人教版高中数学总复习[知识点整理及重点题型梳理]推理与证明、数学归纳法

推理与证明、数学归纳法

编稿：辛文升 审稿：孙永钊

【考纲要求】

1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．

2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．

3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

5.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．

6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【知识网络】

【考点梳理】

【推理与证明、数学归纳法407426 知识要点】

考点一：合情推理与演绎推理

1．推理的概念

根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．

2．合情推理

根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理．

合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类：

(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这

推 理 与 证 明

归纳

推 理

证 明

合情推理

演绎推理

数学归纳法

综合法 分析法 直接证明

类比

间接证明

反证法

些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，归纳推理简称归纳．

(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理简称类比．

3．演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

三段论是演绎推理的一般模式，它包括： (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况；

(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 要点诠释：

合情推理与演绎推理的区别与联系 （1）从推理模式看：

①归纳推理是由特殊到一般的推理． ②类比推理是由特殊到特殊的推理． ③演绎推理是由一般到特殊的推理． （2）从推理的结论看：

①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。 ②演绎推理所得的结论一定正确。

（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.

考点二：直接证明与间接证明 1．综合法

(1)定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因索果的证明方法，又叫顺推法．

(2)综合法的思维框图：

用P 表示已知条件，1i Q i =（，2，3，...，n ）为定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

1P Q ⇒（）→12Q Q ⇒（）→23Q Q ⇒（）→.........n Q Q ⇒（）

2．分析法

(1) 定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理)为止．这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．

(2)分析法的思维框图：

1Q P ⇐（）→12P P ⇐（）→23P P ⇐（）

→.........得到一个明显成立的条件. 3．反证法

(1)定义：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．

(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤： ①分清命题的条件和结论．

②做出与命题结论相矛盾的假设．

③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．

④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．

考点三：数学归纳法

数学归纳法证明命题的步骤：

（1）证明当n 取第一个值0n 时结论正确；

（2）假设当n k =0(*,)k N k n ∈≥时结论正确，证明1n k =+时结论也正确， 由（1）（2）确定对0*,n N n n ∈≥时结论都正确。

要点诠释： 1.在证明过程中 证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；

证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；

2.用数学归纳法证明问题时 初始值的选取：

初始值0n 就是我们要证明的命题对象的最小自然数。根据题目不同，初始值不一定从

01n =开始。如，证明不等式22n n >，初始值应从05n =开始.

必须把要把归纳假设用上一次或者多次：

在由假设n k =时命题成立，证明1n k =+时命题也成立，必须把要把归纳假设用上一

次或者多次。必须把归纳假设“*

0(,)n k k n k =≥∈N 时命题成立”作为条件来推导出

“1n k =+时命题也成立”是第二步的关键，只有通过归纳假设的使用，才达到由n=k 的情况递推到n=k+1的情况，保证了命题的传递性。此处变形的方法较多，要在不同题型中逐步去体会，如证明整除问题、几何问题等。 【典型例题】

类型一：合情推理与演绎推理 例1．在数列{}n a 中，a 1=1，且12(*)2n

n n

a a n N a +=∈+，计算a 2，a 3，a 4，并猜想n a 的表达式.

【思路点拨】根据递推关系依次把n 的值代入就可以.