第四章-连续时间信号的采样
采样信号的概念
采样信号的概念采样信号是指连续时间信号在时间轴上以离散形式采样后得到的离散时间信号。
在信号处理中，采样是将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。
采样信号常用于数据采集、数字化通信、移动通信、音频处理等领域。
采样信号的概念可以通过以下几个方面进行解释：1. 采样定理：采样定理是离散时间信号处理的基础。
根据采样定理，对于频域限制在一定带宽范围内的连续时间信号，只需以超过其最高频率两倍的采样频率进行采样，就能够完全还原原信号。
2. 采样频率：采样频率是指每秒对连续时间信号进行采样的次数，通常用赫兹（Hz）来表示。
采样频率的选择应满足采样定理的要求，以避免出现混叠现象。
在实际应用中，常用的采样频率为声音的44.1kHz或48kHz。
3. 采样间隔：采样间隔是指连续时间信号在时间轴上两个采样点之间的距离，通常用秒（s）来表示。
采样间隔与采样频率的关系为采样间隔= 1 / 采样频率。
采样间隔越小，对信号的描述就越精确。
4. 量化：量化是将连续时间信号的幅度离散化的过程。
在采样后，信号的幅度需要用有限数量的离散值来表示，这就需要进行量化。
量化过程中，通常将连续幅度值映射到最接近的离散值，常见的量化方式有均匀量化和非均匀量化。
5. 采样误差：采样信号引入了采样误差，即由于采样和量化过程导致的原始信号与重构信号之间的差异。
采样误差可通过增加采样频率和增加量化位数来减小，但不能完全消除。
6. 重构：重构是将采样信号恢复为连续时间信号的过程。
通过采样定理，采样信号可以用原始信号的线性插值方法进行重构。
常用的重构方法有零阶保持插值、一阶保持插值和多项式插值。
采样信号在实际应用中具有重要的意义。
首先，采样信号可以方便进行数据存储和传输。
通过将连续时间信号转换为离散时间信号，可以在数字设备中对信号进行处理、存储和传输，提高信号的处理效率。
其次，采样信号可以方便进行数字信号处理。
采样信号可以利用离散时间信号处理的方法，如滤波、卷积、频域分析等，对信号进行处理和分析。
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱__信号与系统课设
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱__信号与系统课设1 引言随着科学技术的迅猛发展，电子设备和技术向集成化、数字化和高速化方向发展，而在学校特别是大学中，要想紧跟技术的发展，就要不断更新教学和实验设备。
传统仪器下的高校实验教学，已严重滞后于信息时代和工程实际的需要。
仪器设备很大部分陈旧，而先进的数字仪器(如数字存储示波器)价格昂贵不可能大量采购，同时其功能较为单一，与此相对应的是大学学科分类越来越细，每一专业都需要专用的测量仪器，因此仪器设备不能实现资源共享，造成了浪费。
虚拟仪器正是解决这一矛盾的最佳方案。
基于PC 平台的虚拟仪器，可以充分利用学校的微机资源，完成多种仪器功能，可以组合成功能强大的专用测试系统，还可以通过软件进行升级。
在通用计算机平台上，根据测试任务的需要来定义和设计仪器的测试功能，充分利用计算机来实现和扩展传统仪器功能，开发结构简单、操作方便、费用低的虚拟实验仪器，包括数字示波器、频谱分析仪、函数发生器等，既可以减少实验设备资金的投入，又为学生做创新性实验、掌握现代仪器技术提供了条件。
信号的时域分析主要是测量测试信号经滤波处理后的特征值，这些特征值以一个数值表示信号的某些时域特征，是对测试信号最简单直观的时域描述。
将测试信号采集到计算机后，在测试VI 中进行信号特征值处理，并在测试VI 前面板上直观地表示出信号的特征值，可以给测试VI 的使用者提供一个了解测试信号变化的快速途径。
信号的特征值分为幅值特征值、时间特征值和相位特征值。
尽管测量时采集到的信号是一个时域波形，但是由于时域分析工具较少，所以往往把问题转换到频域来处理。
信号的频域分析就是根据信号的频域描述来估计和分析信号的组成和特征量。
频域分析包括频谱分析、功率谱分析、相干函数分析以及频率响应函数分析。
信号在时域被抽样后,他的频谱X(j )是连续信号频谱X(j )的形状以抽样频率为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn加权。
信号与系统中抽样的概念
信号与系统中抽样的概念抽样是信号与系统中一个重要的概念。
在信号处理中，抽样是指对连续时间信号进行离散化处理，将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。
抽样的目的是为了将连续时间信号转换为数字信号，使得信号可以通过数字方式进行存储、传输和处理。
抽样过程可以看作是在连续时间域上对信号进行定时取样。
抽样过程中，我们使用采样定理（奈奎斯特定理）来保证抽样后的信号不失真。
采样定理指出，为了避免信号采样引起的混叠现象，抽样频率必须大于等于原始信号中最高频率的两倍，也就是满足奈奎斯特频率。
在实际应用中，我们通常采用理想脉冲序列作为采样信号。
理想脉冲序列是一个周期为T的序列，每个周期内有一个脉冲，其他时间点上为零。
理想脉冲序列的傅里叶变换是一个周期序列（频率为1/T）的线性组合。
对连续时间信号x(t)进行抽样，可以通过将x(t)与理想脉冲序列进行卷积来实现。
即将x(t)乘以理想脉冲序列，然后对乘积信号进行积分。
抽样后得到的信号为离散时间信号x[n]，其中n为整数，表示采样时刻。
离散时间信号x[n]可以看作是连续时间信号x(t)在采样时刻的取样值。
为了重构x(t)，可以通过将x[n]与插值函数进行卷积来实现。
插值函数可以看作是理想脉冲序列的反变换，即将理想脉冲序列的傅里叶变换除以周期序列的傅里叶变换。
抽样引入了两个重要的参数，即采样间隔和采样频率。
采样间隔为采样时刻之间的时间间隔，采样频率为采样时刻之间的倒数，即采样频率等于1/采样间隔。
采样频率越高，采样精度越高，重构信号的失真越小。
但是，采样频率过高也会导致计算和存储的需求增加。
抽样过程中，还存在一个概念叫做抽样定理。
抽样定理指出，在有限频带B内的连续时间信号，可以通过以准确率误差小于ε的方式进行采样和重构，只需要满足采样频率f_s大于等于2B。
这是由带限信号在频域中没有重叠而导致的。
如果信号的频域存在重叠，则需要进一步提高采样频率以避免混叠现象。
在实际应用中，我们使用的信号不一定是有限频带的信号，因此在抽样过程中，可能会引入混叠现象。
连续时间信号的采样与重构及其实现
连续时间信号的采样与重构及其实现
信号处理是现代通信系统中至关重要的一环，其中采样与重构是
一种基本的信号处理技术。
在连续时间信号处理中，采样的作用是将
信号从连续时间域转换为离散时间域。
而重构的作用则是将离散时间
域信号重新转换为连续时间信号，以便于信号的处理和传输。
在采样的过程中，需要将连续时间信号按照一定的时间间隔进行
取样，得到一个离散时间序列。
采样过程中最关键的参数是采样频率，也就是每秒采用的样本数，通常用赫兹（Hz）表示。
采样频率越高，
离散时间序列的准确性就越高，但同时也会增加采样处理的复杂度。
重构的过程则是将离散时间信号恢复成连续时间信号。
由于采样
本身会将连续时间信号进行离散化处理，因此需要进行一定的插值和
滤波处理才能够准确地重构信号。
常见的重构算法包括插值算法、直
接复制算法和最小均方误差算法等。
在实现上，采样和重构的算法都需要借助于一定的数学模型和计
算机技术。
在现代通信系统中，基于数字信号处理技术的采样和重构
算法广泛应用于音频信号、视频信号、图像信号等多种信号处理领域。
数学模型包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、小波变换等等。
总之，采样和重构是现代通信系统中非常重要的信号处理技术，
对于准确传输和处理信号具有至关重要的作用。
采用数字信号处理技
术可以实现高效的采样和重构，为现代通信系统的发展提供重要的支撑。
信号的抽样与恢复(抽样定理)
信号的抽样与恢复（抽样定理）信号的抽样和恢复是数字信号处理中的基本操作。
它是将连续时间信号（模拟信号）转化为离散时间信号（数字信号）的过程，也是将数字信号转化为连续时间信号的过程。
抽样定理是信号的抽样和恢复中一个十分重要的定理，它的证明也是数字信号处理中的一个重要课题。
一、信号的抽样在信号处理中，可以通过对连续时间信号进行离散化处理，使其转化为离散时间信号，便于数字处理。
抽样是指在每隔一定的时间间隔内对连续时间信号进行采样，得到一系列离散的采样值。
抽样操作可以用如下公式进行表示：x(nT) = x(t)|t=nT其中，x(t)是原始连续时间信号，x(nT)是在时刻nT处采样得到的值，T为采样周期。
具体来说，采样过程可以通过模拟信号经过一个采样和保持电路，将连续时间信号转换为离散信号的形式。
这里的采样周期越小，采样得到的离散信号的数量就越多，离散信号在时间轴的表示就越密集。
抽样后得到的信号形式如下：二、抽样定理抽样定理又称为奈奎斯特定理，是数字信号处理中的基础理论之一。
它指出，如果连续时间信号x(t)的带宽为B，则在抽样周期为T时，可以恰好通过抽样重建出原始信号x(t)，当且仅当：T ≤ 1/(2B)即抽样周期T应小于等于原始信号的最大频率的倒数的一半。
这个定理的物理意义是，需要对至少每个周期内的信号进行采样，才能够恢复出连续信号。
如果采样周期过大，将会丢失信号的高频成分，从而无法准确重建原始信号。
抽样定理说明了作为采样频率的一个下限值2B，因为将采样频率设置为低于此值会失去信号的唯一信息（高频成分）。
当采样频率等于2B时，可以从这些采样值恢复出信号的完整频率谱，即避免了信息损失。
三、信号的恢复当原始信号被采样后，需要对采样得到的离散信号进行恢复，以便生成一个趋近于原始信号的连续信号。
采样定理的证明告诉了我们如何确保在扫描连续信号的采样点时，可以正确地还原其原始形式。
例如，可以通过插值的方式将采样点之间的值计算出来，从而恢复出连续时间信号。
连续时间信号的采样
由于 Y ( j) X s ( j) H ( j) X a ( j) ，根据时域
卷积定理y(t) xs (t) h(t) xa (t) 因为
所以
H
(
j)
T 0
s 2 s 2
h(t) F 1 H j 1 H ( j)e jtd
xs (t) xa (t) T (t) xa (t)
(t nT )
n
n
xa
(t
)
(t
nT
)
n
xa
(nT
)
(t
nT
)
T (t)
xs (t)
0
t
0
t
注意区分 xs (t)和x(n) ，它们都是连续信号采样后的离散序列表 示，不同点是：xs (t)实质是连续时间信号，该信号仅在采样周 期的整数倍上取非零值，而 x(n) 为离散时间信号，它只依赖 于变量n，不包含任何有关采样周期或采样频率的信息，也就 是说相当于引入了时间归一化。
n
为脉宽为 ，周期为T的矩形脉冲周期信号， 为开关闭合时间
，T为采样周期。
s(t)
xa (t)
xs (t)
0
t
0
t
0
t
实际
S(t)
采样：
0
xs (t)
S(t)为脉冲序列
…
t T
1 fs T
t
理想采样
1、 开关闭合时间τ→0时，为理想采样。
2、 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲 激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地 等于输入信号在采样瞬间的幅度。 即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。
简述采样定理的基本内容
简述采样定理的基本内容一、引言采样定理是数字信号处理中的基础概念，它告诉我们如何将连续时间的信号转换成离散时间的信号，并保证在这个过程中不会丢失任何信息。
采样定理的应用非常广泛，涉及到音频、视频、图像等领域。
本文将从以下几个方面来详细介绍采样定理的基本内容。
二、什么是采样定理？采样定理又称为奈奎斯特-香农采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem），它是由美国工程师哈里·尼科拉斯·奈奎斯特和克劳德·香农于20世纪初提出的。
采样定理是指：如果一个连续时间信号在一段时间内没有任何频率成分超过其最高频率的两倍，则可以通过对该信号进行等间隔抽样，得到一个离散时间信号，这个离散时间信号可以完全还原原始连续时间信号。
三、采样频率与最高频率为了满足采样定理，我们需要知道原始连续时间信号中最高频率的大小，并根据最高频率来确定采样频率。
在实际应用中，我们通常将采样频率设置为最高频率的两倍以上，以确保信号可以被完全还原。
如果采样频率低于最高频率的两倍，则会发生混叠现象，导致原始信号无法恢复。
四、采样定理的数学表达式采样定理的数学表达式如下：若x(t)是一个带限信号，其最高频率为fmax，则它可以由在等间隔时间Ts下进行的抽样所确定，当Ts≤1/(2fmax)时，由抽样得到的离散时间序列x(nTs)可以唯一地表示连续时间信号x(t)，即：x(t)=Σn=-∞∞x(nTs)sinc((t-nTs)/Ts)其中sinc函数定义为：sinc(x)=sin(πx)/(πx)五、采样定理的应用采样定理在数字信号处理中有着广泛的应用。
例如，在音频领域中，CD音质就是通过对音频信号进行44.1kHz的采样来实现的；在图像领域中，我们通常将图像转换成数字形式，并对其进行离散化处理。
此外，在通信领域中，我们也需要考虑到采样定理对于数字调制和解调过程中误差控制的影响。
六、总结通过本文介绍，我们了解了采样定理的基本内容，包括它的定义、数学表达式以及应用。
信号与系统实验四-信号的采样及恢复
实验四 信号的采样及恢复一、实验目的1、加深理解连续时间信号离散化过程中的数学概念和物理概念；2、掌握对连续时间信号进行抽样和恢复的基本方法；3、通过实验验证抽样定理。
二、实验内容1、为了观察连续信号时域抽样时，抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进行抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产生不同波形的原因，提出改进措施。
（1）)102cos()(1t t x ⨯=π（2）)502cos()(2t t x ⨯=π （3）)1002cos()(3t t x ⨯=π2、产生幅度调制信号)200cos()2cos()(t t t x ππ=，推导其频率特性，确定抽样频率，并绘出波形。
3、对连续信号)4cos()(t t x π=进行抽样以得到离散序列，并进行重建。
（1）生成信号)(t x ，时间t=0:0.001:4，画出)(t x 的波形。
（2）以10=sam f Hz 对信号进行抽样，画出在10≤≤t 范围内的抽样序列)(k x ；利用抽样内插函数)/1()(sam r f T T t Sa t h =⎪⎭⎫⎝⎛=π恢复连续信号，画出重建信号)(t x r 的波形。
)(t x 与)(t x r 是否相同，为什么？ （3）将抽样频率改为3=sam f Hz ，重做（2）。
4、利用MATLAB 编程实现采样函数Sa 的采样与重构。
三、实验仪器及环境计算机1台，MATLAB7.0软件。
四、实验原理对连续时间信号进行抽样可获得离散时间信号，其原理如图8-1。
采样信号)()()(t s t f t f s ∙=，)(t s 是周期为s T 的冲激函数序列，即)()()(∑∞-∞=-==n sT nT t t t s sδδ则该过程为理想冲激抽样。
其中s T 称为采样周期，ss T f 1=称为抽样频率， ss s T f ππω22==称为抽样角频率。
连续信号的采样与恢复实验报告
实验六、连续信号得采样与恢复一、实验目得1.加深理解采样对信号得时域与频域特性得影响；2.加深对采样定理得理解与掌握,以及对信号恢复得必要性;3.掌握对连续信号在时域得采样与重构得方法。
二、实验原理(１)信号得采样ﻫ信号得采样原理图如下图所示,其数学模型表示为:＝ﻫ其中得f(ｔ）为原始信号,为理想得开关信号(冲激采样信号)δTs（t) ＝,fｓ（ｔ）为采样后得到得信号称为采样信号。
由此可见,采样信号在时域得表示为无穷多冲激函数得线性组合,其权值为原始信号在对应采样时刻得定义值。
ﻫ令原始信号f(t)得傅立叶变换为F(jw）＝FＴ(f(t）),则采样信号fs(t) 得傅立叶变换Fｓ(ｊw)=FＴ(ｆs（t）)=。
由此可见,采样信号fs（ｔ)得频谱就就是将原始信号f(t）得频谱在频率轴上以采样角频率ｗｓ为周期进行周期延拓后得结果(幅度为原频谱得1/Ｔs)。
如果原始信号为有限带宽得信号,即当|w｜>|wｍ｜时，有Ｆ(jw）=0，则有:如果取样频率wｓ≥2wm时,频谱不发生混叠;否则会出现频谱混叠。
(2）信号得重构ﻫ设信号f（t）被采样后形成得采样信号为fs（ｔ),信号得重构就是指由ｆs（t）经过内插处理后,恢复出原来得信号f(t）得过程。
因此又称为信号恢复。
ﻫ由前面得介绍可知,在采样频率w s≥２ｗｍ得条件下，采样信号得频谱Fｓ(jw)就是以w s为周期得谱线。
选择一个理想低通滤波器,使其频率特性H(ｊw)满足:Ｈ（j w)=式中得wｃ称为滤波器得截止频率，满足wｍ≤wc≤ｗs/2。
将采样信号通过该理想低通滤波器,输出信号得频谱将与原信号得频谱相同。
因此，经过理想滤波器还原得到得信号即为原信号本身。
信号重构得原理图见下图。
通过以上分析,得到如下得时域采样定理：一个带宽为w m得带限信号f(t),可唯一地由它得均匀取样信号fs(n Ｔs)确定,其中,取样间隔Ts＜π/ｗｍ,该取样间隔又称为奈奎斯特(Ｎｙｑuisｔ)间隔。
信号采样原理
6.2 信号采样与保持采样器与保持器是离散系统的两个基本环节，为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的采样过程和保持过程加以描述。
6.2.1 信号采样在采样过程中，把连续信号转换成脉冲或数码序列的过程，称为采样过程。
实现采样的装置，称为采样开关或采样器。
如果采样开关以周期T 时间闭合，并且闭合的时间为τ，这样就把一个连续函数变成了一个断续的脉冲序列，如图6-3(b)所示。
()e t *()e t 由于采样开关闭合持续时间很短，即T τ<<，因此在分析时可以近似认为0τ≈。
这样可以看出，当采样器输入为连续信号时，输出采样信号就是一串理想脉冲，采样瞬时的脉冲等于相应瞬时的值，如图6-3(c) 所示。
()e t *()e t ()et图6-3 信号的采样根据图6-3(c)可以写出采样过程的数学描述为*()(0)()()()()()e t e t e T t T e nT t nT δδδ=+−++−+L L )−nT (6-1) 或 (6-2) *()()()()(δδ∞∞=−∞=−∞=−=∑∑n n e t e nT t nT e t t nT 式中，是采样拍数。
由式（6-2）可以看出，采样器相当于一个幅值调制器，理想采样序 n 列可看成是由理想单位脉冲序列对连续量调制而形成的，如图 *()e t ()()δδ∞=−∞=−∑T n t t 6-4所示。
其中，()T t δ是载波，只决定采样周期，而为被调制信号，其采样时刻的值决定调制后输出的幅值。
()e t ()e nT图6-4 信号的采样6.2.2 采样定理一般采样控制系统加到被控对象上的信号都是连续信号，那么，如何将离散信号不失真地恢复到原来的形状，便涉及采样频率如何选择的问题。
采样定理指出了由离散信号完全恢复相应连续信号的必要条件。
由于理想单位脉冲序列()T t δ是周期函数，可以展开为复数形式的傅氏级数()ωδ+∞=−∞=∑s jn t T n n t c e (6-3)式中，T s /2πω=为采样角频率，T 为采样周期，是傅氏级数系数，它由下式确定n c /2/21()d ωδ+−−=∫s T jn t n T T c t e T t (6-4) 在]2,2[T T +−区间中，)(t T δ仅在0=t 时有值，且，所以1|0==−t t jn s e ω0011()d δ+−=∫n c t t T T= （6-5） 将式(6-5)代入式(6-3)，得 1()ωδ+∞=−∞=∑s jn t T n t e T （6-6） 再把式(6-6)代入式(6-2)，有*11()()()ωω+∞+∞=−∞=−∞==∑∑s s jn t jn t n n e t e t e e nT e T T （6-7） 将式（6-7）两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理，得到∑+∞−∞=+=n sjn s E T s E )(1)(*ω (6-8) 令ωj s =，得到采样信号的傅氏变换 )(*t e *1()[()]ωωω+∞=−∞=+∑s n E j E j n T （6-9)式中，)(ωj E 为相应连续信号的傅氏变换，)(t e (j )E ω为的频谱。
数字信号处理_Lecture 10
xa(t)
采样保持
yr(t)
重构 滤波器
yc(t)
D/A 转换器
ˆ y(n)
ˆ x(n)
离散时 间系统
T 图4-9 模拟信号数字处理实际模型
14
模拟到数字(A/D)转换 模拟到数字(A/D)转换
T xa(t)
采样保持
T x0(t)
A/D 转换器
ˆ xB (n)
图4-10 模数转换的实际模型
图4-12 图4-10系统的进一步细化
16
∧
x =Q(x) 3∆ 2∆
_ __ ∆ ∆
补补
补补 二二二补
011 010 001
x
__ ∆
111 110 101 100 011 010 001 000
2
_ 9∆ _ 7∆ _ 5∆ _ 3∆ __ __ __ __
3∆ __ 2
5∆ __ 2
7∆ __ 2
1 yc (t) = x (t)， Yc ( jΩ) = Xc ( jΩ) ∗ Xc ( jΩ) 2π
2 c
10
所以，y 的最高频率将是x 的最高频率2 所以，yc(t)的最高频率将是xc(t)的最高频率2 倍，即的奈奎斯特率是2 倍，即的奈奎斯特率是2Ωs。 [例 4-5] 假设xc(t)的带限是10 kHz（即，对 假设x 的带限是10 kHz（即，对 | f |>10000Hz，Xc( jΩ)＝Xc( j2π f )＝0）。 |>10000Hz， j2π 求（a 求（a）xc(t)的奈奎斯特率；（b） 的奈奎斯特率；（b xc(t)cos(2π⋅2000t)的奈奎斯特率。 )cos(2π⋅2000t 解：（ 解：（a）xc(t)的带限是10 kHz，说明 fh＝ 的带限是10 kHz，说明 10000，故x 10000，故xc(t)的奈奎斯特率 fs＝2×fh＝20000Hz＝20 kHz 20000Hz＝
连续信号的采样与重构实验报告
信号与系统上机实验报告学院：电子信息学院班级：08011202姓名：王喜成学号：2012301794上机实验 5 连续信号的采样与重构一、实验目的（1）验证采样定理；（2）熟悉信号的抽样与恢复过程；（3）通过实验观察欠采样时信号频域的混迭现象；（4）掌握采样前后信号频域的变化，加深对采样定理的理解；（5）掌握采样频域的确定方法。
二、实验内容和原理信号的采样与恢复示意图如图2.5-1所示图2.5-1 信号的抽样与恢复示意图抽样定理指出：一个有限频宽的连续时间信号)(t f ，其最高频率为m ω，经过等间隔抽样后，只要抽样频率s ω不小于信号最高频率m ω的二倍，即满足m s ωω2≥，就能从抽样信号)(t f s 中恢复原信号，得到)(0t f 。
)(0t f 与)(t f 相比没有失真，只有幅度和相位的差异。
一般把最低的抽样频率m s ωω2min =称为奈奎斯特抽样频率。
当m s ωω2<时，)(t f s 的频谱将产生混迭现象，此时将无法恢复原信号。
f （t ）的幅度频谱为)(ωF ；开关信号)(t s 为周期矩形脉冲，其脉宽τ相对于周期s T 非常小，故将其视为冲激序列，所以)(t s 的幅度频谱)(ωS 亦为冲激序列；抽样信号)(t f s 的幅度频谱为)(ωs F ；)(0t f 的幅度频谱为)(0ωF 。
观察抽样信号的频谱)(ωs F ，可以发现利用低通滤波器（其截止频率满足m s c m ωωωω-<<）就能恢复原信号。
信号抽样与恢复的原理框图如图2.5-2所示。
图2.5-2 信号抽样与恢复的原理框图由原理框图不难看出，A/D转换环节实现抽样、量化、编码过程；数字信号处理环节对得到的数字信号进行必要的处理；D/A转换环节实现数/模转换，得到连续时间信号；低通滤波器的作f。
用是滤除截止频率以外的信号，恢复出与原信号相比无失真的信号)(0t三、涉及的MATLAB函数subplot(2,1,1)xlabel('时间, msec');ylabel('幅值');title('连续时间信号x_{a}(t)');axis([0 1 -1.2 1.2])stem(k,xs);grid;linspace(-0.5,1.5,500)';ones(size(n)freqs(2,[1 2 1],wa);plot(wa/(2*pi),abs(ha)buttord(Wp, Ws, 0.5, 30,'s');[Yz, w] = freqz(y, 1, 512);M= input('欠采样因子= ');length(nn1)y = interp(x,L)[b,a] = butter(N, Wn, 's');get(gfp,'units');set(gfp,'position',[100 100 400 300]);fx1=fft(xs1)abs(fx2(n2+1))如有帮助，欢迎下载支持。
信号的抽样
n
(t nT )
n
(1.4.1)
x a (t ) xa (t ) P (t )
xa (t ) (t nT )
•
上式中 δ(t) 是单位冲激信号，在上 式中只有当 t=nT 时，才可能有非零值，因 此写成下式：
x a (t )
n
(1.4.5)
•
上式表明采样信号的频谱是原模 拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角 频率 Ωs 重复出现一次，或者说采样信号 的频谱是原模拟信号的频谱以 Ωs 为周期， 进行周期性延拓而成的。 • 在图1.4.3中，设xa(t)是带限信号， 最高截止频率为 Ωc ，其频谱 Xa(jΩ) 如图 1.4.3(a)所示。
•
(1)对连续信号进行等间隔采样形成采 样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱 以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的， 用公式(1.4.5)表示。 • (2) 设连续信号 xa(t) 属带限信号，最高 截止频率为 Ωc ，如果采样角频率Ωs≥2Ωc ，那 么让采样信号x^a(t) 通过一个增益为T，截止频 率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复 出原连续信号xa(t)。否则Ωs<2Ωc会造成采样信 号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原 连续信号。
实际抽样时，抽样信号的频谱：
ˆ ( j) X a
k
C X
k
a
( j j s )
实际信号的频谱和理想抽样一样，抽样信号的 频谱时连续信号频谱的周期延拓，只要满奈奎 斯特抽样定理，不会产生频谱的混叠失真。 不同在于：实际抽样的频谱分量的幅度有变化， 其包络是随频率增加而逐渐下降的。
因为Ωs=2πfs=2π/T，因此g(t)也可以用下式表示：
连续时间信号的抽样
的抽样，就会遇到一些特殊问题。
cos
0t
1 2
e e j0t
j0t
( 0 ) ( 0 )
sin
0t
1 2j
e e j0t
j0t
j ( 0 ) ( 0 )
( )
( )
0
0
余弦
( j )
0
正弦
0
( j )
奈奎斯特定理应用于正弦信号
采样周期T
理想重构系统
xa (t)
3 实际抽样
• 用宽度为 的矩形周期脉冲 p(t代) 替冲激串
p(t)
C e jkst k
k
Ck
1 T
0
e jkst dt
T
sin( ks
2
ks
)
j ks
e 2
2
p(t)
A 1
T
T
t
xT (t) X (n1) xT (t t0 ) X (n1)e jn1t0
抽样定理应用于正弦信号时要求： 抽样频率大于信号最高频率的两倍，而不
是大于或等于两倍。
例子
• 对于两不同频率的正弦信号x1(t),x2(t)，如果用同 一抽样频率对其抽样，抽样出的序列可能是一 样的，则我们无法判断它是来源于x1(t)还是x2(t)。
• 例：
x1 (t) cos(2 40t), f1 40Hz x2 (t) cos(2 140t), f2 140Hz
A 1
T
T
t
实际抽样
xa (t)
p(t)
xs (t)
冲激串到序列的转 换
x(n) xa (nT )
第四章连续时间信号的采样
k
n
x[n] hr (k) (t k nT )
n
k
xr (t) x[n]hr (t nT ) xc (t)
n
理想重构滤波器增益为T（补偿作用）
截止频率为Ωc，取Ωc = Ωs/2 = π/T
hr
(t)
sin πt / πt / T
Yeff
(
j)
H (e 0.
jT
),
π/T π/T
式中Heff(jΩ) 为有效频率响应（effective frequency response）
表示：连续时间系统 （等效）线性时不变系统
4.4.2 脉冲响应不变（Impulse invariance）
已知 连续时间系统 （实现）离散时间系统
先求S(jΩ)，由傅里叶变换特性
s(t)周期冲击串S(jΩ)周期冲击串
即：
S( jΩ)
2
T
k
(Ω
kΩs )
Ωs
2
T
证明：
因为s(t)为周期函数，用傅立叶级数可表示为：
s(t)
a e jkst k
k
由于t的区间：-1/T ~ 1/T
ak
(
ks )d
1 T
X c ( j
k
jks )
X s
( jΩ)
1 T
X c ( jΩ
k
kjΩs
)
Xc(jΩ)与Xs(jΩ)的关系周期重复叠加
Xs(jΩ)重复部分 不重叠的条件：
2.6 连续时间信号的采样
∞
1 π n = ∑ sin( π n + )δ (t − ) n =−∞ 2 8 200
(3) x(n) = xa (t )
t = nT
1 π = sin( π n + ) 2 8 2π 2π N Q = =4= ω0 1/ 2 π k N = 4为最小正整数 ∴ x ( n )的周期为N = 4
∫
而
T t < 2
T ∞ 2 T − 2 n =−∞
δ (t − nT )e − jk Ω t dt ∑
s
，所以只有一个冲激 δ (t ) ，于是
1 Ak = T
∫
又因为有： f (0) = ∫−∞ δ (t ) f (t )dt 则 于是 因此
Ak = 1 − jk Ωst 1 e = T T t =0 1 ∞ jk Ωs t δ T (t ) = ∑ e T k =−∞
称为内插函数。 称为内插函数。
π sin[ (t − kT )] T ϕ k (t ) = π (t − kT ) T
函数值为 1，在其余采样点上，函数值为0。 1，在其余采样点上，函数值为0。 x ϕ k (t ) 说明： a (t ) 等于各 xs (kT )乘上对应的内 说明： 插函数的总和。 插函数的总和。 等于原采样值， 在 t = kT 时，恢复的 xa (t ) 等于原采样值， 而在采样点之间， 而在采样点之间，则是各采样值乘以 ϕk (t ) 的波形伸展叠加而成。 的波形伸展叠加而成。
H ( jΩ ) =
T 0 ｜Ω｜< Ωs
/2
｜Ω｜≥ Ωs / 2
的频谱。 就得到原信号 X a ( jΩ ) 的频谱。
根据模拟系统的频域描述理论， 根据模拟系统的频域描述理论，有
信号处理中的采样
采样,其他名称：取样，指把时间域或空间域的连续量转化成离散量的过程。
1采样简介解释1所谓采样(sampling)就是采集模拟信号的样本。
采样是将时间上、幅值上都连续的模拟信号，在采样脉冲的作用，转换成时间上离散（时间上有固定间隔）、但幅值上仍连续的离散模拟信号。
所以采样又称为波形的离散化过程。
解释2把模拟音频转成数字音频的过程,就称作采样，所用到的主要设备便是模拟/数字转换器（Analog to Digital Converter，即ADC，与之对应的是数/模转换器,即DAC）。
采样的过程实际上是将通常的模拟音频信号的电信号转换成二进制码0和1，这些0和1便构成了数字音频文件。
采样的频率越大则音质越有保证。
由于采样频率一定要高于录制的最高频率的两倍才不会产生失真，而人类的听力范围是20Hz～20KHz，所以采样频率至少得是20k×2=40KHz，才能保证不产生低频失真，这也是CD音质采用44.1KHz(稍高于40kHz是为了留有余地)的原因。
通过周期性地以某一规定间隔截取音频信号，从而将模拟音频信号变换为数字信号的过程。
每次采样时均指定一个表示在采样瞬间的音频信号的幅度的数字。
2采样频率每秒钟的采样样本数叫做采样频率。
采样频率越高，数字化后声波就越接近于原来的波形，即声音的保真度越高，但量化后声音信息量的存储量也越大。
采样频率与声音频率之间的关系：根据采样定理，只有当采样频率高于声音信号最高频率的两倍时，才能把离散模拟信号表示的声音信号唯一地还原成原来的声音。
目前在多媒体系统中捕获声音的标准采样频率定为44.1kHz、22.05kHz和11.025kHz三种。
而人耳所能接收声音频率范围大约为20Hz--20KHz，但在不同的实际应用中，音频的频率范围是不同的。
例如根据CCITT公布的声音编码标准，把声音根据使用范围分为以下三级：·电话语音级：300Hz-3.4kHz·调幅广播级：50Hz-7kHz·高保真立体声级：20Hz-20kHz因而采样频率11.025kHz、22.05kHz、44.1kHz正好与电话语音、调幅广播和高保真立体声（CD音质）三级使用相对应。
nyquist采样
取样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信 号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值 （或称样本值）表示。这些样本值包含了该连 续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以 恢复原信号。可以说，取样定理在连续时间信 号与离散时间信号之间架起了一座桥梁。由于 离散时间信号（或数字信号）的处理更为灵活、 方便，在许多实际应用中（如数字通信系统 等），首先将连续信号转换为相应的离散信号， 并进行加工处理，然后再将处理后的离散信号 转换为连续信号。取样定理为连续时间信号与 离散时间信号的相互转换提供了理论依据。
s m
取样频率过低( ω s < 2ω m )发生频谱混叠
二、矩形脉冲取样（实际中）
矩形脉冲序列 pTs (t ) ，频谱函数为
同理得到取样信号fs(t )的频谱函数为
矩形脉冲取样
通常把最低允许取样频率 f s = 2 f m 称为 Nyquist频率，把最大允许采样间隔
1 Ts = 2 f m 称为Nyquist间隔。
Ts
由取样信号 fs(t ) 的频谱可以看出，如果 ω s > 2ω m 1 f s > 2 f m 或T < （即 ），那么各相邻频移后 2f 的频谱不会发生重叠。这时就能设法（如 利用低通滤波器）从取样信号的频谱Fs ( jω ) 中得到原信号的频谱，即从取样信号 fs(t ) 中恢复原信号f (t ) 。如果ω s < 2ω m，那么频 移后的各相邻频谱将相互重叠。这样就无 法将它们分开，因而也不能再恢复原信号。 频谱重叠的这种现象称为混叠现象。 如下图：
时域取样定理
H ( jω ) = {
Ts , ω <ωc 0, ω >ωc
实际采样中带外信号的问题
连续信号的采样与复现
保持器
保持器将离散信号转换为连续信号，近似重现 作用在采样器上的信号。
零阶保持器将采样信号转变成在两个连续采样 瞬时之间保持常量的信号，其传递函数为
Gh
1 eTs s
采样定理
假设连续信号 f (t) 不包含任何大于 1 的频率分 量，则Shannon采样定理可描述为：
若 s 2 / T 2（1 式中：T 为采样周期，21相当 于连续信号 f (t) 的频谱），则信号 f (t)可以完整地从 采样信号 f *(t) 恢复过来。
连续信号的采样与复现
采样：将模拟信号按一定时间间隔循环进行取 值，从而得到按时间顺序排列的一串离散信号的过 程称为采样。
复现：将采样后的离散信号恢复为连续信号的 过程称为信号的复现。
经采样得到的离散信号，虽在时间上离散，但 在幅值上还是连续的。若通过模数转换器，将幅值 上连续的离散信号变成数码形式的信号，即进行整 量化，则时间上离散化、幅值上整量化后的信号， 就称为数字信号。
采样过程及其数学描述
采样器是以一定周期重复开、 关动作的采样开关，采样开关的输 出为采样信号。
采样器调制后的采样信号为
f * (t) f (t)T (t) f (t) (t kT) k
f * (t) f (t) (t kT)
k 0
f * ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt) f (kT) (t kT)
时域采样定理
时域采样定理简介时域采样定理是一种重要的信号处理理论，它指出：对于一个连续时间的信号，如果以足够高的频率对其进行采样，那么原始信号可以完全通过采样信号进行恢复。
时域采样定理为我们提供了对连续时间信号进行数字化处理的基础。
定理表述时域采样定理最常见的表述是由Shannon在1949年提出的。
它可以表述为：对于一个带宽受限的连续时间信号x(t)，如果其最高频率为B，那么我们至少需要以2B的频率对其进行采样，才能够完全还原原始信号。
数学上可以用以下公式表示时域采样定理：$$ x(t) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} x(nT_s) \\cdot\\text{sinc}\\left(\\frac{t-nT_s}{T_s}\\right) $$在这个公式中，T s是采样周期，x(nT s)是采样信号，$\\text{sinc}(x)$是sinc函数，其定义为$\\text{sinc}(x) = \\frac{\\sin(\\pi x)}{\\pi x}$。
采样频率根据时域采样定理，我们需要以足够高的频率来对信号进行采样。
采样频率的选择由信号的带宽决定。
带宽是信号中存在的最高频率分量。
为了满足时域采样定理，我们需要采用Nyquist采样频率，即至少为信号带宽的两倍。
这样可以确保采样频率足够高，能够捕捉到信号中所有的频率分量。
采样误差在实际应用中，由于多种因素的影响，我们很难达到理想的采样条件。
采样误差是指由于采样频率不足或其他因素引起的信号失真。
当采样频率在Nyquist采样频率的一定范围内时，信号的恢复误差是可以接受的。
但是一旦采样频率低于Nyquist采样频率的两倍，就会出现采样失真，这将导致信号无法完全还原。
为了减小采样误差，我们可以采用过采样的方式。
过采样即采样频率大于Nyquist采样频率的两倍。
这样可以增加采样点的数量，提高还原信号的精度。
应用领域时域采样定理在许多领域有着广泛的应用。
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xc(t) = cos(4000πt)
T=1/6000
有
x[n] = xc(nT) = cos(4000πTn) = cos(ω0n)
其中ω0 = 4000πT = 2π/3, Ωs = 2π/T =12000π
xs(t)与x[n]区别
连续，离散 时间归一化 冲击面积，有限 数值
4.2 采样的频域表示
数学上表示采样的两步：
第一步： xc(t) xs(t)
第二步： xs(t) x[n]
首先考虑第一步，周期冲击串
调制：
s(t) (t nT ) n
xs (t) xc (t)s(t) xc (t) (t nT ) n
第四章 连续时间信号的采样
Sampling of Continuous-Time Signals
4.0 引言
离散时间信号 实际存在 或 连续时间信号采样 （常见） 问题：连续时间信号 离散时间信号的完全准确表示 （包含全部
信息） 决定因素：采样率（sampling rate）,采样周期、采样频率 方法：时域？频域！ 恢复（表明问题的方法）：离散时间信号（恢复）连续时间信号
有
Xr(jΩ) = Xc(jΩ)
例子：xc(t) = cosΩ0t
xc(t) = cosΩ0t xc(t) = cos(Ωs -Ω0)t
奈奎斯特采样定理
设xc(t) 为带限连续时间信号，即其傅里叶变换：
Xc( j) 0, N
则xc(t) 可以由它的采样值 x[n] xc (nT ), n 0, 1, 2, 唯一确定，条件是采样频率 s 满足：
k
Ωs
2
T
证明：
因为s(t)为周期函数，用傅立叶级数可表示为：
s(t)
a e jkst k
k
由于t的区间：-1/T ~ 1/T
1
ak T
1
T 1
T
s(t)e
jkst dt
1 T
1
T 1
T
n
(t
nT
)e
jkst dt
ak
1 T
1
T 1
T
(t)e
jkst dt
1 T
s(t) 1
e jkst
T k
S( jΩ)
2
T
(Ω
k
kΩs )
X s ( jΩ)
1
2
X c ( jΩ) S( jΩ)
1
2
X c ( j )S( j( ))d
X
s ( j)
1
2
X c ( j )
2
T
(
k
ks )d
X s ( j) 122 NhomakorabeaT
k
X c ( j ) (
ks )d
1 T
n
比较有：
X s ( j) X (e j ) T X (e jT )
最终可得：
X
(e jT
)
1 T
k
Xc(
j
jks )
或等效为：
X
(e j )
1 T
k
X
c
(
j
T
j
2πk T
)
从Xs(jΩ) X (ejω)表示频率尺度变换：ω=ΩT 频率轴
归一化
Xs(jΩ) ---- Ω =Ωs X (ejω) ---- ω = 2π
实际实现：理想转换器的一种近似， A/D转换器，Analog to Digital （量化级数，线性度，采样保持）
采样的可逆性： x[n] xc(t) ------ 采样的条件（输入信号的限制）
数学表示（两步）：冲击串调制器+冲击串到序列的转换器
s(t) (t nT ) n
xs (t) xc (t) (t nT ) n
信号的最高频率ΩN= 4000π，满足Nyquiest定理，没有混叠。
其傅立叶变换为： X c ( jΩ) π ( 4000 π) π ( 4000 π)
在Ωs = 12000π时
X s
(
jΩ)
1 T
X c ( jΩ
k
kjΩs
)
4.3 由样本重构带限信号
由x[n] (恢复) xc(t) 见图4.4
或称重构
4.1 周期采样（Periodic sampling）
xc(t) ---- 连续时间信号 周期采样后得到样本序列：x[n] = xc(nT), －∞＜ n ＜ ∞ T --- 采样周期，等间隔采样； fs = 1/T --- 采样频率 --- Ωs = 2π/T （弧度/秒） 理想（C/D）转换器（Continuous to Discrete）：
X (e j )
X s ( j)
X r ( j) X c( j)
频域：Xc(jΩ) = Xr(jΩ) = Hr(jΩ) Xs(jΩ) Xs(jΩ) = X(ejΩT), X(ejω) 时域：xc(t) = xr(t) = hr(t) ＊ xs(t) xs(t) = x[n]
时域关系，有前知，
做傅立叶变换：
X s ( jΩ)
xc (nT ) (t nT )e-jtdt
n
X s ( jΩ)
xc
(nT )
(t
nT )e-jtdt
xc (nT )e- jnT
n
n
X s ( jΩ) xc (nT )e-jnT n
由于
x[n] xc (nT )
X (e j )
x[n]e- jn
xs (t) xc (nT ) (t nT )
由冲击函数的筛选性：
xs (t) xc (nT ) (t nT ) n
xs(t)的傅立叶变换 根据傅立叶变换的性质：时域相乘频域卷积
X s ( jΩ)
1
2
X c ( jΩ) S( jΩ)
先求S(jΩ)，由傅里叶变换特性
s(t)周期冲击串S(jΩ)周期冲击串
即：
S( jΩ)
2
T
(Ω kΩs )
X c ( j
k
jks )
X s
( jΩ)
1 T
X c ( jΩ
k
kjΩs
)
Xc(jΩ)与Xs(jΩ)的关系周期重复叠加
Xs(jΩ)重复部分 不重叠的条件：
Ωs - ΩN > ΩN 或：
Ωs > 2ΩN 结果：低通滤波 器恢复出 Xc(jΩ)xc(t)
混叠 aliasing
Xr(jΩ) = Hr(jΩ) Xs(jΩ) ，若 ΩN < Ωc < (Ωs - ΩN )，
s
2π T
2N
ΩN ---- Nyquist Frequency 2ΩN ---- Nyquist Rate
采样频率 必s 须大于Nyquist Rate
第二步： xs(t) x[n] 也就是Xs(jΩ)和Xc(jΩ) X (ejω) x[n]
考虑Xs(jΩ)的另一种表示形式。对
xs (t) xc (nT ) (t nT ) n