1.3.1函数的单调性PPT
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人教A版高中数学必修一第一章：函数的单调性课件
例3 、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。
扩展作业：
已知函数f(x)在定义域(-1，1)上是 增函数，且f(m+1)-f(-m)＞0，求 实数m的取值范围。
m ( 1 ,0) 2
三、例题讲解 [例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的 图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每 一单调区间上, y＝ f(x)是增函数还是减函数.
y3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
• 书写单调区间时，注意区间端点的写法。
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的 常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以 包括端点，也可以不包括端点。
着x的增大而 ________ ．
思考2：函数
的单调区间是什么？
取数:任取 ，且 ；
例3 、若函数f(x)=x +2(a-1)x+2在区间 利用定义确定或证明函数 在给定的
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
2
(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。 4.
思考2：函数
的单调区间是什么？
单调性.
练习：课本P32第4题
练习：
证明函数f (x) x 1在（1，+∞）
上为增函数。
x
作业布置： 课本P39 A组第1、2、3题 课本P44，A组第9题。
补充例题：
作差: ； 例1、讨论函数 f(x)x22ax3
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
在(-2,2)内的单调性 思考2：函数
的单调区间是什么？
人教版高中数学必修1(A版) 函数的单调性 PPT课件
p(V1) p(V2 ) 第三步：判断符号 k 所以,函数p ,V (0, )是减函数. V 也就是说,当体积V 减小时, 压强p增大. 第四步 ：得结论 即
思考：用单调性的定义证明函数单调性的步骤是什 么？需注意哪些问题？
第一步：设区间上任意两点
x1 , x2 ，且 x1 < x2 。
自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ),
你能类比地给出减函数的定义吗?
一般地, 设函数的定义域为I : 如果对于定义域内的某个区间D上的任意两个 自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说函数f ( x)在区间D上是
其中y f ( x)在区间[5, 2),[1,3)上是减函数, 在区间[2,1),[3,5]上是增函数. 函数y f ( x)的增区间是[2,1),[3,5]; 减区间是[5, 2),[1,3).
思考：
函数y f ( x)的增区间能写成"[2,1) [3,5]"吗? 增区间能写成"[2,1)或[3,5]"吗?
第二步：作差 f ( x1 ) f ( x2 ) 整理化简。 第三步：判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 的符号。 第四步：根据 f ( x1 )与 f ( x2 )的大小关系下结论。Βιβλιοθήκη 判断并证明函数 f ( x)
x 在定义域内的单调性。
小 结
2.利用定义证明函数单调性的步骤.
1.函数的单调性. (局部概念、应首先确定函数的定义域）
第一章 集合与函数概念
1.3.1函数的单调性
问题：下图是某地一天内的气温变化图,观察图形,你能指出该 天的气温是如何变化的吗?
思考：用单调性的定义证明函数单调性的步骤是什 么？需注意哪些问题？
第一步：设区间上任意两点
x1 , x2 ，且 x1 < x2 。
自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ),
你能类比地给出减函数的定义吗?
一般地, 设函数的定义域为I : 如果对于定义域内的某个区间D上的任意两个 自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说函数f ( x)在区间D上是
其中y f ( x)在区间[5, 2),[1,3)上是减函数, 在区间[2,1),[3,5]上是增函数. 函数y f ( x)的增区间是[2,1),[3,5]; 减区间是[5, 2),[1,3).
思考：
函数y f ( x)的增区间能写成"[2,1) [3,5]"吗? 增区间能写成"[2,1)或[3,5]"吗?
第二步：作差 f ( x1 ) f ( x2 ) 整理化简。 第三步：判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 的符号。 第四步：根据 f ( x1 )与 f ( x2 )的大小关系下结论。Βιβλιοθήκη 判断并证明函数 f ( x)
x 在定义域内的单调性。
小 结
2.利用定义证明函数单调性的步骤.
1.函数的单调性. (局部概念、应首先确定函数的定义域）
第一章 集合与函数概念
1.3.1函数的单调性
问题：下图是某地一天内的气温变化图,观察图形,你能指出该 天的气温是如何变化的吗?
1.3.1 函数的单调性与导数 课件(人教A版选修2-2) (1)
A．[3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：f′(x)＝3x2＋a，
令3x2＋a≥0，则a≥－3x2[x∈(1，＋∞)]．∴a≥－3.
答案：B
练习题：1．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k＞ 0)．若f(x)的单调递减区间为(0,4)，单调递增区间为(－∞，0) 与(4，＋∞)，求k的值．
x ( 1 ,1) 3
.
3．已知函数f(x)＝ x ＋ln x，则有( )
A．f(2)<f(e)<f(3)
B．f(e)<f(2)<f(3)
C．f(3)<f(e)<f(2)
D．f(e)<f(3)<f(2)
解析：在(0，＋∞)内，f′(x)＝
2
1
x＋1x
>0，
所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．
1
234Fra bibliotekhh
h
h
o A t o B t o C t o D t
分析 以容器2为例,由于容器
上细下粗,所以水以恒速注入时, 开始阶段高度增加得慢,以后高 度增加得越来越快.反映在图象
上,A 符合上述变化情况.同理
可知其他三种容器的情况.
解 1→B, 2→A, 3→D, 4→C.
2 h
o A t
思考 例 3 表明,通过函数图象 ,不仅可以看出函 数的增与减 ,还可以看出其增减的快慢.结合图象, 你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗?
一般地,如果一个函
y
数在 某一范围内导 数 的绝对值较大,那 么函数 在 这个范围
高一数学人教版必修1课件：1.3 1.第一课时 函数的单调性
x)，所以
x－2<1－x，解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. [答案] 1，32
[类题通法] 1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得 到不等式 x－2<1－x，从而得出 x<32的错误答案． 2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增 函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1<x2；若函数 y ＝f(x)在区间 D 上是减函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)， 有 x1>x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞ )上分别单调，因此 要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区 间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指 的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调，则 指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调 性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1 －a)<f(2a－1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
(1)[解析]由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1
人教版数学必修一1.3.1《函数的单调性》 课件
过程分析
结合的能力.
评价分析
教材分析 3.情感目标：
学情分析
目标分析 教法分析
让学生积极参与观察、分析、探索等课堂 教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会 成功的喜悦，以此激发求知欲望。
领会用从特殊到一般，再从一般到特殊的 方法去观察分析事物。
过程分析
评价分析
教材分析 教学重点难点：
学情分析 目标分析
t (小时)
-2
问题：1.全天的最高、最低气温分别是多少？气
温随着时间的变化趋势？
2.提出问题，引出困惑。 需要从新的高度来认识函数. 对此提出进一步学习函数单 调性的必要性。（板书课题）
2.如何用数学语言说明随着t的变化,T的变化趋势
(二)提出直观定义
(1) y x 1
y
观察下列函数的图象变化
评价分析
教材分析
教学方法：问答式和探究式
学情分析 目标分析 教法分析
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题， 为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距 离，激发学生主体参与的积极性．
过程分析 评价分析
教材分析
学情分析 目标分析
2、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教 师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范 书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的 推理，并成功地完成书面表达．
重点： 函数单调性的概念与判断
教法分析
难点： 利用函数单调性定义或者图象判
断简单函数的单调性
过程分析
评价分析
教材分析 重点难点解决策略：
学情分析 目标分析 教法分析 过程分析
本课在设计上采用了由特殊到一般、 从具体到抽象的教学策略。
利用数形结合、类比划归的思想，层层 深入；通过学生自主观察，分析、探究得 单调性概念,同时,借助多媒体的直观演示， 帮助学生理解，并通过范例后的变式训练 和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合， 从而突出重点、突破难点．
【数学】1.3.1《利用导数判断函数的单调性》课件(新人教B版选修2-2)
3
2
− 2x − 3y ;
f (x ) = x 3 + 3 x
x
所示.
图1.3 − 5(1)
(2)因为f (x ) = x 2 − 2x − 3, 所以f ' (x ) = 2x − 2 = 2(x − 1). ' (x ) > 0,即x > 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递增; 当f 当f ' (x ) < 0, 即x < 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递减 . 函数f (x ) = x 2 − 2x − 3 的图象如图1.3 − 5(2)所示.
1.3.1 利 导 判 函 的 调 用 数 断 数 单 性
h
() 1 观察 图 .3 −11表示高 h 台跳水运动员的高度 随 h 时间变化的函数 (t) =
− 4.9t + 6.5t +10 , 的图象 ( 1 图 .3 −12)表示高台跳水 v t 运动员的速度 随时间变
2
O
a
b
t
图 . −
y
y=x
O
y=x
x
()
y
( )
y=x
O
x X
y y=
x
x
O
x
O
( )
图. −
( )
y
y = f(x)
(x , f (x ))
O
(x , f (x )) , 导数f (x )表示函数f (x )在点(x , f (x )) ' 处的切线的斜率.在 x = x 处, f (x ) > , 切线是" 左 下右上" 式的, 这时,函数f (x )在 x 附近单调递增; 在 x = x 处, f ' (x ) < , 切线是" 左上右下" 式的, 这时,函 数f (x )在x 附近单调递减.
2
− 2x − 3y ;
f (x ) = x 3 + 3 x
x
所示.
图1.3 − 5(1)
(2)因为f (x ) = x 2 − 2x − 3, 所以f ' (x ) = 2x − 2 = 2(x − 1). ' (x ) > 0,即x > 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递增; 当f 当f ' (x ) < 0, 即x < 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递减 . 函数f (x ) = x 2 − 2x − 3 的图象如图1.3 − 5(2)所示.
1.3.1 利 导 判 函 的 调 用 数 断 数 单 性
h
() 1 观察 图 .3 −11表示高 h 台跳水运动员的高度 随 h 时间变化的函数 (t) =
− 4.9t + 6.5t +10 , 的图象 ( 1 图 .3 −12)表示高台跳水 v t 运动员的速度 随时间变
2
O
a
b
t
图 . −
y
y=x
O
y=x
x
()
y
( )
y=x
O
x X
y y=
x
x
O
x
O
( )
图. −
( )
y
y = f(x)
(x , f (x ))
O
(x , f (x )) , 导数f (x )表示函数f (x )在点(x , f (x )) ' 处的切线的斜率.在 x = x 处, f (x ) > , 切线是" 左 下右上" 式的, 这时,函数f (x )在 x 附近单调递增; 在 x = x 处, f ' (x ) < , 切线是" 左上右下" 式的, 这时,函 数f (x )在x 附近单调递减.
高中数学函数的单调性(1)优秀课件
函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果 了解了函数的变化规律，那么也就根本把握了相应事 物的变化规律.
观察以下两个函数的图象，你能说说它们分别反 映了相应函数的哪些变化规律？
f (x) x
f (x) x2
f (x) x
f (x) x2
函数 f(x)=x 的图象 由左至右是上升的；
函数 f(x)=x2的图象 在y轴左侧是下降的, 在y轴右侧是上升的.
O
x
在区间(,0),(0,)上是减函数.
能写成并集么？
引例.定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调 区间上，y=f(x)是增函数还是减函数.
解：函数的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]; 其中y=f(x)在区间[-5,-2)，[1,3)上是减函数， 在区间[-2,1)，[3,5]上是增函数.
y f (x) x2
一般地，设函数f ( x)的定义域为I :
O
x
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值x1, x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),那么就说 函数f ( x)在区间D上是增函数.
增函数的定义：
一般地，设函数f ( x)的定义域为I : 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值x1, x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),那么就说 函数f ( x)在区间D上是增函数.
思考：对于函数f(x)定义域内某个区间D上的任意
两个自变量的值x1,x2，若 区间D上的单调性如何？
f (x1) f (，x2则) 函0 数f(x)在
x1 x2
观察以下两个函数的图象，你能说说它们分别反 映了相应函数的哪些变化规律？
f (x) x
f (x) x2
f (x) x
f (x) x2
函数 f(x)=x 的图象 由左至右是上升的；
函数 f(x)=x2的图象 在y轴左侧是下降的, 在y轴右侧是上升的.
O
x
在区间(,0),(0,)上是减函数.
能写成并集么？
引例.定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调 区间上，y=f(x)是增函数还是减函数.
解：函数的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]; 其中y=f(x)在区间[-5,-2)，[1,3)上是减函数， 在区间[-2,1)，[3,5]上是增函数.
y f (x) x2
一般地，设函数f ( x)的定义域为I :
O
x
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值x1, x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),那么就说 函数f ( x)在区间D上是增函数.
增函数的定义：
一般地，设函数f ( x)的定义域为I : 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值x1, x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),那么就说 函数f ( x)在区间D上是增函数.
思考：对于函数f(x)定义域内某个区间D上的任意
两个自变量的值x1,x2，若 区间D上的单调性如何？
f (x1) f (，x2则) 函0 数f(x)在
x1 x2
函数的单调性PPT
1 1 ) ( x2 ) x1 x2
取值
则 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1
作差
1 1 ( x1 x2 ) ( ) x1 x2
( x2 x1 ) ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 1 ( x1 x2 )( ) x1 x2
1. 在这个区间上任取两个自变 量 x1、x2, 且x1< x2 . 2.作差（作商）并将差f(x1)－ f(x2) 化简变形成最简形式. 3.判断符号. 4.得出结论.
巩固知识 例5
典型例题
判断函数y=4x-2的单调性．
分析 对于用解析式表示的函数，其单调性可以通过定义来 判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断．无论 采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域． 观察函数图像
1 例3.判断函数 y x 在定义域 x
0, 上的单调性.
并给出证明
主要步骤 1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)；
3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
证明：在区间
1, 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
如果对于属于定义域 定义域I内某个区间上的 内某个区间 任意两个自变量的值x1 ， x2 ，当x1 任意两个自变量 <x2时，都有f(x1) > f(x2) ，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数。
f(x1) f(x ) 2 o x1 x2 x
如果函数y= f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么 就说函数y= f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这 个区间叫做y= f(x)的单调区间。
取值
则 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1
作差
1 1 ( x1 x2 ) ( ) x1 x2
( x2 x1 ) ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 1 ( x1 x2 )( ) x1 x2
1. 在这个区间上任取两个自变 量 x1、x2, 且x1< x2 . 2.作差（作商）并将差f(x1)－ f(x2) 化简变形成最简形式. 3.判断符号. 4.得出结论.
巩固知识 例5
典型例题
判断函数y=4x-2的单调性．
分析 对于用解析式表示的函数，其单调性可以通过定义来 判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断．无论 采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域． 观察函数图像
1 例3.判断函数 y x 在定义域 x
0, 上的单调性.
并给出证明
主要步骤 1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)；
3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
证明：在区间
1, 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
如果对于属于定义域 定义域I内某个区间上的 内某个区间 任意两个自变量的值x1 ， x2 ，当x1 任意两个自变量 <x2时，都有f(x1) > f(x2) ，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数。
f(x1) f(x ) 2 o x1 x2 x
如果函数y= f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么 就说函数y= f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这 个区间叫做y= f(x)的单调区间。
函数的单调性PPT
反比例函数的单调性
（1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？ 证明你的结论．
1 画出反比例函数 y x 的图象．
拓展探究
y
1 画出函数 y 图象，写出定义域并写出单调区间： x
x
y 1 x
1 函数 y 定义域为 (,0) (0,) x ？ 1 (, 0) , (0, ) y 的单调减区间是 _____________ x
y f ( x)
y 3
2 1
-5
-4
-3
-2
-1 O
1 -1
2
3
4
5 x
-2
典型例题
k 例2：物理学中的玻意耳定律p （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之．
典型例题
k 例2：物理学中的玻意耳定律p （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之．
典型例题
由V1<V2 ,得V2－ V1>0． 又k>0，于是 pV1 pV2 0
定号
下结论 即 pV1 pV2 k 所以，函数 p ,V 0, 是减函数．也就是 V p将增大． 说，当体积V减小时，压强
证明函数单调性步骤
证明函数单调性的一般步骤：
实例引入
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（2）f(x)=x2． (-∞，0) ①在区间 ________ 上， 随着 x的增大， f(x)的值随着 减小 ________ ．
[0 ，+∞) ②在区间 ________ 上， 随着 x 的增大， f(x) 的值随着 增大 ________ ．
人教版高中数学必修一1.3.1__单调性与最大(小)值_第2课时__函数的最大值、最小值ppt课件
15
3.求函数 f ( x)在区x间2[-1,3]上的最大值和最小值.
【提示】根据二次函数的性质，函数在区间[-1,0]上是减函数，在区间(0,3] 上是增函数，最小值一定在x=0时取得，最大值就是区间的两个端点的函数 值中最大的. 【答案】最大值是9，最小值是0.
对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等，今后可以不加证明 地使用他们的单调性求函数最值
在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是 后退.
——亚里士多德
22
ห้องสมุดไป่ตู้
19
1.函数的最值是函数的基本性质之一，函数的最值是函数在其定义域上的整体 性质. 2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单 调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性. 3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况讨论，画出函数的图象有 利于问题的解决.
20
谢谢观看！
13
求函数 f (x) 在区3x间[-1,3]的最大值和最小值。
【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函数. 【答案】最大值是9，最小值是-3.
14
1. 函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是(
)
(A)a≥3
D
(C)a≥-3
(B)a≤3 (D)a≤-3
2.已知函数f(x)=4x2-mx+1在(-∞，-2]上递减，在[-2, +∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域为____________. [21,49]
17
5.求函数 f (x) x2在区2间ax[0,4]上的最小值.
【提示】二次函数的对称轴x=a是函数单调区间的分界 点.根据二次函数的对称轴和区间[0,4]的关系，分
高中数学选修2-2课件1.3.1《函数的单调性与导数》课件
y y=x
y y = x2
y y = x3
y
y1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,如果 f (x) 0 ,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 如果 f (x) 0 ,那
么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减.
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是常数。
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
练习2
已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0,
若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
[
3 2
,)
例3：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
在（－ ∞ ，1）上是减 函数，在（1, ＋∞）上 是增函数。
在(－ ∞,＋∞)上是 增函数
(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。
单调性-完整PPT课件
练习2、利用定义证明：函数f(x)=x+1 在(1, )上
x
为增函数。
思考1：对于函数f(x)定义域内某个区间D上的任意
两个自变量的值x1,x2，若 区间D上的单调性如何？
f (x1) f (，x2则) 函0 数f(x)在
x1 x2
若 f (x1) f (呢x2 )？ 0
x1 x2
减函数的定义：
一般地，设函数f ( x)的定义域为I : 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值x1, x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),那么就说 函数f ( x)在区间D上是减函数.
定 义：
一般地，设函数f ( x)的定义域为I : 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值x1, x2，当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 )( f ( x1 ) f ( x2 )), 那么就说函数f ( x)在区间D上是增函数(减函数).
函数单调性的定义：
如果y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么 就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性， 这一区间叫做y=f(x)的单调区间.
y
函数f ( x) x2的单减区间是(,0]；
单增区间是[0,).
O
x
例2、利用定义证明：函数f(x)=x+1 在(0,1)上为
x
减函数。
O
x
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值x1, x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),那么就说 函数f ( x)在区间D上是增函数.
增函数的定义：
一般地，设函数f ( x)的定义域为I : 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值x1, x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),那么就说 函数f ( x)在区间D上是增函数.
高一数学必修一单调性与最大(小)值课件PPT
上,你同意这个说法吗?
2.你曾经做过哪些努力,来让自己的教 学活动 显得对 学生有 意义?
3.在下面的教学活动中,你觉得哪种教 学方式 对学生 来说更 有意义
A.在课堂上,让学生在给定的句子里用下划线标记 出其中的名词 B.在课堂上,让学生自由造句,但不许在句子中出现 名词。 C.在课堂上,教师给学生讲解牛顿运动定律。
答：烟花冲出后1.5s是它爆 裂的最佳时刻，距地面的 高度约为29m。
➢复习回顾
P32-5、设 f(x) 是定义在区间[-6,11]上的函数。如果 f(x)
在区间[-6,-2]上递减，在区间[-2,11]上递增，画出 f(x)
的一个大致的图象，从图象上可以发现 f(-2) 是函数
f(x)的一个
.
y
2、函数的最值是“全局性质”
3、若函数的最大值和最小值存在，则都是唯一的，但取
最值时的自变量可以有多个。有些函数不一定有最值， 有最值的不一定同时有最大值最小值。
4、求单调函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的 单调性。
1.3.1 单调性与最大（小）值 （第3课时）
➢复习回顾
1、增函数/减函数:
I.在课堂上,让学生利用概率论(和天气有关的)来规 划哪几个月的哪几周适合班级出游
03
现在,请写出四到五条你在当前教学中的实际经验。 写出五条你曾在课堂中使用过的教学方法,并努
力将其改进得更加有意义。之后,将这五条教学法全 体教师一起分享。
谢谢观看
顶点的横坐标就是烟花爆裂的最 佳时刻， 纵坐标就是这时距地面的高度。
解：由二次函数的知识，
ht 4.9t 2 14.7t 18 4.9(t 1.5)2 116.1
4
由图象可得：当t 14.7 1.5时，函数有最大值为 2 (4.9)
2.你曾经做过哪些努力,来让自己的教 学活动 显得对 学生有 意义?
3.在下面的教学活动中,你觉得哪种教 学方式 对学生 来说更 有意义
A.在课堂上,让学生在给定的句子里用下划线标记 出其中的名词 B.在课堂上,让学生自由造句,但不许在句子中出现 名词。 C.在课堂上,教师给学生讲解牛顿运动定律。
答：烟花冲出后1.5s是它爆 裂的最佳时刻，距地面的 高度约为29m。
➢复习回顾
P32-5、设 f(x) 是定义在区间[-6,11]上的函数。如果 f(x)
在区间[-6,-2]上递减，在区间[-2,11]上递增，画出 f(x)
的一个大致的图象，从图象上可以发现 f(-2) 是函数
f(x)的一个
.
y
2、函数的最值是“全局性质”
3、若函数的最大值和最小值存在，则都是唯一的，但取
最值时的自变量可以有多个。有些函数不一定有最值， 有最值的不一定同时有最大值最小值。
4、求单调函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的 单调性。
1.3.1 单调性与最大（小）值 （第3课时）
➢复习回顾
1、增函数/减函数:
I.在课堂上,让学生利用概率论(和天气有关的)来规 划哪几个月的哪几周适合班级出游
03
现在,请写出四到五条你在当前教学中的实际经验。 写出五条你曾在课堂中使用过的教学方法,并努
力将其改进得更加有意义。之后,将这五条教学法全 体教师一起分享。
谢谢观看
顶点的横坐标就是烟花爆裂的最 佳时刻， 纵坐标就是这时距地面的高度。
解：由二次函数的知识，
ht 4.9t 2 14.7t 18 4.9(t 1.5)2 116.1
4
由图象可得：当t 14.7 1.5时，函数有最大值为 2 (4.9)
函数的单调性与导数(课堂PPT)
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
5
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? 3.3.1 (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然 可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象 时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法 呢？
f′(x)＝exxx－－22)－)2 ex＝exx－x－23)2).
因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
3.3.1
26
3.3.1
4．求下列函数的单调区间． (1)y＝xex；(2)y＝x3－x. 解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)， 令y′>0得x>－1. 令y′<0得x<－1， 因此y＝xex的单调递增区间为(－1，＋∞)， 递减区间为(－∞，－1)．
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在D上是增函数或减函数， D 称为单调区间
3
3.3.1
定义法 判断函数单调性有哪些方法？
图象法
比如：判断函数 y x 2 的单调性。
y
如图：
函数在 ( , 0)上为__减__函数，
在(0, )上为__增__函数。 o
y x2
x
4
3.3.1
2.怎样用定义判断函数的单调性？
32
3.3.1
练 3 已知 f′(x)是 f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，
则 f(x)的图象只可能是
()
33
3.3.1
解析 从 f′(x)的图象可以看出，在区间a，a＋2 b内，导数 递增；在区间a＋2 b，b内，导数递减.即函数 f(x)的图象在 a，a＋2 b内越来越陡峭，在a＋2 b，b内越来越平缓. 答案 D
5
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? 3.3.1 (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然 可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象 时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法 呢？
f′(x)＝exxx－－22)－)2 ex＝exx－x－23)2).
因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
3.3.1
26
3.3.1
4．求下列函数的单调区间． (1)y＝xex；(2)y＝x3－x. 解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)， 令y′>0得x>－1. 令y′<0得x<－1， 因此y＝xex的单调递增区间为(－1，＋∞)， 递减区间为(－∞，－1)．
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在D上是增函数或减函数， D 称为单调区间
3
3.3.1
定义法 判断函数单调性有哪些方法？
图象法
比如：判断函数 y x 2 的单调性。
y
如图：
函数在 ( , 0)上为__减__函数，
在(0, )上为__增__函数。 o
y x2
x
4
3.3.1
2.怎样用定义判断函数的单调性？
32
3.3.1
练 3 已知 f′(x)是 f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，
则 f(x)的图象只可能是
()
33
3.3.1
解析 从 f′(x)的图象可以看出，在区间a，a＋2 b内，导数 递增；在区间a＋2 b，b内，导数递减.即函数 f(x)的图象在 a，a＋2 b内越来越陡峭，在a＋2 b，b内越来越平缓. 答案 D
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实例引入
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（2）f(x)=x2． ∞，0) 上， ①在区间 (________ 随着 x的增大，f(x)的值随着 减小 ． ________
，+∞) 上， ②在区间[0 ________ 随着 x 的增大， f ( x ) 的值随着 增大 ． ________
函数的单调性
在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数 的图象是下降的．
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质， 在一个点处是没有单调性的;这个区间可以是整个定义域，也 可以是定义域内的真子集。
y
10 8 6 4 2 O -2
a
2 4
6 8 10 12
b
14 16 18 20 22 24
x
这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域内的真子集。
问题探究
请你说出注意力指标数与时间在 0,40 内的变化规律
上升
y
下降
y
局部上升或下降
y
y x 1
y x 1
y x2
o x o x o x
函数的这种性质称为
能用图象上动点 P （ x ， y ）的横、纵坐标 函数的单调性：函数值随着自变量的增 关系来说明上升或下降趋势吗？ 大而增大（或减小）的性质
在某一区间内，
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
实例引入
画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f(x)=x; ①从左至右图象上升还是 上升 下降? _______ ∞，+∞)上， ②在区间 (________ 随着x的增大，f(x)的值随着 增大 ________ ．
下结论 即 pV1 pV2 k 所以，函数 p , V 0, 是减函数．也就是 V p将增大． 说，当体积V减小时，压强
由V1<V2 ,得V2－V1>0． 又k>0，于是 pV1 pV2 0
定号
证明函数单调性步骤
证明函数单调性的一般步骤：
⑴取值：设 x 1 ， x 2 是给定区间内的两个任意值， 且x1< x 2 (或x1 >x 2）； ⑵作差：作差f(x1)－f(x2)，并将此差式变形（要注 意变形到能判断整个差式符号为止）；变形手段：因 式分解、通分、配方、分母有理化等； ⑶定号：判断f(x1)－f(x2)的正负（要注意说理的充 分性）,必要时要讨论；如课本P39第3题 ⑷下结论：根据定义得出其单调性.
y x2
yx
（3）有的函数不具备单调性。
如，常数函数
y 1
o
y
x
（4）写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但 对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点；如， 1 2 y yx x
1 （5）单调区间一般不能取并集。如，y x
典型例题
例1：下图是定义在闭区间 [-5，5]上的函数 y=（x）的图象，根据图象说出函数的的单调区间， 以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． 解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1），
1、函数的单调性定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值 x1 , x2，当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说函 数 f ( x)在区间D上是增函数（increasing function）．
1、函数的单调性定义
典型例题
k 例2：物理学中的玻意耳定律p （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之．
k 分析：按题意，只要证明函数 p 在区间（0， V +∞）上是减函数即可．
典型例题
k 例2：物理学中的玻意耳定律p （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之． 证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域 （0，+∞）上的任意两个实数，且V1<V2，则 取值 k k V2 V1 pV1 pV2 k 作差 V1 V2 V1V2 由V1,V2 ∈（0，+∞）得V1V2>0；
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
在 0, 内的任意 x1、x2， 2 当 x1＜x2 时，都有x12 x2
如何用(x ) 在给定区间上任取x1, x2
x1
f(x1)
O
x1＜x2
x2
f(x1)＜f(x2)
x
函数f (x)在给定 区间上为增函数.
从上面的观察分析，能得出什么结论？ 从上面的观察分析可以看出：不同的函数， 其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上 变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是 函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的 一个重要性质——函数的单调性．
[0 ，+∞) 上，随着x的增大，f(x)的值随着 增大 在区间 ___________ ____ ．
知识小结
本节课主要学习了以下内容： 1．函数的单调性及单调区间的概念； 2．根据定义证明函数的单调性的主要步 骤．
课后作业
1．课本P32 第3题（做在书上）；
2．课本P39 A组 1、2（做在A本上）
函数的单调性
中教育星软件技术有限公司 2006年1月制作
1.3.1 函数的单调性
实例引入
观察下图中的函数图象，你能说说它们分别反 映了相应函数的哪些变化规律吗？ ①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？
③函数图象是否具有某种对称性？
单调性 最值 奇偶性
通过实验研究，专家们发现：中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课 时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间， 学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散． 下图是学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象（指标数越大 表示精力越集中）．
一般地，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值 x1 , x2，当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说函 数 f ( x)在区间D上是减函数（decreasing function）．
（1） x 1, x 2 的三个特性： 取值的任意性；
判断：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)， 则函数 f (x)在R上是增函数；
有大小，通常规定 x1＜x2； 同区间性，同属一个单调区间。 y
f(2) f(1) O
1 2x
2、函数的单调区间
如果函数y＝f（x），在区间D上是增函数或 减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格） 单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
[1，3），[3，5].其中y＝f（x）在[－5，－2），[1，3）上 是减函数， 在[－2，1），[3，5）上是增函数.
y f ( x)
y 3
2 1
-5
-4
-3
-2
-1 O
1 -1
2
3
4
5 x
-2
典型例题
k 例2：物理学中的玻意耳定律p （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之．