福建省2009年高三质量检测数学文科

福建省2009年普通高中毕业班质量检查数学 (文科)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共8页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=k n k k n )p (p C --1．球的表面积公式 S =4πR 2，其中R 表示球的半径． 球的体积公式 V =34πR 3，其中R 表示球的半径．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把正确答案填在题目后面的括号内．1．已知集合A={x |-2，-1，0,1，2}，B={2，3}，则A ∪B 为( )A ．{2}B ．{2，3}C ．{-2，-1，0,1，2}D ．{-2，-1，0,1，2，3} 2．不等式032>+-x x 的解集是( )A ．(-3,2)B ．(2，+∞)C ．(-∞，-3)∪(2，+∞)D ． (-∞，-2)∪(3, +∞) 3．双曲线4x 2-y 2=1的渐近线方程是( )A ．4x ±y =0B ．x ±4y =0C ．x ±2y =0D ．2x ±y =0 4．已知函数),x (),x (x )x (f x0203>≤+=则f ( f (-2))的值为( )A ．-1B ．41 C ．2 D ．45．已知A 、B 为球面上的两点，O 为球心，且AB =3，∠AOB =120°，则球的体积为( )A ．29π B ． π34 C ．36π D ． π3326．已知二次函数y=x 2-2ax+1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2或a ≥3B ．2≤a ≤3C ． a ≤-3或a ≥-2D ．-3≤a ≤-2 7．已知条件p : k =3，条件q ：直线y=kx +2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S n 是a n 与1的等差中项，则a n 等于( )A ．1B ．-1C ．(-1)nD ．(-1)n-19．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( ) A ．若m ∥α，m ⊂β，α∩β=n ，则m ∥n B ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D ．若α∩β =m ，m ⊥n ，则n ⊥α10．函数y=A sin(ωx+φ)图象的一部分如图所示，则此函数的解析式可以写成( )A ．y =sin(x +8π)B ．y =sin(2x +8π)C ．y =sin(2x +4π)D ．y =sin(2x -4π)11．某小组有12名学生，其中男生8名，女生4名，从中随机抽取3名学生组成一兴趣小组，则这3 名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为 ( ) A ．3122418C C C B ．3121428C C C C ．3121428A A A D ．3121428A A A12．若函数f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (2)=0，则x)x (f )x (f --＜0的解集为( )A ．(-2,0)∪(0,2)B ．(-∞，-2)∪(0,2)C ．(-∞，-2)∪(2，+∞)D ．(-2,0)∪(2，+∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。

共16分．请把正确答案填在题目后面的横线上． 13．二项式(21xx +)6的展开式中，常数项为_____________.14．椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为____． 15．已知向量a =(1，1)，b =(sin x ，-cos x )，x ∈(0，π)，若a ∥b ，则x 的值是_______． 16．阅读下面材料，并回答问题：设D 和D 1是两个平面区域，且D 1 ⊂D ．在区域D 内任取一点M ，记“点M 落在区域D 1内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )=的面积的面积D D 1.已知区域E ={(x ，y)|0≤x ≤3，0≤y ≤2}，F ={(x ，y)|0≤x ≤3，0≤y ≤2，x ≥y }，若向区域E 内随机投掷一点，则该点落入区域F 内的概率为________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明。

证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )=cos 2x +sin x cos x (x ∈R ) (I)求f (8π3)的值；(Ⅱ)求f (x )的单调递增区间．在数列{}n a 中，a 1=1，a n +1=a n +c (c 为常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 5成公比不等于1的等比数列．(Ⅰ) 求c 的值； (Ⅱ) 设b n =11+n n a a ，求数列{}n b 的前n 项和S n ．19．(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1，和CC 1的中点． (I)求证：EF ∥平面ACD ，； (Ⅱ)求异面直线EF 与AB 所成的角； (Ⅲ) 设点P 在棱BB 1上，且BP=36求二面角P-AC-B 的大小．20．(本小题满分12分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω (克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元． (I)写出υ关于ω的函数关系式；(Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；(Ⅲ)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试用你所学的数学知识证明：当m=n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率=原有价值现有价值原有价值-³100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计)已知函数f (x )=ax 3+bx 2-x (x ∈R ，a 、b 是常数，a ≠0)，且当x =1和x =2时，函数f (x )取得极值． (I)求函数f (x )的解析式；(Ⅱ)若曲线y =f (x )与g (x )= -3x -m (-2≤x ≤0)有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.22．(本小题满分14分)已知定点A (a ，O)( a >0)，直线l 1 ： y =-a 交y 轴于点B ，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C ．(I)求动点C 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)设倾斜角为α的直线l 2过点A ，交轨迹E 于两点 P 、Q ，交直线l 1于点R ．(1)若tan α=1，且ΔPQB 的面积为2，求a 的值； (2)若α∈[6π，4π]，求|PR|²|QR|的最小值．2009年福建省普通高中毕业班质量检查数学(文科)试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．A 10．C 11．B 12．A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．13．15；14．2；15．34π；16．23三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明。

证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与-眭质等基础知识；考查理解能力和运算能力．满分12分.解：1cos21()sin222xf x x+=+……………………………………………………(4分)122)22221)242x xxπ=++=++ (6))311(I)()8222fππ=+=…………………………………………………(8分)(II)222242k x kπππππ-≤+≤+令…………………………………………(10分)322244k x kππππ∴-≤≤+即3()88k x k k Zππππ-≤≤+∈时，f(x)单调递增.∴f(x)单调递增区间为[38kππ-，38kππ+]()k Z∈……………………(12分)18．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查化归与转化的思想方法：考查推理与运算能力．满分12分．解：(Ⅰ)∵a n+1=a n+c,a1=1,c为常数,∴a n=1+(n-1)c.………………………………………………………………(2分)∴a2=1+c,a5=1+4c.又a 1,a 2,a 5成等比数列,∴(1+c )2=1+4c ,解得c =0或c =2……………………………………………(4分) 当c =0,a n+1=a n 不合题意,舍去.∴c =2.………………………………………………………………………(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,a n =2n -1,∴111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+，……………(10分)∴S n =b 1+b 2+…+b n = 111111[(1)()()]23352121n n -+-++--+= 11(1)221n -+=21n n +.……………………………………………………………(12分)19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力，逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力．满分12分． 解法一：如图，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D -xyz ，由已知得D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2, 0)、C (0,2,0)、B l (2,2,2)、D l (0,0,2)、E (1,0,2)、F (0,2,1)． …………………………………………(2分)(Ⅰ)易知平面ACD 1的一个法向量是DB=(2,2,2)．………………………(4分)又∵EF=(-1,2,-1)，由EF²1DB = -2+4-2=0，∴EF⊥1DB ，而EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1……………………(6分)(Ⅱ) ∵AB=(0,2，0)，cos<EF ,AB>=3||||EF AB EF AB ⋅==⋅∴异面直线EF 与AB 所成的角为arccos 36……………………(8分).(Ⅲ)∵BP =36，∴P (2，2，36).设n =(x ，y ，z )是平面PAC 的一个法向量，则0,0.n A C n A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∵AP =(0，2，36), A C =(-2，2，0)，∴220,20,3x y y z -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩取(1,1,n = . 易知1(0,0,2)BB =是平面ACB 的一个法向量， ∴cos<n ，1BB>=112||||n BB n BB ⋅==⋅…………(10分)∴二面角P -AC -B 的大小为30°. ………………………………(12分)解法二：(Ⅰ)同解法一知(Ⅰ)同解法一知EF=(-1,2，-1) ，1A D =(-2,0，2)，A C = (-2,2，0)，∴A C -1A D =EF， ∴EF、A C 、1A D 共面.又∵EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1. ……………………………(4分)(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．解法三：(Ⅰ)取AD 1的中点K ，连结EK 、KC ，在△AA 1D 1中，EK ∥AA 1，且EK =12AA 1，∵FC =12CC 1，CC 1∥AA 1，∴FCEK ，∴四边形EKCF 为平行四边形，∴EF ∥CK ．又∵CK ⊂平面ACD 1，EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1. (4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF ∥CK ，又AB ∥CD ，∴∠DCK 就是异面直线AB 和EF 所成的角(或补角)． 连DK ，∵CD ⊥平面AD 1，DK ⊂平面AD 1， ∴CD ⊥DK ，在Rt △CDK 中，DC =2，DK =，∴tan ∠DCK =2，∴异面直线AB 和EF 所成的角为2．…………………(8分)(Ⅲ)连结BD 交AC 于O ，连OP ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BO ⊥AC ， 而OB 是PO 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得OP ⊥AC ，∴∠BOP 为二面角P —AC —B 的平面角．…………………………(10分)在Rt ΔPBO 中，tan ∠BOP =∴二面角P-AC-B 的大小为30°．…………………(12分)解法四：(Ⅰ)取D 1C 1的中点H ，连结EH ，FH ，A 1C 1， ∵E 为A 1D 1的中点，∴EH ∥A l C l ， 而A 1C 1∥AC ，∴EH ∥AC ，又∵F 为CC 1的中点，∴HF ∥D 1C ． ∵EH 与HF 相交，D 1C 与AC 相交， ∴平面EHF ∥平面ACD 1，EF ⊂平面EHF ， ∴EF ∥平面ACD 1． ………………(4分) (Ⅱ)、(Ⅲ)同解法三．20．本小题主要考查函数与不等式等基础知识；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分． 解：(Ⅰ)依题意设v =kω2，……………………………………………………(2分) 又当ω=3时，v =54000，∴k =6000，…………………………………(3分) 故v =6000ω2．………………………………………………………(4分) (Ⅱ)设这颗钻石的重量为a 克拉，由(Ⅰ)可知，按重量比为l ∶3切割后的价值为 6000(14a )2+6000(34a )2．…………………………………………… (6分)价值损失为 6000a 2一[6000(14a )2+6000(34a )2]．…………………………………(7分)价值损失的百分率为2222136000[6000()6000()]440.37537.5%6000a a a a-+== 答：价值损失的百分率为37.5％．……………………………………(8分)(Ⅲ)证明：价值损失的百分率应为22222222()6000()(60006000)2126000()()()2m nm n m n m n m n m n m n +⋅+-+=≤=+++，等号当且仅当m=n 时成立.即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率达到最大………………(12分)21．本小题主要考查导数、函数的极值、方程与不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解决问题的能力．满分12分．解：(Ⅰ)()f x '=3ax 2+2bx -1，……………………………………………………………(2分)依题意，(1)f '=(2)f '=0，即3210,12410.a b a b +-=⎧⎨+-=⎩解得a =16-，b =34，经检验a =16-，b =34符合题意.∴3213()2064f x x x x m =----=.…………………………………………(4分)(Ⅱ)曲线y =f (x )与g (x )=-3x -m (-2≤x ≤0)有两个不同的交点，即32132064x x x m ---=在[-2，0] 有两个不同的实数解.………………(5分)设φ(x )= 213()0222x x x ϕ'=--，则213()222x x x ϕ'=--，……………(7分)由()0x ϕ'=，得x = 4或x = -1， ∵x ∈[-2，0]，∴当x (-2,-1)时，()0x ϕ'>，于是φ(x )在[-2,-1]上递增；当x (-1,0)时，()0x ϕ'<，于是φ(x )在[-1,0]上递减. ……………………(9分) 依题意有323213(2)(2)(2)2(2)0,6413(1)(1)(1)2(1)0,64(0)0,m m m ϕϕϕ⎧-=------≤⎪⎪⎪=------>⎨⎪=-≤⎪⎪⎩………………(11分)解得0≤m<1312……… (12分)22．本小题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查解析几何的基本思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分14分． 解法一：(Ⅰ)连CA ，过C 作CD ⊥l 1，垂足为D ，由已知可得|CA |=|CD |， ∴点C 的轨迹是以A 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴轨迹E 的方程为x 2=4ay ……………………………………………(4分) (Ⅱ)直线l 2的方程为y=kx+a ，与抛物线方程联立消去y 得x 2-4akx -4a 2=0．记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1+x 2=4ak ，x 1x 2=-4a 2<0. ……………(6分)(1)若tan α=1,即k =1,此时x 1+x 2=4a , x 1x 2=-4a 2. ∴S ΔBPQ =S ΔABP +S ΔABQ =a |x 1|+a |x 2|=a |x 2-x 1| ==a =a=4a 2 .…………………………………………(8分)∴2=，注意到a >0,∴a =12………………………………(9分)(2) 因为直线P A 的斜率k ≠O ，易得点R 的坐标为(2a k -,-a ).……(10分)|PR |²|QR |=RP ²R Q ＝（x 1+2ak ，y 1+a ）²（x 2+2ak，y 2+a ）=（x 1+2a k）（x 2+2ak）+（kx 1+2 a ）（kx 2+ 2a ）=(1+k 2) x 1 x 2+(2a k+2 ak )( x 1+x 2)+224a k+4a 2= -4a 2(1+k 2)+4ak (2a k+2ak )+224a k+4a 2=4a 2(k 2+21k)+8a 2，∵k 2+21k≥2，当且仅当k 2=1时取到等号．……………………(12分)又α∈[6π,4π],k ∈3,1],∴上述不等式中等号能取到．…(13分)从而|PR |²|QR |的最小值为16a 2. ………………………………(14分)解法二：(I)同解法一．(Ⅱ)设直线l 2的方程为y=kx+a ，把直线方程与抛物线方程联立消去y 得 x 2-4akx -4a 2=0. ………………………(6分)记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1+x 2=4ak ，x 1x 2=-4a 2<0. ………………………(6分)(1)∵tan α=1，即k =1，此时x 1+x 2=4a ，x 1x 2=-4a 2，过P 、Q 引直线l 1的垂线，垂足为M 、N ， 则|PQ |=|PM |+|QN |=y 1+y 2+2a=x 1+x 2+4a=8a ,又点B 到直线l 2的距离d.∴S ΔBPQ =12d ²|PQ a 2, ………………………………………………(8分)2a>0，∴a =12.………………………………………(9分)(2) |PR |²|QR x 1-x R ||x 2-x R | =(1+k 2)²(x 1+2a k)(x 2+2a k)，下同解法一．。