余数问题之韩信点兵
韩信点兵
简介：韩信点兵又称为中国剩余定理，乃由于相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
韩信点兵是一个很有趣的猜数游戏，随便抓一把蚕豆粒，假若3个一数余1粒，5个一数余2粒，7个一数余2粒，那么所抓的蚕豆有多少粒?这类题目看起来是很难计算的，可是中国古时却流传着一种算法，它的名称也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔墙算」；杨辉叫它「剪管术」；而比较通行的名称是「韩信点兵」。
最初记述这类算法的是一本名叫「孙子算经」的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做「大衍求一术」，流传到西洋以后，外国化称它是「中国剩余定理」，在数学史上是极有名的问题。
至于它的算法，在「孙子算经」上就已经有了说明：“凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五”，而且还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
这就是韩信点兵的计算方法，《孙子算经》中给出了其中关键的步骤是：但在《孙子算经》中并没有说明求乘数的方法，直到1247年宋代数学家秦九韶在《数书九章》中才给出具体求法：70是5与7最小公倍的2倍，21、15分别是3与7、3与5最小公倍数的1倍。
秦九韶称这2、1、1的倍数为“乘率”，求出乘率，就可知乘数，意思是说：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的），5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的），7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的），最后将70、5、15这些数加起来，若超过105，就再减掉105，所得的数便是原来的数了。
根据这个道理，你就可以很容易地把前面一个题目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37。
韩信点兵的故事及数学知识
韩信点兵的故事及数学知识
韩信点兵的故事是一个著名的数学问题，它在中国古代数学史上占有重要地位。
这个故事描述的是韩信在点兵时，通过利用余数的方法来判断士兵的数量。
故事背景是秦朝末年，楚汉相争时期。
韩信作为刘邦的部下，需要点兵迎战。
他让士兵们每排站3人，结果多出2名；每排站5人，结果多出3名；每排站7人，结果多出2名。
通过这一系列条件，韩信得知了总共有1073名士兵。
这个问题的核心是利用余数来判断士兵的数量。
当士兵们每排站3人时，多出2人，即士兵总数除以3的余数是2。
同样地，当每排站5人时，多出3人，即士兵总数除以5的余数是3。
当每排站7人时，多出2人，即士兵总数除以7的余数是2。
因此，我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。
中国剩余定理是指在整数系中，给定一组线性同余方程（组），存在一个整数n，使得n对这组同余方程（组）的余数均为0。
在这个问题中，我们可以设士兵总数为n，那么n对3、5、7的余数分别为2、3、2。
因此，我们可以得到一组线性同余方程：
n ≡ 2 (mod 3)
n ≡ 3 (mod 5)
n ≡ 2 (mod 7)
通过解这组方程，我们可以得到士兵的总数为1073。
这个故事展示了数学在古代中国的广泛应用。
通过数学方法来解决实际问题，不仅体现了数学的实用性，也展示了古代中国在数学领域的卓越成就。
韩信点兵同余问题
二韩信点兵例1我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
例2有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数是几？不求被12除的余数，而是求这个数是几？.很明显，这个数最小是5，满足条件的数是很多的，它们是5＋12×n (n=0，1，2，3…)，事实上，我们首先找出5后，注意到12是3，4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例3秦朝末年，楚汉相争.韩信帅1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
韩信点兵--剩余定理
《孙子算经》
6
二．问题的解答
1．从另一个问题入手
问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三
数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数
之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之
剩8，问物几何？
7
1）筛法
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
21，23，25，… 5， 11， 17，
和余 ，使 a bq r , 0 r b
12
当余 r 0 时，则 a bq ，称为 “ a被b 整除”，或 “ b
a q 法“ b
a ”，这是通常除 整除
” 的另一种表达形式。所以，
带余
除法是通常除法的推广。
13
回到求“用2除余1的数”的问题。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 这 样的数为
x
，则
x 2n1 1
n1
。这里
x
是
被除数， 0 12 2是除数，
是商，1是余，
且
。
14
x 2n1 1(0 1 2), 这就是“带余除
法”的式子。当取n1 0,1, 2,3, 4,
用上式求得的 x 正好组成上述数列 1，3，5，7，9，11，13，15， 17，19，21，23，25，…
时，
15
y 3n1 y 5n2 1 (2); y 7n 3
z 3n1 (3) z 5n2 z 7n 1 3
（1）式意味着，在5和7的公倍数中（35，70， 105，…）寻找被3除余1的数； （2）式意味着，在3和7的公倍数中（21，42， 63，…）寻找被5除余1的数； （3）式意味着，在3和5的公倍数中（15，30， 45，…）寻找被7除余1的数。
奥数韩信点兵
[阅读材料]世界名题与小升初之：韩信点兵问题在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。
例1：韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）这个数就满足要求。
韩信点兵问题，是后人对物不知其数问题的一种故事化。
这个问题俗为［韩信点兵］，又叫做「秦王暗点兵」、「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「神奇妙算」、「大衍求一术」等等），它属于数论(Number theory) 中的「不定方程问题」(Indeterminate equations)。
例2：物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。
在《孙子算经》里（共三卷，据推测约成书于公元400年左右），下卷的第26题，就是鼎鼎有名的「孙子问题」原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？"这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。
如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。
问：这批物品共有多少件？变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。
求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。
中国剩余定理——韩信点兵
中国剩余定理——韩信点兵民间传说着一则故事韩信点兵。
秦朝末年，楚汉相争。
一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是神仙下凡、神机妙算。
于是士气大振。
一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。
交战不久，楚军大败而逃。
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为韩信点兵.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为中国剩余定理，这是由中国人首先提出的.①有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23.它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，.除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，.它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，.一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋12整数，整数可以取0，1，2，，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把除以3余2，除以4余1两个条件合并成除以12余5一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：当某数被3除余1对，即写上70（因为70是5和7的倍数，是3的倍数多1），余2时即写702＝140，这140仍是5和7的倍数，是3的倍数余2。
韩信点兵与中国剩余定理(2-2)
化繁为简的思想
当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这就 是化繁为简。
一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本质， 那么简化就“不失一般性”。
学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的数学能 力。
寻找规律的思想
把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃： ——找到规律了。
来就综合考虑两者，则就是要解联立方
程组
x x
2n1 3n2
1中的x. 2
18
那么，为了解这个方程组，除了刚才的筛法 外，还有没有更加巧妙的解法？
我们考察上边两个方程的特点，发现，两个 “带余除法”的式子，都是“余数比除数少1”。
于是想到，如果把被除数再加1，不是余数就为 0了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？
22
x 1 k [2,3,4,5,6,7,8,9] k 2520,k 1,2,3,L
即 x 2520k 1,k 1,2,3,L
这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中第 一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的 个数”总是正整数。
23
[思]： ① 求“用2除余1，3除余2，… 用m除余 m－ 1”的数。 ② 求“用a除余a －1，用b除余b－1，用c 除余c－1”的数。
x x
3n1 5n2
2 3
(*)
x 7n3 2
我们先对前几页（*）式作两个方面的简化：一方面是每 次只考虑“一个除式”有余数的情况（即另两个除式都是整 除的情况）；另一方面是把余数都简化为最简单的1。这样 得到三组方程。
x x
3n1 5n2
1
(1);
x 7n3
y
y
3n1 5n2
韩信点兵问题的神算法
韩信点兵问题的神解法定理1：一个数除以a余数x，除以b余数y，a、b互质且a<b，求这个数的最小值。
设这个数为z，则z=b(an+x-y)/(b-a)+y (1)或z=a(bn+x-y)/(b-a)+x (2)其中n为使(bn+x-y)/(b-a)为正整数的最小值。
证明：设z=al+x=bm+y 则：al+x-y-am=(b-a)m所以m=(a(l-m)+x-y)/(b-a)将变量l-m用独立变量n代替：m= (an+x-y)/(b-a)将m代入以上等式得到：z=b(an+x-y)/(b-a)+y同理可以证明等式2定理2：在定理1等式中，0<=n<=b-a。
证明：从定理1等式中可知n=l-m，因为a<b，所以l>=m，故n>=0假设n=h(b-a)+k，k<=b-a 代入以上算式z=b(ah(b-a)+ak+x-y)/(b-a)+y=ahb+b(ak+x-y)/(b-a)，由此可知，n可以取值为k。
根据以上两个定理来计算韩信点兵问题，具有两个方面的优点：1、将两个变量合并成了一个变量，从而只需要尝试一个变量即可。
2、这一个变量的范围被两个除数的值界定，需要尝试的最多次数是确定的。
例1：一个数除以9余5，除以13余4，求这个数的最小值列出算式：13*(9n+5-4)/(13-9)+4=13*(9n+1)/4+4显然能让相除结果为整数的n的最小值为3，代入则得：13*(9*3+1)/4+4=95。
例2：一个数除以13余10，除以17余5，求这个数的最小值列出算式：17*(13n+10-5)/(17-13)+5=17*(13n+5)/4+5显然能让相除结果为整数的n的最小值也为3，代入则得：17*(13*3+5)/4+5=192以上算法比传统算法更简便，但依然有缺陷，即如果除数的值比较大时，要获得满足条件的n的值尝试的次数也会相应增大，从而对于大数相除时也会计算量太大，无法手算，用计算机计算也会比较耗时。
歇后语典故之韩信点兵
歇后语典故之韩信点兵本文是关于歇后语典故之韩信点兵，感谢您的阅读！小编为需要歇后语作文素材的朋友精心收集整理，仅供参考。
内容如下：汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。
现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。
”韩信满不在乎地说：“可以可以。
”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。
”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。
”“刘邦又传令：“每五人站成一排。
”小队长报告：“最后一排只有三人。
”刘邦再传令：“每七人站成一排。
”小队长报告：“最后一排只有二人。
”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。
”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。
”一面则佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法，口诀是：三人同行七十稀，五树梅花开一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。
”刘邦出的这道题，可用现代语言这样表述：“一个正整数，被3除时余2，被5除时余3，被7除时余2，如果这数不超过100，求这个数。
”《孙子算经》中给出这类问题的解法：“三三数之剩二，则置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五，一百六以上，以一百五减之，即得。
”用现代语言说明这个解法就是：首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15。
韩信点兵问题
韩信点兵问题韩信点兵问题又称“中国剩余定理”或“孙子定理”。
这种问题好多老师的讲解方法很笨拙，同学们做起来也很吃力，不少好学生在考试时，用了大量的时间研究这道题，为了提高我们的解题速度及正确率，现将我的经验和解题技巧提供给大家。
这类问题的解法根据是：1、如果被除数增加除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。
例如：19÷7=2 (5)（19+2×7）÷7=4 (5)2、如果被除数扩大若干倍，除数不变，那么余数也扩大同样的倍数。
例如：20÷9=2 (2)（20×3）÷9=6 (6)例1、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1.求适合这些条件的最小数。
【5，6】=30 因为30÷7=4……2 不余1，要想余数为1，就得将余数2扩大4倍，即被除数扩大4倍，得30×4=120，所以120除以7余1。
【5，7】=35 因为 35÷6=5……5 ，要想余数为4，就得将余数5扩大2倍，那么被除数30就得扩大2倍，即35×2=70所以70÷6余4.【6，7】=42 因为42÷5=8……2 要想符合题中要求余3的话，余数2就得扩大4倍，即被除数扩大4倍，得42×4=168，168除以5余3.现找到的符合题中条件的一个数为：120+70+168=358 ，但不是最小的数，要想最小，就得减去除数5、6、7的最小公倍数，直到不够减为止。
【5，6，7】=210 ， 358-210=148 ，所以答案为148完整的算式为：【5，6】=30 30÷7=4……2 30×4=120【5，7】=35 35÷6=5……5 35×2=70【6，7】=42 42÷5=8……2 42×4=168【5，6，7】=210120+70+168=358 358-210=148答：符合条件的最小的数是148.注：也可能会出现四个除数，不管有几个除数，都是用其它几个数的最小公倍数除以另外一个数，再找符合该条件的余数的被除数。
歇后语典故之韩信点兵
歇后语典故之韩信点兵导读：小编为需要歇后语作文素材的朋友精心收集整理，仅供参考。
内容如下：汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。
现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。
”韩信满不在乎地说：“可以可以。
”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。
”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。
”“刘邦又传令：“每五人站成一排。
”小队长报告：“最后一排只有三人。
”刘邦再传令：“每七人站成一排。
”小队长报告：“最后一排只有二人。
”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。
”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。
”一面则佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法，口诀是：三人同行七十稀，五树梅花开一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。
”刘邦出的这道题，可用现代语言这样表述：“一个正整数，被3除时余2，被5除时余3，被7除时余2，如果这数不超过100，求这个数。
”《孙子算经》中给出这类问题的解法：“三三数之剩二，则置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五，一百六以上，以一百五减之，即得。
”用现代语言说明这个解法就是：首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15。
所求数被3除余2，则取数70×2=140，140是被5与7整除而被3除余2的数。
韩信点兵剩余定理
x x 7 7 0 0 3 5 ( (n n 1 2 2 1 3 4 ) ) x 7 0 7 (n 3 1 0 )
x 7 0 k 1 [3 ,5 ,7 ] k 11 0 5 x 1 0 5 k 1 7 0 ,k 1 0 ,1 ,2 ,
（2）式两边同减21变为
y y 2 2 1 1 3 5 ( (n n 1 2 7 4 )) y 2 1 7 (n 3 3 )
19
对整个问题寻找规律
问题： 今有物不知其数，二二数之剩1，三三
数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六 数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九 数之剩8，问物几何？
20
②寻找规律
设问题中，需要求的数是 x ，则 x 被2，
3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都
是比除数少1，于是我们把被除数x x 再加1，
8，23，…
（用5除余3）
23，…
由此得到，23是最小的一个解。
（用7除余2）
至于下一个解是什么，要把“…”写出来才知道； 实践以后发现，是要费一点儿功夫的。
25
2）公倍数法 现在仿照上边用过的“公倍数法”，
设要求的数为 x ，则依题意，得联立
方程组
xx 53n n12 23
(*)
x7n32
① 化繁为简
我们还是先看只有前两个条件的简化题目。
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，… （ 用2除余1）
5， 11， 17， 23， …
（ 用3除余2）
上述筛选过程的第一步，得到: 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…
其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数列 实际上是用带余除法的式子得到的。
二年级数学下册韩信点兵
二年级数学下册第
韩信点兵
韩信是我国汉代著名的大将，曾经统率过千军万马，他对手下士兵的数目了如指掌。
他统计士兵数目有个独特的方法，后人称为“韩信点兵”。
他的方法是这样的，部队集合齐后，他让士兵1、2、3－－1、2、3、4、5－－1、2、3、4、5、6、7地报三次数，然后把每次的余数再报告给他，他便知道部队的实际人数和缺席人数。
他的这种计算方法历史上还称为“鬼谷算”，“隔墙算”，“剪管术”，外国人则叫“中国剩余定理”。
有人用一首诗概括了这个问题的解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。
这意思就是，第一次余数乘以70，第二次余数乘以21，第三次余数乘以15，把这三次运算的结果加起来，再除以105，所得的除不尽的余数便是所求之数（即总数）。
例如，如果3个3个地报数余1，5个5个地报数余2，7个7个地报数余3，则总数为52。
算式如下：1×70＋2×21＋3×15＝157
157÷105＝1 (52)
二年级数学下册第。
小学奥数韩信点兵典型例题和解题思路
韩信点兵典型例题与解题思路一、基本原理：⏹a÷b...r 表示方式b|（a-r），b|（a+b-r），其中r为余数，减去余数就可以整除；b-r意味着如果再补这么多数据，就可以整除。
如10÷3=3...1。
如余数为1，10-1=9，可以整除；1缺少2，如果补3-1=2，就可以整除，也就是10+2可以整除。
⏹m|a，n|a，p|a，相当于【m，n，p】|a（1）A÷3...1；A÷4...1；A÷6...1 【3,4,6】|（A-1）---A-1=12K---A=12K+1 （2）A÷3...2；A÷4...3；A÷6...5；补数相同为1，【3,4,6】|（A+1）---A+1=12K---A=12K-1二、基本规律1）减同余若a÷m...r；a÷n...r；则【m,n】|（a-r）2）加同补（补数，除数-余数）若a÷m...r1；a÷n...r2；且m-r1=n-r2则【m,n】|（a+m-r）3）逐级满足（1）A÷3 (2)（2）A÷5 (3)由（2）得A-3=5K A=5K+3 (3)将（3）代入（1），的（5K+3）÷3 (2)3|（5K+3-2）3|（3K+2K+1）3|（2K+1）K最小为1A=5×1+3=8三、例题例1、一个大于10的自然数除以4余3，除以6余3，则这个数最小为多少？解：A÷4...3 A÷6...3----------[4,6]|(A-3)A-3 = 12K A=12K+3 K=1，A=15例2、一百多个苹果，3个3个数多2个，5个5个数剩2个，7个7个数缺5个，则苹果有多少个！解：A÷3...3 A÷5...2 A÷7...2----------[3,5,7]|(A-2)A-2= 105K A=105K+2，当K=1，A=107例3、一个自然数除以6余2，除以8余4，这个数最小为多少？解：A÷6...2 A÷8...4------------【6,8】|（A+4）A+4 =24K A=24K+4当K=1时，A=24×1-4=20例4，一个自然数除以7余1，除以9余2，这个自然数最小为多少？（1）A÷7 (1)（2）A÷9 (2)由（2）得A=9K+2 (3)将（3）代入（1），的（9K+2）÷7 (1)7|（9K+1）7|（7K+2K+1）7|（2K+1）K最小为3A=9K+2=29例5、有一个自然数，被3除余1，被5除余2，被7除余3 （1）求这个自然数的最小值（2）用含字母K来表达这个数解：A=52+105K。
五年级第五讲韩信点兵
第五讲韩信点兵一、学法指导我国古代“算经十书”之一的《孙子算经》中，有这样一道题：“今有物不知其数，凡三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这就是著名的韩信点兵问题，这道题的意思是，一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合这个条件的最小数。
在带余数的除法中，被除数= 除数×商+余数。
由此可以推出我们常用到的下列性质：1.一个自然数n被另一个自然数m除时，余数只可能是：0，1，2，……，（m-1）。
2.如果两个整数a、b除以同一个数m，而余数相同（即同余），那么a和b的差能被m整除。
3.如果除数不变，同余的两个被除数扩大同样的倍数后，仍然同余；同余的两个数分别加上除数的倍数后，余数不变。
4. 如果整数a和b除以自然数m，所得余数相同，那么a n和b n除以m，所得的余数也相同。
二、例题：例1、有一堆苹果，不论分成5个一堆，还是8个一堆，最后都多出2个。
这堆苹果至少有多少个？例2、一个自然数，除以4余2，除以10余8，除以25余23.这个数最小是多少？例3、一堆糖果，4个一数多1个，9个一数多4个，11个一数多9个，这堆糖果至少有多少个？例4、一个数，除以5余1，除以7余2，除以9余4. 这个数最小是多少？例5、某班同学排队，如果每队3人，就多出1人；每排5人，就多出3人；每排7人，就多出2人.这个班至少有多少同学？例6、学生们在操场上列队做操，只知道人数在90～110之间。
如果排成3列则人数不多也不少；如排成5列则少2人；如排成7列则少4人，问其有学生多少人？例7、如果某数除492，2241，3195都余15，那么这个数是多少？例8、713，1103，830，947被某一自然数除，所得余数相同（不为零），求除数。
三、练习A卷、基本能力训练1.同学们做操,无论排成6人一行,8人一行,10人一行,最后一行都只站3人。
至少有多少人做操?2.一个整数,除以8缺3,除以12余5，除以18余5.这个数最小是多少?3.一个数除以5余4,除以9余7.这个数最小是多少?4.一个数,除以3余2,除以5余4,除以7余3,这个数最小是多少?5.一个数除以3余1, 除以5余3,除以7余4,这个数最小是多少?6.一个数除以6余1,除以11余4,这个数最小是多少?7.在1—100中,哪个自然数除以3,除以5都余1.且能被7整除?8.有一堆小棒,9根一捆多7根.10根一捆多8根.15根一捆多13根。
韩信点兵的故事 韩信点兵歇后语故事
韩信点兵的故事韩信点兵歇后语故事韩信(约公元前231年-前196年)，汉族，淮阴(原江苏省淮阴县，今淮安市淮阴区)人，西汉开国功臣，中国历史上杰出军事家，与萧何、张良并列为汉初三杰，与彭越、英布并称为汉初三大名将。
关于韩信点兵的故事!下面我们一起来看看吧!韩信点兵的故事汉高祖刘邦曾问大将韩信：你看我能带多少兵?韩信斜了刘邦一眼说：你顶多能带十万兵吧!汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我!那你呢?韩信傲气十足地说：我呀，当然是多多益善啰!刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：将军如此大才，我很佩服。
现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。
韩信满不在乎地说：可以可以。
刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：每三人站成一排。
队站好后，小队长进来报告：最后一排只有二人。
刘邦又传令：每五人站成一排。
小队长报告：最后一排只有三人。
刘邦再传令：每七人站成一排。
小队长报告：最后一排只有二人。
刘邦转脸问韩信：敢问将军，这队士兵有多少人?韩信脱口而出：二十三人。
刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：此人本事太大，我的想法找个岔子把他杀掉，免生后患。
一面则佯装笑脸夸了几句，并问：你是怎样算的?韩信说：臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法。
韩信点兵的故事上面我们也说道了韩信用兵的故事，下面我再来继续说说韩信那些被民间津津乐道的七个故事。
1、跨下之辱韩信小时候父母双亡，家道贫寒，屡屡遭到周围人的歧视。
有一天，一群恶少当众羞辱韩信，说：你虽然长得又高又大，喜欢带刀配剑，其实你胆子小得很。
如果你真有本事，你就用你的配剑来刺我;如果不敢，你就从我的裤裆下钻过去。
韩信自知形只影单，硬拼肯定吃亏，于是，当着许多人的面，从那个恶少的裤裆下钻了过去。
2、莫以富贵论英雄韩信家境贫寒，常常只能到一位与他有交情的小官吏家中去吃白食，可是时间一长，小官吏的妻子对他产生了反感，便有意提前吃饭，等韩信来到时已经没饭吃了，于是韩信很恼火，就与这位小官绝了交。
韩信点兵古代的数学文化讲解
韩信点兵古代的数学文化讲解
韩信点兵古代的数学文化讲解
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少?
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的.积)，然後再加3，得9948(人)。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何?」
答曰：「二十三」
术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。
」
孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
韩信点兵背后的数学故事
韩信点兵背后的数学故事韩信点兵的典故出自《史记》。
汉高祖刘邦问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信回答说：“陛下你最多能带十万兵吧！”汉高祖听了不大高兴，于是问：“那你呢？”韩信非常骄傲地说：“我来点兵，当然是多多益善！”刘邦心中更加的不高兴了，就想了个方法为难韩信。
他命令一小群士兵在墙外排队。
刘邦命令三个人站成一排。
不久之后，有人进来报告说，最后一排只有两个人。
刘邦命令五个人站成一排。
然后有人报告说最后一排只有三个人。
刘邦再次命令七个人站成一排。
据报道，最后一排只有两个人。
这时，刘邦望向韩信问：“敢问将军，这队士兵总共有多少人？”韩信想也没想，脱口而出：“二十三人。
”刘邦大惊，心生杀机。
其实放在现代，这个问题转换成数学思想就是：“一个正整数，被3除时余2,被5除时余3,被7除时余2,如果这数不超过100,求这个数首先，找出可以被5和7除3的数字70，可以被3和7除5的数字21，以及可以被3和5除7的数字15。
所求数被3除余2,则取数70×2=140,140是被5与7整除而被3除余2的数。
如果所需数字除以5，余数为3，则数字为21×3=63，63是3除以3和7，再除以5的数字。
所求数被7除余2,则取数15×2=30,30是被3与5整除而被7除余2的数。
此外，140+63+30=233。
因为63和30可以被3除，所以233和140被3除的余数是相同的，也就是余数2。
同样，233和63被5除的余数是相同的。
233和30有相同的余数除以7。
他们都是2岁。
因此，233是一个符合主题要求的数字。
而3、5、7的最小公倍数是105,所以233加减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求。
由于所求仅是一小队士兵的人数，这意味着人数不超过100,所以用233减去105的2倍得23即是所求。
资料来源：初中化学硕士。
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余数问题之韩信点兵
减同余、加同补：
例1、小林同学非常喜欢吃棒棒糖。
有一天，小林同学给自己买了一盒的棒棒糖。
他算了一下，如果他每天吃3个，最后剩下2个；如果每天吃4个，最后剩下2个；如果每天吃5个，最后剩下2个。
问小林同学买了至少多少个棒棒糖？
例2、小林同学非常喜欢吃棒棒糖。
有一天，小林同学给自己买了一盒的棒棒糖。
他算了一下，如果他每天吃3个，最后剩下1个；如果每天吃4个，最后剩下2个；如果每天吃5个，最后剩下3个。
问小林同学买了至少多少个棒棒糖？
【练习1】一个两位数除以4余3，除以7余3，问这个两位数至少是多少？
【练习2】一个自然数除以8余2，除以9余3，问这个数至少是多少？
【练习3】一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩下3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块。
这堆糖至少有多少块？
【练习4】一个小于100的自然数，除以3余2，除以7余2，则满足条件的自然数有哪些？
逐级满足：
例3、1）一个数除以3余2，除以5余4，问满足条件的最小自然数为多少？
2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余3，问满足条件的最小自然数为多少？
【练习1】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数？
【练习2】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为多少？
【练习3】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数。
例4、三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是多少？
三、拓展提高：
1、有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个。
那么这筐苹果至少_______个。
2、有一箱苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个，那么这箱苹果至少有个。
3、一个自然数能被11整除，除以13余12；除以15余13；这个数最小为_______。
4、一个自然数除以7、8、9后分别余1、2、3，而所得的三个商的和是570，这个数是多少？
5、一个自然数除以8、9、11后分别余2、7、3，而所得的三个商的和是622，这个数是多少？
【课后作业】
1、一个数除以2余1，除以3余1，除以4余1，除以5余1，则这个数至少是多少？
2、一个数除以
3、
4、
5、6的余数分别是2、3、4、5，则这个数至少是多少？
3、某类数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则小于50的这类数分别是多少？
4、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数为多少？
5、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小的自然数？
6、三个连续自然数，从小到大依次是8、
7、9的倍数，那么这三个数的和至少是多少？
【挑战题】一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是多少？。