最新第二篇习题答案(1)

第二篇概率与推断基础

一、讨论题

1. 简述随机变量的均数与样本均数的区别。

答：由随机实验中产生的结果用数值表示的变量叫随机变量。随机变量X的均数是指随机变量所有可能值的平均，但它不是一般意义下的平均，而是要把每个取值都按照它的概率来加权之后的平均，每个可能取值的权重就是X取这个值的概率。通常用

X

μ而不是简单的μ来表示随机变量X的均数，这样有利于我们理解描述的到底是哪一个随机变量。样本均数是指某样本所有观测值的平均值，是描述样本数据特征的一个统计量，通常用x表示。对于一个特定总体而言，样本观测值会随抽取的样本不同而变化，相应的样本均数也会因样本的不同而变化。但是随机变量X的均数是一个描述总体特征的参数，它是随机变量所有可能取值的平均值。

2. 简要回答二项分布、Poisson分布及正态分布的区别与联系。

答：（1）三者的区别

表4-1 三种分布的比较

二项分布Poisson分布正态分布

概率函数

()

()

()

!

Pr1

!!

n k

k

n

X k

k n k

ππ-

==-

-

0,1,2,,

k n

=

Pr()

!

k

e

X k

k

μμ

-

==

0,1,2,,

k n

=

(

)

2

1

2

x

f x

μ

σ

-

⎛⎫

- ⎪

⎝⎭

=

∞

概率函数意义说明n个观察数中恰好发生

X个某事件的概率

说明一定观察单位内发生

某事件数为X的概率

X对应的曲线上的点代表

概率密度，一个范围如

X1－X2内的面积才代表

概率

决定

参数

n，πμμ，σ

均数与方差关系

X

n

μπ

=

2(1)

X

n

σππ

=-

2

X X

μσ

>

π

μn

=

π

σn

=

2

2

σ

μ=

一般σ

μ>（Z分布除

外）

适用条件

互斥性，独立性，稳定性

（用大量重复实验得到的样

本率来估计参数π）

同前，尚需n很大（趋向

于无穷大），π很小

连续分布，服从正态性

类型离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分

布

连续型随机变量的概率

分布

可加性无有有

（2）三者的联系

Poisson 分布是二项分布的特殊情况，服从Poisson 分布的资料也肯定服从二项分布。因此，能用Poisson 分布法处理的资料原则上也能用二项分布来处理(但需知道总观察数和阳性数)，只不过此时计算较繁而已。反之则不然，服从二项分布者不一定都能用Poisson 分布法来处理，需满足Poisson 分布的近似条件才可。

不论二项分布还是Poisson 分布，只有满足正态近似条件时才可用正态近似法。当然此时也可用两种分布相应的方法，但正态近似法较为简便。

3. 指出下述陈述的错误并给出解释。

（1）中心极限定理指出对于大样本而言，总体均数μ近似服从正态分布。 答：此描述的错误主要在后半句“总体均数μ近似服从正态分布”，中心极限定理是针对样本均数而言的。中心极限定理是指从任意均数等于μ，方差等于2σ的一个总体中抽取样本量为n 的简单随机样本。当样本量n 很大时，无论总体分布形态如何，样本均数的抽样分布近似正态分布。

（2）对于大样本而言，观察值近似服从正态分布。

答：当样本量n 很大时，无论总体分布形态如何，样本均数的抽样分布近似正态分布。即中心极限定理是针对样本均数而言。

（3）从总体进行简单随机抽样，抽取的样本量越大，样本均数的标准差越大。 答：

x σ，均数的标准差与样本量的平方根成反比，即抽取的样本量越大，样本均数的标准差越小。

4. 如何理解“样本率的抽样分布同样遵循中心极限定理”？

答：二项分布可看成多次伯努利试验的和：用1i S =时表示结果第i 次实验“成功”，0i S =时表示第i 次实验结果“失败”，可以将各个i S 相加得到总的“成功”次数（即12...n X S S S =+++），而“成功”率为12(...)/n p S S S n =+++，可将其看做一个均数，即样本量为的样本率可以用取值为0和1变量的样本均数来表示，因此其同样也遵循中心极限定理。

5. 使用置信区间的常见注意事项。

答：

±⨯

①公式x z'

数估计公式；

②数据须来自相应总体的简单随机抽样，个体间相互独立是使用上述估计公式的前提；

③对于来自随意收集且偏倚较大的数据，没有恰当的方法进行统计推断，统计分析无法拯救糟糕的数据；

④在计算置信区间之前往往需先对数据进行探索性分析，例如找出异常值，检验数据是否服从正态分布；

±⨯σ已知，实际研究中很可能无法得

⑤公式x z'

到总体标准差σ。当样本量较大时，可选用样本标准差s估计σ，对应置信区间可

±⨯

用公式x z'

⑥实际操作中的问题（如无应答与失访）会给抽样研究带来额外的误差，这些误差可能比随机抽样误差大得多，并且研究结果中这些误差并不能被误差范围所反映；

⑦统计推断的概率是指该方法重复进行的正确频率，即在100次抽样中，平均而言95%置信区间有95次包含了总体均数，但并不知道某一次结果的正确性。

6. 解释零假设与备择假设的含义。

H，是在我们没有证明某现象之前做出的保答：零假设又称无效假设，记为

守推测，是被用来检验的假设，通常表述为“没有差异”，表示差异是由抽样误差引

H，表示其差异是因为比较的对象之间存在起的；备择假设又称对立假设，记为

1

H描述的往往是我们希望看到的结果。

本质不同。在现实研究中，

1

7. 假设检验的思想、步骤及其与置信区间的区别与联系。