - 5，即2x = 12。

再将等式两边同时除以2，得到x = 6。

所以方程的解为x = 6。

2. 求解方程组：2x + y = 73x - 2y = 4解：可以使用消元法来求解这个方程组。

首先，将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 14。

然后将第二个方程与这个结果相加，得到7x = 18。

再将等式两边同时除以7，得到x = 18/7。

将x的值代入第一个方程，可以求得y的值为y = 7 - 2x = 7 - 2(18/7) = 7 - 36/7 = 7/7 - 36/7 = -29/7。

所以方程组的解为x = 18/7，y = -29/7。

3. 求解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

解：可以使用因式分解法来求解这个二次方程。

首先，将方程化简，得到(x - 2)(x - 3) = 0。

根据乘积为零的性质，可以得到x - 2 = 0或者x - 3 = 0。

解这两个方程，可以得到x = 2或者x = 3。

所以方程的解为x = 2或者x = 3。

4. 求解三次方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。

解：可以使用综合除法来求解这个三次方程。

首先，将方程按照降幂排列，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。

然后，尝试将方程的第一项x^3除以x的最高次数x^3，得到商为1。

将这个商乘以方程的所有项，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 - (x^3 - 3x^2 + 2x - 4) = 0。

化简这个等式，可以得到0 = 0。

数理方程复习讲解

0,

t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
2V V(t02 ,
t)
a2 2V x2
V (l,t
f (x, ) 0,
t
),
V
(x, 0)

V
(x,
0)

0,

t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
方程为双曲型方程为抛物型
a122 a11a22 0
方程为椭圆型
南京邮电大学、应用数理系
行波法
数理方程
一、行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
1 [(x at) (x at)] 1
(
x)

A sin
(2n 1)
2l
x,
n 0,1, 2,
ux x0 0
u 0 xl

2n 2l
1
2
,
X
n
(
x)

Acos (2n 1)
2l
x,
南京邮电大学、应用数理系
n 0,1, 2,
波动方程：
utt a2uxx 0
X ''(x) X (x) 0 T ''(t) a2T (t) 0
u u
x x
(0, t ) (l , t )
1(t) 2 (t)

wx wx
(0, t ) (l , t )

东南大学版《数理方程》课件

数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 xy x y
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A B A B A 2 AB B 2 2 x x x 2 u u u u u y y y
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间上是常数，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
e
( x at ) 2
]
1 2

x at x at

x at
2ase
s 2
ds

( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x atቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
数学物理方程与特殊函数
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2 u2 u2 2 a f ( x, t ), x , t 0 2 t 2 x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, x 2 t 利用齐次化原理，若满足：

数理方程3

南京邮电大学、理学院
数理方程
例5、求解定解问题：、求解定解问题：
ut − a 2u xx = f ( x, t ) , x ∈ (0, l), t > 0 u x x =0 = 0 u x x =l = 0 u t =0 = ϕ ( x)
解法一叠加原理
u ( x, t ) = v( x, t ) + w( x, t )
目的：构成齐次边界条件定解问题，满足非齐次条件。目的：令 v ( x, t ) 构成齐次边界条件定解问题，令 w( x, t ) 满足非齐次条件。
南京邮电大学、理学院
数理方程
u (0, t ) = θ1 (t ) u (l , t ) = θ 2 (t )
w( x, t ) = A(t ) x + B (t ) w(0, t ) = θ1 (t ) w(l , t ) = θ (t ) 2
w( x, t ) = θ 2 (t ) x + θ1 (t )
南京邮电大学、理学院
数理方程
u x (0, t ) = θ1 (t ) u (l , t ) = θ 2 (t )
w( x, t ) = A(t ) x + B (t ) wx (0, t ) = θ1 (t ) w(l , t ) = θ (t ) 2
解：设
u ( x, t ) = v( x, t ) + w( x, t )
w( x, t ) = A(t ) x + B (t ) w(0, t ) = θ1 (t ) w (l , t ) = θ (t ) 2 x
代入原定解问题得：代入原定解问题得：
w( x, t ) = θ 2 (t ) x + θ1 (t )

数理方程第3讲

(3 .1 0 )
6
由(3.8)与(3.10)解出f1(x),f2(x)得
f1 ( x ) f2 ( x) 1 2 1 2
(x) (x)
2a
1
1
x 0
( ) d ( ) d
C 2 C 2
2a
x 0
把这里确定出来的f1(x)与f2(x)代回到(3.6)中, 即得方程(3.1)在条件(3.7)下的解为
依赖区间
O
xat
xat
x
10
对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为1/a的直线x=x2at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域.
2

1 u
2
当u不依赖于q,时, 这个方程可简化为
1 2 u 1 u r 2 2 2 r r r a t
2
a
2
t
2
25
或但
r
u
2
r
2
2
2 2
u r u r
2

r u
2
a
2 2
t
2
2
.

u r
2
( ru ) r
2 2 2 2u u u 2 u , 2 a 2 2 2 t y z x x , y , z , t 0 . (3 .2 2 ) (3 .2 3) u |t 0 0 ( x , y , z ), u x, y, z . 1 ( x , y , z ), (3 .2 4 ) t t0

数理方程

两个自变量的方程的分类
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu = f
2 a12 − a11a22 > 0 2 a12 − a11a22 = 0 2 a12 − a11a22 < 0
双曲型抛物型椭圆型
线性、非线性？线性、非线性？阶数？阶数？齐次、非齐次？齐次、非齐次？
utt − a u xx = 0
2
utt − a2uxx = f (x,t)
输运方程：一维扩散问题；输运方程：一维扩散问题；热传导问题
ut − a u xx = f ( x, t )
2
ut − a 2u xx = 0
恒定场方程：二维温度分布问题、恒定场方程：二维温度分布问题、静电场问题
∇ 2u = ∂u ∂u + 2 =0 2 ∂x ∂y
定解问题＝泛定方程定解条件定解问题＝泛定方程+定解条件
数学物理方法
定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。
数学物理方程的分类
数学物理方法
分离变量(傅立叶级数) 分离变量(傅立叶级数)法
基本思想：把偏微分方程分解成几个常微分方程，基本思想：把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。一、三类典型线性偏微分方程波动方程：一维弦振动；杆的纵振动；波动方程：一维弦振动；杆的纵振动；电波传播

数理方程课件

详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。

第3课数理方程

17
定解问题的提出
方程 u′( x) = 0 能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？方程 u′′( x ) = 0 能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？由此可归纳出 n 阶常微分方程的通解含有 n个任意常数，要完全确定这些常数需要附加 n个条件。
18
定解条件
1.初始时刻 :
均匀弦的微小横振动方程三维热传导方程定解条件和定解问题
1
弦的微小横振动方程
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
22
定解问题的适定性
定解问题的适定性:一个定解问题是否能够反映实
际，从数学的角度看主要是三个方面的问题：
解的存在性:即在给定的定解条件下，定解问题是否
有解存在? 从下一章起，我们要介绍三种典型的数学物理方程的解法，它们直接给出了解的存在性的证明。
解的唯一性:即在给定的定解条件下，定解问题的解
若存在，它是否唯一?如果能知道一个定解问题具有唯一解，那么我们就能采用任何合适的方法去寻找它的解。
∂u dQ = − k ( x , y , z ) dsdt = − k ∇ u ⋅ dSdt ∂n
10
其中 n 为曲面 ds 的外法向向量， k为热传导系数。故从t1 到 t2 这段时刻流入曲面内部的热量为
Q1 =
∫
t2
t1
∂u ⎡ ⎤ ⎢ ∫∫S k ∂ n ⋅ ds ⎥ dt . ⎣ ⎦

ch3 数理方程第3章

dr dr r
如果 u (r , ϕ , z ) 在 0 ≤ r ≤ a 上满足边界条件 (α u r + β u ) r =a = 0, 那么
α R ' (a) + β R(a) = 0. 还有自然边界条件
R(0) < +∞
8
原问题的求解归结为求 ⎧ d dR(r ) ν2 ) + (λ r − ) R ( r ) = 0 ⎪ (r dr r ⎨ dr ⎪α R ' (a ) + β R(a ) = 0，R (0) |< ∞ | ⎩ 的固有值问题。
1
内容：
第一节贝塞尔方程的引出第二节贝塞尔方程的求解第三节贝塞尔函数的性质第四节贝塞尔函数应用举例
2
第一节
贝塞尔方程的引出
问题：考虑一圆柱体内部的稳恒的温度分布。
三维拉普拉斯方程
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u Δu = 2 + 2 + 2 = 0 ∂x ∂y ∂z
在柱坐标系 (r , ϕ , z ) 下转化为
即
c1[( ρ + 1) 2 −ν 2 ] = 0.
(n ≥ 2) :
x
n+ ρ −2
c n [(n + ρ )(n + ρ − 1) + (n + ρ − ν 2 )] + cn−2 = 0
16
或
cn − 2 cn = − 2 2 ( n + ρ ) −ν
(3)
由指标方程可得
ρ1 = ν , ρ 2 = −ν .
R ′′(r ) 1 R ′(r ) 1 Φ ′′(ϕ ) Z ′′( z ) + + 2 =− = −λ R(r ) r R(r ) r Φ(ϕ ) Z ( z)

数理方程总结完整版

该方程是非齐次方程。解决该类方程主要用特征函数法来解决。以本题为例，来介绍一下特征函数法。
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数，即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t

a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x

l

研究生课程数理方程(3)

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二、勒让德多项式的模
第三章第三节
证明
1
1
Pn
( x)2
dx
2 2n
1
1
1
(
x,
t
)2
dx
1 dx
11 2xt t 2
1
1
n0
Pn
( x)t
n
2
dx
t 2n 1 1
P2 n
(
x)dx
n0
（因 Pn (x)正交）
上页下页返回
第三章第三节
又
1
1
1
dx 2xt t 2
1 t
1
t
(1
t
2
1
)2
第三章第三节
1 t
t
1
(1
t
2
)
1 2
1 t
t
11
1t2 2
1 2
(1 1) 2 t4 2!
1 (1 22
1)(1 2
3!
2) t6
1 1 t 1 t 3 1.3 t 5 2 22 2! 23 3!
(1)k1 3(2k 1) t 2k1 2k1 (k 1)!
(
x)dx
?
上页下页返回
因为所以
第三章第三节
(1
2xt
t
2
)
1 2
Pn (x)t n ,
n0
1
0
(1
2xt
t
2
1
)2
dx
(
1
0
Pn
( x)dx)t
n
n0
而
1
0

数理方程-第3章-研究生

第三章固有值问题与特殊函数
第一节二阶常微分方程的级数解
求解固有值问题时，经常遇到二阶线性齐次常微
分方程的求解问题。
二阶齐次常微分方程的一般形式：
y p( x) y q( x) y 0.
(1)
定义：在方程（1）中，若p(x),q(x)在称
x0 处解析，则 x0 点为方程（1）的正常点；若 x0是
f ( x) n ( x) ( x)dx
称级数（1）为f ( x)按正交函数系 n 展开的广义Fourier级数， cn为广义Fourier系数。

a
b
2 n
( x) ( x)dx
，n 0,1,2
第三节 Sturm-Liouville问题
常微分方程
c1 ( x) X ( x) c2 ( x) X ( x) [c3 ( x) ] X 0, a x b (1) 其中与x无关的参数。（1）式适当变形后，可化成 d [ p( x) X ( x)] [q( x) s( x)] X 0 (2) dx (1) s( x)得 s ( x)c1 ( x) X ( x) s ( x)c2 ( x) X ( x) s ( x)[c3 ( x) ] X 0 (3) (2)式改写成 p ( x) X ( x) p( x) X ( x) [q( x) s( x)] X 0 (4)
a b
有 X 1 X * sdx 0.
a
b
可见，X 1与X *是属于同一固有值的固有函数，且关于权函数s正交。
6.定理（1）任何正则S-L问题存在一个实固有值的无穷序列 1 2 n 其中lim n , 且对应的固有函数X（除常数因子外是唯一确定的） n

数理方程重点总结PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课

对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
冲量
I
t2
Fd t
t1
上旳动量变化，即为冲量，于是有
冲量：力旳时间作用效应。
2 u( x , 0) k , (c x c )
动量定理
I mv2 mv1
t
质量
速度
受冲击时旳
动量定理：动量旳变化=冲量旳作用。
初位移
T a2T 0 （时间变量的微分方程）
X X 0 （空间变量的微分方程）
二、空间变量常微与边界条件捆绑，构成本征值问题。（解本征值问题）
X X 0
(1)
u x
u
0,
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
2u u
t
2 2xt
xt x
解把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
或
u 2u x2 F (t)
t t
t
上式还可以写成
(t 2u) x2t 2 t F(t) t
再对 t 积分，得
t 2u 1 x2t 3 t F (t )d t H ( x) 1 x2t 3 G(t ) H ( x)
由开初时，在 x c 处受到冲量 k 旳作用知
对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
x
上旳动量变化，即为冲量，于是有
第2 题
u (x ,t)
k
为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知
c
c
x
0

数理方程

1. 基本概念偏微分方程：含有未知多元函数及其偏导的方程，如2122121(,,,,;,,,;,)0n n u u u u F x x x u x x x x ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 其中：12(,,,)n u u x x x =为多元函数.方程的阶：未知函数导数的最高阶数；方程的次数：最高阶偏导的幂次；线性方程：未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项：不含未知函数及其导数的项；齐次方程：没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非其次的；方程的解：若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解：包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数；特解:不含任意独立函数的方程的解. 例如：22()()sin cos u u x y x y∂∂+=∂∂为一阶非线性非齐次偏微分方程；u 为未知函数。

2222220u u ux y z ∂∂∂++=∂∂∂为二阶线性齐次方程；二阶线性非其次偏微分方程22uy x x y∂=-∂∂的通解为 221(,)()()2u x y xy x y F x G y =-++其中，(),()F x G y 为两个任意独立的函数.注意：通解所含独立函数的个数＝偏微分方程的阶数.2. 线性偏微分方程解的特征含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为[](,)L u G x y =其中，L 为二阶线性偏微分算符，满足11221122[][].[][][].L cu cL u L c u c u c L u c L u =+=+(1).齐次线性偏微分方程解的特征a.当u 为方程的解，则()c u c R ⋅∈也为方程的解；b.12,u u 为方程的解，则1122c u c u +也为方程的解. (2). 非齐次线性偏微分方程解的特征a. I u 为非齐次方程的特解，II u 为齐次方程的通解，则I II u u +为非其次的通解；b. 若1122[](,),[](,).L u H x y L u H x y ==则1212[][](,)(,).L u L u H x y H x y +=+ (3).线性偏微分方程的叠加原理若k u 是方程[](1,2,)k L u f k ==的解(其中L 为二阶线性偏微分算符),如果级数1()kk k k cu c R ∞=⋅∈∑收敛，且二阶偏导数存在，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是1[]k kk L u c f ∞==⋅∑的解；特别地，若k u 是方程[]0L u =的解，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是[]0L u =的解.4.1数理方程的建立考虑一根均匀柔软的细弦沿x 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，如图1.1所示.设(,)u x t 是平衡时坐标为x 的点t 时刻沿y 方向的位移，现在求弦上各点的运动规律.“采用隔离法”研究一小段(,)x x dx +与外界的相互作用以建立方程. 假设：(1)弦是完全柔软的，所以张力T 沿着弦振动波形的切线方向；(2)只讨论弦做横向振动，故忽略弦在水平方向的位移，弦的横向加速度为tt u ，单位长度的质量为ρ或线密度为ρ；(3)振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角12,αα也是很小的，则332sin ,3!tan ,3cos 1 1.2!iiii i i i i i i αααααααααα=--≈=++≈=--≈ 而2tan [1()].T i i u uk ds dx dx x xαα∂∂==≈⇒=+=∂∂ 根据牛顿第二运动定律，在(纵向)水平方向上有21()cos ()cos 0()().T x dx T x T x dx T x T αα+-=⇒+=≡∈R在横向上有21sin sin ()()[]()().tt tt x dxxT T g ds ds u uuT g ds ds u xx ααρρρρ+--⋅=⋅∂∂⇒--⋅=⋅∂∂ 根据()()'()f x dx f x f x dx +-=，上式可以化简为2222[]()().tt tt u uT dx g ds ds u T g u x xρρρρ∂∂⋅-⋅=⋅⇒⋅-⋅=⋅∂∂即弦的横振动方程为2222.(,)tt xx xx u Tu a u g u a x ρ∂=⋅-==∂此式即为弦做微小横振动的运动方程，简称弦的振动方程，其中a 就是弦上振动传播的速度.图1.1所示讨论：①若弦的重量远远小于弦的张力，则重力加速度可以忽略不计，其运动方程为2.tt xx u a u =(*)此式称为弦的自由振动方程，也称为一维波动方程.②如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)F x t 作用，则(*)式可以改为2(,).(**)tt xx u a u f x t =+则(**)式称为弦的受迫振动，其中(,)(,).F x t f x t ρ=③对于0t ≥，两端固定，则00,0x x l u u ====，弦在0t =时无纵向移动，0000,t t uu v t ==∂==∂。

数理方程第一章-3讲解

a2
(
2u x2
2u y2
2u z2
)
u t
a2 k c
—— 三维热传导方程
本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。
深圳大学电子科学与技术学院
第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
u S
f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
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知识补充：
弹性模量是指当有力施加于物体或物质时，其弹性变形（非永久变形）趋势的数学描述。物体的弹性模量定义为弹性变形区的应力－应变曲线的斜率。杨氏模量指的是受拉伸和压缩时的弹性模量。
杨氏模量(Young‘s modulus)是描述固体材料抵抗形变能力的物理量。一条长度为L、截面积为S的金属丝在力F作用下伸长L。F/S叫应力，其物理意义是金属丝单位截面积所受到的力； L/L叫应变，其物理意义是金属丝单位长度所对应的伸长量。
dx
x
不考虑垂直杆方向的形变，根据Hooke定律，应力与应变成正
比，即 P E u x
代入
P x
2u t 2
2u t2
a2
2u x2
0 xl , t0
其中
a2 E
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例6：一根均匀杆，原长为l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静止。突然松手，任其纵向振动。写出定解问题。
（3）对于稳恒场，上述边界条件的两端均不含时间 t ; （4）边界条件的推导，步骤与泛定方程的推导大致相同，但微元只能在边界上选取。
x
x
S 2u d x
t2
Sdx dm（微元质量）

数理方程第讲教学教材

即X(x)0, 不符合非零解的要求, 因此l不能小
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
12
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5)
的通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
由条件(2.6)得 A = 0
B sin l = 0
由于B不能为零, 所以sin l=0, 即
从而
n(n1,2,3,L)
l
ln22
l2
(2.7)
13
(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数
为:
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
Xn(x)Bnsinnl x(n1,2,3,L)(2.8)
将上式中的特征值代入到(2.4)得
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cos
ax
C
x2
sinaxd x
-
1 a
x2
cosax
2 a2
xsinax
2 a3
cosax
C
x
cos
axd
x
1 a2
cos
ax
1 a
xsin
ax
C
x2
cosaxd x
1 a
x2
sinax
2 a2
xcosax
-
2 a3
sinax
C
25
分析一下级数形式解(2.11)的物理意义. 先固定t, 看看任意指定时刻波是什么形状; 再固定 x, 看该点的振动规律. (2.11)中的一项:

数理方程第三次作业讲解

2 2
1. 将原方程按照 x、交叉项 xy、y 顺序排列；
2. 特征方程按照 y、交叉项 xy、x 顺序排列；
交叉项 xy 位置不变但反号；
特征曲线（两族积分曲线）为
3 x y C1
x y C2
3. 尽管特征方程中的x 与 y 字母位置交换，
但对应的系数、符号不变。
作特征变换
3 x y x y
u2 (t ) u1 (t ) W x, t x u1 (t ) L
代换后： W 0, t u1 (t )
W L, t u2 (t )
深圳大学电子科学与技术学院
2 V 2 V a f x, t , 0 x L, t 0 2 t x V t 0 1 x , 0 x L
2 L n Cn 1 x sin xdx L 0 L
深圳大学电子科学与技术学院源自求解初值问题:拉普拉斯变换
初值问题
na Tn(t ) Tn (t ) f n (t ) L Tn (0) Cn
2
2
na 对方程两边作拉氏变换，pT ( p) C Tn ( p) f n ( p) n n L 给出代数方程:
2
f n ( p)
1 na p L
2
Ae t
na 2 t na 2 Tn (t ) Cn exp t 0 f n ( ) exp (t ) d L L
V
x 0
V
xL
0,
t 0
其中
利用本征函数法

u '1 u '2 f ( x, t ) x u '1 L u2 0 u1 0 1 ( x) ( x) u1 0 x L

数理方程（调和方程）

数理方程（调和方程）第四章调和方程§1.调和方程的定解问题 1.方程的几个例子例1. 稳定的温度分布温度分布满足),(2t x f u a u t =?-稳定热源:),,,)((321x x x x x f f ==与t 无关边界绝热(即边界条件也与t 无关)则长时间后,温度分布必然趋于稳定状态(与t 无关),即)(x u u =此时有)(1x f u =?, (21a ff -=)称为Poission 方程当01=f 时,0=?u ,称为Laplace 方程或调和方程.例2.弹性膜的平衡状态:u 为膜在垂直方向的位移,外力),(21x x f f =,则有f x ux u =??+222212例3.静电场的电势uMaxwell 方程组==??-=??+=ρdivD divB t B rotE t D J rotH 0E :电场强度, H :磁场强度, D :电感应强度, B :磁感应强度 J :传导电流的面密度, ρ:电荷的体密度物质方程??===E J H B E D σμε:μ导磁率, σ:导电率, ε: 介质的介电常数divE divD ερ==∵静电场是有势场:u grad E -=ερ-=?u grad div , 即ερ-=u ?若静电场是无源的,即0=ρ,则0=?u 例4.解析函数)(),,(),()(iy x z y x iv y x u z f +=+=则v u ,满足Cauchy-Riemann 条件:y x y x u v v u -==, 例5.布朗运动(见图) 设质点运动到边界上即终止，===?0,10`),,(),,(211C C u u u C z y x z y x u 概率，则上的为起点，终止在：以易知,0,0=?=?v u2.定解问题(1)内问题:nR ?Ω,有界,Γ=Ω?,u 在Ω内满足f u =? 边界条件:第一类(Dirichlet):g u =Γ|第二类(Neumann):g n u=??Γ| 第三类(Robin):)0(|)(>=+??Γσσg u nun 为Γ的单位外法线方向.(2) 外问题:u 在Ω外部满足f u =?同样有三类边界条件(此时n 为Ω的内法线方向).但解在无穷远处是否可以不加限制?要加何种限制? 先看两个例子:例1.2=n =>+=?=+0|)1(,012222y x u y x u221ln 1ln ,0yx r u u +===均为解, 例 2. 3=n =++=>==1),1(01222r u zy x r r u ?ru u 1,1==均为解.因此,解在无穷远点一定要加限制,以确定解的唯一性. 通常,:2=n 解在无穷远处有界:),(lim y x u r ∞→有界:3≥n 解在无穷远处趋于0:0),,(lim =∞→z y x u r(3) 无界区域的边值问题:与外问题类似 (4) 等值面边值问题:0=?u边界条件:??=??=?ΓΓ)()(|已知待定A dS n uC u 这个问题可约化为 Dirichlet 问题:设==?Γ1|0U U 的解为)(x U U =,选取常数C ,s.t.:A dS n UC=Γ 则CU u =§2.分离变量法1. 圆的Dirichlet 内问题与外问题内问题=<+=?=+)(|)(0222222θf u a y x u a y x引入极坐标θθsin ,cos r y r x ==222222221)(111θθ??+=??+??+??≡urr u r r r ur r u r ru u ? 则原问题化为:≤≤=≤≤<=++=)20()(|)20,(0112πθθπθθθf u a r u r u r u a r r rr 将)()(θΘr R 代入方程并分离变量得-='+''-=''λ21r R R r RΘΘ0,02=-'+''=+''R R r R r λλΘΘ求解特征值问题:?==+'')2()0(0πλΘΘΘΘθλθλθλθθλθλθλθλsin cos )(:0)(:0)(:0212121C C C C e C e C +=Θ>+=Θ=+=Θ<---∴0<λ时不是解. 1)(:0C =Θ=θλ.θθθλλk C k C k s i n c o s )(,:0212+==>Θ∴,....)2,1,0(2==k k k λ,...)2,1(sin cos )(,)(00=+==k k B k A A k k k θθθθΘΘ求解)(022方程Euler R k R r R r =-'+'':一般Euler 方程的求解：()()t B t A t t y i t B t A t y BtAt t y a a a t y a t y t a t y t a ln sin ln cos )(ln )()(0)1(0)()()(212121212102120121βββαμμμμμμμμμμμαμμμ+=±?+=?+=?=++-=+'+''：为一对共轭虚数，为相等的实数：，为不相等的实数：，，其解为特征值相应的特征方程为00)1(222=-?=-+-k k μμμμk ±=?μ,...)2,1()(=+=?-k r D r C r R k k k k kr D C r R ln )(000+=),2,1,0(0)0( ==?k D R k k 有界 ,...)2,1()(==?k r C r R k k k 00)(C r R = ∑∞=++=∴10)sin cos (2),(k kk k r k k r u θβθααθ∑∞=++==1)sin cos (2)(:k kk k a k k f a r θβθααθ====πππβπα2020,...2,1,sin )(1,...2,1,0,cos )(1k ktdt t f a k ktdt t f a k k k k代入级数表达式得，注：将k k βα, ()()()()∑∑?∑?∑++--=??-+-=+??? ??=-+=+??? ??+=--------∞=--∞=-∞=∞=πθθπθθθπθθπππππθπθθπθ202)()(220)()()(201)(0)(20120111)(21111)(21)(21)(cos 21)(21sin sin cos cos 21)(21),(dt a r e e a r a r t f dt e a r e a r e a r t f dt e a r e a r t f dt t k a r t f dt kt kt a r t f r u t i t i t i t i t i k t ik k k t ik k k k k k ()a r dt rt ar a r a t f r u <+---=??πθπθ202222)cos(2)(21),( (Poisson 公式)外问题??=>=∞→=有界u f u a r u r a r lim )()(0θ?∑∞=-++=1)sin cos (2),(k k k k r k k r u θβθααθ∑∞=-++==1)sin cos (2)(:k k k k a k k f a r θβθααθ====πππβπα2020,...2,1,sin )(,...2,1,0,cos )(k ktdt t f ak ktdt t f a kk kk同样有Poisson 公式)()cos(2)(21),(202222a r dt rt ar a a r t f r u >+---=θπθ 2.扇形域()??==<<<=++==θαθαθθθf u u a r u r u r u a r r rr 0 ),0(011,02 分离变量得:()()?===+''000αλΘΘΘΘ 与()+∞<=-'+''002R R R r R r λ 2=?απλk k(),.......2,1sin ==Θk k B k k θαπθ()απαπk k k k k rD rC r R -+=()00=?+∞<="" d="" p="" r="">==∴1,k k k k r a r u θαπθαπ()∑∞===1sin:k k k k a a f a r θαπθαπ()θθαπθαααπd k f aa k k sin2=∴3.环形域()()==<<===θθ212121,0f u f u rr r u r r r r ? ()......2,1,0,sin cos ......2,1,0,2=+=Θ==k k B k A k k k k k k θθθλ()≠+=+=-0,0,ln 00k r D r C k r D C R kk k k k θ ()()∑∞=-+++++=∴100sin cos sin cos ln ),(k kk k k k k r k d k c r k b k a r b a r u θθθθθ ()()()) 2,1(sin cos sin cos ln :100=+++++==∑∞=-i r k d k c r k b k a r b a f r r k ki k k k i k k i i i θθθθθ ()θθππd f r b a i i ?=+?200021ln ()θθθππd k f r c r a i k i k k i k ?=+-20cos 1()θθθππd k f r d r b i k i k k i k ?=+-20sin 1.....2,1,2,1==k i解联立方程即得().....2,1,0,,,,0,0=k d c b a b a k k k k 例如()()θθθθθ2cos 212122cos 1cos ,0221+=+===f f =≠=+=+=+--2,212,0,0,0ln 2211100k k r c r a r c r a r b a kk k k k k kk k r d r b r d r b r b a k k k k k k k k ?=+=+=+--,0,0,21 ln 2211200()()()())2(0),(02,2ln ln 21,ln ln 2ln 42412224241224121201210≠==?==--=-=-=--=?k c a k d b rr r c rr r r a r r b r r r a k k k k4.矩形域()()()()=====+====x u x u y u y u u u b y y a x x yy xx 100 100,,0ψψ??w v u +=分解()()=====+====x v x v v v v v y x v b y y a x x yy xx 100 0,0,00:),(ψψ()()=====+====0,0,0:),(0100b y y a x x yy xx w w y w y w w w y x w ??:),(y x v 求解分离变量得特征值问题()()??=X =X =X +X ''000a λ0=-''Y Y λ及(),......2,1,sin ,2==??=?k a x k B x a k k k k ππλX()ak D y a k C y k k k ππsinh cosh +=Y()x a k y a k b y a k a y x v k k k πππsin sinh cosh ,1∑∞=??? ?+=∴()x a k a x y k k πψsin :010∑∞===()xdx a k x a a a k πψsin 200?=∴()x a k b a k b b a k a x k k k πππψsin sinh cosh 11∑∞=??? ?+=()xd ak x a b a k b b a k a a k k πψππsin 2sinh cosh 01?=+?()()xdx a k a b k x x ab k a b a k ππψψπsin cosh sinh2001-=∴ 类似地，()y b k x b k d x b k c y x w k k k πππsin sinh cosh ,1∑∞=??? ?+=()ydy bk x b c b k π?sin 200?=()()ydy b k b a k y y ba kb d b k ππ??πsin cosh sinh2001-= 5.非齐次问题例()=<-+==cu R r y x b a u R r )(222?方法一:方程齐次化令21w w u v --=()()()212211111144,2)1(:1:r ar w a A a r A r A Ar r w aw rw w r w w =∴==?=+-==+"=?=-- 令设21212),(ρρy A x A y x w +=)()1()1(:)(222222*********y x b y A x A y x b w -=-+--=?--ρρρρρρ 12/,42121b A A =-===?ρρθ2cos 12)(12),(4442r by x b y x w =-=∴--=<=--=∴=θθ2cos 124)(02cos 12442242R b R a c v R r v r b r a u v Rr ?满足∑∞=++=1)sin cos (2),(n n n n r n n r v θβθααθ∑∞=++=--=142)sin cos (22cos 124:n nn n R n n R bR a c R r θβθααθ222012,42)(0),2,0(0R bR a c n n n n -=-=?=≠=?ααβα θθ2cos 124),(222R r b R a c r v --=∴θθ2cos )(12)(4),(22222R r r bR r a c r u -+-+=∴方法二.特征函数法:=<+=++=cuR r br a u r u r u R r r rr )(2cos 1122θθθ 令()∑∞=+=0sin )(cos )(),(n nnn r B n r A r v θθθ代入方程:θθθ2cos sin )()(1)(cos )()(1)(202222br a n r B r n r B r r B n r A r n r A r r A n n n n n n n +=?????????????????? ??-'+"+???? ??-'+''∑∞= )2,0(0)()(1)(22≠=-'+''?n r A r n r A r r A n n n, )(0)()(1)(22n r B r n r B r r B n n n ?=-'+" (**))(4)(1)((*),)(1)(2222200br r A rr A r r A a r A rr A =-'+''='+'')0(,)0(==?+∞<+∞<="" b="" d="" n="" p="">)()(),2,0(,)(n r c r B n r a r A nn n n n n ?=≠=∴边界条件()?+=∑∞=0sin )(cos )(n n n n R B n R A c θθ()0)(,)(;00)(,0)(00==≠==R B c R A n R B R A n n )(0)(),2,0(0)(n r B n r A n n ?=≠=∴易求得（*）的一个特解为24r a,（**）的一个特解为412r b20004ln )(r a r b a r A ++= , 42222212)(r br b r a r A ++=-)0(,)0(2020==?+∞<+∞)(4)(4)(220200R r ac r A R a c a c R A -+=?-=?=,)(12)(120)(2222222R r r br A R ba R A -=?-=?=θθ2cos )(12)(4),(22222R r r bR r a c r u -+-+=∴ §3调和函数的基本性质 3.1 Green 公式设nR ?Ω为有界区域, ΓΩ=?分块光滑, ΓΩΩ =.Green 第一公式设)()(),()(0112ΩΩ∈ΩΩ∈C C v C Cu ,则-??=ΩΓΩ?udx v dS n uv udx v 证明:∑=??=ΩΩni idx x uv udx v 122∑?∑==-=ΩΩni ii ni i i dx x ux v dx x u v x 11)(-??=ΩΓudx v dS n uv 同样地, 若)()(),()(0112ΩΩ∈ΩΩ∈C C u C Cv ,则 -??=ΩΓΩ?vdx u dS n vu vdx u 因此有,Green 第二公式设),()(,12ΩΩC Cv u ∈则 -??=-ΓΩ??dS n uv n v u dx u v v u )()(Green 公式特例=ΓΩdS n uudx 0,==?v vdx u dS n vuΩΓ 0,0)(===??-v u dS n u v n v u ??Γ3.2 调和函数的基本性质1. Neumann 问题解的自由度及可解性条件 (1)解的自由度考虑问题 (PN)=??=g nu f u Γ?若它有两个解21,u u , 则21u u u -=满足问题(N) =??=00Γ?nu u-??==ΩΓΩdxu dS n u u udxu 2-=Ωdx u 2),,2,1(0n i u i x ==?.const u ≡?结论: 问题(PN)在相差一个常数的意义下有唯一解. (2)可解性条件对问题(PN),=ΓΩ?dS n uudx ??=?ΓΩdS g dx f结论: 问题(PN)有解的必要条件为=ΓΩdS g dx f .2. 基本积分公式先考察3=n 的情形.设.,,),,(30000ΓΩΩΓΩΩ ==??∈R z y x M考虑函数,41),(00MM r M M v π=其中,),,(Ω∈z y x M202020)()()(0z z y y x x r MM -+-+-=.易知,),(0M M v 除0M M=外关于M 处处满足调和方程,称之为调和方程的基本解.取ε充分小,使得Ω?)(0M B ε. 记,\,εεεεB BΩΩΓ==?,,εεεεεΩΩΩΓΓΩ?==? (见图)则)()(12εεΩΩC C v ∈,且在εΩ内处处满足调和方程.设)()(12ΩΩC Cu ∈,对u 与v 应用Green 第二公式, Ω?-επdx M u r MM )(41-??=εππΓΓ dS n M u r r n M u MM MM )(41)41()(00-??=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π-??-επΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100-??=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π ++εεπεπεΓΓdS r M u dS M u )(41)(412-??=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100πε)()(21M ruM u ??++其中εΓ∈21,M M令,0→ε则,,,021ΩΩ→→εM M M 从而,-=Ω?dx r M u M u MM 0)(41)(0π-??-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π成为基本积分公式.调和函数的基本积分公式为:-??-=ΓdS n M u r r n M u M u MM MM )(1)1()(41)(000π注1. 基本解:1ln21:2MM r n π= ,1:32-≥n MM n r n ω其中n ω为n 维空间中单位球面的面积. 2=n 时的基本积分公式为:-=Ω?dx M u r M u MM )(1ln 21)(00π-??-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1ln )1(ln )(2100π注2. 对调和函数u ,成立-??-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π ??=.),(4,),(2,,000000内在上在外在ΩΓΩM M u M M u M ππ 3. 平均值定理记以0M 为球心、R 为半径的球为)(0M B R ,球面为).(0M S R ).()()(000M S M B M B R R R = 设))((00M B C u R ∈, 且在)(0M B R 内调和,则=)(20041)(M S R dS u R M u π证明: 先假设)),(())((0102M B C M B Cu R R ∈由中的基本积分公式,-??-=)(0000)(1)1()(41)(M S MM MM R dS n M u r r n M u M u π=)(20)(41M S R dS M u R π+)(0)(41M S R dS n M u R π=)(20)(41M S R dS M u R π若))((00M B Cu R ∈,则取R R <,在)(0M B R 上有=)(20041)(M S RdS u R M u π 取极限R R →即可.注1. 上调和(0≤u ?): ??≥)(20041)(M S R dS u R M u π下调和(0≥u ?): ??≤)(20041)(M S R dS u R M u π注2.平()θ?θ?θ?θθπ?θρππcos ,sin sin ,cos sin sin ),,(41),,(000200000R z z R y y R x x d d z y x u u +=+=+==注3.()()??++===πθθθππ200000)(0sin ,cos 21)(21)(20d R y R xu M M S uds RM u n R M S R 为圆心的圆周：以时的平均值公式：4. 极值原理,min min ,max max ,,,,u u u u u ΓΩΓΩ==ΩΩΓΩ=ΩΓ=Ω?Ω则上连续内调和且在在若为有界区域设.,,,,,)(1.v u v u v u v u ≡≤Ω≤ΩΩΓΓ且等号成立当且仅当内恒成立则在且上连续在内调和在设顺序原理注.,:.2与最低点温度在边界取到最高点时稳定温度场内部无热源物理意义注uu f u u u f u C C u ΓΓΩ=?≤=?=?≥=?ΩΩ∈min min 0max max 0),()(3.12则设注例题()()球上的最大值与最小值球心处的值和在试求为球坐标题设有单位球内的定解问u r u r u r .,,sin cos sin cos 1013?θ?θθ+++=<=?= ()4sin 41sin sin cos sin cos 41)0,0,0(2002200π?θθπ?θθ??θθπππππ==+++=d d d d u ()()21sin cos sin cos min min 22sin cos sin cos max max 11--=+++==+++=≤≤??θθ??θθu u r r5. Dirichlet 内问题解的唯一性与稳定性内问题??=∈=gu x f u ΓΩ?)(唯一性: 考虑相应的齐次问题=∈=0)(0ΓΩ?u x u .0min min ,0max max ====u u u u ΓΓΩ.0≡u稳定性: 连续依赖于边界条件.考虑=∈=g u x u ΓΩ?)(0,====g u u g u u ΓΓΓΓΩmin min min ,max max max .m a x m a x g u ΓΩ=§4 Green 函数及其应用4.1 Green 函数 1. G reen 函数的定义设3R ?Ω为有界区域,ΓΩ=?.设函数),()(,12ΩΩC Cg u ∈若g 在Ω中调和,则-??+=ΓΩ?dS n ug n g u udx g )(0设Ω∈0M ,已知基本积分公式ΓΩ-??-?-=dSn M u r r n M u dxr uM u MM MM MM ])(41)41()([4)(0000πππ相加得ΓΩ---??--?-=dS nM u g r g r n M u dxg r u M u MM MM MM ])()41()41() ([)41()(0000πππ因此选),(0M M g g =满足==ΓΓ?0410MM r g g π 称函数),(41),(000M M g r M M G MM -=π为Green 函数. 易知),(0M M G 除0M M=外关于变量M 处处满足调和方程,且0),(0=∈ΓM M M G .注1. 对Dirichlet 问题==?Γu fu ,ΓΩ--=dSn M M G M dxM f M M G M u ),()()(),()(000?注2. 对二维情形,Green 函数为),(1ln 21),(000M M g r M M G MM -=π 其中g 满足??==ΓΓ?01ln 210MM rg g π2. Green 函数的意义1) G reen 函数仅依赖于区域,而与边界条件无关. 2) 特殊区域上的Green 函数可用初等的方法求出. 3) 利用Green 函数求解的积分公式可以讨论解的性质. 4) 有明显的物理意义:在接地的导电闭曲面Γ内的点0M 处放一单位正电荷,则Γ内任一点M 处的电位为),(0M M G ,它由两部分组成:即0M 处电位正电荷产生的电位41MM r π与Γ内表面上感应负电荷产生的感应电位),(0M M g -.而且导体表面的电位恒为零. 3. Green 函数的性质 1))1(),(00MM r O M M G =事实上,),(411),(0000M M g r r M M G MM MM -=π而+∞<≤041max ),(0MM r M M g πΓ)(0),(000M M M M g r MM →→? 2) 1),(0-=ΓdS n M M G (只需取1≡u 即可.)3) 041),(00MM r M M G π<<.事实上, 由极值原理, 041min min ),(00>=>MM r g M M g πΓΓ, 即 041),(0MM r M M G π<.0,0),(,,00=>Γ?≠?ΓΓG G M M M 而使得充分小球面为半径的以为球心以εεεε.0min ),(G 0=>?G M M G εεΓΓΓΓ 所围的区域内调和与在由4) .),(),(),(211221中不重合的两点为ΩM M M M G M M G =事实上,.),(),(),(),(,,,,2121212121内调和在与则所围区域与、由使得充分小为半径的球面以为球心、分别作以εεεεεεεεΩΓΓΓΩ∈ΓΓ≠?M M G M M G M M M M M M -=εΩ??dx M M G M M G M M G M MG )),(),(),(),((01221-??=21)),(),(),(),((1221εεΓΓΓ dSn M M G M M G n M M G M M G -??=ΓdS n M M G M M G n M M G M M G )),(),(),(),((1221-??+1)),(),(),(),((1221εΓdSn M M G M M G n M M G M M G-??+2)),(),(),(),((1221εΓdS nM M G M M G n M M G M M GIII II I ++=).,(lim ),,(lim 0,120210M M G M M G -===→→III II I εε易知4.2 静电源像法当区域具有某种对称性时,感应负电荷产生的电位可以用在相应的对称点放置的假想负电荷产生的电位来取代------这种求Green 函数的方法称为静电源像法. 1. 上半空间的Green 函数{};41,0z z)y,(x,00MM r M M π点产生的电位为它对单位正电荷处放中的点在上半空间>),,,(0),,,(00011000000z y x M M z M z y x M M -===的对称点关于平面则设141,1MM r M M π-产生的电位为则它对放单位负电荷在104141),(0MM MM r r M M G ππ-=++-+---+-+-=202020202020)()()(1)()()(141z z y y x x z z y y x x π=>==),()0(0Dirichlet 0y x f u z u z ? 问题考虑, dxdy z G y x f z y x u z 0000),(),,(=∞+∞-∞+∞-= []∞+∞-∞+∞-+-+-=232020200)()(),(2z y y x x dxdy y x f z π. ),(),,(],1ln 1[ln 21),(Green .00110000010y x M M y x M M r r M M G MM MM -==-=其中函数为上半平面的注π∞+∞-=+-==>=?2200000)()(),()()0(0Dirichlet y x x dxx f y y x u x f u y y π的解为问题2. 球的Green 函数 ,),0( ,),0(10M R B R B M 反演点为的它关于球面内的一点为球设?=Γ 210R r r O M O M =?.441,,1010MM MM r qr M q M M ππ与产生的电位分别为它们对单位负电荷放在放单位正电荷在.,441100Γ∈=?P r qr PM PM 其中消这两个电位在球面上抵ππ 00100,OM PM PM r R r r q ===?ρρ其中)1(41),(1000MM MM r Rr M M G ρπ-=?=<==fu R r u R r )(0Dirichlet ?问题考虑2101221022001cos 2,cos 2,cos ),cos(,,101R G nGr r OM OM r r RMM MM OM OM =??=-+=-+=====Γρρργρρρργρρρργρρρ及并注意到则记-+-=?ΓdS f R R R R M u 2302022020)cos 2(41)(γρρρπ≤<≤≤≤≤??===R z y x ρπ?πθθρ?θρ?θρ0200cos sin sin cos sin 利用球坐标变换 ) Poisson (sin ),,()cos 2(4),,(2023020222000公式??-+-=ππθθ?θγρρρπθρd d R f R R R R u)cos ,sin sin ,cos (sin )cos ,sin sin ,cos (sin 1.000000??θ?θθ?θ?θ的方向余弦为的方向余弦为注OM OM)cos(sin sin cos cos cos 000??θθθθγ-+=? ]ln 1[ln 21),( Green 2.1000MM MM r Rr M M G ρπ-=函数为园的注 )P o i s s o n ()()c o s (221),(D i r i c h l e t 20002022200公式问题的解为相应的?--+-=πθθθθρρρπθρd f R R R u。

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