2020-2021学年人教B版必修第一册 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 作业

第三章函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系课后篇巩固提升基础达标练1.如图所示的四个函数图像,在区间(-∞,0)内,函数f i (x )(i=1,2,3,4)中有零点的是( )A.f 1(x )B.f 2(x )C.f 3(x )D.f 4(x ),f 2(x )在(-∞,0)内与x 轴有交点,故f 2(x )在(-∞,0)内有零点.2.(多选题)函数f (x )=x 3-2x 2+3x-6的零点所在的区间可能是( ) A.0,52 B.[52,4] C.[1,74]D.[74,52]f (0)<0,f (-2)<0,f (4)>0,f (1)<0,f (52)>0,f (74)<0,所以零点在区间[74,52],0,52内.3.已知函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )-g (x )=-x-3,根据所给数表,判断f (x )的一个零点所在的区间为( )A.[-1,0]B.[0,1]C.[1,2]D.[2,3]4.函数f (x )是[-1,1]上的增函数,且f (-1)·f (1)<0,则方程f (x )=0在区间[-1,1]上( ) A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根f (x )在[-1,1]上是增函数,且f (-12)·f (12)<0,∴f (x )=0在[-12,12]上有唯一实根,∴f (x )=0在[-1,1]上有唯一实根.5.若函数f (x )在定义域{x|x ≠0}内是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,f (2)=0,则函数f (x )的零点有 ( ) A.一个 B.两个 C.至少两个D.无法判断函数f (x )在(0,+∞)内是减函数,f (2)=0,∴f (x )在(0,+∞)内的图像与x 轴只有一个交点,又∵f (x )在定义域{x|x ≠0}上是偶函数,∴f (x )在(-∞,0)内的图像与x 轴也只有一个交点,即f (-2)=0.故选B .6.设a<-1,则关于x 的不等式a (x-a )x-1a <0的解集为 .a<-1,所以a (x-a )x-1a<0⇔(x-a )x-1a>0.又a<-1,所以1a >a ,所以原不等式的解集是{x |x >1a或x <a}.|x >1a或x <a}7.二次函数f (x )=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表:则不等式ax 2+bx+c>0的解集是 .f (-2)=f (3)=0,且当x ∈(-2,3)时,f (x )<0,所以当x ∈(-∞,-2)∪(3,+∞)时,ax 2+bx+c>0.x|x<-2或x>3}8.若方程x 2+(k-2)x+2k-1=0一根大于1,另一根小于1,求k 的取值范围.f (x )=x 2+(k-2)x+2k-1.∵f (x )=0的一根大于1,另一根小于1,且函数图像开口向上, ∴f (1)<0,即3k-2<0.∴k<23,即k 的取值范围是-∞,23.9.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10 km 长的线路,问如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km 长,大约有200多根电线杆.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?.如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD中点E来查.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,故经过7次查找,即可将故障发生的范围缩小到50m~100m之间,即一、二根电线杆附近.能力提升练1.(多选题)(2020山东高一期末)已知函数f(x)=x2-2x-3,则下列结论正确的是()A.函数f(x)的最小值为-4B.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增C.函数f(|x|)为偶函数D.若方程f(|x-1|)=a在R上有4个不等实根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=4(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,最小值为-4,所以选项A正确;f(x)的对称轴为x=1,单调递增区间为(1,+∞),所以选项B不正确;令g(x)=f(|x|)=x2-2|x|-3,g(-x)=x2-2|x|-3=g(x),所以g(x)为偶函数,所以选项C正确;令h(x)=f(|x-1|)=(x-1)2-2|x-1|-3,f(|x-1|)=a零点转化为y=h(x)与y=a的交点,作出h(x)图像如图所示:图像关于x=1对称,当y=h(x)与y=a有四个交点时,两两分别关于x=1对称,所以x1+x2+x3+x4=4,所以选项D正确.故选ACD.2.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.[0,1)f(x)=2ax2-x-1.当a=0时,不符合题意;当a≠0时,若Δ=0,即a=-1,此时x=-2,不符合题意;若Δ>0,8,则有f(0)·f(1)=-1×(2a-2)<0,所以a>1.即a>-183.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则()A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b>0,c<0C.a<0,b<0,c>0D.a<0,b<0,c<0(0,0),(-2,0),(1,0)三个点.由图像过原点(0,0),知d=0.由图像过另外两点,可知f (x )=ax (x+2)(x-1),即f (x )=ax 3+ax 2-2ax.又由图像,得f (2)=2a (2+2)×(2-1)>0,可得a>0.又f (x )=ax 3+bx 2+cx+d ,所以b=a>0,c=-2a<0.综上可知a>0,b>0,c<0.4.在R 上定义运算☉:A ☉B=A (1-B ),若不等式(x-a )☉(x+a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.(-1,1) B.(0,2)C.-12,32D.-32,12(x-a )☉(x+a )=(x-a )(1-x-a ),∴不等式(x-a )☉(x+a )<1,即(x-a )(1-x-a )<1对任意实数x 恒成立,即x 2-x-a 2+a+1>0对任意实数x 恒成立,所以Δ=1-4(-a 2+a+1)<0,解得-12<a<32,故选C .5.(2019陕西西安高新一中模拟)函数f (x )=x 2-1x+1的零点个数为( ) A.0B.1C.2D.3f (x )=0得x 2-1x+1=0,∴x 2+1=1x,作出函数y=x 2+1与y=1x的图像,由于两个函数的图像只有一个交点,所以零点个数为1.6.在用二分法求方程x 3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)上,则下一步可判定该根所在区间为 .f (x )=x 3-2x-1,则可得f (1)=13-2×1-1=-2<0,f (2)=23-2×2-1=3>0,又f (32)=(32)3-2×32-1=-58<0,则下一步可判定该根所在区间为(32,2). (32,2)7.定义在R 上的偶函数y=f (x )在[0,+∞)内是减函数,函数f (x )的一个零点为12,求f (x 2-x )<0的解集.f (x )是偶函数,∴f (-x )=f (x )=f (|x|),又函数f (x )的一个零点为12,∴f (12)=0.由f (x )在[0,+∞)内是减函数,得f (x 2-x )=f (|x 2-x|)<0=f (12),可化为|x 2-x|>12,解得x<1-√32或x>1+√32.∴f (x 2-x )<0的解集为{x |x <1-√32或x >1+√32}. 8.已知关于x 的函数y=(m+6)x 2+2(m-1)x+m+1恒有零点. (1)求m 的范围;(2)若函数有两个不同零点,且其倒数之和为-4,求m 的值.当m+6=0,即m=-6时,函数为y=-14x-5显然有零点, 当m+6≠0,即m ≠-6时,∵由Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=-36m-20≥0,得m ≤-59.∴当m ≤-59,且m ≠-6时,二次函数有零点.综上,m 的取值范围为-∞,-59.(2)设x 1,x 2是函数的两个零点,则有 x 1+x 2=-2(m -1)m+6,x 1x 2=m+1m+6. ∵1x 1+1x 2=-4,即x 1+x 2x1x 2=-4, ∴-2(m -1)m+1=-4,解得m=-3.当m=-3时,m+6≠0,Δ>0符合题意,∴m 的值为-3.素养培优练已知函数f (x )=2x 2-8x+m+3为R 上的连续函数.(1)若函数f (x )在区间[-1,1]上存在零点,求实数m 的取值范围;(2)若m=-4,判断f (x )在(-1,1)上是否存在零点?若存在,请在精确度为0.2的条件下,用二分法求出这个零点所在的区间;若不存在,请说明理由.易知函数f (x )在区间[-1,1]上单调递减,∵f (x )在区间[-1,1]上存在零点, ∴{f (-1)≥0,f (1)≤0,即{2+8+m +3≥0,2-8+m +3≤0,∴-13≤m ≤3,∴实数m 的取值范围是[-13,3].(2)存在.当m=-4时,f (x )=2x 2-8x-1,易求出f (-1)=9,f (1)=-7.∵f (-1)·f (1)<0,f (x )在区间(-1,1)上单调递减, ∴函数f (x )在(-1,1)上存在唯一零点x 0. ∵f (0)=-1<0, ∴f (-1)·f (0)<0, ∴x 0∈(-1,0).此时0-(-1)=1>0.2,∵f -12=72>0,∴f -12·f (0)<0, ∴x 0∈-12,0.此时0--12=12>0.2,∵f -14=98>0,∴f -14·f (0)<0, ∴x 0∈-14,0.此时0--14=14>0.2,∵f -18=132>0,∴f -18·f (0)<0, ∴x 0∈-18,0.此时|-18-0|=18<15=0.2,满足精确度,停止二分,∴所求区间为-18,0.。