宝典快递数学重点难点疑点分析续篇

宝典快递：数学重点难点疑点分析续篇

——一元函数积分学的复习

来源：文都教育

一元函数积分学是微积分的重要组成部分，在整个高等数学中也占有相当重要的位置，它是积分学的基础。重积分、曲线积分、曲面积分等，除了定义、性质等与定积分类似之外，它们的计算最终都归结为定积分的计算。积分和微分在一定条件下可以看作是互为逆运算，但积分的计算远比微分的计算要困难、灵活得多，就像我们小学时学习减法、除法要比加法、乘法要难得多一样，这就需要我们在学习的过程中不断总结、不断积累，为达到这个目标，文都教育集团数学考试辅导中心推出了系统的解决方案，老师们认为，掌握常见的方法和技巧。

一元函数积分学包括不定积分和定积分两部分，定积分是核心，从某种意义上来说，不定积分处于辅助地位，但它为定积分的计算提供了一种便利的工具。在积分的计算中，无论是不定积分还是定积分，常用的几种基本方法如：分项积分法、分段积分法、换元积分法、分部积分法一定要熟练掌握。若干类函数的积分也应掌握，如：有理函数的积分、简单无理函数的积分、三角有理函数的积分，特别是对三角有理函数的积分要注意对被积函数的变形。一般地说，借助于牛顿—莱布尼茨公式，若不定积分可求，定积分就迎刃而解。但由于定积分的特殊性，它的计算又有许多技巧和方法，需下一定的功夫去掌握。

一元函数的定积分在实际中的应用很广泛，包括在几何、物理、经济中的应用，不一定非要死记一些公式，要理解其蕴含的思想，特别是微元法的运用。对于反常积分，只要会用定义进行简单的计算即可。

三、一元函数积分学

1．奇偶函数在对称区间上的定积分

若f(x)为[-a,a]上的奇函数，则

)

(=

⎰-a a dx

x

f

。

若f(x)为[-a,a]上的偶函数，则

⎰

=

⎰-a

a

a

dx

x

f

dx

x

f

)

(

2

)

(

。

2．第二换元积分法中常用的几种代换

当被积分函数中含有

2

2x

a-

时，令

t

a

x sin

=或t

a cos。

当被积分函数中含有

2

2x

a+

时，令

t

a

x tan

=或t

a cot。

当被积分函数中含有

2

2x

a+

-

时，令

t

a

x sec

=或t

a csc。

当被积分函数的分母变量因子x的次数比分子高时，令

t x/1 =。

3．分部积分法中u,v 的选择方法

（1）⎰⎰⎰

xdx x p xdx x p dx e x p n

n

x

n

cos )(,sin )(,)(中，)(x p n

为

n 次多项式，一般选取

)(x p u n

=，分别取

xdx dv xdx dv dx e dv x

cos ,sin ,===。

（2）⎰⎰⎰xdx x p xdx x p xdx x p n

n

n

arctan )(,arcsin )(,ln )(中，

)(x p n

为n 次多项式，一般分别选取

x u x u x u arctan ,arcsin ,ln ===，

取dx x p dv n )(=。

（3）⎰⎰

bxdx e bxdx e ax

ax

cos ,sin 中，可选取ax

e u =，分别取

bxdx dv bxdx dv cos ,sin ==

也可分别取

dx e dv bx u bx u ax

===,cos ,sin 。

4．变上（下）限定积分的导数

设f(x)在[a,b]上连续，a (x),b (x)在[a,b]上可导，则

)()(),()(x f dt t f dx d

x f dt t f dx d b

x

x

a

-=⎰=⎰，

)

()]([)(),()]([)(/

)

(/)

(x a x a f dt t f dx

d

x b x b f dt t f dx d b

x a x b a

-=⎰

=⎰

)

()]([)()]([)(/

/

)

()

(x a x a f x b x b f dt t f dx

d x b x a -=⎰

5．常用的广义积分公式

⎰=

∞

+-0

2

2

π

dx e x

2

tan sin 0

π

⎰=⎰=∞

+∞+dx x x dx x x

)

0(1

)1(11

1

>⎪

⎩⎪

⎨⎧>-≤∞+⎰

=-∞+a p a

p p x dx p p

)

0(1

1110

>⎪

⎩⎪⎨⎧≥∞

+<-⎰

=-a p p p a x dx p

a p

————摘自《高等数学过关与提高》