天津市南开区2016-2017学年高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

天津市南开区2016-2017学年高三上学期期末试卷
（理科数学）
一、选择题：只有选项是正确的．
1．复数=（）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．已知全集U=R，集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合为（）
A．{x|﹣1≤x≤3}B．{﹣3，﹣1，1，3，5} C．{﹣1，1，3} D．{﹣1，1，3，5}
3．等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，a
5
=11，S
12
=186，则a
8
=（）
A．18 B．20 C．21 D．22
4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），如果k+与﹣3垂直，那么实数k的值为（）
A．﹣19 B．﹣C．D．19
6．一个俯视图为正方形的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．2 B．C．D．
7．已知双曲线﹣=1的一个焦点在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．y=x C．D．
8．下列四个条件中，p是q的充要条件的是（）
A．p：a＞b，q：a2＞b2
B．p：ax2+by2=c为双曲线，q：ab＜0
C．p：ax2+bx+c＞0，q：﹣+a＞0
D．p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点
二、填空题每题5分，共30分
9．某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为．
10．设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B= ．
12．若tanα=2，则= ．
13．已知函数f （x ）=a x （a ＞0且a≠1），其关于y=x 对称的函数为g （x ）．若f （2）=9，则g （）+f （3）的值是 ．
14．已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于点F ，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于点D ，则∠ADF 的度数为 ．
三、解答题，本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第
四次为止．已知一个投手的投篮命中概率为， （Ⅰ）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；
（Ⅱ）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数ξ的概率分布和数学期望．
16．函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y 取最大值1，当x=时，
y 取最小值﹣1．
（Ⅰ）求函数的解析式y=f （x ）
（Ⅱ）函数y=sinx 的图象经过怎样的变换可得到y=f （x ）的图象？
（Ⅲ）求函数f （x ）的单调递减区间．
17．已知数列{a n }满足a 1=9，其前n 项和为S n ，对n ∈N *，n≥2，都有S n =3（S n ﹣1﹣2）
（Ⅰ）求数列{a n }的通项；
（Ⅱ）求证：数列{S n +}是等比数列；
（Ⅲ）若b n =﹣2log 3a n +20，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．
18．已知长方体AC 1中，棱AB=BC=1，棱BB 1=2，连接B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于E ，交B 1C 于F （1）求证：A
1C⊥平面EBD ； （2）求点A 到平面A 1B 1C 的距离；
（3）求平面A 1B 1C 与直线DE 所成角的正弦值．
19．已知圆C ：x 2+y 2=4．
（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 相切，求直线l 的方程；
（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量=
+
，求动点Q 的
轨迹方程．
（Ⅲ） 若点R （1，0），在（Ⅱ）的条件下，求||的最小值．
20．已知函数f （x ）=（a+1）lnx+ax 2+1．
（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处切线的斜率k=﹣，求实数a 的值；
（Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性；
（Ⅲ）若xf′（x ）≥x 2+x+1，求a 的取值范围．
天津市南开区2016-2017学年高三上学期期末试卷
（理科数学）参考答案与试题解析
一、选择题：只有选项是正确的．
1．复数=（）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母都进行复数的乘法运算，得到最简结果．
【解答】解： =
故选B．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是正确进行复数的乘除运算，注意运算法则，本题是一个基础题．
2．已知全集U=R，集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合为（）
A．{x|﹣1≤x≤3}B．{﹣3，﹣1，1，3，5} C．{﹣1，1，3} D．{﹣1，1，3，5} 【分析】根据Venn图表达集合的交集运算，再根据两个集合的交集的意义求解．
【解答】解：由Venn图可知，阴影部分所示的集合为M∩N，
∵集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}，
∴M∩N={﹣1，1，3}，
故选：C．
【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，以及集合交集的运算，属于基础题．
3．等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，a
5
=11，S
12
=186，则a
8
=（）
A．18 B．20 C．21 D．22
【分析】由数列的性质得a 1+a 12=a 5+a 8又因为×（a 1+a 12）=186所以a 1+a 12=a 5+a 8=31所以a 8=20
【解答】解：由数列的性质得a 1+a 12=a 5+a 8 又因为
×（a 1+a 12）=186
所以a 1+a 12=a 5+a 8=31 因为a 5=11所以a 8=20 故选B ．
【点评】本题主要考查数列的性质即若m+n=l+k 则a m +a n =a l +a k ．
4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1； 当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2； 当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3； 当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；
当S=2049时，不满足继续循环的条件，
故输出的k 值为4， 故选：A
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
5．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），如果k+与﹣3垂直，那么实数k的值为（）
A．﹣19 B．﹣C．D．19
【分析】先求出两个向量的坐标，根据向量垂直的充要条件及数量积公式列出方程解得．
【解答】解：，
∵k+与﹣3垂直
∴=0
∴10（k﹣3）﹣4（2k+2）=0
解得k=19
故选项为D
【点评】本题考查两向量垂直的充要条件是：数量积为0．
6．一个俯视图为正方形的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．2 B．C．D．
【分析】几何体为四棱锥，底面正方形的对角线为2，棱锥的高为1，带入体积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的高为1，棱锥底面正方形的对角线为2，
∴棱锥底面正方形的边长为．
∴V==．
故选C．
【点评】本题考查了棱锥的三视图即体积计算，是基础题．
7．已知双曲线﹣=1的一个焦点在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．y=x C．D．
【分析】确定双曲线﹣=1的右焦点为（，0）在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，求出m的值，即可求得双曲线的渐近线方程．
【解答】解：由题意，双曲线﹣=1的右焦点为（，0）在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，
∴（）2﹣4﹣5=0
∴=5
∴m=16
∴双曲线方程为=1
∴双曲线的渐近线方程为
故选B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．下列四个条件中，p是q的充要条件的是（）
A．p：a＞b，q：a2＞b2
B．p：ax2+by2=c为双曲线，q：ab＜0
C．p：ax2+bx+c＞0，q：﹣+a＞0
D．p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点
【分析】A．a＞b与a2＞b2相互推不出，即可判断出正误；
B．p：ax2+by2=c为双曲线，则＜0，可得：ab＜0，反之不一定成立，即可判断出正误；
C．p与q相互推不出，即可判断出正误；
D．q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，可得△＞0，解出m即可判断出结论．
【解答】解：A．a＞b与a2＞b2相互推不出，因此不满足条件；
B．p：ax2+by2=c为双曲线，则＜0，可得：ab＜0，⇒q：ab＜0，反之不一定成立，不满足条件；
C．p与q相互推不出，因此不满足条件；
D．q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，可得△=m2﹣4（m+3）＞0，解得m＞6或m＜﹣2．
∴p是q的充要条件．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质、圆锥曲线的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题每题5分，共30分
9．某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为10 ．
【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数．
【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，
则在高二年级抽取的人数是200×=10人，
故答案为：10．
【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．
10．设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为18 ．
【分析】本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值．
【解答】解：画出可行域，得在直线2x﹣y=2与直线x﹣y=﹣1的交点A（3，4）处，
目标函数z最大值为18
故答案为18．
【点评】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题．近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B= ．
【分析】根据余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值求出B即可．
【解答】解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，且a=1，b=，c=，
所以cosB===﹣，
得到B为钝角即B∈（，π），
所以B=
故答案为
【点评】考查学生灵活运用余弦定理化简求值的能力，以及会根据特殊角的三角函数值求角的能力．
12．若tanα=2，则= ．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：∵tanα=2，
∴==，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
13．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），其关于y=x对称的函数为g（x）．若f（2）=9，则g（）+f （3）的值是25 ．
【分析】根据题意可知f（x）与g（x）化为反函数，再依据f（2）=9求得a值，代值计算即可．
【解答】解：函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），其关于y=x对称的函数为g（x）．
x，
则函数f（x）=a x反函数为：y=log
a
∴g（x）=log
x，
a
又f（2）=9，
∴a2=9，
∴a=3，
x，
∴g（x）=log
3
+33=25，
∴g（）+f（3）=）=log
3
故答案为：25．
【点评】本小题主要考查反函数的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．
14．已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点F，DC是∠AC B的平分线交AE于点F，交AB于点D，则∠ADF的度数为45°．
【分析】根据直径上的圆周角是直角、弦切角定理以及三角形内内角和定理等通过角的关系求解．
【解答】解：设∠EAC=α，根据弦切角定理，∠ABE=α．
根据三角形外角定理，∠AEC=90°+α．
根据三角形内角和定理，∠ACE=90°﹣2α．
由于CD是∠ACB的内角平分线，所以FCE=45°﹣α．
再根据三角形内角和定理，∠CFE=180°﹣（90°+α）﹣（45°﹣α）=45°．
根据对顶角定理，∠AFD=45°．
由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．
故答案为：45°．
【点评】本题的涉及很独到，试题涉及成动态的，即点C是可变的，在这个动态中求解其中的一个不变量．解决这类试题要善于抓住主要的变化关系，如本题中主要的变量就是∠AEC，抓住这个变量后，其余的角可以使用这个变量进行表达，通过各个角的关系证明求解的目标与这个变量没有关系．
三、解答题，本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第
四次为止．已知一个投手的投篮命中概率为，
（Ⅰ）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；
（Ⅱ）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数ξ的概率分布和数学期望．
【分析】（Ⅰ）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A，由相互独立事件乘法概率公式能求出该选手投篮3次停止该轮训练的概率．
（Ⅱ）由题意ξ的可能取值为1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
【解答】解：（Ⅰ）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A，
概率为P（A）=（1﹣）2=．由题意ξ的可能取值为1、2、3、4，（5分）
P（ξ=1）=，
P（ξ=2）=（1﹣）=，
P（ξ=3）=（1﹣）2=，
P（ξ=4）=（1﹣）3+（1﹣）4=，（11分）
∴ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
E（ξ）=1×+2×+3×+4×=．（13分）
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．
16．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．
（Ⅰ）求函数的解析式y=f（x）
（Ⅱ）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？
（Ⅲ）求函数f（x）的单调递减区间．
【分析】（Ⅰ）通过当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．
（Ⅲ）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．
∴T==，
∴ω=3．﹣﹣﹣﹣（4分）
∵sin（π+φ）=1，
∴π+φ=2kπ+（k∈Z），
即φ=2kπ﹣，
又∵|φ|＜，
∴可得φ=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
∴函数 f（x）=sin（3x﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
（Ⅱ）y=sinx的图象向右平移个单位得y=sin（x﹣）的图象
再由y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标变为原来的．纵坐标不变，
得到y=sin （3x ﹣）的图象，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
（Ⅲ）令2k
≤3x﹣
≤2k
，（k ∈Z ），
求得函数f （x ）的单调递减区间为：[，
]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
【点评】本题主要考查了函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
17．已知数列{a n }满足a 1=9，其前n 项和为S n ，对n ∈N *，n≥2，都有S n =3（S n ﹣1﹣2）
（Ⅰ）求数列{a n }的通项；
（Ⅱ）求证：数列{S n +}是等比数列；
（Ⅲ）若b n =﹣2log 3a n +20，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．
【分析】（Ⅰ）由S n =3（S n ﹣1﹣3），S n+1=3（S n ﹣3），相减可得a n+1=3a n ．利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）利用等比数列的前n 项和公式可得S n ，变形即可得出．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知b n =﹣2log 3a n +20=﹣2n+18，利用等差数列的前n 项和公式，二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵S n =3（S n ﹣1﹣3），S n+1=3（S n ﹣3），
∴a n+1=3a n ．
故{a n }是公比为3，首项为9的等比数列，，
（Ⅱ）∵
，
∴，
∴，．
故数列是为首项，公比为3的等比数列． （Ⅲ）由（Ⅰ）可知b n =﹣2log 3a n +20=﹣2n+18，
∴{b n }是公差为﹣2．首项为16的等差数列．
∴
，
∵b 8＞0，b 9=0，b 10＜0， ∴T 8或T 9最大，最大值为72．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、二次函数的单调性、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．已知长方体AC 1中，棱AB=BC=1，棱BB 1=2，连接B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于E ，交B 1C 于F ．
（1）求证：A 1C⊥平面EBD ； （2）求点A 到平面A 1B 1C 的距离；
（3）求平面A 1B 1C 与直线DE 所成角的正弦值．
【分析】（1）以A 为原点，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，然后求出与，
然后根据向量的数量积判定垂直关系，A 1C⊥BD，A 1C⊥BE，又BD∩BE=B 满足线面垂直的判定定理所需条件；
（2）连接AE 1，A 到平面A 1B 1C 的距离，即三棱锥A ﹣A 1B 1C 的高，根据等体积法可知，
求出高即可；
（3）连接DF ，根据BE⊥平面A 1B 1C ，可知DF 是DE 在平面A 1B 1C 上的射影，从而∠EDF 是DE 与平面A 1B 1C 所成的角，最后在Rt△FDE 中，求出此角的正弦值即可．
【解答】解：（1）证明：以A 为原点，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，那么A （0，
0，0）、B （1，0，0）、C （1，1，0）、D （0，1，0）、A 1（0，0，2）、B 1（1，0，2）、C 1（1，1，2）、
D 1（0，1，2），，，…（2分）
设E （1，1，z ），则：，，
∵BE⊥B 1C∴，
，∴
，
，
∵
，
，∴A 1C⊥BD，A 1C⊥BE，…（4分）
又BD∩BE=B∴A 1C⊥平面EBD ．…（5分）
（2）连接AE 1，A 到平面A 1B 1C 的距离，即三棱锥A ﹣A 1B 1C 的高，设为h ，…（6分）
，
，由
得：
，
，…（8分）
∴点A 到平面A 1B 1C 的距离是
．…（9分）
（3）连接DF ，∵A 1C⊥BE，B 1C⊥BE，A 1C∩B 1C=C ，∴BE⊥平面A 1B 1C ，∴DF 是DE 在平面A 1B 1C 上的射影，∠EDF 是DE 与平面A 1B 1C 所成的角，…（11分）
设F （1，y ，z ），那么，
∵
∴y﹣2z=0①∵
，∴z=2﹣2y②由①、②得
，
，
…（12分）
在Rt△FDE 中，．∴
，因此，DE 与平面A 1B 1C 所成的角的正弦值是．…
（14分）
【点评】本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角，以及点面间的距离计算，属于中档题．
19．已知圆C ：x 2+y 2=4．
（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 相切，求直线l 的方程；
（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量=
+
，求动点Q 的
轨迹方程．
（Ⅲ） 若点R （1，0），在（Ⅱ）的条件下，求|
|的最小值．
【分析】（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 相切，圆心到此直线的距离=半径，即可求直线l 的方程；
（Ⅱ）设出M 及Q 的坐标，根据题意表示出N 的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，用x 与y 分别表示出x 0及y 0，将表示出的x 0及y 0代入圆C 的方程，得到x 与y 的关系式，再根据由已知，直线m∥y 轴，得到x≠0，即可得出Q 的轨迹方程；
（Ⅲ）由Q 及R 的坐标，表示出，利用平面向量模的计算法则表示出|
|2，由圆C 的方程表示出y 2，将
y 2代入表示出的||2中，得到关于x 的二次三项式，配方后根据二次函数的性质，可得出||2的最小值，
开方即可得出|
|的最小值，以及此时x 的值．
【解答】解：（Ⅰ）显然直线l 不垂直于x 轴，
设其方程为y ﹣2=k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k+2=0…（2分）
设圆心到此直线的距离为d ，则d=
=2，
得k=0或k=﹣ …（4分） 故所求直线方程为y=2或4x+3y ﹣10=0．…（5分） （Ⅱ）设点M 的坐标为（x 0，y 0），Q 点坐标为（x ，y ），
则N 点坐标是（x 0，0），
∵
=
+
，
∴（x ，y ）=（2x 0，y 0），即x 0=，y 0=y ，
又∵x 02+y 02=4，∴
+y 2=4，（8分）
由已知，直线m∥y 轴，得到x≠0，
∴Q 点的轨迹方程是
+y 2=4（x≠0）；（9分）
（Ⅲ）设Q 坐标为（x ，y ），R （1，0），
∴=（x ﹣1，y ），
∴||2=（x ﹣1）2+y 2，（10分）
又
+y 2=4（x≠0），
∴|
|2=（x ﹣1）2+y 2=（x ﹣1）2+4﹣
=
≥，（12分）
∵x∈[﹣4，0）∪（0，4]，
∴x=时，||取到最小值．（14分）
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，动点的轨迹方程，平面向量的数量积运算法则，以及二次函数的性质，利用了数形结合及转化的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
20．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处切线的斜率k=﹣，求实数a的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若xf′（x）≥x2+x+1，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（1）=﹣，求出a的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间；
（Ⅲ）分离参数得到a≥，令g（x）=，求出其最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）=，f′（1）==﹣，
解得：a=﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0；单调增，
x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，单调减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
（Ⅲ）xf′（x）≥x2+x+1，得：a≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
令g（x）=，则g′（x）=，
当0＜x＜时，g（x）单调递增，当x＞时，g（x）单调递减，
=g=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
所以，g（x）
max
故a≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．。